拉氏变换及其反变换

位移定理
原函数乘以指数函数e-at像函数d在复数域中作位移a
延时定理
原函数平移 像函数乘以 e-s
终值定理
原函数f(t)的稳态性质
sF(s)在s=0邻域内的性质
初值定理
变量置换法
其它方法
Part 2.3拉氏反变换方法 部分分式法的求取拉氏反变换
F(s)

B(s) A(s)
➢将微分方程通过拉氏变换变为 s 的代数方程； ➢解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式； ➢应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。
微分方程式的解
a、 A、B、
指数函数 Aeat 正弦函数 Bsin(t+)
微分方程式的各系数
外部条件
起始条件
✓应用拉氏变换法求解微分方程时，由于初始条件已自动地 包含在微分方程的拉氏变换式中，因此，不需要根据初始 条件求积分常数的值就可得到微分方程的全解。
拉氏反变换的定义 其中L－1为拉氏反变换的符号。
拉氏变换的计算
➢指数函数 ➢三角函数 ➢单位脉冲函数 ➢单位阶跃函数 ➢单位速度函数 ➢单位加速度函数 ➢幂函数
高等函数初等函数
指数函数的拉氏变换
三角函数的拉氏变换
（尤拉公式）
阶跃函数的拉氏变换
幂函数的拉氏变换
单位速度函数的拉氏变换
斜坡函数
✓如果所有的初始条件为零，微分方程的拉氏变换可以简单 地用sn代替dn/dtn得到。
条件： 分母多项式能分解成因式
F (s) B(s) K (s z1)(s z2 )...( s zm ) A(s) (s p1)(s p2 )...( s pn )
多项式极点
p1, p2 ,..., pn
多项式零点
z1,z2 ,..., zm
Part 2.4拉氏变换求解线性微分方程
单位脉冲函数拉氏变换
洛必达法则
单位加速度函数拉氏变换
抛物线函数
Part 2.2拉氏变换的主要运算定理
线性定理 微分定理 积分定理 位移定理 延时定理 卷积定理 初值定理 终值定理
线性定理 叠加定理
比例定理
多重微分
原函数的高阶导数 像函数中s的高次代数式
积分定理
多重积分
原函数的n重积分像函数中除以sn
Part 2.1 拉氏变换的定义
设函数f(t)满足：
1f(t)实函数；
2当t<0时 ， f(t)=0；
3当t0时，f(t)的积分

0
f
(t)est dt
在s的某一域内收敛
则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：
式中：s=σ+jω（σ，ω均为实数）；
F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数; f(t)称为F(s)的原函数； L为拉氏变换的符号。

b0sm a0sn
b1sm1 a1sn1
.... wk.baidu.comm1s .... an1s
bm bn
,m

n
L-1[F(s)] = L-1[F1(s)]+L-1[F2(s)]+…+L-1[Fn(s)] = f1(t) + f2(t) + … + fn(t)
F(s)= F1(s)+F2(s)+…+Fn(s)