互为反函数的两个函数图象之间的关系

课件5 互为反函数的两个函数图象之间的关系
课件编号： AB Ⅰ-2-2-3.
课件名称：互为反函数的两个函数图象之间的关系.
课件运行环境：几何画板4.0以上版本.
课件主要功能：利用几何画板绘制函数图象的功能，动态演示互为反函数的两个图象之间的关系，配合教科书“探究与发现 互为反函数的两个图象之间的关系”的教学．
问题1
课件制作过程：
（1）新建画板窗口．单击【Graph 】（图表）菜单中的【Define Coordinate
System 】（建立直角坐标系），建立直角坐标系．选中原点，按Ctrl ＋K ，给原点加注标签A ，并用【文本】工具把标签改为O ．
（2）单击【Graph 】菜单的【Plot New Function 】（绘制函数图象），弹出
“New Function ”函数式编辑器，编辑函数f （x ）＝x 2，单击【OK 】后画出函数f （x ）＝x 2的图象．同法编辑函数2ln ln x ，画出g （x ）=2
ln ln x 的图象（即x x g 2log )(=）．选中所有函数图象，单击【Display 】（显示）菜单、单击【Line Width 】（线型）中的【Thick 】（粗线），把上述图象都设置成粗线．
（3）选中函数f （x ）＝x 2的图象，单击【Display 】菜单【Color 】（颜色），
把该图象的颜色设置成红色．同样把函数x x g 2log )(=的图象设置成蓝色．
（4）单击【Graph 】菜单的【Plot Points 】（绘制点），绘制点（1，1）．选
中该点与原点单击【Construct 】（构造）菜单中的【Line 】（直线），把这点与原点用直线连结起来，并把直线设置成粗线．
（5）用【文本】工具编辑文本f （x ）=2x ，x x g 2log )(=，y ＝x （图1）．
课件使用说明：让学生观察上述图象，发现它们的对称关系．
问题2
课件制作过程：
（1）单击【File 】（文件）菜单的【Document Options 】（文档选项），弹
出“Document Options ”对话框．把页面1的名称改为“看图象”．单击【Add Page 】（增加页）选项卡，单击【Duplicate 】（复制页面）、【看图象】，将这页面的名
称改为“对称点”．
（2）单击【Graph 】菜单中的【Plot Points 】（绘制点），如图2所示，弹
出“Plot Points ”对话框，绘制固定点P 1（－1，0.5），P 2（0，1），P 3（1，2）.
图1 图2
（3）双击直线y ＝x ，将直线y ＝x 标记镜面，同时选中P 1，P 2，P 3，单击
【Transform 】（变换）菜单的【Reflect 】（反射），屏幕上出现它们的对称点P 1'，
P 2'，P 3'．
（4）同时选中P 1，P 2，P 3，单击【Measure 】（度量）菜单的【Coordinates 】
（坐标），屏幕上出现点P 1，P 2，P 3的坐标；同时选中P 1'，P 2'，P 3'单击【Measure 】
菜单的【Coordinates 】，屏幕上出现P 1'，P 2'，P 3'的坐标．
课件使用说明：
先让学生观察点P 1'，P 2'，P 3'是否落在函数x y 2log =的图象上；再利用测
量出来的点的坐标验证点P 1'，P 2'，P 3'均落在函数x y 2log =的图象上．
问题3
课件制作过程：
（1）选中函数f （x ）＝2x 的图象，单击【Construct 】（构造）菜单的【Point
On Function Plot 】（对象上的点），用文本工具给点标签为P 0，再用【选择】工
具选中点P 0，单击【Measure 】（度量）菜单的【Coordinates 】（坐标），屏幕上
出现点P 0的坐标．
（2）同上作法画出点P 0关于直线y ＝x 的对称点P 0'，并度量出它的坐标．
（3）单击【Edit 】（编辑）菜单的【Action Buttons 】（操作类按钮） 中的【Animation 】（动画），屏幕上出现操作类按钮【Animation Point 】（运动点），选择文本工具将按钮名称【Animation Point 】改为【运动点P 0】，如（图3）所
示．
图3
课件使用说明：
1．单击按钮，则点P 0与P 0/同时在各自的曲线上运动或停止．学生可以清楚
得看到P 0'始终落在函数x y 2log =的图象上．
2．可以先将函数x y 2log =的图象隐藏，将P 0'点设置追踪点（单击【Display 】
菜单中的【Trace 】（追踪点）．当点P 0/随点P 0的运动而运动时会留下痕迹；再显
示x y 2log =的图象，发现点P 0/的痕迹与x y 2log =的图象重合．
3．或同时选中P 0与P 0'，单击【Construct 】（构造）菜单中的【Locus 】（轨
迹），立刻得到点P 0'的轨迹与x y 2log =的图象重合．
问题4
由上述探究过程都可以得到以下结论：函数x y 2=及其反函数x y 2log =的图象关于直线y ＝x 对称．
（问题2、3、4详见页面2——“对称点”）
问题5（页面3——“a 变化”）
课件制作过程：
（1）单击【File 】（文件）菜单的【Document Options 】（文档选项）对话框，单击【Add Page 】（增加页），单击【Blank Page 】（空白页），将此页面命名为“a 变化”．
（2）单击【Graph 】菜单中的【Define Coordinate System 】（定义坐标系），屏幕上出现一个平面直角坐标系，用【画线段】工具画一条过原点和（15，0）点的线段，用【选择】工具选择线段，单击【Construct 】（构造）菜单中的【Point On Function Plot 】（对象上的点），在线段上出现一个点，点的标签为A ，用【选择】工具单击【Measure 】（度量）菜单的【Abscissa 】（横坐标），屏幕上出现x A =3.36,用【文本】工具将x A 改为a ．
（3）单击【Graph 】菜单中的【Plot New Function 】（绘制新函数），在“新建函数”对话框内依次单击a ，^，x ，其中^，x 在函数编辑器上，a 在屏幕上，单击【OK 】（确定）后立即出现函数x a y =的图象，把上述图象设置成粗线，并选择一种颜色．（选中曲线，单击【显示】菜单中的【线型】中的粗线．）
（4）单击【Graph 】菜单中的【Plot New Function 】（绘制新函数），在“新建函数”对话框内依次单击ln ，（，x ，），/，ln ，（， a ，），ln 在函数编辑器的函数选择菜单上，a 在屏幕上，其他在函数编辑器上，单击【OK 】（确定）立即出现函数x y a log =的图象．把上述图象设置成粗线，并选择一种颜色．（选中曲线，单击【显示】菜单中的【线型】中的粗线．）
（5）用【选择】工具选中点A ，单击【Edit 】（编辑）菜单的【Action Buttons 】（操作类按钮） 中的【Animation 】（动画），屏幕上出现操作类按钮【Animation Point 】（运动点），用【文本】工具将按钮名称【Animation Point 】改为【改变底数a 】，选中线段端点A ，单击【Display 】（显示）中的【Hide Objects 】（隐藏），隐藏线段及点A ．单击按钮，两个函数图象随a 的变动而跟着变动．再画直线y ＝x ，让学生观察上述图象，发现它们的对称关系．
（6）任取f （x ）= a x 图象上的一个点P ，度量出P 的横坐标和纵坐标B B y x ,，
再依次点击B B x y ,，单击【Graph 】菜单中的【Plot Points 】（绘制点），即绘制点P 关于y ＝x 的对称点 P ''，单击【Display 】菜单中的【Trace 】（追踪点），可以发现点P /的轨迹与x a y =的反函数x y a log =的图象重合．画出过点P 与点P /的线段，单击【Construct 】（构造）菜单中的【Midpoint 】（线段的中点），用【文本】工具将将中点的标签记为点M ，单击【Construct 】（构造）菜单中的【Locus 】（轨迹），当P 运动时，发现M 在直线x y =上运动，如（图4）所示．
图4
课件使用说明：
1．单击【运动点P 】，让学生观察，点P 与点P '的坐标的变化情况，从而进一步验证了上述结论对于（a >0，a ≠1）的情况下仍然成立．
2．上述作图过程一般是随堂进行，若事先作好上课时直接应用，则可以制作一些隐藏与显示按钮（具体见课件）．。