第七节方向导数与梯度

第七节
第九章
方向导数与梯度
一、方向导数 二、梯度及其物理意义
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一、方向导数
讨论函数z f ( x, y)在一点 P0沿某一方
向的变化率问题． 设函数 z f ( x, y) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 的
某一邻域 U (P0 )内有定义，自点 P0 引射线 l．
在点 P(1, 1, 1 )处
指向外侧的法向量, 求函数
在点P 处沿
方向 n 的方向导数.
解: n (4x , 6 y , 2z) P 2(2 , 3 , 1)
方向余弦为 cos 2 , cos 3 , cos 1
14
14
14
而
u x P z
6x 6x2 8y2
P
6 14
同理得
u 1 6 2 8 3 141 11
时为零时, 其上点 P 处的法向量为 grad f P f P .
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例4. 设函数
(1) 求等值面 f (x, y, z) 2 在点 P(1,1,1) 处的切平面方程. (2) 求函数 f 在点 P (1,1,1) 沿增加最快方向的方向导数.
解: (1) 点P处切平面的法向量为
n P 14
7
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例. 函数 u ln(x y2 z2 )在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A
指向 B( 3, －2 , 2) 方向的方向导数是
1 2
. (1996考研)
提示:
其单位向量为
(cos , cos , cos )
ln(x 1)
ln(1 y2 1)
1 2
说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影:
f l
grad
f
el
( el 为方向l 上的单位向量)
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2. 梯度的几何意义
对函数 z
f
(x, y), 曲线
z
f (x, zc
y)在
xOy
面上的投影
L* : f (x, y) c 称为函数 f 的等值线或等高线 . 举例
设ulr的方向角分别为 , ， 即el (cos , cos )
是与l同方向的单位向量。
并设 P( x0 x, y0 y)
y
l
•P
y
P0•• x
为 l 上的另一点且 P U(P0 ).
o
x
则若令 | P0P | ,则x cos, y cos .
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考虑
z (
例2. 求函数
在点P(2, 3)沿曲线
朝 x 增大方向的方向导数.
解: 将已知曲线用参数方程表示为
xx y x2 1
它在点 P 的切向量为 (1, 2x) x2 (1, 4)
cos 1 , cos 4
17
17
y
P
O 1 2 x
60 17
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例3. 设 n 是曲面
反之不然。
讨论函数z f ( x, y) x2 y2 在(0,0)点处
的偏导数是否存在？方向导数是否存在？
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推广可得三元函数方向导数的定义
对于三元函数u f ( x, y, z)，它在空间一点 P( x, y, z)沿着方向l 的方向导数 ，可定义为
f lim f ( x x, y y, z z) f ( x, y, z) ,
这里x cos, y cos .
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若函数f ( x, y)在P存在偏导数，则函数在点P
(1)
e2
沿 着 x 轴 正 向 e1 {1,0} {0,1}的方向导数分别为
（
பைடு நூலகம்fx
,
0,
fy；
2
）、
y
轴正向
(2)沿着 x轴负向、 y 轴负向的方向导数是 f x , f y.
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1. 定义
G
f, x
f, y
f z
向量 G 称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度 (gradient),
记作 grad f (P), 或 f (P), 即
其中
fx(P), fy(P), fz (P)
称为向量微分算子或 Nabla算子.
同样可定义二元函数
在点P(x, y) 处的梯度
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二、梯度
方向导数公式 f f cos f cos f cos
l x
y
z
令向量
G
f, x
f, y
f z
l (cos , cos , cos )
当 l 与 G 方向一致时, 方向导数取最大值：
max f G
l
这说明
G:
方向：f 变化率最大的方向 模 : f 的最大变化率之值
l 0
（ 其中 (x)2 (y)2 (z)2 ）
设方向l 的方向角为 , ,
x cos , y cos , z cos ,
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定理: 若函数 f (x, y, z) 在点 P(x, y, z) 处可微 ,
则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 且有
PP0
), 如当
P 沿着
l 趋于 P0时，
lim f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 )
0
存在, 称此极限为函数 f(x,y) 在点 P0沿方向 l
的方向导数.
记为 f
lim f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 ) .
l x0 , y0 0
f f cos f cos f cos
l x
y
z
l
P
证明: 由函数 f (x, y, z) 在点 P 可微 , 得
f f x f y f z o( )
x
y
z
P(x, y, z)
当P x x, y y, z z在以x, y, z为始点的射线l上时，
f
o( )
设 f x , f y 不同时为零 , 则L*上点P 处的法向量为
( fx , f y ) P grad f P f P y
f c3
函数在一点的梯度垂直于该点等值线,
f c2
指向函数增大的方向.
P f c1
同样,
称为
O
x
的等值面(等量面). 当其各偏导数不同 (设 c1 c2 c3)
故 f lim f f cos f cos f cos
l 0 x
y
z
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例1. 求函数
在点 P(1, 1, 1) 沿向量
3) 的方向导数 .
解: 向量 l 的方向余弦为
u l
P
2xyz
2 14
x2y 3 14
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