八年级数学培优第十三讲平行四边形与一次函数

八年级数学培优第十三讲平行四边形与一次函数

第十二讲平行四边形与一次函数

考点•方法•破译

⒈理解并掌握平行四边形的定义、性质、和判定方法，并运用它们进行计算与证明.

⒉理解三角形中位线定理并会应用.

⒊了解平行四边形是中心对称图形.

经典•考题•赏析

【例3】（南昌）如图:在平

面直角坐标系中,有A（0,1）,B

（－1,0）,C（1,0）三点.

⑴若点D与A、B、C三点

构成平行四边形，请写出所有符合条件的点D 的坐标；

⑵选择⑴中符合条件的一点D，求直线BD的解析式．

【解法指导】已知固定的三个点，作平行四边形应有三种可能性，如图所示，因而本题D点坐标应有三种可能性．

【解】⑴D1（2，1）D2（－

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2，1）D3（0，－1）

⑵若选择D3（0，－1），可求得解析式：y ＝－x－1

【变式题组】已知固定的三个点，作平行四边形时应有三种可能性，如图所示，因而本题D点坐标应有三种可能性．

【解】⑴D1（2，1）D2（－2，1）D3（0，－1）

⑵若选择D3（0，－1），可求得解析式：y ＝－x－1

【变式题组】

3＋3与y

01．如图，直线l1:y ＝－x

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轴交于点A，与直线l2交于x轴

上同一点B，直线l2交y轴于点

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C，且点C与点A关于x轴对称．

⑴求直线l2的解析

式；

⑵设D（0，－1），平行于y轴的直线x＝t

分别交直线l1和l2于点E、F．是否存

在t的值，使得以A、D、E、F为顶点

的四边形是平行四边形，若存在，求出

t的值；若不存在，请说明理由．

02．如图，在直角坐标系中，A（1，0），B（3，

1x上是否0），P是y轴上一动点，在直线y＝

2

存在点Q，使A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出对应的Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

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03．（四川资阳）若一次函数y ＝2x －1和反比

例函数y ＝x k 2的图象都经过点（1，1）．

⑴求反比例函数的解析式；

⑵已知点A 在第三象限，且同时在两个函

数的图象上，求点A 的坐标；

⑶利用⑵的结果，若点B 的坐标为（2，0），且以点A 、O 、B 、P 为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点P 的坐标．

【例4】（齐齐哈尔）如图1.在四边形ABCD 中,AB＝CD,E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N,则∠BME＝∠CNE（不需证明）(温馨提示:在图1中，连接BD,取BD的中点H,连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE＝HF，从而∠1＝∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME＝∠CNE．)

问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB 与CD相交于点O,AB＝CD,E、F分别是BC、AD的中点，连接EF,分别交DC、AB于M、N，判断∆OMN的形状，请直接写出结论．

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问题二:如图3，在∆ABC 中，AC >AB ,D 点在AC 上，AB ＝CD ,E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连接EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ,若∠EFC ＝60°,连接GD ,判断∆AGD 的形状并证明.

【解法指导】出现中点，联想到三角形中

位线是常规思路，因为三角形中位线不仅能进行线段的替换，也可通过平行进行角的转移．

【解】⑴△OMN 为等腰三角形．

⑵△AGD 为含有30°的直角三角形．

证明：连接BD ，取BD 的

中点M ，连接FM 、EM ．

∵AF ＝FD ，BM ＝MD ∴MF //21AB 同理ME //2

1CD ．∵AB ＝CD ∴MF ＝ME ，

R

P D C

B A E

F

又∵∠2＝∠1＝60°，∴△MEF为等边三角形，∴∠4＝∠3＝60°，∠5＝60°

∴△AGF为等边三角形∴FG＝FD

∴∠ADG＝30°

∴△AGD为含有30°的直角三角

形．

【变式题组】

01．（扬州）如图，已知四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，

E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不

动时，那么下列结论成立的是（)

A、线段EF的长逐渐增大

B、线段EF的长逐渐减小

C、线段EF的长不变

D、线段EF的长与点P的位置有关

02．如图，在△ABC中，M是

BC的中点，AD是∠A的平

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分线， BD ⊥AD 于D ,AB ＝12,AC ＝22,则MD 的长为（ ）.

A .3

B .4

C .5

D .6

【例5】（浙江竞赛）如图1，在△ABC 中，∠C ＝90°,点M 在BC 上，且BM ＝AC ,点N 在AC 上，且AN ＝MC ,AM 与BN 相交于点P ,求证：∠BPM ＝45°.

【解法指导】题中相等线段关联性不强，能否把相等的线段（或角）通过改变位置，将分散的条件集中，从而构造全等三角形解决问题．

【解】方法一、如图2，过M 作 ME AN ,连接BE ,EN ,则得 AMEN , ∴ME ⊥BC ,AM ＝EN

在△AMC 和△BEM 中 ，AC ＝BN ,∠

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