高数=第十章向量场地积分

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同济大学(高等数学)-第十章-重积分

同济大学(高等数学)-第十章-重积分第十章重积分一元函数积分学中，我们曾经用和式的极限来上的定积分，并已经建定义一元函数()f x在区间,a b⎡⎤⎣⎦立了定积分理论，本章将把这一方法推广到多元函数的情形，便得到重积分的概念. 本章主要讲述多重积分的概念、性质、计算方法以及应用.第1节二重积分的概念与性质1.1 二重积分的概念下面我们通过计算曲顶柱体的体积和平面薄片的质量，引出二重积分的定义.1.1.1. 曲顶柱体的体积曲顶柱体是指这样的立体，它的底是x Oy平面上的一个有界闭区域D，其侧面是以D的边界为准线的母线平行于z轴的柱面，其顶部是在区域D上的连续函数(),=，且(),0z f x yf x y≥所表示的曲面（图10—1）.234分为n 个小曲顶柱体.(2)在每个小闭区域上任取一点()()()1122,, ,, , ,n n ξηξηξη对第i 个小曲顶柱体的体积，用高为，()i i f ξη而底为iΔσ的平顶柱体的体积来近似代替.(3)这n 个平顶柱体的体积之和1(,)ni i ii f ξησ=∆∑ 就是曲顶柱体体积的近似值.(4)用λ表示n 个小闭区域i Δσ的直径的最大值，即()max 1i i n λd Δσ≤≤=.当0λ→ (可理解为i Δσ收缩为一点)时，上述和式的极限，就是曲顶柱体的体积：01lim (,).ni i ii V f λξησ→==∆∑ 1.1.2 平面薄片的质量设薄片在x Oy 平面占有平面闭区域D ，它在点，()x y 处的面密度是,()ρρx y =.设()0x y ρ>,且在D 上连续，求薄片的质量(见图10-3).图10-3先分割闭区域D 为n 个小闭区域n σσσ∆∆∆12,,, 在每个小闭区域上任取一点5()()()1122,, ,, , ,n n ξηξηξη 近似地，以点,()i i ξη处的面密度,()i i ρξη代替小闭区域i Δσ上各点处的面密度，则得到第i 块小薄片的质量的近似值为,()i i iρξηΔσ，于是整个薄片质量的近似值是1(,)ni i ii ρξησ=∆∑ 用()max 1i i n λd Δσ≤≤=表示n 个小闭区域i Δσ的直径的最大值，当D 无限细分，即当0λ→时，上述和式的极限就是薄片的质量M ，即01lim (,)ni i iλi M ρξηΔσ→==∑. 以上两个具体问题的实际意义虽然不同，但所求量都归结为同一形式的和的极限.抽象出来就得到下述二重积分的定义.定义1 设D 是x Oy 平面上的有界闭区域，二元函数,()z f x y =在D 上有界.将D 分为n 个小区域n σσσ∆∆∆12,,,同时用i Δσ表示该小区域的面积，记i Δσ的直径为()i d Δσ，并令()max 1i i n λd Δσ≤≤=.在i Δσ上任取一点,, 1,2,,()()i i ξηi n =，作乘积()Δ,i i i f ξησ并作和式Δ1(,)ni i ii n S f ξησ==∑. 若0λ→时，n S 的极限存在(它不依赖于D 的分法及点(,)i iεη的取法)，则称这个极限值为函数,()z f x y =在D6上的二重积分，记作(,)d Df x y σ⎰⎰，即01(,)d lim (,)Δn i ii i D f x y f λσξησ→==∑⎰⎰，(10-1-1)其中D 叫做积分区域，,()f x y 叫做被积函数，d σ叫做面积元素，,d ()f x y σ叫做被积表达式，x 与y 叫做积分变量，Δ1(,)ni i ii f ξησ=∑叫做积分和. 在直角坐标系中，我们常用平行于x 轴和y 轴的直线(y =常数和x =常数)把区域D 分割成小矩形，它的边长是x ∆和Δy ，从而ΔΔΔσx y =⋅，因此在直角坐标系中的面积元素可写成d dx dy σ=⋅，二重积分也可记作01(,)d d lim (,)ni i ii D f x y x y f λξησ→==∆∑⎰⎰. 有了二重积分的定义，前面的体积和质量都可以用二重积分来表示.曲顶柱体的体积V 是函数,()z f x y =在区域D 上的二重积分(,)d DV f x y σ=⎰⎰；薄片的质量M 是面密度,()ρρx y =在区域D 上的二重积分(,)d DM x y ρσ=⎰⎰.因为总可以把被积函数,()z f x y =看作空间的一曲面，所以当,()f x y 为正时，二重积分的几何意义就是曲顶柱体的体积；当,()f x y 为负时，柱体就在x Oy 平面下方，二重积分就是曲顶柱体体积的负值. 如果,()f x y 在某部分区域上是正的，而在其余的部分区域7上是负的，那么,()f x y 在D 上的二重积分就等于这些部分区域上柱体体积的代数和.如果,()f x y 在区域D 上的二重积分存在(即和式的极限(10-1-1)存在)，则称,()f x y 在D 上可积.什么样的函数是可积的呢？与一元函数定积分的情形一样，我们只叙述有关结论，而不作证明.如果,()f x y 是闭区域D 上连续，或分块连续的函数，则,()f x y 在D 上可积.我们总假定,()z f x y =在闭区域D 上连续，所以,()f x y 在D 上的二重积分都是存在的，以后就不再一一加以说明.1.1.3 二重积分的性质设二元函数,,,()()f x y g x y 在闭区域D 上连续，于是这些函数的二重积分存在.利用二重积分的定义，可以证明它的若干基本性质.下面列举这些性质.性质1 常数因子可提到积分号外面.设k 是常数，则(,)d (,)d D Dkf x y k f x y σσ=⎰⎰⎰⎰.性质 2 函数的代数和的积分等于各函数的积分的代数和，即[]()()d ()d ()d D D Df x yg x y f x y g x y σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰,,,,.8性质3 设闭区域D 被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则D 上的二重积分等于各部分闭区域上的二重积分的和.例如D 分为区域1D 和2D (见图10-4)，则12(,)d (,)d (,)d D D D f x y f x y f x y σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰. (10-1-2)图10-4性质3表示二重积分对积分区域具有可加性. 性质4 设在闭区域D 上,1()f x y =，σ为D 的面积，则1d d D D σσσ==⎰⎰⎰⎰.从几何意义上来看这是很明显的.因为高为1的平顶柱体的体积在数值上就等于柱体的底面积.性质5 设在闭区域D 上有,,()()f x y g x y ≤，则(,)d (,)d D Df x yg x y σσ≤⎰⎰⎰⎰.由于 (,)(,)(,)f x y f x y f x y -≤≤又有(,)d (,)d D D f x y f x y σσ≤⎰⎰⎰⎰.9这就是说，函数二重积分的绝对值必小于或等于该函数绝对值的二重积分.性质 6 设、M m 分别为()f x y ,在闭区域D 上的最大值和最小值，σ为D 的面积，则有(,)d Dm f x y M σσσ≤≤⎰⎰.上述不等式是二重积分估值的不等式.因为()m f x y M ≤≤,，所以由性质5有d (,)d d D D Dm f x y M σσσ≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰，即 d (,)d d D D D m m f x y M M σσσσσ=≤≤=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.性质7 设函数,()f x y 在闭区域D 上连续，σ是D 的面积，则在D 上至少存在一点,()ξη使得(,)d ()Df x y f σξησ=⋅⎰⎰,.这一性质称为二重积分的中值定理.证显然0σ≠.因,()f x y 在有界闭区域D 上连续，根据有界闭区域上连续函数取到最大值、最小值定理，在D 上必存在一点()11x y ,使()11f x y ,等于最大值M ，又存在一点22()x y ,使22()f x y ,等于最小值m ，则对于D 上所有点,()x y ，有()()()2211.m f x y f x y f x y M =≤≤=,,,由性质1和性质5，可得d (,)d d D D Dm f x y M σσσ≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰．10 再由性质4得(,)d D m f x y M σσσ≤≤⎰⎰，或 1(,)d Dm f x y M σσ≤≤⎰⎰．根据闭区域上连续函数的介值定理知，D 上必存在一点,()ξη，使得1(,)d ()Df x y f σξησ=⎰⎰,，即(,)d ()D f x y f σξησ=⎰⎰,，,()ξηD ∈.证毕.二重积分中值定理的几何意义可叙述如下：当:,()S z f x y =为空间一连续曲面时，对以S 为顶的曲顶柱体，必定存在一个以D 为底，以D 内某点,()ξη的函数值,()f ξη为高的平顶柱体，它的体积,()f ξησ⋅就等于这个曲顶柱体的体积.习题10—11.根据二重积分性质，比较ln()d D x y σ+⎰⎰与[]2ln()d Dx y σ+⎰⎰的大小，其中(1)D 表示以10,（）、1,0（）、1,1（）为顶点的三角形；(2)D 表示矩形区域(){}|35,2,0x y x y ≤≤≤≤.2.根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：(1)(22d Da x y σ+⎰⎰，()222{|}D x y x y a =+≤，；(2)Dσ，()222{|}D x y xy a =+≤，.3.设(),f x y 为连续函数，求21lim (,)d πr Df x y rσ→⎰⎰,()()()22200{,}D x y x x y y r =-+-≤|.4.根据二重积分性质，估计下列积分的值：(1)DI σ=，()22{|00}D x y x y =≤≤≤≤，，；(2)22sinsin d DI x y σ=⎰⎰，()ππ{,|00}D x y x y =≤≤≤≤，； (3)()2249d DI xy σ=++⎰⎰,()224{,|}D x y x y =+≤.5.设[][]0,10,1D =⨯，证明函数()()()()1,,,,,为内有理点即均为有理数，，为内非有理点0x y D x y f x y x y D ⎧⎪=⎨⎪⎩在D 上不可积.第2节二重积分的计算只有少数二重积分(被积函数和积分区域特别简单)可用定义计算外，一般情况下要用定义计算二重积分相当困难．下面我们从二重积分的几何意义出发，来介绍计算二重积分的方法，该方法将二重积分的计算问题化为两次定积分的计算问题．2.1 直角坐标系下的计算在几何上，当被积函数(),0f x y ≥时，二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰的值等于以D 为底，以曲面,()z f x y =为顶的曲顶柱体的体积.下面我们用“切片法”来求曲顶柱体的体积V .设积分区域D 由两条平行直线,x a x b ==及两条连续曲线()()y x y x ϕϕ==12,(见图10—5)所围成，其中()()a b x x ϕϕ<<12,，则D 可表示为()()(){}12,,|D x y a x b φx y φx =≤≤≤≤.图10—5用平行于y Oz 坐标面的平面()0x x a x b =≤≤去截曲顶柱体，得一截面，它是一个以区间()()12x x φφ⎡⎤⎣⎦,为底，以,0()z f x y =为曲边的曲边梯形(见图10—6)，所以这截面的面积为()d 2010()()(,)φx φx f x y y A x =⎰.图10—6由此，我们可以看到这个截面面积是0x 的函数.一般地，过区间［,］a b 上任一点且平行于y Oz 坐标面的平面，与曲顶柱体相交所得截面的面积为()d 21()()(,)φx φx f x y A y x =⎰，其中y 是积分变量，x 在积分时保持不变.因此在区间［,］a b 上，()A x 是x 的函数，应用计算平行截面面积为已知的立体体积的方法，得曲顶柱体的体积为d d d 21()()()(,)bbφx aaφx A x x f x y V y x ⎡⎤=⎢⎥⎣=⎦⎰⎰⎰，即得21()()(,)d (,)d d b x a x Df x y f x y y xϕϕσ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰，或记作21()()(,)d d (,)d bx a x Df x y x f x y yϕϕσ=⎰⎰⎰⎰.上式右端是一个先对y ，后对x 积分的二次积分或累次积分.这里应当注意的是：做第一次积分时，因为是在求x 处的截面积()A x ，所以x 是,a b 之间任何一个固定的值，y 是积分变量；做第二次积分时，是沿着x 轴累加这些薄片的体积()A x dx ⋅，所以x 是积分变量.在上面的讨论中，开始假定了,()0f x y ≥，而事实上，没有这个条件，上面的公式仍然正确.这里把此结论叙述如下：若,()z f x y =在闭区域D 上连续，()():D a x b x y x ϕϕ≤≤≤≤12,，则21()()(,)d d d (,)d bx ax Df x y x y x f x y y ϕϕ=⎰⎰⎰⎰. (10-2-1)类似地，若,()z f x y =在闭区域D 上连续，积分区域D 由两条平行直线y a y b ==,及两条连续曲线()()x y x y ϕϕ==12,(见图10—7)所围成，其中()()c d x x ϕϕ<<12,，则D 可表示为()()(){},|D x y c y d y x y ϕϕ=≤≤≤≤12,.则有21()()(,)d d d (,)d dx cx Df x y x y y f x y x ϕϕ=⎰⎰⎰⎰. (10-2-2)图10—7以后我们称图10-5所示的积分区域为X 型区域，X 型区域D 的特点是：穿过D 内部且平行于y 轴的直线与D 的边界的交点不多于两个．称图10—7所示的积分区域为Y 型区域，Y 型区域D 的特点是：穿过D 内部且平行于x 轴的直线与D 的边界的交点不多于两个.从上述计算公式可以看出将二重积分化为两次定积分，关键是确定积分限，而确定积分限又依赖于区域D 的几何形状．因此，首先必须正确地画出D 的图形，将D 表示为X 型区域或Y 型区域．如果D 不能直接表示成X 型区域或Y 型区域，则应将D 划分成若干个无公共内点的小区域，并使每个小区域能表示成X 型区域或Y 型区域，再利用二重积分对区域具有可加性相加，区域D 上的二重积分就是这些小区域上的二重积分之和(图10—8)．图10-8例1 计算二重积分d Dxy σ⎰⎰，其中D 为直线y x =与抛物线2y x =所包围的闭区域.解画出区域D 的图形，求出y x =与2y x =两条曲线的交点，它们是()0,0及()1,1.区域D (图10—9)可表示为：20.x x y x ≤≤≤≤1，图10—9因此由公式(10-2-1)得()221120d d d 2x x xxDx xy x x ydy y xσ==⎰⎰⎰⎰⎰d 135011()224x x x -==⎰.本题也可以化为先对x ，后对y 的积分，这时区域D 可表为：1，0y y y x ≤≤≤≤.由公式(10-2-2)得1d d d yyDxy y y x x σ=⎰⎰⎰⎰.积分后与上面结果相同.例2 计算二重积分221d Dyx y σ+-⎰⎰，其中D 是由直线，1y x x ==-和1y =所围成的闭区域.解画出积分区域D ，易知D ：11，1x x y -≤≤≤≤ (图10-10)，若利用公式(10-2-1)，得图10-1011222211d (1d )d xDy x y y x y y xσ-+-=+-⎰⎰⎰⎰()d 1312221113xx y x -⎡=⎤-+-⎢⎥⎣⎦⎰()d 113310121(33x x -=--=--⎰⎰x 12=.若利用公式(10-2-2)，就有()1222211d 1d d Dx y y x y x yσ--+-=+-⎰⎰⎰⎰，也可得同样的结果.例3 计算二重积分22d Dxyσ⎰⎰,其中D 是直线2，y y x==和双曲线1x y =所围之闭区域.解求得三线的三个交点分别是1,(1,1)2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭及2,2().如果先对y 积分，那么当121x ≤≤时，y 的下限是双曲线1y x =，而当12x ≤≤时，y 的下限是直线y x =，因此需要用直线x =1把区域D 分为1D 和2D 两部分(图10—11).1211， 21:D x y x≤≤≤≤； 22， 2:1D x x y ≤≤≤≤.图10—11于是12222221222112222212d d d d d d d x x DD D x x x x x x y x yy y y y y σσσ=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰d d 2222121112x x x x x xy y ⎡⎤⎡⎤=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ d d 2212311222x x x x x x⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 1243231124626x x x x ⎡⎤⎡⎤=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦812719264==.如果先对x 积分，那么:12， 1 D y x y y≤≤≤≤，于是 223221222111d d d d 3yy y Dy x x x y x y y y y σ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰ d 22254111136312y y y y y ⎡⎤⎡⎤=-=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰2764=.由此可见，对于这种区域D ，如果先对y 积分，就需要把区域D 分成几个区域来计算.这比先对x 积分繁琐多了.所以，把重积分化为累次积分时，需要根据区域D 和被积函数的特点，选择适当的次序进行积分.例4 设,()f x y 连续，求证d d d d (,)(,)bxbbaaayx f x y y y f x y x =⎰⎰⎰⎰.证上式左端可表为d d d (,)(,)b xaaDx f x y y f x y σ=⎰⎰⎰⎰，其中，:D a x b a y x ≤≤≤≤ (图10—12)区域D 也可表为：，a y b y x b ≤≤≤≤，图10—12于是改变积分次序，可得(,)d d (,)d bbayDf x y y f x y xσ=⎰⎰⎰⎰由此可得所要证明的等式.例5 计算二重积分d sin Dxσx⎰⎰，其中D 是直线y x =与抛物线2y x =所围成的区域. 解把区域D 表示为x型区域，即(){}2D =x ,y |0x 1,x y x ≤≤≤≤.于是d d d d 221100sin sin sin xx x x Dxx x σx y y x x x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰()sin d 11x x x=-⎰()10cos cos sin x x x x =-+-1sin 10.1585=-≈ 注：如果化为y 型区域即先对x 积分，则有d d d 1sin sin yyDx xσy x x x =⎰⎰⎰⎰.由于sin x x的原函数不能由初等函数表示，往下计算就困难了，这也说明计算二重积分时，除了要注意积分区域D 的特点（区分是x 型区域，还是y 型区域）外，还应注意被积函数的特点，并适当选择积分次序.2.2 二重积分的换元法与定积分一样，二重积分也可用换元法求其值，但比定积分复杂得多.我们知道，对定积分()d b af x x ⎰作变量替换()x φt =时，要把()f x 变成()()f φt ，d x 变成d ()φt t ',积分限,a b 也要变成对应t 的值.同样，对二重积分(),d Df x y σ⎰⎰作变量替换()(),,,,x x u v y y u v ⎧=⎪⎨=⎪⎩时，既要把(),f x y 变成()()(),,,f x u v y u v ，还要把x Oy 面上的积分区域D 变成uOv 面上的区域uvD ，并把D 中的面积元素d σ变成uvD 中的面积元素d *σ.其中最常用的是极坐标系的情形.2.2.1 极坐标系的情形下面我们讨论利用极坐标变换，得出在极坐标系下二重积分的计算方法.把极点放在直角坐标系的原点，极轴与x 轴重合，那么点P 的极坐标(),P r θ与该点的直角坐标(),P x y 有如下互换公式：πcos ,sin ;0,02x r θy r θr θ==≤<+∞≤≤；22,arctan ;,yr x y θx y x=+=-∞<<+∞. 我们知道，有些曲线方程在极坐标系下比较简单，因此，有些二重积分(),d Df x y σ⎰⎰用极坐标代换后，计算起来比较方便，这里假设(),z f x y =在区域D 上连续.在直角坐标系中，我们是以平行于x 轴和y 轴的两族直线分割区域D 为一系列小矩形，从而得到面积元素d d d σx y =.在极坐标系中，与此类似，我们用“常数r =”的一族同心圆，以及“常数θ=”的一族过极点的射线，将区域D 分成n 个小区域(),1,2,,ijσi j n ∆=，如图10—13所示.图10—13小区域面积()2212ij i i j i j σr r θr θ⎡⎤∆=+∆∆-∆⎣⎦212i i j i jr r θr θ=∆∆+∆∆.记 ()()()22,,1,2,,iji j ρr θi j n ∆=∆+∆=，则有 ()ij i i j ijσr r θορ∆=∆∆+∆,故有d d d σr r θ=.则()()DD⎰⎰⎰⎰这就是直角坐标二重积分变换到极坐标二重积分的公式.在作极坐标变换时，只要将被积函数中的,x y 分别换成cos ,sin r θr θ，并把直角坐标的面积元素d d d σx y =换成极坐标的面积元素d d r r θ即可.但必须指出的是：区域D 必须用极坐标系表示.在极坐标系下的二重积分，同样也可以化为二次积分计算.下面分三种情况讨论：(1) 极点O 在区域D 外部，如图10—14所示.图10—14设区域D 在两条射线,θαθβ==之间，两射线和区域边界的交点分别为,A B ，将区域D 的边界分为两部分，其方程分别为()()12,r r θr r θ==且均为［］,αβ上的连续函数.此时()()(){}12,|,D r θr θr r θαθβ=≤≤≤≤.于是()()()()d d d d 21cos ,sin cos ,sin βr θαr θDf r θr θr r θθf r θr θr r =⎰⎰⎰⎰(2) 极点O 在区域D 内部，如图10—15所示.若区域D 的边界曲线方程为()r r θ=，这时积分区域D 为()(){}且()r θ在π0,2⎡⎤⎣⎦上连续.图10—15于是()()()πd d d d 200cos ,sin cos ,sin r θDf r θr θr r θθf r θr θr r=⎰⎰⎰⎰.(3) 极点O 在区域D 的边界上，此时，积分区域D 如图10—16所示.图10—16()(){},|,0D r θαθβr r θ=≤≤≤≤, 且()r θ在π0,2⎡⎤⎣⎦上连续，则有()()()d d d d 0cos ,sin cos ,sin βr θαDf r θr θr r θθf r θr θr r=⎰⎰⎰⎰.在计算二重积分时，是否采用极坐标变换，应根据积分区域D 与被积函数的形式来决定.一般来说，当积分区域为圆域或部分圆域，及被积函数可表示为()22f x y +或y f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭等形式时，常采用极坐标变换，简化二重积分的计算.例6 计算二重积分22221d d 1Dx y I x yx y --=++⎰⎰，其中()(){}222,|01D x y x y a a =+≤<<.解在极坐标系中积分区域D 为(){}π,|0,02D r θr a θ=≤≤≤≤,则有2222π22211d d d d 11aDx y r I x y r r x y rθ---==+++⎰⎰⎰⎰ 222200211πd πd 11aa t r t r r r t r t--=+-=⎰⎰令()()22220πarcsin 1πarcsin 11a t ta a =+-=+--.例7 计算二重积分2d Dxy σ⎰⎰，其中D 是单位圆在第I 象限的部分.解采用极坐标系. D可表示为π， 1002θr ≤≤≤≤（图10-17），图10-17于是有π12222d d cos sin d Dxy r r r r σθθθ=⋅⋅⎰⎰⎰⎰ πd d 12421cos sin 15θθθr r ==⎰⎰.例8 计算二重积分Dx σ⎰⎰2d ，其中D 是二圆221xy +=和224x y +=之间的环形闭区域.解区域D ：2，120θπr ≤≤≤≤，如图10—18所示.图10—18于是2π22π22230111cos 215d cos d d d π24Dx r r r r r θσθθθ+=⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰2d .2.2.2. 直角坐标系的情形我们先来考虑面积元素的变化情况.设函数组,，,()()x x u v y y u v ==为单值函数，在uvD 上具有一阶连续偏导数，且其雅可比行列式(,)0(,)J x y u v ∂≠∂=, 则由反函数存在定理，一定存在着D 上的单值连续反函数,，,()()u u x y v v x y ==.这时uvD 与D 之间建立了一一对应关系，uOv 面上平行于坐标轴的直线在映射之下成为x Oy 面上的曲线,，,0()()u x y u v x y v ==.我们用uOv 面上平行于坐标轴的直线，1,,,1,,,(2;2)i j u u v v i n j m ====将区域uvD 分割成若干个小矩形，则映射将uOv 面上的直线网变成x Oy 面上的曲线网（图10—19）.图10—19在uv D 中任取一个典型的小区域ΔuvD (面积记为*Δσ)及其在D 中对应的小区域ΔD (面积记为Δσ)，如图10—20所示.图10—20设ΔD 的四条边界线的交点为1211322,，,，,0()()()P x y P x x y y P x x y y +∆+∆+∆+∆和ΔΔ433,0()P x x y y ++.当ΔΔ,u v 很小时，()ΔΔ123,,,iix y i =也很小，ΔD 的面积可用12P P 与14P P 构成的平行四边形面积近似.即Δ1214P P P P σ⨯≈.而 ()()ΔΔ1112x y P P =+i j()()()ΔΔ［］［］00000000,,,(,x u u v x u v y u u v y u v =+-++-i j()()ΔΔ［］［］0000,,u u x u v u y u v u ≈'+'i j.同理()()ΔΔ［］［］001400,,v v P P x u v v y u v v ≈'+'i j.从而得ΔΔΔΔΔ1214y xu u u u P P P σP y x v v vv∂∂∂∂⨯=∂∂∂=∂的绝对值*(,)(,)(,)(,)x y x y Δu Δv u v u v Δσ∂∂==∂∂.因此，二重积分作变量替换,,,()()x x u v y y u v ==后，面积元素d σ与d *σ的关系为*(,),(,)x y d d u v σσ∂=∂ 或(,)(,)x y dxdy dudv u v ∂=∂.由此得如下结论：定理 1 若,()f x y 在x Oy 平面上的闭区域D 上连续，变换：,,,()()T x x u v y y u v ==，将uOv 平面上的闭区域uvD 变成x Oy 平面上的D ,且满足:(1),,,()()x u v y u v 在uvD 上具有一阶连续偏导数， (2)在uvD 上雅可比式(0(,),)x y J u v ∂∂=≠；(3)变换：uvT DD→是一对一的，则有[](,)d d (,),(,)d d .uvDD f x y x y f x u v y u v J u v =⎰⎰⎰⎰例9 计算二重积分e d d y x y x Dx y -+⎰⎰，其中D 是由x 轴，y 轴和直线2x y +=所围成的闭区域.解令,u y x v y x =-=+，则，22x y v u v u -==+. 在此变换下，x Oy 面上闭区域D 变为uOv 面上的对应区域D '(图10—21).图10—21雅可比式为11(,)122(,)21122x y u v J -∂==-∂=，则得1ed de d d 2y x u y xvDD x y u v -+'=-⎰⎰⎰⎰-1d e d (e e )22001122uv v v v u -==-⎰⎰⎰e e 1=--.例10 设D 为x Oy 平面内由以下四条抛物线所围成的区域：222,,x ay x by y px ===，2y qx =，其中＜＜, ＜＜00a b p q ，求D 的面积.解由D 的构造特点，引入两族抛物线22,y ux x vy ==，则由u 从p 变到q ，v 从a 变到b 时，这两族抛物线交织成区域D '（图10—22）.图10—22雅可比行列式为(,)1(,)(,)(,)J x y u v u v x y ∂=∂∂∂= 222211322y y x x x x yy==---，则所求面积()()11d d d d 33D D S x y u v b a q p '===--⎰⎰⎰⎰.习题10—21.画出积分区域，把(,)d Df x y σ⎰⎰化为二次积分：(1)()1,1,{,0}D x y x y y x y =+≤-≤≥｜；(2)()22{,}D x y y x x y =≥-≥｜，.2.改变二次积分的积分次序： (1)2d d 22(,)yy y f x y x⎰⎰；(2)e1d d ln 0(,)xx f x y y ⎰⎰；(3)()220,xxdx f x y dy⎰⎰； (4)1-1d (,)d x f x y y ⎰.3.设(,)f x y 连续，且(,)(,)d Df x y xy f x y σ=+⎰⎰，其中D 是由直线0,1y x ==及曲线2y x =所围成的区域，求(,).f x y4.计算下列二重积分：(1)()22Dx y d σ+⎰⎰，(){},|1,1D x y x y =≤≤；(2)d sin Dxσx⎰⎰，其中D 是直线y x =与抛物线y x π=所围成的区域；(3)Dσ，(){}22,|D x y xy x =+≤；(4)22-y ed d ⎰⎰Dx x y，D 是顶点分别为()0,0O ，()，11A ，()0,1B 的三角形闭区域.5.求由坐标平面及2,3,4x y x y z ==++=所围的角柱体的体积.6.计算由四个平面0,0,1,1x y x y ====所围的柱体被平面0z =及236x y z ++=截得的立体的体积.7.在极坐标系下计算二重积分： (1)d Dx y ⎰⎰, ()ππ22224{,|}D x y x y =≤+≤；(2)()d d D x y x y +⎰⎰，(){},|22D x y x y x y =+≤+； (3)d d Dxy x y ⎰⎰，其中D 为圆域222x y a +≤；(4)22ln(1)d d Dxy x y++⎰⎰，其中D 是由圆周221xy +=及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.8. 将下列积分化为极坐标形式：(1) 2d d 22)x x y y +⎰a;(2) d 0xx y ⎰⎰a.9.求球体2222x y z R ++≤被圆柱面222x y Rx +=所割下部分的体积.10.作适当坐标变换，计算下列二重积分：(1)22d d Dx x y y⎰⎰,由12，，xy x y x ===所围成的平面闭区域； (2)d d y x yDex y+⎰⎰，(){,|0,0}1,D x y x y x y =+≤≥≥；(3)d Dx y , 其中D 是椭圆22221y x a b +=所围成的平面闭区域；(4)()()sin d d Dx y x y x y +-⎰⎰,(){,|0,0}D x y x y x y ππ=≤+≤≤-≤.11.设闭区域D 由直线100，，x y x y +===所围成，求证：1cos d d sin1.2Dx y x y x y +⎛⎫= ⎪-⎝⎭⎰⎰ 12.求由下列曲线所围成的闭区域的面积：(1) 曲线334,8,5,15xy xy xy xy ====所围成的第一象限的平面闭区域；(2) 曲线,,,x y a x y b y x y x αβ+=+===所围的闭区域0,0（）a b αβ<<<<.第3节三重积分3.1 三重积分的概念三重积分是二重积分的推广，它在物理和力学中同样有着重要的应用.在引入二重积分概念时，我们曾考虑过平面薄片的质量，类似地，现在我们考虑求解空间物体的质量问题.设一物体占有空间区域Ω，在Ω中每一点,,()x y z 处的体密度为,,()ρx y z ，其中,,()ρx y z 是Ω上的正值连续函数.试求该物体的质量.先将空间区域Ω任意分割成n 个小区域12, , , nΔv Δv Δv(同时也用iΔv 表示第i 个小区域的体积).在每个小区域i Δv 上任取一点,,()i i iξηζ，由于,,()ρx y z 是连续函数，当区域iΔv 充分小时，密度可以近似看成不变的，且等于在点,,()i i i ξηζ处的密度，因此每一小块iΔv 的质量近似等于,,()i i i iρξηζΔv ，物体的质量就近似等于1(,,)ni i ii ρξηζΔv =∑i .令小区域的个数n 无限增加，而且每个小区域iΔv 无限地收缩为一点，即小区域的最大直径()max 10ii nλd Δv ≤≤=→时，取极限即得该物体的质量1lim (,,)ni i iλi ρξηζΔv M →==∑i .由二重积分的定义可类似给出三重积分的定义：定义1 设Ω是空间的有界闭区域，,,()f x y z 是Ω上的有界函数，任意将Ω分成n 个小区域12,,,nΔv Δv Δv ，同时用i Δv 表示该小区域的体积，记iΔv 的直径为()id Δv ，并令()max 1i i nλd Δv ≤≤=，在i Δv 上任取一点,,()i i iξηζ，1,2,,()i n =，作乘积,,()i i i if ξηζΔv ，把这些乘积加起来得和式1(,,)n i i ii f ξηζΔv =∑i ，若极限01lim (,,)ni i iλi f ξηζΔv →=∑i 存在(它不依赖于区域Ω的分法及点(,,)iiiξηζ的取法)，则称这个极限值为函数,,()f x y z 在空间区域Ω上的三重积分，记作(),,f x y z dv Ω⎰⎰⎰,即 ()01,,lim (,,)ni i i ii f x y z dv f v λξηζ→=Ω=∆∑⎰⎰⎰,其中,,()f x y z 叫做被积函数，Ω叫做积分区域，d v 叫做体积元素.在直角坐标系中，若对区域Ω用平行于三个坐标面的平面来分割，于是把区域分成一些小长方体.和二重积分完全类似，此时三重积分可用符号(),,d d d f x y z x y z Ω⎰⎰⎰来表示，即在直角坐标系中体积元素d v可记为d d d x y z .有了三重积分的定义，物体的质量就可用密度函数,,()ρx y z 在区域Ω上的三重积分表示，即(),,M x y z dv Ωρ=⎰⎰⎰,如果在区域Ω上,,1()f x y z =，并且Ω的体积记作V ，那么由三重积分定义可知1d v dv V ΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰.这就是说，三重积分dv Ω⎰⎰⎰在数值上等于区域Ω的体积.三重积分的存在性和基本性质，与二重积分相类似，此处不再重述.3.2 三重积分的计算为简单起见，在直角坐标系下，我们采用微元分析法来给出计算三重积分的公式.三重积分(,,)d f x y z v Ω⎰⎰⎰表示占空间区域Ω的物体的质量.设Ω是柱形区域，其上、下分别由连续曲面()()z z x y z z x y ==12,,,所围成，它们在x Oy 平面上的投影是有界闭区域D ；Ω的侧面由柱面所围成，其母线平行于z 轴，准线是D 的边界线.这时，区域Ω可表示为(){}12,,, ,,,|()()()Ωx y z z x y z z x y x y D =≤≤∈ 先在区域D 内点,()x y 处取一面积微元d d d σx y =，对应地有Ω中的一个小条，再用与x Oy 面平行的平面去截此小条，得到小薄片(图10—23).图10—23于是以d σ为底，以dz 为高的小薄片的质量为,,d d d ()f x y z x y z .把这些小薄片沿z 轴方向积分，得小条的质量为d d d 21(,)(,)(,,)z x y z x y f x y z z x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰. 然后，再在区域D 上积分，就得到物体的质量21(,)(,)(,,)d d d z x y z x y Df x y z z x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰. 也就是说，得到了三重积分的计算公式(),,f x y z dv Ω⎰⎰⎰=21(,)(,)(,,)d d d z x y z x y Df x y z z x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰21(,)(,)d d (,,)d z x y z x y Dx y f x y z z=⎰⎰⎰.(10-3-1)例1 计算三重积分d d d x x y z Ω⎰⎰⎰，其中Ω是三个坐标面与平面1x y z ++=所围成的区域（图10—24）.图10—24解积分区域Ω在x Oy 平面的投影区域D 是由坐标轴与直线1x y +=围成的区域：10x ≤≤，10y x ≤≤-，所以11110d d d d d d d d d x yxx yDx x y z x y x z x y x z -----Ω==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ d d 110(1)xx x x y y --=-⎰⎰d 21(1)1224x x x -==⎰.例2 计算三重积分d z vΩ⎰⎰⎰，其中2222:，，， 000Ωx y z x y z R ≥≥≥++≤（见图10—25）.图10—25解区域Ω在x Oy 平面上的投影区域222:，，00D x y x y R ≥≥+≤.对于D 中任意一点,()x y ，相应地竖坐标从0z =变到222R x z y --=.因此，由公式(10-3-1)，得()2222221d d d d d d 2R x y DDz v x y z R x y x y --Ω==--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ π01d d 2222()R θR ρρρ-=⎰⎰221π240224RρρR ⎛⎫⋅⋅- ⎪ ⎪⎭=⎝π416R =.三重积分化为累次积分时，除上面所说的方法外，还可以用先求二重积分再求定积分的方法计算.若积分区域Ω如图10-26所示，它在z 轴的投影区间为［,］A B ，对于区间内的任意一点z ，过z 作平行于x Oy 面的平面，该平面与区域Ω相交为一平面区域，记作D (z ).这时三重积分可以化为先对区域()D z 求二重积分，再对z 在[]A B ,上求定积分，得()(,,)d d (,,)d d BAD z f x y z v z f x y z x y Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(10-3-2)图10—26我们可利用公式(10-3-2)重新计算例2中的积分.区域Ω在z 轴上的投影区间为［,］0R ，对于该区间中任意一点z ，相应地有一平面区域():，00D z x y ≥≥与2222R x y z +≤-与之对应.由公式(10-3-2)，得()zd d d d RD z v z z x y Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.求内层积分时，z 可以看作常数：并且()2222:R D z x y z +≤-是14个圆，其面积为()π224R z =-，所以 ()01πzd π416Rv =z R z z R Ω⋅-=⎰⎰⎰⎰224d . 例3 计算三重积分2d z v Ω⎰⎰⎰，其中:1222222y x z a b Ωc+≤+.解我们利用公式(10-3-2)将三重积分化为累次积分.区域Ω在z 轴上的投影区间为［,］c c -，对于区间内任意一点z ，相应地有一平面区域()D z ：122222222(1)(1)y xz za b c c --≤+ 与之相应，该区域是一椭圆(图10—27)，其面积为π221z c ab ⎛⎫- ⎪⎝⎭.所以22222()d d d d π1d ccc c D z z z v =z z x y abz z c --Ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰π3415abc =π3415abc =.图10—27 3.3 三重积分的换元法对于三重积分(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰作变量替换：(,,)(,,)(,,)x x r s t y y r s t z z r s t =⎧⎪=⎨⎪=⎩它给出了Orst 空间到Ox yz 空间的一个映射，若()()(),,,,,,,,x r s t y r s t z r s t 有连续的一阶偏导数，且(,,)(,,)0x y z r s t ∂≠∂,则建立了Orst 空间中区域*Ω和Ox yz 空间中相应区域Ω的一一对应，与二重积分换元法类似，我们有d d d d (,,)(,,)x y z r s t v r s t ∂∂=. 于是，有换元公式[]*(,,)(,,)(,,),(,,),(,,)d d d (,,)x y z f x y z dv f x r s t y r s t z r s t r s tr s t ΩΩ∂=⋅∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰.作为变量替换的实例，我们给出应用最为广泛的两种变换：柱面坐标变换及球面坐标变换.3.3.1 柱面坐标变换三重积分在柱面坐标系中的计算法如下：变换cos ,sin ,x r θy r θz z =⎧⎪=⎨⎪=⎩称为柱面坐标变换，空间点(),,M x y z 与,,()r θz 建立了一一对应关系，把,,()r θz 称为点(),,M x y z 的柱面坐标.不难看出，柱面坐标实际是极坐标的推广.这里,r θ为点M在x Oy 面上的投影P 的极坐标.π＜，2，＜＜00r θz ≤+∞≤≤-∞+∞（图10—28）.图10—28柱面坐标系的三组坐标面为 (1)常数r =，以z 为轴的圆柱面； (2)常数θ=，过z 轴的半平面； (3)常数z =，平行于x Oy 面的平面. 由于cos sin 0(,,)sin cos 0(,,)001θr θx y z θr r rθθz -∂==∂，则在柱面坐标变换下，体积元素之间的关系式为：d d d d d d x y z r r θz=.于是，柱面坐标变换下三重积分换元公式为：(,,)d d d (cos ,sin ,)d d d f x y z x y z =f r r z r r z θθθ'ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(10-3-3)至于变换为柱面坐标后的三重积分计算，则可化为三次积分来进行.通常把积分区域Ω向x Oy 面投影得投影区域D ，以确定,r θ的取值范围，z 的范围确定同直角坐标系情形.例4 计算三重积分22d d d z x y x y z Ω+⎰⎰⎰，其中Ω是由锥面22z x y =+与平面1z =所围成的区域.解在柱面坐标系下，积分区域Ω表示为π1，1，200r z r θ≤≤≤≤≤≤ (图10—29).图10—29所以有2π11222d d d d d d rz x y x y z r z r z θΩ+=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰d π1221220(1)r r r =-⎰.例5 计算三重积分()22d d d xy x y zΩ+⎰⎰⎰，其中Ω是由曲线22，0yz x ==绕z 轴旋转一周而成的曲面与两平面2，8z z ==所围之区域.解曲线2=2，0y z x =绕z 旋转，所得旋转面方程为222x y z +=.设由旋转曲面与平面2z =所围成的区域为1Ω，该区域在x Oy 平面上的投影为1D ,(){}4221|D x ,y x +y =≤.由旋转曲面与8z =所围成的区域为2Ω,2Ω在x Oy 平面上的投影为2D ，()21622{|}D x ,y x +y =≤.则有21ΩΩΩ=,如图10—30所示.图10—30()21288223322d d d d d d d d d r D D xy x y z r r z r r zθθΩ+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2d d d 8d 222243326ππθr r θr r ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰r π336=.3.3.2 球面坐标变换三重积分在球面坐标系中的计算法如下：变换sin cos ,sin sin ,cos x r φθy r φθz r φ=⎧⎪=⎨⎪=⎩称为球面坐标变换，空间点(),,M x y z 与,,()r φθ建立了一一对应关系，把,,()r φθ称为点(),,M x y z 的球面坐标(图10-31)，其中ππ＜,,2000r φθ≤+∞≤≤≤≤.图10-31球面坐标系的三组坐标面为： (1)常数r =，以原点为中心的球面；(2)常数φ=，以原点为顶点，z 轴为轴，半顶角为φ的圆锥面；(3)常数θ=，过z 轴的半平面.由于球面坐标变换的雅可比行列式为sin cos cos cos sin sin (,,)sin sin cos sin sin cos (,,)cos sin 0φθr φθr φθx y z φθr φθr φθr φθφr φ-∂=∂-2sin r φ=，则在球面坐标变换下，体积元素之间的关系式为:2d d d sin d d d x y z r φr θφ=.于是，球面坐标变换下三重积分的换元公式为 2(,,)d d d (sin cos ,sin sin ,cos )sin d d d f x y z x y z =f r r r r r ϕθϕθϕϕϕθ'ΩΩ⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰. (10-3-4)例6 计算三重积分222()d d d xy z x y zΩ++⎰⎰⎰，其中Ω表示圆锥面222x y z +=与球面2222x y z R z ++=所围的较大部分立体.解在球面坐标变换下，球面方程变形为2cos r R φ=，锥面为π4φ=(图10—32).这时积分区域Ω表示为π2，， 2cos 4000θπφr R φ≤≤≤≤≤≤，图10—32所以22222()d d d sin d d d x y z x y z =r r r ϕϕθ'ΩΩ++⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰ππd d d 22cos 44sin R φθφr φr =⎰⎰⎰ππd π52cos 0540228sin ()515R φφr φR ==⎰.例7 计算三重积分22(2)d d d y x z x y zΩ++⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面2222x y z a ++=，22224x y z a ++=，22x y z +=所围成的区域.解积分区域用球面坐标系表示显然容易，但球面坐标变换应为sin cos sin sin cos ,,x r φθz r φθy r φ===，这时2d sin d d d v r φr φθ=，积分区域Ω表示为ππ224,00,a r a φθ≤≤≤≤≤≤ (图10—33).图10—33所以π2π2222400(2)d d d d d (2cos sin )sin d a a y x z x y z =r r r r θϕϕϕϕΩ+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ππ41515816a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=+.值得注意的是，三重积分的计算是选择直角坐标，还是柱面坐标或球面坐标转化成三次积分，通常要综合考虑积分域和被积函数的特点.一般说来，积分域Ω的边界面中有柱面或圆锥面时，常采用柱面坐标系；有球面或圆锥面时，常采用球面坐标系.另外，与二重积分类似，三重积分也可利用在对称区域上被积函数关于变量成奇偶函数以简化计算.习题10-31.化三重积分(,,)d d d I f x y z x y z Ω=⎰⎰⎰为三次积分，其中积分区域Ω分别是.(1) 由双曲抛物面x y z =及平面100x y z +-==，所围成的闭区域；(2) 由曲面22z x y =+及平面1z =所围成的闭区域. 2.在直角坐标系下计算三重积分： (1)()d d d 2+xy z x y z Ω⎰⎰⎰，其中[][][]-2,5-3,30,1Ω=⨯⨯；。

同济大学高数第10章重积分

多元函数积分学是定积分概念的推广，包括二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分.它们所解决的问题的类型不同，但解决问题的思想和方法是一致的，都是以“分割、近似、求和、取极限”为其基本思想，它们的计算最终都归结为定积分.本章主要介绍二重积分与三重积分的概念、性质、计算方法及其应用.27610.1 二重积分的概念及性质10.1.1 二重积分的概念实例1 设函数),(y x f z =在有界闭区域D 上连续，且0),(≥y x f ．以函数),(y x f z =所表示的曲面为顶，以区域D 为底，且以区域D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面为侧面的立体叫做曲顶柱体，如图10.1.1所示．求该曲顶柱体的体积V ．图10.1.1 图10.1.2 对于平顶柱体,它的体积就等于底面积乘高.现在曲顶柱体的顶是曲面,当点),(y x 在D 上变动时,其高度),(y x f z =是一个变量,因此不能直接用上述方法求其体积，但是可以沿用求曲边梯形面积的方法和思路求其体积.具体步骤如下第一步(分割).用一组曲线网将区域D 任意分成n 个小区域1σ∆,2σ∆,…i σ∆,…n σ∆，其中记号i σ∆ (i = 1，2，…，n )也用来表示第i 个小区域的面积．分别以每个小区域的边界曲线为准线作母线平行于z 轴的柱面，这些柱面把原来的曲顶柱体分割成n 个小曲顶柱体1V ∆，2V ∆…，i V ∆…，n V ∆，其中记号i V ∆(i = 1，2，…，n )也用来表示第i个小曲顶柱体的体积．第二步(近似)．因为),(y x f 在区域D 上连续，在每个小区域上其函数值变化很小，这个小曲顶柱体可以近似地看作平顶柱体(如图10.1.2)．分别在每个小区域i σ∆上任取一点),(i i ηξ，以),(i i f ηξ为高，i σ∆为底的小平顶柱体的体积i i i f σηξ∆),(作为第i 个小曲顶柱体体积i V ∆的近似值，即),,2,1(),(n i f V i i i i =∆≈∆σηξ．第三步(求和)．这n 个小平顶柱体体积之和可作为原曲顶柱体体积V 的近似值，即i i ni i n i i f V V σηξ∆≈∆=∑∑==),(11．第四步(取极限)．对区域D 分割越细，近似程度越高，当各小区域直径的最大值0→λ(有界闭区域的直径是指区域上任意两点间距离的最大值)时，若上述和式的极限存在，则该极限值就是曲顶柱体的体积V ，即有i i ni i f V σηξλ∆=∑=→),(lim 10．实例 2 设有一个质量非均匀分布的平面薄片，它在xOy 平面上占有有界闭区域D ，此薄片在点D y x ∈),(处的面密度为),(y x ρ，且),(y x ρ在D 上连续．求该薄片的质量M ．如果平面薄片是均匀的，即面密度是常数，则薄片的质量就等于面密度与面积的乘积．现在薄片的面密度随着点),(y x 的位置而变化，我们仍然可以采用上述方法求薄片的质量．用一组曲线网将区域D 任意分成n 个小块1σ∆，2σ∆…，n σ∆；由于),(y x ρ在D 上连续，只要每个小块i σ∆ (i = 1，2，…， n )的直径很小，这个小块就可以近似地看作均匀小薄片．在i σ∆上任取一点),(i i ηξ，用点),(i i ηξ 图10.1.3处的面密度),(i i ηξρ近似代替区域i σ∆上各点处的面密度(如图10.1.3)，从而求得小薄片i σ∆的质量的近似值),(i i i M ηξρ≈∆i σ∆),,2,1(n i =；整个薄片质量的近似值为i i ni i M σηξρ∆∑≈=),(1．278将薄片无限细分，当所有小区域i σ∆的最大直径0→λ时，若上述和式的极限存在，这个极限值就是所求平面薄片的质量，即 i ni i i M σηξρλ∆∑==→),(lim 10．尽管上面两个问题的实际意义不同，但解决问题的方法是一样的，而且最终都归结为求二元函数的某种特定和式的极限．在数学上加以抽象，便得到二重积分的概念．根据二重积分的定义可知，例10.1.1中曲顶柱体的体积V 是其曲顶函数),(y x f 在底面区域D 上的二重积分，即⎰⎰=Dy x f V σd ),(；例10.1.2中平面薄片的质量M 是其面密度函数),(y x ρ在其所占闭区域D 上的二重积分，即⎰⎰=Dy x M σρd ),(．关于二重积分的几点说明．(1) 如果函数),(y x f 在区域D 上的二重积分存在，则称函数),(y x f 在D 上可积．如果函数),(y x f 在有界闭区域D 上连续，则),(y x f 在D 上可积．(2) 当),(y x f 在有界闭区域D 上可积时，积分值与区域D 的分法及点),(i i ηξ的取法无关．(3) 二重积分只与被积函数),(y x f 和积分区域D 有关．二重积分⎰⎰Dy x f σd ),(的几何意义．(1) 若在闭区域D 上0),(≥y x f ，二重积分表示曲顶柱体的体积；(2) 若在闭区域D 上0),(≤y x f ，二重积分表示曲顶柱体体积的负值；(3) 若在闭区域D 上),(y x f 有正有负，二重积分表示各个部分区域上曲顶柱体体积的代数和．10.1.2 二重积分的性质二重积分有与定积分完全类似的性质，这里我们只列举这些性质，而将证明略去．280例10.1.1比较⎰⎰+D y x σd )(与⎰⎰+D y x σd )(3的大小，其中D 是由直线0,0==y x 及1=+y x 所围成的闭区域．解由于对任意的D y x ∈),(，有1≤+y x ，故有y x y x +≤+3)（，因此≥+⎰⎰D y x σd )(⎰⎰+Dy x σd )(3．例10.1.2 估计⎰⎰++Dy x σd )1(的值，其中D 为矩形区域，10≤≤x ，20≤≤y ．解被积函数在区域D 上的最大值与最小值分别为4和1，D 的面积为2，于是⎰⎰≤++≤Dy x 8d )1(2σ．习题10.11．使用二重积分的几何意义说明12231()d D I x y σ=+⎰⎰与22232()d D I x y σ=+⎰⎰的之间关系，其中D 1是矩形域-1 ≤ x ≤ 1，-1 ≤ y ≤ 1，D 2是矩形域0 ≤ x ≤ 1，0 ≤ y ≤ 1．2. 比较下列积分的大小.(1)σd y x D ⎰⎰+=I 21)(与σd y x D⎰⎰+=I 32)(，其中D 由x 轴、y 轴及直线1=+y x 所围成；(2) σd y x D ⎰⎰+=I )ln(1与()[]σd y x D⎰⎰+=I 22ln ，其中{}10,53),(≤≤≤≤=y x y x D . 3．估计下列积分值的大小．(1) σd y x xy D ⎰⎰+=I 4)(，其中D ：0 ≤ x ≤ 2， 0 ≤ y ≤ 2；(2) σd y x D ⎰⎰++=I )94(22，其中D ：422≤+y x ．4．一薄片(不考虑其厚度)位于xOy 平面上，占有区域D ，薄片上分布有面密度为u = u (x ，y )的电荷，且u (x ，y )在D 上连续，使用二重积分表示薄片的全部电荷Q ．10.2 二重积分的计算28210.2.1 直角坐标系下二重积分的计算我们知道，如果函数),(y x f 在有界闭区域D 上连续，则在区域D 上的二重积分存在，且它的值与区域D 的分法和各小区域i σ∆ ),,2,1(n i =上点),(i i ηξ的选取无关，故可采用一种便于计算的划分方式，即在直角坐标系下用两族平行于坐标轴的直线将区域D 分割成若干个小区域. 则除去靠区域D边界的不规则的小区域外，其余的小区域全部是小矩形区域．图10.2.1设小矩形区域σ∆的边长分别为x ∆和y ∆(如图10.2.1)，则小矩形区域的面积为y x ∆∆=∆σ．因此，在直角坐标系下，可以把面积元素记为y x d d d =σ．则在直角坐标系下，二重积分可表示成下面我们将利用平行截面法来求曲顶柱体的体积，以获得利用直角坐标系计算二重积分的方法．设曲顶柱体的顶是曲面),(y x f z =(0),(≥y x f )，底是xOy 平面上的闭区域D (如图10.2.2)，即区域D 可用不等式组表示为{})()(,),(21x y y x y b x a y x D ≤≤≤≤=，其中函数),(y x f z = 在区域D 上连续，函数)()(21x y x y 与在区间[a ，b ]上连续，该区域的特点是：穿过区域D 内部且垂直于x 轴的直线与D 的边界的交点不多于两点．图10.2.2用过区间[a ，b ]上任意一点x 且垂直于x 轴的平面去截曲顶柱体，所得到的截面是一个以)](),([21x y x y 为底，以),(y x f z =为曲边的曲边梯形(如图10.2.3)，其面积为⎰=)( )( 21d ),()(x y x y y y x f x A ．再利用平行截面面积为已知的立体的体积公式，便得到曲顶柱体的体积为x y y x f x x A V b a b a x y x y d ]d ),([d )( )( )( 21⎰⎰⎰==．图10.2.3根据二重积分的几何意义可知，这个体积也就是所求二重积分的值，从而有上式右端称为先对y 后对x 的二次积分．由此看到，二重积分的计算可化成计算两次单积分来进行，这种方法称为累次积分法．对y 积分时，把x 看作常数，把),(y x f 只看作y 的函数，并对y 从)(1x y 到)(2x y 进行定积分；然后把算得的结果(关于x 的函数)再对x 在区间[a ，b ]上进行定积分．在上述过程中，我们假定0),(≥y x f ，但实际上公式并不受此条件的限制．类似地，如果积分区域D 如图10.2.4所示，则区域D 可表示为{}d y c y x x y x y x D ≤≤≤≤=,)()(),(21，其中函数)()(21y x y x 与在区间[c ，d ]上连续，该区域的特点是：穿过区域D 内部且垂直于y轴的直线与D 的边界的交点不多于两点．284图10.2.4这时则有以下公式：上式右端称为先对x 后对y 的二次积分．如果积分区域D 不属于上述两种类型，如图10.2.5所示．即平行于x 轴或y 轴的直线与D 的边界的交点多于两点，这时可以用平行于x轴或平行于y 轴的直线把D 分成若干个小区域，使每个小区域都属于上述类型之一，则可利用性质3，将D 上的积分化成每个小区域上积分的和．图10.2.5 图10.2.6 例10.2.1 计算⎰⎰=Dy x xy I d d 2，其中区域D ：10≤≤x ，12y ≤≤．解作区域D 的图形(如图10.2.6)，这是矩形区域．化成累次积分时，积分上下限均为常数．如果先对y 积分，则把x 看作常数，得y xy x y x xy I D d d d d 1 0 2 1 22⎰⎰⎰⎰==⎰⎰===1 0 10 21367d 37d ]3[x x x y x ．如果先对x 积分，则有67d 21d ]2[d d d d 2 1 21021222 1122=====⎰⎰⎰⎰⎰⎰y y y x y x xy y y x xy I D．例10.2.2 计算⎰⎰Dy x xy d d 22，其中D 由抛物线x y =2及直线2-=x y 所围成．解画D 的图形(如图10.2.7 a )．解方程组⎩⎨⎧-==22x y xy ，得交点坐标为(1, -1)，(4, 2)．图10.2.7 a 图10.2.7 b若选择先对x 积分，这时D 可表示为{}21,2),(2≤≤-+≤≤=y y x y y x D ，从而y y y y y y x y x xy y y x xy y yy y Dd )44(d ][d 2d d d 22162342221221 2 2222⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+--+-++=== 35615]7345[217345=-++=-y y y y ．若先对y 积分后对x 积分，由于下方边界曲线在区间[0，1]与[1，4]上的表达式不一致，这时就必须用直线1=x 将区域D 分成1D 和2D 两部分(如图10.2.7 b )．则1D 和2D 可分别表示为{}10,),(1≤≤≤≤-=x x y x y x D ， {}41,2),(2≤≤≤≤-=x x y x y x D ，由此得286⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--+=+=xx xxD D Dy xy x y xy x y x xy y x xy y x xy 224 11 02222d 2d d 2d d d 2d d 2d d 221．显然，计算起来要比先对x 后对y 积分麻烦，所以恰当地选择积分次序是化二重积分为二次积分的关键．选择积分次序与积分区域的形状及被积函数的特点有关．例10.2.3 求由两个圆柱面222R y x =+和222R z x =+相交所形成的立体的体积．解根据对称性，所求体积V 是图10.2.8 a 所画出的第一卦限中体积的8倍．第一卦限的立体为一曲顶柱体，它以圆柱面22x R z -=为顶，底为xOy 面上的四分之一圆(如图10.2.8 b )，用不等式组表示为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-≤≤=R x x R y y x D 0,0),(22，所求体积为y x R x y x x R V Rx R Dd d 8d d 8 0222222⎰⎰⎰⎰--=-=32 02 0022316d )(8d ][822R x x R x y x R RRx R=-=-=⎰⎰-．图10.2.8 a 图10.2.8 b以上我们采用的是先对y 后对x 的积分次序，如果先对x 后对y 积分，则有x x R y y x x R V Rx R Dd d 8d d 8 0222222⎰⎰⎰⎰--=-=．虽然也能得到相同的结果，但计算要复杂的多．例10.2.4 计算二重积分x xxy yyd sin d 1 0⎰⎰．解积分区域D 如图10.2.9所示，直接计算显然不行，因为x xxd sin ⎰不能表示为初等函数．但被积函数与y 无关，因此我们考虑交换积分次序后再计算．x y xx y x x x x x xy x x x x yyd ][sin d sin d d sin d 221 0 1 0 1 0⎰⎰⎰⎰⎰== ⎰⎰⎰-=-=111d sin d sin d )sin (sin x x x x x x x x x 1sin 1)1sin 1(cos )1cos 1(-=-+-=．图10.2.910.2.2 极坐标系下二重积分的计算前面讨论了在直角坐标系下计算二重积分的方法．但有些二重积分，其被积函数和积分区域(如圆形、扇形、环形域等)用极坐标系表示时比较简单，这时可考虑利用极坐标计算二重积分．下面介绍在极坐标系下二重积分的计算方法．因为二重积分与积分区域D 的分法无关，所以可用极坐标系下以极点为中心的一族同心圆=r 常数以及从极点发出的一族射线=θ常数来分割区域D ．不失一般性，我们考虑极径由r 变到r r d +和极角由θ变到θθd +所得到的区域(如图10.2.10)．该小区域可近似地看作边长分别为r d 和θd r 的小矩形，于是极坐标下的面积元素θσrdrd d =．再用坐标变换θcos r x =，θsin r y =代替被积函数),(y x f 中的x 和y ，于是得到二重积分在极坐标系下的表达式图10.2.10 图10.2.11实际计算时，与直角坐标情况类似，还是化二重积分为累次积分来进行计算，这里仅介绍先r 后θ的积分次序，积分的上下限则要根据极点与区域D 的位置而定．下面分三种情况说明在极坐标系下，如何化二重积分为累次积分．(1)极点O 在积分区域D 之外(如图10.2.11)．此时区域D 界于射线αθ=和βθ=之间(βα<﴿，这两条射线与D 的边界的交点把区域边界曲线分为内边界曲线)(1θr r =和外边界曲线)(2θr r =两个部分，则{}βθαθθ≤≤≤≤=,)()(),(21r r r y x D ，(2)极点O 在积分区域D 之内(如图10.2.12)．此时极角θ从0变到π2，如果D 的边界曲线方程是)(θr r =，则{}πθθ20,)(0),(≤≤≤≤=r r y x D ，(3)极点O 在积分区域D 的边界上(如图10.2.13)此时极角θ从α变到β，设区域D 的边界曲线方程是)(θr r =，则{}βθαθ≤≤≤≤=,)(0),(r r y x D ，图10.2.12 图10.2.13特别地，当1)sin ,cos (=θθr r f 时，σσσ( =⎰⎰Dd 为区域D 的面积），即当βθαθθθ≤≤== ),()(0)(21r r r ，时，即为在定积分应用中用极坐标计算曲边扇形面积的公式．一般情况下，当二重积分的被积函数中自变量以22y x ±，xy ，x y ，y x 等形式出现且积分区域由圆弧与射线组成(如以原点为中心的圆域、扇形域、圆环域，以及过原点而中心在坐标轴上的圆域等)，利用极坐标计算往往更加简便．用极坐标计算二重积分时，需画出积分区域D 的图形，并根据极点与区域D 的位置关系，选用上述公式．例10.2.5 将二重积分⎰⎰Dy x f σd ),(化为极坐标系下的累次积分，其中D 表示为{}0,2),(22≥≤+=y Rx y x y x D ，解画出D 的图形(如图10.2.14)，在极坐标系下，D 可表示为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=20,cos 20),(πθθR r y x D ，于是可得290⎰⎰⎰⎰=2cos 2 0d )sin ,cos (d d ),(πθθθθσR Dr r r r f y x f ．图10.2.14 图10.2.15例10.2.6 计算⎰⎰--Dy xy x d d e 22，其中D 是圆盘222a y x ≤+在第一象限的部分．解画出D 的图形(如图10.2.15)，在极坐标系下，D 可表示为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=20,0),(πθθa r r D ，于是可得⎰⎰⎰⎰⎰⎰----==Dar r Dy x r r r r y x 2d ed d d ed d e2222πθθ)e 1(4d ]e 21[2202a a r ---=-=⎰πθπ．例10.2.7 求由球面22224a z y x =++与圆柱面ax y x 222=+所围且含于柱面内的立体体积．图10.2.16 a 图10.2.16 b解如图10.2.16 a 所示，由于这个立体关于xOy 面与xOz 面对称，所以只要计算它在第一卦限的部分．这是以球面2224y x a z --=为顶，以曲线22x ax y -=与x 轴所围成的半圆D 为底(如图10.2.16 b )的曲顶柱体，其体积为σd 44222⎰⎰--=Dy x a V ．在极坐标下，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=20,cos 20),(πθθθa r r D ，于是得到 θθθππθd )4(34d 4d 4cos 2 0223222cos 2 022a a r a r r a r V ⎰⎰⎰--=-=)43(916d )sin 1(3323233-=-=⎰πθθπa a ．习题10.21.画出积分区域并计算下列二重积分． (1)(1)d d Dx y x y --⎰⎰，:0, 0,1D x y x y ≥≥+≤；(2) 22(),D xy d σ+⎰⎰其中D 是矩形闭区域：||1,||1;x y ≤≤；(3)cos(),Dx x y d σ+⎰⎰其中D 是顶点分别为(0,0),(,0)π和(,)ππ的三角形闭区域.；(4)e d d xy Dy x y ⎰⎰，1:2, 12D y x ≤≤≤≤．2.将二重积分(,)d d Df x y x y ⎰⎰化为二次积分，其中积分区域D 是:(1) 以(0，0)，(1，0)，(1，1)为顶点的三角形区域； (2) 由直线2,==x x y 及双曲线)0(1>=x xy 所围成的区域． 3.交换下列二次积分的积分次序．(1)112 0 d (,)d xx x f x y y -⎰⎰； (2) 0d (,)d aa x f x y y -⎰⎰；(3)dx y x f dyee y⎰⎰1),(； (4) 1 22 0 0 1 0d (,)d d (,)d xxx f x y y x f x y y -+⎰⎰⎰⎰．2924.画出下列积分区域，并把二重积分⎰⎰Dy x y x f d d ),(化成极坐标系下的二次积分．(1) D ：)0(2222b a b y x a <<≤+≤； (2) D ：xy x 222≤+.5.将积分 22 0 0d ()d Rx f x y y +⎰⎰化成极坐标形式．6.利用极坐标计算下列积分． (1)(632)d d Dx y x y --⎰⎰，D ：222R y x ≤+；(2)d Dx y ⎰⎰，D ：22224ππ≤+≤y x ；(3)D，D ：122≤+y x ．7.选择适当的坐标系计算下列积分．(1)2d d Dy x y ⎰⎰，D 由, , 0, cos 4x x y y x ππ====所围成；(2)22ln(1)d d Dx y x y ++⎰⎰；D ：222x y R +≤，0, 0x y ≥≥；(3)22d d Dx yx y x y++⎰⎰，D ：122≤+y x ，1≥+y x ． 8.求圆锥面221y x z +-=与平面z = x ，x = 0所围成的立体体积．9. 求由平面0=x ，0=y ，1=z ，1=+y x 及y x z ++=1所围成的立体的体积.10.3 三重积分10.3.1 三重积分的概念将二重积分的概念推广，就得到三重积分的概念.在直角坐标系中,如果用平行于坐标面的平面来划分Ω，那么除了包含Ω的边界点的一些不规则小闭区域外，得到的小闭区域i v ∆为长方体. 设长方体小闭区域i v ∆的边长为j x ∆、k y ∆、l z ∆,则l k j i z y x v ∆∆∆=∆.因此在直角坐标系中,有时也把体积微元dv 记作dxdydz ,而把三重积分记作⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f ),,(其中dxdydz 叫做直角坐标系中的体积微元.当函数(,,)f x y z 在闭区域Ω上连续时，(10.3.1)式右端的和的极限必定存在，也就是函数(,,)f x y z 在闭区域Ω上的三重积分必定存在. 以后我们总假定函数(,,)f x y z 在闭区域Ω上是连续的.关于二重积分的一些术语，例如，被积函数、积分区域等，也可相应地用294到三重积分上. 三重积分的性质也与二重积分的性质类似，这里不再重复了.如果(,,)f x y z 表示某物体在点),,(z y x 处的密度，Ω是该物体所占有的空间闭区域，(,,)f x y z 在Ω上连续，则i ni iiiv f ∆∑=1),,(ζηξ是该物体的质量m 的近似值，这个和当0→λ时的极限就是该物体的质量m ，所以⎰⎰⎰Ω=dv z y x f m ),,(当(,,)1f x y z ≡时，⎰⎰⎰Ωdv 积分值就等于积分区域Ω的体积.10.3.2 在直角坐标系下三重积分的计算 1 先一后二法设函数(,,)f x y z 在空间有界闭区域Ω上连续.设区域Ω在xoy 面上的投影区域为D ,如果平行于z 轴且穿过区域Ω的直线与Ω的边界曲面的交点不超过两个,此区域表示为{}D y x y x z z y x z z y x ∈≤≤=Ω),(,),(),(),,(21.即过区域Ω在xoy 面上的投影区域D 内任一点),(y x ，做平行于z 轴的直线，穿进Ω的点总在曲面1∑:),(1y x z z =上，穿出Ω的点总在曲面2∑:),(2y x z z =上，且),(),(21y x z y x z ≤（如图10.3.1）.此时三重积分可化为⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩDy x z y x z dz z y x f d dv z y x f ),(),(21),,(),,(σ即先对z 积分再计算在D 上的二重积分（先一后二法）.高等数学 295假如闭区域},)()(),{(21b x a x y y x y y x D ≤≤≤≤=把这个二重积分化为二次积分,于是得到三重积分的计算公式即把三重积分化为先对z ,再对y ,最后对x 的三次积分如果平行于x 轴或y 轴且穿过闭区域Ω内部的直线与Ω的边界曲面S 相交不多于两点,也可把闭区域Ω投影到yoz 面上或xoz 面上,这样便可以把三重积分化为按其他顺序的三次积分.因此,在直角坐标系下的三重积分可能有6种不同顺序的三次积分.如果平行于坐标轴且穿过闭区域Ω内部的直线与边界曲面S 的交点多于两个,也可像处理二重积分那样,把Ω分成若干部分,使Ω上的三重积分化为各部分闭区域上的三重积分的和.例10.3.1 计算三重积分⎰⎰⎰Ω=z y x x I d d d ，其中积分区域Ω为平面12=++z y x 及三个坐标面所围成的闭区域.,)第10章重积分 296296解积分区域Ω是如图10.3.2所示的四面体，将Ω投影在xoy 面，投影区域D 为 }10,210),{(≤≤-≤≤=x xy y x D在D 内任取一点),(y x ,过此点作平行于z 轴的直线,该直线通过平面0=z 穿入Ω内,然后通过平面y x z 21--=穿出Ω外,所以,积分区域Ω表示为 ),,{(z y x =Ωy x z 210--≤≤，}10,210≤≤-≤≤x xy . 于是,由公式(10.3.2)得⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω--==Dyx xdz dxdy z y x x I 210d d d⎰⎰⎰---=yx xxdz dydx2102101dy y x xdx x⎰⎰---=2101)21(481)2(411032=+-=⎰dx x x x 例10.3.2 计算三重积分⎰⎰⎰Ωv x d ，其中积分区域Ω为椭圆抛物面222z x y =+及抛物柱面22z x =-所围成的闭区域.解积分区域Ω如图10.3.3所示,Ω在xoy 坐标面上的投影区域为}1),{(22≤+=y x y x D .积分区域Ω表示为 ),,{(z y x =Ω}),(,22222D y x x z y x ∈-≤≤+于是x高等数学 297⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+Ω=22222d x y x Dxdz d v x σ2221212xx y dx xdz --+=⎰⎰1221(1)dxx x y dy -=--⎰0= 图10.3.32 先二后一法有时,我们计算一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分. 设空间区域Ω如图10.3.4所示,则12c z c ≤≤,12(,)z c c ∀∈,过z 点作z 轴的垂面,与区域Ω的截面为z D ,则⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩzD c c d z y x f dzdv z y x f σ),,(),,(21即先计算在z D 上的二重积分,再对z 积分（先二后一法）.例10.3.3 计算三重积分⎰⎰⎰Ωv z d 2,其中Ω是椭球体),,{(z y x =Ω2222221x y z a b c ++≤}. 图10.3.4 解将Ω投影到z 轴上,则c z c -≤≤,对任意),(c c z -∈,过点),0,0(z 的平面截椭球体得到椭圆域为z D ：2222221x y z a b c+≤-,),(c c z -∈(如图10.3.5),即空间闭区域Ω可表示为{}c z c cz b y a x z y x ≤≤--≤+=Ω,1),,(222222,于是zy22y +第10章重积分 2982983222221541d abc dz z c z ab dxdy dz z v z zD cc cc ππ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--Ω但是,若采用“先一后二法” 将Ω投影到xoy 平面上得⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤+=1),(22b y a x y x D则⎰⎰⎰Ωv z d22a adx dz -=⎰⎰⎰32223222)3a a x y c dx dy a b -=--⎰⎰. 此积分很难完成. 图10.3.5 10.3.3柱坐标系和球坐标系下三重积分的计算 1 利用柱坐标系计算三重积分.空间直角坐标系中，将xoy 面用极坐标系表示所建立的坐标系就是柱坐标系. 设),,(z y x M 为空间直角坐标系中一点图10.3.6此点在xoy 面上投影点)0,,(y x P 表示成相应的极坐标形式为),(θr ，则M 点的柱坐标为),,(z r θ(如图10.3.6).这里规定r ,θ,z 的变化范围为高等数学 299+∞<≤r 0,02θπ≤≤,+∞<<∞-z在柱坐标系中： 0r r =（常数）,表示以z 轴为中心的圆柱面；θ=0θ（常数）,表示通过z 轴的半平面，此半平面与zox 面的夹角为0θ；z =0z （常数）,表示平行于xoy 坐标面的平面.空间直角坐标与柱坐标的关系为⎪⎩⎪⎨⎧===.,sin ,cos z z r y r x θθ (10.3.2)现在要把三重积分⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(中的变量变换为柱面坐标.为此,用=r 常数，θ=常数，z =常数把Ω分成许多小闭区域,除了含Ω的边界点的一些不规则小闭区域外,这种小闭区域都是柱体.考虑由r ,θ,z 各取得微小增量dr ,θd ,dz 所成的柱体的体积(如图10.3.7).这个体积等于高和底面积的乘积.现在高为dz 、底面积在不计高阶无穷小时为θrdrd (即极坐标系中的面积元素),于是得dz rdrd dv θ=，这就是柱面坐标系中的体积元素.图10.3.7再注意到关系式(10.3.2),就得到三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式第10章重积分 300300(10.3.3).设空间区域Ω在xoy 面上的投影区域}),()(),{(21βθαθϕθϕθ≤≤≤≤=r r D ，空间区域Ω}),(),,(),(),,{(21D r r z z r z z r ∈≤≤=θθθθ 则柱坐标系下的三重积分化为三次积分为：dz rdrd z r r f θθθ⎰⎰⎰Ω),sin ,cos (⎰⎰⎰=),(),()()(2121),sin ,cos (θθθϕθϕβαθθθr z r z dz z r r f rdrd例10.3.4 计算三重积分⎰⎰⎰Ωv z d ，其中Ω是由圆锥面z =、圆柱面222x y x +=与平面0z =所围成的闭区域.解积分区域Ω在xoy 平面上的投影区域(如图10.3.8)，}2),{(22x y x y x D ≤+=,并且0z ≤≤图10.3.8于是，}22,cos 20,0),,{(πθπθθ≤≤-≤≤≤≤=Ωr r z z r . 43d 0cos 2022πθθθππ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-ΩΩrzdz rdr d dz drd zr v z . 例10.3.5 计算三重积分⎰⎰⎰Ω++221d d d yx z y x ,其中Ω是由抛物面z y x 422=+及平面)0(>=h h z 所围成的闭区域.解在柱坐标系下积分区域Ω表示为 (如图10.3.9)}20,20,),,{(2πθθ≤≤≤≤≤≤=Ωh r h z z r r20y=图10.3.92 利用球坐标系计算三重积分除直角坐标系、柱坐标系之外,空间点还可以用球坐标系表示.设),,(z y x M 为空间直角坐标系中一点,此点在xoy 面上投影点为)0,,(y x P ，用r 表示点M 到原点o 的距离,θ表示x 轴正向按逆时针到向量OP 的转角, ϕ表示z 轴正向与向量OM 的夹角,则坐标),,(ϕθr 称为点M 的球坐标(如图10.3.10).这里r ,θ,ϕ的变化范围为0r ≤<+∞,02θπ≤≤,πϕ≤≤0点M 的球坐标),,(ϕθr 与直角坐标),,(z y x 的关系：sin cos sin sin cos x r y r z r ϕθϕθϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩(10.3.4)图10.3.10在球坐标系下,r =常数，表示中心在原点的球面；θ=常数,表示过z 轴的半平面；ϕ=常数,表示原点为顶点,z 轴为中心轴的圆锥面.第10章重积分 302302为了把三重积分中的变量从直角坐标系变换为球面坐标,设),,(z y x f 定义在空间有界闭区域Ω上的连续函数，用r =常数,θ=常数,ϕ=常数,分割空间区域Ω,考虑由r ,θ,ϕ各取得微小增量dr ,θd ,ϕd 所成的六面体的体积(如图10.3.11).不计高阶无穷小,可把这个六面体看作长方体,其经线方向的长为ϕrd ,纬线方向的宽为θϕd r sin ,向径方向的高为dr ,于是得ϕθϕd drd r dv sin 2=.这就是球面坐标系中的体积元素.图10.3.11再注意到关系式(10.3.4),就得到三重积分的变量从直角坐标变换为球面坐标的公式(10.3.5).要计算变量变换为球面坐标后的三重积分,可把它化为对r 、对θ及对ϕ的三次积分. 例10.3.6计算三重积分⎰⎰⎰Ω++z d y d x d z y x )(222,其中Ω是由圆锥面z =与球面z =.高等数学 303解在球坐标系下,圆锥面z =的方程为4πϕ=,球面z =32=z .如图10.3.12所示，Ω表示为图10.3.12Ω),,{(θϕr =0r ≤≤02θπ≤≤，04πϕ≤≤}于是⎰⎰⎰Ω++z d y d x d z y x)(222⎰⎰⎰Ω⋅=ϕθϕd d r d r rsin 22⎰=πθ20d ⎰40d sin πϕϕ⎰3204d r r)22(53288-=π. 习题 10.31.化三重积分⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(为三次积分，其中积分区域Ω分别是：(1) 由曲面22y x z +=及平面1=z 所围成的闭区域；(2) 由圆柱面122=+y x 及平面1=z ,0=z ,0=x ,0=y 所围成的位于第一卦限内的闭区域.2.计算三重积分,zdxdydz Ω⎰⎰⎰其中积分区域Ω是由三个坐标面及平面1=++z y x 所围成的闭区域.3.利用柱面坐标计算下列积分.(1) ⎰⎰⎰Ω+dv y x )(222,其中Ω是由圆柱体122=+y x 、0=z 及3=z 所围成的闭区域.(2) ⎰⎰⎰Ω+dxdydz y x 22,其中Ω是由曲面229z x y =--与0z =所围成的闭区域；(3)⎰⎰⎰Ωdxdydz x 2,其中Ω是由曲面221z x y =+=与0z =所围成的闭区域.第10章重积分 3043044.利用球面坐标计算下列积分.(1) 2,y dxdydz Ω⎰⎰⎰其中积分区域Ω为介于两球面2222x y z a ++=与2222x y z b ++=之间的部分()0a b ≤≤；(2) 22(),x y dxdydz Ω+⎰⎰⎰其中积分区域Ω是由曲面z与z 所围成的闭区域.5.选用适当的坐标计算下列三次积分.(1) 11310;dx dz -⎰(2) 1;dx ⎰6.一个物体由旋转抛物面22y x z +=及平面1=z 所围成,已知其任一点处的密度ρ与到z 轴距离成正比,求其质量m .10.4 重积分的应用我们曾用元素法讨论了定积分的应用问题，该方法也可以推广到重积分的应用中．假设所求量U 对区域D 具有可加性，即当区域D 分成若干小区域时，量U 相应地分成许多部分量，且量U 等于所有部分量之和．在D 内任取一直径很小的小区域σd ，设),(y x 是σd 上任一点，如果与σd 相应的部分量可以近似地表示为σd ),(y x f 的形式，那么所求量U 就可用二重积分表示为⎰⎰=Dy x f U σd ),(，其中σd ),(y x f 称为所求量U 的元素或微元，记为U d ，即σd ),(d y x f U =．10.4.1 立体体积和平面图形的面积设一立体Ω，它在xOy 面上的投影为有界闭区域D ，上顶与下底分别为连续曲面),(2y x z z =与),(1y x z z =，侧面是以D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面，求此立体的体积V (如图10.4.1)．在区域D 内任取一直径很小的小区域σd ，设),(y x 是σd 图 10.4.1上任一点，以σd 的边界曲线为准线作母线平行于z 轴的柱面，截立体得一个小柱形(如图10.4.1)，因为σd 的直径很小，且),(2y x z z =，),(1y x z z =在D 上连续，所以可用高为-=),(2y x z z ),(1y x z z =，底为σd 的小平顶柱体的体积作为小柱形体积的近似值，得体积元素为σd )],(),([d 12y x z y x z V -=将体积元素在D 上积分，即得立体的体积例10.4.1 求由曲面22y x z +=及222y x z --=所围成的立体的体积．解如图10.4.2所示，立体的上顶曲面是222y x z --=，下底曲面是22y x z +=，在x Oy 面上的投影区域D 的边界曲线方程为122=+y x ，它是上顶曲面和下底曲面的交线在xOy 面上的投影，是从22y x z +=与222y x z --=中消去z 而得出的．利用极坐标，可得σσd )](1[2d ])()2[(222222y x y x y x V DD+-=+---=⎰⎰⎰⎰ππθπ=-⋅⋅=-=⎰⎰10422 010 2]42[22d )1(d 2r r r r r ．图10.4.2 图10.4.3例10.4.2 求曲线θsin 2=r 与直线6πθ=及3πθ=围成平面图形的面积(如图10.4.3)．306解设所求图形的面积为A ，所占区域为D ，则⎰⎰=DA σd ．利用极坐标可将区域D 表示为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤θπθπsin 2036r ，于是⎰⎰⎰⎰⎰===3 6 sin 202sin 2 036 d 21d d d ππθθππθθσr r r A D6d )2cos 1(d sin 23 63 6 2πθθθθππππ=-==⎰⎰．10.4.2 曲面面积假设曲面S 的方程为),(y x f z =，S 在xOy 面上的投影是有界闭区域xy D ，函数),(y x f 在xy D 上具有连续偏导数，求曲面S 的面积A ．在闭区域xy D 内任取一直径很小的小区域σd ，设),(y x p 是σd 内任一点，则曲面S 上的对应点为)),(,,(y x f y x M ．过点M 作曲面S 的切平面T ，并以小区域σd 的边界曲线为准线，作母线平行于z 轴的柱面，它在曲面S 和切平面T 上分别截得小块曲面A ∆和小块切平面A d (如图10.4.4)．显然，A ∆与A d 在xOy 面上的投影都是σd ，因为σd 的直径很小，所以小块曲面的面积就可以用小块切平面的面积近似代替，即有≈∆A A d ，从而A d 为曲面S 的面积元素．图10.4.4 图10.4.5设曲面S 在点M 处的法向量与z 轴正向的夹角为锐角γ，则切平面T 与xOy 面的夹角也为γ (如图10.4.5)，于是cos d d γσ⋅=A ．注意到切平面的法向量为n =}1 ),( ),({，，z y f y x f y x --，所以),(),(11cos 22y x f y x f yx++=γ，即得 σγσd ),(),(1c o s d d 22y x f y x f A y x ++==，这就是曲面S 的面积元素，在xy D 上积分得曲面S 的面积为这就是计算曲面面积的公式．如果曲面S 的方程为),(z y g x =或),(x z h y =，S 在yOz 面或zOx 面上的投影区域分别记为yz D 或zx D ．类似地，可得曲面S 的面积为例10.4.3 求球面22224a z y x =++被圆柱面ax y x 222=+截下部分的面积(如图10.4.6)．图10.4.6解利用对称性，只需求出球面在第一卦限部分的面积，再4倍即可．在第一卦限，球面方程为2224y x a z --=，投影区域xy D 为半圆形区域:0≥y ， ax y x 222≤+．3082224yx a x xz ---=∂∂，2224yx a y yz ---=∂∂，2222242)()(1yx a ay z x z --=∂∂+∂∂+，利用极坐标，得到r r ra a y x yx a a A a D xyd 42d 4d d 4242cos 2 022222⎰⎰⎰⎰-=--=πθθ⎰⎰-=--=22cos 20222d )sin 1(16d ]4[8πθπθθθar a a a)12(162-=πa ．10.4.3 平面薄片的重心由力学知道，由n 个质点构成的质点组的重心坐标为．∑∑====ni ini ii y mmx MM x 11，∑∑====ni ini ii x mmy MM y 11，其中),(i i y x 是第i 个质点的位置坐标，i m 是第i 个质点的质量，M 是n 个质点的总质量，x M 和y M 分别是质点组对x 轴和y 轴的静力矩．设有一平面薄板，它占有xOy 面上的有界闭区域D ，在点),(y x 处的面密度为),(y x ρ，且),(y x ρ在D 上连续，求薄片的重心坐标(如图10.4.7)．为求薄片的重心坐标，在区域D 上任取一直径很小的小区域σd ，设),(y x 是σd 上任一点，注意到),(y x ρ在区域D 上连续且σd 的直径很小，可知σd 上的部分质量近似等于σρd ),(y x ，从而得质量元素为d (,)d M x y ρσ=．图10.4.7。

向量场知识

向量场知识
向量场是指在空间中每个点上都有一个向量与之对应的场景。

这些向量可以表示物理量，如速度、力、磁场等，也可以表示其他抽象的概念。

以下是一些与向量场相关的知识点：
1.定义与表示：向量场可以通过函数来表示，其中函数的定
义域是空间中的每个点，而函数值是一个向量。

通常用矢量函数或矢量形式表示向量场。

2.流线与路径：流线是指向量场中一条沿着场向量的轨迹。

在流线上的任意一点，向量与切线方向一致。

路径是指沿着向量场中指定方向的轨迹，即在路径上，向量场对应方向上的向量。

3.散度：散度是衡量向量场的发散性质的度量。

它描述了向
量场流出或流入给定点周围的速率。

散度可以通过计算向量场在每个点上的微小体积元的流出或流入量来定义，并用数值表示。

4.旋度：旋度是衡量向量场旋转性质的度量。

它描述了向量
场在给定点周围的旋转程度。

旋度可以通过计算向量场在每个点上的微小环路的绕行量来定义，并用数值表示。

5.线积分：线积分是沿着曲线路径对向量场进行积分。

它可
以用于计算沿曲线的向量场的功率、质量流量等物理量。

6.高斯定理和斯托克斯定理：高斯定理和斯托克斯定理是向
量场在平面或曲面上积分的重要定理。

它们将曲面上的积分与体积分或路径积分相联系，使得计算复杂区域上的积分变得更加简化。

向量场在物理、工程、数学等领域的应用非常广泛。

它们能够描述和分析复杂的物理现象、流体力学、电磁学、热力学等问题，并为这些问题的解决提供了重要的工具和方法。

高数第十章曲线积分讲解

b ∫L f ( x, y)ds = ∫a f ( x,ψ ( x) )
1 +ψ ′2( x) dx
• 对光滑曲线弧
∫L f ( x, y)ds
β = ∫α f (r(θ )cosθ , r(θ )sinθ )
r 2(θ ) + r′2(θ ) dθ
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思考与练习
x2 y2 周长为a = 1周长为 , 求 1. 已知椭圆 L : + 4 3
证: 根据定义
= lim ∑ f (ξk ,ηk )∆sk
λ →0 k=1
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n
设各分点对应参数为点 (ξk ,ηk )对应参数为
∆sk = ∫ttk ϕ′2(t ) +ψ ′2(t ) d t k−1
′ ′ = ϕ′2(τ k ) +ψ ′2(τ k ) ∆tk ,
β = ∫α f (ϕ(t ) ,ψ (t ),ω(t ) ) ϕ′2(t ) +ψ ′2(t ) + ω′2(t ) d t
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例1. 计算
其中 L 是抛物线
上点 O (0,0)
与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解: QL : y = x2 ( 0 ≤ x ≤ 1)
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2. L为球面 x2 + y2 + z2 = R2 在第一卦限与三个坐标为球面面的交线 , 求其形心 .
R L2 解: 如图所示 , 交线长度为 L3 l = 3∫ L ds = 3 ⋅ 2π R = 3π R R o 1 2 4 y 由对称性 , 形心坐标为 R L1 x 1 z = y = x = ∫ L + L + L x ds l 1 2 3 2 1 = [ ∫ L x ds + ∫ L x ds + ∫ L x ds ]= ∫ L x ds 2 3 l 1 l 1

向量函数的定积分与变限积分

向量函数的定积分与变限积分在微积分学中，向量函数的积分是一个非常重要的概念。

它不仅能够应用于物理学、工程学等自然科学领域，还可以用于经济学、统计学等社会科学领域。

其中较为常见的形式有定积分和变限积分两种。

它们不仅有着不同的表达方式，而且其应用和性质也不尽相同。

一、向量函数的定积分向量函数的定积分是指将一个向量函数沿着一段固定的曲线上的积分。

如果我们将向量函数f（t）表示为一个向量值函数，那么其定积分可以用如下的形式来表达：∫ab f（t）·ds其中，a、b是曲线上任意两个点，而s是从a到b的弧长参数。

这里需要注意的是，积分结果是一个向量，其大小和方向都与弧长的路径有关。

现在我们以一个简单的例子来说明一下这种向量函数的定积分。

假设有一个向量函数f（t）= (cos t, sin t)与一条圆周曲线C：x^2+y^2=1相对应。

其在曲线上的定积分可以写为：∫C f（t）·ds = ∫0^2π (cos t, sin t)·(dx,dy)= ∫0^2π cos t dx + sin t dy= 0这里可以看出，其中的积分结果是一个标量，因为对于这个圆周曲线，从起点到终点的弧长为零。

二、向量函数的变限积分向量函数的变限积分是指将一个向量函数沿着一段曲线段上的积分。

如果我们将向量函数f（t）表示为一个向量值函数，那么其变限积分可以用如下的形式来表达：∫p q f（t）·dr其中，p、q是曲线上任意两个点，而r是从p到q的位移向量。

这里需要注意的是，积分结果是一个向量，其大小和方向都与位移的路径有关。

现在我们以一个简单的例子来说明一下这种向量函数的变限积分。

假设有一个向量函数f（x, y）= (x^2y, xy^2)与一条线段L: y=x, 0≤x≤1相对应。

其在曲线上的变限积分可以写为：∫L f（x, y）·dr = ∫0^1 (x^2y, xy^2)·(dx, dx)= ∫0^1 x^2y dx + xy^2 dx= 1/12这里可以看出，其中的积分结果是一个向量，其大小和方向都与从起点走到终点的路径有关。

高等数学下册第十章课件.ppt

则
(2) 若D为Y -型区域
则
说明:
即先对y后对x积分
即先对x后对y积分
第二节直角坐标系中二重积分的计算
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
则有
(4) 若积分域较复杂,可将它分成若干
X-型域或Y-型域 ,
则
(3) 若积分区域既是X-型区域又是Y -型区域
第二节直角坐标系中二重积分的计算
记作
第五节三重积分（一）
利用直角坐标计算三重积分
方法1 投影法 (“先一后二” )
如图，
第五节三重积分（一）
划分：
记作
第五节三重积分（一）
化为三次积分
区域
方法2 截面法 (“先二后一”)
第五节三重积分（一）
记作
于是
注：方法一和方法二的可看作由上下两个曲面所围成.即平行于z轴且穿过内部的直线与的边界曲面相交不多于两点.
直角坐标系
柱面坐标系
球面坐标系
说明:
三重积分类似于二重积分也可以利用对称性计算.
变量可分离.
围成 ;
第六节三重积分（二）
例求
解原式
第六节三重积分（二）
几种的图形
第六节三重积分（二）
三重积分的应用 1.物体的质心
设物体占有空间域 ,
有连续密度函数
则
设空间有n个质点,
其质量分别
例计算
其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
y＝x 所围的闭区域.
解法1 将D看作X-型区域, 则
解法2 将D看作Y-型区域, 则
第二节直角坐标系中二重积分的计算
例计算
其中D 是抛物线

向量值函数的积分学知识总结

向量值函数的积分学知识总结向量值函数的积分学涉及到对向量值函数在某个区间上的积分计算。

下面是向量值函数的积分学的一些关键概念和知识总结：1. 定义：向量值函数是将一个或多个自变量映射到一个向量的函数。

通常表示为r(t) = ⟨f(t), g(t), h(t)⟨，其中f(t)，g(t)，h(t)分别表示函数在每个自变量上的分量。

2. 积分符号：向量值函数的积分通常用∫r(t) dt表示，其中r(t)表示被积函数，dt表示积分变量。

3. 曲线积分：曲线积分是指将向量值函数沿着曲线路径的积分。

它可以分为第一类曲线积分和第二类曲线积分。

●第一类曲线积分：也称为线积分，表示将向量值函数沿曲线的长度进行积分。

它可以用∫r(t)·dr来表示，其中·表示点乘，dr表示路径的微小位移。

●第二类曲线积分：也称为曲面积分，表示将向量值函数沿曲线的方向进行积分。

它可以用∫r(t)·n ds来表示，其中·表示点乘，n表示曲线的法向量，ds表示曲线上的微小位移。

4. 曲线参数化：曲线积分需要对曲线进行参数化，将曲线上的点表示为参数t的函数。

常见的参数化方式有向量参数化和标量参数化。

●向量参数化：向量参数化将曲线上的点表示为向量函数r(t) = ⟨x(t), y(t), z(t)⟨，其中x(t)，y(t)，z(t)为参数方程。

●标量参数化：标量参数化将曲线上的点表示为两个标量函数x(t)和y(t)的组合，即x = x(t)，y = y(t)。

5. 曲线的方向：曲线积分的结果受到曲线的方向影响。

对于有向曲线，可以通过指定参数的取值范围来确定曲线的方向。

6. 计算方法：曲线积分的计算方法有多种，常用的有参数法和直接计算法。

●参数法：通过将曲线参数化为一个变量的函数，将曲线积分转化为一个变量的定积分来求解。

●直接计算法：对于简单的曲线，可以直接计算积分的表达式，然后进行求解。

7. Green公式和Stokes公式：Green公式和Stokes公式是曲线积分与曲面积分之间的重要关系。

高数第十章知识点总结

高数第十章知识点总结
高数第十章主要涉及以下几个知识点：
1.平面曲线的切线和法线：
- 给定曲线的方程，求某点处的切线和法线的方程
- 求切线和法线的交点
- 利用切线和法线求解相关的几何问题
2.曲率与曲率半径：
- 计算曲线在某一点的曲率
- 求曲线的曲率半径
- 利用曲率和曲率半径解决问题，如判断曲线的凹凸性、确定曲线的渐近线等
3.参数方程与极坐标：
- 利用参数方程描述平面上的曲线
- 求参数方程的切线和法线
- 利用极坐标描述平面上的曲线
- 求极坐标曲线的切线和法线
4.空间曲线：
- 求空间曲线的切线和法平面
- 求空间曲线在某点的曲率和曲率半径
- 利用曲率和曲率半径解决空间曲线的运动问题
5.空间曲面：
- 利用方程求解空间曲面的切平面和法线方程
- 求曲面上某点的法向量、法线方程和曲率
- 利用曲率解决曲面上的问题，如判断曲面的性质、求曲面的渐近线等
以上是高数第十章的主要知识点，学习这些知识点可以帮助我们了解平面和空间曲线的性质及其相关应用。

希望对你有所帮助！。

同济大学(高等数学)_第十章_重积分

D
f (x, y)d
D
n
lim f ( 0i 1
i,
i )Δ
i，
(10-1-1)
其中 D 叫做积分区域， f ( x , y ) 叫做被积函数， dσ叫做面积元素， f (x , y)dσ叫做被积表达
n
式， x 与 y 叫做积分变量，
f ( ξi ,ηi )Δσi 叫做积分和 .
i1
在直角坐标系中，我们常用平行于 x 轴和 y 轴的直线 ( y =常数和 x =常数 )把区域 D 分割成
小矩形，它的边长是 x 和 Δy ，从而 Δσ Δx Δy ，因此在直角坐标系中的面积元素可写成
d dx dy ，二重积分也可记作
n
f (x, y)dxdy lim 0
f ( i, i ) i .
D
i1
有了二重积分的定义，前面的体积和质量都可以用二重积分来表示
数 z f (x , y ) 在区域 D 上的二重积分
x
2
yd
，D
{ x， y |x 2
y2
D
a2} ；
(2)
a2
x2
y2 d ， D
2
{ x，y | x
2
y
2
a }.
D
3.设 f x , y 为连续函数，求
lim
r0
1 πr 2
D
f ( x, y)d
,
2
2
D { x,y | x x0
y y0
4.根据二重积分性质，估计下列积分的值：
(1) I
4 + xyd ， D { x， y | 0 x 2，0 y 2} ；
性质 2
kf ( x, y)d k f (x, y)d .

高等数学向量值函数的积分

接续【例8-3】
解：由已知，L的方程为
z 3 z 4 x2 y2
消去z得
x2 y2 1 z 3
可设L的参数方程为：x=cost，y=sint，z=3( 0 t 2 ),
所以
I 2 [cos2 t sin3 t(sin t) 3cos t 0]dt 0
2 sin4 t(1 sin2 t)dt 3
L f ( x, y)dx g( x, y)dy O
x
L g( x0 , y)dy
（图8-2）
【例8-3】计算曲线积分 I
x2 y3dx zdy L
ydz,
其中L
是抛物面 z 4 x2 y2 与平面 z=3的交线，从 z 轴正向往
负向看，其方向为逆时针．这里积分号 L 表示沿闭合
曲线L积分．
1.格林公式 2.平面曲线积分与路径无关的条件 3.原函数与全微分方程
1.格林公式格林公式，可以看做一般的斯托克斯公式的特例，
也可以看做牛顿-莱布尼茨公式的推广。而一般形式的斯托克斯公式，也被称为整个微积分学的基本定理。牛顿莱布尼茨公式，仅仅是一元微积分学的基本定理。
解释和证明一般形式的斯多克斯公式属于高级微积分学，需要较多的其它方面的数学知识。
由于原方程是全微分方程所以有方程通解为两边对x积分得所以由此得dydzdzdxdxdy1考察向量积各个分量的几何意义根据向量积的代数表示有设有z型曲面考虑如下定义和表示的向量即所由行列式的几何意义下面三个行列式恰好就是以为邻边的平行四边形在三个坐标平面上投影所得平行四边形的面积有向即可正可负
第八章向量值函数的曲线与曲面积分
＝L F ( x, y, z) •ds
（5）
这个关系也提供了计算第二型曲线积分的主要方法。

高数(同济第六版)第十章总结

a φ 1 (x) Z1(x,y) dx dy f b φ 2 (x) Z2(x,y)
Z2(x,y) 如： xdxdydz，其中Ω为 x+y+z=1 与三个坐标面所围成的图
形，如图， z 的范围由 z=0 到 z=1-x-y 内，在 xoy 面得到一个投影，写成 X-型即 0≤x≤ 1 0≤y≤ x ，所以有：
可确定。
3、利用极坐标： ①思想，用 x=ρcosθ y=ρsinθ，代换成比原积
分易于（是指对θ较敏感的那些 D 和 f 如： x 2 + y 2 = a）积分，且关于ρ、θ的积分 ②
D
f x, y d δ =
D
f ρcosθ, ρsinθ ρdρ dθ
[其中ρ为 Jacobi 式的绝对值得出： J(ρ, θ)= xρ = y ∂ （ρ ,θ ） ρ
f x, y, z dV =
1 x dx 0 0
dy
1−x −y 0
xdz
3、截面法：以平行与 xoy 的面为例： 4、利用柱面坐标：中心思想，将其化作： x=ρcosθ y=ρsinθ z=z 如：计算三重积分 zdV ，其中 Ω 是由曲面 z = x 2 + y 2 与平面 z=4 所围成的
第十章
第一节二重积分的概念与性质 1、黎曼积分法四部得到
重积分
满足极限性质
2、中值定理：m≤ 第二节
1 δ D
f(x, y)d δ ≤M
二重积分计算法
D
1、积分思想：将二重积分化为二范围中的表示为显函数形式次序几分 ②如：先将 D 表示为 X-型 a≤x≤b φ1 (x) ≤y≤ φ2 (x) 则
∂ （x,y ）

矢量场的数学讲解

矢量场的数学§1 矢量场的微分运算一、矢量代数和函数微分运算矢量有大小和方向，且满足矢量运算的法则。

矢量代数运算的几个结果①=⋅B A标量②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---==⨯k B A B A jB A B A iB A B A B B B A A A kjix y y x x z x z y z z y z yx z yx ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆˆˆB A③0A A =⨯④0)B A (A =⨯⋅⑤）（）B A )(C B (A⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅C A C B⑥）（）（）B A C C A B C B (A⋅-⋅=⨯⨯多元函数微分运算的两个公式z)y,f(x,-z)z y,y x,f(x z)y,f(x,∆+∆+∆+=∆， ⑦ 0)z y,,x ( z,z fy y f x x f z)y,f(x ,→∆∆∆∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂=∆偏导数含义：看作常数将为变量仅以z y dxdf x f x ,,x ,=∂∂。

⑧ x y fy x f 22∂∂∂=∂∂∂ ，ABCC B ⨯θ二、标量场和矢量场什么是场指在空间连续分布的某种客体。

标量场z)y,T(x,：指每一点由一个标量给定的那种空间分布的客体。

等值面(线)矢量场z)y,(x ,f：指每一点由一个矢量给定的那种空间分布的客体。

如电场、磁场、电流场、速度矢量场),,(z y x v 等。

矢量场的场线标量场和矢量场随时间的变化 t)z,y,T(x, t)z,y,(x ,f（tT ∂∂，t f ∂∂ ）或（22t T ∂∂，22t f∂∂ ）标量场和矢量场随空间的变化某点的场与相邻点的场之间的关系三、标量场对空间的一阶微商——梯度标量场),,(z y x T 对空间的微商标量场T 在场点P 随空间的变化与方向有关，沿不同方向T 对空间距离的微商不相同。

证明T 的三个分量微商构成一个矢量两个无限靠近的场点P 1和P 2， P 1坐标为)z ,y ,x (，P 2坐标为)z z ,y y ,x x (∆+∆+∆+，)z ∆连接P 1P 2的矢量为k ˆz j ˆy i ˆx r ∆+∆+∆=∆ ，标量场T 在P 1P 2两点的函数差)T(P -)T(P T 12=∆，是一个标量。

高等数学第十章曲线积分与曲面积分第二节对坐标的曲线积分

取极限
nห้องสมุดไป่ตู้
记 λ = max{si }
1≤ i ≤ n
精确值
W = lim ∑ [ P (ξ i ,η i ) x i + Q (ξ i ,η i ) y i ].
λ →0
i =1
在变力作功问题中,质点从点 A沿曲线 L移动到点 B与从点 B沿曲线 L移动到点 A,其效果不一样,因此需要给路径 L定向.
∑ P (ξ ,η )x 的极限存在 ,
i =1 i i i
n
则称此极限为函数
P ( x , y )在有向曲线弧 L上对坐标 x的曲线积分或称第二类曲线积分 , 记作
P ( x , y )dx = lim ∑ P (ξ i ,η i )x i .
λ →0
i =1 n
∫
L
类似地定义
∫ Q( x , y )dy = lim ∑ Q(ξ ,η )y . λ
-2 0 -1 1 2 -2 -1 0 1 2
参数曲线
x = x ( t ), L:y = y ( t ), t : α → β z = z ( t ),
10
5
0
t增加的方向为正向
(规定参数增加或减少的方向为正向 ) 不自交不封闭曲线 L 规定其起点与终点: A A B B 记为 LAB 或 LBA .
A
M2 M1
M i 1xi
yi
M i M n 1
x o , M n1 ( x n1 , y n1 ), M n = B .
M i 1 M i = ( x i )i + ( y i ) j .
近似
取 F (ξ i ,η i ) = P (ξ i ,η i )i + Q (ξ i ,η i ) j ,

向量值函数积分学共18页文档

向量值函数积分学
怎样思想，就有怎样的生活
向量值函数的积分
本章内容
第一节向量值函数的概念与性质；第二节第二类曲线积分的概念与计算；第三节格林公式及其应用第四节第二类曲面积分的概念与计算；第五节高斯公式与斯托克斯公式；
第十章第一节向量值函数的概念与性质
本节主要内容
一、一元向量值函数的概念二、一元向量值函数的导数与积分三、多元向量值函数
u ( u vv ) uu 11 (v x 1 )vu 11 (v x 1 ) u 2 u v 2 2 (x u )2 v v 2 2( x)u , v u v
3、一元向量值函数导数的物理意义与几何意义
r ( t ) x ( t ) i y ( t ) j z ( t ) k
从几何上看，当dr 0时， dt tt0
( 1 ) l i m f ( x ) { l i m P ( x ) , l i m Q ( x ) , l i m R ( x ) } ;
x d f x 0 d x P d x 0 Q d x x 0 R dd P x d x 0 Q R ( 2 )ijk {, , };
dd xx dx dx dd x d xx
dx dxdxdx
例 f ( t ) t ： i t 2 j t 3 k . 设
则有： l i m f ( t ) l i m t i t 2 j t 3 k 2 i 4 j 8 k t 2 t 2
d d t f(t) d d tti t2 j t3 k i 2 tj 3 t2 k
位r 移 r ( t t 向 ) r ( t),量
dr是质点运动的速，度向量
dt
dr (x(t))2 (y(t))2 (z(t))2是速度的大小，

向量场的微分运算

∇
×
vv
⋅
nv
环量面密度是一个与方向nv 有关的量
当 nv与∇ × vv 的方向相同时，环量面密度最大
环量面密度反映了向量场环绕 nv 的旋转强度
2009-4-3
13
定义： (向量场的旋度 )
设有向量场 vv = X(x,
y,
v z)i
+
Y
( x,
y,
z)
v j
+
Z(
x,
y,
r z)k
它在点 M 处的旋度是一个向量 , 其方向是使
2009-4-3
•M S
5
∫∫ vv ⋅ d Sv 称为向量场 vv在 Ω内的
S
VΩ
平均散度 .
lim
∫∫
S
vv
⋅
v dS
=
div
vv
Ω→M
V
称为向量场
Ω
vv
在点
M
M
处的散度
散度是向量场 vv在点 M处通量
对体积的变化率
2009-4-3
6
1
散度的计算：
应用高斯公式
∫∫
vv
⋅
v dS
=
∫∫∫
∇
⋅
vvdv
旋度场与旋度算子?v设连续可微的向量场vxyzxxyzviyxyzvjzxyzkv向量场v的旋度?vv?v?xi?v?yj??zkvxviyvjzkv?z?y??yv?x?zi?z??zv?y?xj?x??xv?krotvvy旋度场200943向量场10向量场的环流量第二型曲线积分vvlv?dl称为向量场vv沿曲线l的环流量设m为空间一定点nv为单位向量过点m以nv为法向量作平面nv圆盘上的平均环量为lvv?dvlrr2?mvvlr环量面密度limlv?dlr200943r0r2122vvxxyzviyxyzvjzxyzkr是连续可微向量场应用stokes公式vv?dvl?vv?nvds得到vlimlv?dvlr?v?nv?ssr0r2v环量面密度是一个与方向nv有关的量当nv与?vv的方向相同时环量面密度最大环量面密度反映了向量场环绕nv的旋转强度20094313例刚体以角速度vkv绕z轴旋转

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例如，求 E ( M )
解：P ( x, y , z ) Q ( x, y , z ) R ( x, y , z )
3 r的向量线。 4 0 r q
q x ( x2 y 2 z 2 ) y
3 2
4 0 q 4 0 q 4 0
( x2 y 2 z 2 ) z
i 1 i 1
取极限：令 d max {si } ，则力场 F 所作的功为
1 i n
W lim F ( i , i , i ) [siT ( i , i , i )].
d 0 i 1
n
二、第二型曲线积分的定义
设曲线 C 是向量场 A( x , y , z ) 所在空间中一条以 A
C
A ds
C
Ads 。
7．2 第二型曲线积分的计算
定理设有向光滑曲线弧 C 的参数方程为 x x ( t ), y y ( t ),
z z (t ) ，曲线 C 的起点 A 对应，终点 B 对应， t t
当 t 单调地由变到时，动点 M ( x , y , z ) 描出由点 A 到点 B 的曲线弧 C。
B(0, b)
x
解：（1）椭圆
x2 a
2

y2 b
2
1 的参数方程为
3 x acost ，且起点 A t 0 ，终点 Bt ， 2 y bsint
∴ ⌒ xdy ydx AB 0
C C
{ P[ x ( t ), y ( t )]x ( t ) Q[ x ( t ), y ( t )] y ( t )}dt 。 ②

（2）若平面曲线 C 的直角坐标方程为 y y ( x ) ，
起点 A x a ，终点 B x b ，则有
C
A( x, y) ds Pdx Qdy
例 3．计算曲线积分 xdy ydx ，其中积分路径为
C
（1）在椭圆 2 2 1 上，从 A(a ,0 ) 经第一、二、三 a b 象限到点 B ( 0, b ) ；
b y x b 上，从点 A(a ,0 ) 到点B ( 0, b ) 。（2）在直线 a
x2
y2
y
o
A(a ,0)
C
A( x , y , z )T ( x , y , z )ds
n
lim A( i ,i , i )T ( i ,i , i )si .
d 0 i 1
C
可以证明，当 A( x , y , z ) 在有向光滑曲线 C 上连续时， A( x , y , z ) T ( x , y , z )ds 必存在。
Ai 1 Ai 的长度记为si 。
⌒
⌒
近似： M i ( i , i , i ) Ai 1 Ai ，则质点沿曲线 C 从
⌒
点 Ai 1 移动到 Ai 时，力场 F 所作的功的近似值 Wi Fi [siTi ] F ( i , i , i ) [si T ( i , i , i )]
引例中力场F 所作的功可以表示为 W F ( x , y , z ) T ( x , y , z )ds 。
C
设 A( x , y , z ) P ( x , y , z )i Q( x , y , z ) j R( x , y , z )k ，
解法 1：将所给积分化为对 x 的定积分来计算。解法 2：将所给积分化为对 y 的定积分来计算。 ⌒ ⌒ y x ，需分段，C=AO+OB， y B(1, 1) 2 y y B(1, 1) C： x y ，： 11 。 ⌒ y2 x x AO： y x ，：1 0 ； y2 x
P ( x , y , z )dx Q ( x , y , z )dy R( x , y , z )dz
C
上式是第二型曲线积分的坐标形式，因此第二型曲线积分也叫做对坐标的曲线积分。
C
通常将Tds 记为 ds ，即 ds {dx, dy, dz} ，
ds 称为弧长向量微元。
又设向量值函数 A( x , y , z ) { P ( x , y , z ), Q( x , y , z ), R( x , y , z )}
在 C 上连续，则
C C { P[ x(t ), y(t ), z(t )]x(t ) Q[ x(t ), y(t ), z(t )] y(t )
∵T 1 {dx, dy, dz} {dx, dy, dz} ， ds (dx) 2 (dy) 2 (dz) 2 1
∴ A Tds A {dx, dy, dz} Pdx Qdy Rdz 。 ∴ A( x , y , z )T ( x , y , z )ds
其中 Ti T ( i , i , i ) 是质点在点 Mi 处沿曲线 C
的单位切线向量。
力场 F 求和：质点沿曲线 C 从点 A 移动到 B 时，
所作的功的近似值 n n W Wi F ( i , i , i ) [siT ( i , i , i )]
AOB( x y)dx( x y)dy

AO
y
B(0, 1)
( x y)dx( x y)dy

0
OB
( x y)dx( x y)dy
o
A(1,0)
1
x
1 1 xdx ( y )dy 1. 1 0 2 2
从例 2 看出，虽然沿不同路径，但曲线积分值可以相等。
C
b a
{ P[ x, y( x )] Q[ x, y( x )] y( x )}dx
③
公式①②③中定积分的下限、上限分别为对应于有向曲线弧 C 的起点、终点的参数值，下限不一定小于上限。
例 1．计算 xydx ，其中 C 为抛物线 y 2 x 上从
C
点 A(1, 1) 到点 B (1, 1) 的一段弧。
第七章向量函数的积分
第1节场的概念
场：某种物理量在空间（平面）区域内的一种分布。
按照该物理量是数量还是向量，将场称为数量
场与向量场。场量在区域（场域）内的分布可以用定义在该区域内的一个函数来描述，给定了一个函数（场函数)就相当于给定了一个场。 u(M ) u( x, y, z) M ( x, y, z) 数量场：
R[ x(t ), y(t ), z(t )]z(t )]}dt
①
A( x, y, z )ds Pdx Qdy Rdz
注:
（1）当 C 是平面曲线，其参数方程为 x x ( t ), y y ( t ) 时，则有 A( x , y ) ds Pdx Qdy
1．（线性性）设 k1 , k 2 为常数，则
C
[k1A k2 B]ds k1
C
Ads k2
C
Bds.
2．（积分弧段的可加性）若曲线弧 C 由C1与 C 2 首尾相接而成，则
C
Ads
C1
Ads
C2
Ads.
3．（方向性）若C 是与 C 方向相反的有向曲线弧，则源自0o
A(1,0)
x
2[(cost sint )( sint ) (cost sint )cost ]dt
2[cos2t sin2t ]dt 1.
0
1 dy （2） AO 的方程为 y 0 ，x： 0 ， 0 ；
OB 的方程为 x 0 ，y：01 ， 0 。 dx
3 2
( x2 y 2 z 2 ) dx dy dz dx dy dz 点电荷所产生的静电场的向量线 P Q R x y z y C1 x z C2 x 因此电力线就是向量线。
3 2
第2节第二型(对坐标的)曲线积分
7.1 .2 第二型曲线积分的概念一、引例：变力沿曲线所作的功
等值面：f ( x, y, z ) C 等值线：f ( x, y) C 在数量场中：
在向量场中：向量线：任一点（x, y , z )处的切向量
与向量场F ( x, y, z )共线的曲线。 dx dy dz P ( x, y , z ) Q ( x, y , z ) R ( x, y , z )
1
例 2．计算曲线积分 ( x y )dx ( x y )dy ，路径 C 是
C
⌒ （2）折线 AOB。 y （1）圆弧 AB；
⌒ 解：（1）圆弧 AB 的参数方程为
x cos t ， y sint ； t :0 。 2
B(0, 1)
⌒ AB( x y)dx( x y)dy
为起点，B 为终点的有向光滑曲线弧。依次用分点
A A , A1 , A2 , An1 , An B ，把 C 任意分成 n 个有向
小弧段 Ai⌒Ai ( i 1,2,, n) ， Ai⌒Ai 的长度记为 si ， 1 1
令 d max { si } ， M i ( i , i , i ) Ai 1 Ai ，作和式
1 i n
⌒
i 1
A( i , i , i ) T ( i , i , i )si ，其中 T ( i , i , i ) 是
n
C 上点 M i 处相应于所给方向的单位切线向量。
如果当 d 0 时
，和式的极限总存在，则称此极限为
向量值函数 A( x , y , z ) 沿有向曲线 C 的第二型曲线积分，记作 C A( x , y , z ) T ( x , y , z )ds ，即