上海市实验学校2017-2018学年第一学期九年级数学期末考试试卷

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人教A版数学高二弧度制精选试卷练习(含答案)1

人教A 版数学高二弧度制精选试卷练习（含答案) 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设扇形的周长为4cm ，面积为21cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【来源】黑龙江省鹤岗市第一中学2018-2019学年高一12月月考数学（理)试题【答案】B 2．已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为（） A ． B ． C ． D ．【来源】同步君人教A 版必修4第一章1.1.2弧度制【答案】C3．扇形圆心角为3π，半径为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( ) A ．1:3B ．2:3C ．4:3D ．4:9【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.1任意角和弧度制练习题（二)（带解析)【答案】B4．已知扇形的圆心角为2弧度,弧长为4cm , 则这个扇形的面积是( ) A ．21cm B ．22cm C ．24cm D ．24cm π【来源】陕西省渭南市临渭区2018—2019学年高一第二学期期末数学试题【答案】C5．若扇形的面积为38π、半径为1，则扇形的圆心角为（） A ．32π B ．34π C ．38π D ．316π 【来源】浙江省杭州第二中学三角函数单元测试题【答案】B 6．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（） A ．3π B ．3π- C ．23π D ．23π-【来源】浙江省台州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B7．实践课上小华制作了一副弓箭，如图所示的是弓形，弓臂BAC 是圆弧形，A 是弧BAC 的中点，D 是弦BC 的中点，测得10AD =，60BC =（单位：cm ），设弧AB 所对的圆心角为θ（单位：弧度），则弧BAC 的长为（）A ．30θB ．40θC ．100θD ．120θ【来源】安徽省池州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】C8．已知扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，且212l r =-，若扇形AOB 的面积为8，则该扇形的圆心角的弧度数是（）A ．14B ．12或2C ．1D ．14或1 【来源】广西贵港市桂平市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】D9．已知扇形的圆心角为150︒，弧长为()5rad π，则扇形的半径为（）A ．7B ．6C ．5D ．4【来源】安徽省六安市六安二中、霍邱一中、金寨一中2018-2019学年高二下学期期末联考数学（文)试题【答案】B10．已知扇形AOB ∆的周长为4，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长AB 等于（）A ．2B ．sin1C ．2sin1D ．2cos1【来源】湖北省宜昌市一中、恩施高中2018-2019学年高一上学期末联考数学试题【答案】C11．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦1AB =尺，弓形高1CD =寸，则阴影部分面积约为（注： 3.14π≈，5sin 22.513︒≈，1尺=10寸）（）A ．6.33平方寸B ．6.35平方寸C ．6.37平方寸D ．6.39平方寸【来源】山东省潍坊市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题【答案】A12．已知扇形OAB 的面积为1，周长为4，则弦AB 的长度为（） A ．2 B ．2/sin 1 C ．2sin 1 D ．sin 2【来源】黑龙江省部分重点高中2019-2020学年高一上学期期中联考数学试题【答案】C13．已知扇形OAB 的面积为4，圆心角为2弧度，则»AB 的长为（） A ．2 B ．4 C ．2π D ．4π【来源】江苏省南京市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B14．已知α 为第三象限角，则2α所在的象限是( )． A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限【来源】四川省南充高级中学2016-2017学年高一4月检测考试数学试题【答案】D15．若扇形的面积为216cm ，圆心角为2rad ，则该扇形的弧长为（）cm . A ．4 B ．8 C ．12 D ．16【来源】江苏省盐城市大丰区新丰中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B16．周长为6，圆心角弧度为1的扇形面积等于（）A ．1B ．32πC ．D ．2【来源】河北省邯郸市魏县第五中学2019-2020学年高一上学期第二次月考数学试题【答案】D17．已知一个扇形弧长为6，扇形圆心角为2rad ，则扇形的面积为 ( )A ．2B ．3C ．6D ．9【来源】2013-2014学年辽宁省实验中学分校高二下学期期末考试文科数学试卷（带解析)【答案】D18．集合{|,}42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈中角所表示的范围(阴影部分)是( ) A ． B ． C ．D ．【来源】2015高考数学理一轮配套特训：3-1任意角弧度制及任意角的三角函数（带解析)【答案】C19．已知⊙O 的半径为1，A ，B 为圆上两点，且劣弧AB 的长为1，则弦AB 与劣弧AB 所围成图形的面积为（）A ．1122-sin 1B ．1122-cos 1C ．1122-sin 12D ．1122-cos 12【来源】河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试数学文科试卷【答案】A20．已知一个扇形的圆心角为56π，半径为3．则它的弧长为（） A ．53π B ．23π C ．52π D ．2π 【来源】河南省新乡市2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】C21．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为12时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )A ．(3π-B ．1)πC ．1)πD ．2)π【来源】吉林省长春市2019-2020学年上学期高三数学（理)试题【答案】A22．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦⨯矢+矢⨯矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为23π，弦长为实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（）平方米（其中3π≈ 1.73≈）A ．14B ．16C ．18D ．20【来源】上海市实验学校2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】B23．已知某扇形的面积为22.5cm ，若该扇形的半径r ，弧长l 满足27cm r l +=，则该扇形圆心角大小的弧度数是（）A ．45B ．5C ．12D ．45或5 【来源】安徽省阜阳市太和县2019-2020学年高三上学期10月质量诊断考试数学（文)试题【答案】D24．已知一个扇形的圆心角为3弧度，半径为4，则这个扇形的面积等于（）． A ．48 B ．24 C ．12 D ．6【来源】湖南师范大学附属中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题【答案】B25．已知扇形的圆心角23απ=，所对的弦长为） A ．43π B ．53π C ．73π D ．83π 【来源】河南省新乡市辉县市一中2018-2019高一下学期第一阶段考试数学试题【答案】D26．如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心所对的弧长为（） A ．2 B ．2sin1 C ．2sin1 D ．4sin1【来源】黑龙江省大兴安岭漠河一中2019-2020学年高一上学期11月月考数学试题【答案】D27．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是（）A ．90α︒-B ．90α︒+C ．360α︒-D ．180α︒+【来源】福建省厦门双十中学2017-2018学年高一下学期第二次月考数学试题【答案】C28．已知扇形的半径为2，面积为4，则这个扇形圆心角的弧度数为（）A B ．2 C ． D ．【来源】河南省南阳市2016—2017学年下期高一期终质量评估数学试题【答案】B二、填空题29．已知大小为3π的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积为______. 【来源】安徽省马鞍山市第二中学2018-2019学年高一下学期开学考试数学试题【答案】23π. 30．135-=o ________弧度，它是第________象限角.【来源】浙江省杭州市七县市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】34π- 三 31．设扇形的半径长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是【来源】2011-2012学年安徽省亳州一中高一下学期期中考试数学试卷（带解析)【答案】32．在北纬60o 圈上有甲、乙两地，若它们在纬度圈上的弧长等于2R π（R 为地球半径），则这两地间的球面距离为_______ . 【来源】上海市浦东新区川沙中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题【答案】3R π 33．已知一个扇形的弧长等于其所在圆半径的2倍,则该扇形圆心角的弧度数为________,若该扇形的半径为1,则该扇形的面积为________.【来源】浙江省宁波市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】2 134．设O 为坐标原点,若直线l :102y -=与曲线τ0y =相交于A ､B 点,则扇形AOB 的面积为______.【来源】上海市普陀区2016届高三上学期12月调研（文科)数学试题【答案】3π 35．已知扇形的圆心角为12π，面积为6π，则该扇形的弧长为_______；【来源】福建省漳州市2019-2020学年学年高一上学期期末数学试题【答案】6π 36．在半径为5的圆中，5π的圆心角所对的扇形的面积为_______. 【来源】福建省福州市八县一中2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题【答案】52π37．已知集合M ={（x ，y ）|x ﹣3≤y ≤x ﹣1}，N ={P |PA PB ，A （﹣1，0），B （1，0）}，则表示M ∩N 的图形面积为__．【来源】上海市复兴高级中学2015-2016学年高二上学期期末数学试题【答案】4338．圆心角为2弧度的扇形的周长为3，则此扇形的面积为 _____ ．【来源】山东省泰安市2019届高三上学期期中考试数学（文)试题【答案】91639．已知圆心角是2弧度的扇形面积为216cm ，则扇形的周长为________【来源】上海市向明中学2018-2019学年高三上学期第一次月考数学试题【答案】16cm40．扇形的圆心角为3π，其内切圆的面积1S 与扇形的面积2S 的比值12S S =______. 【来源】上海市七宝中学2015-2016学年高一下学期期中数学试题【答案】2341．已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为__________. 【来源】江苏省苏州市2019届高三上学期期中调研考试数学试题【答案】6π42．若扇形的圆心角120α=o ，弦长12AB cm =，则弧长l =__________ cm ．【来源】黑龙江省齐齐哈尔八中2018届高三8月月考数学（文)试卷43．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的半径是______cm ，面积是______2cm .【来源】浙江省杭州市西湖高级中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题【答案】2 444．已知扇形的弧长是半径的4倍，扇形的面积为8，则该扇形的半径为_________【来源】江西省宜春市上高县第二中学2019-2020学年高一上学期第三次月考数学（理)试题【答案】2.45．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．【来源】[同步]2014年湘教版必修二 3.1 弧度制与任意角练习卷1（带解析)【答案】二三、解答题46．已知角920α=-︒.（Ⅰ）把角α写成2k πβ+（02,k Z βπ≤<∈）的形式，并确定角α所在的象限；（Ⅱ）若角γ与α的终边相同，且(4,3)γππ∈--，求角γ.【来源】安徽省合肥市巢湖市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（Ⅰ）α=8(3)29ππ-⨯+，第二象限角；（Ⅱ）289πγ=- 47．已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .（1）若60α=︒，10cm R =，求扇形的弧长l ；（2）若扇形周长为20cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【来源】山东省济南市外国语学校三箭分校2018-2019学年高一下学期期中数学试题【答案】（1）()10cm 3π（2）2α= 48．已知一扇形的圆心角为60α=o ，所在圆的半径为6cm ，求扇形的周长及该弧所在的弓形的面积.【来源】江西省南昌市新建一中2019-2020学年高一上学期期末(共建部)数学试题【答案】2π+12，6π﹣49．已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？【来源】宁夏大学附中2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题【答案】半径为1，圆心角为2，扇形的面积最大，最大值是2.50．已知扇形的圆心角为α（0α>），半径为R ．（1）若60α=o ，10cm R =，求圆心角α所对的弧长；（2）若扇形的周长是8cm ，面积是24cm ，求α和R ．【来源】安徽省阜阳市颍上二中2019-2020学年高一上学期第二次段考数学试题【答案】（1）10cm 3π（2）2α=，2cm R =。

虹口区2017-2018学年度第二学期期末质量抽测八年级(初二)数学真题卷

1.下列方程中，有实数解的方程是 ( )
(A) x 2 2 x 1;
(B) x 2 0 x2 2x
(C) x 1 x
(D) x 4 3 0
2.已知点 A（-1，m）和点 B（1，n）在函数 y 1 x k 的图像上，则下列结论中正确 3
的( )
1
-1 O 1
x
-1
（第 24 题图）
25．如图，一次函数 y 2x 4 的图像与 x 、 y 轴分别相交于点 A、B，四边形 ABCD 是
正方形．
（1）求点 A、B、D 的坐标；
y
（2）求直线 BD 的表达式． B
AO
C x
D
26．如图，已知在△ABC 中，AB = AC，点 D、E 在边 BC 上，且 AD = AE．试说明 BD = CE 的理由．
22．有两个不透明的布袋，其中一个布袋中有一个红球和两个白球，另一个布袋中有一个红球和三个白球，它们除了颜色外其他都相同．在两个布袋中分别摸出一个球，（1）用树形图或列表法展现可能出现的所有结果；（2）求摸到一个红球和一个白球的概率．
四、解答题：（本大题共 5 题，每题 8 分，满分 40 分） 23．如图，已知 C 是线段 AB 的中点，CD // BE，且 CD = BE，试说明∠D =∠E 的理由．
（A） m n ；
（B） m n ；（C） k 0 ；
（D） k 0 ．
3.甲、乙两同学同时从学校出发，步行 10 千米到某博物馆，已知甲每小时比乙多走 1
千米，结果乙比甲晚 20 分钟，设乙每小时走 x 千米，则所列方程正确的是( )
(A) 10 10 20 ； x 1 x

二项式定理(1)

x 二项式定理1.【来源】浙江省 2017 届高三“超级全能生”3 月联考数学试题在二项式(2x - 1)6的展开式中，常数项是（ C ）xA ．-240B ．240C ．-160D ．160答案及解析：2.【来源】安徽省黄山市 2019 届高三第一次质量检测（一模）数学（理）试题在(1+x )6(1－2x )展开式中，含 x 5 的项的系数是( D ) A. 36B. 24C. －36D. －243.【来源】新疆维吾尔自治区 2018 届高三第二次适应性（模拟）检测数学（理）试题若⎛ 2 1 ⎫n- x ⎪ 展开式中含 x 项的系数为-80，则 n 等于（ A ）⎝ ⎭A ．5B ．6 C.7 D ．84.【来源】浙江省金丽衢十二校联考 2017 届高考二模数学试题在（1+x 3）（1﹣x ）8 的展开式中，x 5 的系数是（ A ） A ．﹣28B ．﹣84C ．28D ．84答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】利用二项式定理的通项公式求解即可．【解答】解：由（1+x 3）展开可知含有 x 3 与（1﹣x ）8 展开的 x 2 可得 x 5 的系数；由（1+x 3）展开可知常数项与（1﹣x ）8 展开的 x 5，同样可得 x 5 的系数； ∴含 x 5 的项+=28x 5﹣56x 5=﹣28x 5；∴x 5 的系数为﹣28，故选 A【点评】本题主要考查二项式定理的应用，求展开式的系数把含有 x 5 的项找到．从而可以利用通项求解．属于中档题5.【来源】北京东城景山学校 2016-2017 学年高二下学期期中考试数学（理）试题设(3x -1)4 = a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4 ，则 a + a + a + a的值为（ A ）．12341234A ．15B ．16C ．1D ．－15答案及解析：在(3x -1)4= a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4 中，令 x = 0 ，可得 a = 1 ，1234再令 x = 1可得 a 0 + a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 16 ，所以 a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 15 ．n 7 7 7 故选 A ．6.【来源】北京西城八中少年班 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题在(x + y )n的展开式中，若第七项系数最大，则 n 的值可能等于（ D ）．A ．13，14B ．14，15C ．12，13D ．11，12，13答案及解析：(x + y )n 的展开式第七项系数为 C 6 ，且最大，可知此为展开式中间项，当展开式为奇数项时： n= 6 ， n = 12 ，2当有偶数项时 n + 1= 6 ， n = 11， 2 或 n + 1 = 7 ， n = 13 ，2故 n = 11，12 ，13 ．选 D ．7.【来源】广东省广州市海珠区 2018 届高三综合测试（一）数学（理）试题(x + y )(2x - y )6 的展开式中 x 4 y 3 的系数为（ D ）A ．－80B ．－40C. 40D ．808.【来源】广东省潮州市 2017 届高三数学二模试卷数学（理）试题在（1﹣2x ）7（1+x ）的展开式中，含 x 2 项的系数为（ B ） A ．71 B ．70 C ．21 D ．49答案及解析：【分析】先将问题转化为二项式（1﹣2x ）7 的系数问题，利用二项展开式的通项公式求出展开式的第 r+1 项，令 x 的指数分别等于 1，2 求出特定项的系数【解答】解：（1﹣2x ）7（1+x ）的展开式中 x 2 的系数等于（1﹣2x ）7 展开式的 x 的系数+（1﹣2x ）7 展开式的 x 2 的系数，（x+1）7 展开式的通项为 T r+1=（﹣2）r C r x r ，故展开式中 x 2 的系数是（﹣2）2C 2+（﹣2）•C 1=84﹣14=60，故选：B ．9.【来源】浙江省新高考研究联盟 2017 届第四次联考数学试题在二项式(x 2- 1)5 的展开式中，含 x 7的项的系数是（ C ）xA ． -10B. 10C. -5D. 510.【来源】辽宁省重点高中协作校 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题已知(1 + x )n的展开式中只有第 6 项的二项式系数最大，则展开式奇数项的二项式系数和为( D ) A ．212B ．211C.210D ．2911.【来源】上海市浦东新区 2018 届高三上学期期中考试数学试卷展开式中的常数项为（ C ）x -A.-1320B.1320C.-220D.22012.【来源】浙江省绍兴一中2017 届高三上学期期末数学试题在（x﹣y）10 的展开式中，系数最小的项是（C ）A．第4 项B．第5 项C．第6 项D．第7 项答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】由二项展开式可得出系数最小的项系数一定为负，再结合组合数的性质即可判断出系数最小的项．【解答】解：展开式共有11 项，奇数项为正，偶数项为负，且第6 项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项第 6项．故选C．13.【来源】浙江省金华十校联考2017 届高三上学期期末数学试题在（1﹣x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n中，若2a2+a n﹣5=0，则自然数n的值是（B）A．7 B．8 C．9 D．10答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】由二项展开式的通项公式T r+1=•（﹣1）r x r可得a r=（﹣1）r•，于是有2（﹣1）2+（﹣1）n﹣5=0，由此可解得自然数n 的值．【解答】解：由题意得，该二项展开式的通项公式•（﹣1）r x r，∴该项的系数，∵2a2+a n﹣5=0，∴2（﹣1）2+（﹣1）n﹣5=0，即+（﹣1）n﹣5•=0，∴n﹣5 为奇数，∴2==，∴2×=，∴（n﹣2）（n﹣3）（n﹣4）=120．∴n=8．故答案为：8．14.【来源】浙江省重点中学2019 届高三上学期期末热身联考数学试题⎛ 2 ⎫5 1⎪1展开式中，x2的系数是( B )⎝⎭A、80B、－80C、40D、－4015.【来源】山东省德州市2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题a 2 4如果x + x - 的展开式中各项系数之和为2，则展开式中x 的系数是( C ) x xA．8 B．－8 C.16 D．－1616.【来源】云南省昆明市第一中学2018 届高三第八次月考数学（理）试题x x2 ⎪ ⎛1- 1 ⎫ (1+ x )6x 3⎝ ⎭ 展开式中 x 的系数为（B ）A ．－14B ．14C. 15D ．3017.【来源】安徽省安庆一中、山西省太原五中等五省六校（K12 联盟）2018 届高三上学期期末联考数学（理）试题在二项式(x - 1)n 的展开式中恰好第 5 项的二项式系数最大，则展开式中含有 x 2项的系数是（ C ）xA ．35B ．－35C ．－56D ．56答案及解析：第五项的二项式系数最大，则，通项，令，故系数.18.【来源】辽宁省实验中学、沈阳市东北育才学校等五校 2016-2017 学年高二下学期期末联考数学（理）试题在( - 2)n 的展开式中，各项的二项式系数之和为 64，则展开式中常数项为（ A ）xA ．60B ．45C ． 30D ．1519.【来源】湖北省武汉市 2018 届高三四月调研测试数学理试题在(x + 1-1)6 的展开式中，含 x 5项的系数为（ B ）xA ．6B ．－6C ．24D ．－24答案及解析：的展开式的通项．的展开式的通项=．由 6﹣r ﹣2s=5，得 r+2s=1，∵r ，s ∈N ，∴r=1，s=0． ∴的展开式中，含 x 5 项的系数为．故选：B ．20.【来源】辽宁省抚顺市 2018 届高三 3 月高考模拟考试数学（理）试题在(2 -1)6 的展开式中，含 1项的系数为( C )xA. －60B. 160C. 60D. 6421.【来源】2018 年高考真题——数学理（全国卷Ⅲ）(x 2+ 2)5 的展开式中 x 4 的系数为( C )xA ．10B ．20C ．40D ．80答案及解析：由题可得令 ,则所以x2× 4x9 n故选 C.22.【来源】浙江省金华市十校联考 2016-2017 学年高二下学期期末数学试卷在（x 2﹣4）5 的展开式中，含 x 6 的项的系数为（ D ） A ．20 B ．40 C ．80 D ．160答案及解析：【分析】=（﹣4）r，令 10﹣2r=6，解得 r=2，由此能求出含 x 6 的项的系数．【解答】解：∵（x 2﹣4）5， ∴T r+1==（﹣4）r，令 10﹣2r=6，解得 r=2， ∴含 x 6 的项的系数为=160．故选：D ．23.【来源】浙江省诸暨市牌头中学 2018 届高三 1 月月考数学试题在⎛x 2 - ⎝2 ⎫6的展开式中，常数项为（ D ）⎪⎭ A ．-240 B ．-60 C ．60 D ．24024.【来源】浙江省湖州市 2017 届高三上学期期末数学试题在（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+（1﹣x ）7+（1﹣x ）8 的展开式中，含 x 3 的项的系数是（ D ） A ．121 B ．﹣74C ．74D ．﹣121答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】利用等比数列的前 n 项公式化简代数式；利用二项展开式的通项公式求出含 x 4 的项的系数，即是代数式的含 x 3 的项的系数．【解答】解：（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+（1﹣x ）7+（1﹣x ）8 ==，（1﹣x ）5 中 x 4 的系数，﹣（1﹣x ）9 中 x 4 的系数为﹣C 4=﹣126，﹣126+5=﹣121．故选：D25.【来源】甘肃省兰州市第一中学 2018 届高三上学期期中考试数学（理）试题在(x 2-1)(x +1)4 的展开式中，x 3 的系数是（ A ） A ．0B ．10C ．－10D ．20答案及解析：(x +1)4 的展开式的通项, 因此在(x 2-1)(x +1)4 的展开式中,x 3 的系数是26.【来源】山西重点中学协作体 2017 届高三暑期联考数学（理）试题在二项式 + 1的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互 x xx 1 ⎝ ⎭不相邻的概率为( D ) A ． 16B ． 14C. 1 3D ． 51227.【来源】湖北省孝感市八校 2017-2018 学年高二上学期期末考试数学（理）试题已知C 0- 4C 1+ 42C 2- 43C 3+ + (-1)n 4nC n= 729 ，则C 1+ C 2+ + C n的值等于（ C ）nnnnnA ．64B ．32 C.63 D ．31答案及解析：nnn因为，所因，选 C. 28.【来源】辽宁省重点高中协作校 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题若òn(2x -1)dx = 6 ，则二项式(1 - 2x )n的展开式各项系数和为( A ) A ．－1 B ．26 C ．1 D ． 2n29.【来源】浙江省金华十校 2017 届高三数学模拟试卷（4 月份）数学试题若(x －1)8=1+a 1x +a 2x 2+…+a 8x 8，则 a 5=（ B ） A ．56B ．﹣56C ．35D ．﹣35答案及解析：利用通项公式即可得出．解：通项公式 T r+1=（﹣1）8﹣r x r ，令 r=5，则（﹣1）3=﹣56．故选：B ．30.【来源】广东省茂名市五大联盟学校 2018 届高三 3 月联考数学（理）试题6⎛ 1 ⎫ x 4在( + x ) 1+ y ⎪ 的展开式中， y 2 项的系数为（ C ）A ．200B ．180 C. 150 D ．120答案及解析：展开式的通项公式，令可得：，，展开式的通项公式，令可得，据此可得：项的系数为 .本题选择 C 选项.31.【来源】吉林省长春外国语学校 2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题 (2－x )(1+2x )5 展开式中，含 x 2 项的系数为（ B ）x x 0 1 2 2017 3n nx A ． 30 B ． 70 C ．90 D ．－15032.【来源】浙江省新高考研究联盟 2017 届第三次联考数学试题若(1 + x )3 + (1 + x )4 + (1 + x )5 + + (1 + x )2017 = a + a x + a x 2 + + a x 2017 ，则 a 的值为（ D ）3 2017 32018 420174201833.【来源】广东省肇庆市 2017 届高考二模数学（理）试题若（x 6+ 1 ）n的展开式中含有常数项，则 n 的最小值等于（ C ）A ．3B ．4C ．5D ．6答案及解析：【分析】二项式的通项公式 T r+1=C ）r ，对其进行整理，令 x 的指数为 0，建立方程求出 n 的最小值．【解答】解：由题意）n 的展开式的项为）r =C n r=C r令r=0，得 r ，当 r=4 时，n 取到最小值 5故选：C ．【点评】本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条件转化成指数为 0，得到 n 的表达式，推测出它的值．34.【来源】上海市金山中学 2017-2018 学年高二下学期期中考试数学试题设(3x -1)6= a x 6+ a x 5+ + a x + a ，则| a | + | a | + | a | + + | a| 的值为…（ B ）651126(A) 26(B) 46(C) 56(D) 26+ 4635.【来源】浙江省台州市 2016-2017 学年高二下学期期末数学试题x -已知在（ 2 1 ）n的展开式中，第 6 项为常数项，则 n =（ D ）A ．9B ．8C ．7D ．6答案及解析：【考点】二项式系数的性质．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：∵第 6 项为常数项，由 =﹣ •x n ﹣6，可得 n ﹣6=0．解得 n=6．故选：D ．36.【来源】山东省潍坊寿光市 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题⎛ 1 ⎫6+ 2x ⎪ ⎝ ⎭的展开式中常数项为（ B ） A ．120B ．160C. 200D ．24037.【来源】北京西城八中少年班 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题 (2x + 3)4 = a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4(a + a + a )2 - (a + a )2若0 1 2 3 4，则 0 2 41 3 的值为（ A ）． 5 x A ． C B ． C C ． C D ． Cx x A ．1 B ．－1 C ．0 D ．2答案及解析：令 x = 1， a + a + + a = (2 + 3)4 ，1 4令 x = -1， a - a + a - a + a= (-2 + 3)4 ，1234而 (a + a + a )2 - (a + a )22413= (a 0 + a 2 + a 4 + a 1 + a 3 )(a 0 - a 1 + a 2 - a 3 + a 4 )= (2 + 选 A ．3)4 (-2 + 3)4 = (3 - 4)4 = 1． 38.【来源】云南省曲靖市第一中学 2018 届高三 4 月高考复习质量监测卷（七）数学（理）试题设 i 是虚数单位，a 是(x + i )6的展开式的各项系数和，则 a 的共轭复数 a 的值是（ B ） A ．－8iB ． 8iC ． 8D ．-8答案及解析：由题意，不妨令，则，将转化为三角函数形式，，由复数三角形式的乘方法则，，则，故正确答案为 B.39.【来源】福建省三明市 2016-2017 学年高二下学期普通高中期末数学（理）试题 a 2 52x + x - 的展开式中各项系数的和为－1，则该展开式中常数项为( A ) x xA ．－200B ．－120 C.120 D ．20040.【来源】甘肃省天水一中 2018 届高三上学期第四次阶段（期末）数学（理）试题已知（1+ax ）(1+x )5 的展开式中 x 2 的系数为 5，则 a =( D )A.-4B.-3C.-2D.-141.【来源】广东省深圳市宝安区 2018 届高三 9 月调研测数学（理）试题(1 + 1)(1 + x )5 展开式中 x 2 的系数为 ( A )xA ．20B ．15C ．6D ．142.【来源】甘肃省民乐一中、张掖二中 2019 届高三上学期第一次调研考试（12 月）数学（理）试题⎛ a ⎫ ⎛1 ⎫5x + ⎪ 2x - ⎪ ⎝ ⎭ ⎝⎭ 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为( D )A ．-40B ．-20C ．20D ．4043.【来源】浙江省名校协作体 2018 届高三上学期考试数学试题⎛ 1+ 2⎫(1- x )4 展开式中 x 2 的系数为（ C ） x ⎪ ⎝ ⎭A .16B .12C .8D .444.【来源】山西省太原市 2018 届高三第三次模拟考试数学（理）试题已知(x -1)(ax +1)6展开式中 x 2 的系数为 0，则正实数a = （ B ） 22 A ．1B ．C.53D ． 2x 4 5 5 答案及解析：的展开式的通项公式为.令得；令得.展开式为. 由题意知，解得（舍）.故选 B. 45.【来源】吉林省松原市实验高级中学、长春市第十一高中、东北师范大学附属中学 2016 届高三下学期三校联合模拟考试数学（理）试题(x +1)2 (x - 2)4的展开式中含 x 3 项的系数为( D )A ．16B ．40 C.－40 D ．846.【来源】海南省天一大联考 2018 届高三毕业班阶段性测试（三）数学（理）试题若(2x - 3)2018= a + a x + a x 2 + L + ax 2018 ，则 a + 2a + 3a + L + 2018a= （ D ）122018A ．4036B ．2018C ．-2018D ．-4036123201847.【来源】湖北省天门、仙桃、潜江 2018 届高三上学期期末联考数学（理）试题(1 + x )8 (1 + y )4 的展开式中 x 2y 2 的系数是 ( D )A ．56B ．84C ．112D ．168答案及解析：因的展开式的系数，的展开式的系数，所的系数.故选 D.48.【来源】北京西城八中 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题 ⎛ x 2 - 在二项式⎝ 1 ⎫5⎪⎭ 的展开式中，含 x 的项的系数是（ C ）． A ．－10B ．－5C ．10D ．5答案及解析：解： ⎛ x 2 - 1 ⎫5⎪ 的展开项T = C k (x 2 )k (-x -1 )5-k = (-1)5-k C k x 3k -5 ，令3k - 5 = 4 ，可得 k = 3， ⎝x ⎭ k +1 5 5∴ (-1)5-k C k = (-1)5-3 C 3= 10 ．故选 C ．49.【来源】广东省化州市 2019 届高三上学期第二次模拟考生数学（理）试题已知(x +1)(ax - 1)5的展开式中常数项为－40，则 a 的值为（ C ）xA. 2B. －2C. ±2D. 450.【来源】福建省“华安一中、长泰一中、南靖一中、平和一中”四校联考 2017-2018 学年高二下学期第二次联考试题（5 月）数学（理）试题若(1 - 2 x )n(n ∈ N *) 的展开式中 x 4的系数为 80，则(1 - 2 x )n的展开式中各项系数的绝对值之和为( C ) A ．32B ．81C ．243D ．256。

人教版数学高三期末测试精选(含答案)8

【答案】C
x 0,
9．设点
P(
x,
y)
在不等式组
2x
y
0,
表示的平面区域上，则 z
x y 3 0
(x 1)2 y2 的
最小值为（）
A．1
B． 5 5
C． 2
D． 2 5 5
【来源】辽宁省沈阳市东北育才学校 2019 届高三第五次模拟数学（文)试题
【答案】D
10．已知各项均为正数的等比数列an 单调递增，且 a1 a3 36，a1 a2 a3 26 ，
人教版数学高三期末测试精选（含答案)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．在 ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c .若 ABC 的面积为
b2 c2 a2 ，则角 A =（
A． ab ac
B． c b a 0
C． cb2 ab2
D． ac a c 0
【来源】2019 年上海市格致中学高三上学期第一次检测数学试题
【答案】C
6．已知 a，b ∈ R，则 a > |b|是 a|a| > b|b|的（）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
则 Ð B =___________．【来源】重庆市綦江实验中学校 2017-2018 学年高一下学期半期考试数学（理)试题.
【答案】150
23．已知等差数列an 的公差为 2，若 a1，a3 ，a4 成等比数列，则 a2 ________．
【来源】安徽省阜阳三中 2018-2019 学年高二上学期第一次调研考试数学（文)试题

246-247 平面向量的线性运算(难点)(作业)-2021-2022学年九年级数学上(沪教版原卷版

24.6-24.7平面向量的线性运算(难点)一、单选题1．（2021·上海九年级专题练习）已知非零向量a ，b ，c ，下列条件中，不能．．判定a //b 的是（） A ．a b =； B ．a b =-；C ．a //c ，b //c ；D ．2a c =，4a c =．2．（2021·上海九年级专题练习）下列命题中，正确的是（）A ．如果e 为单位向量，那么a a e =B ．如果a 、b 都是单位向量，那么a b =C ．如果a b =-，那么//a bD ．如果a b =，那么a b = 3．（2021·上海九年级专题练习）以下说法错误的是（）A ．如果0ka =，那么0a =；B ．如果2a b =-，那么||2||a b =；C ．如果23a b =（b 为非零向量），那么//a b ；D ．如果0a 不是与非零向量a 同方向的单位向量，那么0||a a a =．4．（2020·上海交大附中九年级期中）下列关于向量的说法中，不正确的个数是（）①()()3330a b a b ---=； ②若3a b =，则3a b =-；③若m 、n 是实数，则()()m na mn a =；④如果非零向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一的实数m ，使得b ma =；⑤如果非零向量a mb =，则a 与b 所在的直线平行；⑥如果0a →与0b →分别是a 与b 的单位向量，则00//a b →→ A ．2 B ．3 C ．4 D ．55．（2021·上海九年级专题练习）已知非零向量a 与b ，那么下列说法正确的是（）A ．如果a b =，那么a b =B ．如果a b =-，那么//a b ；C ．如果//a b ，那么||||a b =；D ．如果a b =-，那么a b =．6．（2021·上海九年级专题练习）下列命题正确的是（）A ．如果|a |＝|b |，那么a ＝bB ．如果a 、b 都是单位向量，那么a ＝bC ．如果a ＝k b （k ≠0），那么a ∥bD ．如果m ＝0或a ＝0，那么m a ＝07．（2021·上海浦东新区·九年级一模）已知一个单位向量e ，设a 、b 是非零向量，那么下列等式中正确的是（）．A ．1a e a =；B ．e a a =；C ．b e b =；D ．11a b a b =．8．（2019·上海）在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =2DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，CD ⃑⃑⃑⃑⃑ =13CA ⃑⃑⃑⃑⃑ +λCB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则λ=( ) A ．23 B ．13 C ．−13 D ．−239．（2020·上海九年级专题练习）设,m n 为实数，那么下列结论中错误的是（）A ．m na mn a （）＝（）B ．m n a ma na ++（）＝ C ．m a b ma mb +（+）＝ D ．若0ma =，那么0a =10．（2017·上海普陀区·九年级二模）如图，在△ABC 中，中线AD 、CE 交于点O ，设ABa,BC k ，那么向量AO 用向量a b ⋅表示为（）A ．12a bB ．2133a bC ．2233a bD ．1124a b 11．（2020·上海九年级专题练习）下列说法不正确的是（） A ．设e 为单位向量，那么1e =B ．已知a 、b 、c 都是非零向量，如果2a c =，4b c =，那么a bC ．四边形ABCD 中，如果满足AB CD ∥，||||AD BC =，那么这个四边形一定是平行四边形D ．平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解12．（2021·全国九年级专题练习）规定：在平面直角坐标系中，如果点P 的坐标为(,)m n ，向量OP 可以用点P 的坐标表示为：(,)OP m n =.已知：11(,)OA x y =，22(,)OB x y =，如果12120x x y y ⋅+⋅=，那么OA 与OB 互相垂直.下列四组向量，互相垂直的是（） A ．(3,2)OC =，(2,3)OD =- B ．(21,1)OE =，(21,1)OF = C ．0(3,2018)OG =，1(,1)3OH =-- D ．31(8,)2OM =-，2((2),4)ON =二、填空题13．（2018·上海九年级期末）计算：13222a b a b ⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_________． 14．（2017·上海第二工业大学附属龚路中学九年级期中）a 的长度是单位向量e 长度的2倍，方向相反，用e 表示a ，a =_________．15．（2019·上海市民办新北郊初级中学九年级期中）已知2,4a b →→==，且b →和a →反向，用向量a →表示向量b →=__________． 16．（2021·上海市实验学校九年级二模）如图，已知在平行四边形ABCD 中，E 是边AB 的中点，DE 与对角线AC 相交于点F ，如果AB a AD b ==，，那么_____________DF =（用含a b 、的式子表示）．17．（2021·上海浦东新区·九年级一模）如图，已知平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，设OA a =，OB b =，那么向量AB 关于a 、b 的分解式为______． 18．（2021·上海九年级专题练习）如图，梯形ABCD 中，//AD BC ，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，且//EF BC ，53AE BC BE AD ==，若AB a =，DC b =，则向量EF 可用a 、b 表示为______________．19．（2021·上海九年级专题练习）如图，已知△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，DC 、BE 交于点O ，AB ＝3AD ，设BD ＝a ，DE ＝b ，那么向量DO 用向量a 、b 表示是__．20．（2021·上海闵行区·九年级二模）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，点D 为AB 中点，将ACD △沿直线CD 翻折后，点A 落在点E 处，设BC a =，DB b =，那么向量DE 用向量a ，b 表示为________．三、解答题21．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，在ABCD 中，AE 平分BAD ∠，AE 与BD 交于点F ， 1.2AB =，1.8BC =．（1）求:BF DF 的值；（2）设AB a =，BC =b ，求向量DF （用向量a 、b 表示）．22．（2021·上海九年级专题练习）如图，已知点B 、E 、C 、F 在同一条直线上，//AB DE ，//AC DF ，AC 与DE 相交于点G ，12AG DG GC GE ==，2BE =．（1）求BF 的长；（2）设EG a =，BE b =，那么BF = ，DF = （用向量a 、b 表示）．23．（2021·上海九年级专题练习）如图，已知在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，//DE BC ，点M 为边BC 上一点，13BM BC =，联结AM 交DE 于点N ．（1）求DN NE的值；（2）设AB a =，AM b =，如果23AD DB =，请用向量a 、b 表示向量NE ． 24．（2021·上海黄浦区·九年级一模）如图，一个33⨯的网格．其中点A 、B 、C 、D 、M 、N 、P 、Q 均为网格点．（1）在点M 、N 、P 、Q 中，哪个点和点A 、B 所构成的三角形与ABC 相似？请说明理由；（2）设AB a =a ，BC b =，写出向量AD 关于a 、b 的分解式．25．（2021·上海崇明区·九年级一模）如图，已知ABC 中，//DE BC ，2AD =，4DB =，8AC =．（1）求线段AE 的长；（2）设BA a =，BC b =．①请直接写出向量AE 关于a 、b 的分解式，AE =________；②连接BE ，在图中作出向量BE 分别在a 、b 方向上的分向量．（可以不写作法，但必须写出结论）26．（2021·上海九年级专题练习）下面是一位同学的一道作图题：已知线段a 、b 、c （如图），求作线段x ，使::a b c x =他的作法如下：（1）以点O 为端点画射线OM ，ON ．（2）在OM 上依次截取OA a =，AB b =．（3）在ON 上截取OC c =．（4）联结AC ，过点B 作//BD AC ，交ON 于点D ．所以：线段________就是所求的线段x ．①试将结论补完整②这位同学作图的依据是________③如果4OA =，5AB =，AC π=，试用向量π表示向量DB ．27．（2020·上海九年级专题练习）如图，已知AD 是△ABC 的中线，G 是重心．（1）设AB ＝a ，BC ＝b ，用向量a 、b 表示BG ；（2）如果AB ＝3，AC ＝2，∠GAC ＝∠GCA ，求BG 的长．28．（2021·上海虹口区·九年级一模）如图，在ABC 中，点G 是ABC 的重心，联结AG ，联结BG 并延长交边AC 于点D ，过点G 作//GE BC 交边AC 于点E ．（1）如果AB a =，AC b =，用a 、b 表示向量BG ；（2）当AG BD ⊥，6BG =，45GAD ∠=︒时，求AE 的长．29．（2019·湖北九年级一模）定义：在平面内，我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量。

2018-2019学年上海市嘉定区桃李园实验学校初三上学期期中考试数学试卷

桃李园实验学校2018学年第一学期期中质量检测九年级数学试卷（满分150分，考试时间100分钟）一、选择题（本大题共6题，每题4分满分24分） 1.已知32=b a ，那么b a a+的值为（） A . 31 B .52 C . 53 D .43【答案】B2.如图，在△ABC 中，B ADE ∠=∠，3:2:=BC DE ，则下列结论正确的是（） A .3:2:=AB AD B .5:2:=AC AE C .3:2:=DB AD D .2:3:=AE CE 【答案】A3.如图，平行四边形ABCD 对角线AC 与BD 相交于点O ，如果AB m =，AD n =那么下4.列选项中，与向量1()2n m +相等的向量是 ( )A . OAB . OBC .OCD .OD【答案】C5.已知非零向量a 、b 和c ，下列条件中，不能判断a b ∥的是A . 2a b =-B . ,3a c b c ==C . 2,a b c a b c +=-=-D .2a b=【答案】D6.已知△ABC ∽△DEF ,点A 、B 、C 对应点分别是D 、E 、F ，那么等于4:9:=DE AB ，那么DEF ABC S S △△:等于（）A . 3:2B . 9:4C .16:81D .81:16【答案】D二、填空题（本大题共13题，每题4分满分48分） 7.计算523()3a ab --= . 【答案】5b a -8.已知，甲乙两地之间的距离为500千米，画在一张地图上的距离为5厘米，那么在这张地图上量得距离为1.5厘米的A B 、两地的实际距离为千米. 【答案】150千米9.已知线段3a cm =9b cm =、，那么线段b a 、的比例中项等于 cm . 【答案】33ED CBA10.已知线段MN 的长为2厘米，点P 事线段MN 的黄金分割点，那么较长的线段MP 的长是厘米.111.如图，已知ABC ∆中，点D E 、分别在边AB AC 、上，DE BC ∥，若=4AD ,2BD =,3DE =,那么=BC . 【答案】4.512.如图，123l l l ∥∥，如果6DE =，2EF =， 1.5BC =，那么AC = . 【答案】613.如图，正方形ABCD 被分割9个全等的小正方形，P Q 、是其中两个小正方形的顶点，设,AB a AD b ==，则向量PQ = .(用向量a b 、表示)【答案】2133b a - 14.如图，ABC ∆中，90BAC ∠=，点G 是ABC ∆的重心，如果=4AG ，那么BC 的长为 .l 3l 2l 1CFBEDA BPCQDA【答案】1215.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在BC 边上，且:2:3CE BC =,AC 与DE 相交于点F ，若=9AFD S ∆，则=EFC S ∆ .【答案】416.如图：正方形DEFG 内接t R ABC ，=90C ∠，=4AE ，=9BF ，则=EF .【答案】617.如图，在ABC ∆中，AD BE 、分别是边BC AC 、上的中线，AD BE 、相交于点G .设=AB a ，AD b =，那么BE = . (用向量a b 、表示)【答案】12b a - 18.如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE BC ⊥,垂足为E ，联结DE ，F 为线段DE 上一点，且AFE B ∠=∠，若5AB =，8AD =，4AE =，则AF 的长为 .GCBA FEDCBAGFE DC BAGEDCBA【答案】25二、填空题（本大题共13题，每题4分满分48分） 19.（本题满分10分）已知：234a b c ==，且26a b c ++=.求a 、b 、c 的值. 【答案】1286a b c === 【解答】234234*********a b c a b c a b c ==∴==∴== 设6,4,3a k b k c k ===64326212,8,6k k k k a b c ∴++=∴=∴===20.已知：如图，ABCD 中，E 是AD 中点，BE 交AC 于点F ，设,BA a BC b ==. （1）用,a b 的线性组合表示FA ；（2）先化简，再直接在图中求作该向量：1151()()()2424a b a b a b -+-+++.a b +，BD 即【答案】（1）1133FA a b =- （2）CDFEBA为所求向量【解答】（1）,BA a BC bCA BA BC a b==∴=-=-ABCD 中，E 是AD 中点 11,2212111333AE AD BC AD BC AEF CBFAF AE FC BC FA CA a b∴==∴∴==∴==- （3）11511151()()()24242424a b a b a b a b a b a b a b -+-+++=-+--++=+ 如图，,CD BA a BC b === BD BC CD a b ∴=+=+BD ∴即为所求。

2018-2019学年上海市宝山区宝山实验学校九年级第一学期期中考试试卷(含答案)[精品]

2018-2019学年上海市宝山区宝山实验学校九年级第一学期期中考试试卷一、选择题1. 计算45a a -+的结果是（）(A)a(B)a(C)a -(D)a -【答案】：B【解析】：5a-4a=a , 所以选B2. 数b 是数a 和数c 的比例中项，若2,8,a c ==则数b 的值为（）(A)5(B)5±(C)4(D)4±【答案】：D【解析】：b 是a 和c 的比例中项，b ac ∴=，即28b =⨯，所以4b =±.3. 如果30A ∠=，则sin A 的值为（） (A)12(B)(C)2(D)【答案】：A【解析】 130,sin 302A ∠=︒∴︒=4. 如图，已知ABC DEF ∆∆，:1:2AB DE =，则下列等式一定成立的是（）(A)12BC DF = (B)1=2A D ∠∠的度数的度数 (C)1=2ABC DEF ∆∆的面积的面积 (D)1=2ABC DEF ∆∆的周长的周长【答案】：D 【解析】：1,2AB ABC DEF DE ∆∆=,1=2ABC DEF ∆∴∆的周长的周长,故选D5. 如果ABC ∆中，AB AC =,BC AB =，那么A ∠的度数是（） (A )30︒ (B)36︒ (C) 45︒ (D)60︒【答案】：B【解析】：在AB 上截取AD ,使12AD BC AB ==,12BC BD BA BC ∴==,36A ∴∠=︒ 6. 如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，60ABC ∠=，4BC cm =，D 为BC 的中点，若动点E 从A 点出发，沿着A B →的方向运动，连接DE ，当BDE ∆是直角三角形时，AE 的值为( )(A )4 (B)7 (C)47或 (D)41或【答案】：C【解析】： 90,60,4,ACB ABC BC cm ∠=︒∠=︒=30,AB 8cm,A ∴∠=︒∴=1190,8422BDE D ABC AE AB ∠=︒∴∆∴==⨯=为BC 中点，DE 是中位线， 1119041,817,222BCE BD cm AE AB BE cm ∠=︒=⨯⨯=∴=-=-=时，BE= 47AE ∴=或二、填空题三、填空题7. 如果32a b =，那么a b a b-=+ 【答案】：15【解析】：33,,22a a b b =∴=3112235522b b b a b a b b b b --===++，所以是15.8. 如果ABC ∆中90C ∠=，那么BC AB =（填B ∠的三角比）【答案】：cosB【解析】：直角三角形中，余弦等于邻边比斜边9. 已知α为锐角，且sin cos αα=，则α=【答案】：45o【解析】：45︒角的正弦值和余弦值相等，所以45α=︒10.如图G 为ABC ∆的重心，//GN AC 交BC 于N ，那么:MN BC =【答案】：1:6 【解析】11,,MN :BC 1:632GM MN MC AG MC BC ====11.如图在Rt ABC ∆中，90A ∠=，斜边上的高AD 交BC 于D ，若9BD =，4CD =，则AD 的长度等于．【答案】：6【解析】2,6AD BD BC AD =⋅∴=12.两个相似三角形的的相似比为2:3，且已知这两个三角形的某对对应边上的高相差为4，则这两条高中较短的长度为【答案】：8【解析】设对应边上的较长高为x ，则较短高为4x -，根据相似的规则，则有()2:34:x x =-，12,x ∴= 较短高为1248-=13.当两个相似三角形的相似比为时，这两个相似三角形的面积比为1:2【答案】：【解析】相似三角形的面积比等于相似比的平方，两个相似三角形的面积比是1:2时，两个相似三角形的相似比为14.如果向量a 、b 、x 之间满足关系式()30a b x --=，那么x = （用向量a 、b 表示）【答案】：3b a -【解析】()330,3a b x a b x x b a --=-+=∴=-15.在ABC ∆中，D 为AC 边上一点，ADB ABC ∠=∠，如果9AD =，7DC =，那么AB =【答案】：12 【解析】根据相似三角形的判断和性质，找出相似三角形的比例AD AB AB AC =16.我们将顶角为A ，腰为a 的等腰三角形记作“等腰三角形[],a A ”()0,0180a A ≥<<如边长为1的等边三角形记作“等腰三角形1,60⎡⎤⎣⎦”，那么“等腰三角形1,90⎡⎤⎣⎦”的周长为 .【答案】：2【解析】根据直角三角形性质和勾股定理，只需求一个腰长为1的等腰直角三角形的周长17.在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A ，B ，C ，D 都在格点处，AB 与CD 相较于O ，则cot BOD ∠的值等于_____【答案】：13【解析】平移CD C D ''到交AB O '与，则,c o t c o t B OD B O D B O D B OD ''''∠=∠∠=∠,设每个小正方形的边长a OB '==，则，,3,O D BD a '''==作BE A D ''⊥与点E ,则2BE a =，所以2O E '==，所以1cot cot cot 3O E BOD BO D BO E BE '''''∠=∠=∠==18.如图，将矩形ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转一定角度后，BC 的对应边'B C 交CD 边于点G 。

人教版高二第二章平面向量单元测试精选(含答案)1

人教版高二第二章平面向量单元测试精选（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知平面上有四点O ，A ，B ，C ，向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r 满足：0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r1OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，则△ABC 的周长是( )A ．B ．C ．3D ．6【来源】福建省晋江市季延中学2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题【答案】A2．已知向量a,b r r 满足||1=r a ，1⋅=-r ra b ，则(2)⋅-=r r r a a bA ．4B ．3C ．2D ．0【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II) 【答案】B3．已知两个单位向量a r 和b r 夹角为60︒，则向量a b -r r在向量a r 方向上的投影为（）A ．1-B ．1C ．12-D ．12【来源】安徽省江淮六校2019届高三上学期开学联考理科数学试题【答案】D4．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u rA ．3144AB AC -u u ur u u u rB ．1344AB AC -u u ur u u u rC ．3144AB AC +u u ur u u u rD ．1344AB AC +u u ur u u u r【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷) 【答案】A5．在ABC ∆中，已知向量AB u u u r 与AC u u u r 满足()||||AB AC BC AB AC +⊥u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r 且•12||||AB AC AB AC =u u u r u u u ru u u r u u u r ，则ABC ∆是( ) A ．三边均不相同的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形【来源】第六章平面向量及其应用6.4平面向量的应用【答案】D6．已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=︒，则BD CD =u u u r u u u rg A ．232a -B ．234a -C ．234a D ．232a 【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷带解析) 【答案】D7．若1,,(23)(4)a b a b a b ka b ==⊥+⊥-v v v vv v v v ，则实数k 的值为（） A ．-6B ．6C ．-3D ．3【来源】内蒙古平煤高级中学2017-2018学年高一下学期第二章单元检测数学试题【答案】B8．已知点()()()()1,1,1,2,2,1,3,4A B C D ---，则向量AB u u u r 在CD uuur 方向上的投影为（）A B C ．D ．【来源】河北省武邑中学2018届高三上学期期末考试数学（理)试题【答案】A9．已知向量(2,0)OB u u u r =，向量(2,2)OC u u u r =，向量)CA u u u ra a =，则向量OA u u u r 与向量OB uuu r的夹角的取值范围是（）． A ．π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π5π,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．5ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．π5π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦【来源】天津市耀华中学2018届高三12月月考数学（文)试【答案】D10．如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC AM BD λμ=+u u u r u u u u r u u u r，则λμ+=（）A ．43B ．53C ．158D ．2【来源】2017届河北衡水中学高三上学期第二次调研数学（理)试卷（带解析) 【答案】B11．已知O 是ABC V 所在平面内的一点，A B C ∠∠∠，，所对的边分别为a b c ，，.若0aOA bOB cOC ++=u u u r u u u r u u u r，则O 是ABC V 的（）A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心【来源】第二章全章训练【答案】A12．设正方形ABCD 的边长为1，则AB BC AC -+u u u r u u u r u u u r等于（）A ．0BC ．2D ．【来源】第二章全章训练【答案】C13．如图，在ABC V 中，BA BC =u u u r u u u r ，延长CB 到D ，使AC AD ⊥u u u r u u u r.若AD AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ-的值是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【来源】第二章全章训练【答案】C14．设单位向量1e u r 、2e u u r 的夹角为23π，122a e e =+u r r u u r ，1223b e e =-r u r u r ，则b r 在a r 方向上的投影为（）A B C D 【来源】智能测评与辅导[文]-平面向量及复数【答案】A15．若O 为平面内任意一点，且()()20OB OC OA AB AC +-⋅-=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则△ABC 是( )A ．直角三角形或等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰三角形但不一定是直角三角形D ．直角三角形但不一定是等腰三角形【来源】2018年高考数学理科训练试题：专题(20) 平面向量的数量积及其应用【答案】C16．给出下面四个命题：①0AB BA u u u v u u u v u v+=； ②C AC AB B u u u v u u u v u u u v +=；③AC BC AB =u u u v u u u v u u u v －；④00AB u u u v⋅=.其中正确的个数为 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【来源】20102011学年山东省威海市高一下学期期末模块考试数学【答案】B17．在ABC ∆中，若222sin sin sin A B C >+，则ABC ∆的形状是（） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定【来源】2016-2017陕西西藏民族学院附中高二文12月考数学试卷（带解析) 【答案】C18．已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r，那么（） A ．AO OD =u u u r u u u rB ．2AO OD =u u u r u u u rC ．3AO OD =u u u r u u u rD ．2AO OD =u u u r u u u r【来源】2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学卷（北京) 【答案】A19．在ABC ∆中，设222AC AB AM BC -=⋅u u u r u u u r u u u u r u u u r，则动点M 的轨迹必通过ABC ∆的（） A ．垂心B ．内心C ．重心D ．外心【来源】黑龙江省哈尔滨市哈尔滨师范大学附属中学2018-2019学年高一下学期第一次月考数学试题【答案】D20．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a ba b=成立的充分条件是( )A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a|＝|b|【来源】福建省2018届数学基地校高三毕业班总复习平面向量、复数形成性测试卷（文科)数学试卷【答案】C21．已知四点()4,2A -，()6,4B -，()12,6C ，()2,12D ，给出下面四个结论：①AB CD ∥；②AB CD ⊥；③AC BD P ；④AC BD ⊥．其中正确结论的序号为（） A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【来源】高二人教版必修2 第二章 1.3 两条直线的位置关系【答案】B22．已知△ABC 是正三角形,若a=AC uuu r -λAB u u u r 与向量AC uuu r的夹角大于90°,则实数λ的取值范围是( ) A ．λ<12B ．λ<2C ．λ>12D ．λ>2【来源】2018-2019学年高中数学人教A 版必修四第二章平面向量单元测试【答案】D23．如图，过点0(1)M ，的直线与函数()sin π02y x x =≤≤的图象交于A ，B 两点，则()OM OA OB ⋅+u u u u r u u u r u u u r等于（）A ．1B ．2C ．3D ．4【来源】2014-2015学年福建省南安第一中学高一下学期期中考试数学试卷（带解析) 【答案】B24．设a,b 为非零向量,|b|=2|a|,两组向量x 1,x 2,x 3,x 4和y 1,y 2,y 3,y 4均由2个a 和2个b 排列而成.若x 1·y 1+x 2·y 2+x 3·y 3+x 4·y 4所有可能取值中的最小值为4|a|2,则a 与b 的夹角为( ) A ．2π3B ．π3C ．π6D ．0【来源】2018-2019学年高中数学人教A 版必修四第二章平面向量单元测试【答案】B25．如图，在直角梯形 ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD=DC=2AB ，E 为AD 的中点，若CA CE DB λμ=+u u u v u u u v u u u v，则λ+μ的值为（）A ．65B ．85C ．2D ．83【来源】湖南省澧县一中2018届高三一轮复习理科数学《平面向量》单元检测试题【答案】B26．已知点(4,3)A 和点(1,2)B ，点O 为坐标原点，则()OA tOB t R +∈u u u v u u u v的最小值为（）A ．B ．5C ．3D 【来源】四川省2017-2018年度高三“联测促改”活动理科数学试题【答案】D二、填空题27．已知向量AB u u u r与AC u u u r 的夹角为120︒，且32AB AC ==u u u r u u u r ，，若AP AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r ，且AP BC ⊥u u u r u u u r则实数λ的值为__________．【来源】2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷带解析) 【答案】71228．（理）在直角坐标系x 、y 中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)，若点C 在∠AOB 的平分线上，且|OC u u u r |＝2，求OC u u u r的坐标为_____________________．【来源】内蒙古平煤高级中学2017-2018学年高一下学期第二章单元检测数学试题【答案】(55-29．已知向量=a b ，则a 与b 夹角的大小为_________. 【来源】北京四中2018-2019学年第一学期高三期中考试数学（文科)试卷【答案】30.o30．ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量a b r r ，满足22AB a AC a b ==+u u u r r u u u r r r，，则下列结论中正确的是____.（写出所有正确结论的序号）①a r 为单位向量；②b r 为单位向量；③a b ⊥r r；④b BC r u u u r ∥；⑤()4a b BC +⊥r r u u u r .【来源】第二章全章训练【答案】①④⑤31．正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，若3,1AB BD ==，则AB BD ⋅=u u u r u u u r____________．【来源】上海市华师附天山中学2018-2019学年高二上学期学期向量单元测验卷【答案】32-32．已知()()124,7,1,0P P --，点P 在线段12PP 的延长线上，且123PP PP =u u u r u u u r ，则点P 坐标为____________．【来源】上海市华师附天山中学2018-2019学年高二上学期学期向量单元测验卷【答案】17,22⎛⎫- ⎪⎝⎭33．在ABC V 中，()2,4,8AB AC AB AC AB ==+⋅=u u u r u u u r u u u r，则ABC V 面积等于____________．【来源】上海市华师附天山中学2018-2019学年高二上学期学期向量单元测验卷【答案】34．设F 为抛物线x 2=8y 的焦点，点A ，B ，C 在此抛物线上，若FA FB FC 0++=u u u r u u u r u u u r，则FA FB FC ++u u u r u u u r u u u r=______．【来源】2012届河南省郑州盛同学校高三上学期第一次月考文科数学【答案】635．如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB=6，BC=8，△ACD 是等边三角形，则AC BD ⋅u u u v u u u v的值为_______________．【来源】湖南省澧县一中2018届高三一轮复习理科数学《平面向量》单元检测试题【答案】14.36．在矩形ABCD 中,AB =2，BC =1，E 为BC 的中点，若F 为该矩形内（含边界）任意一点，则AE ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AF ⃑⃑⃑⃑⃑ 的最大值为__________．【来源】2012届安徽省舒城中学高三第一学期期中考试理科数学【答案】9237．在△ABC 中，CA=2CB=2，1CA CB u u u v u u u v⋅=-，O 是△ABC 的外心，若CO uuu r =x CA u u u r +yu u rCB ，则x+y=_______________________．【来源】湖南省澧县一中2018届高三一轮复习理科数学《平面向量》单元检测试题【答案】136.38．已知向量若向量a,b 的夹角为π3,则实数m 的值为_____. 【来源】2018-2019学年高中数学人教A 版必修四第二章平面向量单元测试【答案】39．在四边形ABCD 中,AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =DC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,1),且BA ⃑⃑⃑⃑⃑ |BA ⃑⃑⃑⃑⃑ |+BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |=√3BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |BD⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |,则四边形ABCD 的面积为．【来源】2015高考数学（理)一轮配套特训：4-3平面向量的数量积及应用（带解析) 【答案】√3三、解答题40．在平面直角坐标系xoy 中，点(1,2),(2,3),(2,1)A B C ----。

上海市实验学校2018学年初中综合评价方案暨2019届中三验收方案【模板】

**市实验学校2018学年初中综合评价方案暨2019届中三验收方案一、评价的目的与意义1.推进我校教育实验改革的进程，与上海教育综合改革接轨，尊重学生差异，激发学习兴趣。

2．对学生在初中段的发展作全面的评估：智力发展水平、知识能力、道德品行、艺体素质等。

3．对教师教学素质质量作全面评估：教学目标的完成、教学内容的把握、教学计划的实施等。

4．向高中段输送符合重点学校标准的优秀学生。

二、领导小组成员组长：徐红副组长：马季荣、瞿祖芳组员：陈丽萍、张瑶、王婷三、评价项目1．核心课程：语文、数学、英语、物理、化学、历史、政治等2. 学养课程：音乐、美术、体育TFT等3．德育积分：行规、社团、社会实践等4．探究性课程：小论文5. 语言能力：英语口语四、过关型验收标准1.核心课程：必须合格。

其中，政治和理化实验参加**市统一学业考试。

(说明,这两个其实每年都参加的,因为全市统一在五月中下旬,那个时候已经分层,所以就只有C班参加了)2.学养课程：必须合格。

此外，钢琴人人要获得校内合格证书（2017届除外），滑冰人人获得基础1级校内合格证书，游泳人人获得25米校内合格证书。

3.德育积分：必须合格。

4.小论文：必须合格。

5. 英语口语：必须合格，分为ABCD四个等级，C级以上为合格。

五、分层选拔验收标准（一）核心课程1.**市初中毕业生“学业水平考试”：语文、数学、外语满分各150分；物理、化学合卷150分；体育30分。

2.我校综合学业测试（简称370考试）：满分370分，其中数学120分，物理50分、化学40分、语文、英语各 80分。

（二）德育积分（另案）：满分30分。

（三）加分项目1.初中三年内获得**市优秀少先队员/队长、优秀团员/团干部加10分；区优秀少先队员/队长、优秀团员/团干部加5分。

2.中三当年主要学科竞赛,以下A类获市一等奖及以上加15分、二等奖加7分、三等奖加5分，区一等奖加5分。

B类获市一等奖及以上加10分、二等奖加5分、三等奖加3分，区一等奖加3 分。

数学九年级上册《一元二次方程》单元检测(附答案)

人教版数学九年级上学期《一元二次方程》单元测试考试时间：100分钟；总分：120分一、单选题（每小题3分，共30分)1．（2019·临邑县实验中学初三期中）方程()223x x =-化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（）A ．1、2、-3B ．1、2、-6C ．1、-2、6D ．1、2、62．（2019·南山第二外国语学校集团海德学校初三期中）若关于 x 的一元二次方程中 20ax bx c ++= 有一个根是-1，则下列结论正确的是（）A ．1a b c ++=B ．0a b c -+=C ．0a b c ++=D ．1a b c -+=-3．（2019·厦门市第五中学初三期中）方程：x 2﹣25=0的解是（）A ．x=5B ．x=﹣5C ．x 1=﹣5，x 2=5D ．x=±254．（2019·湖北初三期中）方程（m ﹣2）x |m |+3mx +1＝0是关于x 的一元二次方程，则（）A.m ＝±2B.m ＝2C.m ＝﹣2D.m ≠±2 5．（2017全国初三课时练习）方程 229(1)4(1)0x x +--= 正确解法是（）A ．直接开方得 3(1)2(1)x x +=-B ．化为一般形式 21350x +=C ．分解因式得 [][]3(1)2(1)3(1)2(1)0x x x x ++-+--=D ．直接得 x+1=0或 x-1=06．（2019·山东初三期中）已知关于的一元二次方程21(2)02m x x -++=有两个不等的实数根，则实数m 的取值范围为（）A.52m ＜B.52m ＞C.52m ＜且2m ≠D.52m ＞且2m ≠ 7．（2019·广东初三期中）已知α、β满足α＋β＝5，αβ＝6，则以α、β为根的一元二次方程（） A ．x 2＋5x ＋6＝0 B ．x 2－5x ＋6＝0C ．x 2－5x －6＝0D ．x 2＋5x －6＝08．（2019·江苏东绛实验学校初三期中）过元旦了，全班同学每人互发一条祝福短信，共发了380条，设全班有x 名同学，列方程为（） A.()113802x x -= B.x （x ﹣1）=380C.2x （x ﹣1）=380D.x （x +1）=380 9．（2019·湖南初三期中）如图，在宽度为20 m ，长为32 m 的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540 m 2 ，求道路的宽．如果设小路宽为x m ，根据题意，所列方程正确的是（）A.（20+x ）（32+x ）=540B.（20﹣x ）（32﹣x ）=100C.（20﹣x ）（32﹣x ）=540D.（20-2x ）（32﹣2x ）=54010．（2019·黑龙江省哈尔滨市第一五六中学初三期中）某农机厂一月份生产零件50万个，第一季度共生产零件182万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是（）A.50（1+x ）²=182B.50+50（1+x ）+50（1+x ）²=182C.50（1+2x ）=182D.50+50（1+x ）+50（1+2x ）²=182二、填空题（每小题4分，共24分)11．（2018全国初三期末）把方程3x （x ﹣2）=4（x+1）化为一元二次方程的一般形式是_______； 12．（2019·江苏初三期中）已知(m −3)x 2 −3x + 1 = 0是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是______． 13．（2019·湖北初三期中）关于x 的一元二次方程x 2+2x +k ＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是______．14．（2019·江西省宜春实验中学初三期中）已知a 、b 为方程x 2+4x+2=0的两实根，则a 3+14b+50=_______． 15．（2019·上海市市八初级中学初二月考）已知方程220x kx +-=的一个根是1，则另一个根是_________. 16．（2019·江苏初三期中）方程（x -1）（x +2）=0的两根分别为________．三、解答题一（每小题6分，共18分)17．（2019·青浦区华新中学初二月考）解方程：3x 2﹣6x+1=0(用配方法)18．（2019·河南省实验中学初三月考）已知关于x 的一元二次方程22(1)(2)0x m x m m ---+=.（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若2x =-是此方程的一个根，求方程的另一个根.19．已知关于x 的方程2(1)2(1)0k x k x k +--+=有两个实数根1x ，2x .（1）求k 的取值范围；（2）若12122x x x x +=+，求k 的值.四、解答题二（每小题7分，共21分)20．（2019·湖南初三月考）先化简，再求值：32111m m m m +⎛⎫--÷ ⎪++⎝⎭，其中m 满足方程260m m --=． 21．（2019·上海初二期中）解方程：（1）（x-1）（x+3）=5（2）x 2+x-3=0（公式法）22．（2019·农安县前岗乡初级中学初三月考）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件．(1)若每件衬衫降价4元，商场每天可盈利多少元?(2)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元?五、解答题三（每小题9分，共27分)23．（2019·河南初三月考）已知：如图所示．在△ABC 中，∠B =90°，AB =5cm ，BC =7cm ．点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1c m/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2c m/s 的速度移动，当其中一点达到终点后，另外一点也随之停止运动．（1）如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，那么几秒后，△PBQ 的面积等于4cm 2?（2）如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，那么几秒后，PQ 的长度等于5cm ?（3）在（1）中，△PQB 的面积能否等于7cm 2?说明理由．24．（2019·上海民办浦东交中初级中学初二月考）阅读材料：用配方法可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为3a2≥0，所以3a2+1就有最小值1，即3a2+1≥1，只有当a=0时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为-3a2≤0，所以-3a2+1有最大值1，即-3a2+1≤1，只有在a=0时，才能得到这个式子的最大值1．（1）当x=___时，代数式3（x+3）2+4有最小____（填写大或小）值为____．（2）当x=_____时，代数式-2x2+4x+3有最大____（填写大或小）值为____.（3）矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是16m，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大?最大面积是多少?25．（2019·江苏初三期中）我们知道：任何有理数的平方都是一个非负数，即对于任何有理数a，都有a2≥0成立，所以，当a=0时，a2有最小值0．（应用）：（1）代数式（x-1）2有最小值时，x=___1；（2）代数式m2+3的最小值是____3；（探究）：求代数式n2+4n+9的最小值，小明是这样做的：n2+4n+9=n2+4n+4+5=（n+2）2+5∴当n=-2时，代数式n2+4n+9有最小值，最小值为5．请你参照小明的方法，求代数式a2-6a-3的最小值，并求此时a的值．（拓展）：（3）代数式m2+n2-8m+2n+17=0，求m+n的值．（4）若y=-4t2+12t+6，直接写出y的取值范围．参考答案一、单选题（每小题3分，共30分)1．（2019·临邑县实验中学初三期中）方程()223x x =-化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（）A ．1、2、-3B ．1、2、-6C ．1、-2、6D ．1、2、6【答案】C【解析】首先将方程()223x x =-化为一般形式: 2260x x -+=,然后根据此一般形式,即可求得答案. 【详解】解:方程()223x x =-化成一般形式是2260x x -+=, ∴二次项系数为1,一次项系数为-2,常数项为6.所以C 选项是正确的.【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式.注意一元二次方程的一般形式是:ax 2+bx+c=0(a,b,c 是常数且a≠0),其中a,b,c 分别叫二次项系数,一次项系数,常数项.2．（2019·南山第二外国语学校集团海德学校初三期中）若关于 x 的一元二次方程中 20ax bx c ++= 有一个根是-1，则下列结论正确的是（）A ．1a b c ++=B ．0a b c -+=C ．0a b c ++=D ．1a b c -+=-【答案】B【解析】把x=-1代入已知方程可以求得a-b+c=0．【详解】依题意，得x=-1满足关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0，则a-b+c=0．故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．3．（2019·厦门市第五中学初三期中）方程：x 2﹣25=0的解是（）A ．x=5B ．x=﹣5C ．x 1=﹣5，x 2=5D ．x=±25【答案】C【解析】利用直接开平方法解方程即可．【详解】移项得：x 2=25，∴x 1=﹣5，x 2=5．故选C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x 2=p 或（nx +m ）2=p （p ≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．4．（2019·湖北初三期中）方程（m ﹣2）x |m |+3mx +1＝0是关于x 的一元二次方程，则（）A.m ＝±2B.m ＝2C.m ＝﹣2D.m ≠±2【答案】C【解析】根据一元二次方程的定义即可得．【详解】解：∵方程（m ﹣2）x |m |+3mx +1＝0是关于x 的一元二次方程，∴|m |＝2，且m ﹣2≠0．解得：m ＝﹣2．故选：C ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．5．（2017·全国初三课时练习）方程 229(1)4(1)0x x +--= 正确解法是（） A ．直接开方得 3(1)2(1)x x +=-B ．化为一般形式 21350x +=C ．分解因式得 [][]3(1)2(1)3(1)2(1)0x x x x ++-+--=D ．直接得 x+1=0或 x-1=0【答案】C【解析】A ：直接开平方应得到两个方程：3（x+1）=2（x-1）和3（x+1）=-2（x-1），所以A 不正确； B ：化成一般形式应是：5x 2+26x+5=0；所以B 不正确；C ：方程左边满足平方差形式，可以用平方差公式因式分解为：[3（x+1）+2（x-1）][3（x+1）-2（x-1）]=0，所以C 正确．D ：两个完全平方的差为0，不能直接得到两个式子分别是0，只有两个完全平方的和是0，才能直接得到两个式子分别是0，所以D 不对．故选：C ．点睛：本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，根据题目的结构特点，用平方差公式因式分解．6．（2019·山东初三期中）已知关于的一元二次方程21(2)02m x x -++=有两个不等的实数根，则实数m 的取值范围为（）A.52m ＜B.52m ＞C.52m ＜且2m ≠D.52m ＞且2m ≠ 【答案】D【解析】∵关于x 的一元二次方程21(2)02m x x -++=有两个不等的实数根， ∴220{12(2)0m m -≠∆=--＞解得：52m <且2m ≠ 故选C.7．（2019·广东初三期中）已知α、β满足α＋β＝5，αβ＝6，则以α、β为根的一元二次方程（） A ．x 2＋5x ＋6＝0 B ．x 2－5x ＋6＝0C ．x 2－5x －6＝0D ．x 2＋5x －6＝0【答案】B【解析】分析： α 、β为一元二次方程的两根，且α、β满足α+ β=5、αβ=6．所以这个方程的系数应满足两根之和是b a - =5，两根之积是c a=6 ，当二次项系数为”1”时，可直接确定一次项系数、常数项．本题解析：∵所求一元二次方程的两根是α、β，且α、β满足α+ β=5、αβ=6. ∴这个方程的系数应满足两根之和是b a -=5，两根之积是c a =6. 当二次项系数a=1时，一次项系数b=−5，常数项c=6.故选B8．（2019·江苏东绛实验学校初三期中）过元旦了，全班同学每人互发一条祝福短信，共发了380条，设全班有x 名同学，列方程为（）A.()113802x x -=B.x （x ﹣1）=380C.2x （x ﹣1）=380D.x （x +1）=380 【答案】B【解析】设该班级共有同学x 名，每个人要发（x-1）条短信，根据题意可得等量关系：人数×每个人所发的短信数量=总短信数量．【详解】设全班有x 名同学，由题意得：x（x-1）=380，故选：B．【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．9．（2019·湖南初三期中）如图，在宽度为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540 m2，求道路的宽．如果设小路宽为x m，根据题意，所列方程正确的是（）A.（20+x）（32+x）=540B.（20﹣x）（32﹣x）=100C.（20﹣x）（32﹣x）=540D.（20-2x）（32﹣2x）=540【答案】C【解析】把白色部分经过平移合并成长为32-x，宽为20-x的小长方形，再根据小长方形的面积等于草坪的面积建立等式.【详解】白色部分经过平移合并成长为32-x，宽为20-x的小长方形则小长方形的面积为（20﹣x）（32﹣x）由小长方形的面积等于草坪的面积可得：（20﹣x）（32﹣x）=540故答案为：C.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键在于把白色部分的图形平行合并成一个小长方形. 10．（2019·黑龙江省哈尔滨市第一五六中学初三期中）某农机厂一月份生产零件50万个，第一季度共生产零件182万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A.50（1+x）²=182B.50+50（1+x）+50（1+x）²=182C.50（1+2x）=182D.50+50（1+x）+50（1+2x）²=182【答案】B【解析】设二、三月份平均每月的增长率为x，根据某农机厂一月份生产零件50万个，第一季度共生产182万个，可列出方程．【详解】解：设二、三月份平均每月的增长率为x，则二月份生产零件50（1+x）个，三月份生产零件50（1+x）2个，则得：50+50（1+x）+50（1+x）2=182．故选：B．【点睛】本题考查理解题意的能力，关键设出增长率，表示出每个月的生产量，以一季度的产量做为等量关系列出方程．二、填空题（每小题4分，共24分)11．（2018·全国初三期末）把方程3x（x﹣2）=4（x+1）化为一元二次方程的一般形式是_______；【答案】3x2-10x-4=0．【解析】先把一元二次方程3x（x﹣2）=4（x+1）的各项相乘，再按二次项，一次项，常数项的顺序进行排列即可．解：∵一元二次方程3x（x﹣2）=4（x+1）可化为3x2-6x-4x--4=0，∴化为一元二次方程的一般形式为3x2-10x-4=0．12．（2019·江苏初三期中）已知(m−3)x2−3x + 1 = 0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是______．【答案】m≠3【解析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0，由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．【详解】由题意，得m-3≠0．解得m≠3，故答案为：m≠3．【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．13．（2019·湖北初三期中）关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．【答案】k＜1．【解析】由方程有两个不等实数根可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．【详解】∵关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，∴△=2241k 0-⨯⨯>，解得：k 1<，故答案为：k 1<.【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是得出关于k 的一元一次不等式．熟知”在一元二次方程()2ax bx c 0a 0++=≠中，若方程有两个不相等的实数根，则△=2b 4ac 0->“是解答本题的关键.14．（2019·江西省宜春实验中学初三期中）已知a 、b 为方程x 2+4x+2=0的两实根，则a 3+14b+50=_______．【答案】2【解析】试题解析：∵a 、b 为方程x 2+4x+2=0的两实根，∴a+b=-4，a•b=2，a 2+4a+2=0，∴a 2=-4a-2，∴a 3+14b+50=a （-4a-2）+14b+50=-4a 2-2a+14b+50=-4（a 2+4a+2）+14a+14b+50+8=14（a+b ）+58=14×（-4）+58=2．15．（2019·上海市市八初级中学初二月考）已知方程220x kx +-=的一个根是1，则另一个根是_________.【答案】2-【解析】直接利用根与系数的关系求出另外一根即可，【详解】解：设方程的另一根为2x ，根据根与系数的关系得：212x ⋅=-，∴22x =-，故答案为2-.【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，掌握一元二次方程中根与系数的关系是解题的关键. 16．（2019·江苏初三期中）方程（x -1）（x +2）=0的两根分别为________．【答案】121,2x x ==-【解析】根据A·B=0，则A 、B 中至少有一个为0，化为一元一次方程即可解出方程. 【详解】解：（x -1）（x +2）=0x -1=0或x +2=0解得：121,2x x ==-【点睛】此题考查的是一元二次方程的解法，根据A·B=0，则A 、B 中至少一个为0，掌握将一元二次方程化为一元一次方程的方法是解决此题的关键.三、解答题一（每小题6分，共18分)17．（2019·青浦区华新中学初二月考）解方程：3x 2﹣6x+1=0(用配方法)【答案】x 1，x 2=1 【解析】试题分析：先移项，再将二次项系数化为1，然后配方解出x 即可.试题解析：3x 2－6x ＋1=0,移项，得3x 2－6x =－1，二次项系数化为1，得x 2－2x =－13，配方，得x 2－2x +12=－13+12，即（x －1）2=23，解得，x －1=±3，即x 1，x 2=1. 点睛：配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）解出未知数.18．（2019·河南省实验中学初三月考）已知关于x 的一元二次方程22(1)(2)0x m x m m ---+=.（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若2x =-是此方程的一个根，求方程的另一个根.【答案】（1）证明见解析；（2）方程的另一个根为0或4．【解析】（1）根据根的判别式求出△的值，再进行判断即可；（2）先把x=-2代入方程，然后解关于m 的一元二次方程，即可求出m 的值．【详解】（1）证明：()()222141284m m m m ∆=---⨯⨯-+=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦. 20m ≥2840m ∴+>，即>0∆，∴方程总有两个不相等的实数根．（2）当2x =-时，原方程为()()44120m m m +--+=，即2 20m m -=，解得：10m =，22m =.设方程的另一根为1x ，当0m =时，有120x -=，解得：10x =；当2m =时，有128x -=，解得：14x =（将m 代入方程，解方程得到亦可）综上所述：当=-2x 是此方程的一个根时，方程的另一个根为0或4．【点睛】此题考查一元二次方程的根的判别式，解题关键在于利用方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．19．已知关于x 的方程2(1)2(1)0k x k x k +--+=有两个实数根1x ，2x .（1）求k 的取值范围；（2）若12122x x x x +=+，求k 的值.【答案】（1）13k ≤且k 1≠-；（2）4-. 【解析】（1）方程有两个实数根，则0k+10≥≠△，，解出即可；（2）根据根与系数的关系，求出1212x x x x +，的值，解出即可.【详解】解：（1）方程有两个实数根，则0k+10≥≠△，，即[]2=2(1)4(1)0k+10k k k ---+≥≠△，，解得：13k ≤且k 1≠-；（2）()()12211k b x x a k -+=-=+，121c k x x a k ==+，则()()21211k k k k -=+++，解得：4k =-，143-＜，则k 的值为4-.【点睛】本题是对一元二次方程的综合考查，熟练掌握一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系是解决本题的关键.四、解答题二（每小题7分，共21分)20．（2019·湖南初三月考）先化简，再求值：32111m m m m +⎛⎫--÷ ⎪++⎝⎭，其中m 满足方程260m m --=．【答案】1【解析】根据分式的运算法则先化简分式．再解一元二次方程求出m ，代入化简后的式子，注意代入时原分式要有意义，m 不等于-1和-2. 【详解】原式213112m m m m --+=⋅++ (2)(2)112m m m m m +-+=⋅++ 2m =-解方程260m m --=得：3m =或2m =-20m +≠2m ∴≠-当3m =时，原式321=-=【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，注意代入分式中字母的值必须使分式必须有意义.21．（2019·上海初二期中）解方程：（1）（x-1）（x+3）=5（2）x 2+x-3=0（公式法）【答案】（1）x 1=-4，x 2=2；（2）x 1x 2．【解析】（1）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程；（2）利用求根公式解方程．【详解】（1）x 2+2x-8=0，（x+4）（x-2）=0，所以x 1=-4，x 2=2；（2）△=12-4×1×（-3）=13，，所以x 1x 2．【点睛】此题考查解一元二次方程-因式分解法，解题关键在于掌握运算法则.22．（2019·农安县前岗乡初级中学初三月考）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件．(1)若每件衬衫降价4元，商场每天可盈利多少元?(2)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元?【答案】（1）1008；（2）20【解析】（1）降价4元时，根据题意分别求出单件利润和销量，再根据销售利润问题的等量关系：单件利润×销量=总利润，可求出总利润；（2）设降价x 元，然后根据题意找出单件利润和销量的表达式，再根据销售利润问题的等量关系：单件利润×销量=总利润，列出方程求解，最后根据题意舍去不符合题意的解.【详解】（1）降价4元时，每件盈利为40-4=36元，销量为10204=285+⨯件， ∴总盈利36×28=1008元.（2）设降价x 元，由题意得()104020=12005x x ⎛⎫-+⋅ ⎪⎝⎭化简得2302000x x -+=，解得1=10x ，2=20x ，要尽量减少库存，则取=20x ，所以平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价20元.【点睛】本题考查一元二次方程的应用：销售利润问题，根据等量关系建立方程是解题的关键.五、解答题三（每小题9分，共27分)23．（2019·河南初三月考）已知：如图所示．在△ABC 中，∠B =90°，AB =5cm ，BC =7cm ．点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1c m/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2c m/s 的速度移动，当其中一点达到终点后，另外一点也随之停止运动．（1）如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，那么几秒后，△PBQ 的面积等于4cm 2?（2）如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，那么几秒后，PQ 的长度等于5cm ?（3）在（1）中，△PQB 的面积能否等于7cm 2?说明理由．【答案】（1）1；（2）2；（3）不能．【解析】（1）设P 、Q 分别从A 、B 两点出发，x 秒后，AP=xcm ，PB=（5-x ）cm ，BQ=2xcm 则△PBQ 的面积等于12×2x （5-x ），令该式等于4，列出方程求出符合题意的解；（2）利用勾股定理列出方程求解即可；（3）看△PBQ 的面积能否等于7cm 2，只需令12×2x （5-x ）=7，化简该方程后，判断该方程的△与0的关系，大于或等于0则可以，否则不可以．【详解】设t 秒后，则：AP =tcm ，BP =（5﹣t ）cm ；BQ =2tcm ．（1）S △PBQ =BP ×BQ ，即1(5)242x x -⨯=，解得：t =1或4．（t =4秒不合题意，舍去）故：1秒后，△PBQ 的面积等于4cm 2．（2）PQ =5，则PQ 2=25=BP 2+BQ 2，即25=（5﹣t ）2+（2t ）2，t =0（舍）或2．故2秒后，PQ 的长度为5cm ．（3）令S △PQB =7，即：BP ×2BQ =7，1(5)272x x -=，整理得：t 2﹣5t +7=0．由于b 2﹣4ac =25﹣28=﹣3＜0，则方程没有实数根．所以，在（1）中，△PQB 的面积不等于7cm 2．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解，判断某个三角形的面积是否等于一个值，只需根据题意列出方程，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在．24．（2019·上海民办浦东交中初级中学初二月考）阅读材料：用配方法可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为3a2≥0，所以3a2+1就有最小值1，即3a2+1≥1，只有当a=0时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为-3a2≤0，所以-3a2+1有最大值1，即-3a2+1≤1，只有在a=0时，才能得到这个式子的最大值1．（1）当x=___时，代数式3（x+3）2+4有最小____（填写大或小）值为____．（2）当x=_____时，代数式-2x2+4x+3有最大____（填写大或小）值为____.（3）矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是16m，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大?最大面积是多少?【答案】（1）-3，小，4；（2）1，大，5；（3）当边长为4米时，花园面积最大为32m2．【解析】（1）由完全平方式的最小值为0，得到x=-3时，代数式的最小值为4；（2）将代数式前两项提取-2，配方为完全平方式，根据完全平方式的最小值为0，即可得到代数式的最大值及此时x的值；（3）设垂直于墙的一边长为xm，根据总长度为16m，表示出平行于墙的一边为（16-2x）m，表示出花园的面积，整理后配方，利用完全平方式的最小值为0，即可得到面积的最大值及此时x的值．【详解】（1）∵（x+3）2≥0，∴当x=-3时，（x+3）2的最小值为0，则当x=-3时，代数式3（x+3）2+4的最小值为4；（2）代数式-2x2+4x+3=-2（x-1）2+5，则当x=1时，代数式-2x2+4x+3的最大值为5；（3）设垂直于墙的一边为xm，则平行于墙的一边为（16-2x）m，∴花园的面积为x（16-2x）=-2x2+16x=-2（x2-8x+16）+32=-2（x-4）2+32，则当边长为4米时，花园面积最大为32m2．【点睛】此题考查配方法的应用，解题关键在于要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．25．（2019·江苏初三期中）我们知道：任何有理数的平方都是一个非负数，即对于任何有理数a，都有a2≥0成立，所以，当a=0时，a2有最小值0．（应用）：（1）代数式（x-1）2有最小值时，x=___1；（2）代数式m2+3的最小值是____3；（探究）：求代数式n2+4n+9的最小值，小明是这样做的：n2+4n+9=n2+4n+4+5=（n+2）2+5∴当n=-2时，代数式n2+4n+9有最小值，最小值为5．请你参照小明的方法，求代数式a2-6a-3的最小值，并求此时a的值．（拓展）：（3）代数式m2+n2-8m+2n+17=0，求m+n的值．（4）若y=-4t2+12t+6，直接写出y的取值范围．【答案】（1）1；（2）3；（3）3；（4）y≤15.【解析】（1）由（x-1）2≥0可得x=1时，取得最小值0；（2）由m2≥0知m2+3≥3可得答案；（3）将方程变形为（m-4）2+（n+1）2=0，由非负数性质求得m、n的值即可得；（4）由y=-4t2+12t+6=-4（t-32）2+15知-4（t-32）2+15≤15，从而得出答案．【详解】（1）代数式（x-1）2有最小值时，x=1，故答案为：1；（2）代数式m2+3的最小值是在m=0时，最小值为3，故答案为：3．（3）∵m2+n2-8m+2n+17=0，∴（m-4）2+（n+1）2=0，则m=4、n=-1，∴m+n=3；（4）y=-4t2+12t+6=-4（t2-3t）+6=-4（t2-3t+94-94）+6=-4（t-32）2+15，∵（t-32）2≥0，∴-4（t-32）2≤0，则-4（t-32）2+15≤15，即y≤15．【点睛】此题考查配方法的应用，完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是把给出的式子化成完全平方的性质进行解答．。

上海市实验学校东校2022-2023学年八年级上学期期中考试数学试卷(解析版)

2022学年第一学期八年级期中考试数学学科一、选择题（共18分）1.下列根式中，是最简根式的是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据最简二次根式的条件判断即可得到答案．【详解】A ==B 3=不是最简根式，不符合题意，故选项错误；C =是最简根式，符合题意，故选项正确；D ==±不是最简根式，不符合题意，故选项错误；故选：C【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数（式）不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．2.用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（）．A.()216x += B.()216x -= C.()214x -= D.()229x -=【答案】B【解析】【分析】首先把常数项移到右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方配成完全平方公式．【详解】解：∵225=0x x --，∴22=5x x -，∴22+1=6x x -，∴2(1)=6x -，故选：B ．【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法的步骤．配方法的一般步骤为：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．3.下列说法正确的是（）．A.是同类二次根式 B.3±C.2x x = D.一定是负数【答案】B【解析】【分析】根据同类二次根式的定义判断A ，根据平方根的定义判断B ，根据二次根式的性质判断C ，根据实数的性质判断D ．【详解】解：A ==不是同类二次根式，故不正确；B 9=3=±，正确；C ．当0x <时，0x x x =-=，故不正确；D ．当0a =时，0=，不是负数，故不正确；故选B ．【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，平方根的定义，二次根式的性质，以及实数的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．4.某商店将一批夏装降价处理，经两次降价后，由每件100元降至81元，求平均每次降价的百分率，设平均每次降价的百分率为x ，可列方程（）A.100(1)812x +=⨯ B.2100(1)81x ⨯-=C.281(1)100x += D.2100(1)81x -=【答案】D【解析】【分析】此题可设平均每次降价的百分率为x ，那么第一次降价后的单价是原来的(1)x -，那么第二次降价后的单价是原来的2(1)x -，根据题意列方程解答即可．【详解】解：设平均每次降价的百分率为x ，根据题意列方程得2100(1)81x -=故选D ．【点睛】本题考查的是平均增长率问题．解决这类问题所用的等量关系一般是：增长前的量(1⨯+平均增长率）2=增长后的量．本题中设原来绿地面积是1，使问题简化．5.下列说法不成立的是（）．A.在21y x =+中，1y -与x 成正比B.在11y x =+中，1y -与x 成反比C.若3y x =，则x ，y 成正比D.若0xy =，则x ，y 成反比【答案】D【解析】【分析】根据成正比和成反比的意义进行判断即可．【详解】解：A ．由21y x =+得到12y x -=，则1y -与x 成正比，故选项不符合题意；B ．由11y x =+得到11y x -=，即1y -与x 成反比，故选项不符合题意；C ．由由3y x=得到3y x =，即x ，y 成正比，故选项不符合题意；D ．若0xy =，则x ，y 不成反比，故选项错误，符合题意．故选：D ．【点睛】此题考查了正比和反比，熟练掌握正比和反比的意义是解题关键．6.如图，水槽底部叠放着两个实心圆柱，现向无水的水槽中注水直至注满．水槽中水面上升高度y 与注水时间x 之间的函数关系，大致是下列图像中的（）．A. B. C.D.【答案】A【解析】【分析】分成3段分析可得答案．【详解】解：下层圆柱底面半径大，水面上升块，上层圆柱底面半径稍小，水面上升稍慢，再往上则水面上升更慢，所以对应图象是第一段比较陡，第二段比第一段缓，第三段比第二段缓．故选A ．【点睛】本题要求正确理解函数图象与实际问题的关系，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小，通过图象得到函数是随自变量的增大或减小的快慢．二、填空题（共24分）7.1的有理化因式是__________．【答案】或1-【解析】【分析】二次根式的有理化因式是和原式乘积为整式的式子，据此解答即可．【详解】解：∵)22111211-=-=-=，)(()22111121-=--=-=-，1或1--，或1-【点睛】此题考查了二次根式的有理化，熟练掌握平方差公式是解题的关键．8.是二次根式，则x 的取值范围是__________．【答案】13x【解析】【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．【详解】解：由题意得：310x - ，解得：13x ，故答案为：13x ．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式的被开方数是非负数．9.比较大小：--（填“＞”或“＜”或“＝”）．【答案】＜【解析】【详解】解：∵-=，-=18＞12，>∴<，∴-<-．故答案为：＜10.当x =__________时，代数式2x x -的值等于12．【答案】4或3-##3-或4【解析】【分析】根据代数式2x x -的值等于12列方程求出x 的值即可．【详解】解：由题意得，212x x -=，即2120x x --=，则()()430x x -+=，则40x -=或30x +=，解得14x =，23x =-，即当4x =或3-时，代数式2x x -的值等于12．故答案为：4或3-【点睛】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．11.在实数范围内分解因式：2241x x --=_____________．【答案】26262()()22x x +---【详解】解：令2x 2-4x ﹣1=0，则：x 1=262+，x 2=262，∴2x 2-4x ﹣1=2（x ﹣262）（x ﹣262）．故答案为2（x ﹣262+）（x ﹣262）．点睛：本题考查对一个多项式进行因式分解的能力，当要求在实数范围内进行分解时，分解的结果一般要分到出现无理数为止．12.，面积为2，则它的宽为__________cm （保留根式）．【答案】【解析】【分析】根据长方形的面积等于长乘以宽，利用二次根式的除法运算.【详解】解：由题意可得：长方形宽==，故答案为：【点睛】本题考查了二次根式的除法的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键.13.已知y 与x 成正比例，若2x =时，7y =，则y 与x 的函数关系式是__________．【答案】72y x =## 3.5y x =【解析】【分析】设y kx =，把2x =，7y =代入即可得到一个关于k 的方程，求得k 的值，从而得到答案．【详解】解：设y kx =，∵2x =时，7y =，∴72k =，解得72k =，∴y 与x 的函数关系式是72y x =；故答案为：72y x =．【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，正确理解正比例的定义是关键．14.若()2256y m x m m =-+-+是y 关于x 的正比例函数，则m =__________．【答案】3【分析】先由正比例函数的定义得到20m -≠，2560m m -+=，再求解即可．【详解】∵()2256y m x m m =-+-+是y 关于x 的正比例函数，∴20m -≠，2560m m -+=，解得2m ≠，12m =，23m =，故3m =，故答案为3．【点睛】本题考查了正比例函数的定义和解一元二次方程，解题时注意20m -≠．15.已知方程()()40x a x +-=和方程2132022x x --=的解完全相同，则=a __________．【答案】1【解析】【分析】用因式分解法求2132022x x --=的解即可．【详解】解：2132022x x --=2340x x --=()()140x x +-=∵方程()()40x a x +-=和方程2132022x x --=的解完全相同，∴1a =，故答案为1．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，方程()()40x a x +-=和方程2132022x x --=的解完全相同，即2132022x x --=可化为()()40x a x +-=的形式．16.若反比例函数34k y x-=在每一象限内，y 随x 的减小．．而减小．．，则k 的取值范围是__________．【答案】43k <【解析】【分析】由反比例函数的性质，可得340k -<，解得即可．【详解】解：反比例函数图象的每一条曲线上，y 随x 的减小而减小，340k ∴-<，解得：43k <，故答案为：43k <．【点睛】此题主要考查反比例函数图象的性质：（1）0k >时，图象是位于一、三象限；（2）0k <时，图象是位于二、四象限．17.若()20y x x =<图像上一点到x，则这点的坐标为__________．【答案】3,2⎛- ⎝##⎛ ⎝【解析】【分析】由()20y x x =<图像上一点到x ，可设点的坐标为(t 或(,t ，分别代入求解，然后作出判断即可得到答案．【详解】解：由()20y x x =<图像上一点到x (t 或(,t ，把(t 代入2y x =2t =，32t =，不符合题意，舍去，把(,t 代入2y x =得2t =，2t =-，符合题意，即点的坐标是,2⎛- ⎝，故答案为：3,2⎛- ⎝【点睛】此题考查了正比例函数，准确求解点的坐标是解题的关键．18.点(),A a b 、()1,B a c -均在反比例函数1y x=的图像上，若a<0，则b ______c .【答案】＜【解析】【分析】根据反比例函数的增减性，k ＞0，当a ＜0时，两坐标位于第三象限的图象上，y 随x 的增大而减小，由此判断a 、b 的大小．【详解】∵函数1y x =的图象位于一、三象限，又∵a<0，∴a−1<0,A(a,b),B(a−1,c)均在第三象限的分支上，在这个分支上y 随x 的增大而减小，∵a>a−1，∴b<c.故答案为<.【点睛】此题考查反比例函数的性质，解题关键在于掌握其性质.三、简答题（共20分，19题各5分，20题5分）19.解方程：（1）()()2110x x +-=；（2）用配方法：2420x x +-=．（3）2251x x +=；【答案】（1）14x =-，23x =（2）12x =-，22x =（3）15334x -+=，25334x --=【解析】【分析】（1）先展开，再合并，最后用因式分解来求解；（2）加一个4减一个4，再直接开方，进行求解；（3）直接利用公式法进行求解．【小问1详解】解：()()2110x x +-=21022x x x +-=-2120x x +-=(4)(3)0x x +-=40x +=，30x -=解得：14x =-，23x =；【小问2详解】解：2420x x +-=244420x x ++--=2(2)6x +=2x +=解：12x =-，22x =；【小问3详解】解：2251x x +=22510x x +-=，2a = ，5b =，1c =-，2425833b ac ∴∆=-=+=，5334x -∴=，解得：15334x -+=，25334x --=【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法、配方法、公式法进行求解．20.计算：1133221)62733-⨯-⨯．【答案】16-【解析】【分析】先根据零指数幂，二次根式的乘法，分数指数幂的意义，同底数幂的乘法法则计算，再算乘法，后算加减即可．【详解】解：原式1322613+=-911063=+-⨯-911018=+--16=-【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握根据零指数幂，二次根式的乘法，分数指数幂的意义，同底数幂的乘法法则是解答本题的关键．四、解答题（共38分）21.已知221y x y +=-，()y f x =．（1）求()y f x =；（2）求f 的值；（3）当()f x =时，求x 的值．【答案】（1）22x y x +=-（2）3-（3）6+【解析】【分析】（1）首先两同时乘以1y -，再把含y 的项移到左边，不含y 的项移到右边，进行变形即可；（2）把x =代入进行计算即可；（3）()f x =22x x +=-，求解即可．【小问1详解】解：221y x y +=-22xy x y -=+，22xy y x -=+，(2)1x y x -=+．∴22x y x +=-；【小问2详解】解：f ==，24242+=-，3=--；【小问3详解】解：()f x =即22x x +=-，(12x =-，x =6x =.【点睛】此题主要考查了函数关系式，解题的关键是求出函数解析式，题目比较基础．22.某农场要建一个饲养场（矩形ABCD ）两面靠现有墙（AD 位置的墙最大可用长度为27米，AB 位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．设饲养场（矩形ABCD ）的一边AB 长为x 米．（1）饲养场另一边BC=____米（用含x 的代数式表示）．（2）若饲养场的面积为180平方米，求x 的值．【答案】（1）48-3x ；（2）10.【解析】【分析】（1）用（总长+3个1米的门的宽度）-3x 即为所求；（2）由（1【详解】（1）由题意得：（48-3x ）米．故答案是：（48-3x ）；（2）由题意得：x （48-3x ）=180解得x 1=6，x 2=10048327015x x ≤-≤≤≤ ，715x ∴≤≤10x ∴＝【点睛】此题考查一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．23.已知关于x 的方程221x x m -+=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）如果m 为非负整数，且该方程的根都是整数，求m 的值．【答案】（1）2m <（2）1m =【解析】【分析】（1）根据题意得出()()224110m ∆=--⨯⨯->，求出m 取值范围即可；（2）由2m <且m 为非负整数，得到1m =或0，代入后求出方程的解，即可得出答案．【小问1详解】∵方程221x x m -+=有两个不相等的实数根．即2210x x m -+-=有两个不相等的实数根．∴()()224110m ∆=--⨯⨯->．解得2m <；【小问2详解】∵2m <且m 为非负整数，∴1m =或0．当1m =时，原方程为220x x -=．解得10x =，22x =，它的根都是整数，符合题意；当0m =时，原方程为2210x x --=．解得11x =+，21x =-∴它的根都是不整数，不符合题意；．综上所述，1m =．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和解一元二次方程，能根据题意求出m 的值和m 的范围是解此题的关键．24.我们已经学过完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如22=，23=，27=，200=，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：例：求3-的算术平方根．解：22232111)-=-=-+=-，3∴-1-．你看明白了吗？请根据上面的方法化简：（1；（2；（3++．【答案】（11-（2）4（31-【解析】【分析】（1）将3-变形为完全平方式的形式)21-，然后开平方即可；（2，再化简原式即可得出答案；（3）分别化简，合并同类二次根式即可得出答案．【小问1详解】解：原式===1；【小问2详解】解：原式=======4=+；【小问3详解】++=1=+1=．【点睛】本题主要考查了算术平方根，完全平方公式，阅读型，掌握222)2(a ab b a b ±+=±a =是解题的关键．25.如图，正方形ABCO 的边长为6，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，M 是边AB 上的一点，且2BM AM =．反比例函数的图象经过点M ，并与边BC 相交于点N ．（1（2）求ONM △的面积；（3）求证：OB 垂直平分线段MN ．【答案】（1）12y x =（2）16（3）见解析【解析】【分析】（1）根据正方形的性质及条件2BM AM =确定点M 坐标，利用待定系数法求反比例函数解析式；（2）令(),6N n ，在12y x =上，则126n=，解得2n =，得到2CN AM ==，则点()2,6N ，4BN BC CN =-=，利用ONM CON AOM BMN ABCO S S S S S =---△△△△正方形即可求解；（3）根据点N 在反比例函数图象上求点N 坐标，通过全等证得OM ON =，进而证明BN BM =，即可证得OB 垂直平分线段MN .【小问1详解】设反比例函数的解析式为：()0k y k x=≠，正方形ABCO 边长为6，2BM AM =，4BM ∴=，2AM =，∴点M 的坐标为()6,2，点()6,2M 在反比例函数k y x=的图象上26k ∴=，解得：12k =，∴反比例函数的解析式为：12y x =；【小问2详解】令(),6N n ，在12y x =上，则126n=，解得2n =，所以2CN AM ==，∴点()2,6N ，4BN BC CN =-=，则ONM CON AOM BMN ABCO S S S S S =---△△△△正方形1116626264416222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=；即ONM △的面积为16；【小问3详解】在AOM 和CON 中，90AO CO OAM OCN AM CN =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()SAS AOM CON ∴△≌△，OM ON ∴=，O ∴在MN 的中垂线上，CN AM = ，BC CN AB AM ∴-=-，BN BM ∴=，B ∴在MN 的中垂线上OB ∴垂直平分线段MN【点睛】本题主要考查了反比函数和正方形的性质以及垂直平分线的判定，点坐标和线段长度的相互转换，即数形结合是解答此题的关键.。

2022-2023学年上海九年级数学上学期同步精讲精练第04讲相似三角形的判定(1)(解析版)

第4讲相似三角形的判定1.相似三角形的定义如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形．由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似．用符号来表示，记作ADE ∆∽ABC ∆，其中点A 与点A 、点D 与点B 、点E 与点C 分别是对应顶点；符号“∽”读作“相似于”．用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“∆”后相应的位置上．根据相似三角形的定义，可以得出：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）．（2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似．知识梳理（3）设ABC ∆与E D A '''∆的相似比为k ，E D A '''∆与ABC ∆的相似比为k1，当两个相似三角形的相似比k =1时，这两个三角形就成为全等三角形．全等三角形一定是相似三角形，全等三角形是相似三角形的特例．注意：两个相似三角形的相似比与表述这两个三角形相似的顺序．．有关． 2.相似三角形具有传递性．．．（判定方法）：如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似．符号语言：∵ABC ∆∽111C B A ∆,111C B A ∆∽222C B A ∆，∴ABC ∆∽222A B C ∆（相似三角形的传递性）3.相似三角形的预备定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．4.相似三角形判定定理1如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两角对应相等，两个三角形相似．如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，如果1A A ∠=∠、1B B ∠=∠，那么ABC ∆∽111A B C ∆．5.相似三角形判定定理2如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如上图，在ABC ∆与111A B C ∆中，1A A ∠=∠，1111AB AC A B AC =，那么ABC ∆∽111A B C ∆．常见模型：题型一、相似三角形的判定与证明【例1】（1）根据下列条件判定ABC ∆与DEF ∆是否相似，并说明理由；如果相似，那么用符号表示出来．（1）70A D ∠=∠=︒，60B ∠=︒，50E ∠=︒；（2）40A ∠=︒，80B ∠=︒，80E ∠=︒，60F ∠=︒．【答案】（1）相似，ABC ∆∽DFE ∆；（2）相似，ABC ∆∽DEF ∆．【解析】（1）因为三角形内角和180︒，可得50C E ∠=︒=∠，又因为70A D ∠=∠=︒，在ABC ∆和DFE ∆中，C =E A=D⎧⎨⎩∠∠∠∠,所以ABC ∆∽DFE ∆；题型探究（2）因为三角形内角和180︒，可得60C F ∠=︒=∠，又80B E ∠=∠=︒，在ABC ∆和DFE ∆中，C =F B =E⎧⎨⎩∠∠∠∠,所以ABC ∆∽DFE ∆；（2）如图，E 是平行四边形ABCD 的边BA 延长线上的一点，CE 交AD 于点F ．图中有哪几对相似三角形？【答案】3对，EAF ∆∽EBC ∆，AEF ∆∽DCF ∆，EBC ∆∽CDF ∆．【解析】∵□ABCD ∴//AB CD ，//AD BC∴E DCF ∠=∠，EAF EBC ∠=∠∴EBC D ∠=∠在AEF ∆和DCF ∆中，E =DCF EFA=DFC⎧⎨⎩∠∠∠∠,∴AEF ∆∽DCF ∆（两角对应相等，两个三角形相似）；在BCE ∆和DFC ∆中，E =DCF EBC =D⎧⎨⎩∠∠∠∠,∴BCE ∆∽DFC ∆（两角对应相等，两个三角形相似）； ∴△AFE ∽△CFD ∽△BCE故答案为：3．A B C DEF（3）如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，2OA =，3OB =，6OC =，4OD =．求证：OAD ∆与OBC ∆是相似三角形．【答案】证明过程见解析．【解析】证明：2OA =，3OB =，6OC =，4OD =，242363OA OD OB OC ∴===，， OA OC OB OD∴=．在OAD ∆与OBC ∆中，OA OD =OB OC AOD=BOC⎧⎪⎨⎪⎩∠∠,∴OAD ∆∽OBC ∆（两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似）. （4）如图，点D 是ABC ∆的边AB 上的一点，且2AC AD AB =．求证：ACD ∆∽ABC ∆．【答案】证明过程见解析．【解析】证明：2AC AD AB =， AD AC AC AB ∴=，AB CD在ACD ∆与ABC ∆中， AD AC =AC AB A=A⎧⎪⎨⎪⎩∠∠,∴OAD ∆∽OBC ∆（两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似）. 举一反三1.如图，1=2=3∠∠∠，那么图中相似的三角形有哪几对？【答案】ADE ∆∽ABC ∆，ADE ∆∽ACD ∆，ABC ∆∽ACD ∆，BCD ∆∽CDE ∆．【解析】因为1=2=3∠∠∠，同时有A ∠公共角必相等，根据相似三角形判定定理1，可得ADE ∆∽ABC ∆， ADE ∆∽ACD ∆，ABC ∆∽ACD ∆；同时由1=3∠∠，可得：//DE BC ，进而EDC DCB ∠=∠，又23∠=∠，根据相似三角形判定定理1，可得：BCD ∆∽CDE ∆．2．根据下列条件，判断和是否是相似三角形；如果是，那么用符号表示出来．（1）45A ∠=︒，12AB cm =，15AC cm =，45D ∠=︒，16DE cm =，20DF cm =；（2）45A ∠=︒，12AB cm =，15AC cm =，45E ∠=︒，20ED cm =，16EF cm =；（3）45A ∠=︒，12AB cm =，15AC cm =，AB CD E1 2345D ∠=︒，16ED cm =，20EF cm =．【答案】（1）相似，ABC ∆∽DEF ∆；（2）相似，ABC ∆∽EFD ∆；（3）不相似【解析】根据相似三角形判定定理2即可知对应边成比例，且夹角相等即相似，（1）（2）均符合题意，但需确立好对应关系；（3）中相等两角非夹角，不相似．3.（2020年九年级上课时练习）如图，BD 、AC 相交于点P ，连接BC 、AD ，且∠1＝∠2，求证：△ADP ∽△BCP ．【答案】证明过程见解析【解析】证明：在△ADP 和△BCP 中，12,DPA CPB∠=∠⎧⎨∠=∠⎩ ∴△ADP ∽△BCP(两角对应相等，两个三角形相似）．4.如图，ABC ∆∽''AB C ∆，点'B 、'C 分别对应点B 、C ．求证：'ABB ∆∽'ACC ∆．AB C B ’C ’【答案证明过程见解析．【解析】证明：ABC ∆∽''AB C ∆， ''''AB AC BAC B AC AB AC ∴=∠=∠，， ''''AB AB BAB CAC AC AC ∴=∠=∠，， ∴'ABB ∆∽'ACC ∆．题型二、选择或补充条件使三角形相似【例2】（1）（2020·上海九年级月考）如图，∠DAB=∠CAE ，请补充一个条件：________________，使△ABC ∽△ADE ．【答案】∠D=∠B 或∠AED=∠C ．【解析】解：∵∠DAB=∠CAE∴∠DAE=∠BAC∴当∠D=∠B 或∠AED=∠C 或AD ：AB=AE ：AC 或AD•AC=AB•AE 时两三角形相似．故答案为∠D=∠B （答案不唯一）．（2）（2021·北京九年级一模）如图，ABC 中，BC BA >，点D 是边BC 上的一个动点（点D 与点,B C 不重合），若再增加一个条件，就能使ABD △与ABC 相似，则这个条件可以是__ __（写出一个即可）．【答案】答案不唯一，如：BAD C∠=∠【解析】∵∠DBA=∠CBA，根据两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似，∴添加的条件是DB：BA=AB：BC；∵∠DBA=∠CBA，根据两组对应角对应相等相等的两个三角形相似，∴添加的条件是BAD C∠=∠；故答案为：DB：BA=AB：BC或BAD C∠=∠．（3）（2020·上海九年级一模）如图，点D、E分别在△ABC的AB、AC边上，下列条件中：①∠ADE＝∠C；②AE DEAB BC=；③AD AEAC AB=．使△ADE与△ACB一定相似的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【答案】C【解析】∵∠DAE＝∠BAC，∴当ADE＝∠C时，△ADE∽△ACB，故①符合题意，当AE DEAB BC=时，∵∠B不一定等于∠AED，∴△ADE 与△ACB 不一定相似，故②不符合题意，当AD AE AC AB =时，△ADE ∽△ACB ．故③符合题意，综上所述：使△ADE 与△ACB 一定相似的是①③，故选：C ．（4）（2021·陕西高新一中八年级期末）如图，D 是ABC 边AB 上一点，添加一个条件后，仍不能使ACD ABC △∽△的是（）A ．ACDB ∠=∠B ．ADC ACB ∠=∠ C ．2AC AD AB =⋅ D ．AD CD AC BC= 【答案】D 【解析】A 、当ACD B ∠=∠时，再由A A ∠=∠，可得出ACD ABC ∆∆∽，故此选项不合题意；B 、当ADC ACB ∠=∠时，再由A A ∠=∠，可得出ACD ABC ∆∆∽，故此选项不合题意；C 、当2AC AD AB =⋅时，即AC AD AB AC=，再由A A ∠=∠，可得出ACD ABC ∆∆∽，故此选项不合题意； D 、当AD CD AC BC=时，无法得出ACD ABC ∆∆∽，故此选项符合题意．故选：D ．（5）（2021·广西九年级期末）如图，AD ，BC 相交于点O ，由下列条件仍不能判定△AOB 与△DOC 相似的是（）A ．AB ∥CDB ．∠C ＝∠B C ．OA OB OD OC = D ．OA AB OD CD= 【答案】D 【解析】A 、由AB ∥CD 能判定△AOB ∽△DOC ，故本选项不符合题意．B 、由∠AOB ＝∠DOC 、∠C ＝∠B 能判定△AOB ∽△DOC ，故本选项不符合题意．C 、由OA OB OD OC= 、∠AOB ＝∠DOC 能判定△AOB ∽△DOC ，故本选项不符合题意． D 、已知两组对应边的比相等：OA AB OD CD = ，但其夹角不一定对应相等，不能判定△AOB 与△DOC 相似，故本选项符合题意．故选：D举一反三1.（2021·湖南九年级期末）如图，点P 在ABC ∆的边AC 上，要判断ABPACB ∆∆，还请你添加一个条件：__________．【答案】ABP C ∠=∠【解析】解：∵∠A =∠A∴要使得△ABP ∽△ACB ，只需要利用三个角都相等的方法即可∴可以添加的条件为：∠ABP =∠C故答案为：∠ABP =∠C .2.（2021·上海九年级一模）如图，点D 在ABC 的AB 边上，当AD AC =______时，ACD △与ABC 相似．【答案】AC AB【解析】由∠BAC=∠CAD 共用，当AD AC AC AB =时， ACD △∽ABC ．故答案为：AC AB． 3.（2019·上海）如图所示，给出下列条件：①B ACD ∠∠=；②ADC ACB ∠∠=；③AC AB CD BC =；④2AC AD AB =⋅，其中单独能够判定ABC ACD ∽的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】解：：①∵B ACD ∠=∠，∠A 为公共角，∴A ABC CD ∽△△；②∵ACB ADC ∠=∠，∠A 为公共角，∴A ABC CD ∽△△； ③虽然AC AB CD BC =，但∠A 不是已知的比例线段的夹角，所以两个三角形不相似； ④∵2AC AD AB =⋅，∴AC AB AD AC =，又∵∠A 为公共角，∴A ABC CD ∽△△．综上，单独能够判定A ABC CD ∽△△的个数有3个，故选B. 4.（2021·北京清华附中九年级期末）如图，点D 在ABC 的边AC 上，要判定ADB △与ABC 相似，需添加一个条件，则以下所添加的条件不正确的是（）A ．ABD C ∠=∠B ．ADB ABC ∠=∠ C ．AD AB AB AC = D ．AB DB AC BC= 【答案】D 【解析】解：∵ABD C ∠=∠，BAD CAB ∠=∠，∴ABD ACB △△，故A 正确；∵ADB ABC ∠=∠，BAD CAB ∠=∠，∴ABD ACB △△，故B 正确；∵AD AB AB AC =，BAD CAB ∠=∠， ∴ABD ACB △△，故C 正确；D 选项的条件不可以证明，它不满足相似三角形的判定条件．故选：D ．题型三、利用相似三角形证线段成比例、求长度、角度等【例3】（1）如图，D 、E 分别是ABC ∆的边AB 、AC 上的点，且AED B ∠=∠．求证：AE AC AD AB =．【答案】证明过程见解析．【解析】证明：AED B A A ∠=∠∠=∠，，AED ∴∆∽ABC ∆， AD AE AC AB ∴=，即AE AC AD AB =．（2）如图，Rt ABC ∆在中，90C ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，且:9:4AD BD =，求:AC BC 的值．【答案】3:2．【解析】90ACB ∠=︒，即90ACD BCD ∠+∠=︒，AB CDEAB D C又CD AB ⊥，可得90ACD A ∠+∠=︒．A BCD ∴∠=∠．又90ADC BDC ∠=∠=︒，ACD ∴∆∽CBD ∆， AD DC AC DC BD BC ∴==． :9:4AD BD =，设()90AD k k =>，则4BD k =，代入可得：6DC k =．::9:63:2AC BC AD DC k k ∴===．（3）（2020·上海市静安区实验中学）已知：在△ABC 中，点D 、E 分别在AC 、AB 边上，且∠ADE=∠B ，若AE=2，BE=3，AD=3，求CD 的长．【答案】CD 的长为13【解析】∵∠ADE=∠B ，∠A=∠A∴△ADE ∽△ABC∴AE AD =AC AB∴23=AC 5 ∴AC=103∴CD=13．（4）（2020·上海市静安区实验中学）在△ABC 中，D 为AB 上一点，过点D 作一条直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，这样的直线可以作（）A ．2条B ．3条C ．4条D ．5条【答案】C 【解析】满足条件的直线有4条，如图所示：如图1，过D 作DE ∥AC ，则有△BDE ∽△BAC ；如图2，过D 作DE ∥BC ，则有△ADE ∽△ABC ；如图3，过D 作∠AED=∠B ，又∠A=∠A ，则有△ADE ∽△ACB ；如图4，过D 作∠BED=∠A ，又∠B=∠B ，则有△BED ∽△BAC ，故选：C ．（5）（2020·上海市位育初级中学九年级期中）如图，在ABC ∆中，6,8AB cm AC cm ==，D 是AB 上一点且AD 2cm =，当AE =________cm 时，使得ADE ∆与ABC ∆相似．【答案】83或1.5 【解析】解：分两种情况：第一种情况：如图，过D 作DE||AC 于点E ，则28·863AD AE AC AB ==⨯=；第二种情况：如图，ΔADE ~ΔACB则2·6 1.58AD AE AB AC ==⨯= 故答案为8 1.53或．（6）（2021·天津九年级期末）如图，F 为四边形ABCD 边CD 上一点，连接AF 并延长交BC 延长线于点E ，已知D DCE ∠=∠．（1）求证：ADF ECF ∽△△；（2）若ABCD 为平行四边形，6AB =，2EF AF =，求FD 的长度．【答案】（1）证明过程见详解；（2）2【解析】（1）证明：∵D DCE ∠=∠，∠AFD=∠EFC ，∴ADF ECF ∽△△；（2）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BE ，AB ＝CD ＝6，∴AF ：EF ＝DF ：CF ，又∵EF ＝2AF ，∴DF ：CF ＝1：2，即DF＝13DC ＝2．举一反三1.如图，在矩形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，且DE AC ⊥，那么:CD AD = ．【答案】2:2．【解析】四边形ABCD 是矩形，//90AD BC AD BC ADC BCD ∴=∠=∠=︒，，．DE AC ⊥，EDC DAC ∴∠=∠． ADC ∴∆∽DCE ∆，AD CD CD CE∴=．设AD a =，则1122CE BC a ==，由此可得：22CD a =，∴2::2:22CD AD a a ==． 2.（2020·上海市静安区实验中学）如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=1，点E 是DC 上一点，∠DAE=A B C DE∠BAC，则EC的长为________．【答案】3 2【解析】解：矩形ABCD中，DC=AB=2，AD=BC=1．又∵∠DAE=∠BAC，∠D=∠B，∴△ADE∽△ABC，∴AB：AD=BC：DE，∴DE=12，∴EC=DC﹣DE=32．3.（2020·上海市静安区实验中学）在△ABC中，D为AB上一点，且AD=1，AB=4，AC=7，若AC上有一点E，且△ADE与原三角形相似，则AE=________．【答案】74或47【解析】解：（1）如图1，当△ADE∽△ABC时，AE AD AC AB=，即：1 74 AE=，∴74 AE=；（2）如图2，当△ADE∽△ACB时，AE AD AB AC=，即：1 47 AE=，∴47 AE=．故答案为：74或474.（2021·四川九年级一模）在Rt ABC中，9030C A∠=︒∠=︒，，点P为AC中点，经过点P的直线截ABC，使截得的三角形与ABC相似，这样的直线共有______条．【答案】3【解析】解：过点P作PE∥AB交AB于点E，△CPE∽△CA B．过点P作PF∥BC交AB于点F，△APF∽△AC B．过点P作PG⊥AB交AB于点G，△PGA∽△BC A．故满足条件的直线有3条，故答案为：3．5.（2019·上海浦东新区·）如图：四边形ABCD对角线AC与BD相交于点O，OD=2OA，OC=2OB．（1）求证：△AOB∽△DOC；（2）点E在线段OC上，若AB∥DE，求证：OD2=OE•OC．【答案】证明过程见解析【解析】证明：（1）∵OD=2OA ，OC=2OB ， 12OA OB OD OC ∴== , 又∠AOB=∠DOC ，∴△AOB ∽△DOC ．（2）由（1）得：△AOB ∽△DOC ．∴∠ABO=∠DCO ．∵AB ∥DE ，∴∠ABO=∠EDO ．∴∠DCO=∠EDO ．∵∠DOC=∠EOD ，∴△DOC ∽△EOD,∴OD OC OE OD = , 2·OD OE OC ∴=课后作业1．（2020·上海市静安区实验中学）如图，∠ADE ＝∠ACD ＝∠ABC ，图中相似三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对【答案】D【解析】试题分析：∵∠ADE=∠ACD=∠ABC，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵DE∥BC，∴∠EDC=∠DCB，∵∠ACD=∠ABC，∴△EDC∽△DCB，同理：∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD，∵△ADE ∽△ABC，△ABC∽△ACD，∴△ADE∽△ACD，∴共4对，故选D．2.（2019·上海民办桃李园实验学校九年级月考）如图，在四边形ABCD中，//AD BC，如果添加下列条件，不能使得△ABC∽△DCA成立的是（）A．∠BAC＝∠ADC B．∠B＝∠ACD C．AC2＝AD•BC D．DC AB AC BC=【答案】D【解析】解：A．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，当∠BAC＝∠ADC时，则△ABC∽△DCA；B．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，当∠B＝∠ACD时，则△ABC∽△DCA；C．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，由AC2＝AD•BC变形为AC ADBC AC=，则△ABC∽△DCA；D．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，当DC ABAC BC=时，不能判断△ABC∽△DCA．故选择：D．3．（2019·上海九年级期中）如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（）A．AC ABAD AE=B．AC BCAD DE=C．AC ABAD DE=D．AC BCAD AE=【答案】C【解析】解：∵∠BAC=∠D，AC AB AD DE=∴△ABC∽△ADE．故选C．4．（2019·上海市嘉定区怀少学校）下列命题中，错误的结论是（）A．如果两个三角形都是等腰三角形且顶角为100°，那么这两个三角形相似B．如果两个三角形都是直角三角形，那么这两个三角形相似C．如果两个三角形都是等腰直角三角形，那么这两个三角形相似D．如果两个直角三角形都有一个内角等于30°，那么这两个三角形相似【答案】B【解析】解：A．两个顶角为100°的等腰三角形是相似三角形，故正确，B．两个直角三角形的锐角不一定相等，那么这两个三角形不一定相似，故错误，C．两个等腰直角三角形都是相似三角形，故正确，D．有两组角相等的三角形是相似三角形，故正确，故选：B．5．（2019·上海九年级期末）如图，如果BAD CAE∠=∠，那么添加下列一个条件后，仍不能确定ABC和ADE相似的是（）．A ．B D ∠=∠B ．C AED ∠=∠ C ．AB DE AD BC = D ．AB AC AD AE= 【答案】C 【解析】∵BAD CAE ∠=∠，∴DAE BAC ∠=∠，∴A ，B 可由两角对应相等的三角形相似，判定ABC ∽ADE ，D 可据一角对应相等夹边成比例判定ABC ∽ADE ．选项C 中不是夹这两个角的边，所以不能判定相似．故选：C ．6.（2018·上海九年级期中）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，∠ACD ＝∠B ，那么下列判断中，不正确的是（）A ．△ADE ∽△ABCB ．△CDE ∽△BCDC ．△ADE ∽△ACD D ．△ADE ∽△DBC【答案】D 【解析】∵点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，故A 正确；∵DE ∥BC ，∴∠BCD=∠EDC ，∵∠B=∠DCE ，∴△CDE ∽△BCD ，故B 正确；∵∠ACD=∠B ，∠A=∠A ，∴△ACD ∽△ABC ，∴△ADE ∽△ACD ，故C 正确；△ADE 与△DBC 不一定相似，故D 不正确；本题选择不正确的，故选D ．7.（2020·上海市静安区实验中学）已知一个三角形的两个内角分别是30，70，另一个三角形的两个内角分别是70，80，则这两个三角形（）A ．一定相似B ．不一定相似C ．一定不相似D ．不能确定【答案】A【解析】解：∵ 一个三角形的两个内角分别是30，70，∴ 另一个内角的度数是180307080--=，∴一个三角形的三个内角分别是30，70，80∴ 这两个三角形有两角对应相等∴ 这两个三角形一定相似．故选：A ．8．（2020·上海市静安区实验中学九年级专题练习）如图：在ABC ∆中，点D 在边AB 上，且ACD B ∠=∠，过点A作AE∥CB交CD的延长线于点E，那么图中相似三角形共有( )A．6对B．5对C．4对D．3对【答案】C【解析】解：依题意得∠EAD＝∠ACD＝∠B，∵AE∥CB，∴△AED∽△BCD，∵∠CAD＝∠BAC，∴△ACD∽△ABC，∵∠AED＝∠CEA，∴△AED∽△CEA，由相似三角形的传递性，得△BCD∽△CEA．故有4对相似三角形．故答案为：C．9．（2018·上海黄浦区·中考模拟）如图，在△ABC中，∠B=80°，∠C=40°，直线l平行于BC．现将直线l 绕点A逆时针旋转，所得直线分别交边AB和AC于点M、N，若△AMN与△ABC相似，则旋转角为（）A．20°B．40°C．60°D．80°【答案】B 【解析】因为旋转后得到△AMN 与△ABC 相似,则∠AMN =∠C =40°,因为旋转前∠AMN =80°,所以旋转角度为40°,故选B.10．（2020·上海九年级三模）如图，已知△ABC 与△BDE 都是等边三角形，点D 在边AC 上（不与点A 、C 重合），DE 与AB 相交于点F ，那么与△BFD 相似的三角形是（）A ．△BFE ；B ．△BDC ； C ．△BDA ；D ．△AFD ．【答案】C 【详解】解： △ABC 与△BDE 都是等边三角形，60,A EDB ∴∠=∠=︒,DBF ABD ∠=∠,BFD BDA ∴∽故选C ．11．（2019·上海市育才初级中学九年级月考）已知ABC 中，D 、E 分别在AB 、AC 上，下列条件中，能推断ADE 与ABC 相似的有( )个①∠BDE +∠C =180°；②AD AB AE AC ⋅=⋅；③AD BC AB DE ⋅=⋅；④∠A =90°，且AD AB DE BC = A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】由图可知，∠A 是△ADE 与△ACB 的公共角，①∵∠BDE+∠C=180°，∠ADE+∠BDE=180°，∴∠ADE=∠C ，利用“两组角对应相等，两三角形相似”得到△ADE 与△ACB 相似；②由AD•AB=AE•AC 得到AD AC AE AB =，可以利用“两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似”得到△ADE 与△ACB 相似；③由AD•BC=AB•DE 可得到AD AB DE BC=，公共角不是夹角，不能得到△ADE 与△ACB 相似； ④∵AD AB DE BC =，∠A=90°，利用“斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似”得到△ADE 与△ACB 相似，综上所述，能判断△ADE 与△ACB 相似的是①②④，共3个．故选：C ．12．（2021·天津九年级期末）下列条件中可以判定ABC A B C '''∽△△的是（） A ．AB A B AC A C ''=''，A A '∠=∠ B ．AB A B AC A C ''=''，B B '∠=∠ C ．AB A B AC A C ''='' D ．AB AC A B A C =''''【答案】A【解析】A 、对应边成比例，且夹角相等，所以可判定ABC A B C '''∽△△相似，故选项正确； B 、对应边成比例，但B 不是AB 、AC 的夹角，不能判定ABC A B C '''∽△△相似故选项错误； C 、只有对应边成比例，但夹角不确定，不能判定ABC A B C '''∽△△相似故选项错误；D 、只有对应边成比例，但夹角不确定，不能判定ABC A B C '''∽△△相似故选项错误；故选：A ．13．（2021·河北九年级一模）已知图（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图（2）中AB 、CD 交于O 点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（）A ．只有（1）相似B ．只有（2）相似C ．都相似D ．都不相似【答案】C 【解析】解：对于图（1）：180°﹣75°﹣35°＝70°，则两个三角形中有两组角对应相等，所以（1）图中的两个三角形相似；对于（2）图：由于43OA OD =，84=63OC OB =，OA OC OD OB =，∠AOC ＝∠DOB ，所以△AOC ∽△DOB ．故选：C ．14．如图，D 是ABC 的AB 边上的一点，在直线AC 上找一点E ，使得ADE 与ABC 相似，则满足这样条件的E 点有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．1个或2个【答案】D 【解析】解：情况（1）：如图，当AB AC ≠时，根据题意得：当//DE BC 时，ADE ABC △△∽；当ADE C ∠=∠时，由A A ∠=∠，可得ADE ABC △△∽．所以当AB AC ≠时，满足这条件的E 点有2个．情况（2）：当AB AC =时，情况（1）中两点重合，此时满足这条件的E 点只有1个．综上所述：使得ADE 与ABC 相似，则满足这样条件的E 点有1个或2个．故选：D ．15．（2021·北京九年级期末）如图，点D ，E 分别在△ABC 的AB ，AC 边上．只需添加一个条件即可证明△ADE ∽△ACB ，这个条件可以是_____．(写出一个即可)【答案】∠ADE=∠C 或∠AED=∠B 或AD AE AC AB = 【解析】∵∠A=∠A ，∴当∠ADE=∠C 或∠AED=∠B 时，ADE ∽△ACB ；当AD AE AC AB =时，ADE ∽△ACB ；故答案为：∠ADE=∠C 或∠AED=∠B 或AD AE AC AB =．16．（2020·上海市静安区实验中学）点D在ABC的边AB上，且2AC AD AB=⋅，则ABC ACD，理由是_______．【答案】有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似【解析】依题意，画图如下：2AC AD AB=⋅，即AB AC AC AD=，又A A∠=∠，ABC ACD~∴（有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），故答案为：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．17.（2021·上海九年级二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P为射线BC上的一个动点，过点P的直线PQ垂直于AP与直线CD相交于点Q，当BP＝5时，CQ＝_____．【答案】5 3【解析】解：如图，∵BP ＝5，BC ＝4，∴CP ＝1，∵PQ ⊥AP ，∴∠APQ ＝90°＝∠ABC ，∴∠APB +∠BAP ＝90°＝∠APB +∠BPQ ，∴∠BAP ＝∠BPQ ，又∵∠ABP ＝∠PCQ ＝90°，∴△ABP ∽△PCQ ， ∴AB BP CP CQ =， ∴351CQ= ∴CQ ＝53，故答案为：53． 18.（2019·上海第二工业大学附属龚路中学九年级月考）ABC ∆中，10AB =，6AC =，点D 在AC 上，且3AD =，若要在AB 上找一个点E ，使ADE ∆与ABC ∆相似，则AE =__．【答案】5或95【解析】A ∠是公共角，∴当AE AD AB AC =，即3106AE =时，ADE ACB ∆∆∽ 解得：5AE =当AE AD AC AB =，即3610AE =时，ADE ABC ∆∆∽ 解得：95AE = 故答案为：5或9519．（2021·吴江市实验初级中学八年级月考）如图，四边形ABEG 、GEFH 、HFCD 都是正方形．请你在图中找出一对相似比不等于1的相似三角形，并说明理由．【答案】AEF CEA △∽△，理由见详解【解析】解：AEF CEA △∽△，理由如下：∵四边形ABEG 、GEFH 、HFCD 都是正方形，∴45,AEB BE EF CF ∠=︒==，∴22,2AE BE EF CE EF ===，∴222,2222AE EF EF EF EC EF AE EF====， ∴AE EF EC AE=， ∵AEF CEA ∠=∠，∴AEF CEA△∽△．20．（2020·上海市静安区实验中学）如图，∠C=90°，AC=CD=DE=BE，试找出图中的一对相似三角形，并加以证明．【答案】△ADE∽△BDA【解析】∵∠C=90°，AC=CD=DE=BE，∴AD=2CD，BD=2CD，∴12 ED ADAD BD==，∵∠ADB=∠ADB，∴△ADE∽△BDA．21．（2017·上海九年级期中）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且∠ABE =∠ACD，BE、CD交于点G．（1）求证：△AED∽△ABC；（2）如果BE平分∠ABC，求证：DE=CE．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】解：（1）∵∠ABE =∠ACD ，且∠A 是公共角， ∴△ABE ∽△ACD ． ∴AE AB AD AC =，即AE AD AB AC =，又∵∠A 是公共角，∴△AED ∽△ABC ．（2）在BC 上截取BF=BD ，连接EF ，在△BDE 与△BFE 中，BD=BF,∠DBE=∠FBE ，BE=BE ， ∴△BDE ≌△BFE ，∴DE=FE ，∠BDE=∠BFE ，∴∠ADE=∠EFC ，∵△AED ∽△ABC ，∴∠ADE=∠ACB ，∴∠EFC=∠ACB ，∴EF=EC ，∴DE =CE ．22.如图，在Rt ABC ∆中，AB AC =，45DAE ∠=︒．求证：（1）ABE ∆∽DCA ∆；（2）22BC BE CD =．AB C D E【答案】证明过程见解析【解析】证明：（1）90AB AC BAC =∠=︒，，45B C ∴∠=∠=︒．45DAE ∠=︒，AED AEB ∠=∠，ABE ∴∆∽DAE ∆，同理可证DAE ∆∽DCA ∆， ∴ABE ∆∽DCA ∆．（2）ABE ∆∽DCA ∆，AB BE CD AC ∴=，即CD BE AB AC ⋅=⋅．90AB AC BAC =∠=︒，， 22222BC AB AC AB AC CD BE ∴=+=⋅=⋅．23.如图，ABC ∆中，AB AC =，点D 是AB 上的动点，作EDC ∆∽ABC ∆．求证：（1）ACE ∆∽BCD ∆；（2）AE //BC ．【答案】证明过程见解析【解析】证明：（1）EDC ∆∽ABC ∆，EC DC AC BC∴=，DCE ACB ∠=∠，即EC AC DC BC =，ACE ACD ACD BCD ∠+∠=∠+∠， ∴ACE BCD ∠=∠，∴ACE ∆∽BCD ∆．（2）AB AC =，B ACB ∴∠=∠．A B C DEACE∆∽BCD∆，CAE B∴∠=∠．CAE ACB∴∠=∠，∴AE//BC．24.如图，在ABC∆中，AB AC=，AD AB⊥于点A，交BC边于点E，DC BC⊥于点C，与AD交于点D．（1）求证：ACE∆∽ADC∆；（2）如果1CE =，2CD=，求AC的长．【答案】（1）略；（2）253AC=．【解析】（1）证明：AD AB⊥，DC BC⊥，AEB CED∠=∠，∴AEB∆∽CED∆，B D∴∠=∠．AB AC=，B ACE∴∠=∠，D ACE∴∠=∠．CAE CAD∠=∠，∴ACE∆∽ADC∆．（2）解：由（1）可知AEB∆∽CED∆，AB CDEAE ABCE CD∴=．1CE=，2CD=，25 AB AE AC DE∴===，．ACE∆∽ADC∆，AC CEAD CD∴=．即11252ACAC=+、解得：253AC=．。

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上海市实验中学2017—2018学年度
初三第一学期期末考试试卷
一、选择题：（每小题4分，共24分）
1、已知在Rt ABC ∆中，90C ∠=
，A α∠=，2,AB =那么BC 的长等于（
）。

()2sin ;A α()2cos ;
B α2
()
;sin C α
2()
;cos D α
2、如图为二次函数2
y ax bx c =++的图像，它与x 轴交于(1,0),(3,0)-两点，下列说法正确的是（
）。

()A 0个(B)1个()C 2个()D 3个
3、某课外小组的同学们实践活动中调查了20户家庭某月用电量，如下表所示：用电量（度）120140160180200户数
2
3
6
7
2
则这20户家庭用电量的众数和中位数分别是（
）。

()A 180，160；(B)160，180；
()C 160，160()D 180，180
4、下列说法中正确的是（
）
()A 经过半径外端的直线是圆的切线；(B)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；()C 平分弦的直径垂直于弦；
()D 三角形的外心到三角形三边距离相等；
5、已知ABC ∆中，点,,D E F 分别在边,AB AC 和BC 上，且,DE BC DF AC ;那么下列比例式中，正确的是（
）。

()
;AE DE A EC BC
=(B)
AE CF
EC FB
=()
DF DE
C AC BC
=()
D EC FC
AC BC
=
6、已知关于x 的方程11x a x a +
=+的两根分别为1
,a a
，则关于x 的方程11
11x a x a +
=+--的根是（）
1
()a,
1
A a -;1(B)a 1,
1
a --1
(),a 1
C a
-1(),
1
D a a -二、填空题：（每题4分，共48分）
7、关于x 0的实数根有个。

8、数据97，98，99，100，101，102，103的方差是。

9、抛物线2
1y x =-通过左右平移得到抛物线C ，C 通过上下平移得到抛物线
2821y x x =-+，则抛物线C 的顶点坐标是。

10、在ABC ∆中，4
5,tanB 3
AB AC ===，若o o 经过点,B C 那么线段OA 的长度为。

11、Rt ABC ∆中，90C ∠=
，5,12AC BC ==，如果以点C 为圆心，F 为半径，且C 与斜边AB 仅有一个公共点，那么半径r 的取值范围是。

12、若方程组2
24y k x
y x =+⎧⎨=⎩
只有一个解，则k 的值为。

13、如图，点G 是Rt ABC ∆的重心，过点G 做矩形GECF ，当:1:2GF GE =时，则B
∠的正切值为。

14、已知二次函数的图像在x 轴上截得的线段长为6，若图像的顶点是(2,9)，则函数的解析式为。

15、如果两个相似三角形的面积之比为9:25，其中小三角形一边上的中线长是12cm 那么大三角形对应边上的中线长是cm
16、如图，O 的弦AB CD ⊥于,3,4,2,E EB EA EC ===则O 的直径为
17、如图，D 是△ABC 内一点，且∠ADC =∠BDA =∠BDC ，如果2AD =，3BD =，∠ABC =60︒，那么CD =
．
18、如图，已知ABC ∆中，AC AB =，2tan =B ，BC AD ⊥于点D ，G 是ABC ∆的重心，将ABC ∆绕着重心G 旋转，得到111C B A ∆，并且点1B 在直线AD 上，联结1CC ，那么11tan B CC ∠的值等于。

(第16题)（第17题）（第18题）
三、解答题：
19、
（本题满分10分）
计算：000
00
sin 45cos 60cot 60cos302cos 45tan 45++-- 20、
（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分4分，第三小题满分2分）已知抛物线2
y x bx c =-++经过点A(1,0),B(5,0)-两点，顶点为P 。

求：（1）,b c 的值；
（2）ABP ∆的面积；
（3）若点11,(,)C x y 和点22(,)D x y 在该抛物线上，则当1201x x <<<时，请写出12,y y 的大小关系。

21、（本题满分10分）
的直径，弦AC与EF垂直相交于D点；
已知，如图，AB是0。

求证:CE BF
22、某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至1B层之间安装电梯．截面图如图所示，底层与1B层平行，层高AD为9米，A、B间的距离为6米，∠ACD＝20°．（1）请问身高1.9米的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在B处会不会碰到头部？请说明理由；
（2）若采取中段平台设计（如图虚线所示）．已知平台EF∥DC，且AE段和FC段的坡度i＝1∶2，
求平台EF的长度．(参考数据：sin20°取0.34，cos20°取0.94，tan20°取0.36）
23、在△ABC 中，D 是BC 的中点，且AD AC =，DE ⊥BC ，与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F ．
（1）求证：△ABC ∽△FCD ；
（2）若=3DE ，=8BC ，求△FCD 的面积．
24、本题满分12分，每小题4分）
已知、如图，在平面直角坐标系xoy 中，二次函数2
13
y x bx c =-
++的图像经过点(1,1)A -和点(2,2)B ，该函数图像对称轴与直线,OA OB 分别交于点C 和点D ，（1）求这个二次函数的解析式和它的对称轴；（2）求证：ABO CBO ∠=∠；
（3）如图点P 在直线AB 上，且POB BCD 与相似，求点P 的坐标。

25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2），（3）小题满分各5分）
已知：60MAN =
∠，点B 在射线AM 上，4AB =（如图10）．P 为直线AN 上一动点，以BP 为边作等边三角形BPQ （点B P Q ，，按顺时针排列），O 是BPQ △的外心．（1）当点P 在射线AN 上运动时，求证：点O 在MAN ∠的平分线上；
（2）当点P 在射线AN 上运动（点P 与点A 不重合）时，AO 与BP 交于点C ，设AP x =，
AC AO y = ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）若点D 在射线AN 上，2AD =，圆I 为ABD △的内切圆．当BPQ △的边BP 或BQ 与圆I 相切时，请直接写出点A 与点O 的距离．
A
B M
Q
N
P
O
图10
A
B
M
Q
N
P
O
备用图。