上海市格致中学高三数学下学期仿真考试试题 理 沪教版

上海市格致中学高三数学下学期仿真考试试题 理 沪教版

一、填空题：（每小题4分，满分56分）

1、已知复数z 满足(1)2z i +=（i 是虚数单位），则||z =

2、不等式

1021x x -≤+的解为＿＿＿；1

12

x -≤≤（用集合或区间表示也可以） 3、若全集U R =，集合{|31}A x x =-≤≤，{|32}A B x x =-≤≤，则U

B

A =＿；

(1,2]

4、若二项式6

()a

x x

+展开式的常数项为20，则a =＿＿＿＿；1

5、将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为＿＿＿；

3

6、某学院的A 、B 、C 三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本。已知该学院的A 专业有380名学生，B 专业有420名学生，则在该学院的C 专业应抽取＿＿＿＿名学生；40

7、已知函数1

()2(0x f x a

a +=->且1)a ≠的反函数为1()f x -。若)(1

x f

y -=在[0,1]上

的最大值和最小值互为相反数，则a 8、数列{}n a 满足：对于任意的*

,m n N ∈，m n m n a a a +=+。若112a =，则2013a =＿；2013

2

9、若函数)102)(3

6sin(

2)(<<-+=x x x f π

π

的图像与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与

函数的图像交于另外两点B 、C 。O 是坐标原点，则()OB OC OA +⋅=___________；32 10、袋中装有同样大小的10个小球，其中有8个白球，2个红球。从中任取2个球，取到白球得1分，取到红球得5分。记随机变量ξ为一次取得的两球的分数之和，则E ξ=

18

5

11、若双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>上存在四个不同的点A 、B 、C 、D ，使四边形

ABCD 为菱形，则b

a

的取值范围为＿＿＿＿＿＿＿；(1,)+∞

12、在极坐标系中，O 是极点，点M 的极坐标为(,)(0,02)ρθρθπ>≤<，则称θ为向量

OM 的方向角，方向相同的两平行向量的方向角相同。已知)2P π、5)6

Q π

，则

A

B

O M

N 向量PQ 的方向角等于＿＿＿＿＿＿＿＿；

43

π 13、定义在R 上的偶函数()f x 对于任意的x R ∈有(1)(1)f x f x +=-，且当[2,3]x ∈时，

2()69f x x x =-+-。若函数()log a y f x x =-在(0,)+∞上只有四个零点，则实数a 的值

为＿＿＿＿＿＿；

14

14、某公园草坪上有一扇形小径（如图），扇形半径为40m ，中心角为120。甲由扇形中心O 出发沿OA 以每秒2米的速度向A 快走，同时乙从A 出发，沿扇形弧以每秒

43

π

米的速度向B 慢跑。记(020)t t ≤≤秒时甲、乙两人所在位置分别为N 、M ，||()MN f t =，通过计算

(5)f 、(10)f 、(15)f 判断下列说法是否正确。

（1）当MN OA ⊥时，函数()f t 取最小值；（2）函数()y f t =在区间[10,15]上是增函数； （3）若0()f t 最小，则0[0,10]t ∈； （4）()()40g t f t =-在[0,20]上至少有两个零点。其中正确的判断序号是＿＿＿＿＿（把你认为正确的判断序号都填上）。（2）、（3）、（4）。 二、选择题：（每小题5分，满分20分） 15、“2p <”是“关于x 的实系数方程2

10x px ++=没有实数根”的 （A ） A 、必要不充分条件； B 、充分不必要条件；

C 、充分必要条件；

D 、既不充分又不必要条件。

16、设α是平面，,,l m n 是三条不同的直线，则下列命题中正确的是 （C ） A 、若,,,,m

n l m l n l ααα⊥⊥⊥则； B 、若,,,//m n l n l m αα⊥⊥则；

C 、若//,,l m m n αα⊥⊥，则//l n ；

D 、若,,//l m l n n m ⊥⊥则。

17、设1F 、2F 分别是椭圆2

2

2:1(01)y E x b b

+=<<的左、右焦点，过1F 的直线l 与E 相交

于A 、B 两点，且2||AF 、||AB 、2||BF 成等差数列，则||AB 的长为（C ） A 、

32； B 、1；C 、34； D 、3

5。 18、()f x 是定义在R 上周期为1的周期函数，当[0,1)x ∈时，()1x

f x x

=

-。直线y x =与函数()y f x =的图像在y 轴右边交点的横坐标从小到大组成数列{}n a 。则 （A ）

A 、11n n a a +->对于*n N ∈恒成立；

B 、11n n a a +-<对于*

n N ∈恒成立； C 、11n n a a +-=对于*

n N ∈恒成立； D 、1n n a a +-与1的大小关系不确定。

三、解答题：（共5大题，满分74分，解题要有必要的步骤） 19、（本题满分12分，第（1）题6分，第（2）题6分）

已知函数2

()sin cos )2

f x x x x x R =+-

∈。 （1）求函数()f x 的最小正周期T 与单调递增区间； （2）在△ABC 中，若1

()()2

f A f B ==

，求角C 的值。

解：（1）1()cos 2)sin 2sin(2)23

f x x x x π

=

-+=- 2分 所以周期T π= 3分

由2[2,2]322x k k π

π

πππ-

∈-

+，得5[,]1212

x k k ππππ∈-+

即函数()f x 单调递增区间为5[,]()1212

k k k Z ππ

ππ-+∈。 6分

（2）A 、B 为三角形内角，所以A 、(0,)B π∈，由1

()2

f x =且(0,)x π∈得：

1sin(2)324x x ππ-=⇒=或712

x π

=

， 8分 又A B π+<，所以4A B π==或7,412A B ππ==或7,124

A B ππ

== 10分

所以2

C π

=

或6

C π

=

。 12分

20、（本题满分14分，第（1）题7分，第（2）题7分）

已知函数2

1

()(,)f x ax a b R x b

=+

∈+。 （1）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由； （2）当0b =时，1()24f x a ≥

+在1

(0,]2

上恒成立，求a 的取值范围。 解：（1）函数()f x 定义域(,)

(,)b b -∞--+∞，当0b ≠时，函数定义域不关于原点对称，

所以函数()f x 是非奇非偶函数； 2分

当0b =时，2

1()f x ax x =+

，0a =时，1

()f x x

=是奇函数， 4分 0a ≠时，(1)1,(1)1f a f a =+-=-，(1)(1)20(1)(1)f f a f f +-=≠⇒-≠--