2020届全国联考3月高三年级调研考试文科数学试题

2020年3月高三年级调研考试文科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集为R ，集合{}02M x x =≤<，{}1,0,1,2,3N =-，()=M N ⋂R ð( ) A. {}0,1 B. {}1,0,1- C. {}1,2,3- D. {}1,0,2,3-【答案】C 【解析】 【分析】利用交集及补集的定义求解． 【详解】∵{}02M x x =≤<，={0M x x <R ，ð或2}x ≤，N ={−1，0，1，2，3} ∴()=M N ⋂R ð{−1，2，3}. 故选：C .【点睛】本题考查集合的运算，根据交、并、补运算法则进行运算，属于基础题. 2.设复数231iz i i=-+，则z =( )A.B. 2C.D.【答案】A 【解析】 【分析】根据复数四则运算化简z ，可求z 的模.【详解】()()()212331312111i i iz i i i i i i i i -=-=-=+-=-++-Q ，z ∴=故选：A .【点睛】本题考查复数的运算及模的运算，考查对复数基础概念的掌握及运算能力，属于基础题.3.设31log 5a =，131log 5b =，133c -=，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A. c a b >> B. b a c >> C. b c a >> D. c b a >>【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较a 、b 、c 三个数与0和1的大小关系，进而可得出a 、b 、c 三个数的大小关系.【详解】对数函数3log y x =为()0,∞+上的增函数，则331log log 105a =<=； 对数函数13log y x =为()0,∞+上的减函数，则113311log log 153b =>=；指数函数3xy =为R 上的增函数，则103033-<<，即01c <<. 因此，b c a >>. 故选：C.【点睛】本题考查指数幂和对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于基础题.4.已知角()0,απ∈，角α的终边经过点7cos ,sin 66A ππ⎛⎫⎪⎝⎭，则α=( ) A.6πB.3πC.23π D.56π 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式及特殊角三角函数值求出A 点坐标，再根据三角函数定义可得角α. 【详解】1sin62π=Q，7cos cos cos 6662ππππ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭， 22sin cos 166ππ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，cos6cos =1πα-∴=又()0,απ∈，56πα∴=. 故选：D .【点睛】本题考查角的概念，属于基础题.5.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若423S S =，且2615a a +=，则4a =( ) A. 8 B. 6C. 4D. 2【答案】B 【解析】 【分析】由题可判断1q ≠，根据423S S =列方程()()421111311a q a q qq--=⨯--得22q =，再代入2615a a +=可得23a =，根据公式可得4a .【详解】当数列{}n a 的公比1q =时，414S a =，2136S a =，423S S ≠，1q ∴≠.()()421111311a q a q qq--∴=⨯--，得22q =.()4262115a a a q +=+=Q ，23a ∴=， 2426a a q ∴==.故选：B .【点睛】本题考查等比数列，求等比数列中的项，一般根据条件列方程求出首项和公比即可，注意等比数列公比为1的求和公式，属于基础题.6.已知m ，n 是空间内两条不同的直线，α，β是空间内两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A. 若m n ⊥，m α⊥，则//n α B. 若αβ⊥，m αβ=I ，n m ⊥，则n α⊥ C. 若m αβ=I ，//n α，则//m n D. 若m α⊥，βn//，//αβ，则m n ⊥【答案】D 【解析】 【分析】A.若m n ⊥，m α⊥，则n αP 或n ⊂α.B.若αβ⊥，m αβ=I ，n m ⊥，若n β⊄，不成立，C.若m αβ=I ，//n α，m 与n 的关系是异面或平行.D.由面面垂直的性质定理判断.【详解】若m n ⊥，m α⊥，则n αP 或n ⊂α，故A 不正确，； 若αβ⊥，m αβ=I ，n m ⊥，若n β⊂，则n α⊥，故B 不正确， 若m αβ=I ，//n α，m 与n 的关系是异面或平行，故C 不正确， 若m α⊥，//αβ，m β⊥，又因为βn//，所以m n ⊥，故D 正确. 故选：D【点睛】本题主要考查点、线、面的位置关系，还考查理解辨析的能力，属于中档题. 7.已知曲线()y f x =在点0x =处的切线方程为31y x =+，则曲线()xf x y e =在点0x =处的切线方程为( ) A. 21y x =- B. 21y x =+ C. 1y x =- D. 1y x =+【答案】B 【解析】 【分析】由()y f x =切线方程31y x =+，得()01f =，()03f '=，代入()x f x y e =可得切点坐标，对()xf x y e =求导代入可得切线斜率，求解出方程即可.【详解】由切线方程31y x =+，得()01f =，()03f '=. 设()()xf xg x e =， 则()()()()()()2x x xx e f x e f x f x f x g x e e ''--'==，()()0001f g e ∴==，()()()0002f f g e '-'==，∴曲线()xf x y e=在点0x =处的切线方程为12y x -=， 即21y x =+， 故选：B .【点睛】本题考查曲线上某点的切线方程，考查导数的应用，根据导数求出切点与切线斜率即可，属于基础题.8.执行如图的程序框图，最后输出结果为8.若判断框填入的条件是s a ≥，则实数a 的取值范围是( )A. (]21,28B. [)21,28C. (]28,36D. [)28,36【答案】A 【解析】 【分析】根据循环结构程序框图的运算，求得k =7及k =8时s 的值，判断框填入的条件是s a ≥，即可得a 的取值范围.【详解】1k =，0s =，①条件不满足，1s =，2k =；②条件不满足，3s =，3k =； ③条件不满足，6s =，4k =；④条件不满足，10s =，5k =； ⑤条件不满足，15s =，6k =；⑥条件不满足，21s =，7k =； ⑦条件不满足，28s =，8k =；满足条件，退出循环.2128a ∴<≤.故选：A .【点睛】本题考查程序框图计算，此类问题需要分析程序框图中各个变量、语句的作用，根据流程图的顺序依次计算即可，属于基础题.9.函数()()3sin cos 10f x x x a ωω=+->的最小正周期是π，则函数()f x 在区间[]0,100上的零点个数为（ ） A. 31B. 32C. 63D. 64【答案】D 【解析】 【分析】先用辅助角法，将()12sin cos 122f x x x ωω⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭，转化为()2sin 16f x x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再由最小正周期是π，求得解析式，然后求零点即可.【详解】因为()12cos 12f x x x ωω⎫=+-⎪⎪⎝⎭2sin 16x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.Q 最小正周期是π，=2ω∴.()2sin 216f x x π⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭，令()0f x =，得1sin 262x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 2266x k πππ∴+=+或52266x k πππ+=+，k ∈Z . x k π∴=或3x k ππ=+，k ∈Z .0100x ≤≤Q ，∴当x k π=时，0x =，π，2π，3π，L ，31π共32个；当3x k ππ=+时，3x π=，3ππ+，23ππ+，L ，313ππ+共32个.∴函数()f x 在区间[]0,100上的零点总共有64个.故选：D【点睛】本题主要考查三角函数的性质和零点问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10.过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，垂线交y 轴于点B ，且3AB FA =u u u r u u u r .若OAB V 的面积为2（O 是坐标原点），则双曲线的标准方程为( ) A. 2213x y -=B. 22132x y -=C. 2213y x -=D. 22123x y -=【答案】A 【解析】 【分析】由题意及点到直线距离公式可得FA b =，OA a =，由3AB FA =u u u r u u u r可得3AB b =，根据面积公式可得ab =，又根据垂线AF 的方程为()a y x c b =--，得点B 的坐标为0,ac B b ⎛⎫⎪⎝⎭，利用勾股定理可得222229a c a b b+=，结合222+=a b c 联立解出a 、b 即可得双曲线方程.【详解】过右焦点(),0F c 作渐近线by x a=的垂线，渐近线方程即0bx ay -=.FA b ==Q ，OA a ∴=，又3AB FA =u u u r u u u r可得3AB b =，则113222OAB S OA AB a b ==⨯⨯=△ab ∴=.又垂线AF 的方程为()a y x c b =--，得点B 的坐标为0,ac B b ⎛⎫⎪⎝⎭，Rt OAB ∴∆中，222229a c a b b+=②.由①②及222+=a b c ，得23a =，21b =，∴双曲线的标准方程为2213x y -=.故选：A .【点睛】本题考查双曲线的方程，涉及双曲线渐近线相关的知识及三角形面积公式应用，列出关于a 、b 、c 的方程计算即可，属于综合题，考查综合分析及计算能力，属于中等题.11.圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示.早在公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后7位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第7位的人，这比欧洲早了约1000年.生活中，我们也可以通过如下随机模拟试验来估计π的值：在区间()0,1内随机取2m 个数，构成m 个数对(),x y ，设x ，y 能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 有n 对，则通过随机模拟的方法得到的π的近似值为（ ） A.2mnm+ B.2m nn+ C.24m nm+ D.22m nn+ 【答案】C 【解析】 【分析】根据在区间()0,1内随机取2m 个数，则有0101x y <<⎧⎨<<⎩，试验的全部结果构成以1为边长的正方形，其面积为1.因为x ，y 能与1构成钝角三角形，由余弦定理的及三角形知识得2211x y x y ⎧+<⎨+>⎩求得相应的面积，再利用几何概型的概率公式求解.【详解】依题有0101x y <<⎧⎨<<⎩，试验的全部结果构成以1为边长的正方形，其面积为1.因为x ，y 能与1构成钝角三角形，由余弦定理的及三角形知识得2211x y x y ⎧+<⎨+>⎩，构成如图阴影部分，其面积为142π-， 由几何概型概率计算公式得1421nmπ-=，解得24m nmπ+=. 故选：C【点睛】本题主要考查数学史和几何概型的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.12.已知三棱锥S ABC -的所有顶点在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，ABC V 是等腰直角三角形，2SA AB AC ===，D 是BC 的中点，过点D 作球O 的截面，则截面面积的最小值是( )A. πB. 2πC. 3πD. 4π【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得点D 是Rt ABC V 的外心，过点D 作DO ⊥平面ABC 使112DO SA ==，O 是外接球球心，半径设为R ，不难求出3R =，过点D 作球O 的截面，当OD ⊥截面时，截面面积最小，求出面积即可. 【详解】点D 是Rt ABC V 的外心，过点D 作DO ⊥平面ABC 使112DO SA ==， O 是外接球球心，半径设为R ，则OA OS R ==.在直角梯形SADO 中，2SA =，1OD =，2AD =，得3R =，过点D 作球O 的截面，当OD ⊥截面时，截面面积最小， 此时截面圆的半径为222R OD -=，∴截面面积的最小值是2π.故选：B .【点睛】本题考查球截面问题，通常利用勾股定理求解，根据题意找出圆心，再利用垂直于直径的截面面积最小即可求出最小面积，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量)3,1a =r，()3,b m =-r ，a r 与b r 的夹角为23π，则实数m =__________.【答案】1 【解析】【分析】根据向量的夹角公式可得关于m 的方程，计算求解即可．【详解】∵向量)a =r，()b m =r ，a r 与b r 的夹角为23π，∴||2a =r，||b =r，根据数量积定义21cos 32|||a b a b π⋅===-r r r r，解得1m =. 故答案为：1.【点睛】本题考查向量的夹角公式，解题关键是对向量夹角公式的灵活掌握，属于基础题.14.已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线与x 轴相交于点C .若以F 为圆心、p 为半径的圆与抛物线相交于点A ，B ，则sin ACF ∠=__________.【答案】2【解析】 【分析】根据已知抛物线与圆方程联立可得交点A ，B 坐标，再由AB x ⊥轴及抛物线性质可得Rt AFC V 为等腰三角形，可得45ACF ∠=︒，即可求解.【详解】由222222y px p x y p ⎧=⎪⎨⎛⎫-+=⎪ ⎪⎝⎭⎩，得2p x y p ⎧=⎪⎨⎪=±⎩， ,2p A p ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，,2p B p ⎛⎫- ⎪⎝⎭.AB x ∴⊥轴.在Rt AFC V 中，AF CF p ==，45ACF ∴∠=︒，sin 2ACF ∴∠=.. 【点睛】本题考查抛物线的性质，掌握及灵活应用抛物线的定义及几何性质是解题关键，考查学生的分析与转化能力，属于简单题.15.2020年年初，新冠肺炎疫情袭击全国.口罩成为重要的抗疫物资，为了确保口罩供应，某工厂口罩生产线高速运转，工人加班加点生产.设该工厂连续5天生产的口罩数依次为1x ，2x ，3x ，4x ，5x （单位：十万只），若这组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的方差为1.44，且21x ，22x ，23x ，24x ，25x 的平均数为4，则该工厂这5天平均每天生产口罩__________十万只. 【答案】1.6 【解析】 【分析】设1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的平均数为x ，根据方差的计算公式有()()()2221251 1.445x x x x x x ⎡⎤-+-++-=⎢⎥⎣⎦L .即()()2222125125257.2x x x x x x x x +++-++++=L L ，再利用21x ，22x ，23x ，24x ，25x 的平均数为4求解.【详解】依题意，得22212520x x x +++=L .设1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的平均数为x ， 根据方差的计算公式有()()()2221251 1.445x x x x x x ⎡⎤-+-++-=⎢⎥⎣⎦L . ()()2222125125257.2x x x x x x x x ∴+++-++++=L L ，即22201057.2x x -+=，1.6x ∴=.故答案为：1.6【点睛】本题主要考查样本中的数字特征，还考查了数据处理和运算求解的能力，属于基础题.16.已知正项数列{}n a 和{}n b 满足：①11a =，23a =；②12n n n a a b ++=，211n n n b b a ++=.则数列{}n a 的通项公式为n a =___________. 【答案】()112n n + 【解析】 【分析】根据条件②12n n n a a b ++=，211n n n b b a ++=联立化简得数列是等差数列，再根据条件①可得的通项，再代入②即可得数列{}n a 的通项公式.【详解】0n a >Q ，0n b >，211n n n b b a ++=，1n a +∴=则2n ≥2n b =，2n ∴≥==∴数列是等差数列.又1212a a b +=，12b ∴=，222192a b b ==，=2d ==，()()1122n n =-=+. ()2112n b n ∴=+，()()11122n a n n +∴==++.()112n a n n ∴=+，其中11a =适合此式，()112n a n n ∴=+.故答案为：()112n n +.【点睛】本题考查数列的通项公式，考查对数列相关知识的理解与运用，解题关键是对题目条件的转化，属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.某大学为了调查该校学生性别与身高的关系，对该校1000名学生按照10:1的比例进行抽样调查，得到身高频数分布表如下： 男生身高频率分布表女生身高频数分布表（1）估计这1000名学生中女生的人数；（2）估计这1000名学生中身高在[]170,190的概率；（3）在样本中，从身高在[]170,180的女生中任取2名女生进行调查，求这2名学生身高在[)170175,的概率.（身高单位：厘米）【答案】（1）400名；（2）0.49；（3）15. 【解析】 【分析】（1）由男生、女生身高频数分布表可知，抽了60名男生，40名女生，则女生的人数为4010004004060⨯=+；（2）由男生、女生身高频数分布表可知，身高在[]170,190的有49人，又共抽取100人，计算可得概率； （3）身高在[)170175,的女生有3名，身高在[]175,180的女生有3名，列举法可得抽取2名共15种，其中2名学生的身高都在[)170175,的情况有3种，可求概率.【详解】（1）由频率分布表可得样本中男生为60名，女生为40名， 估计这1000名学生中女生的人数大约是4010004004060⨯=+（名）.（2）由表知，样本中身高在[]170,190的人数为19184233=49+++++， 样本容量是100，∴样本中身高在[]170,190的概率为49100， ∴估计这1000名学生中身高在[]170,190的概率为0.49.（3）依题意，身高在[)170175,的女生有3名，记为a ，b ，c ， 身高在[]175,180的女生有3名，记为d ，e ，f ，则从身高在[]170,180的女生中任取2名，所有情况有：ab ，ac ，ad ，ae ，af ，bc ，bd ，be ，bf ，cd ，ce ，cf ，de ，df ，ef 共15种， 其中2名学生的身高都在[)170175,的情况有ab ，ac ，bc 共3种，∴这2名学生身高都在[)170175,的概率为31155=. 【点睛】本题考查频率分布表的应用及概率计算，解题关键是对频数分布表及古典概型求概率的灵活掌握，属于基础题.18.如图，平面ABCD I 平面ABEF AB =，四边形ABCD 和ABEF 都是边长为2的正方形，点M ，N 分别是AF ，AB 的中点，二面角D AB F --的大小为60°.（1）求证：//MN 平面BCF ； （2）求三棱锥M BCF -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）33. 【解析】 【分析】（1）由中位线性质可知//MN BF ，又MN ⊄平面BCF ，BF ⊂平面BCF 即可求证；（2）根据题目条件不难得出DAF ∠就是二面角D AB F --的平面角，连接DM ，解三角形可得DAM △为直角三角形，由DM AM ⊥进一步求证可得DM ⊥平面ABEF ,又//CD 平面ABEF ，可得点C 到平面ABEF 的距离等于点D 到平面ABEF 的距离，即为所求三棱锥的高，再求出底面积代入体积公式即可.【详解】（1）证明：M Q ，N 分别是AF ，AB 的中点，//MN BF ∴.MN ⊄Q 平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，//MN ∴平面BCF .（2）Q 四边形ABCD 和ABEF 都是边长为2的正方形，DA AB ∴⊥，FA AB ⊥，DAF ∴∠就是二面角D AB F --的平面角，60DAF ∴∠=︒.连接DM ，在DAM △中，2DA =，1AM =，60DAM ∠=︒，2222cos603DM AM AD AM AD ∴=+-⋅⋅︒=，3DM ∴=.222DM AM AD ∴+=，DM AM ∴⊥.DA AB ⊥Q ，FA AB ⊥，FA DA A =I ，AB ∴⊥平面ADM ，AB DM ∴⊥.DM ∴⊥平面ABEF .//CD Q 平面ABEF ，∴点C 到平面ABEF 的距离等于点D 到平面ABEF 的距离，为3.FA AB ⊥Q ，N 为AB 的中点，2AF AB ==， 11212NBF S ∴=⨯⨯=△//MN Q 平面BCF ，M BCF N BCF C NFB V V V ---∴==.13333M BCF NBF V S -∴=⨯=△.【点睛】本题考查线面平行的证明及三棱锥的体积求法，考查空间推理能力及转化能力，属于中等题. 19.ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC V 的外接圆半径为R ，面积为S ，已知A 为锐角，且()2222tan =4b c R A S +-.（1）求A ；（2）若=1a ，求S 的最大值. 【答案】（1）4π；（2）)1214+.【解析】（1）根据正、余弦定理和同角三角函数的基本关系可求出sinA 的值，再根据是锐角三角形可确定角A 的值； （2）将a ，A 的值代入余弦定理，得到关系b ，c 的关系式，再由面积公式及基本不等式可求最大值． 【详解】（1）()2222tan 4b c RA S +-=Q ，()222sin 124sin cos 2A b c R bc A A ∴+-=⨯， 即22222cos b c R bc A +-=，2222cos 2b c bc A R ∴+-=， 由余弦定理得222a R =，由正弦定理得()222sin 2R A R =，得sin A =， A Q 为锐角，4A π∴=.（2）由余弦定理，得22212b c bc +-⨯=，221b c ∴+=+.222b c bc +≥Q ，取等号的条件是b c =，22bc +∴≤.)11sin 1244S bc A ∴==≤.S ∴的最大值为)114.【点睛】本题考查正、余弦定理的应用，涉及到的考点由同角三角函数关系、面积公式、基本不等式，属于综合题，考查综合分析能力及转化思想，属于中等题.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，过C 的焦点且垂直于x 轴的直线被C ，椭圆C. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）经过右焦点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与y 轴相交于点10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，求直线l 的方程.【答案】（1）2212x y +=；（2）1y x =-或1122y x =-.【解析】（1）根据通径可求过C 的焦点且垂直于x 轴的直线被C 截得的弦长为22b a ，再由椭圆C的离心率为2及椭圆解得a 、b ，可得椭圆方程；（2）依题意，得直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()1y k x =-，与椭圆联立利用韦达定理可得线段AB的中点为2222,1212k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，可得线段AB 的垂直平分线的方程为222121212k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，代入10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭解得1k =或12k =，由此得出直线l 的方程. 【详解】（1）过C 的焦点且垂直于x 轴的直线被C 截得的弦长为22ba，222222b a c a a b c ⎧=⎪⎪⎪∴=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得a =1b c ==.∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=.（2）依题意，得直线l 的斜率存在且不为0，()1,0F ， 设直线l 的方程为()1y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，由()22112y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()2222124220k x k x k +-+-=. 可得2880k ∆=+>，2122412k x x k ∴+=+，21222212k x x k-=+， ()121222212ky y k x x k +=+-=-+∴线段AB 的中点为2222,1212k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. 线段AB垂直平分线的方程为222121212k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭. 令0x =，得212ky k=+. 21123k k ∴=+，解得1k =或12k =. ∴直线l 的方程为1y x =-或1122y x =-.【点睛】本题考查椭圆方程与椭圆与直线综合问题，求椭圆方程一般思路为列关于a 、b 、c 的方程组求解即可，椭圆与直线综合问题通常是设直线，联立，求韦达定理代入核心条件求解未知量，计算量较大，属于中等题.21.已知函数()2ln 2f x x ax x =++的导函数为()f x '.（1）若()21f x x'≤-对任意0x >恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若函数()f x 的极值为正数，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）14a -≤；（2）102a -<<. 【解析】 【分析】 （1）由()21f x x '≤-对任意0x >恒成立，求出()f x '代入分离参数，将问题转化为2min 124a xx ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，由二次函数的最值可得a 的取值范围；（2）由函数()f x 的极值为正数，则()=0f x '有正根，将问题转化为二次函数有正根问题，对a 进行分类讨论，可得当0a <时，方程2410ax x ++=有两个不等实根1x ，2x 且异号，设10x <，20x >，可得出2x x =是函数()f x 在()0,∞+上的唯一极值点且是极大值点，再利用函数与方程思想可得21>x ，又22214x a x +=-得实数a 的取值范围. 【详解】（1）()141f x ax x'=++Q ， 12411ax x x ∴++≤-对任意0x >恒成立，即2124a x x≤-. 2min 124a xx ⎛⎫∴≤- ⎪⎝⎭.2212111x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭Q ，当1x =时有最小值-1， 41a ∴≤-，14a ∴≤-.（2）()()2141410ax x f x ax x x x++'=++=>.①当0a ≥时，()0f x '>，()f x 在()0,∞+上递增， 此时()f x 无极值；②当0a <时，设方程2410ax x ++=，1160a ∆=->. 方程2410ax x ++=有两个不等实根1x ，2x ，12104x x a=<Q ，1x ∴，2x 一正一负， 设10x <，20x >，结合函数241y ax x =++的图象可知，当()20,x x ∈时，()0f x '>；当()2,x x ∈+∞时，()0f x '<，()f x ∴在()20,x 上递增，在()2,x +∞上递减，2x x =是函数()f x 在()0,∞+上的唯一极值点且是极大值点.()222222222ln 0,410,f x ax x x ax x ⎧=++>∴⎨++=⎩ 2211ln 022x x ∴+->. 令()11ln 22h x x x =+-，易知()h x 在()0,∞+上递增，又()10h =，()0h x ∴>时，1x >，21x ∴>.222410ax x ++=Q ，()22222111142,024x a x x ⎛⎫+∴=-=-++∈- ⎪⎝⎭.102a -<<∴.【点睛】本题考查利用导数求参数的取值范围，包括不等式恒成立求参数范围及已知极值范围求参数取值范围，核心考点是导数的应用，不等式恒成立求参数范围运用转化思想将参数分离，转化为求区间上函数的最值问题即可解决，已知极值范围求参数取值范围通过求导数将问题转化为二次函数根的分布问题，利用分类讨论及转化思想进行求解，是难题. 选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=. （1）求直线l 的普通方程与圆C 的直角坐标方程；（2）已知点()1,0P ，直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，设()1PB PA λλ=>，求实数λ. 【答案】（10y --=；()2224x y -+=（2）λ=【解析】 【分析】（1）消去参数t ，求得直线的普通方程，由4cos ρθ=求圆的普通方程.（2）设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t .依题意，点()1,0P 在直线l 上且在圆C 的内部.21t t λ=-.然后将直线l 的参数方程与圆C 的直角坐标方程联立，再用韦达定理求解.【详解】（1）由1122x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去参数t ，0y -=.由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=，即224x y x +=.故圆C 的直角坐标方程为()2224x y -+=. （2）设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t .依题意，点()1,0P 在直线l 上且在圆C 的内部.21t t λ∴=-.将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程并整理得230t t --=，121t t ∴+=，123t t =-.()2121213t t t t +∴=-，211273t t t t ∴+=-，得21t t =21t t λ∴=-=. 1λ>Q，76λ∴=. 【点睛】本题主要考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的转化和直线与圆的位置关系，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()212f x x x =++-.（1）解不等式()6f x ≤；（2）设函数()f x 的最小值为m ，已知0a >，0b >且2ab a b m +-=+，求+a b 的最小值.【答案】（1）{}22x x -≤≤（2）4【解析】【分析】 （1）将函数去绝对值，得()3,12124,123,2x x f x x x x x x x -≤-⎧⎪=++-=+-<<⎨⎪≥⎩，然后分段求解.（2）先求分段函数的最小值，3m =.将2ab a b m +-=+，转化为()()114a b -+=，再利用基本不等式有()()11a b a b +=-++≥. 【详解】（1）()3,12124,123,2x x f x x x x x x x -≤-⎧⎪=++-=+-<<⎨⎪≥⎩，∴当1x ≤-时，由36x -≤，得21x -≤≤-；当12x -<<时，由46x +≤，得12x -<<；当2x ≥时，由36x ≤，得2x =. 综上所述，原不等式的解集为{}22x x -≤≤. （2）()3,14,123,2x x f x x x x x -≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪≥⎩Q ，()f x ∴在(),1-∞-递减，在()1,-+∞递增.()()min 13f x f ∴=-=.3m ∴=.5ab a b ∴+-=，即()()114a b -+=.0a >Q ，0b >，1a ∴>.则()()114a b a b +=-++≥=，当且仅当11a b -=+且()()114a b -+=，即3a =，1b =时，取等号.3a ∴=，1b =时+a b 有最小值4.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法和基本不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.。