趣题

①英国科学家牛顿曾经出过一个有趣的植树问题，他说有9棵树，栽10行，每行3棵，

请你想一想，应该怎么栽呢？

②有一个黑匣子，黑匣子里有一个关于 x 的多项式 p(x) 。我们不知道它有多

少项，但已知所有的系数都是正整数。每一次，你可以给黑匣子输入一个整数，黑匣子将返回把这个整数代入多项式后的值。有一个不可思议的结论：你可以在两步之内还原出整个多项式！这是如何做到的呢？

③

把画框悬挂在钉子上，总是给人一种很不安全的感觉，如果钉子掉了的话，画框也会重重地砸在地上。像上图那样，把画框挂在两颗钉子上，看上去可就安全得多了——如果有一颗钉子掉了的话，画框仍然能够悬挂在另一颗钉子上，就好像上了双保险一样。

今天，我们要考大家一个完全相反的蛋疼问题——如何把画框挂在两颗钉子上，使得去掉任意一颗钉子，画框都会掉下去？

④Always A Bigger Fish不但是电影情节中的经典桥段，也是各种恶搞的灵感来源——小鱼总是被大鱼吃掉，而大鱼上面总还有更大的鱼。久而久之，聪明的大鱼或许就不会去吃小鱼了，否则按照传统剧情，它身后会出现一条更大的鱼。一个有趣的问题出现了：倘若所有的鱼都是理性的，那会出现怎样的情况呢？

让我们把问题重新叙述一下。假设有 n 条鱼，它们从小到大依次编号为 1, 2, …, n 。我们规定，吃鱼必须要严格按顺序执行。也就是说，大鱼只能吃比自己小一级的鱼，不能越级吃更小的鱼；并且只有等到第 i 条鱼吃了第 i - 1 条鱼后，第 i + 1 条鱼才能吃第 i 条鱼。第 1 条鱼则啥都不能吃，只有被吃的份儿。我们假设，如果有小鱼吃的话，大鱼肯定不会放过；但是，保全性命的优先级显然更高，在吃小鱼之前，大鱼得先保证自己不会被吃掉才行。假设每条鱼都是无限聪明的（并且它们也都知道这一点，并且它们也都知道它们知道这一点⋯⋯），那么第 1 条鱼能存活下来吗？

⑤

一根棍子的左端有 6 只间隔相等的蚂蚁，它们正以一个相同的速度向右爬行；棍子的右端也有 6 只蚂蚁，它们也在以同样的速度向左爬行。如果两个蚂蚁相

向而行撞在了一起，它们会同时掉头往回爬行。如果某只蚂蚁爬出了棍子的端点，它会从棍子上掉下去。请问，到所有的蚂蚁都掉下棍子的时候，蚂蚁与蚂蚁之间一共发生了多少次碰撞？

⑥有这么一种赌博游戏：玩家选择 1 到 6 之间的一个数，并下 1 块钱的赌注。然后，庄家同时抛掷三颗骰子。如果这三颗骰子中都没有你选的数，你将输掉那1 块钱；如果有一颗骰子的点数是你选的数，那么你不但能收回你的赌注，还能反赢 1 块钱；如果你选的数出现了两次，你将反赢 2 块钱；如果三颗骰子的点数都是你选的数，你将反赢 3 块钱。

这个赌博游戏对玩家有利还是对庄家有利？

⑦六个相同大小的正方形如图摆放。图中所示的角为多少度？

⑧下一个图形是什么？

⑨故事发生在一个遥远的神秘世界。在那里，人们可以制造出不同等级的毒药。这种毒药是致命的，唯一的解药则是更强的毒药。若不幸中毒后，只要及时喝下更强的毒药就没事了，否则不管是谁都会在10分钟之内死亡。

一天，恶魔向国王发起挑战，看谁拥有最毒的毒药。这是一场死亡竞赛，比赛规则很简单：双方各带一瓶毒药，先把对方瓶中的毒药喝掉一半，然后再把毒药换回来，把自己的毒药喝完。10分钟后，活下来的人便赢得这次比赛。恶魔藏有世上已知的最毒的毒药。国王知道，他无论如何也造不出比那更强的毒药来，并且也知道比赛时恶魔用的就是他那瓶绝无仅有的毒药。国王有办法赢得比赛吗？

⑩2 的 5 倍是 10 ， 3 的 37 倍是 111 ， 4 的 25 倍是 100 。是否对于任意正整数 n ，都能找到一个 n 的倍数，它全由数字 0 和 1 构成？