背包问题系列算法详解
背包问题解析（一）-贪心算法
背包问题解析（⼀）-贪⼼算法⼀、题⽬:有N件物品和⼀个容量为V的背包。
第i件物品的重量是w[i]，价值是v[i]。
求解将哪些物品装⼊背包可使这些物品的重量总和不超过背包容量，且价值总和最⼤。
⼆、解决思路:本题刚开始的解题的时候,想采取贪⼼算法来解决,也就是将放⼊的物品的性价⽐按照从⾼到低进⾏排序，然后优先放优先级⾼的，其次优先级低的。
三、代码实现（python）1# 重量w=[5,4,3,2]2# 价值v=[6,5,4,3]3 b=[]4 m=int(input("请输⼊背包的最⼤重量:"))5 n=int(input("请输⼊商品的数量:"))6for i in range(n):7 a=input("请分别输⼊重量和价值,以空格隔开:")8 a=a.split("")9for i in range(len(a)):10 a[i]=int(a[i])11 b.append(a)12print("加载初始化:",b)13for i in range(len(b)):14for j in range(i+1,len(b)):15if b[i][1]/b[i][0]<b[j][1]/b[j][0]:16 b[i],b[j]=b[j],b[i]17print("性价⽐排序:",b)18 v=019 c=[]20for i in range(len(b)):21if m-b[i][0]>0:22 m=m-b[i][0]23 c.append(b[i])24 v+=b[i][1]25print("放⼊背包:",c)26print("最⼤价值为:",v)打印结果：四、算法分析：贪⼼选择是指所求问题的整体最优解可以通过⼀系列局部最优的选择，即贪⼼选择来达到。
第六讲 动态规划背包问题详细
四.混合三种背包问题
伪码： for i=1..N if 第i件物品属于01背包 ZeroOnePack(c[i],w[i]) else if 第i件物品属于完全背包 CompletePack(c[i],w[i]) else if 第i件物品属于多重背包 MultiplePack(c[i],w[i],n[i])
f[i][v][u]=max{f[i-1][v][u],f[i-1][v-a[i]][u-b[i]]+w[i]}
五.二维费用的背包问题 二维费用的背包问题
注： 可以只使用二维的数组： 可以只使用二维的数组：当每件物品只可以 取一次时变量v和 采用逆序的循环， 采用逆序的循环 取一次时变量 和u采用逆序的循环，当物品有如 完全背包问题时采用顺序的循环 顺序的循环。 完全背包问题时采用顺序的循环。当物品有如多 重背包问题时拆分物品 重背包问题时拆分物品 。
f[k][v]=max{f[k-1][v],f[k-1][v-c[i]]+w[i]|物品 属于组 物品i属于组 物品 属于组k}
六.分组的背包问题 分组的背包问题
伪码： 伪码： 仍然可以对每组中做像 for 所有的组 所有的组k 完全背包那样的优化 for v=V..0 for 所有的 属于组 所有的i属于组 属于组k f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}
三.多重背包
题目： 题目： 种物品和一个容量为V的背包 有N种物品和一个容量为 的背包。第i种物品 种物品和一个容量为 的背包。 种物品 最多有n[i]件可用，每件费用是 件可用， 最多有 件可用 每件费用是c[i]，价值是 ，价值是w[i]。 。 求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总 和不超过背包容量， 和不超过背包容量，且价值总和最大 。
背包问题的数学模型
背包问题的数学模型【最新版】目录1.背包问题的定义与背景2.背包问题的数学模型3.背包问题的解决方法4.实例：使用动态规划解决背包问题5.总结正文一、背包问题的定义与背景背包问题是一个经典的优化问题，它的定义如下：给定一个背包和 n 种物品，其中，背包的容量为 V，第 i 种物品的质量为 c_i，价值为 p_i。
如何通过物品选择，使得装入背包中的物品总价值最大。
二、背包问题的数学模型为了解决背包问题，我们可以建立一个数学模型。
首先，我们需要定义决策变量 x_i，表示是否选择第 i 种物品。
如果选择，x_i=1；如果不选择，x_i=0。
目标函数表示背包中物品总价值，即 max{Σp_i*x_i}。
约束条件表示背包容量，即Σc_i*x_i<=V。
三、背包问题的解决方法背包问题的解决方法有很多，如穷举法、动态规划等。
这里我们介绍使用动态规划解决背包问题。
动态规划是一种分步决策解决问题的方法，其核心思想是“记住已经解决过的子问题的解，以便在需要时可以重复使用”。
四、实例：使用动态规划解决背包问题假设有一个背包，容量为 8 千克，有以下物品：李子：4kg，4500 元；苹果：5kg，5700 元；草莓：1kg，1100 元；橘子：2kg，2250 元；甜瓜：6kg，6700 元。
我们可以使用动态规划求解背包问题，具体步骤如下：1.创建一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示前 i 种物品装入容量为 j 的背包中的最大价值。
2.初始化 dp 数组，dp[0][j]=0，表示没有物品时，装入背包的价值为 0。
3.遍历所有物品，对于每种物品，遍历背包的所有可能容量，更新 dp 数组。
4.根据 dp 数组，找到装入背包中的物品总价值最大时的决策变量x_i。
五、总结背包问题是一个典型的优化问题，通过建立数学模型，我们可以使用动态规划等方法求解。
在实际生活中，背包问题有很多应用场景，如物流、仓库管理等。
背包问题九讲(很详细)
P01: 01背包问题题目有N件物品和一个容量为V的背包。
第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。
求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
基本思路这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。
用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。
则其状态转移方程便是：f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。
所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。
如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。
优化空间复杂度以上方法的时间和空间复杂度均为O(VN)，其中时间复杂度应该已经不能再优化了，但空间复杂度却可以优化到O。
先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环i=1..N，每次算出来二维数组f[i][0..V]的所有值。
那么，如果只用一个数组f[0..V]，能不能保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[i][v]呢？f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]两个子问题递推而来，能否保证在推f[i][v]时（也即在第i次主循环中推f[v]时）能够得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]的值呢？事实上，这要求在每次主循环中我们以v=V..0的顺序推f[v]，这样才能保证推f[v]时f[v-c[i]]保存的是状态f[i-1][v-c[i]]的值。
背包问题四种不同算法的实现
交通大学数理与软件工程学院题目0-1背包问题算法实现院系数理院专业班级信计09学生雷雪艳学号202105130指导教师二Ｏ一二年六月五日一、问题描述：1、0—1背包问题：给定n 种物品和一个背包，背包最大容量为M ，物品i 的重量是w i ,其价值是平P i ，问应当如何选择装入背包的物品，似的装入背包的物品的总价值最大？ 背包问题的数学描述如下：2、要求找到一个n 元向量(x1，x2…xn)，在满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤∑10i i i x M w x 情况下，使得目标函数px ii ∑max ，其中，1≤i ≤n ；M>0；wi>0；pi>0。
满足约束条件的任何向量都是一个可行解，而使得目标函数到达最大的那个可行解那么为最优解[1]。
给定n 种物品和1个背包。
物品i 的重量是wi ，其价值为pi ，背包的容量为M 。
问应如何装入背包中的物品，使得装人背包中物品的总价值最大？在选择装人背包的物品时，对每种物品i 只有两种选择，即装入背包、不装入背包。
不能将物品i 装人背包屡次，也不能只装入局部的物品i 。
该问题称为0-1背包问题。
0-1背包问题的符号化表示是，给定M>0， w i >0， pi >0，1≤i ≤n ，要求找到一个n 元0-1向量向量(x1，x2…xn)， X i =0 或1 , 1≤i ≤n, 使得Mwx ii≤∑ ，而且px ii∑到达最大[2]。
二、解决方案：方案一：贪心算法1、贪心算法的根本原理与分析贪心算法总是作出在当前看来是最好的选择，即贪心算法并不从整体最优解上加以考虑，它所作出的选择只是在某种意义上的局部最优解。
贪心算法不是对所有问题都能得到整体最优解，但对围相当广的许多问题它能产生整体最优解。
在一些情况下，即使贪心算法不能得到整体最优解，但其最终结果却是最优解的很好近似解。
贪心算法求解的问题一般具有两个重要性质：贪心选择性质和最优子构造性质。
数据结构 背包问题
数据结构背包问题引言概述：数据结构是计算机科学中非常重要的一个领域，它涉及到如何组织和存储数据，以便能够高效地进行操作和处理。
背包问题是一个经典的计算机科学问题，它涉及到如何在给定的背包容量下，选择一些物品放入背包中，使得背包的总价值最大化。
本文将从五个大点来详细阐述背包问题的相关内容。
正文内容：1. 背包问题的定义与分类1.1 背包问题的定义：背包问题是指在给定的背包容量和一组物品的重量和价值下，如何选择物品放入背包中，使得背包的总价值最大化。
1.2 背包问题的分类：背包问题可以分为0/1背包问题、分数背包问题和多重背包问题。
0/1背包问题要求每个物品只能选择放入背包一次或不放入；分数背包问题允许物品被分割成若干部分放入背包；多重背包问题允许每个物品有多个可选的数量。
2. 背包问题的解决方法2.1 动态规划法：动态规划是解决背包问题的常用方法。
它将问题划分为子问题，并利用子问题的解来构建原问题的解。
通过构建一个二维数组来保存每个子问题的解，可以逐步求解出整个问题的最优解。
2.2 贪心算法：贪心算法是一种简单而高效的解决背包问题的方法。
它通过每次选择当前最优的物品来构建解决方案。
贪心算法的优势在于其计算速度快，但可能无法得到全局最优解。
2.3 回溯算法：回溯算法是一种通过试探和回溯的方式来解决问题的方法。
它通过遍历所有可能的解决方案来找到最优解。
回溯算法的优势在于可以找到全局最优解，但计算速度较慢。
3. 背包问题的优化3.1 剪枝策略：剪枝策略是一种通过提前终止无效的搜索分支来减少计算量的方法。
通过判断当前路径是否有可能达到更优解，可以避免无效的搜索。
3.2 近似算法：近似算法是一种通过近似解来求解问题的方法。
它可以在较短的时间内得到一个接近最优解的解决方案，但无法保证其准确性。
3.3 动态规划的优化：动态规划法可以通过一些优化技巧来提高算法的效率，如使用滚动数组来减少空间复杂度，或者使用一些启发式规则来提前终止无效的计算。
背包问题的算法
背包问题是一种经典的优化问题，通常用于解决在给定一组物品和它们的重量、价值等信息的情况下，如何选择一些物品放入一个容量有限的背包中，使得背包中物品的总价值最大或总重量最小等问题。
以下是背包问题的一种经典算法——动态规划法：
1. 定义状态：设f[i][j]表示前i个物品中选择若干个物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值或最小重量。
2. 状态转移方程：对于第i个物品，有两种情况：
- 不放入背包中，此时f[i][j]=f[i-1][j]；
- 放入背包中，此时f[i][j]=max(f[i-1][j], f[i-1][j-w[i]]+v[i])，其中w[i]和v[i]分别表示第i 个物品的重量和价值。
3. 初始化：f[0][0]=0。
4. 计算最优解：根据状态转移方程，从上到下依次计算每个物品的状态值，最终得到f[n][m]即为所求的最优解。
时间复杂度：O(n*m)，其中n为物品数量，m为背包容量。
空间复杂度：O(n*m)。
5.5动态规划求解01背包问题
xn-2,…,x1将依次推导得出
例2的解向量推导
S0={(0,0)}
S1={(0,0),(1,2)}
S2={(0,0),(1,2), (2,3),(3,5)}
● Si的构造
记S1i 是fi-1(X-wi)+pi的所有序偶的集合，则
S1i {( P,W ) | (P pi ,W wi ) S i1}
其中，Si-1是fi-1的所有序偶的集合
Si的构造：由Si-1和 S1i 按照支配规则合并而成。
支配规则：如果Si-1和S1i 之一有序偶(Pj,Wj),另一有(Pk,Wk)，
5.5动态规划求解 0/1背包问题
1.问题描述 背包容量M，n个物品，分别具有效益值P1…Pn,物
品重量w1…wn,从n个物品中，选择若干物品放入 背包，物品要么整件放入背包，要么不放入。怎 样决策可以使装入背包的物品总效益值最大？
形式化描述：
目标函数：
约束条件：
max pixi
1i j
wixi M
1in
xi
0或1,
pi
0, wi
0,1
i
n
0/1背包问题：KNAP(1,n,M)
❖ 0/1背包问题：M=6,N=3,W=(3,3,4),P=(3,3,5) ❖ 贪心法：p3/w3 > p1/w1 > p2/w2 ❖ 贪心解 ∑P=5（0,0,1） ❖ 最优解是：∑P=6（1,1,0）
❖ 贪心法求解0/1背包问题不一定得到最优解！ ❖ 动态规划求解的问题必须满足最优化原理
0-1背包问题的近似算法
0-1背包问题的近似算法0-1背包问题的近似算法对问题特点和算法思想做一些整理如下：这类问题其实很有意思，做数学和做计算机的人都会研究，而且我这里将要提到的论文都是做计算机的人所写的。
问题简述0-1 Knapsack Problem （0-1背包问题，下面简称KP）和Subset Sum Problem （子集合加总问题，下面简称SSP）是经典的NP完全问题。
两个问题简要描述如下：KP：有n个物品要放入背包，第i个物品的价值为ci，占据体积为vi，背包的总容积为V，要选择一部分物品放入背包，使得他们的总价值最大。
对应的优化问题是maxxi∑ci∗xis.t.∑vi∗xi≤V,xi∈{0,1}这里xi代表是否选取第i个物品进背包，等于1就代表放入背包，等于0代表不放入背包。
SSP: 给一个集合{c1,c2,…,cn}，还有一个目标值V，问能否选出一个子集，使得子集中元素求和刚好等于V。
我们一般考虑的是他的另一种表述方式：选出一个子集，使得子集中元素求和不超过V，且尽量大。
对应的优化问题是maxxi∑ci∗xis.t.∑ci∗xi≤V,xi∈{0,1}这里xi代表是否选入子集，等于1就是选入子集，等于0就是不选入子集。
SSP是KP的特殊情况，也即当ci=vi的时候，KP退化为SSP，从问题式子上看，也完全一样了。
尽管如此，研究了KP不代表就不用研究SSP了，后面会说明这一点。
精确算法与近似算法这两个问题都有很简单的动态规划算法可以精确求解，但可惜算法的时间复杂度是伪多项式的，也即和V相关，但V不是问题输入数据的规模，n才是。
在ACM竞赛等算法比赛中，经常会遇到一些问题属于KP的变种，而伪多项式算法也就足够了。
由于网上资料很多，而且难度不大，这里就不详细介绍了。
如果你不知道，请你搜索“动态规划求解0-1背包问题”。
这里我们更关心多项式近似算法，也即PTAS（Polynomial Time Approximation Scheme），也即对任意给定的ϵ，算法可以在关于n的多项式时间内求得一个解，且该解和真实最优解的最多相差ϵ倍。
01背包问题及变种详解
P01: 01背包问题题目有N件物品和一个容量为V的背包。
第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。
求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
基本思路这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。
用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。
则其状态转移方程便是：f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。
所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。
如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。
优化空间复杂度以上方法的时间和空间复杂度均为O(VN)，其中时间复杂度应该已经不能再优化了，但空间复杂度却可以优化到O。
先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环i=1..N，每次算出来二维数组f[i][0..V]的所有值。
那么，如果只用一个数组f[0..V]，能不能保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[i][v]呢？f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]两个子问题递推而来，能否保证在推f[i][v]时（也即在第i次主循环中推f[v]时）能够得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]的值呢？事实上，这要求在每次主循环中我们以v=V..0的顺序推f[v]，这样才能保证推f[v]时f[v-c[i]]保存的是状态f[i-1][v-c[i]]的值。
算法背包问题的五种方法
算法背包问题的五种方法1. 动态规划背包问题是一种经典的组合优化问题，动态规划是解决背包问题的常用方法之一。
动态规划将问题分解为子问题，并利用已解决子问题的结果来求解更大规模的问题。
对于背包问题，动态规划算法的基本思想是创建一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示在前i个物品中选择若干个物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值。
通过填表格的方式，从子问题逐步求解到原问题，最终得到最优解。
2. 贪心算法贪心算法是另一种解决背包问题的方法。
它的基本思想是每一步都选择当前看起来最好的选择，而不考虑之前的选择对后续步骤的影响。
在背包问题中，贪心算法通常是按照物品的价值密度（价值与重量的比值）进行排序，然后依次选择价值密度最高的物品放入背包，直到背包容量不足为止。
贪心算法的优势在于其简单性和高效性，但它并不一定能得到最优解。
3. 分支定界法分支定界法是一种通过搜索方式求解背包问题的方法。
它的基本思想是通过搜索可能的解空间，并根据当前搜索路径的特性进行剪枝操作，从而减少搜索的时间和空间复杂度。
在背包问题中，分支定界法通常根据当前节点的上界（通过松弛问题得到）与当前最优解进行比较，如果上界小于当前最优解，则该节点不再继续拓展，从而减少搜索空间的大小，提高求解效率。
4. 回溯算法回溯算法是一种通过不断试探和回退的方式求解背包问题的方法。
它的基本思想是从问题的初始状态开始，不断地尝试不同的决策，并根据约束条件判断该决策是否可行。
如果决策可行，则继续尝试下一步决策；如果不可行，则回退到上一步并尝试其他决策。
在背包问题中，回溯算法通过递归的方式依次尝试每个物品的放入与不放入两种选择，直到找到满足约束条件的解或者穷尽所有可能。
5. 近似算法近似算法是一种通过快速求解背包问题的“近似”解来减小计算复杂度的方法。
它的基本思想是用一种简单而快速的策略求解背包问题，并且能够保证求解结果的近似程度。
在背包问题中，常见的近似算法有贪心算法和启发式算法。
背包问题 启发算法
背包问题启发算法
背包问题是一种常见的优化问题，通常用于解决资源分配、决策制定等方面的问题。
启发式算法是一种常用的求解背包问题的策略，其基本思想是通过经验或直观来构造一个可行的解决方案，然后不断迭代优化这个方案，直到满足终止条件。
以下是一个简单的0-1背包问题的启发式算法：
1. 初始化：选择一个初始解，通常是一个空解或者随机解。
2. 迭代优化：在每次迭代中，尝试对当前解进行改进。
具体步骤如下：
a. 对于每个物品，计算将其添加到背包中的收益，即物品的重量与价值的乘积。
b. 选取收益最大的物品，将其添加到背包中。
c. 重复步骤b，直到背包满载或者没有剩余的物品。
3. 终止条件：当达到指定的迭代次数或者背包价值达到最大值时，停止迭代。
4. 输出结果：返回最终的背包解。
需要注意的是，启发式算法只能得到近似最优解，而不是最优解。
因此，在某些情况下，启发式算法可能无法得到最优解，但对于许多实际问题，启发式算法可以提供足够好的解决方案，并且计算效率较高。
经典算法详解之背包算法
经典算法详解之背包算法背包问题(Knapsackproblem)是⼀种组合优化的。
问题可以描述为：给定⼀组物品，每种物品都有⾃⼰的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最⾼。
这个问题涉及到了两个条件：⼀是物品总的⼤⼩⼩于或等于背包的⼤⼩，⼆是物品总的价值要尽量⼤。
如果我们⽤⼦问题定义状态来描述的话可以这样解释：⽤f[i][v]表⽰前i件物品恰放⼊⼀个容量为v的背包可以获得的最⼤价值。
⽤公式表⽰:f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}或 f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}具体的解释可以理解为将前i件物品放⼊容量为v的背包中，现只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为⼀个只涉及前i-1件物品和第i件物品的问题。
如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放⼊容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放⼊剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最⼤价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放⼊第i件物品获得的价值w[i]。
（v表⽰背包的最⼤容量，c[i]表⽰第i件物品的⼤⼩，w[i]表⽰第i件物品的价值）算法如下：class Fruit{private String name;private int size;private int price;public Fruit(String name,int size,int price){=name;this.size=size;this.price=price;}public String getName(){return name;}public int getPrice(){return price;}public int getSize(){return size;}}public class Knapsack{public static void main(String[] args){final int MAX=8;final int MIN=1;int[] item=new int[MAX+1];int[] value=new int[MAX+1];Fruit fruits[]={new Fruit("李⼦",4,4500),new Fruit("苹果",5,5700),new Fruit("橘⼦",2,2250),new Fruit("草莓",1,1100),new Fruit("甜⽠",6,6700)};for(int i=0;i<fruits.length;i++){for(int s=fruits[i].getSize();s<=MAX;s++){//s表⽰现在背包的⼤⼩int p=s-fruits[i].getSize();//表⽰每次增加单位背包空间，背包所剩的空间int newvalue=value[p]+fruits[i].getPrice();//value[p]表⽰增加的背包空间可以增加的价值，fruits[i].getprice()表⽰原有的背包的价值if(newvalue>value[s]){//现有的价值是否⼤于背包为s时的价值value[s]=newvalue;item[s]=i;//将当前的⽔果项添加到背包的物品中}}}System.out.println("物品\t价格");for(int i=MAX;i>MIN;i=i-fruits[item[i]].getSize()){System.out.println(fruits[item[i]].getName()+"\t"+fruits[item[i]].getPrice());}System.out.println("合计\t"+value[MAX]);}}程序运⾏的过程如下：i=0时，放⼊李⼦背包负重12345678s－－－45678p－－－01234value00045004500450045009000item－－－00000item－－－00000i=1时，放⼊苹果背包负重12345678s－－－－5678p－－－－0123value00045005700570057009000item－－－01110i=2时，放⼊橘⼦背包负重12345678s－2345678p－0123456value02250225045005700675079509000item－2201220i=3时，放⼊草莓背包负重12345678s1*******p0*******value11002250335045005700680079509050item32301323i=4时，放⼊甜⽠背包负重12345678s－－－－－678p－－－－－012value11002250335045005700680079509050item32301323由最后⼀个表格可以知道，在背包负重8的时候，最多得到价值9050的⽔果，这个时候可以得到装⼊的⽔果是3号⽔果草莓，那么剩下的（8-1=7）个⼤⼩空间，可以知到为2号⽔果也就是橘⼦，同理下⼀步可以知道放⼊的⽔果是1号⽔果苹果。
背包问题 背包问题是计算机科学里的经典问题
背包问题背包问题是计算机科学里的经典问题。
在最简单的形式中，包括试图将不同重量的数据项放到背包中．以使背包最后达到指定的总重量。
不需要把所有的选项都放入背包中。
举例来说，假设想要背包精确地承重20磅，并且有5个可以选择放入的数据项，它们的重量依次为11磅、8磅、7磅、6磅和5磅。
对于选择放入的数据项数量不大时，人类很善于通过观察就可以解决这个问题。
于是大概可以计算出只有8磅、7磅和5磅的数据项加在一起和为20磅。
如果想要计算机来解决这个问题，就需要给计算机更详细的指令。
算法如下：1．如果在这个过程中的任何时刻，选择的数据项的总和符合目标重量，工作就完成了。
2．从选择第一个数据项开始。
剩余的数据项的加和必须符合背包的目标重量减去第一个数据项的重量；这是一个新的目标重量。
3．逐个地试每种剩余数据顶组合的可能性。
但是，注意并不需要去试所有的组合，因为只要数据顶朗和大于目标重量的时候，就停止添加数据项。
4．如果设有组合合适的话，放弃第—‘个数据项，并且从第二个数据项开始再重复一边整个过程。
5．继续从第三个数据项开始，如此下去直到你已经试过所有的组合，这时知道没有解决答案。
[java]view plaincopypublic class Beibao {2static int[] a = new int[5]; // 背包重量3static int[] b = new int[5]; // 结果数组4static int flag = 0; // 下一个候选项5static int bound = 20; // 总重量6static int totle = 0; // 每次选择后的总重量7 /**8 * 背包9 *10 * @param i11 * 元素坐标12 * @param leftbound13 * 目标重量14 * @param t15 */16public static void inserttry(int i, int leftbound, int t) {17if (i < 5 && leftbound <= totle) {18if (a[i] < leftbound) { // 当前的所选的数小于已选数的总和，将当前所选的数放入结果数组，从目标重量减掉当前所选数，递归，选择后的重量数减掉当前所选数19 b[t++] = a[i];20 totle = totle - a[i];21 leftbound = leftbound - a[i];22 i++;23 inserttry(i, leftbound, t);24 } else if (a[i] > leftbound) { // 当前的所选的数大于已选数的总和，不符合条件，选择后的重量数减掉当前所选数，递归25 totle = totle - a[i];26 i++;27 inserttry(i, leftbound, t);28 } else { // 当前所选的数等于已选数的总和30return;31 }32 } else { // 数组中没有符合当前条件的元素，将前一个数值移除，递归33 leftbound = leftbound + b[--t];34for (int f = 0; f < 5; f++) {35if (a[f] == b[t]) {36 flag = ++f;37break;38 }39 }40 b[t] = 0;41 totle = 0;42for (int m = flag; m < 5; m++) {43 totle += a[m];44 }45 inserttry(flag, leftbound, t);46 }47return;48 }49public static void main(String[] args) {50 a[0] = 11;51 a[1] = 8;52 a[2] = 6;53 a[3] = 7;54 a[4] = 5;55for (int i = 0; i < 5; i++) {56 b[i] = 0;57 }58for (int i = 0; i < 5; i++) {60 }61 inserttry(0, 20, 0);62for (int i = 0; i < 5; i++) {63 System.out.println(b[i]);64 }65 }66}。
背包问题系列算法详解
背包问题系列算法详解背包问题是一个关于最优解的经典问题。
通常被讨论的最多的，最经典的背包问题是0-1背包问题(0-1 Knapsack Problem)。
它是一切背包问题及相关背包问题的基础。
本篇博文将详细分析0-1背包问题，并给出0-1背包问题的几种解法，同时也对0-1背包问题的内涵进行延伸，丰富其外延至完全背包问题和多重背包问题，并给出背包问题的算法实现过程，希望对大家有帮助。
一、0-1背包问题有N件物品和一个容量为V的背包。
第i件物品（每个物品只有一件）的费用是c[i]，价值是w[i]。
求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
（1）递归求解算法如下：#include "iostream"#define CAPACITY 10#define GOODSNUM 6using namespace std;int nVol[GOODSNUM];int nValue[GOODSNUM];int knapsack(int itemIndex,int vol);void main(){int i=0,j=0;while(i<GOODSNUM){cout<<"input the "<<i+1<<"th item(volume and value):";cin>>nVol[i]>>nValue[i];i++;}cout<<"The max value is: "<<knapsack(GOODSNUM,CAPACITY)<<endl;}int knapsack(int itemIndex,int vol){if (itemIndex==0||vol==0){return 0;}else if (vol>=nVol[itemIndex] &&knapsack(itemIndex-1,vol)<knapsack(itemIndex-1,vol-nVol[itemIndex])+nValue[itemIndex ]){return knapsack(itemIndex-1,vol-nVol[itemIndex])+nValue[itemIndex];}elsereturn knapsack(itemIndex-1,vol);}分析：递归求解，求解过程中的绝大部分变量存在重复求解的过程，算法的效率较低，有待改进；那怎么改进呢？最有效的是用数组保存每次计算的结果，不用重复计算，于是有二维数组求解。
数据结构 背包问题
数据结构背包问题背包问题是在计算机科学中的一个经典问题，它涉及到在给定的背包容量下，如何选择一组物品，使得这些物品的总价值最大化。
在解决背包问题时，我们需要考虑物品的分量和价值，并且背包的容量是有限的。
为了解决背包问题，我们可以使用动态规划算法。
动态规划是一种通过将问题分解为子问题并解决子问题来解决复杂问题的方法。
对于背包问题，我们可以定义一个二维数组dp来保存每一个子问题的最优解。
其中，dp[i][j]表示在前i个物品中，背包容量为j时可以获得的最大价值。
接下来，我们来详细描述解决背包问题的标准格式。
1. 定义问题：背包问题是在给定的背包容量下，选择一组物品使得其总价值最大化。
2. 分析问题：- 输入：- 物品的分量数组weights，长度为n，weights[i]表示第i个物品的分量。
- 物品的价值数组values，长度为n，values[i]表示第i个物品的价值。
- 背包的容量capacity，表示背包的最大容量。
- 输出：- 最大价值max_value，表示在给定的背包容量下可以获得的最大价值。
3. 设计算法：- 初始化一个二维数组dp，大小为(n+1)×(capacity+1)，并将所有元素初始化为0。
- 对于每一个物品i，从1到n，进行以下操作：- 对于背包容量j，从1到capacity，进行以下操作：- 如果weights[i-1]大于j，则dp[i][j]等于dp[i-1][j]，即不选择第i个物品。
- 否则，dp[i][j]等于max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-weights[i-1]] + values[i-1])，即选择第i个物品或者不选择第i个物品中的最大值。
- 最终，dp[n][capacity]就是所求的最大价值。
4. 实现算法：使用编程语言（如Python、Java等）根据上述算法设计代码实现。
5. 测试样例：- 输入：weights = [2, 3, 4, 5], values = [3, 4, 5, 6], capacity = 8- 输出：max_value = 96. 分析复杂度：- 时间复杂度：该算法使用了两层循环，时间复杂度为O(n×capacity)。
背包问题的解决算法
背包问题的解决算法在日常生活中，我们常常会遇到背包问题。
比如说，你需要出门远足，但是又不想背太多的东西，怎么办？这时候，你就需要一种背包算法，用以帮助你选出最好的装备。
当然，背包算法不仅仅局限于这种场景，还可以应用于计算机科学等领域。
背包问题可以定义为：在限定容量下，找到能够装下最大价值物品的选择方案。
在计算机科学中，背包问题又分为0/1背包和无限背包两种类型。
0/1背包指的是在数量有限的情况下，每种物品只能选择一次；无限背包则意味着每种物品可以重复选择。
现在，我们来讨论一下几种常见的背包算法。
1. 贪心算法贪心算法是一种常见的解决背包问题的方法。
首先，根据每个物品的价值大小来求解。
然后，将每个物品按照其价值排序。
按照顺序，从价值最高的开始选择，在能够装下的情况下，尽量选择多的物品。
这种方法容易理解，但是它并不一定能够获得最优解。
2. 动态规划算法动态规划是解决背包问题最常用的算法。
它将问题分解成多个子问题，并且利用已经求解过的子问题来递推求解更大的问题。
具体来说，动态规划算法需要在每个状态中维护当前已经选择的物品，以及它们的价值和总重量。
然后，根据每个物品的价值，计算出在当前重量下选择这个物品的最大价值，同时比较这个价值和不选择这个物品的价值大小，最终得出最优解。
3. 回溯算法回溯算法也是一种解决背包问题的方法。
它的基本思想是，从初始状态开始，考虑每种可能的选择，最终找到最优解。
相比其他算法，回溯算法需要考虑所有可能的解，因此在问题较大的时候，它的时间复杂度可能较高。
但是，回溯算法通常能够得到最优解。
4. 分支定界算法分支定界算法也是一种解决背包问题的方法。
它通过确定每种物品能否被选择，来缩小解空间并加速搜索。
具体来说，它会根据价值和重量来对物品进行排序，并尝试从价值最高的物品开始选择。
然后，将剩余的物品按选择顺序进行排序，并对每个物品进行深度优先搜索，直到搜索到了可行解或者不可行解为止。
在实际应用中，以上几种算法都有其优缺点。
背包问题的各种求解方法
背包问题的各种求解⽅法⼀、“0-1背包”问题描述： 给定n中物品，物品i的重量是w i，其价值为v i，背包的容量为c.问应如何选择装⼊背包中的物品，使得装⼊背包中的物品的总价值最⼤？形式化描述：给定c>0,w i>0,v i>0,1≤i≤n，要求找⼀个n元0-1向量（x1,x2,...,x n)，x i∈{0,1}，1≤i≤n，使得∑w i x i≤c，⽽且∑v i x i达到最⼤。
因此0-1背包问题是⼀个特殊的整形规划问题：max ∑v i x is.t ∑w i x i≤cx i∈{0,1}，1≤i≤n⼆、动态规划求解（两种⽅法，顺序或逆序法求解） 1.最优⼦结构性质 1.1 简要描述 顺序：将背包物品依次从1,2,...n编号，令i是容量为c共有n个物品的0-1背包问题最优解S的最⾼编号。
则S'=S-{i}⼀定是容量为c-w i且有1,...,i-1项物品的最优解。
如若不是，领S''为⼦问题最优解，则V(S''+{i})>V(S'+{i})，⽭盾。
这⾥V(S)=V(S')+v i.逆序：令i是相应问题最优解的最低编号，类似可得。
1.2 数学形式化语⾔形式化的最优⼦结构 顺序（从前往后）：设(y1,y2,...,y n)是所给问题的⼀个最优解。
则(y1,...,y n-1)是下⾯相应⼦问题的⼀个最优解： max ∑v i x is.t ∑w i x i≤cx i∈{0,1}，1≤i≤n-1如若不然，设(z1,...,z n-1)是上述⼦问题的⼀个最优解，⽽(y1,...,y n-1)不是它的最优解。
由此可知，∑v i z i>∑v i y i,且∑v i z i+w n y n≤c。
因此∑v i y i+v n y n>∑v i y i(前⼀个范围是1~n-1，后⼀个是1~n) ∑v i z i+w n y n≤c这说明(z1,z2,...,y n)是⼀个所给问题的更优解，从⽽(y1,y2,...,y n)不是问题的所给问题的最优解，⽭盾。
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背包问题系列算法详解背包问题是一个关于最优解的经典问题。
通常被讨论的最多的，最经典的背包问题是0-1背包问题(0-1 Knapsack Problem)。
它是一切背包问题及相关背包问题的基础。
本篇博文将详细分析0-1背包问题，并给出0-1背包问题的几种解法，同时也对0-1背包问题的内涵进行延伸，丰富其外延至完全背包问题和多重背包问题，并给出背包问题的算法实现过程，希望对大家有帮助。
一、0-1背包问题有N件物品和一个容量为V的背包。
第i件物品（每个物品只有一件）的费用是c[i]，价值是w[i]。
求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
（1）递归求解算法如下：#include "iostream"#define CAPACITY 10#define GOODSNUM 6using namespace std;int nVol[GOODSNUM];int nValue[GOODSNUM];int knapsack(int itemIndex,int vol);void main(){int i=0,j=0;while(i<GOODSNUM){cout<<"input the "<<i+1<<"th item(volume and value):";cin>>nVol[i]>>nValue[i];i++;}cout<<"The max value is: "<<knapsack(GOODSNUM,CAPACITY)<<endl;}int knapsack(int itemIndex,int vol){if (itemIndex==0||vol==0){return 0;}else if (vol>=nVol[itemIndex] && knapsack(itemIndex-1,vol)<knapsack(itemIndex-1,vol-nVol[itemIndex])+nValue[itemIndex]){return knapsack(itemIndex-1,vol-nVol[itemIndex])+nValue[itemIndex];}elsereturn knapsack(itemIndex-1,vol);分析：递归求解，求解过程中的绝大部分变量存在重复求解的过程，算法的效率较低，有待改进；那怎么改进呢？最有效的是用数组保存每次计算的结果，不用重复计算，于是有二维数组求解。
（2）二维数组求解算法如下：#include "iostream"#define CAPACITY 10#define GOODSNUM 6using namespace std;void main(){int i=1,j;int v[GOODSNUM] = {10,12,40,40,40,15};int c[GOODSNUM] = {1,2,3,5,2,1};int fun[GOODSNUM+1][CAPACITY+1];for (i=1;i<=GOODSNUM;i++){fun[i][0] = 0;}for (i=1;i<=CAPACITY;i++){fun[0][i] = 0;}for (i=1;i<=GOODSNUM;i++){for (j=1;j<=CAPACITY;j++){if (j<c[i-1]){fun[i][j] = fun[i-1][j];}else if (fun[i-1][j]<fun[i-1][j-c[i-1]] + v[i-1]){fun[i][j] = fun[i-1][j-c[i-1]] + v[i-1];}elsefun[i][j] = fun[i-1][j];}}cout<<"The max value is: "<<fun[GOODSNUM][CAPACITY]<<endl;}分析：二维数组求解方法相比递归求解要优越很多，但是其空间复杂度依然较高，还有继续改进的余地吗？一维数组是否可行呢？答案是肯定的（3）一维数组求解算法分析：#include "iostream"#define CAPACITY 10#define GOODSNUM 6using namespace std;void main(){int nVolume[GOODSNUM] = {1,2,3,5,2,1};int nValue[GOODSNUM] = {10,12,40,40,40,15};int selectTable[GOODSNUM][CAPACITY+1] = {0};int nKnapsack[CAPACITY+1] = {0};//most important for the first compution belowint itemIndex,capIndex;for (itemIndex=0;itemIndex<GOODSNUM;itemIndex++){for (capIndex=CAPACITY;capIndex>=nVolume[itemIndex];capIndex--)//notice that capIndex>=nVolume[itemIndex],not capIndex>=0 注意此处与二维数组求解的区别{if (nKnapsack[capIndex]<nKnapsack[capIndex-nVolume[itemIndex]]+nValue[itemIndex]){nKnapsack[capIndex] = nKnapsack[capIndex-nVolume[itemIndex]]+nValue[itemIndex];selectTable[itemIndex][capIndex] = 1;}elsenKnapsack[capIndex] = nKnapsack[capIndex];}}cout<<"The max value is: "<<nKnapsack[CAPACITY]<<endl;cout<<"The selected items are: ";for (itemIndex = GOODSNUM-1,capIndex = CAPACITY;itemIndex>=0;itemIndex--){if (selectTable[itemIndex][capIndex]){cout<<itemIndex+1<<" ";capIndex = capIndex - nVolume[itemIndex];}}cout<<endl;}分析：在一维数组实现中将空间复杂度由O(GOODSNUM*CAPACITY)降低到O(CAPACITY)并同时进行了代码优化，同时也给出了选择物品的编号。
二、完全背包问题若你能给深入理解0-1背包问题和其深刻内涵，并真正明白一维数组求解背包问题后，下面的问题对你来说就相当容易了。
完全背包问题：有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。
第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。
求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
求解分析：目标是转化为0-1背包问题。
如将费用/容量为nVolume[itemIndex]的物品转化为CAPACITY /nVolume[itemIndex]相同费用和价值的物品，直接用前面的三种0-1背包问题求解。
除此之外还有其它可行的求解方法吗？可以对0-1背包问题的状态方程f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}稍加分析可得完全背包问题的状态方程f[i] [v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k*c[i]<=v}，因而有以下算法实现过程，并最终给出了所选择的物品和选择该物品的数目。
实现算法：#include "iostream"#define CAPACITY 10#define GOODSNUM 6using namespace std;void main(){int num,k,max;int nVolume[GOODSNUM] = {1,4,3,5,5,3};int nValue[GOODSNUM] = {2,8,40,60,10,3};int selectTable[GOODSNUM][CAPACITY+1] = {0};int nKnapsack[CAPACITY+1] = {0};//most important for the first compution belowint itemIndex,capIndex;for (itemIndex=0;itemIndex<GOODSNUM;itemIndex++){for (capIndex=CAPACITY;capIndex>=nVolume[itemIndex];capIndex--)//notice that capIndex>=nVolume[itemIndex],not capIndex>=0{num = 0;max = nKnapsack[capIndex];for (k=1;k<=CAPACITY/nVolume[itemIndex];k++){if (capIndex>=k*nVolume[itemIndex] && max<nKnapsack[capIndex-k*nVolume[itemIndex]]+k*nValue[itemIndex]){max = nKnapsack[capIndex-k*nVolume[itemIndex]]+k*nValue[itemIndex];num = k;}}nKnapsack[capIndex] = max;selectTable[itemIndex][capIndex] = num;}}cout<<"The max value is: "<<nKnapsack[CAPACITY]<<endl;cout<<"The selected items are: "<<endl;for (itemIndex = GOODSNUM-1,capIndex = CAPACITY;itemIndex>=0;itemIndex--){if (selectTable[itemIndex][capIndex]){cout<<itemIndex+1<<":"<<selectTable[itemIndex][capIndex]<<" ";capIndex = capIndex - selectTable[itemIndex][capIndex]*nVolume[itemIndex];}}cout<<endl;}三、多重背包问题多重背包问题：有N种物品和一个容量为V的背包。