背包问题系列算法详解

背包问题系列算法详解

背包问题是一个关于最优解的经典问题。通常被讨论的最多的，最经典的背包问题是0-1背包问题(0-1 Knapsack Problem)。它是一切背包问题及相关背包问题的基础。本篇博文将详细分析0-1背包问题，并给出0-1背包问题的几种解法，同时也对0-1背包问题的内涵进行延伸，丰富其外延至完全背包问题和多重背包问题，并给出背包问题的算法实现过程，希望对大家有帮助。

一、0-1背包问题

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品（每个物品只有一件）的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

（1）递归求解

算法如下：

#include "iostream"

#define CAPACITY 10

#define GOODSNUM 6

using namespace std;

int nVol[GOODSNUM];

int nValue[GOODSNUM];

int knapsack(int itemIndex,int vol);

void main()

{

int i=0,j=0;

while(i

{

cout<<"input the "<

cin>>nVol[i]>>nValue[i];

i++;

}

cout<<"The max value is: "<

}

int knapsack(int itemIndex,int vol)

{

if (itemIndex==0||vol==0)

{

return 0;

}

else if (vol>=nVol[itemIndex] && knapsack(itemIndex-1,vol)

{

return knapsack(itemIndex-1,vol-nVol[itemIndex])+nValue[itemIndex];

}

else

return knapsack(itemIndex-1,vol);

分析：递归求解，求解过程中的绝大部分变量存在重复求解的过程，算法的效率较低，有待改进；那怎么改进呢？最有效的是用数组保存每次计算的结果，不用重复计算，于是有二维数组求解。

（2）二维数组求解

算法如下：

#include "iostream"

#define CAPACITY 10

#define GOODSNUM 6

using namespace std;

void main()

{

int i=1,j;

int v[GOODSNUM] = {10,12,40,40,40,15};

int c[GOODSNUM] = {1,2,3,5,2,1};

int fun[GOODSNUM+1][CAPACITY+1];

for (i=1;i<=GOODSNUM;i++)

{

fun[i][0] = 0;

}

for (i=1;i<=CAPACITY;i++)

{

fun[0][i] = 0;

}

for (i=1;i<=GOODSNUM;i++)

{

for (j=1;j<=CAPACITY;j++)

{

if (j

{

fun[i][j] = fun[i-1][j];

}

else if (fun[i-1][j]

{

fun[i][j] = fun[i-1][j-c[i-1]] + v[i-1];

}

else

fun[i][j] = fun[i-1][j];

}

}

cout<<"The max value is: "<

}

分析：二维数组求解方法相比递归求解要优越很多，但是其空间复杂度依然较高，还有继续改进的余地吗？一维数组是否可行呢？答案是肯定的

（3）一维数组求解

算法分析：

#include "iostream"

#define CAPACITY 10

#define GOODSNUM 6

using namespace std;

void main()

{

int nVolume[GOODSNUM] = {1,2,3,5,2,1};

int nValue[GOODSNUM] = {10,12,40,40,40,15};

int selectTable[GOODSNUM][CAPACITY+1] = {0};

int nKnapsack[CAPACITY+1] = {0};//most important for the first compution below

int itemIndex,capIndex;

for (itemIndex=0;itemIndex

{

for (capIndex=CAPACITY;capIndex>=nVolume[itemIndex];capIndex--)//notice that capIndex>=nVolume[itemIndex],not capIndex>=0 注意此处与二维数组求解的区别

{

if (nKnapsack[capIndex]

{

nKnapsack[capIndex] = nKnapsack[capIndex-nVolume[itemIndex]]+nValue[itemIndex];

selectTable[itemIndex][capIndex] = 1;

}

else

nKnapsack[capIndex] = nKnapsack[capIndex];

}

}

cout<<"The max value is: "<

cout<<"The selected items are: ";

for (itemIndex = GOODSNUM-1,capIndex = CAPACITY;itemIndex>=0;itemIndex--)

{

if (selectTable[itemIndex][capIndex])

{

cout<

capIndex = capIndex - nVolume[itemIndex];

}

}

cout<

}

分析：在一维数组实现中将空间复杂度由O(GOODSNUM*CAPACITY)降低到O(CAPACITY)并同时进行了代码优化，同时也给出了选择物品的编号。

二、完全背包问题

若你能给深入理解0-1背包问题和其深刻内涵，并真正明白一维数组求解背包问题后，下面的问题对你来说就相当容易了。