余弦函数图像与性质

函数y=sinx,x∈[0,2π]是奇函数吗？ ∈ 是奇函数吗？ 函数 是奇函数吗
正弦、余弦函数的奇偶性、 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
y=sinx (x∈R) 图象关于原点对称 ∈ 图象关于原点 原点对称
y
1 -3π
−
5π 2
-2π
−
3π 2
-π
−
π
2
o
-1
π
2
π
3π 2
2π
5π 2
x
3π
7π 2
π
y=sinx (x R) ∈
y
当x= 2 + 2kπ 时，函数值y取得最大值1；
1
− 2π − π
-1
0
π
π
2
2π
3π
4π
5π
6π
x
当x= −
+ 2kπ 时，函数值y取得最小值-1
对称中心（ kπ ,0)
对称轴：= kπ + x
π
2
观察下面图象：
当x= 2kπ
y 1
y=cosx (x∈R)
时，函数值y取得最大值1；
( 2π ,1) 2π 3π 4π
余弦曲 线
5π 6π
-4π
-3π
-2π
-π
π o ,0) (
-1
2
π
( π ,-1)
x
正弦曲线
1
-2π π -π π
y
y = sinx, x ∈ R
π 2π π 3π π 4π π
o -1
x
余弦曲线
y 1 o -1
y = cosx , x ∈ R
π 2π π 3π π
π
2 3π 2
−
o -1
π
2π
x
y=sinx，x∈[0, 2π] ， ∈ π
对称中心 对称轴
(kπ,0) π
x = kπ+
2
π (kπ+2
x = kπ
,0)
正弦、 正弦、余弦函数的图象
画出函数y= 的简图： 例 画出函数 - cosx，x∈[0, 2π]的简图： ， ∈ π 的简图
x
cosx - cosx
y 1
π
2
0 1 -1
π
2
π -1 1
3π 2
2π 1 -1
0 0
0 0
正弦、 正弦、余弦函数的单调性
正弦函数的单调性
y
1 -3π
−
5π 2
-2π
−
3π 2
-π
−
π
2
o
-1
π
2
π
3π 2
2π
5π 2
x
3π
7π 2
4π
x
sinx
−
π
2
…
0 0
…
π
2
…
π 0
…
3π 2
-1
1
-1
y=sinx (x∈R) ∈
− π ] π ∈ 其值从-1增至 增至1 增区间为 [[ 2 +2kπ, 2 +2kπ],k∈Z 其值从 增至 2 ，
− 2π − π
-1
0
π
2π
3π
4π
5π
6π
x
当x= 2kπ + π 时，函数值y取得最小值-1
对称中心（kπ +
π
2
, 0)
对称轴：x = kπ
函数 性质
y= sinx
(k∈z) ∈
y= cosx
(k∈z) ∈
定义域 值域 最值及相应的 x 的集合 周期性 奇偶性 单调性
x∈ R [-1,1]
x= 2kπ+ 2 时 ymax=1 x=2kπ- 2 x=2k - π 时 ymin=-1 周期为T=2π
y=cosx (x∈R) 是偶函数 ∈
o
-1
π
2π
3π
4π
5π
6π
x
正弦、 正弦、余弦函数的奇偶性
正弦、 正弦、余弦函数的奇偶性
例1：判定下列函数的奇偶性 ：
( ) y = −sin3x, 1 (2) y = sin x + cos x (3) y =1+ sin x
例2：已知函数f ( x) = 2ax + x3 − sin x + 3, 若f(2)=3, 1)求证：函数g(x)=f ( x) − 3是奇函数； 2）求f(-2)的值
y
1 -4π -3π -2π -π
y=cosx (x∈R) 是偶函数 ∈
o
-1
πΒιβλιοθήκη Baidu
2π
3π
4π
5π
6π
x
奇函数： f(奇函数： f(-x) ＝ -f(x) 图象关于原点对称
偶函数： f(偶函数： f(-x) ＝ f(x) 图象关于y 图象关于y轴对称
若 f (−x) ≠±f (x) f(x)为非奇非偶函数 f(x)为非奇非偶函数
-2π π
-π π
x
函数 定义域 值域
y = sin x
y = cos x
R
R
[−1,1]
[−1,1]
观察下面图象： y=sinx (x ∈ R) π 函数值y取得最大值1 当x= + 2kπ 时，函数值y取得最大值1；
2
y 1
− 2π − π
-1
0
π
2π
3π
4π
5π
6π
x
函数值y取得最小值当x= −π +2kπ 时，函数值y取得最小值-1 2
y=cosx，x∈[0, 2π] ， ∈ π
π
2
−
o -1
π
3π 2
2π
x
y= - cosx，x∈[0, 2π] ， ∈ π
正弦、余弦函数的图象 正弦、
小 结
2.注意与诱导公式、三角函数线等知识的联系 注意与诱导公式、 注意与诱导公式
y 1
π
2
1. 正弦曲线、余弦曲线 正弦曲线、
几何画法 五点法
y=cosx，x∈[0, 2π] ， ∈ π
x∈ R [-1,1]
2kπ时 x= 2kπ时 ymax=1 π时 x= 2kπ+ π时 ymin=-1
π
奇函数
在x∈[2kπ- π, 2kπ+ ]2上 2 都是增函数 , 在 π 3 x∈[2kπ+ ，2kπ+ ]上π 2 2 都是减函数.
周期为T=2π 周期为T=2π 偶函数 π
在x∈[2kπ， 2kπ+ π ] 上都是增函数 , 在x∈[2kπ- π ， 2kπ ] 上都是减函数 。
一般的，对于函数 一般的，对于函数f(x)的定义域内的任 的定义域内的 一个x，都有f(-x) ＝ -f(x)，则称 ，则称f(x)为这 为 意一个 ，都有 的奇函数。 一定义域内的奇函数。
注意： 是奇函数， 在定义域内， 注意：若f(x)是奇函数，且x＝0在定义域内，则f(0)＝0 是奇函数 ＝ 在定义域内 ＝
cosx
-π π -1
…
−
π
2
…
0 1
…
π
2
…
π -1
0
0
y=cosx (x∈R) ∈ π π ∈ 增区间为 [ −π +2kπ, 2kπ],k∈Z π π ∈ 减区间为 [2kπ, 2kπ + π], k∈Z ， 其值从-1增至 其值从 增至1 增至 减至-1 其值从 1减至 减至
观察下面图象：
余弦函数的图象与性质
广饶一中吴兴昌
X
正弦、 正弦、余弦函数的图象
y
1 -4π -3π -2π -π
o
-1
π
2π
3π
4π
5π
6π
x
正弦函数的图象 正弦函数的图象 y=cosx=sin(x+ ), x∈R
2
π
正弦曲 线
形状完全一样 只是位置不同
余弦函数的图象 余弦函数的图象
y
(0,1) 1
3π ( ,0) 2
余弦曲线
y
1
-
− 6π
-
− 4π
-
− 2π
-
-1 -
o
2π
-
4π
-
6π
-
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以 的图象在……， 因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=cosx的图象在 的图象在 ， [−4π,−2π] ,[− 2π,0], [0,2π ], [2π ,4π ], …与y=cosx,x∈[0,2π]的图象相同 与 ∈ 的图象相同
2 3π π π 3π 减至-1 减区间为 [[ 2 +2kπ, +2kπ],k∈Z 其值从 1减至 ， 减至 2 π 2 ] π ∈
π− π
π π
正弦、 正弦、余弦函数的单调性
余弦函数的单调性
y
1 -3π
5π − 2
-2π
3π − 2
-π
−
π
2
o
-1
π
2
π
3π 2
2π
5π 2
x
3π
7π 2
4π
x
1
y=cosx (x∈R) ∈
y
-4π -3π -2π -π
o
-1
π
2π
3π
4π
5π
6π
x
正弦、 正弦、余弦函数的奇偶性
正弦、 正弦、余弦函数的奇偶性
y
1 -4π -3π -2π -π
o
-1
π
2π
3π
4π
5π
6π
x
sin(-x)= - sinx (x∈R) ∈
y=sinx (x∈R) 是奇函数 ∈
正弦、 正弦、余弦函数的奇偶性
正弦、 正弦、余弦函数的奇偶性
y
1 -4π -3π -2π -π
o
-1
π
2π
3π
4π
5π
6π
x
sin(-x)= - sinx (x∈R) ∈
y=sinx (x∈R) 是奇函数 ∈ 定义域关于原点对称
cos(-x)= cosx (x∈R) ∈
y
1 -4π -3π -2π -π
4π
y=sinx
正弦、 正弦、余弦函数的奇偶性
正弦、 正弦、余弦函数的奇偶性
一般的，对于函数 一般的，对于函数f(x)的定义域内的任 的定义域内的 一个x，都有f(-x) ＝ f(x)，则称 意一个 ，都有 ，则称f(x)为这 为 的偶函数。 一定义域内的偶函数。
关于y轴对称 关于 轴对称
cos(-x)= cosx (x∈R) ∈
正弦函数、余弦函数都是周期函数， 正弦函数、余弦函数都是周期函数， 都是它的周期， 2kπ (k ∈ Z , k ≠ 0) 都是它的周期，
最小正周期为
2π
正弦、 正弦、余弦函数的图象
y
1 -4π -3π -2π -π
o
-1
π
2π
3π
4π
5π
6π
x
y=sinx (x∈R) ∈
∈ 定义域 x∈R ∈ 值 域 y∈[ - 1, 1 ] π 周期性 T = 2π
f (x +T) = f (x)
•T叫作周期 T
正弦曲线
y
1-
− 6π
-
− 4π
-
− 2π
-
o-1
2π
-
4π
-
-
6π
-
x
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以 的图象在……， 因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在 的图象在 ， 与 ∈ 的图象相同 [− 4π ,−2π ] , [− 2π ,0 ], [0 , 2 π ], [2 π , 4 π ], …与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同
-
x
2 由此可知， 由此可知，π,4π,⋯,−2π,−4π,⋯2kπ(k ∈Z,k ≠0)
都是这两个函数的周期。 都是这两个函数的周期。 对于一个周期函数 f (x) 如果在 ， 它所有的周期中存在一个最小的 正数， 正数，那么这个最小的正数就叫 的最小正周期。 做 f (x) 的最小正周期。
根据上述定义，可知： 根据上述定义，可知：
y=cosx (x∈R) 观察下面图象： 函数值y取得最大值 取得最大值1； 当x= 时，函数值 取得最大值 ；
y 1
− 2π − π
-1
0
π
2π
3π
4π
5π
6π
x
函数值y取得最小值当x=2kπ+π 时，函数值y取得最小值-1
性质3： 性质 ：周期性
• 周期函数的定义： 周期函数的定义： • 对定义域内的任意的x的值， 对定义域内的任意的 的值， 任意 存在一个常数T≠0，使得 存在一个常数T≠0， T≠0