MIMO信道的信道容量

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（1-7）
其中
i i2 i2 P / 2 。
式（1-7）所给出的 MIMO 信道的互信息与 H，特别是奇异值 { i } 的具体实现 有关。 对随机矩阵 H 平均后的平均互信息与 H 的概率分布有关。 在衰落信道中， 若发送端以此平均互信息为速率发送数据，可以保证接收端能正确接收，下部分
H U V H
其中 M r M t 的矩阵 U 和 M t M r 的矩阵是酉矩阵， M r M t 的矩阵 是由 H 的奇 异值 i 构成的对角阵即 diag 1 i 。这些奇异值中有 RH 个不为零，并且
i i ， 其中 i 为 HH H 的第 i 大特征值。 因为矩阵 H 的秩不能超过他的行数或
MIMO 信道的信道容量
摘要
由于 MIMO 可以在不需要增加带宽或总发送功率耗损（transmit power expenditure）的情况下大幅地增加系统的资料吞吐量（throughput）及传送距离， 使得此技术于近几年受到许多瞩目。MIMO 的核心概念为利用多根发射天线与 多根接收天线所提供之空间自由度来有效提升无线通信系统之频谱效率， 以提升 传输速率并改善通信品质。研究 MIMO 信道的容量是对 MIMO 进行深入分析的 基础，本文分析了 MIMO 信道的容量计算方法，分别介绍了在静态信道中的注 水法、平均功率分配法信道容量，以及衰落信道中遍历容量和中断容量。 关键词：MIMO，信道容量，注水法，平均功率分配，遍历容量，中断容量
接收成形将信道的输出 y 乘以 U H ，如图（2）
x
x Vx
x
y Hx n
y
UH y y
y
图 2 发送预编码与接收成形 发送预编码和接收成形将 MIMO 信道变换成 RH 个并行的单入单出 SISO 信道， 其
。这一点可以从奇异值分解得到： ，输出为 y 输入为 x
C max B log 2 (1 i 2 i ) （1-4）
i:i i i 1
RH
其中 RH 是 H 的非零奇异值的个数。 由于 MIMO 信道可以分解成 RH 个并行信道， 因此称其自由度为 RH 。由于 P / 2 ，式（1-4）所示的容量也可以根据第 i 个 并行信道的功率 Pi 表示为
Rx :Tr ( Rx )
其中 det[ A] 是矩阵 A 的行列式。很明显，最优的 Rx 取决于发送端是否知道 H 。 以下根据不同的发送端信道边信息假设来考虑这个最优问题。
1.发送端已知信道：注水法
对于给定信道矩阵为 H 的 MIMO 信道，当发送端和接收端均已知 H 时， MIMO 信道分解可以简化信道容量的分析。具体而言，信道容量等于总发送功率 在各个信道之间最优分配后， 各个独立并行信道的容量之和。最优功率分配就是 通过优化协方差矩阵使（1-3）最大化的结果。讲奇异值分解带入（1-3） ，利用 酉矩阵性质可以得到收发两端都已知信道时 MIMO 信道的容量为
i 、输出为 y i ，噪声为 n i ，信道 了 RH 个独立的并行信道，第 i 个信道的输入为 x 增益为 i 。注意 i 之间是有关联的，他们都是 H 的函数。不过由于这些并行信 道并不相互干扰， 所以我们说这些信道总是通过发送功率联系在一起的一组独立 信道。并行分解如图（3）所示。并行信道互不干扰，使得最大似然解调的复杂 度随 RH 线性增长。此外，通过在这些信道上发送独立数据，MIMO 的数据速率 将是单天线系统的 RH 倍，即复用增益为 RH 。但需注意，每个信道的性能与 i 有 关。
1 引言
信道容量的计算是研究噪声信道的主要关注点之一。信道容量的定义是以任 意小的差错率传输信息的最大速率，它建立了可靠通信的基本极限。因此，信道 容量广泛应用于衡量通信系统的性能。本文的主要目标是研究与 MIMO 无线信 道有关的信道容量。 MIMO 信道的香农容量是能够以任意小的差错率传输的最大数据率。中断容 量则定义为能使中断率不超过某个数值的最大数据率。 信道容量的大小和收发两 端是否已知信道增益矩阵或其分布有关。 下文先给出不同信道信息假设下静态信 道的容量，它是其后讨论的衰落信道容量的基础。
1 HH H I M r M t M t lim
讲此式带入式（1-7）可得，当 M t 趋于无限大时，互信息变为常数 C M r B log 2 (1 ) 。定义 M min( M t , M r ) ，则随着 M 的增大，MIMO 信道在位 置 CSTI 的情况下容量将趋于 C MB log 2 (1 ) ，随着 M 线性增长。在天线数较 少时也能观察到这种随 M 线性增长的规律。同样的，当信噪比很大时，对于任 意 M t 和 M r ，容量也随着 M min( M t , M r ) 线性增长。由于 ZMSW MIMO 信道的 秩 RH M min( M t , M r ) ，因此无 CSIT 时，高信噪比或者天线数很多时，信道容 量随信道自由度线性增长。这些结论是 MIMO 技术颇具吸引力的主要原因：只 要接收端能正确估计信道信息，即使发送端不知道信道状态，ZMSW MIMO 信道 的容量也与发送端和接收端中的最小天线数成线性增长的关系。因此 MIMO 信 道在不需要增加信号功率或带宽的情况下就可以提供很高的数据率。但需注意， 信噪比非常低时增加发送天线并无益处，容量只与接受天线数有关。这是因为信
U H ( Hx n) y U H (U V H x n) n) U H (U V HVx U H n U HU V H Vx n x
U H n ， 是由 H 的奇异值构成的对角阵。注意到乘上酉矩阵不改变噪声 其中 n
与 n 同分布的。这样，发送预编码和接收成形将 MIMO 信道变换成 的分布，即 n
进行讨论。对于静态信道，如果发送端不知道信道状态或者信道的平均互信息， 那么它也无法确定该以什么样的速率发送方能保证数据的正确接收。 此时最适合 的容量定义为中断容量。 发送端以固定速率 R 来发送， 中断率表示接收端不能正 确接收的概率，也即信道 H 的互信息小于 R 的概率，其值为
out p ( H : B log 2 det[ I M
Tr ( R x )
。 于是， 我们有 H (Y ) B log2 det[eRy ]
，
I ( X ; Y ) B log 2 det[ I M r HRx H H ] （1-2）
MIMO 信道容量就是所有满足功率约束条件的输入协方差矩阵 Rx 中， 使得互 信息量最大，即
C max B log 2 det[ I M r HRx H H ] （1-3）
C max I ( X ; Y ) max[ H (Y ) H (Y | X )] （1）
p ( x) p( x)
其中 H (Y ) 是 y 的熵，H (Y | X ) 是 y|x 的熵。 由熵的定义可知，H (Y | X ) H ( n) ， 其中 H ( n) 为噪声熵。噪声的熵独立于信道输入，所以最大化互信息就是最大化 y 的熵。 若给定输入向量 x 的协方差矩阵为 R x ， 那么 MIMO 信道输出 y 的协方差矩阵
2.1 MIMO 信道的并行分解
发送端和接收端都有多个天线时， 可以获得另外的一种增益， 称作复用增益。 MIMO 信道的服用增益来源于 MIMO 信道可以分解为 R 个并行的独立信道。 在这 些独立的信道上传输多路数据， 数据速率就可以比单个天线系统提高 R 倍， 这个 提高的倍数就是复用增益。 这个分解过程就用到了矩阵理论中的奇异值分解的知 识。 奇异值分解（singular value decomposition ,SVD）是线性代数中一种重要的矩
R i 2 Pi P C max B log 2 (1 2 ) max B log 2 (1 i i ) （1-5） P : P P i 1 P : P P i 1 P RH
H i i i i i i
其中 i i 2 P / 2 是满功率时第 i 个信道的信噪比。上式表明，高信噪比时，信 道容量随信道的自由度线性增长；相反，低信噪比时，所有功率都会分配在信噪 比最大 （即 i 2 最大） 的那个信道上。 式 （1-5） 与平坦衰落信道或频率选择性信道类似。 其最优解是 MIMO 信道的注水法功率分配：
阵分解，在信号处理、统计学等领域有重要应用。奇异值分解在某些方面与对称 矩阵或 Hermite 矩阵基于特征向量的对角化类似。 然而这两种矩阵分解尽管有其 相关性，但还是有明显的不同。对称阵特征向量分解的基础是谱分析，而奇异值 分解则是谱分析理论在任意矩阵上的推广。 考虑一个 M r M t 的 MIMO 信道 ，发送端和接收端都已知信道增益矩阵 H。 令 RH 表示 H 的秩。对任意的 H，可进行奇异值分解:
Rx ( / M t ) I M t 。在上述假设下，这样的输入协方差矩阵确实能够使信道互信息
量最大。此时互信息为
I ( x; y ) B log 2 [ I M r
可用奇异值分解将此式表示为
RH

Mt
HH H ]
I ( x; y ) B log 2 (1
i 1
i
Mt
列数，所以 RH min( M t , M r ) 。满秩的情况称为富散射环境，此时 RH min( M t , M r ) 。 其他情况可能是低秩的， 若某个信道中的 H 的元素高度相关， 其秩可能会降为 1。 用发送与编码和接受成形对信道的输入输出 x 和 y 分别进行变换，就可以实现
后作为天线的输入， 矩阵的并行分解。 发送预编码将输入向量 x 经线性变换 x Vx
Pi 1/ 0 1/ i 0 P
其中 0 为某个门限值。由此得到信道容量为
i 0 i 0 （1-6）
C B log 2 (
i: i 0
i ) 0
对于有一个发送天线和多个接收天线的单入多出系统，或者有多个发送天线 一个接收天线的多入单出系统，也可以定义出收发都有理想信道信息时的容量。 这些信道可以通过多天线获得分集增益和阵列增益，但没有复用增益。当发送端 和接收端都已知信道信息时， 其容量等于信号在发送端或接收端进行最大比合并 后得到的 SISO 信道的容量为
C B log 2 (1 h )
2
2 ， 其中 P / ， 信道矩阵 H
变成了信道增益向量 h。最优权值向量，是
C hH / h
。
2.发送端未知信道：平均功率分配
假设接收端已知信道信息，而发送端未知，那么发送端讲无法在各天线上进 行优化功率分配，或是优化天线之间的协方差特性。如果 H 分布符合 ZMSW 信 道增益模型， 其均值和方差对各个天线来说是对称的。因此我们认为应该把功率 平均分配给每个发射天线上。 这样， 输入的协方差矩阵是酉矩阵乘上了一个系数：
1
1 n
1 x 2 x
1
1 y
2
2 n
2 y
3
3 n
2 x
3 y
图 1 MIMO 信道奇使用异值分解后的等效并行信道
2.2 静态信道
MIMO 信道的容量是 SISO 信道的互信息公式在矩阵信道下的扩展。 静态信道 下，接收端可以容易地对 H 做出很好的估计，因此本节假设有发送端信道边信 息（channel side information at the transmitter ,CSIT） 。在此假设下，信道容量由 信道输入向量 x 和输出向量 y 之间的互信息确定：
r

Mt
HH H ] R )
（1-10）
这个概率取决于 HH H 的特征值分析，这些特征值是 H 的奇异值的平方。人们对 聚真气一直的分布问题已经进行了研究，对于 MIMO 信道中常见的情形，已经 得到了分布的结果。 当发送端和接收端的天线数目很多时， 随机矩阵理论给出了关于 H 的奇异值 分布的中心极限定理。根据这一定理，所有信道实现都有相同的互信息。作为中 心极限分布的例子，假设接收端天线数固定为 M r 那么在 ZMSW 模型下，大数定 律表明
Ry 为
R y E[ yy H ] HRx H H I M r
可以证明，给定协方差矩阵为
Ry
（1-1）
的所有随机向量中，零均值循环对称随机向量
的熵最大。而仅当输入向量 x 是零均值循环对称复高斯随机变量时，y 才是零均 值循环对称复高斯随机变量， 所以零均值循环对称复高斯随机变量是式中 x 的最 佳分布， 功率约束条件是 从而互信息为