工业机器人技术(郭洪红)--第3章

(1) 令n-1绕Zn-1轴旋转θn角, 使Xn-1与Xn平行, 算子为Rot(z,θn)。 (2) 沿Zn-1轴平移dn, 使Xn-1与Xn重合, 算子为Trans(0,0,dn)。 (3) 沿Xn轴平移an, 使两个坐标系原点重合, 算子为Trans(an,0,0)。 (4) 绕Xn轴旋转αn角, 使得n-1系与n系重合, 算子为Rot(x, αn)。
同理：
0 1 0 cos Rot( x, ) 0 sin 0 0 cos 0 Rot( y, ) sin 0 1 0
0 sin cos 0 0 sin 0 0 0 cos
0 0 0 1 0 0 0 1
Px P P y Pz 1
齐次坐标并不唯一，列阵每一项分别乘以一个非零因子ω时
Px a Px P b P p = y y Pz c Pz 1 w
x ' x cos y sin y ' x sin y cos z' z
推导：设A点在xoy平面上投影的长度为r，与x轴夹角为α
则
x rcos x' rcos( ) x' rcos cos r sin sin y rsin y' rsin( ) y' rsin cos r cos sin x' x cos y sin y' x cos x sin
5、刚体位姿的描述
机器人每一个连杆都可看做一个刚体。给定刚体上某一点 的位置和该刚体在空中的姿态，则刚体在空间上的位姿是 唯一确定的，可用唯一一个位姿矩阵进行描述。
如图3.3刚体o’x’y’z’是固连于刚体 的一个坐标系，称为动坐标系。 刚体Q在固定坐标系OXYZ中的 位置的齐次坐标形式为： p
连杆坐标系： ① 连杆n坐标系的坐标原点：位于n+1关节轴线上，是关节 n+1的轴线与关节n轴线公垂线的垂足。 ② Z轴：与n+1关节轴线重合。 ③ X轴：与公垂线重合;方向为从n指向n+1关节。 ④ Y轴：由Z轴和X轴按右手螺旋法则确定。
2. 连杆坐标系之 间的变换矩阵 n-1坐标系与n坐标系间 关系可以视为n坐标系是 由n-1坐标系经由一系列 的平移、旋转变化得到。
连杆扭角：连杆两端关节轴线的夹角αn 即将一条轴线沿 公垂线平移至另一条轴线上的垂足时，两条直线的夹角。
如图3.10，相邻连杆n与n-1 的关系参数可由连杆转角和 连杆距离描述。 沿关节n轴线两个公垂线间 的距离dn即为连杆距离。 垂直于关节n轴线的平面内 两个公垂线的夹角θn即为连 杆转角。 每个连杆可以由四个参数来描述：连杆长度、扭角、连杆转角、 连杆距离。 前两个是连杆自身参数，后两个表示与相邻连杆的连接关系。 旋转关节θn改变, 为关节变量，其它三个参数不变； 滑动关节dn改变, 为关节0 ，且a2+b2+c2=1表示某矢量的方向。
如列阵 a
b c
T
中第四个元素不为零，
则表示空间某点的位置。
如图3.2中矢量 v 的方向可表示为
a b v c 0
其中a=cosα ，b=cosβ ， c=cosγ
即：
实际中，多数机器人连杆参数取特殊值，如αn=0、dn=0，计 算一般简单。
3.1.4工业机器人运动学方程
齐次变换矩阵Ai表示连杆i坐标系相对于连杆坐标系i-1的位 姿变换矩阵。 如A1表示连杆1相对连杆0（基座），A2矩阵表示连杆1坐 标系相对于连杆1坐标系的位姿变换。连杆2相对固定坐标系 的位姿可用可用A2 和A1 的乘积表示 T2=A1A2 依此类推, 对于六连杆机器人，有下列矩阵： T6=A1A2A3A4A5A6 上述等式称为机器人运动学方程。Ｔ６表示手部坐标相对 于固定参考系的位姿。
kx ky kz 1
2 2 2
k y k x (1 cos ) k z sin
2 k y (1 cos ) cos
k z k x (1 cos ) k y sin k z k y (1 cos ) k x sin k z2 (1 cos ) cos 0
都表示P点。
3、坐标轴方向的描述
直角坐标系中，可用 i 、j 、 表示x,y,z轴的单位向量 k
用齐次坐标来描述x、y、z轴的方向：
1 0 x 0 0 0 1 y 0 0 0 0 z 1 0
n x p ] n y nz 0
T [n o a
o a p o a p o a p
x x x x x y z y z
0
0
1
7.目标物位姿的描述
任何一种物体在空 间的位置和姿态都可 以用齐次矩阵来表示。 图3.5楔块Q在图a 的情况可用6个点来 描述：
0 n R T6 0
nx 0 P n y n nz 1 0
ox oy oz 0
ax ay az 0
px py pz 1
0 n 0 n
R 或前三列表示手部的姿态； P 或第四列表示手部中心点的位置。
2. 正向运动学及实例
正向运动学：已知各个关节的变量，求手部的位姿。 图3.11 为SCARA装配机器人，其三个关节轴线是相互平行的。 {0}、{1}、{2}、{3}分别表示固定坐标系、 连杆1的动坐标系、 连杆2的动坐标系、 连杆3的动坐标系。原点分别位于关节1、 关节2、关节3和手部中心。 连杆运动为旋转运动, 连杆参数θn为变量, 其余参数均为常量。 参数见表3-2.
x ' 1 y ' 0 z ' 0 1 0
0 0 x x 1 0 y y 0 1 z z 0 0 1 1
2.旋转的齐次变换
如图3.7，A点绕z轴旋转 角后移至A’，即
k y k z (1 cos ) k x sin 0
0 0 0 1
(3.24)
注： ① 该式为一般旋转齐次变换通式，概括了绕X、Y、Z 轴进行旋转变换的情况。反之,当给出一个旋转齐次变换 矩阵, 则可求得 k 及θ角。
②适用于点、矢量、 坐标系、 物体的旋转。 ③ 左乘是相对固定坐标系的变换；右乘是相对动坐标系的 变换。 3、平移加旋转的齐次变换
6 4 4 1 1 1 Q 0 0 0 1 1 1
4 1 1 1 0 4 4 1 1 1 6 4
3.1.2齐次变换及运算 刚体的平移、旋转运动均可由齐次变换矩阵表示，刚体 变换后的位姿可由其原始描述矩阵乘以齐次变换矩阵得 到。 平移的齐次变换 如图3.6，A点（x，y，z）平移至 A’（x’，y’，z’）即
机设专业本科生课程
工业机器人技术
Industrial Robot
第3章 工业机器人 运动学和动力学
1
第三章工业机器人运动学和动力学
3.1工业机器人的运动学
3.2工业机器人的动力学
3.3 工业机器人的运动轨迹规划
3.1工业机器人的运动学 正向运动学：所有关节变量已知，可用正向运动学来确定机 器人末端手部的位姿。 逆向运动学：对于给定的机器人手部的位姿，可用逆向运动 学来计算每一个关节变量的值。
如图3.4机器人手的位姿可用固 连于手的坐标系{B}的位姿表示 {B}：
(1) 原点：手部中心点为原点OB
(2) 接近矢量：关节轴方向的单位向量 a (3) 姿态矢量：手指连线方向的矢量 o
（4）法相矢量：
n oa
即法向矢量同时垂直于接近矢量和姿态矢量。
手部位置矢量为从固定参考坐标系OXYZ原点指向 手部坐标系{B}原点的矢量P，手部的位姿矩阵为：
图3. 8中
R 为任意过原点的单位矢量，
其在三个坐标轴上分量为kx，ky，kz，且
若A点绕 k 旋转θ角，则可以证明，
其旋转齐次变换矩阵为Rot（k,θ）
Rot (k , )
2 k x (1 cos ) cos k x k y (1 cos ) k z sin k x k z (1 cos ) k y sin 0
a b v点坐标为： v c 1
4、动坐标系位姿的描述
用位姿矩阵对动坐标系原点位置和坐标系各轴方向进 行描述，如原始的直角坐标系可描述为
1 0 A 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
如描述一个任意坐标系R，则用其三个坐标轴x R 、y R 、z R 在原始坐标系中表示的矢量齐次列阵，和 列阵[0 0 0 1]T组 成。
x' x x 即： y ' y y z ' z z
记为
其中 Transx, yz 称为平移算子。
注：①算子左乘，表示点的平移是相对固定坐标系进行坐标变换。 ②算子右乘，表示点的平移是相对动坐标系进行的坐标变换。
' a Transx, yz a
a x a y a a z 0
刚体的位姿表示为齐次矩阵：
nx p ] n y nz 0
T [n o a
o a x o a y o a z
x x 0 y z y z 0 0
0
0
1
6、手部位姿的描述
3.1.1工业机器人位姿描述 1.点的位置描述 如图3.1，空间任一点P的位置在直 角坐标系｛A｝中可用（3ⅹ1）的 位置矢量Ap表示为: Px AP Py P z
其中Px、Py、Pz 是点P的三个位置坐标分量。