北师版数学高一-必修4学案数乘向量

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2020-2021学年数学北师大版必修4学案：2.3.1 数乘向量 Word版含解析

§3 从速度的倍数到数乘向量3.1 数乘向量,知识点一数乘向量[填一填]1.(1)定义：实数λ和向量a 的乘积是一个向量，记作λa . (2)长度：|λa |＝|λ|·|a |. (3)方向：λa (a ≠0)的方向⎩⎪⎨⎪⎧当λ>0时，λa 与a 的方向相同.当λ<0时，λa 与a 的方向相反.特别地，当λ＝0或a ＝0时，0×a ＝0或λ×0＝0. (4)几何意义由实数与向量的积的定义可以看出，它的几何意义就是将表示向量a 的有向线段伸长或压缩．当|λ|>1时，表示向量a 的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的|λ|倍；当|λ|<1时，表示向量a 的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的|λ|倍．(5)运算律设λ，μ为实数，则①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa ＋λb.(6)向量的线性运算向量的加法、减法和实数与向量积的综合运算，叫作向量的线性运算(或线性组合)．[答一答]1．向量的线性运算有哪几种？与以前学过的实数和代数式的运算有何联系和区别？提示：(1)向量的加法、减法、实数与向量的积的运算称为向量的线性运算，即(2)向量线性运算的结果是向量，实数运算的结果是实数，代数式的运算结果是代数式．它们的运算律形式上类似，意义却迥然不同．因此可类比实数，代数式运算的运算律来理解向量线性运算的运算律．注意：(1)数乘向量仍是一个向量，不要误认为是实数．(2)0·a与0是相等的，都是向量0，而不是实数0.知识点二向量共线的判定定理和性质定理[填一填]2．(1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．(2)性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得b＝λa.[答一答]2．向量共线的判定定理和性质定理有何应用？提示：(1)判定定理的结论是a ∥b ，那么用向量共线的判定定理可以证明两向量共线，即证明向量a ∥b ，只需找到满足b ＝λa 的实数λ的值即可．(2)判定定理的结论是a ∥b ，则有当OA→＝a ，OB →＝b 时，有O ，A ，B 三点共线，即用向量共线的判定定理可以证明三点共线，即三点共线问题通常转化为向量共线问题．(3)判定定理的结论是a ∥b ，当a 和b 所在的直线分别是直线m 和n 时，则有直线m ，n 平行或重合，即用向量共线的判定定理可以证明两条直线平行．(4)性质定理的结论是b ＝λa ，则有|b |＝|λ|·|a |，当OA →＝a ，OB →＝b 时，|OB →|＝|λ|·|OA →|，从而OB ＝λOA ，即用向量共线的性质定理可以证明两平行线段间的长度关系．1．从两个角度看数乘向量 (1)代数角度①λ是实数，a 是向量，它们的积仍然是向量； ②λa ＝0的条件是λ＝0或a ＝0. (2)几何角度①当|λ|>1时，有|λa |>|a |，这意味着表示向量a 的有向线段在原方向(λ>1)或反方向(λ<－1)上伸长到|a |的|λ|倍；②当0<|λ|<1时，有|λa |<|a |，这意味着表示向量a 的有向线段在原方向(0<λ<1)或反方向(－1<λ<0)上缩短到|a |的|λ|倍．2．对数乘向量的运算律的两点说明(1)数乘向量运算律满足的条件：三种运算律中的λ与μ都是实数． (2)运算律λ(a ＋b )＝λa ＋λb 的几点说明①当a ，b 中有一个等于0，或λ＝0或1时，等式显然成立．②若a ，b 都不等于0且λ≠1，λ≠0，当λ>0且λ≠1时，如图， OA→＝a ，AB →＝b ， OA 1→＝λa ，A 1B 1→＝λb ， OB →＝a ＋b ，OB 1→＝λa ＋λb ，由作法知AB →∥A 1B 1→，所以|A 1B 1→|＝λ|AB →|，所以|OB 1→|＝λ|OB →|，且OB 1→与OB →方向也相同，故有λ(a ＋b )＝λa ＋λb 成立．当λ<0时，同理可证．综上，λ(a ＋b )＝λa ＋λb 成立．类型一数乘向量的概念【例1】已知a ，b 是两个非零向量，判断下列各命题的真假，并说明理由．(1)5a 的方向与a 的方向相同，且5a 的模是a 的模的5倍； (2)－4a 的方向与8a 的方向相反，且－4a 的模是8a 的模的12； (3)－12a 与12a 是一对相反向量； (4)a －b 与－(b －a )是一对相反向量．【思路探究】 (1)在数乘向量λa 中，实数λ称为向量a 的系数． (2)实数与向量可以进行数乘运算，结果仍是一个向量，它可以看成实数与实数的积的定义的推广．【解】 (1)∵5>0，∴5a 与a 同向．又∵|5a |＝5|a |，∴5a 的模是a 的模的5倍， ∴命题(1)为真命题．(2)∵－4<0，∴－4a 与a 的方向相反，且4a |＝4|a |.又∵8>0，∴8a 与a 的方向相同，且|8a |＝8|a |， ∴－4a 与8a 方向相反，且－4a 的模是8a 的模的12， ∴命题(2)为真命题．(3)由数乘向量和相反向量的定义可知(3)是真命题． (4)∵a －b 与b －a 互为相反向量， ∴a －b 与－(b －a )是相等向量， ∴命题(4)是假命题．规律方法我们可以把向量a 的长度伸长(当|λ|>1时)，也可以缩短(当|λ|<1时)，同时，我们可以不改变向量a 的方向(当λ>0时)，也可以改变向量a 的方向(当λ<0时)．设a 是非零向量，λ是非零实数，则下列结论中正确的是( C ) A ．a 与－λa 的方向相反 B ．λa |≥|a |C ．a 与λ2a 的方向相同D ．λa |＝|λ|a解析：当λ>0时，a 与－λa 的方向相反，当λ<0时，a 与－λa 的方向相同，故A 不正确．|λ|≥1时，λa |≥|a |，|λ|<1时，λa |<|a |，故B 不正确．因为λ2>0，所以a 与λ2a 的方向相同，C 正确．λa |是实数，|λ|a是向量，二者不相等，故D 不正确．类型二向量的线性运算【例2】化简下列各式： (1)23⎣⎢⎡⎦⎥⎤(4a －3b )＋13b －14(6a －7b )；(2)(2λ＋μ)⎝ ⎛⎭⎪⎫e 1＋13e 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ－2μ(3e 1＋4e 2)．【思路探究】利用向量的加法、减法及向量的数乘运算法则、运算律计算．【解】 (1)原式＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫4a －3b ＋13b －32a ＋74b ＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫4－32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋13＋74b ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫52a －1112b ＝53a －1118b . (2)原式＝(2λ＋μ)e 1＋13(2λ＋μ)e 2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ－2μe 1－4⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ－2μe 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2λ＋μ－32λ＋6μe 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ＋13μ－2λ＋8μe 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋7μe 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫43λ－253μe 2.规律方法数乘向量的运算律在形式上与实数的加、减法与乘法满足的运算律类似(当然向量的运算与实数的运算在具体含义上是不同的)．因此，在实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形技巧在向量的线性运算中都可以使用．在去括号时，要注意符号的变化．若3m ＋2n ＝a ，m －3n ＝b ，其中a ，b 是已知向量，求m ，n . 解：把已知中的两个等式看作关于m ，n 的方程，联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋2n ＝a ，m －3n ＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝311a ＋211b ，n ＝111a －311b .类型三用已知向量表示未知向量【例3】如图，△ABC 的重心为G ，O 为△ABC 所在平面内一点，OA →＝a ，OB→＝b ，OC →＝c ，试用a 、b 、c 表示OG →.【思路探究】要用a ，b ，c 表示OG→，关键是建立OG →与a ，b ，c 的联系．注意到OG →＝OA →＋AG →，AG →＝23AM →，而2AM →＝AB →＋AC →，从而问题解决．【解】因为AB→＝OB →－OA →＝b －a ，AC →＝OC →－OA →＝c －a ，M 为BC 的中点，则AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(b ＋c －2a )．又G 为△ABC 的重心，所以AG →＝23AM →＝13(b ＋c －2a )．OG →＝OA →＋AG →＝a ＋13(b ＋c －2a )＝13(a ＋b ＋c )．规律方法正确运用向量的加法、减法、向量数乘的运算法则是解决本题的关键．另外，用OG→＝AG →－AO →也可以求出结果．如图，D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC →＝a ，CA→＝b .试求AD →，BE →，CF →(用a ，b 表示)．解：AD →＝AC →＋CD →＝－b ＋12CB →＝－b －12a . BE →＝BC →＋CE →＝a ＋12b .CF →＝CA →＋12AB →＝CA →＋12(AC →＋CB →) ＝b ＋12(－b －a )＝12b －12a .类型四向量共线定理的应用【例4】已知A ，B ，P 三点共线，O 为直线外任意一点，若OP →＝xOA →＋yOB→，则x ＋y ＝________. 【解析】由于A ，B ，P 三点共线，所以向量AB→，AP →在同一条线上，由共线向量定理可知，必定存在实数λ使AP→＝λAB →，即OP →－OA →＝λ(OB →－OA→)，所以OP →＝(1－λ)OA →＋λOB →，故x ＝1－λ，y ＝λ，即x ＋y ＝1. 【★答案★】 1规律方法用向量法证明三点共线时，关键是能否找到一个实数λ，使得b ＝λa (a ，b 为由这三点构成的任意两个向量)．证明步骤是先证明向量共线，然后再由两向量有公共点，证得三点共线．已知非零向量e 1和e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A 、B 、D 三点共线；(2)欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．解：(1)证明：∵AB→＝e 1＋e 2， BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →，∴AB →、BD →共线，又∵它们有公共点B . ∴A 、B 、D 三点共线． (2)∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线， ∴存在λ使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2，由于e 1与e 2不共线，只能有⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，则k ＝±1.——规范解答——利用平面图形的性质解决向量问题【例5】点E ，F 分别为四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的中点，设BC→＝a ，DA →＝b ，试用a ，b 表示EF →. 【审题】【解题】如图，取AB 的中点P ，连接EP ，FP ，在△ABC 中，因为EP 是△ABC 的中位线，所以PE →＝12BC →＝12a ，在△ABD 中，因为FP 是△ABD 的中位线，所以PF →＝12AD →＝－12b ，在△EFP 中，EF →＝EP →＋PF →＝－12a －12b ＝－12(a ＋b )．【小结】 1.灵活作辅助线平面几何图形中灵活、准确地作出辅助线往往是解题的突破口，如本例，灵活地作出辅助线，建立向量间的联系是解答本例的关键．2．三角形中位线性质的灵活应用解题时，正确应用几何图形的性质，是解题的保障，如本例，若不能利用三角形中位线的性质，则不能得到向量PE →，PF →与已知向量的关系，将会造成解题的障碍．如图所示，点E 在△ABC 的边BC 上，且CE ＝3EB ，设AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示AE→.解：因为CE ＝3EB ，所以BE →＝14BC →.又因为BC →＝AC →－AB →，所以AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋14BC →＝a ＋14(b －a )＝34a ＋14b .一、选择题1．(2a －b )－(2a ＋b )等于( B ) A ．a －2b B ．－2b C ．0D ．b －a2．已知λ，μ∈R ，下面式子正确的是( C )A ．λa 与a 同向B ．0·a ＝0C ．(λ＋μ)a ＝λa ＋μaD ．若b ＝λa ，则|b |＝λ|a |解析：当λ<0时，λa 与a 反向，A 错；0·a ＝0，B 错；若b ＝λa ，则|b |＝|λ||a |，D 错．3．点C 在直线AB 上，且AC →＝3AB →，则BC →等于( D ) A ．－2AB → B.13AB →C ．－13AB →D ．2AB → 解析：如图，AC→＝3AB →，∴BC →＝2AB →.二、填空题4．如图，已知点C 在线段AB 上，且|BC →|＝2|AC →|，则AC →＝13AB →，AB →＝－32BC →.5．已知向量e 1，e 2不共线，且e 1－2e 2＝λe 1＋4k e 2，则实数λ＝1，k ＝－12.解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，4k ＝－2，∴⎩⎨⎧λ＝1，k ＝－12.三、解答题6．证明：如图，向量OA→，OB →，OC →的终点A ，B ，C 共线，则存在实数λ，μ，且λ＋μ＝1，使得：OC→＝λOA →＋μOB →；反之，也成立．证明：若OA →，OB →，OC →的终点A ，B ，C 共线，则AB →∥BC →，故存在实数m ，使得BC→＝mAB →. 又BC →＝OC →－OB →，AB →＝OB →－OA →，故OC →－OB →＝m (OB →－OA →)，OC →＝－mOA→＋(1＋m )OB →. 令λ＝－m ，μ＝1＋m ，则存在λ，μ且λ＋μ＝1，使得OC →＝λOA →＋μOB →. 若OC→＝λOA →＋μOB →，其中λ＋μ＝1，则μ＝1－λ，OC→＝λOA →＋(1－λ)OB →. 从而有OC →－OB →＝λ(OA →－OB →)，即BC →＝λBA →，所以A ，B ，C 三点共线，即向量OA →，OB →，OC →的终点在一条直线上．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。

高中数学-第二章平面向量 2.3.1 数乘向量课件北师大版必修4

②若向量 e1 和 e2 共线,可设 e2=ke1(k∈R),
则 3e1+2e 2=(3+2k)e1,3e 1-2e 2=(3-2k)e1,
3+2k 与 3-2k 中至少有一个不为 0,不妨设 3-2k≠0,
3+2
于是 3e1+2e2=
(3e1-2e2),这时 3e1+2e 2 与 3e 1-2e2 共线.
探究三
易错辨析
探究二向量的线性运算
【例 2】 (1)计算下列各式:
①3(a-2b+c)-(2c+b-a);
2
1
2
② (a-b)- (2a+4b)+ (2a+13b).
5
3
15
(2)设 x,y 是未知向量.
①解方程 5(x+a)+3(x-b)=0;
1
②解方程组
2
- = ,
1
- = .
2
思路分析:要解决(1)中的问题,需要用到数乘向量的运算律,其运
∴a∥b.综上可证得a∥b.
(
)
A.a 与-λa 的方向相反
B.|-λa|≥|a|
C.a 与 λ2a 的方向相同
D.|-λa|=|λ|a
(2)点 C 是线段 AB 靠近点 A 的一个三等分点,则下列不正确的
是(
)
1
A. =
2
3
B. =
2
C.| |=2| |
D.| |=3| |
答案:(1)C (2)B
所以k=-8k',2=-k'k,
故k'=-4.
答案:-4
1
2
3

2022年高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修4 3.1数乘向量》

从速度的倍数到数乘向量宝鸡中学高书敏一、教学目标：1知识与技能〔1〕要求学生掌握实数与向量积的定义及几何意义〔2〕了解数乘运算的运算律，理解向量共线的充要条件。

〔3〕要求学生掌握平面向量的根本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向量。

〔4〕通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件，平面向量的根本定理有更深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。

2过程与方法：教材利用同学们熟悉的物理知识引出实数与向量的积〔强调：1．“模〞与“方向〞两点 2．三个运算定律〔结合律，第一分配律，第二分配律〕〕，在此根底上得到数乘运算的几何意义；通过正交分解得到平面向量根本定理〔定理的本身及其实质〕。

为了帮助学生消化和稳固相应的知识，教材设置了几个例题；通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力3情感态度价值观通过本节内容的学习，使同学对实数与向量积以及平面向量根本定理有了较深的认识，让学生理解和领悟知识将各学科有机的联系起来了，这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，有助于培养学生的发散思维和勇于创新的精神二教学重、难点重点: 1实数与向量积的定义及几何意义2平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示难点: 1 实数与向量积的几何意义的理解2 平面向量根本定理的理解三学法与教学用具学法：自主性学习探究式学习法：教学用具:电脑、投影机四教学设计【探究新知】1．思考: 〔引入新课〕非零向量作出和--- ===3==---=-3讨论：① 3与方向相同且|3|=3||② -3与方向相反且|-3|=3||2．从而提出课题：实数与向量的积；实数λ与向量的积，记作：λ 定义：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ①|λ|=|λ|||②λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=〔请学生自己解释其几何意义〕例题讲评〔学生先做，学生评，教师提示或适当补充〕例1〔见，且=，=，∵===-=-O A B CN MQ P Ba∴=-=-=--==-=- ===-=-=-例4 如图，在△ABC 中，=, =，AD 为边BC 的中线，G 为△ABC 的重心，求向量解法1：∵=, = 那么==∴==而= ∴= 解法2：过G 作BC 的平行线，交AB 、AC 于E 、F ∵△AEF ∽△ABC ∴ == == == ∴==例5．设,是两个不共线向量，=2, =3, =2-, 假设三点A, B, D 共线，求的值解：=-=2--3=-4∵A, B, D 共线 ∴,共线 ∴存在λ使=λ即2=λ-4 ∴ ∴=-8【稳固深化，开展思维】1．在 ABCD 中，设对角线=，=试用, 表示，2 ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任意一点，求证：=4100练习1、2题[学习小结]〔学生总结，其它学生补充〕①数乘向量的几何意义理解②向量与非零向量共线的条件是：有且只有一个非零实数．．．．．．．．．．λ，使=λ ③平面向量根本定理的理解及注意的问题五、评价设计D ABC ab D A EC a b B F G作业：习题 A组第4、5、6、7题．六、课后反思：。

北师大版必修4 2.3.1 数乘向量学案

§3 从速度的倍数到数乘向量3.1 数乘向量Q 情景引入ing jing yin ru某小学在一条长150米的笔直的跑道上做一项体力与智力相结合的游戏．从在最北端的A 点向正南跑50米到达B 点处做一组数学练习题，做对后再向正南跑50米到达C 处做一组语文练习题，做对后又向正南跑50米到达终点D 处做一组“自然”题，做对后原路跑回到起点A .用时少者为优胜者．其实这个游戏里就包括了本节所要学习的向量的数乘．X 新知导学in zhi dao xue1．数乘向量(1)定义：实数λ和向量a 的乘积是一个__向量__，记作__λa __. (2)长度：|λa |＝__|λ||a |__. (3)方向：λa (a ≠0)的方向⎩⎪⎨⎪⎧当λ>0时，与a 的方向__相同__.当λ<0时，与a 的方向__相反__. 特别地，当λ＝0或a ＝0时，λa ＝__0__. (4)几何意义：由实数与向量的积的定义可以看出，它的几何意义就是将表示向量a 的有向线段__伸长__或__压缩__.当|λ|>1时，表示向量a 的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上__伸长__为原来的__|λ|__倍；当|λ|<1时，表示向量a 的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上__缩短__为原来的__|λ|__倍．(5)运算律设λ，μ为实数，则①λ(μa )＝(λμ)a ；②(λ＋μ)a ＝__λa ＋μa __；③λ(a ＋b )＝__λa ＋λb __. 2．向量共线的判定定理和性质定理(1)判定定理：a 是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得__b ＝λa __，则向量b 与非零向量a 共线．(2)性质定理：若向量b 与非零向量a 共线，则存在一个实数λ，使得__b ＝λa __. [知识点拨]向量共线定理的理解注意点及主要应用1．定理中a ≠0不能漏掉．若a ＝b ＝0，则实数λ可以是任意实数；若a ＝0，b ≠0，则不存在实数λ，使得b ＝λa .2．这个定理可以用一般形式给出：若存在不全为0的一对实数t ，s ，使t a ＋s b ＝0，则a 与b 共线；若两个非零向量a 与b 不共线，且t a ＋s b ＝0，则必有t ＝s ＝0.Y 预习自测u xi zi ce1．已知非零向量a 、b 满足a ＝4b ，则( C ) A ．|a |＝|b |B ．4|a |＝|b |C ．a 与b 的方向相同D ．a 与b 的方向相反[解析] ∵a ＝4b,4>0，∴|a |＝4|b |. ∵4b 与b 的方向相同， ∴a 与b 的方向相同．2．将112[2(2a ＋8b )－4(4a －2b )]化简成最简式为( B )A ．2a －bB ．2b －aC ．a －bD ．b －a[解析] 原式＝112(4a ＋16b －16a ＋8b )＝112[(4－16)a ＋(16＋8)b ]＝112(－12a ＋24b )＝2b －a3．在□ABCD 中，AB →＝2a ，AD →＝3b ，则AC →等于( C ) A ．a ＋b B ．a －b C ．2a ＋3bD ．2a －3b [解析] AC →＝AB →＋AD →＝2a ＋3b .4．已知AB →＝a ＋4b ，BC →＝2b －a ，CD →＝2(a ＋b )，则( B ) A ．A 、B 、C 三点共线 B ．A 、B 、D 三点共线 C ．A 、C 、D 三点共线 D ．B 、C 、D 三点共线 [解析] ∵BC →＋CD →＝a ＋4b ，即BC →＋CD →＝AB →，∴BD →＝AB →，即存在λ＝1使BD →＝λAB →. ∴BD →、AB →共线．又∵两向量有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线．H 互动探究解疑 u dong tan jiu jie yi命题方向1 ⇨数乘向量的定义及其几何意义典例1 已知a ，b 为两非零向量，试判断下列说法的正误，并说明理由．(1)2a 与a 的方向相同，且2a 的模是a 的模的2倍； (2)－2a 与5a 的方向相反，且－2a 的模是5a 模的25；(3)－2a 与2a 是一对相反向量； (4)a －b 与－(b －a )是一对相反向量．[思路分析] 解答本题可先从实数的正负判断两向量的方向关系，再找两向量模的关系，从而作出判断．[解析] (1)正确．∵2>0，∴2a 与a 方向相同且|2a |＝2|a |. (2)正确．∵5>0，∴5a 与a 方向相同，且|5a |＝5|a |，而－2<0， ∴－2a 与a 的方向相反，且－2a 的模是5a 模的25倍．(3)正确，按照相反向量的定义可以判断．(4)错误，因为－(b －a )与b －a 是一对相反向量，而a －b 与b －a 是一对相反向量，故a －b 与－(b －a )为相等向量．『规律总结』首先要意识到向量线性运算的结果仍是向量，然后要明确判断两向量的关系，应从两个方面入手，一是方向，二是长度．〔跟踪练习1〕下列表述不正确的是( D ) A ．λ(μa )＝(λμ)a (λ，μ∈R ) B ．(λ＋μ)a ＝λa ＋μa (λ，μ∈R ) C ．λ(a ＋b )＝λa ＋λb (λ∈R ) D ．λa 与a 的方向和λ无关(λ∈R )[解析] 当λ>0时，λa 与b 同向，当λ＝0时，λa ＝0方向任意，当λ<0时，λa 与a 的方向相反．命题方向2 ⇨数乘向量的运算及其应用典例2 (1)4(a ＋b )－3(a －b )－8a ；(2)(5a －4b ＋c )－2(3a －2b ＋c )；(3)23[(4a －3b )＋13b －14(6a －7b )]． [思路分析] 运用向量数乘的运算律求解． [解析] (1)原式＝4a ＋4b －3a ＋3b －8a ＝－7a ＋7b. (2)原式＝5a －4b ＋c －6a ＋4b －2c ＝－a －c.(3)原式＝23(4a －3b ＋13b －32a ＋74b )＝23(52a －1112b )＝53a －1118b.『规律总结』 (1)实数与向量积的运算问题，必须按照实数与向量的积所满足的运算律进行运算．(2)实数与向量的积的运算，类似于实数与多项式的运算．〔跟踪练习2〕计算：(1)25(a －b )－13(2a ＋4b )＋215(2a ＋13b )； (2)(m ＋n )(a －b )－(m －n )(a ＋b )．[解析] (1)25(a －b )－13(2a ＋4b )＋215(2a ＋13b )＝25a －25b －23a －43b ＋415a ＋2615b ＝(25－23＋415)a ＋(－25－43＋2615)b ＝0a ＋0b ＝0. (2)原式＝m (a －b )＋n (a －b )－m (a ＋b )＋n (a ＋b ) ＝(m ＋n －m ＋n )a ＋(－m －n －m ＋n )b ＝2n a －2m b . X 学科核心素养ue ke he xin su yang利用向量共线的判定定理与性质定理证明三点共线用向量法证明三点共线时，关键是能否找到一个实数λ，使得b ＝λa (a 、b 为这三点构成的其中任意两个向量)．证明步骤是先证明向量共线，然后再由两向量有公共点，证得三点共线．典例3 设两个非零向量e 1和e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，求证：A ，C ，D 三点共线； (2)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，CD →＝2e 1－k e 2，且A ，C ，D 三点共线，求k 的值． [思路分析] (1)要证A ，C ，D 三点共线，只需证存在实数λ，使AC →＝λCD →即可． (2)由于A ，C ，D 三点共线，因此存在实数λ，使AC →＝λCD →，因而可根据已知条件和向量相等条件得到关于λ，k 的方程，从而求k .[解析] (1)AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2， AC →＝AB →＋BC →＝4e 1＋e 2＝－12(－8e 1－2e 2)＝－12CD →，∴AC →与CD →共线．又∵AC →与CD →有公共点C ，∴A ，C ，D 三点共线．(2)AC →＝AB →＋BC →＝(e 1＋e 2)＋(2e 1－3e 2)＝3e 1－2e 2，∵A ，C ，D 三点共线， ∴AC →与CD →共线，从而存在实数λ使得AC →＝λCD →，即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－k e 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，－2＝－λk ，解得λ＝32，k ＝43.『规律总结』证明三点共线，往往要转化为证明过同一点的两条有向线段所在的向量共线；证明两向量共线，只需找出它们之间的线性关系．如果已知两个向量共线，要确定参数的值，需用向量共线的性质定理建立等式，然后根据向量相等的条件得到关于参数的方程，解之即可．〔跟踪练习3〕已知向量AB →＝a ＋5b ，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， (1)求证：A 、B 、D 三点共线；(2)求证：CA →＝xCB →＋yCD →(其中x ＋y ＝1)．[解析] (1)∵BD →＝BC →＋CD →＝－2a ＋8b ＋3(a －b )＝a ＋5b ，AB →＝a ＋5b ， ∴AB →＝BD →，∴AB →∥BD →，又AB →、BD →有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线． (2)∵CA →＝CB →＋BA →＝－BC →－AB → ＝2a －8b －a －5b ＝a －13b ， xCB →＋yCD →＝x (2a －8b )＋3y (a －b ) ＝(2x ＋3y )a ＋(－8x －3y )b .∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝1－8x －3y ＝－13，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－1∴CA →＝xCB →＋yCD →，其中x ＋y ＝1. Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi典例4 已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，问表示a ，b ，c 的有向线段能否构成三角形？[错解] 在平面上任取一点A ，作AB →＝a ，再以B 为起点作BC →＝b ，则AC →＝a ＋b . ∵a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－(a ＋b )＝－AC →＝CA →.∴当a ＋b ＋c ＝0时，表示a ，b ，c 的有向线段一定能构成△ABC . [辨析] 上述解法只考虑了一般情况，忽视了向量共线的特殊情况．[正解] (1)当a ，b 不共线时，在平面上任取一点A ，作AB →＝a ，再以B 为起点作BC →＝b ，则AC →＝a ＋b .∵a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－(a ＋b )＝－AC →＝CA →.∴当a ＋b ＋c ＝0时，表示a ，b ，c 的有向线段能构成△ABC . (2)当a ，b 共线时，即使a ＋b ＋c ＝0成立，也不能构成三角形．综上所述，只有a ，b ，c 均不共线时，它们的有向线段才能构成三角形．〔跟踪练习4〕点P 是△ABC 所在平面内一点，若CB →＝λP A →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( B )A ．△ABC 内部B ．AC 边所在的直线上 C ．AB 边所在的直线上D ．BC 边所在的直线上 [解析] ∵CB →＝λP A →＋PB →， ∴CB →－PB →＝λP A →. ∴CP →＝λP A →.∴P 、A 、C 三点共线．∴点P 一定在AC 边所在的直线上．K 课堂达标验收e tan g da biao yan shou1．已知λ，μ∈R ，下面式子正确的是( C ) A ．λa 与a 同向 B ．0·a ＝0C ．(λ＋μ)a ＝λa ＋μaD ．若b ＝λa ，则|b |＝λ|a |[解析] 当λ<0时，λa 与a 反向，A 错；0·a ＝0，B 错；若b ＝λa ，则|b |＝|λ||a |，D 错． 2．点C 在直线AB 上，且AC →＝3AB →，则BC →等于( D ) A ．－2AB →B ．13AB →C ．－13AB →D ．2AB →[解析] 如图，AC →＝3AB →，∴BC →＝2AB →.3．已知实数m ，n 和向量a ，b ，给出下列命题：①m (a －b )＝m a －m b ；②(m －n )a ＝m a －n a ；③若m a ＝m b ，则a ＝b ；④若m a ＝n a (a ≠0)，则m ＝n .其中正确的命题是( B ) A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④D ．②③④ [解析] 由数乘向量定义及运算律可知①②④正确；对于③，若m ＝0时，则可能有a ≠b . 4．若|a |＝3，b 与a 反向，|b |＝2，则a ＝__－32__b .[解析] ∵|a |＝32|b |，又∵b 与a 反向， ∴a ＝－32b .5．点C 在线段AB 上，且AC CB ＝32，则AC →＝__35__AB →，BC →＝__－25__AB →.[解析] ∵AC CB ＝32，C 在线段AB 上，如下图，设AC ＝3，则CB ＝2，∴AB ＝5. ∴AC →＝35AB →，BC →＝－25AB →.。

高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修4 3.1数乘向量》9

《数乘向量》教学设计一设计思路本节内容是在学生掌握向量加减法的基础上，学习实数与向量的积的运算。

首先通过分析，让学生认识到现实世界中存在着大量数与向量积的实际背景，从而引入数乘向量运算，引导学生理解数乘向量即是求几个相同向量的和。

其次讨论它们的几何意义，从而得到向量数乘运算的直观感知，然后过渡到一般的向量数乘运算的定义。

引入向量数乘运算后，考察这种运算的运算律。

在介绍完数乘运算的定义和运算律之后，接着分析在数乘向量的定义中实际上已经蕴含了向量共线的判定定理和性质定理。

本节课总共设计了三个例题，例1是要求学生熟练运用向量数乘运算的运算律。

例2给出了利用定理证明向量共线的发法。

例3属于课后探究题，这节课不予解答，让学生自我探究，相互交流，下节课予以探讨，得出判断三点共线的一个方法。

二教学目标1知识与技能:⑴掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义。

⑵掌握实数与向量积的运算律。

⑶理解两个向量共线的充要条件，能够运用两向量共线条件判断两向量是否平行。

2过程与方法:能熟练地运用数乘运算的定义、律进行有关计算，会根据向量共线定理判断两个向量是否共线。

3 情感态度与价值观：通过由实例到概念，由具体到抽象，培养学生自主探究知识形成的过程的能力，合作释疑过程中合作交流的能力。

激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情感，培养学生实事求是的科学态度，勇于创新的精神。

三教学重难点重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律,理解向量共线定理。

难点：正确的运用法则、运算律，进行向量的线性运算，向量共线定理的应用。

四教学准备认真阅读教材，分析教材、教参，了解学生的学情，制作课件。

五教学过程（一）复习回顾（采用提问方式）问题1：向量加法的运算法则？问题2：向量减法的运算法则？（二）新知探究探究一：向量的数乘运算及其几何意义【探究活动1】已知非零向量a，作出aa+和（学生先自我作答，再找一名学生将自己的答案展示在黑板上）问题1：→a2和→-a2的大小和方向与→a有什么关系？)()(→→-+-aa问题2：你能说出→a 2和→-a 2的几何意义？（学生讨论交流，选出代表予以作答，教师作适当点评。

2017-2018学年高中数学北师大版必修四教学案：第二章 §3 第1课时数乘向量

第1课时数乘向量[核心必知]1．数乘向量(1)定义：一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa.它的长度和方向分别为：①长度：|λa|＝|λ||a|；②方向：当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0，方向任意．(2)几何意义：λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长(|λ|>1)或压缩(|λ|<1)为原来的|λ|倍．(3)运算律设a，b为向量，λ，μ为实数．①结合律：λ(μa)＝(λμ)a；②第一分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa；③第二分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb．2．向量的线性运算向量的加法、减法和实数与向量积的综合运算，通常叫作向量的线性运算(或线性组合)．3．向量共线定理[问题思考]1．数乘向量是数量还是向量？提示：数乘向量仍是一个向量，它既有大小又有方向，且与原向量共线．2．当λ＝0时，λa＝0，那么当λ≠0时，若a＝0，也有λa＝0，对吗？提示：正确．3．向量共线定量为什么规定a是非零向量？提示：是为了保证λ的存在性与唯一性．若a＝b＝0时，实数λ仍然存在，但λ是任意实数，不唯一；若a＝0，b≠0时，则不存在实数λ，使b＝λa.讲一讲1．已知a 、b 为两非零向量，试判断下列说法的正误，并说明理由． (1)2a 与a 的方向相同，且2a 的模是a 的模的两倍； (2)－2a 与5a 的方向相反，且－2a 的模是5a 的模的25倍；(3)－12a 与12a 是一对相反向量；(4)a －b 与－(b －a )是一对相反向量．[尝试解答] (1)正确，∵2>0，∴2a 与a 的方向相同，且|2a |＝2|a |； (2)正确，∵－2<0，5>0，∴－2a 与5a 的方向相反，又|－2a ||5a |＝2|a |5|a |＝25，∴|－2a |＝25×|5a |； (3)正确，因为|－12a |＝12|a |＝|12a |，且－12a 与a 反向，12a 与a 同向；(4)错误，∵－(b －a )＝－b ＋a ＝a －b ，∴a －b 与－(b －a )是相等向量，而不是相反向量．理解数乘向量要抓住两点：一是大小，二是方向．设λ，μ∈R ，a ≠0若λμ<0，则λa 与μa 的方向相反，若λμ>0，则λa 与μa 的方向相同；若λμ＝0，则λa ，μa 至少有一个为0；当λμ≠0时，|λa ||μa |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λμ.练一练1．如图，已知向量a ，b ，c ，求作向量3a －2b ＋12c .解：法一：在平面内任取一点A ，作AB ＝3a ，BC ＝－2b ，CD ＝12c ，连接AD ，则AD ＝3a －2b ＋12c 即为所求．(如图所示)法二：在平面内任取一点A ，作AB ＝3a ，AC ＝2b ，连接BC ，则CB ＝AB －AC ＝3a －2b ，再作BD ＝12c ，连接CD ，则CD ＝3a －2b ＋12c 即为所求(如图所示)．法三：在平面内任取一点A ，作AB ＝3a ，AC ＝－2b ，以AB ，AC 为邻边作▱ABDC ，连接AD ，则AD ＝3a －2b ，再作DE ＝12c ，连接AE (如图)．则AE ＝3a －2b ＋12c 即为所求．讲一讲2．(1)13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（2a ＋8b ）－（4a －2b ）的运算结果是( ) A ．2a －b B ．2b －a C ．b －a D ．a －b(2)若a ＝b ＋c ，则3(a ＋2b )－2(3b ＋c )－2(a －b )＝________(用b ，c )表示． [尝试解答] (1)13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12()2a ＋8b －()4a －2b＝13(a ＋4b －4a ＋2b )＝13(－3a ＋6b ) ＝－a ＋2b ＝2b －a .故选B (2)∵a ＝b ＋c∴3(a ＋2b )－2(3b ＋c )－2(a －b ) ＝3a ＋6b －6b －2c －2a ＋2b ＝a ＋2b －2c＝b ＋c ＋2b －2c ＝3b －c . [答案] (1)B (2)3b －c1．向量的线性运算是指向量的加法、减法和数乘向量的运算．其运算法则在形式上类同实数加、减法与乘法满足的运算法则，但它们的具体含义是不同的，不过由于它们在形式上类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形手段在向量的线性运算中都可以使用．2．若需要结合几何图形进行向量的线性运算，则要注意使用三角形法则或平行四边形法则，并正确利用数乘向量的几何意义，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．练一练2.如图，▱OADB中，向量＝b，，试用a，b表示.讲一讲3．设e1，e2是两个不共线向量，已知AB＝2e1－8e2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2.(1)求证：A、B、D三点共线；(2)若BF＝3e1－k e2，且B、D、F三点共线，求k的值．[尝试解答] (1)由已知得＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2，∵＝2e 1－8e 2，∴，又有公共点B .∴A 、B 、D 三点共线．(2)由(1)可知＝3e 1－k e 2，且B 、D 、F 三点共线，得，即3e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，－k ＝－4λ，解得k ＝12.1．向量共线的判定定理的主要作用是判断两个向量是否共线，进而可解决诸点是否共线问题．2．利用向量证明三点共线时，一般是把“共线”问题转化为“向量关系a ＝λb ”，通过向量关系得到“三点共线”的结论．3．利用向量共线的性质定理，并结合向量的线性运算，可由向量共线(或三点共线)求相关的参数的值．练一练3．3．如图，在△ABC 中，D 为BC 的中点，M 为AD 的中点，，判断B 、M 、N三点是否共线．解：∵D 为BC 的中点，∴B、M、N三点共线．如图所示，在△ABO中，OC＝，AD与BC相交于点M，设＝b.试用a和b表示向量OM.[巧思] 既然OM能用a、b表示，那么不妨设OM＝m a＋n b，利用向量共线定理建立方程，用方程的思想方法求解．即(m －1)a ＋n b ＝t (－a ＋12b )，∴(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋12t b .∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝－t ，n ＝t 2，消去t 得，m －1＝－2n ，即m ＋2n ＝1.①∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ＝t 1(－14a ＋b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －14＝－14t 1，n ＝t 1，消去t 1得，4m ＋n ＝1.②由①②得m ＝17，n ＝37，∴OM ―→＝17a ＋37b .1．设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是( )A ．a 与－λa 的方向相反B ．|－λa |≥|a |C ．a 与λ2a 的方向相同 D ．|－λa |＝|λ|a 解析：选C 对于A ，∵λ的正反未定， ∴a 与－λa 的方向可能相同，也可能相反，∴A 不正确；对于B ，|－λa |＝|λ|×|a |，λ的值未定，有可能|λ|×|a |<|a |，如λ＝12时，12|a |<|a |， ∵B 不正确；对于C ， ∵λ≠0，∴λ2>0，∴a 与λ2a 的方向相同，C 正确；对于D ，|－λa |＝|λ|×|a |是一个实数，而|λ|a 是一个向量，二者不能相等，∴D 不正确．2．已知向量a ，b ，且＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D又∵有公共点BD ，AB 有公共点B ， ∴A 、B 、D 三点共线．3. 如图，向量的终点在同一直线上，且＝p ，＝r ，则下列等式中成立的是( )A ．r ＝－12p ＋32q B ．r ＝－p ＋2qC ．r ＝32p －12q D ．r ＝－q ＋2p4．若向量a ＝3i －4j ，b ＝5i ＋4j ，则(13a －b )－3(a ＋23b )＋(2b －a )＝________．解析：(13a －b )－3(a ＋23b )＋(2b －a )＝(13－3－1)a ＋(－1－2＋2)b ＝－113a －b ＝－113(3i －4j )－(5i ＋4j )＝(－11－5)i ＋(443－4)j＝－16i ＋323j .答案：－16i ＋323j5．在△ABC 中，D 在线段BC 上，＋n，则m n＝________.∴m ＝13，n ＝23，故m n ＝12.答案： 126．已知向量a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，其中e 1，e 2不共线，向量c ＝2e 1－9e 2，问是否存在非零实数λ，μ，使d ＝λa ＋μb 与c 共线？解：∵d ＝λa ＋μb＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2) ＝(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2，要使d 与c 共线，则应存在实数k ，使d ＝k c ，即(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2k e 1－9k e 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ， ∴λ＝－2μ.故存在非零实数λ，μ，只要λ＝－2μ就能使d 与c 共线．一、选择题1．已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向 D ．k ＝－1且c 与d 反向解析：选D ∵c ∥d ，∴c ＝λd ，即k a ＋b ＝λ(a －b )＝λa －λb .又∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，1＝－λ.∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，k ＝－1.∴c ＝－d ，∴c 与d 反向．2．已知O 、A 、M 、B 为平面上四点，且＋(1－λ)·OA ，λ∈(1,2)，则( )A ．点M 在线段AB 上 B ．点B 在线段AM 上C ．点A 在线段BM 上D ．O 、A 、M 、B 四点共线∵λ∈(1，2)，∴点M 在线段AB 的延长线上，即点B 在线段AM 上．3．已知A 、B 、C 三点共线，O 是这条直线外的一点，满足OA，则λ的值为( )A ．－12B ．－13 C.12 D.134.四边形ABCD 中，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，则( )二、填空题5．点C 在线段AB 上，且AC CB ＝32，则＝________AB .解析：∵AC CB ＝32，∴点C 为线段AB 的5等分点，答案：35 －256．若2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13a －12(c ＋b －3x )＋b ＝0，其中a 、b 、c 为已知向量，则未知向量x ＝________．解析：由已知可得72x －23a ＋12b －12c ＝0，∴x ＝421a －17b ＋17c .答案：421a －17b ＋17c7．已知△ABC 和点M 满足＝0.若存在实数m 使得成立，则m ＝________.答案：38．D 、E 、F 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的中点，且CB ＝a ，CA ＝b ，给出下列命题：其中所有正确命题的序号为________．解析：∵D 、E 、F 分别是BC 、CA 、AB 的中点．＝(12a －b )＋(－a ＋12b )＋(12a ＋12b )＝0. 故②③④正确．答案：②③④ 三、解答题9．设两个非零向量e 1，e 2不共线，已知＝e 1＋3e 2，CD ＝2e 1－e 2，若A 、B 、D 三点共线，试求k 的值．解：＝2e 1－e 2－(e 1＋3e 2) ＝e 1－4e 2若A 、B 、D 三点共线，则，从而存在唯一实数λ，使，即2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)整理得(2－λ)e 1＝－(k ＋4λ)e 2 ∵e 1、e 2不共线∴⎩⎪⎨⎪⎧2－λ＝0k ＋4λ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2k ＝－8即k 的值为－8时，A 、B 、D 三点共线．10．△ABC 中，，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于N .设＝b ，试用a 、b 表示向量.。

高中数学第二章平面向量2.3从速度的倍数到数乘向量2.3.1数乘向量学案北师大版必修4

2.3.1 数乘向量1．数乘向量(1)定义：实数λ与向量a 乘积是一个______，记作______．(2)长度：|λa |＝______.(3)方向：λa (a ≠0)方向⎩⎪⎨⎪⎧ 当λ＞0时，λa 与a 方向 .当λ＜0时，λa 与a 方向 .特别地，当λ＝0或a ＝0时，0×a ＝______或λ×0＝______.(4)几何意义：由实数与向量积定义可以看出，它几何意义就是将表示向量a 有向线段____或____．当|λ|＞1时，表示向量a有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上____为原来____倍；当|λ|＜1时，表示向量a有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上____为原来____倍．(5)运算律设λ，μ为实数，那么①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝________；③λ(a＋b)＝______.(6)向量线性运算向量加法、减法与实数与向量积综合运算，叫作向量线性运算(或线性组合)．实数与向量可以进展数乘运算，但不能进展加减运算，如λ＋a，λ－a均无意义，这一点可要注意！预习交流1向量线性运算有哪几种？与先前学习实数与代数式运算有何联系与区别？预习交流24(a－b)－3(a＋b)－b等于__________．2．向量共线判定定理与性质定理(1)判定定理：a是一个非零向量，假设存在一个实数λ，使得______，那么向量b与非零向量a共线．(2)性质定理：假设向量b与非零向量a共线，那么存在一个实数λ，使得______．预习交流3如图，点C 在线段AB 上，且|BC→|＝2|AC →|，那么AC →＝______AB→，AB →＝______BC →. 答案：1．(1)向量 λa (2)|λ||a | (3)一样相反 00 (4)伸长压缩伸长 |λ| 缩短 |λ| (5)②λa ＋μa ③λa ＋λb预习交流1：提示：(1)向量线性运算包括向量加法、减法、实数与向量积．(2)向量线性运算结果是向量，实数与代数式运算结果是实数或代数式，尽管它们运算律形式上相似，但其意义却迥然不同．因此在类比实数运算律学习向量有关运算律时务必经过严格证明前方可使用．预习交流2：原式＝(4－3)a ＋(－4－3－1)b ＝a －8b .2．(1)b ＝λa (2)b ＝λa预习交流3：13 －321．向量线性运算及线性表示(1)计算以下各式：①3(a －2b ＋c )－(2c ＋b －a )；②25(a －b )－13(2a ＋4b )＋215(2a ＋13b )． (2)设x ，y 是未知向量．①解方程5(x ＋a )＋3(x －b )＝0；②解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 12x －y ＝a ，x －12y ＝b.思路分析：要解决(1)中问题，需要用到数乘向量运算律．包括：数乘向量分配律及向量加、减法运算律，其运算过程类似于“合并同类项〞．(2)是解关于未知向量方程或方程组，它与解关于未知数方程或方程组是类似，在计算过程中应遵守向量加、减法及向量数乘运算律．1．计算以下各式：(1)3(2a －b )－2(4a －3b )；(2)13(4a ＋3b )－12(3a －b )－32b ； (3)2(3a －4b ＋c )－3(2a ＋b －3c )．2．向量a ，b 不共线．(1)实数x ，y 满足等式3x a ＋(10－y )b ＝(4y ＋7)a ＋2x b ，求出x ，y 值；(2)把满足3x －2y ＝a ，－4x ＋3y ＝b 向量x ，y 用a ，b 表示出来．向量线性运算类似于代数多项式运算，实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中同样适用．在运算过程中要注意多观察，恰当分组，简化运算．2．向量共线判定定理与性质定理应用设两个非零向量e 1与e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，求证：A ，C ，D 三点共线；(2)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，CD →＝2e 1－k e 2，且A ，C ，D 三点共线，求k 值．思路分析：(1)要证A ，C ，D 三点共线，只需证存在实数λ，使AC→＝λCD →即可． (2)由于A ，C ，D 三点共线，因此存在实数λ，使AC→＝λCD →，因而可根据条件与向量相等条件得到关于λ，k 方程，从而求k .两个非零向量a ，b 不共线，OA→＝a ＋b ，OB →＝a ＋2b ，OC →＝a ＋3b .(1)证明A ，B ，C 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 与a ＋k b 共线．证明三点共线，往往要转化为证明过同一点两条有向线段所在向量共线；证明两向量共线，只需找出它们之间线性关系．如果两个向量共线，要确定参数值，需用向量共线性质定理建立等式，然后根据向量相等条件得到关于参数方程，解之即可．答案：活动与探究1：解：(1)①原式＝3a －6b ＋3c －2c －b ＋a ＝4a －7b ＋c.②原式＝25a －25b －23a －43b ＋415a ＋2615b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫25－23＋415a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－25－43＋2615b＝0×a ＋0×b ＝0.(2)①原方程可变为5x ＋5a ＋3x －3b ＝0，即8x ＝－5a ＋3b ，∴x ＝－58a ＋38b. ②把第一个方程－2倍与第二个方程相加，得32y ＝－2a ＋b ，从而y ＝－43a ＋23b. 代入原来第二个方程得x ＝－23a ＋43b. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－23a ＋43b ，y ＝－43a ＋23b. 迁移与应用：1.解：(1)原式＝6a －3b －8a ＋6b ＝－2a ＋3b ； (2)原式＝43a ＋b －32a ＋12b －32b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43－32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋12－32b ＝－16a ； (3)原式＝6a －8b ＋2c －6a －3b ＋9c ＝(6－6)a －(8＋3)b ＋(2＋9)c ＝－11b ＋11c. 2．解：(1)∵a ，b 为不共线向量，要使等式3x a ＋(10－y )b ＝(4y ＋7)a ＋2x b 成立，那么有⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＝4y ＋7，10－y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4711，y ＝1611.(2)⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －2y ＝a ，－4x ＋3y ＝b ， ①②①×4＋②×3得y ＝4a ＋3b ， ③再将③代入①中，得x ＝3a ＋2b .∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3a ＋2b ，y ＝4a ＋3b.活动与探究2：(1)证明：AB ＝e 1－e 2，BC ＝3e 1＋2e 2，CD ＝－8e 1－2e 2，AC AB BC =+＝4e 1＋e 2＝12-(－8e 1－2e 2)＝，∴AC 与CD 共线．又∵AC 与CD 有公共点C ，∴A ，C ，D 三点共线．(2)解：AC AB BC =+＝(e 1＋e 2)＋(2e 1－3e 2)＝3e 1－2e 2，∵A ，C ，D 三点共线，∴AC 与CD 共线，从而存在实数λ使得AC ＝λCD ，即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－k e 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3＝2λ，－2＝－λk ，解得λ＝32，k ＝43. 迁移与应用：(1)证明：因为AB OB OA =-＝a ＋2b －(a ＋b )＝b ， AC OC OA =-＝a ＋3b －(a ＋b )＝2b ，于是2AC AB =，即AC 与AB 共线．又AC 与AB 有公共点A ，所以A ，B ，C 三点共线．(2)解：由于a ，b 为非零向量且不共线，所以a ＋k b ≠0.假设k a ＋b 与a ＋k b 共线，那么必存在唯一实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，整理得(k －λ)a ＝(λk －1)b ，因此⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝1，λ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－1，λ＝－1. 即存在唯一实数λ＝1，使k a ＋b 与a ＋k b 同向共线，此时k ＝1，或存在唯一实数λ＝－1，使k a ＋b 与a ＋k b 反向共线，此时，k ＝－1，因此k ＝±1都满足题意． 1．(2a －b )－(2a ＋b )等于( )． A ．a －2b B ．－2bC ．0D ．b －a2．λ，μ∈R ，下面式子正确是( )．A ．λa 与a 同向B ．0·a ＝0C ．(λ＋μ)a ＝λa ＋μaD ．假设b ＝λa ，那么|b |＝λ|a |3．点C 在直线AB 上，且AC→＝3AB →，那么BC →等于( )． A ．－2AB→ B.13AB → C ．－13AB → D ．2AB→ 4．向量e 1，e 2不共线，且e 1－2e 2＝λe 1＋4k e 2，那么实数λ＝______，k ＝__________.5．非零向量e 1，e 2不共线，欲使k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，试确定实数k 值．答案：1．B2．C 解析：当λ＜0时，λa 与a 反向，A 错；0·a ＝0，B 错；假设b ＝λa ，那么|b |＝|λ||a |，D 错．3．D 解析：如图，3AC AB =，∴2BC AB =.4．1 12- 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝1，4k ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝1，k ＝－12.5．解：∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，∴存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝λ，1＝kλ，∴k ＝±1.。

高级中学高中数学(北师大版)必修四2.3.1数乘向量教案word版

江南中学数学学科教学设计
课题
§3.1数乘向量
授课人
课时安排
1
课型
新授
授课时间
第1周
课标依据
通过实例，掌握数乘向量的运算，并理解其集合意义，以及两个向量共线的含义
教材分析
向量具有丰富的实际背景和几何背景，向量既有大小，又有方向.引进向量运算后才使显得威力无穷.本章从第二节开始学习向量的加法、减法运算及其几何意义；本节接着学习向量的数乘运算及其几何意义.
已知两个非零向量不共线，如果求证：（1）共线。
（2）A,B,D三点共线。
3如图，在中，已知、分别是、的中点，用向量方法证明：
作业布置
专家伴读对应练习
板书设计
3.1向量数乘
1.向量数乘的定义；例2、变式一、变式二
2.数乘向量的运算律；
3.共线向量定理；课堂练习
例题讲解课堂小结
例1．
教学反思
知识与技能
过程与方法
电子白板
（时钟计时器）
教师演示
教师制作
归纳出公式
知识与技能
过程与方法
电子白板
（特效交互功能）
教师演示
教师制作
课堂练习
知识与技能
过程与方法
电子白板（特效交互功能、钢笔）
学生操作
教师制作
师生活动
设计意图
批注
教
学
活
动
设
计
一、复习回顾
向量的加法、向量的减法
2、引入新课
3、已知非零向量，作出 + + 和（）+（）+（）
向量数乘运算以及加法、减法统称为向量的三大线性运算，向量的数乘运算其实是加法运算的推广及简化.教学时从加法入手，引入数乘运算，充分体现了数学知识之间的内在联系.实数与向量的乘积仍然是一个向量，既有大小，又有方向.特别是方向与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理.这样平面内任意一条直线就可以用点A和某个向量表示了.共线向量定理是本章节的重要的内容，应用相当广泛，且容易出错，尤其是定理的前提条件：向量是非零向量.共线向量的应用主要用于证明点共线或线平行等，且与后学的知识有着密切的联系.

《数乘向量》示范公开课教学设计【高中数学必修4(北师大版)】

《数乘向量》教学设计本节课内容是在学生掌握向量的加法的基础上，学习实数与向量的积的运算。

教材通过“探究”，引导学生先作出几个相同向量的和，再讨论他们的几何意义，从而得到向量数乘运算的直观感知，然后再过渡到一般的向量数乘运算的定义。

引入向量数乘运算后，考查这种运算律是一个自然的问题。

【知识与能力目标】1. 通过实例掌握向量的数乘运算，理解其几何意义；2.理解向量共线定理，熟练运用定义、运算律进行有关计算，能够运用定理解决向量共线、三点共线、直线平行等问题。

【过程与方法目标】理解并掌握向量共线定理及其证明过程，会根据向量共线定理判定两个向量是否共线。

【情感态度价值观目标】通过向量数乘运算的学习和探究，培养学生的观察、分析、归纳、抽象思维能力，以及运算能力和逻辑推理能力。

【教学重点】理解向量的数乘运算及其几何意义；运算律；向量共线定理。

【教学难点】理解向量共线定理，并应用其解决相关问题。

电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

一、探究新知。

教材整理：数乘向量阅读教材P 82～P 84“例3”以上部分，完成下列问题。

1．数乘向量及运算律 (1)向量数乘的定义一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ．它的长度和方向规定如下： ①|λa |＝|λ||a |；②当λ>0时，λa 与a 的方向相同；当λ<0时，λa 与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0 。

(2)向量数乘的运算律设a ，b 为向量，λ，μ为实数，则数乘向量满足： ①结合律：λ(μa )＝(λμ)a②分配律：(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝λa ＋λb 2．共线向量定理 (1)判定定理a 是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b ＝λa ，则向量b 与非零向量a 共线．(2)性质定理若向量b 与非零向量a 共线，则存在一个实数λ，使得b ＝λa 。

巩固练习判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)实数λ与向量a 的积还是向量。

高中数学第二章平面向量3.1数乘向量学案北师大版必修4

3．1 数乘向量内容要求 1.掌握向量数乘的运算及其运算律(重点).2.理解数乘向量的几何意义(重点).3.掌握向量共线的判定定理和性质定理(难点)．知识点1 数乘向量的概念与运算律 (1)数乘向量：①定义：λa 是一个向量； ②长度：λ|a |； ③方向：(2)数乘向量的运算律：①λ(μa )＝(λμ)a (λ，μ∈R )； ②(λ＋μ)a ＝λa ＋μa (λ，μ∈R )； ③λ(a ＋b )＝λa ＋λb (λ∈R )．【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若λa ＝0则λ＝0.(×)(2)若a 、b 是非零向量，λ，μ∈R .那么λa ＋μb ＝0⇔λ＝μ＝0.(√) (3)0·AB →＝0.(×)知识点2 向量共线的判定定理与性质定理(1)判定定理：a 是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b ＝λa ，则向量b 与非零向量a 共线．(2)性质定理：若向量b 与非零向量a 共线，则存在一个实数λ，使得b ＝λa . 【预习评价】1．若a ∥b ，b ∥c ，那么一定有a ∥c 吗？提示不一定，若b ＝0，此时必有a ∥b ，b ∥c 成立，但a 与c 不一定共线． 2．如果向量a ，b 共线，一定有b ＝λa (λ∈R )吗？提示不一定．当a ＝0，b ≠0时，λ不存在.题型一向量数乘的定义【例1】已知a 、b 为非零向量，试判断下列各命题的真假，并说明理由．(1)2a 的方向与a 的方向相同，且2a 的模是a 的模的2倍； (2)－2a 的方向与3a 的方向相反，且－2a 的模是3α模的23倍；(3)－2a 与2a 是一对相反向量； (4)a －b 与－(b －a )是一对相反向量．解 (1)真命题．∵2a ＝a ＋a 与a 方向相同，且|2a|＝|a ＋a|＝|a|＋|a|＝2|a|.(2)真命题．∵－2a ＝(－a )＋(－a )与－a 同方向，3a ＝a ＋a ＋a 与a 同方向，由于－a 与a 反方向，故－2a 与3a 反方向，又∵|－2a|＝2|a|，|3a|＝3|a|，所以－2a 的模是3a 模的23倍． (3)真命题．∵－2a ＋2a ＝(－2＋2)a ＝0，故－2a 与2a 是一对相反向量．(4)假命题．∵－(b －a )与b －a 是一对相反向量，a －b 与b －a 是一对相反向量，∴－(b －a )与a －b 是相等的．规律方法对数乘向量的四点说明 (1)λa 的实数λ叫作向量a 的系数．(2)向量数乘运算的几何意义是把a 沿着a 的方向或a 的反方向扩大或缩小． (3)当λ＝0或a ＝0时，λa ＝0.注意是0，而不是0. (4)向量的运算不满足消去律，不能除以一个向量．【训练1】已知λ，μ∈R ，则在下列各命题中，正确的命题有( ) ①λ＜0，a≠0时，λa 与a 的方向一定相反； ②λ＞0，a≠0时，λa 与a 的方向一定相同； ③λμ＞0，a≠0时，λa 与μa 的方向一定相同； ④λμ＜0，a≠0时，λa 与μa 的方向一定相反． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析由λ与向量a 的积λa 的方向规定，易知①②正确，对于命题③④，当λμ＞0时，λ，μ同正或同负，∴λa 与μa 或者都与a 同向，或者都与a 反向，∴λa 与μa 同向，当λμ＜0时，则λ与μ异号，λa 与μa 中，一个与a 同向，一个与a 反向，∴λa 与μa 反向，故③④也正确．答案 D题型二向量的线性运算【例2】计算下列各式： (1)4(a ＋b )－3(a －b )；(2)3(a －2b ＋c )－(2a ＋b －3c )；(3)25(a －b )－13(2a ＋4b )＋215(2a ＋13b )．解 (1)4(a ＋b )－3(a －b )＝4a －3a ＋4b ＋3b ＝a ＋7b . (2)3(a －2b ＋c )－(2a ＋b －3c ) ＝3a －6b ＋3c －2a －b ＋3c ＝a －7b ＋6c .(3)25(a －b )－13(2a ＋4b )＋215(2a ＋13b ) ＝25a －25b －23a －43b ＋415a ＋2615b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25－23＋415a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－25－43＋2615b ＝0a ＋0b ＝0＋0＝0.规律方法向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．【训练2】若a ＝b ＋c ，化简3(a ＋2b )－2(3b ＋c )－2(a ＋b )的结果为( ) A ．－a B ．－4b C ．cD ．a －b解析 3(a ＋2b )－2(3b ＋c )－2(a ＋b )＝(3－2)a ＋(6－6－2)b －2c ＝a －2(b ＋c )＝a －2a ＝－a . 答案 A方向1 证明向量共线【例3－1】已知两个非零向量a 与b 不共线，如果AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝2a －4b ，求证：A 、B 、D 三点共线．证明因为BD →＝BC →＋CD →＝(2a ＋8b )＋(2a －4b )＝4a ＋4b ＝4(a ＋b )＝4AB →，所以根据平行向量基本定理，BD →与AB →共线．又因为BD →与AB →有公共点B ，所以A 、B 、D 三点共线．方向2 利用向量共线求参数值【例3－2】若a 、b 是两个不共线的非零向量，且a 与b 起点相同，则实数t 为何值时，a 、tb 、13(a ＋b )三向量的终点在同一直线上？解由题设易知，存在唯一实数λ，使a －t b ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －13a ＋b ，化简，得⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ－1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ3－t b . ∵a 与b 不共线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧23λ－1＝0，λ3－t ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝32，t ＝12.故当t ＝12时，三向量的终点共线．方向3 共线向量在平面几何中的应用【例3－3】如图所示，已知D ，E 分别是边AB ，AC 的中点．求证：DE ∥BC ，且|DE |＝12|BC |.证明 DE →＝AE →－AD →，BC →＝AC →－AB →. ∵D ，E 分别为边AB ，AC 的中点， ∴AE →＝12AC →，AD →＝12AB →，∴DE →＝12(AC →－AB →)＝12BC →，∴DE ∥BC ，且|DE |＝12|BC |.规律方法应用向量共线定理时的注意点(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立，若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线.课堂达标1．下列各式中不表示向量的是( ) A ．0·a B ．a ＋3b C ．|3a |D.1x －ye (x ，y ∈R ，且x ≠y ) 解析向量的数乘运算结果仍为向量，显然只有|3a |不是向量．答案 C2．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．B 、C 、D B ．A 、B 、C C ．A 、B 、DD ．A 、C 、D解析 ∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ＝2AB →， ∴A 、B 、D 三点共线．答案 C3．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________. 解析 ∵四边形ABCD 为平行四边形，对角线AC 与BD 交于点O ，∴AB →＋AD →＝AC →＝2AO →，∴λ＝2. 答案 24．若AC →＝2CB →，AB →＝λBC →，则λ＝________. 解析 ∵AB →＝AC →＋CB →＝2CB →＋CB →＝3CB →，∴λ＝－3. 答案－35．如图所示，已知AP →＝43AB →，用OA →，OB →表示OP →.解 OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋43AB →＝OA →＋43(OB →－OA →)＝－13OA →＋43OB →.课堂小结1．实数λ与向量a 可作数乘，但实数λ不能与向量a 进行加、减运算，如λ＋a ，λ－a 都是无意义的．还必须明确λa 是一个向量，λ的符号与λa 的方向相关，|λ|的大小与λa 的模长有关．2．利用数乘运算的几何意义可以得到两个向量共线的判定定理及性质定理，一定要注意，向量的共线(平行)与直线共线(或平行)的区别；常用向量共线解决平面几何中的“平行”或“点共线”问题.基础过关1．下列说法中正确的是( ) A ．λa 与a 的方向不是相同就是相反 B ．若a ，b 共线，则b ＝λa C ．若|b |＝2|a |，则b ＝±2a D ．若b ＝±2a ，则|b |＝2|a |解析显然b ＝±2a 时，必有|b |＝2|a |. 答案 D2．已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列命题中正确的为( )①m (a －b )＝m a －m b ；②(m －n )a ＝m a －n a ；③若m a ＝m b ，则a ＝b ；④若m a ＝n a ，则m ＝n . A ．①④ B ．①② C ．①③D ．③④解析 ①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，若m ＝0，则不能推出a ＝b ，错误；④中，若a ＝0，则m ，n 没有关系，错误．答案 B3．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →等于( ) A.BC → B.12AD → C.AD →D.12BC → 解析如图，EB →＋FC →＝EC →＋CB →＋FB →＋BC → ＝EC →＋FB →＝12(AC →＋AB →)＝12·2AD →＝AD →. 答案 C4．已知向量a ＝e 1＋3e 2，b ＝－12e 1－32e 2，则a 与b 的关系是________．解析 ∵a ＝－2b ，∴a∥b .答案 a∥b5．若2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13a －12(c ＋b －3x )＋b ＝0，其中a 、b 、c 为已知向量，则未知向量x ＝________.解析据向量的加法、减法整理、运算可得x ＝421a －17b ＋17c .答案421a －17b ＋17c 6.如图，已知任意两个非零向量a ，b ，作OA →＝a ＋b ，OB →＝a ＋2b ，OC →＝a ＋3b .试判断A 、B 、C 三点之间的位置关系，并说明理由．解分别作向量OA →、OB →、OC →，过点A 、C 作直线AC (如图)．观察发现，不论向量a 、b 怎样变化，点B 始终在直线AC 上，猜想A 、B 、C 三点共线．因为AB →＝OB →－OA → ＝(a ＋2b )－(a ＋b )＝b ， AC →＝OC →－OA →＝(a ＋3b )－(a ＋b )＝2b ，故有AC →＝2AB →.因为AC →∥AB →，且有公共点A ，所以A 、B 、C 三点共线．7．已知任意四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点．求证：EF →＝12(AB →＋DC →)．证明取以点A 为起点的向量，应用三角形法则求证，如图． ∵E 为AD 的中点，∴AE →＝12AD →.∵F 是BC 的中点，∴AF →＝12(AB →＋AC →)．又∵AC →＝AD →＋DC →，∴AF →＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB →＋DC →)＋12AD →.∴EF →＝AF →－AE →＝12(AB →＋DC →)＋12AD →－12AD →＝12(AB →＋DC →)．能力提升8．已知向量a 与b 反向，且|a |＝r ，|b |＝R ，b ＝λa ，则λ的值等于( ) A.r RB ．－r RC ．－R rD.R r解析 ∵b ＝λa ，∴|b |＝|λ||a |.又a 与b 反向，∴λ＝－R r. 答案 C9．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( ) A.14a ＋12b B.13a ＋23b C.12a ＋14b D.23a ＋13b 解析 ∵△DEF ∽△BEA ，∴DF AB ＝DE EB ＝13， ∴DF ＝13AB ，∴AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋13AB →.∵AC →＝AB →＋AD →＝a ，BD →＝AD →－AB →＝b ，联立得：AB →＝12(a －b )，AD →＝12(a ＋b )，∴AF →＝12(a ＋b )＋16(a －b )＝23a ＋13b .答案 D10．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ的值为________．解析 CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →.答案 2311．设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p ＝________.解析 ∵BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a －b .又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →，BD →共线．设AB →＝λBD →，∴2a ＋p b ＝λ(2a －b )，∴2＝2λ，p ＝－λ，∴λ＝1，p ＝－1. 答案－112.如图所示，在平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且BN ＝13BD .求证：M 、N 、C 三点共线.证明设BA →＝a ，BC →＝b ，则由向量减法的三角形法则可知：CM →＝BM →－BC →＝12BA →－BC →＝12a －b .又∵N 在BD 上且BD ＝3BN ， ∴BN →＝13BD →＝13(BC →＋CD →)＝13(a ＋b )，∴CN →＝BN →－BC →＝13(a ＋b )－b＝13a －23b ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －b ， ∴CN →＝23CM →，又∵CN →与CM →的公共点为C ，∴C 、M 、N 三点共线．13．(选做题)过△ABC 的重心G 任作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，若AD →＝xAB →，AE →＝yAC →，且xy ≠0，试求1x ＋1y的值．解如图，设AB →＝a ，AC →＝b ，则AG →＝23AM →＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12a ＋b＝13(a ＋b )．∴GD→＝AD →－AG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13a －13b ，ED →＝AD →－AE →＝x a －y b . ∵GD →与ED →共线，∴GD →＝λED →，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13a －13b ＝xλa －yλb ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －13＝λx ，13＝λy ，消去λ得x －1313＝x y，即1x ＋1y＝3.。

高中数学第二单元平面向量 2.1.4 数乘向量学案北师

2.1.4 数乘向量学习目标 1.了解数乘向量的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握数乘向量的运算律，会运用数乘向量运算律进行向量运算.知识点一数乘向量的定义思考1 实数与向量相乘的结果是实数还是向量？思考2 向量3a ，－3a 与a 从长度和方向上分析具有怎样的关系？梳理 (1)定义：实数λ和向量a 的乘积是一个向量，记作λa ，且λa 的长|λa |＝|λ||a |.λa (a ≠0)的方向⎩⎪⎨⎪⎧当λ＞0时，与a 同方向；当λ＜0时，与a 反方向.当λ＝0或a ＝0时，0a ＝0或λ0＝0.(2)λa 中的实数λ，叫做向量a 的________.数乘向量的几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或a 的反方向放大或缩小.知识点二向量数乘的运算律思考类比实数的运算律，向量数乘有怎样的运算律？梳理向量数乘运算律(1)λ(μa )＝(λμ)a .(2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa .(3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb .知识点三向量的线性运算向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的____________.类型一数乘向量概念的理解例1 已知a ，b 是两个非零向量，判断下列各命题的对错，并说明理由： (1)2a 的方向与a 的方向相同，且2a 的模是a 的模的2倍；(2)－2a 的方向与5a 的方向相反，且－2a 的模是5a 的模的25；(3)－2a 与2a 是一对相反向量；(4)a －b 与－(b －a )是一对相反向量；(5)若a ，b 不共线，则λa 与b 不共线.反思与感悟对数乘运算的理解，关键是对实数的作用的认识，当λ>0时，λa 与a 同向，模是|a |的λ倍；当λ<0时，λa 与a 反向，模是|a |的－λ倍；当λ＝0时，λa ＝0. 跟踪训练1 设a 是非零向量，λ是非零实数，则下列结论正确的是( ) A.a 与－λa 的方向相反 B.|－λa |≥|a | C.a 与λ2a 的方向相同 D.|－λa |＝|λ|a类型二向量的线性运算例2 (1)化简：14[2(2a ＋4b )－4(5a －2b )].(2)已知向量为a ，b ，未知向量为x ，y ，向量a ，b ，x ，y 满足关系式3x －2y ＝a ，－4x ＋3y ＝b ，求向量x ，y .反思与感悟 (1)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在实数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数.(2)向量也可以通过列方程和方程组求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算.跟踪训练2 (1)计算：(a ＋b )－3(a －b )－8a .(2)若2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －13a －13(c ＋b －3y )＋b ＝0，其中a ，b ，c 为已知向量，则未知向量y ＝________.类型三用已知向量表示其他向量例3 在△ABC 中，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( ) A.13AC →＋23AB → B.53AB →－23AC →C.23AC →－13AB → D.23AC →＋13AB → 反思与感悟用已知向量表示未知向量的求解思路(1)先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中.(2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量. (3)当直接表示比较困难时，可以利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.跟踪训练3 如图，在△ABC 中，D ，E 为边AB 的两个三等分点，CA →＝3a ，CB →＝2b ，求CD →，CE →.1.已知a ＝5e ，b ＝－3e ，c ＝4e ，则2a －3b ＋c 等于( ) A.5e B.－5e C.23e D.－23e2.在△ABC 中，M 是BC 的中点，则AB →＋AC →等于( ) A.12AM → B.AM → C.2AM → D.MA → 3.若3x －2(x －a )＝0，则向量x 等于( ) A.2a B.－2a C.25a D.－25a4.如图所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →等于( )A.BC →＋12BA →B.－BC →＋12BA →C.－BC →－12BA →D.BC →－12BA →5.如图所示，已知AP →＝43AB →，用OA →，OB →表示OP →.1.实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加、减运算，例如λ＋a ，λ－a 是没有意义的.2.λa 的几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍.答案精析问题导学知识点一思考1 向量．思考2 3a 的长度是a 的长度的3倍，它的方向与向量a 的方向相同．－3a 的长度是a 的长度的3倍，它的方向与向量a 的方向相反．梳理 (2)系数知识点二思考结合律，分配律．知识点三线性运算题型探究例1 解 (1)正确.∵2>0， ∴2a 与a 同向，且|2a |＝2|a |.(2)正确.∵5>0，∴5a 与a 同向，且|5a |＝5|a |. ∵－2<0，∴－2a 与a 反向，且|－2a |＝2|a |. (3)正确.(4)错误.－(b －a )＝－b ＋a ＝a －b .(5)错误.若λ＝0，则0a ＝0，0与任意向量共线. 跟踪训练1 C例2 (1)解 14[2(2a ＋4b )－4(5a －2b )]＝14(4a ＋8b －20a ＋8b ) ＝14(－16a ＋16b ) ＝－4a ＋4b .(2)解因为⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝a ， ①－4x ＋3y ＝b ， ②由①×3＋②×2，得x ＝3a ＋2b ，代入①得3×(3a ＋2b )－2y ＝a ，即y ＝4a ＋3b .所以x ＝3a ＋2b ，y ＝4a ＋3b .跟踪训练2 (1)解 (a ＋b )－3(a －b )－8a ＝(a －3a )＋(b ＋3b )－8a ＝－2a ＋4b －8a ＝－10a ＋4b . (2)29a －29b ＋19c 例3 D跟踪训练3 解 ∵CA →＝3a ，CB →＝2b ， ∴AB →＝CB →－CA →＝2b －3a .又∵D ，E 为边AB 的两个三等分点， ∴AD →＝13AB →＝23b －a ，∴CD →＝CA →＋AD →＝3a ＋23b －a ＝2a ＋23b ，CE →＝CA →＋AE →＝3a ＋23AB →＝3a ＋23(2b －3a )＝a ＋43b .当堂训练1．C 2.C 3.B 4.B5．解 OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋43AB →＝OA →＋43(OB →－OA →)＝－13OA →＋43OB →.。

2020-2021学年数学北师大版必修4教学教案：2.3.1数乘向量

2.3.1数乘向量向量作为一种运算工具，其知识体系是从实际的物理问题中抽象出来的，它在解决几何问题中的三点共线、垂直、求夹角和线段长度、确定平移等问题中显示出了它的易理解和易操作的特点。

一、总体设想：本节课的设计有两条暗线：一是围绕物理中物体做功，引入数量积的概念和几何意义；二是围绕数量积的概念通过变形和限定衍生出新知识――垂直的判断、求夹角和线段长度的公式。

教学方案可从三方面加以设计：一是数量积的概念；二是几何意义和运算律；三是两个向量的模与夹角的计算。

二、教学目标： 1．知识和技能：(1) 使学生了解向量的数量积的抽象根源。

(2) 使学生理解向是的数量积的概念：两个非零向量的夹角；定义；本质；几何意义。

(3) 使学生了解向量的数量积的运算律(4) 掌握向量数量积的主要变化式：2a a =；=θcos .ba ba ⋅⋅ 2．过程与方法：(1) 从物理中的物体受力做功，提出向量的夹角和数量积的概念，然后给出两个非零向量的夹角和数量积的一般概念，并强调它的本质；接着给出两个向量的数量积的几何意义，提出一个向量在另一个向量方向上的投影的概念。

(2) 由数量积的定义式，变化出一些特例，让学生自主归纳出性质。

(3) 给出向量的数量积的运算律，并通过例题具体地显示出来。

3．情感、态度和价值观：(1) 使学生学会有效学习：抓住知识之间的逻辑关系。

(2) 让学生感受新知识产生、形成的过程，培养辩证法思想。

三、重、难点：【重点】数量积的定义，向量模和夹角的计算方法【难点】向量的数量积的几何意义四、教学方案及其设计意图：θsF 平面向量的数量积，是解决垂直、求夹角和线段长度问题的关键知识，其源自对受力物体在其运动方向上做功等物理问题的抽象。

于是在引导学生学习平面向量数量积的概念时，要围绕物理方面已有的知识展开，这是使学生把所学的新知识附着在旧知识上的绝好的机会。

（如图）首先说明放置在水平面上的物体受力F 的作用在水平方向上的位移是s ，此问题中出现了两个矢量，即数学中所谓的向量，这时力F 对物体的所做的功为W θcos ⋅⋅=s F ，这里的是矢量F 和s 的夹角，也即是两个向量夹角的定义基础，在定义两个向量的夹角时，要使学生明确“把向量的起点放在同一点上”这一重要条件，并理解向量夹角的范围。

北师大版高中数学必修四教学案数乘向量

三巩固练习
1.下列各式中不表示向量的是（）
A. B.
C. D. （，且）
2.在中，、分别是、的中点，若，，则等于（）
A. B.
C. D.
3. ，，且、共线，则与（）
A.共线B.不共线
C.不确定D.可能共线也可能不共线
4.若，与的方向相反，且，则 = .
5.已知，，，则与（填共线、不共线）.
例2已知两个两个向量和不共线，，，，求证：、、三点共线.
变式：在四边形中，，，，证明：是梯形.
例3如图，平行四边形的两条对角线相交于点，且，，你能用、表示、、、吗？
变式：若为平行四边形的中心，，，则等于多少？
例4已知任意四边形，为的中点，为的中点，求证： .
⑴实数与向量的积是一个，记作.
⑵ ， =.
⑶当时，的方向与的方向；
当时，的方向与的方向；
当时， =；
⑷ ， =；
=；
=.
⑸判断正误：向量与向量共线，当且仅当只有一个实数，使得 .
6. ；
⑵ ；
⑶ .
根据以上的运算律，填空：
⑴ = ；⑵ .
二师生互动
例1计算：
⑴ ；
⑵ ；
⑶ .
6.下列各式计算正确的是（）
A.
B.
C.
D.
7.下列向量、共线的有（）
① ；② ；
③ ；
④ （不共线）
A.②③B.②③④C.①③④D.①②③④
8.若，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
9. =；
.

北师大版高中数学必修4第三章数乘向量教学设计

数乘向量教学目标一、知识与技能1、掌握向量数乘运算概念及运算定律，理解向量共线定理。

2、会运用定义、运算律进行有关计算。

二、过程与方法深入对定理的理解，会运用定理解决向量共线、三点共线、直线平行等问题。

三、情感态度与价值观由情景引入，由抽象到具体，由难到易，激发学生的数学兴趣，培养学生独立自主，自我发现，自我概括的能力，使得学生在以后的数学学习上能够自由，自主去探索去发现。

教学重点与难点1.重点：向量数乘运算概念及运算定律，向量共线定理的运用。

2.难点：向量共线、三点共线、直线平行，以及数乘计算的问题。

教学准备多媒体课件、电脑画板教学过程一、情景引入活动一：体会实际，感受新知在疾风骤雨，雷电交加的晚上，我们都是先看到闪电，后来听到雷声？（展示所找到的关于雷电的影像进行播放）这是因为在同一方向上光速远远大于声速。

经测量,光速大小约为声速的5107.8⨯倍。

活动二：自我实验，学会新知教师让学生准备小皮筋，自己进行拽拉，固定一边，朝同一方向，两边同时，朝不同方向，看看会发生什么有趣的现象（可以选号码为1-5的同学拍小视频进行讨论）。

组织学生在电脑面板上展示自己所做实验的答案，进行互相讨论以上两个活动有什么异同点。

（学生自由在电脑面板进行发言，老师进行总结。

）由以上两个案例分析说明实际中存在这样的向量，他们是共线，而且大小之间存在倍数关系。

因此，有必要定义实数与向量积的运算。

二、讲述新知，感悟理解例如，对于向量3a ，我们都知道3个a 相加（可进行画图讲解），即3a =a +a +a .由向量的加法的意义可知，3a 仍是一个向量，它的长度为a 的三倍，方向与a 相同；向量-3a 是3a 的相反向量，他的长度与3a 相同，也是a 的3倍，它的方向与a 的方向相反。

三、新知概括，深入探究1、a 请大家画出非零向量a ，并且做出3a 与0a ,-2a ,. a 。

(按照学生的编号，让5-10号码的同学进行回答。

北师大版高中数学必修四课件§33.1数乘向量

Hale Waihona Puke （2）向量的3a方向与的方a向相反，向量的长度是3a
a
的3倍，即 | 3a | 3 | a | .
一、向量的数乘运算一般地，实数λ 与向量的积是a 一个向量，这种运算叫作向量的数乘运算，记作 λa. 它的长度和方向规定如下：
特别地，当λ =0时方λa向任0, 意.
探究三、数乘向量的运算律（1）根据定义，求作向量和3(2，a)并作6a比(a 较 0.)
a 3a
5、在物理中位移与速度的关系：s=vt，力与加速度的关系： f=ma.其中位移、速度，力、加速度都是向量，而时间、质量都是数量.
O A B C N M QP
探究二、向量与3a向量有什a么关系？向量与向量3a 有a 什么关系？
（1）向量的3a方向与的方a向相同，向量的长度3是a
a
的3倍，即 | 3a | 3| a | .
λ(μ1a μ2 b) λμ1a λμ2 b
练习：计算：
探究四、共线向量判定定理和性质定理 1、如果那b 么λ向a, 量与是否共a 线？b 2、如果非零向量与a 共线b ，那么是否有实数λ ,使
b λa ?
且当与a 同方b 向时，有 b μa; 当与a 反方b 向时，有 b μa, 所以始终有一个实数λ ，使 b λa.
三、向量共线的判定定理是a 一个非零向量，若存在一个实数λ ，使得则向量与b非零向量共线a . 四、向量共线的性质定理
b λa.
向量与b 非零向量共线a ，则存在一个实数λ ，使得 b λa.
思考：1）为a 什么要是非零向量？ 2）可以是零b 向量吗？
E
C
A
B
D
A B

2.3.1数乘向量教案高中数学必修四北师大版

§3从速度的倍数到数乘向量3．1数乘向量●三维目标1．知识与技能(1)理解并掌握实数与向量的积的意义．(2)会利用实数与向量的积的运算律进行有关计算．2．过程与方法由概念的形成过程体验分类讨论的数学思想的指导作用．3．情感、态度与价值观(1)通过对实数与向量的乘积一节的学习，培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力．(2)实数与向量的积还是一个向量，它的长度和方向的变化由实数λ决定，给学生揭示事物是在不断地运动变化着．(3)通过本节内容的学习，使学生掌握实数与向量的积．从形上看，就是图形的放大或缩小，从而揭示事物在不断地运动变化过程中，“万变不改其性”的哲理．●重点难点重点：向量的数乘运算及其几何意义，向量共线定理．难点：向量共线定理的应用．●教学建议教科书用具体的实例分析，帮助学生理解数乘向量．类比数的乘法的定义方法，从三个相同向量相加入手，引出数乘向量，由特殊到一般给出了数乘向量的一般定义．教学中要强调：(1)λa是一个向量；(2)λa有长度和方向，其长度为|λa|＝|λ|·|a|，其方向与λ的符号有关，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0或a ＝0时，λa＝0；(3)数乘向量的几何意义是把向量a沿着a的方向或a的反方向延长或缩短．●教学流程创设问题情境：类比a ＋a ＋a ＝3a ，a ＋a ＋a 等于3a 吗？⇒引导学生结合已学过的向量加法运算，观察比较分析，采取合情推理的方法探索出数乘运算定义及几何意义．⇒引导学生回答所提问题，使学生理解并掌握数乘向量的模、方向及其运算律等相关性质．⇒通过例1及变式训练，使学生熟练掌握向量的线性运算．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握共线向量的应用．⇒通过例3及变式训练，使学生掌握线性运算的综合应用．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.类比实数的运算“a ＋a ＋a ＝3a ”，你能猜想向量“a ＋a ＋a ”等于什么吗？【提示】 a ＋a ＋a 相加为向量，其结果为3a . 1．数乘向量(1)定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa . (2)长度：|λa |＝|λ||a |.(3)方向：λa 的方向⎩⎪⎨⎪⎧当λ＞0时，与a 的方向相同；当λ＜0时，与a 的方向相反.(4)几何意义：将表示向量a 的有向线段伸长或压缩．当|λ|＞1时，表示向量a 的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长为原来的|λ|倍；当|λ|＜1时，表示向量a 的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上缩短为原来的|λ|倍．2．运算律向量的数乘运算满足下列运算律：设λ，μ为实数，则 (1)(λ＋μ)a ＝λ a ＋μ a ； (2)λ(μa )＝λμ a ；(3)λ(a ＋b )＝λ a ＋λ b .我们明确了λa (λ∈R )的运算及含义，那么若一个向量b ＝λa (a ≠0)，则向量a 、b 有什么关系呢？【提示】 a 与b 是共线向量．1．判定定理：a 是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b ＝λ a ，则向量b 与非零向量a 共线．2．性质定理：若向量b 与非零向量a 共线，则存在一个实数λ，使得b ＝λ a .计算：(1)3(6a ＋b )－9(a ＋13b )；(2)12[(3a ＋2b )－(a ＋12b )]－2(12a ＋38b )； (3)2(5a －4b ＋c )－3(a －3b ＋c )－7a .【思路探究】准确应用向量的数乘，加法、减法的运算律化简．【自主解答】 (1)原式＝18a ＋3b －9a －3b ＝9a . (2)原式＝12(2a ＋32b )－a －34b ＝a ＋34b －a －34b ＝0.(3)原式＝10a －8b ＋2c －3a ＋9b －3c －7a ＝b －c .1．向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．2．对于线性运算，把握运算顺序为：运算律去括号→数乘向量→向量加减．(1)化简23[(4a －3b )＋13b －14(6a －7b )]；(2)设向量a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ，求(13a －b )－(a －23b )＋(2b －a )．【解】 (1)原式＝23[4a －3b ＋13b －32a ＋74b ]＝23[(4－32)a ＋(－3＋13＋74)b ] ＝23(52a －1112b ) ＝53a －1118b . (2)原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a＝(13－1－1)a ＋(－1＋23＋2)b ＝－53a ＋53b＝－53(3i ＋2j )＋53(2i －j )＝(－5＋103)i ＋(－103－53)j＝－53i －5j .已知两个非零向量a 、b 不共线，OA →＝a ＋b ，OB →＝a ＋2b ，OC →＝a ＋3b .(1)证明：A 、B 、C 三点共线．(2)试确定实数k ，使k a ＋b 与a ＋k b 共线．【思路探究】 (1)AB →＝OB →－OA →→AC →＝OC →－OA →→找出AB →与AC →的等量关系 (2)令k a ＋b ＝λ(a ＋k b )→利用a 与b 不共线，求λ、k【自主解答】 (1)证明由于OA →＝a ＋b ，OB →＝a ＋2b ，OC →＝a ＋3b ，则AB →＝OB →－OA →＝a ＋2b －a －b ＝b ，而AC →＝OC →－OA →＝a ＋3b －a －b ＝2b ，于是AC →＝2AB →，即AC →与AB →共线，又∵AC →与AB →有公共点A ，∴A 、B 、C 三点共线．(2)解由于a 、b 为非零向量且不共线， ∴a ＋k b ≠0.若k a ＋b 与a ＋k b 共线，则必存在唯一实数λ使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，整理得：(k －λ)a ＝(λk －1)b ，因为非零向量a 、b 不共线，因此⎩⎪⎨⎪⎧ k －λ＝0λk －1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝1λ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1λ＝－1，即存在实数λ＝1，使k a ＋b 与a ＋k b 共线，此时k ＝1.或存在实数λ＝－1，使k a ＋b 与a ＋k b 共线，此时k ＝－1，因此，k ＝±1都满足题意．1．本题中证明点共线的关键是由点构成的向量要有公共点，并且共线．2．证明两个向量a 与b 共线时，只需证明a ＝λb (b ≠0)．若已知a 与b (b ≠0)共线，则可利用两向量共线的性质，得到λ1a ＝λ2b .利用向量共线定理可以解决点共线、线共点及两直线平行等问题，如要证A ，B ，C 三点共线，只需证AB →＝λAC →或AB →＝kBC →(λ，k ∈R )等；要证AB ∥CD ，只需证AB →＝λCD →(λ∈R )．也可解决相关求参问题．已知e 1≠0，λ∈R ，a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1.若a 与b 共线，则( ) A ．λ＝0 B ．e 2＝0 C ．e 1∥e 2D ．λ＝0或e 1∥e 2【解析】 e 1∥e 2时，显然a 与b 共线；若e 1，e 2不共线，设a ＝k b ，则有(1－2k )e 1＋λe 2＝0，于是⎩⎪⎨⎪⎧1－2k ＝0，λ＝0，，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，λ＝0.【答案】 D图2－3－1如图所示，已知▱ABCD 的边BC ，CD 上的中点分别为K ，L ，且AK →＝e 1，AL →＝e 2，试用e 1，e 2表示BC →，CD →.【思路探究】解答本题可先将BC →，CD →视为未知量，再利用已知条件找等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)求出BC →，CD →.【自主解答】法一设BC →＝x ，则BK →＝12x ，AB →＝e 1－12x ，DL →＝12e 1－14x ，又AD →＝x ，由AD →＋DL →＝AL →得x ＋12e 1－14x ＝e 2，解方程得x ＝43e 2－23e 1，即BC →＝43e 2－23e 1，由CD →＝－AB →，AB →＝e 1－12x ，得CD →＝－43e 1＋23e 2.法二设BC →＝x ，CD →＝y ，则BK →＝12x ，DL →＝－12y .由AB →＋BK →＝AK →，AD →＋DL →＝AL →得⎩⎨⎧－y ＋12x ＝e 1， ①x －12y ＝e 2， ②用2乘以②与①相减得12x －2x ＝e 1－2e 2，解得x ＝23(2e 2－e 1)，即BC →＝23(2e 2－e 1)，。

高中数学 2.3.1数乘向量课件北师大版必修4

λa (2)性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数 λ，使得b=____.
λa
1．判一判 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)实数与向量相乘得到数乘向量，实数与向量相加也能得到向量.( ) (2)数乘向量的运算满足结合律、分配律.( ) (3)若向量a,b共线，则一定有a=λb(λ∈R).( )
2.(1)非零向量a与向量－2a的方向相反.
答案:相反
(2) 1a－a+2a= 3a.
答案2： a
2
3
(3)因为2e1-e2=-(e2－e1),故两向量共线.
答案：共线
【要点探究】知识点1 数乘向量的定义及运算 1.对实数与向量的积的理解 (1)从代数的角度来看，①λ是实数，a是向量，它们的积仍然是向量；②λa=0的条件是a=0或λ=0.
§3 从速度的倍数到数乘向量 3.1 数乘向量
问题引航
1.什么是数乘向量？其方向是怎么规定的？ 2.共线向量的判定定理与性质定理的内容是什么？有什么应用？
1.数乘向量的概念与运算律 (1)数乘向量： ①定义：λ a是一个_____.
向量 ②长度：________. ③方向： |λ||a|
相同相反任意
AB AC CB b a.
CF CA 1 AB
2
b 1 (b a) 1 b 1 a.
2
22
AD BE CF
答案：①②③④
b 1 a a 1 b 1 b 1 a 0. 2 222
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)非零向量a与向量-2a的方向_______.
(2) 1 a－a+2a=_______. (3)向2 量e1-e2与向量e2-e1的关系是_______.

【精编】北师大版高中数学必修四课件数乘向量-精心整理

(1)充分利用平面几何的一些结论，转化为相等向量、相反向量、共线向量及比例关系，建立已知向量与未知向量有直接关系的向量来解决问题．
(2)用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示即可，其实质是向量的线性运算的反复应用．
∵e1 与 e题充分利用了向量共线定理，即 b 与 a(a≠0)共线⇔b ＝λa，因此用它既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共
线求参数的值．
(2)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断是否共线．
熟练地掌握数乘运算的结合律和分配律是解决本类题的关键．
变式训练 1 化简下列各式： (1)3(2a－b)－2(4a－2b)； (2)13(4a＋3b)－12(3a－b)－32b； (3)2(3a－4b＋c)－3(2a＋b－3c)．
解析：(1)原式＝6a－3b－(8a－4b)＝－2a＋b. (2)原式＝43a＋b－32a＋12b－32b＝－16a. (3)原式＝6a－8b＋2c－6a－3b＋9c＝－11b＋11c.
变式训练 2 设 a、b 是两个不共线的非零向量，若 a、b 起
点相同，t∈R，当 t 为何值时，a，tb，13(a＋b)三向量的终点在一条直线上？
解析：设 a－tb＝λa－13a＋b(λ∈R)．
化简整理得23λ－1a＋t－13λb＝0.
∵a，b 不共线，∴23t－λ－3λ＝1＝0，0，
类型一向量的线性运算【例 1】化简：234a－3b＋13b－146a－7b.
思维启迪：运用向量的数乘运算，以及数乘运算的运算律进行化简．
解析：234a－3b＋13b－146a－7b ＝234a－3b＋13b－32a＋74b ＝2352a－1112b＝53a－1118b.