八年级数学最短路径问题之欧阳数创编

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灾情巡视路线的数学模型之欧阳美创编

灾情巡视路线的数学模型摘要本文是解决灾情巡视路线最佳安排方案的问题。

某县领导将带人下乡巡视灾情，打算从县城出发，视察所有乡、村后返回县城。

为确定安排巡视路线，本文将此安排问题转化为旅行售货员问题，建立了四个最优化模型解决问题。

对于问题一,建立了双目标最优化模型。

首先将问题一转化为三个售货员的最佳旅行售货员问题，得到以总路程最短和路程均衡度最小的目标函数，采用最短路径的Dijkstra算法，并用MATLAB软件编程计算，得到最优树图，然后按每块近似有相等总路程的标准将最优树分成三块，最后根据最小环路定理，得到三组巡视路程分别为208.8km、205.3km和210.5km，三组巡视的总路程达到624.6km，路程均衡度为2.47%,具体巡视路线安排见表1。

对于问题二，建立了单目标最优化模型。

首先根据条件计算可确定至少要分4组巡视，于是可将问题转化为四个售货员的最佳旅行售货员问题，采用Kruskal算法求出巡视路线的最小生成树。

再根据求最优哈密顿圈的方法，运用LINGO软件编程计算，求出了各组的最佳巡视路线。

各组巡视的路程分别为154.3km、184km、136.5km、186.4km，时间分别为22.41h、22.26h、21.90h、21.33h,时间均衡度为4.82%，具体巡视路线安排见表2。

对于问题三,建立了以最少分组数为目标函数的单目标最优化模型。

运用问题一中最短路径的Dijkstra算法，运用LINGO 软件编程计算,得到从县城到各点的最短距离，再经过计算可得到本问的最短巡视时间为6.43小时。

最后采用就近归组的搜索方法，逐步优化，最终得到最少需要分22组进行巡视，具体的巡视方案见表3。

对于问题四，建立了单目标优化模型，并且对变量进行讨论。

在分析乡（镇）停留时间T，村庄停留时间t和汽车行驶速度V的改变对最佳巡视路线的影响时，我们通过控制变量的变化，初步的得出了当T与t变化时和V变化时对最佳巡视路线的影响。

人教版数学八年级上册1最短路径问题课件示范

为两个，笔直的河在数学中抽象为一
条
.所以可以将图形抽象为：
·B
A·
l
现在的问题是:怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图）．
B A
C
l
• 问题（2）：如何将点B“移”到l的另一侧B′ 处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB 与 CB′的长度相等？
•
4.根据结构来梳理。按照情节的开端、发展、高潮和结局来划分文章层次,进而梳理情节。
•
5.根据场景来梳理。一般一个场景可以梳理为一个情节。小说中的场景就是不同时间人物活动的场所。
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6.根据线索来梳理。抓住线索是把握小说故事发展的关键。线索有单线和双线两种。双线一般分明线和暗线。高考考查的小说往往较简单,线索也一般是单线式。
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9.自信让我们充满激情。有了自信，我们才能怀着坚定的信心和希望，开始伟大而光荣的事业。自信的人有勇气交往与表达，有信心尝试与坚持，能够展现优势与才华，激发潜能与活力，获得更多的实践机会与创造可能。
感谢观看，欢迎指导！
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7.阅历之所以会对读书所得产生深浅有别的影响，原因在于阅读并非是对作品的简单再现，而是一个积极主动的再创造过程，人生的经历与生活的经验都会参与进来。
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8.少年时阅历不够丰富，洞察力、理解力有所欠缺，所以在读书时往往容易只看其中一点或几点，对书中蕴含的丰富意义难以全面把握。

《最短路径问题》八年级上册PPT课件(第13.4课时)

即：AC’+BC’ >AC+BC
A·
C C’
B ·
l
B’
探究
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
A
B
探究
A
如图假定任选位置造桥ＭＮ，连接ＡＭ和ＢＮ，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？之间修要修一条公路，怎样设计才能最省材料？（大同-朔州）
转化
解决
实际问题
数学问题
实际问题
测试
如图，从A点到B点有三条线路，哪条最短？为什么？
回顾与思考
点到线：垂线段最短
村
河
练习2：从河边引水到村庄里，怎样铺设管道才能最省材料？
思考
如图，点A是直线 l 外一点，点A到直线的所有线路中，最短的是？为什么？
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第13章轴对称
感谢各位的仔细聆听
人教版数学（初中）（八年级上）
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第13章轴对称
13.4 最短路径问题
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最短路径问题总动员(含答案)欧阳引擎

最短路径问题专题练习欧阳引擎（2021.01.01）1. 如图，长方体中，，，，一蚂蚁从点出发，沿长方体表面爬到点处觅食，则蚂蚁所行路程的最小值为A. B. C. D.2. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是，，，和是这个台阶的两个相对的端点，点有一只壁虎，它想到点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从点出发，沿着台阶面爬到点，至少需爬A. B. C. D.3. 如图，个边长为的小正方形及其部分对角线所构成的图形中，如果从点到点只能沿图中的线段走，那么从点到点的最短距离的走法共有A. 种B. 种C. 种D. 种4. 如图所示，圆柱的底面周长为，是底面圆的直径，高，点是母线上一点且．一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短距离是A. B. C. D.5. 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，，，和是这个台阶两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程是．A. B. C. D.6. 如图，已知，，，要在长方体上系一根绳子连接，绳子与交于点，当所用绳子最短时，绳子的长为A. B. C. D.7. 已知蚂蚁从长、宽都是，高是的长方形纸箱的点沿纸箱爬到点，那么它所行的最短路线的长是A. B. C. D.8. 如图所示，一圆柱高，底面半径长，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程（取）是A. B. C. D. 无法确定9. 如图圆柱底面半径为 cm，高为 cm，点，分别是圆柱两底面圆周上的点，且，在同一母线上，用一棉线从顶着圆柱侧面绕圈到，则棉线最短为A. cmB. cmC. cmD.cm10. 如图，点为正方体左侧面的中心，点是正方体的一个顶点，正方体的棱长为，一蚂蚁从点沿其表面爬到点的最短路程是A. B. C. D.11. 如图所示是一棱长为的正方体，把它分成个小正方体，每个小正方体的边长都是 .如果一只蚂蚁从点爬到点，那么，间的最短距离满足A. B. C. D.或12. 如图所示，圆柱形玻璃杯的高为，底面周长为，在杯内离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为A. B. C. D.13. 如图，点的正方体左侧面的中心，点是正方体的一个顶点，正方体的棱长为，一蚂蚁从点沿其表面爬到点的最短路程是A. B. C. D.14. 我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何?”，题意是如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为尺，底面周长为尺，有葛藤自点处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点处．QQ群450116225则问题中葛藤的最短长度是尺．15. 如图，已知圆柱体底面的半径为，高为，，分别是两底面的直径．若一只小虫从点出发，沿圆柱侧面爬行到点，则小虫爬行的最短路线长度是（结果保留根号）．16. 如图，圆柱形容器高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为 .17. 如图所示的正方体木块的棱长为，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②中的几何体表面从顶点爬行到顶点的最短距离为 .QQ群45011622518. 如图，长方体的底面边长分别为和，高为．如果用一根细线从点开始经过个侧面缠绕一圈到达点，那么所用细线最短需要．19. 如图，长方体的长为，宽为，高为，点距离点，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，蚂蚁爬行的最短距离是．20. 我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立在地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而到其顶，问葛藤之长几何?”题意是：如图，把枯木看做一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高是尺，底面周长为尺，有葛藤自点处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点处，则问题中的葛藤的最短的长度是尺．21. 如图，长方体的底面边长分别为和，高为，若一只蚂蚁从点开始经过个侧面爬行一圈到达点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 .22. 一只蚂蚁从长、宽都是，高是的长方体纸箱的点沿纸箱爬到点，那么它爬行的最短路线的长是．23. 如图所示是一段三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为，，，和是这段台阶两个相对的端点. 点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，设蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程为，则以为边长的正方形的面积为 .QQ群45011622524. 如图，长方体的底面边长分别为和，高为．如果用一根细线从点开始经过个侧面缠绕一圈到达点，那么所用细线最短需要；如果从点开始经过个侧面缠绕圈到达点，那么所用细线最短需要25. 在一个长为米，宽为米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽平行且大于，木块的正视图是边长为米的正方形，一只蚂蚁从点处，到达处需要走的最短路程是米（精确到米）26. 如图为一圆柱体工艺品，其底面周长为，高为，从点出发绕该工艺品侧面一周镶嵌一根装饰线到点，则该装饰线最短长为．27. 如图，一个没有上盖的圆柱盒高为，底面圆的周长为，点距离下底面，一只位于圆柱盒外表面点处的蚂蚁想爬到盒内表面对侧中点处吃东西，则蚂蚁需爬行的最短路程的长为．28. 图1 所示的正方体木块棱长为，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图 2 的几何体，一只蚂蚁沿着图 2 的几何体表面从顶点爬行到顶点的最短距离为．29. 一只蚂蚁沿棱长为的正方体表面从顶点爬到顶点，则它走过的最短路程为．30. 如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为，假若点有一蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线的中点处的食物，那么它爬行的最短路程是．31. 如图，圆锥的母线长是，底面半径是，是底面圆周上一点，从点出发绕侧面一周，再回到点的最短的路线长是．QQ群45011622532. 如图，一个正方体木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角处沿着木柜表面爬到柜角处．（1）请你在正方体木柜的表面展开图中画出蚂蚁能够最快达到目的地的可能路径；（2）当正方体木柜的棱长为时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．33. 葛藤是一种植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一个绝招，就是它绕树盘升的路线，总是沿最短路线螺旋前进的．（1）如果树的周长为，绕一圈升高，则它爬行路程是多少?（2）如果树的周长为，绕一圈爬行，则爬行一圈升高多少?如果爬行圈到达树顶，则树干多高?34. 如图所示，长方体的长为，宽为，高为，点与点之间相距，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是多少?35. 图①，图②为同一长方体房间的示意图，图③为该长方体的表面展开图．（1）已知蜘蛛在顶点处；①苍蝇在顶点处时，试在图①中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线；②苍蝇在顶点处时，图②中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板爬行的最近路线和往墙面爬行的最近路线，试通过计算判断哪条路线更近；（2）在图③中，半径为的与相切，圆心到边的距离为，蜘蛛在线段上，苍蝇在的圆周上，线段为蜘蛛爬行路线．若与相切，试求的长度的范围．QQ群45011622536. 如图，直四棱柱侧棱长为，底面是长为，宽为的长方形．一只蚂蚁从顶点出发沿棱柱的表面爬到顶点．求：（1）蚂蚁经过的最短路程；（2）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程．37. 如图，观察图形解答下面的问题：（1）此图形的名称为．（2）请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它沿剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是一个．（3）如果点是的中点，在处有一只蜗牛，在处恰好有蜗牛想吃的食品，但它又不能直接沿爬到处，只能沿此立体图形的表面爬行．你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗?（4）的长为，侧面展开图的圆心角为，请你求出蜗牛爬行的最短路程．38. 如图，一只虫子从圆柱上点处绕圆柱爬一圈到点处，圆柱的高为，圆柱底面圆的周长为，求虫子爬行的最短路程．39. 如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角处沿着木柜表面爬到柜角处.（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；（2）当，，时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；40. 如图一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角处．当，，时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．41. 一只蚂蚁从长、宽都是，高是的长方体纸箱的点沿纸箱爬到点，如图，求它爬行的最短路线的长．42. 如图所示是一段楼梯，已知，，楼梯宽 .一只蚂蚁要从点爬到点，求蚂蚁爬行的最短路程.QQ群45011622543. 如图，一个长方体木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角处．（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径．（2）当，，时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．（3）求点到最短路径的距离．44. 已知圆锥的底面半径为，高，现在有一只蚂蚁从底边上一点出发．在侧面上爬行一周又回到点，求蚂蚁爬行的最短距离．45. 如图，是一个长方体盒子，长，宽，高．（1）一只蚂蚁从盒子下底面的点沿盒子表面爬到点，求它所行走的最短路线的长．（2）这个长方体盒子内能容下的最长木棒的长度为多少? 46. 图1、图2为同一长方体房间的示意图，图3为该长方体的表面展开图．（1）蜘蛛在顶点处．①苍蝇在顶点处时，试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线．②苍蝇在顶点处时，图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板爬行的最近路线和往墙面爬行的最近路线，试通过计算判断哪条路线更近．（2）在图中，半径为的与相切，圆心到边的距离为，蜘蛛在线段上，苍蝇在的圆周上，线段为蜘蛛爬行路线，若与相切，试求长度的范围．47. 如图，长方体中，，，一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面爬到点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少?48. 如图，平行四边形中，，，，将平行四边形沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕交边于点．（1）求证：四边形是菱形；（2）若点时直线上的一个动点，请计算的最小值．49. 实践操作在矩形中，，，现将纸片折叠，点的对应点记为点，折痕为（点，是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．QQ群450116225（1）初步思考若点落在矩形的边上（如图①）．①当点与点重合时，，当点与点重合时，；②当点在上，点在上时（如图②），求证：四边形为菱形，并直接写出当时菱形的边长．（2）深入探究若点落在矩形的内部（如图③），且点，分别在，边上，请直接写出的最小值．（3）拓展延伸若点与点重合，点在上，射线与射线交于点（如图④）．在各种不同的折叠位置中，是否存在某一种情况，使得线段与线段的长度相等?若存在，请直接写出线段的长度；若不存在，请说明理由．答案1. B2. C【解析】将台阶面展开，连接，如图，线段即为壁虎所爬的最短路线．因为，，在中，根据勾股定理，得，所以．所以壁虎至少爬行．3. C【解析】4. B5. D6. A【解析】 .7. B 8. B 9. B 10. C11. B 12. A 13. C【解析】将正方体的左侧面与前面展开，构成一个长方形，用勾股定理求出距离即可．如图，．14.15.【解析】将圆柱的侧面沿剪开并铺平得长方形，连接，如图．线段就是小虫爬行的最短路线．根据题意得．在中，由勾股定理，得，．所以．16.17.18.19.【解析】只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图 1：长方体的宽为，高为，点离点的距离是，，，在直角三角形中，根据勾股定理得：；只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图 2：长方体的宽为，高为，点离点的距离是，，，在直角三角形中，根据勾股定理得：；只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图 3：长方体的宽为，高为，点离点的距离是，，在直角三角形中，根据勾股定理得：；，蚂蚁爬行的最短距离是．20.21.【解析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的做法就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答.如图，，，22.23.24. ，【解析】如图，依题意，得从点开始经过个侧面缠绕一圈到达点时，最短距离为，此时，由勾股定理，得，即所用细线最短为．若从点开始经过个侧面缠绕圈到达点，则长方体的侧面展开图的一边长由变成，即，由勾股定理，得，即所用细线最短为，或．25.【解析】由题意可知，将木块展开，相当于是个正方形的宽，长为米；宽为米．于是最短路径为：米．26.【解析】沿剪开可得矩形.圆柱的高为，底面圆的周长为，，，在中， .即装饰线的最短路线长是．27.28.29.30.【解析】圆锥的底面周长是，则，即圆锥侧面展开图的圆心角是，在圆锥侧面展开图中，，，在圆锥侧面展开图中，这只蚂蚁爬行的最短距离是．31.【解析】图中扇形的弧长是，根据弧长公式得到，，即扇形的圆心角是，，.32. （1）蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的和．（2）如图，．．所以蚂蚁爬过的最短路径的长是．33. （1）（2）；34. ．35. （1）①如图①，连接，线段就是所求作的最近路线．②两种爬行路线如图②所示，由题意可得：在中，；在中，．，路线更近．（2）如图③中，连接，为的切线，点为切点，．在中，有，当时，最短，取得最小值，此时，．当点与点重合时，最长，取得最大值，如图④，过点作，垂足为，由题意可得，，在中，．在中，．综上所示，长度的取值范围是．36. （1）若蚂蚁沿侧面爬行，则经过的路程为；若蚂蚁沿侧面和底面爬行，则经过的路程为或．所以蚂蚁经过的最短路程是．（2）蚂蚁爬过的棱长依次为，，，，，，时，其路程为最长，最长路程是．37. （1）圆锥（2）扇形（3）把此立体图形的侧面展开，如图所示，为蜗牛爬行的最短路线．（4）在中，由勾股定理，得，所以．故蜗牛爬行的最短路程为．38. 如图，是圆柱的展开图，连接．由题意可知虫子爬行的最短路径为 .此时．答：虫子爬行的最短路程为．39. （1）如图，木柜的表面展开图是两个矩形和 .故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径为图中的和 .（2）蚂蚁沿着木柜表面经线段到，爬过的最短路径的长是 .蚂蚁沿着木柜表面经线段到，爬过的最短路径的长是.因为，所以蚂蚁爬过的最短路径的长为 .40. 如图所示，木柜的部分表面展开图示两个矩形或矩形．蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径是如图的或．若爬过的路径的长是，则；若爬过的路径的长是，则 .，最短路径的长是．41. 蚂蚁实际上是在长方体的半个侧面内爬行，如果将这半个侧面展开（如图所示），得到矩形 .根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程就是半个侧面展开图矩形对角线之长．在中，底面边长，．答：最短路程约为．42. 如图①；如图②、如图③.蚂蚁爬行的最短路程为 .43. （1）木柜的部分表面展开图如图：蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有和．（2）蚂蚁沿着木柜表面经线段到，爬过的路径长为．蚂蚁沿着木柜表面经线段到，爬过的路径长为．，最短路径为．（3）过点作于点，连接，则．点到最短路径的长为．44. 设扇形的圆心角为，圆锥的顶点为，，．由勾股定理可得母线，而圆锥侧面展开后的扇形的弧长为，．即是等腰直角三角形，由勾股定理得：．答：蚂蚁爬行的最短距离为．45. （1）蚂蚁从点爬到点有三种可能，展开成平面图形如图所示，由勾股定理计算出的值分别为，，，比较后得最小为，即最短路线的长是．（2）如图，，即能容下的最长木棒的长度为．46. （1）①如图所示线段为最近路线.②将长方体展开，使得长方形和长方形在同一平面内，如图.在中，，，，．将长方体展开，使得长方形和长方形在同一平面内，如图.在中，，，，.，往天花板爬行的最近路线更近.（2）过点作于，连接，，， .半径为的与相切，圆心到边的距离为，，，， .根据勾股定理可得，，．与相切于点，， .．当时，；当时，．长度的范围是．47. 如图1所示：由题意得：，，在中，由勾股定理得，如图2所示：由题意得：，，在中，由勾股定理得：，．第一种方法蚂蚁爬行的路程最短，最短路程是．48. （1）将平行四边形沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，，， .，...四边形是菱形.，，.四边形是菱形.（2）四边形是菱形，与关于对称，连接交于，则的长即为的最小值，过点作于 .，，，， ...的最小值为．49. （1）①；②翻折的性质，，，四边形是矩形，，，，，，，四边形是平行四边形，，平行四边形是菱形，当时，菱形边长为．，，（2）．（3）存在，．最短路径问题专题练习1. 如图，长方体中，，，，一蚂蚁从点出发，沿长方体表面爬到点处觅食，则蚂蚁所行路程的最小值为A. B. C. D.2. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是，，，和是这个台阶的两个相对的端点，点有一只壁虎，它想到点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从点出发，沿着台阶面爬到点，至少需爬A. B. C. D.3. 如图，个边长为的小正方形及其部分对角线所构成的图形中，如果从点到点只能沿图中的线段走，那么从点到点的最短距离的走法共有A. 种B. 种C. 种D. 种4. 如图所示，圆柱的底面周长为，是底面圆的直径，高，点是母线上一点且．一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短距离是A. B. C. D.正方形专题练习1、小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了一道题，从下列四个条件：①；②；③；④中选出两个作为补充条件，使平行四边形为正方形（如图）．现有下列四种选法，你认为其中错误的是A. ①②B. ②③C. ①③D. ②④2、，大正方形中有个小正方形，如果它们的面积分别是，，那么，的大小关系是A. B.C. D. ，的大小关系不确定3、如图，在正方形和正方形中，点在上，，将正方形绕点顺时针旋转，得到正方形，此时点在上，连接，则A. B. C. D.4五个边长都为的正方形按如图所示摆放，点，，，分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影部分面积的和为A. B. C. D.旋转专题练习1. 如图，在矩形中，已知，，将矩形绕着点在桌面上顺针旋砖至，使其停靠在矩形的点处，若，则点的运动路径长为（1题）（2题A. B. C. D.2. 在中，，，把这个直角三角形绕顶点旋转后得到，其中点正好落在上，与相交于点，那么等于A. B. C. D.3. 在锐角中，，，（如图），将绕点按逆时针方向旋转得到（顶点、分别与、对应），当点在线段的延长线上时，则的长度为QQ群450116225（3题）（4题）A. B. C. D.4. 边长一定的正方形，是上一动点，交于点，过作交于点，作于点，连接，下列结论：①；②；③；④为定值．其中一定成立的是11.抗震救灾中，某县粮食局为了保证库存粮食的安全，决定将甲、乙两个仓库的粮食，全部转移到具有较强抗震功能的A、B两仓库。

送货路线-数学建模-一等奖之欧阳语创编

摘要摘要本文讨论了送货员送货路线的优化设计问题, 即在给定送货地点和给定设计规范的条件下，综合考虑最大载重范围、最大带货体积以及各货物送货时限，确定业务员的最佳运行路线策略.并总结出一些在这类图中求解近似最优回路的有效法则.对于问题1，采用了两种方法进行了计算，第一种是通过Floyd算法做出各顶点间的最短路径矩阵，然后选出1~30号货物所送达的顶点间的最短路径及距离，用二边逐次修正法求解Hamilton圈；第二种是通过蚁群算法获得多条近似优解，选取最佳线路.对于第二问，则采用改进的遗传算法，求解有时间约束条件的TSP问题，根据线路规划问题的特点，基于遗传算法（GA）建立了一个适用于带有时间约束的送货路线规划模型.实验证明了此算法的有效性和可行性.对于第三问，利用分割求解法和蚁群算法的合成算法，运用共同链分割全图，对每一个分图进行最优求解，由此得到全图的最优解。

关键词送货问题；优化路线；TSP模型；蚁群算法送货路线设计的数学模型1 问题重述现今社会网络越来越普及，网购已成为一种常见的消费方式，随之物流行业也渐渐兴盛，每个送货员需要以最快的速度及时将货物送达，而且他们往往一人送多个地方，请设计方案使其耗时最少.现有一快递公司，库房在图1中的O点，一送货员需将货物送至城市内多处，请设计送货方案，使所用时间最少.该地形图的示意图见图1，各点连通信息见表3，假定送货员只能沿这些连通线路行走，而不能走其它任何路线.各件货物的相关信息见表1，50个位置点的坐标见表2.假定送货员最大载重50公斤，所带货物最大体积1立方米.送货员的平均速度为24公里/小时.假定每件货物交接花费3分钟，为简化起见，同一地点有多件货物也简单按照每件3分钟交接计算.现在送货员要将100件货物送到50个地点.请完成以下问题.1. 若将1~30号货物送到指定地点并返回.设计最快完成路线与方式.给出结果.要求标出送货线路.2. 假定该送货员从早上8点上班开始送货，要将1~30号货物的送达时间不能超过指定时间，请设计最快完成路线与方式.要求标出送货线路.3. 若不需要考虑所有货物送达时间限制(包括前30件货物)，现在要将100件货物全部送到指定地点并返回.设计最快完成路线与方式.要求标出送货线路，给出送完所有快件的时间.由于受重量和体积限制，送货员可中途返回取货.可不考虑中午休息时间.. 2模型的假设与符号说明 2.1 模型假设1．假设送货员只能沿如图所示连通线路行走，而不能走其它任何路线；2．在连通线路中业务员可以任意选择路线；3．假设送货员每到达一个地点，交接一件货物花费都为3分钟，交接完毕马上前往下一个地点，期间不花费时间；4．假设送货员的速度保持匀速，即保持24公里/小时，不考虑堵车，发生意外等现象； 2.2 符号说明i W ：第i 个货物的重量；(,)ix y ：序号为i 的送货点的坐标；i V ：第i 个货物的体积；C ：送货路线总路程；N ：送货员送货次数；t ：送货所用总时间；(,)G V E ：赋权连通图；i G ：(,)G V E 的第i 个子图； i L ：子图i G 中的最佳回路；()e ω：边e 的边权；()v ω：点v的点权；i l ：i L 的各边权之和；i e ：i L 的各点权之和；T ：送货中的停留时间；u ：送货员的行驶速度；点权()i v T V ω=⨯.为叙述方便起见，我们在文中不加说明地使用上述变量和符号的变形形式，它们的含义可以通过上下文确定. 3 模型的分析与建立 3.1模型的建立把快递公司送货地点示意图抽象为一赋权连通图(,)G V E ，在权图G 中，i v ∈()V G 对应示意图中的快递公司地点及货物送达点，0v 表示快递公司所在地，j e ∈()E G 对应示意图中路径.边权()j e ω∈对应示意图中的路径长度.建立的数学模型如下：求G 中回路12,,,(1)k L L L k >，使得满足：（1）0(),1,2,,;i v V L i k ∈=（2）1()();ki i V L V G ==（3）1()()min(i ni e E L e ω=∈=∑∑目标为总距离最短）或1()()max ()()min(i i j ke E L e V L e v ωω≤≤∈∈⎧⎫⎪⎪+=⎨⎬⎪⎪⎩⎭∑∑目标为时间最短）为了讨论方便，先给出图论中相关的一些定义.定义1 经过图G 的每个顶点正好一次的圈，称为G 的哈密顿环路，也称Hamilton 圈. 定义2 在加权图(,)G V E =中(1)权最小的哈米顿圈称为最佳Hamilton 圈；(2)经过每个顶点至少一次且权最小的闭通路称为TSP回路问题.由定义2可知，本问题是一个寻找TSP 回路的问题.TSP 回路的问题可转化为最佳Hamilton 圈的问题.方法是由给定的图(,)G V E =构造一个以V 为顶点集的完备图(,)G V E ''=，E '中每条边(,)x y 的权等于顶点x 与y 在图中最短路径的权，即在图论中有以下定理：定理1 加权图G 的送货员回来的权和G '的最佳Hamilton 圈的权相同；定理2 在加权完备图中求最佳Hamilton 圈的问题是NPC 问题.在解决问题的过程中，我们用到以下算法：算法一（Floyd 算法）：令n D 表示一个N N ⨯矩阵，它的(,)i j 元素是m ij d ．1．将图中各顶点编为1,2,,N ．确定矩阵0D ，其中(,)i j 元素等于从顶点i 到顶点j 最短弧的长度(如果有最短弧的话)．如果没有这样的弧，则令0ij d =∞．对于i ，令00ij d =．2．对1,2,,m N=，依次由m-1D 的元素确定m D 的元素，应用递归公式111min{,}m m m m ij im mj ij d d d d ---=+．每当确定一个元素时，就记下它所表示的路．在算法终止时，矩阵n D 的元素(,)i j 就表示从顶点i 到顶点j 最短路的长度．算法二：求加权图(,)G V E =的TSP 问题回路的近似算法：1．用算法一（Floyd 算法）求出(,)G V E =中任意两个顶点间的最短路，构造出完备图(,)G V E ''=，(,),(,)min (,)G x y E x y d x y ω'∀∈=．2．输入图G '的一个初始Hamilton 圈；3．用对角线完全算法产生一个初始Hamilton 圈； 4．随机搜索出(,)G V E ''=中若干个Hamilton 圈，例如2000个；5．对2、3、4步所得的每个Hamilton 圈，用二边逐次修正法进行优化，得到近似最佳Hamilton 圈；6．在第5步求出的所有H 圈中，找出权最小的一个，此即要找的最佳Hamilton 圈的近似解.算法三：蚁群算法蚁群算法是一种新型的模拟进化算法.该算法由意大利学者M. DorigoV. Maniezzo 和A. Colorini 等人在90年代首先提出，称之为蚁群系统(ant colony system )，应用该算法求解TSP 问题、分配问题，取得了较好的结果.算法受到真实蚁群觅食行为的启发，科学家发现虽然单个蚂蚁没有太多的智力，也无法掌握附近的地理信息，但整个蚁群却可以找到一条从巢穴到食物源之间的最优路线.经过大量细致观察研究发现：蚂蚁个体之间通过一种称之为外激素(pheromone) 的物质进行信息传递.蚂蚁在运动过程中, 能够在它所经过的路径上留下该种物质，而且蚂蚁在运动过程中能够感知这种物质，并以此指导自己的运动方向，因此，由大量蚂蚁组成的蚁群的集体行为便表现出一种信息正反馈现象：某一路径上单位时间走过的蚂蚁越多，表明该路线的可用性越好，则后来者选择该路径的概率就越大.蚂蚁个体之间就是通过这种信息的交流寻找最优的到达食物源的线路.蚁群算法具有实现简单、正反馈、分布式的优点.图1 蚁群算法说明在图1中，从A到E（或者从E 到A）有两条路径（ABCDE 和ABHDE），其中B到H、D到H的距离为1，B 到C和D到C的距离为0.5.下面分别考虑在时刻t = 0 , 1 ,2 . .时蚁群的运动情况.如图2b，在时刻t = 0 ,设有30只蚂蚁从A运动到B.此时路径BH、BC上没有外激素(蚂蚁留下的信息量)，故蚂蚁将以相同的概率向BC、BH 运动，于是各有15只蚂蚁分别选择路径BH和BC.在真实蚁群中，外激素的数量会随时间的流逝而蒸发掉一部分，为说明方便，此处假设：①所有蚂蚁运动的速度相等；②外激素蒸发量与时间成正比例，即路径上外激素的剩余量与路径的长度成反比；③蚂蚁选路的概率与所选路上外激素的浓度成正比.因为路径BHD 的长度是路径BCD的2倍，当B点的蚂蚁到达D点后，路径BCD上的外激素是BHD上的2倍.如图2c，在时刻t =1有30只蚂蚁从E到达D.因为路径DC上的外激素量是DH上的2倍，根据蚂蚁选路特点，将会有20只蚂蚁选择DC，而只有10只蚂蚁选择DH.以此类推，当t = 2 ,3 ,4. . . 时，将会有更多的蚂蚁选择路径BCD.经过较长时间运动后，蚁群最终会沿着最优路径ABCDE运动.网络的路由问题与蚁群寻路的问题有很大的可比性，都是寻找可以到达目的地的最优路线.目前已经证明蚁群算法在解决路由问题上具有分布式、正反馈、全局收敛等优点.3.2 求解准备1）根据已知位置点的坐标和连接情况，使用Matlab做出各点位置图如下：图2 各点位置与连通情况图2）根据已知各点坐标，由两点间距离公式d=求得图中相邻连通点间的距离如下表：表1 相邻连通点距离表3.3 模型的求解3.3.1 问题1问题1要求将1—30号货物送到指定地点并返回，不考虑各货物的送达时间，考虑到3048.550 iiW==<∑，且300.881 iiV==<∑，故不用考虑重量、体积对送货次数的影响，即只需一次送货，无需中途返回取货.方法一：Floyd算法+二次逐项修边法1．由表1中的数据，做出图(,)G V E的邻接矩阵(0)A，根据Floyd 算法，求得任意两点间的最短距离(51)A ；2．经过分析，发现运送1~30号货物只涉及22个点（含0v ），由于其中21个送货点中有5个含2货物，2个含3货物；3、将这22个顶点令为点集iX ={(,)i i a b ，0,1,2,,21i =}，令矩阵B 为仅含有点i X 的最短距离方阵，构成加权图完备图(,)G V E ''=；5296 5094 7493 3621 2182 1797 5395 4709 1392 39972929 6707 5254 4677 6215 5777 6885 9751 8833 7860 11722 5296 08456 11063 8916 3114 7092 10691 5714 6688 6285 5217 12003 7542 8489 10026 8065 9173 13562 12645 11671 15534 5094 8456 0 2608 2196 5342 3297 3970 8806 5489 8093 7026 5282 9350 6177 7714 9873 10981 11250 10333 9359 13222 7493 11063 2608 03872 7950 5696 2098 11205 7888 9675 9425 3410 11750 7471 5933 11454 13380 9469 8552 10653 11441 3621 8916 2196 3872 0 5803 1824 1775 7333 4016 6620 5553 3086 7877 4704 5610 8400 9508 9146 8229 7887 11118 2182 3114 5342 7950 5803 03979 7577 3884 3574 3171 2104 8889 4428 5375 6913 4951 6059 10449 9531 8558 12420 1797 7092 3297 5696 1824 3979 0 3598 5509 2192 4797 3729 4910 6054 2880 4418 6576 7684 7954 7036 6063 9925 5395 10691 3970 2098 1775 7577 3598 0 9107 5790757773271312 9652 53733836 9357 11283 7372 6454 8556 9343 4709 5714 8806 11205 7333 3884 5509 9107 0 3317 28481780 9113 4105 5052 6589 4628 5736 10125 9208 8234 12097 1392 6688 5489 7888 4016 3574 2192 5790 3317 0 2605 1537 7102 3862 4809 6346 4385 5493 9882 8965 7991 11854 3997 6285 8093 9675 6620 3171 4797 7577 2848 2605 0 1068 6265 3393 2204 3741 1780 5023 7278 6360 5386 9249 2929 5217 7026 9425 5553 2104 3729 7327 1780 1537 1068 0 7333 2325 3272 4809 2848 3956 8345 7428 6454 10317 6707 12003 5282 3410 3086 8889 4910 1312 9113 7102 6265 7333 0 9658 4061 2524 8045 10461 6060 5142 7244 8031 5254 7542 9350 11750 7877 4428 6054 9652 4105 3862 3393 2325 9658 0 5596 7134 5172 1631 7200 8117 4848 8243 4677 8489 6177 7471 4704 5375 2880 5373 5052 4809 2204 3272 4061 5596 0 1537 3984 6400 5074 4156 3183 7045 6215 10026 7714 5933 5610 6913 4418 3836 6589 6346 3741 4809 2524 7134 1537 0 5521 7937 3536 2618 4720 5508 5777 8065 9873 11454 8400 4951 6576 9357 4628 4385 1780 2848 8045 5172 3984 5521 0 6803 9057 8140 7166 11029 6885 9173 10981 13380 9508 6059 7684 11283 5736 5493 5023 3956 10461 1631 6400 7937 6803 0 5569 6486 3217 6612 9751 13562 11250 9469 9146 10449 7954 7372 10125 9882 7278 8345 6060 7200 5074 3536 9057 5569 0 918 2352 1971 8833 12645 10333 8552 8229 9531 7036 6454 9208 8965 6360 7428 5142 8117 4156 2618 8140 6486 918 0 3269 2889 7860 11671 9359 10653 7887 8558 6063 8556 8234 7991 5386 6454 7244 4848 3183 4720 7166 3217 2352 3269 0 4323 11722 15534 13222 11441 11118 12420 9925 9343 12097 11854 9249 10317 8031 824370455508 11029 6612 1971 2889 4323 0 ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭图3 加权完备图G ’的邻接矩阵4、将(,,)P V E w 的邻接矩阵(,)B i j 通过经典货郎担问题的解法，即二次逐项修边法，求得最优的Hamilton 圈.图4 方法一运行结果截图表2 程序中点的数字与图1中的对应转换图31 32 34 36 38 39 40 42 43 45 49图5 路线示意图路线：0-->18-->13-->19-->24-->31-->27-->39-->31-->34-->40-->45-->42-->49-->42-->43-->38-->36-->38-->35-->32-->23-->16-->14-->17-->21-->26-->0路程：C= 54708 （m）方法二：蚁群算法蚁群算法中α、β、ρ等参数对算法性能有很大的影响。

选址问题数学模型之欧阳文创编

选址问题数学模型摘要本题是用图论与算法结合的数学模型，来解决居民各社区生活中存在三个的问题：合理的建立3个煤气缴费站的问题；如何建立合理的派出所；市领导人巡视路线最佳安排方案的问题。

通过对原型进行初步分析，分清各个要素及求解目标，理出它们之间的联系.在用图论模型描述研究对象时，为了突出与求解目标息息相关的要素，降低思考的复杂度。

对客观事物进行抽象、化简，并用图来描述事物特征及内在联系的过程.建立图论模型是为了简化问题，突出要点，以便更深入地研究问题针对问题1：0-1规划的穷举法模型。

该模型首先采用改善的Floyd-Warshall算法计算出城市间最短路径矩阵见附录表一；然后，用0-1规划的穷举法获得模型目标函数的最优解，其煤气缴费站设置点分别在Q、W、M社区，各社区居民缴费区域见表7-1，居民与最近的缴费点之间平均距离的最小值11.7118百米。

针对问题2：为避免资源的浪费，且满足条件，建立了以最少分组数为目标函数的单目标最优化模型，用问题一中最短路径的Floyd算法，运用LINGO软件编程计算,得到个社区之间的最短距离，再经过计算可得到本问的派出所管辖范围是 2.5千米。

最后采用就近归组的搜索方法，逐步优化，最终得到最少需要设置3个派出所，其所在位置有三种方案，分别是：（1）K区，W区，D区；（2）K区，W区，R 区；（3）K区，W区，Q区。

最后根据效率和公平性和工作负荷考虑考虑，其第三种方案为最佳方案，故选择K区，W 区，Q区，其各自管辖区域路线图如图8-1。

针对问题3：建立了双目标最优化模型。

首先将问题三转化为三个售货员的最佳旅行售货员问题，得到以总路程最短和路程均衡度最小的目标函数，采用最短路径Floyd算法，并用MATLAB和LINGO软件编程计算，得到最优树图，然后按每块近似有相等总路程的标准将最优树分成三块，最后根据最小环路定理，得到三组巡视路程分别为11.8km、11km和12.5km，三组巡视的总路程达到35.3km，路程均衡度为12%,具体巡视路线安排见表9-1和图9.2 。

初中数学动点问题解题技巧--Du之欧阳法创编

动点问题解题技巧以运动的观点探究几何图形部分规律的问题，称之为动态几何问题。

动态几何问题充分体现了数学中的“变”与“不变”的和谐统一，其特点是图形中的某些元素（点、线段、角等）或某部分几何图形按一定的规律运动变化，从而又引起了其它一些元素的数量、位置关系、图形重叠部分的面积或某部分图形等发生变化，但是图形的一些元素数量和关系在运动变化的过程中却互相依存，具有一定的规律可寻。

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目，注重对几何图形运动变化能力的考查。

解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等。

从数学思想的层面上讲需要具备以下思想：分类讨论思想、数形结合思想、转化思想、函数思想、方程思想。

常见的动点问题一、数轴上的动点问题数轴上的动点问题离不开数轴上两点之间的距离。

为了便于对这类问题的分析，先明确以下3个问题：1.数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值，也即用右边的数减去左边的数的差。

即数轴上两点间的距离=右边点表示的数—左边点表示的数。

2.点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向左运动的速度看作负速度。

这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标。

即一个点表示的数为a，向左运动b个单位后表示的数为a—b；向右运动b个单位后所表示的数为a+b。

3．数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。

网络重点名词解释之欧阳道创编

1.ADSL(Asymmetric Digital Subscriber Line)非对称数字用户线释义：非对称数字用户线路，亦可称作非对称数字用户环路。

是一种新的数据传输方式。

它因为上行和下行带宽不对称，因此称为非对称数字用户线环路。

2.AH（Authentication Header）鉴别首部释义：AH(Authentication Header)认证头协议用以保证数据包的完整性和真实性，防止黑客截断数据包或向网络中插入伪造的数据包。

考虑到计算效率，AH没有采用数字签名而是采用了安全哈希算法来对数据包进行保护。

AH没有对用户数据进行加密。

当需要身份验证而不需要机密性的时候，使用AH协议时最好的选择。

3.API （Application Programming Interface）应用编程接口释义：API（Application Programming Interface,应用程序编程接口）是一些预先定义的函数，目的是提供应用程序与开发人员基于某软件或硬件的以访问一组例程的能力，而又无需访问源码，或理解内部工作机制的细节。

4.ARP （Address Research Protocol）地址解析协议释义：ARP(Address Resolution Protocol，地址解析协议)是获取物理地址的一个TCP/IP协议。

某节点的IP地址的ARP请求被广播到网络上后，这个节点会收到确认其物理地址的应答，这样的数据包才能被传送出去。

RARP(逆向ARP)经常在无盘工作站上使用，以获得它的逻辑IP地址。

5.AS （Autonomous System）自治系统释义：一个自治系统就是处于一个管理机构控制之下的路由器和网络群组。

它可以是一个路由器直接连接到一个LAN上，同时也连到Internet上；它可以是一个由企业骨干网互连的多个局域网。

在一个自治系统中的所有路由器必须相互连接，运行相同的路由协议，同时分配同一个自治系统编号。

排列组合常见21种解题方法之欧阳术创编

排列组合难题二十一种方法时间：2021.02.02 创作：欧阳术排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。

教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。

2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。

提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有然后排首位共有最后排其它位置共有由分步计数原理得练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

八年级最短路径问题归纳小结之欧阳道创编

八年级数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：①确定起点的最短路径问题即已知起始结点，求最短路径的问题．②确定终点的最短路径问题与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．③确定起点终点的最短路径问题即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．④全局最短路径问题求图中所有的最短路径．【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．【十二个基本问题】【问题1】作法图形原理在直线l 上求一点P ，使PA+PB 值最小．连AB ，与l 交点即为P ．两点之间线段最短． PA+PB 最小值为AB ．【问题2】“将军饮马”作法图形原理在直线l 上求一点P ，使PA+PB 值最小．作B 关于l 的对称点B ＇连A B ＇，与l 交点即为P ．两点之间线段最短． PA+PB 最小值为AB ＇．【问题3】作法图形原理上分别求、在直线点M 、N ，使△PMN 的周长最小．分别作点P 关于两直线的对称点P ＇和P ＇＇，连P ＇P ＇＇，与两直线交点即为M ，N ．两点之间线段最短．PM+MN+PN 的最小值为线段P ＇P ＇＇的长．【问题4】作法图形原理上分别求、在直线点M 、N ，使四边形PQMN 的周长最小．分别作点Q 、P 关于直＇Q 的对称点、线和P ＇连Q ＇P ＇，与两直线交点即为M ，N ．两点之间线段最短．四边形PQMN 周长的最小值为线段P ＇P ＇＇的长．【问题5】“造桥选址” 作法图形原理、，在∥直线、M ，上分别求点，且MN ⊥，使N AM+MN+BN 的值最小．将点A 向下平移MN 的长度单位得A ＇，连，过N 于点，交B ＇A ．M 于NM ⊥作N两点之间线段最短． AM+MN+BN 的最小值为A ＇B+MN ．【问题6】作法图形原理N 、M 上求两点在直线（M 在左），使，并使AM+MN+NB 的值最小．个长向右平移A 将点度单位得A ＇，作A ＇＇＇，A 的对称点关于，交直线B ＇＇A 连于点N ，将N 点向左平．M 个单位得移两点之间线段最短． AM+MN+BN 的最小值为A ＇＇B+MN ．【问题7】作法图形原理上，在A 上求点在求点B ，使PA+AB 值最小．的对称点关于P 作点于B ⊥＇P ＇，作P ．A 于，交B点到直线，垂线段最短．PA+AB 的最小值为线段P ＇B 的长．【问题8】作法图形原理为B 上一定点，为A 上求上一定点，在，N 上求点，在M 点使AM+MN+NB 的值最小．的对称点关于A 作点的关于B ＇，作点A 对称点B ＇，连A ＇B ＇．N 于，交M 于交两点之间线段最短． AM+MN+NB 的最小值为线段A ＇B ＇的长．【问题9】作法图形原理l PB'ABl 1l 2N MP''P'Pl 1l 2NMP'Q'Q Pl 1l 2P Qm n M NA'BA l a ABM N mnABM N lA''A'BAM Nl 1l 2A BP'Pl 2l 1ABNM l 2l 1M N A'B'AB在直线l 上求一点P ，使的值最小．连AB ，作AB 的中垂线与直线l 的交点即为P ．垂直平分上的点到线段两端点的距离相等．＝0．【问题10】作法图形原理在直线l 上求一点P ，使的值最大．作直线AB ，与直线l 的交点即为P ．三角形任意两边之差小于第三边．≤AB ．的最大值＝AB ．【问题11】作法图形原理在直线l 上求一点P ，使的值最大．作B 关于l 的对称点B ＇作直线A B ＇，与l交点即为P ．三角形任意两边之差小于第三边．≤AB ＇．最大值＝AB ＇．【问题12】“费马点” 作法图形原理△ABC 中每一内角都小于120°，在△ABC 内求一点P ，使PA+PB+PC值最小．所求点为“费马点”，即满足∠APB ＝∠BPC ＝∠APC ＝120°．以AB 、AC 为边向外作等边△ABD 、△ACE ，连CD 、BE 相交于P ，点P即为所求．两点之间线段最短． PA+PB+PC 最小值＝CD ．【精品练习】1．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD+PE 的和最小，则这个最小值为（） A ．B ．C ．3D ．2．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点A 旋转，当AC′、AD′分别与BC 、CD 交于点E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（） A ．2 B ．C ．D ．4lPBAlPABlBPAB'PEDCBAADEPB C3．四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝70°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN 的周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为（）A．120° B．130° C．110° D．140°4．如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是．5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝6，点E在AB边上，点D在BC边上（不与点B、C重合），且ED＝AE，则线段AE的取值范围是．6．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB 上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q分别在边OB、OA 上，则MP＋PQ＋QN的最小值是_________．（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即Rt△ABC中，∠C＝90°，则有）7．如图，三角形△ABC中，∠OAB＝∠AOB＝15°，点B在x轴的正半轴，坐标为B(，0)．OC平分∠AOB，点M在OC的延长线上，点N为边OA上的点，则MA＋MN的最小值是______．8．已知A（2，4）、B（4，2）．C在轴上，D在DAM ABMNyA轴上，则四边形ABCD 的周长最小值为，此时 C 、D 两点的坐标分别为． 9．已知A （1，1）、B （4，2）．（1）P 为轴上一动点，求PA+PB 的最小值和此时P点的坐标；（2）P 为轴上一动点，求的值最大时P 点的坐标；（3）CD 为轴上一条动线段，D 在C 点右边且CD ＝1，求当AC+CD+DB 的最小值和此时C 10．点C 为∠AOB 内一点．（1）在OA 求作点D ，OB 上求作点E ，使△CDE 的周长最小，请画出图形；（2）在（1）的条件下，若∠AOB ＝30°，OC ＝10，求△CDE 周长的最小值和此时∠DCE 的度数．11．（1）如图①，△ABD 和△ACE 均为等边三角形，BE 、CE 交于F ，连AF ，求证：AF+BF+CF ＝CD ；（2）在△ABC 中，∠ABC ＝30°，AB ＝6，BC ＝8，∠A ，∠C 均小于120°，求作一点P ，使PA+PB+PC 的值最小，试求出最小值并说明理由．12．荆州护城河在CC ＇处直角转弯，河宽相等，从A 处到达B 处，需经过两座桥DD ＇、EE ＇，护城河及两yxBO ACDyxBOAy xBOA桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使A到B点路径最短？。

勾股定理中的最短距离(经典题型)之欧阳语创编

最短距离：时间：2021.03.01 创作：欧阳语1.(本小题10分) 如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为3的半圆，其边缘AB=CD=16，点E在CD上，CE=4，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为( )(π按3计算)A. 15B. C. D. 212.如图，圆柱底面半径为，高为9cm，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且点A，B在同一母线上，用一根棉线从点A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为( )A. 12cmB. C. 15cmD.3. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别为50寸，30寸和10寸，A和B是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长是( )A. 13寸B. 40寸C. 130寸D. 169寸4.如图，一只蚂蚁从长、宽都是6，高是16的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长为( )A. 20B. 22C. 28D. 185.如图，一个直径为8cm的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子露出杯子外1cm．当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），若筷子顶端刚好触到杯口，则筷子长度和杯子的高度分别为( )cm．A. 8，7B. 8.5，7.5C. 9，8D. 10，96. 如图，将一根木棒垂直或倾斜的放进长、宽、高分别为12cm，4cm，3cm的水箱中，能放入水箱内木棒的最大长度为( )cm．A. 13B. 12C. 15D. 167. 一辆卡车装满货物后宽3.2米，这辆卡车要通过如图所示的隧道（上方是一个半圆，下方是边长为4米的正方形），则装满货物后卡车的最大高度为( )米．A. 5.2B. 5.8C. 7.6D. 5.48.某工厂大门形状如图所示，其上部分为半圆，工厂门口的道路为双行道（双行道中间隔离带忽略不计）．要想使宽为1.5米，高为3.1米的卡车安全通过，那么此大门的宽度至少应增加多少米？9. 如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为16cm，BC是上底面的直径．一只昆虫从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则昆虫爬行的最短路程为____cm．10. 如图，长方体的长、宽、高分别为4cm，2cm，5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为____cm．时间：2021.03.01 创作：欧阳语。

排列组合21种模型之欧阳科创编

排列组合21种模型1•相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.| m I五人并排站成一排，如果回必须相邻且回在回的右边，那么不同的排法种数有A、60 种B、48 种C、36 种D、24 种解析:把回视为一人，且回固定在回的右边，则本题相当于4人的全排列，dn种,答案：回.2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是A、1440 种B、3600 种C、4820 种D、4800 种解析：除甲乙外，其余5个排列数为回种，再用甲乙去插6 个空位有回种，不同的排法种数是| 中,选回.3定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持—定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.| W |五人并排站成一排,如果回必须站在回的右边(回可以不相邻)那么不同的排法种数是A、24 种B、60 种C、90 种D、120 种解析：回在回的右边与回在回的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即|凹|种,选回4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1, 2, 3, 4填入标号为1, 2, 3, 4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有A、6 种B、9 种C、11 种D、23 种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3x3x1二9种填法，选回5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5. (1)有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是A、1260 种B、2025 种C、2520 种D、5040 种解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8 人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有——芯选回(2) 12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有A、B、~I三」~~中C、国|种D、回答案:回.6.全员分配问题分组法：例6. (1) 4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成3组有回种方法，再把三组学生分配到三所学校有回种，故共有方法.说明:分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.(2) 5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为A、480种B、240种C、120 种D、96种答案:®.7.名额分配问题隔板法：例7.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析:10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10 个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为亘J种.8.限制条件的分配问题分类法：例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：①若甲乙都不参加，则有派遣方案园种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有回方法，所以共有回；③若乙参加而甲不参加同理也有回种；0)若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有回种，共有回方法.所以共有不同的派遣方法总数为| 匚一S 肿.9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例9. (1)由数字0, 1, 2, 3, 4, 5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有A、210 种B、300 种C、464 种D、600 种解析：按题意，个位数字只可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有回、|国|、|国|、|国|和冋个,合并总计300个,选回.（2）从1, 2, 3 •, 100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做| —快有14个元素，不能被7整除的数组成的集合记做| —|共有86个元素；由此可知，从回中任取2个元素的取法有回，从回中任取一个，又从回中任取一个共有巨，两种情形共符合要求的取法旬|种.⑶从1, 2, 3, 100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？解析：将—成四个不相交的子集,能被4整除的数集| | ；能被4除余1的数集| L能被4除余2的数集| |,能被4除余3的数集——,易见这四个集合中每一个有25个元素；从回中任取两个数符合要；从国中各取一个数也符合要求；从回中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有—|种.10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式| ■ 一上例10.从6名运动员中选出4人参加4x100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集二｛6人中任取4人参赛的排列｝ , A= ｛甲跑第一棒的排列｝ , B= ｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：■ m ~B ~| 种.□•定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。

新人教版八年级数学上册《最短路径问题》课件(共15张PPT)

谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
l CC A’
解（：1）作AB的中垂线交l于点C，如图. （2）如图.
A1 B
C
解：如图所示，B、C为两个加A油2 站的位置.
本课时学习了生活中的最短路径可以转化为数学中最值问题.
不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
A1
B
m
A
C
A2
n
解析：利用轴对称的性质和两点之间线段最短确定B、C的位置，从而使AB＋B Nhomakorabea＋CA最小.
解：①作A关于m的对称点A1，再作A关于n的对称点A2；
②连接A1A2交m于B，交n于C，连接AB、AC.
由于两点之间线段最短，且AB＝A1B，AC＝A2C，
∴AB＋BC＋CA最小.
1
B处
B A
探究二：造桥选址问题中的最短路径问题
3.如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假设两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
A
C
例：如图所示，点A是货运总部，想在公路m上建一
个分部B，在公路n上建一个分部C，要使AB＋BC＋CA最小，

最短路径问题(新)课件人教版八年级数学上册优秀课件

初中数学
如图，在直线l上求作一点C，使C例A+CB最短如. 图，在直线l上求作一点C，使CA+CB最短.
在直线l上求作一点C，如图，已知点D，点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为__________.
总结：① 将实际问题抽象成数学有两棵树位置如图，树的底部分别为A，B，地上有一只昆虫沿着A—B的路径在地面上爬行．小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处．问小鸟飞至AB之间何
A l
图形语言
例如图，在直线l上求作一点C，使CA+CB最短.
初中数学
例如图，在直线l上求作一点C，使CA+CB最短.
B
A
A
l
C
l
初中数学
A、B在直线l同侧
A、B在直线l异侧 B
思考：能否通过图形的变化（轴对称、平移等），将问题转化为我们研究过的问题呢？
例如图，在直线l上求作一点C，使CA+CB最短.
问题：
点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？
B 在直线上另外任取一点C′，
D
C B和E，作哪个点的对称点更好？
初中数学
例如图，已知点D，点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，
AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为__________.
B
A
A
C
l
l C
B
B'
初中数学
课堂小结
A
① 最短路径问题
依据：两点之间，线段最短
E F
关键：利用轴对称实现线段的转移

人教版八年级上册数学《最短路径问题》轴对称教学说课课件

①
②
A ③B
A BC
Dl
已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点
A
为什么？
l B
连接AB,线段AB与直线L的交点
探索新知
问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
B
B
抽象成
A
A
l
实际问题
C
l
数学问题
作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题.
问题1 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？
连接AB,与直线 l 相交于一点C.
A C
根据是“两点之间，线段最
lபைடு நூலகம்
短”，可知这个交点即为所求.
A
第一步：作点M关于直
线BC的对称点M'；
N
M B
第二步：连接M'N，与直线BC交于点
C
M’
第三步：连接MN、M
3.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点
10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△
A．10
B．15 A
C．20
D．30
第十三章轴对称
最短路径问题
学习目标
1 能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点） 2 体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．（重点）
解题方法
轴对称知识+线段公理
造桥选址问题

最短路径问题(13章)之欧阳治创编

智考一对一教育学科辅导讲义创作：欧学生姓名姜宇珂教师姓名张彦缺班主任上课日期时间段年级初二课时2教学内容13.4 最短路径问题教学目标能利用轴对称、平移等变化解决最短路问题。

教学重点利用轴对称将问题化成两点之间线段最短问题。

教学难点在实际问题中会运用最短路径问题。

教学过程知识详解复习导入问题：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦。

有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的海边L饮马，然后到B地。

到河边什么地方饮马可使他所走路线最短？【知识点一】两点在一条直线异侧例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。

解：连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。

（根据：两点之间线段最短.）【知识点二】两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的点．【知识点三】一点在两相交直线内部例：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.解：分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小、一点在两相交直线内部【知识点四】两点在两条相交线的内部例：如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。

作法：1.作点C关于直线OA 的对称点点F,2.作点D关于直线OB的对称点点E,3.连接EF分别交直线OA.OB于点G.H，则CG+GH+DH最短思考：1.作点C关于直线OB的对称点点F,2.作点D关于直线OA的对称点点E,3.连接EF分别交直线OA.OB于点G.H，则CG+GH+DH最短典型例题1．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=3，DC=1，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．72．如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（）A．BC B．CE C．AD D．AC3．在平面直角坐标系中，点A（4，-2），B（0，2），C（a，-a），a为实数，当△ABC的周长最小时，a的值是（）A．-1 B．0 C．1 D．24．如图，某河的同侧有A，B两个工厂，它们垂直于河边的小路的长度分别为AC=2km，BD=3km，这两条小路相距5km．现要在河边建立一个抽水站，把水送到A，B两个工厂去，若使供水管最短，抽水站应建立的位置为（）A．距C点1km处B．距C点2km处C．距C点3km处D．CD的中点处5．已知点A，点B都在直线l的上方，试用尺规作图在直线l上求作一点P，使得PA+PB的值最小，则下列作法正确的是（）A．B．C．D．6．已知点P（0，1），Q（5，4），点M在x轴上运动，当MP+MQ的值最小时，点M的坐标为（）A．（0，0）B．（1，0）C．（3，0）D．（5，0）7．如图，直线l是一条河，P，Q两地在直线l的同侧，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，分别向P，Q两地供水．现有如下四种铺设方案，则铺设的管道最短的方案是（）C．D．A．B．8．如图，OA、OB分别是线段MC、MD的垂直平分线，MD=5cm，MC=7cm，CD=10cm，一只小蚂蚁从点M 出发爬到OA边上任意一点E，再爬到OB边上任意一点F，然后爬回M点处，则小蚂蚁爬行的路径最短可为（）A．12cm B．10cm C．7cm D．5cm9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC 上的动点则CE+EF的最小值为（）10．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°11．如图，直线l外不重合的两点A、B，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短，作法为：①作点B 关于直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交于点C，则点C为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是（）A．转化思想B．三角形的两边之和大于第三边C．两点之间，线段最短D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角拓展知识1、如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）解：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，2.连接AE交河对岸与点M, 则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。

圆锥中的最短路径(1)之欧阳道创编

1. 圆锥的底面半径是2，母线长是12，一只蚂蚁从点A 出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到A 点，则蚂蚁爬行的最短路径的长是多少？
分析：要求蚂蚁在圆锥的侧面爬行的最短路径的长，通常要先将圆锥的侧面展开，再根据两点之间线段最短找出最短路径，进而求解.
解：∵圆锥侧面展开图的弧长= 圆锥底面圆的周长
∴ 解得：n = 60°.
连接AA ′,
∵SA=SA ′
∴△SAA ′是等边三角形
∴AA ′= 12 .
2. 圆锥的底面半径是2，母线长是12，一只蚂蚁从点A 出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到母线SA 的中点
22180
12⨯=⨯ππn
D ，则蚂蚁爬行的最短路径的长是多少？
分析：要求蚂蚁在圆锥的侧面爬行的最短路径的长，通常要先将圆锥的侧面展开，再根据两点之间线段最短找出最短路径，进而求解.
解：∵圆锥侧面展开图的弧长= 圆锥底面圆的周长
∴ 解得：n = 60°
连接AA ′，AD ′
∵SA=SA ′
∴△SAA ′是等边三角形
∴AS=AA ′
∵D ′为SA ′的中点
∴AD ′⊥ SA ′
∴
22180
12⨯=⨯ππn 3
6612''2222=-=-=SD AS AD。

最短路径问题(新)课件部编版八年级数学上册[]

N
b 点 N 即为所求.
B
过 N 作NM⊥a于M，
线段MN即为桥的位置.
初中数学
总结如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？
当点N在直线b的什么位置时， AM+MN+NB最小？
A
实际问题用数学语言表达.
问题转化为：当点Q在什么位置时，A′Q+QB最小．
a A A′
作A′关于直线l的对称点A′′
B
P′ P Q′ Q
连接A′′B，与直线l交于一点即为所求点Q.
l
A′′
问题：在直线l上求作两点P，Q ，使得四边形APQB的周长最小．
初中数学
练习已知线段a，点A、B在直线l的同侧，在直线l上求作两点P，Q （点P在点Q的左侧）且PQ＝a，使得四边形APQB的周长最小．作法：
B PQ
点A移动到A′，点P移动到点Q. l 则：AP=A′Q.
问题转化为：当点Q在什么位置时，A′Q+QB最小.
初中数学
问题转化为：当点Q在什么位置时，A′Q+QB最小．
a A A′
作A′关于直线l的对称点A′′
B
P′ Q′ Q
连接A′′B，与直线l交于一点即为所求点Q.
l
A′′
初中数学
初中数学
a A A′
B
PQ
思考
你能证明此时 l 四边形APQB的周长最小吗？
A′′
初中数学
最短路径问题
造桥选址问题
初中数学
练习
A
C
l
B