北航 矩阵论 矩阵论课后参考答案
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cost=xi/r;%求得矩阵常数c
sint=xj/r;%求得矩阵常数s
%%%%%%%%%%%%构造出当前交换两个数据是的Givens矩阵%%%%%%%%%%%
sub_T(1,1)=cost;
sub_T(1,sub_i)=sint;
sub_T(sub_i,1)=-sint;
sub_T(sub_i,sub_i)=cost;
因此通解为
17（2）
解：方程的增广矩阵为
故 ，故可知方程不相容。
故可得其关于 的极小最小二乘解为
故从上式可得A的满秩分解为
,
从而
带入公式即可。
第4章
习题
4解：
设 ,由Neuman级数可知式子收敛且其和为
7解：
由于 ，故可知幂级数 收敛，且其和为
设 前n项和为S，则其展开为
（1）
将式（1）其两边同乘 则有
矩阵论课后参考答案：
第
习题
2
（1）解：由定义知
故可知其基为 个 阶矩阵，简单基记为在矩阵上的某一元素位置上为1，其他元素为0，如下
，
（2）解：对约束 分析可知，其为一个上下对称的矩阵（对称阵），则其维数为
其基为 个 阶的矩阵，故基可写为
， ，
（3）解：同上理，对 分析可知其为一个上下成负对称的矩阵，且对角元全为0，则其维数为
3（1）
解：
的特征值为 对应的特征向量依次为
，
所以rank（A）=2；
取 ,
则A的奇异值分解为：
3（2）
解：
的特征值为 对应的特征向量依次为
，
因为rank（A）=1；
取 ,
则A的奇异值分解为：
习题
5
解：由 ，（提示：先交换第1列与第3列后再进行化简）得
可得特征值对应的特征向量分别为
， ，
故 ，
则
故A的谱分解为
sub_T=eye(m-index_j+1,m-index_j+1);%进行下一个数据与第一个数据的交换时重新初始化每次交换时的Givens矩阵
end
T_all=blkdiag(eye(index_j-1),T)*T_all;%将每一列的数据变为与单位向量平行后的每列的Givens矩阵乘起来
A_after_givens=T_all*A;%求得经过Givens变化后的矩阵
故
1（2）一个givens变换如下：
function[Q R]=qrgivens(A)
[m,n]=size(A);
if(m>n)
fprintf('这是一个Leabharlann Baidu满秩矩阵\n')
elseif(m==n)
fprintf('这是一个方阵矩阵\n')
else
fprintf('这是一个行满秩矩阵，不能用QR分解\n')
2设A是n阶可逆矩阵，则
解： ,故同上理，用满秩分解求广义逆的方法有
习题
15（2）
解：方程的增广矩阵为
故 ，故可知方程式相容的。
方案1:故可的其关于 的通解为
故从上式可得A的满秩分解为
,
从而
因此通解为
方案2:故可得其关于 的通解为
利用Hermite初等型求解A-{1}逆
可知 ，
故矩阵A的{1}逆为
（不妨取 ）
A_tempt=A_after_givens(index_j+1:m,index_j+1:n);%取得余下的余子式
end
Q=T_all';
R=T_all*A;
习题
3（1）
解：
故取
, ,所以
3
解：
故取
， ，所以
习题
2
证：设 的特征值为
则存在n阶酉矩阵V，使得
亦即 相似与对角矩阵，则由相似的性质可知
又因 为奇异值，故有 ，从而有
其基为 个 阶的矩阵，故基可写为
， ，
3
解：由题可得
不难看出其秩为3，则
设 ,则存在 有
则 ，故有
即
所以
8
(先补充定理：
定理：设n元齐次线性方程组的系数矩阵A的秩 ，则齐次线性方程组的基础解析存在，并且基础解系所含线性无关的解向量的个数等于 )
证：1）对任意的 ,则有 且 成立，故
所以 。
2）明显
3）对于 来说， 为 的一个基础解系，不妨设 ，则有 式1
其中 ， --------------------------------3
故有 -----------------------------4
则 -------------------------------------------------5
设B为T在基 下的矩阵，则由题意有
-------------------------------------------6
则由 解出向量 （这是 给定后的任一值）
故可得
补充要点：关于 的讨论
由于 不仅与 有关，它还与下面的式子有关，故需要找到一个合适的式子使得两式成立。不妨设
则由式 可得
而由式 可知
故可知
从而可得
不妨取 ，则可得
习题
2.（2）
解：复数域中向量 , 内积为
正交化后
2.(3)
解：
先取一组简单基为 ，再根据题中内积定义进行Schmidt正交化。
10
解：因为
故其收敛半径为1。
又A的特征值为
故
则其谱半径为
又
故可知矩阵级数 发散。
习题
6（1）
解：当 时
由 得
，
所以 。
同理当 时
同理当 时
（3）
解：当 时
由 得
所以 。
同理当 时
同理当 时
习题
1
解：由矩阵函数的性质得知
式中
从而有
..........................................................式7
故可知 为实数，从而可知Hermite矩阵的特征根为实数。
第2章
习题
1（1）
解： ， , , ,故由Gram_Schmidt正交化有
求其单位向量后有
， ，
则单位化后有
， ，
令 ，则
从而可得
17
证明：由题知n阶矩阵A的秩为1，则说明A有n-1重0特征根与一个特征根 。又因存在 ，故可知 ，故A的特征多项式可写为
且存在可逆矩阵P，使得
又最小多项式 ,且最小多项式与特征多项式具有相同的根，则最小多项式为
因为
故n阶矩阵A的最小多项式为 。
18
证明：
不妨引入辅助矩阵，则有下式成立
则
=
故可得
（2）
将式（1）减去式（2）后并等式两边同时加上一个单位矩阵I有
上式变为 ，因此
两边取极限可得
同上理
（3）
将式（3）其两边同乘 则有
（4）
将式（3）减去式（4）后有
（5）
将式（5）其两边同乘 则有
（6）
将式（5）减去式（6）后并等式两边同时加上一个2倍单位矩阵I有
（7）
上式变为
两边取极限，整理可得
。
（2）直接令p=x即可
第3章
习题
4
证明：对于r阶对角阵S，不难看出其逆矩阵满足Moore-Penrose方程，亦即有 。在此，不妨令
则有下式
故由定义可知G为A的广义逆，即有
。证毕
习题
补充作业
1、求广义逆
解：
故可求得 的标准正交基为
则有
故A的广义逆为
=
补充作业
1设A,B都是n阶酉矩阵，则
解：
不难看出 分别为一个列满秩矩阵与行满秩矩阵，故由满秩分解求其广义逆为
Q='null';R='null';
return
end
A_tempt=A;%将矩阵赋给一个用于中间过程运算的矩阵
T_all=eye(m);%初始化Givens矩阵
forindex_j=1:n%对每一列的向量进行变换
b=A_tempt(:,1);%取第一列的向量进行运算
sub_T=eye(m-index_j+1,m-index_j+1);%初始化每次交换值时的每个Givens变化
而由约束条件 知
其中 为 的一个基础解系，则有
故 的秩为 式2
故由式1及式2可知：
综上1），2），3）。则有 证毕
习题
8
解：由题可知 与 时空间 的两组基，则存在一个过渡矩阵C使得
-------------------------------------1
引入 的一组简单基
则 ------------------------------------2
不妨令 为特征值 所对应的一个特征向量，即
..........................................................式2
将式1代入式2可得
........................................................式3
将式3两边同取共轭有
亦即
从而有
19
解：借用18题的结论，则可知BA的特征值为 ，C=AB的特征多项式为
20
解：和19题的解法相同. 的特征多项式为
故特征根为0（n-1重）与 。
习题
13
解：由题可得 的初等因子为
的不变因子为 ，
，
22
解：
故其初等因子为 ，所以
令 ,则有 ,即
即
则由 解出向量
则由 解出向量 （这为任取一个值）
对 单位化： , ,
最后得到该组标准正交基为
4
解：将齐次方程组写为
其中A为
化简上式后有
原方程为
由于 ，故方程组有3个基础解系。将 分别取值为
,故可得解空间的一组解为
对上式解用施密特正交化，有
将上式归一化后的标准正交基为
9
证明：由于A为hermite矩阵，则有
..........................................................式1
6
解：
A的特征多项式为
所以A的特征值为 ，根据单纯矩阵的性质可知，对应于A的二重特征值6，A应该有两个线性无关的特征向量，故线性方程组 的系数矩阵的秩应该为3-2=1，即 ,故
从而可知 时，A为单纯矩阵。
由特征值 可得对应的特征向量分别为
， ，
故 ，
则
故A的谱分解为
求可逆阵P，
（1）将 标准正交化
求得结果为
由式1与式6综合可得
-----------------------------------------------------------7
故
补充知识：对 求逆及求原始的
从题中我们可以看出直接求 的逆有很大的困难度，而 的逆矩阵较为好求，故我们将式5转化一下变为 ，
故可知
从而可求得
同理知道 后可求得C如下
.........................................式4
对上式同时右乘特征向量 后有
...................................................式5
将式2代入式5中有
...................................................式6
T=eye(m-index_j+1,m-index_j+1);%初始化当前列交换完成时候总的Givens矩阵
forsub_i=2:m-index_j+1%将每一列的数据从第二个数据开始依次与第一个数据进行变化
xi=b(1);%获取第一个数据
xj=b(sub_i);%依次获取当前列之后的数据
r=sqrt(xi^2+xj^2);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
T=sub_T*T;%将每次两个数据交换后的Gives变化给乘起来，直到当前列所有数据交换完成
b(1)=sqrt(b(1)^2+b(sub_i)^2);%1求得交换数据之后的第一个数据的值
b(sub_i)=0;%将交换的数据位置0
sint=xj/r;%求得矩阵常数s
%%%%%%%%%%%%构造出当前交换两个数据是的Givens矩阵%%%%%%%%%%%
sub_T(1,1)=cost;
sub_T(1,sub_i)=sint;
sub_T(sub_i,1)=-sint;
sub_T(sub_i,sub_i)=cost;
因此通解为
17（2）
解：方程的增广矩阵为
故 ，故可知方程不相容。
故可得其关于 的极小最小二乘解为
故从上式可得A的满秩分解为
,
从而
带入公式即可。
第4章
习题
4解：
设 ,由Neuman级数可知式子收敛且其和为
7解：
由于 ，故可知幂级数 收敛，且其和为
设 前n项和为S，则其展开为
（1）
将式（1）其两边同乘 则有
矩阵论课后参考答案：
第
习题
2
（1）解：由定义知
故可知其基为 个 阶矩阵，简单基记为在矩阵上的某一元素位置上为1，其他元素为0，如下
，
（2）解：对约束 分析可知，其为一个上下对称的矩阵（对称阵），则其维数为
其基为 个 阶的矩阵，故基可写为
， ，
（3）解：同上理，对 分析可知其为一个上下成负对称的矩阵，且对角元全为0，则其维数为
3（1）
解：
的特征值为 对应的特征向量依次为
，
所以rank（A）=2；
取 ,
则A的奇异值分解为：
3（2）
解：
的特征值为 对应的特征向量依次为
，
因为rank（A）=1；
取 ,
则A的奇异值分解为：
习题
5
解：由 ，（提示：先交换第1列与第3列后再进行化简）得
可得特征值对应的特征向量分别为
， ，
故 ，
则
故A的谱分解为
sub_T=eye(m-index_j+1,m-index_j+1);%进行下一个数据与第一个数据的交换时重新初始化每次交换时的Givens矩阵
end
T_all=blkdiag(eye(index_j-1),T)*T_all;%将每一列的数据变为与单位向量平行后的每列的Givens矩阵乘起来
A_after_givens=T_all*A;%求得经过Givens变化后的矩阵
故
1（2）一个givens变换如下：
function[Q R]=qrgivens(A)
[m,n]=size(A);
if(m>n)
fprintf('这是一个Leabharlann Baidu满秩矩阵\n')
elseif(m==n)
fprintf('这是一个方阵矩阵\n')
else
fprintf('这是一个行满秩矩阵，不能用QR分解\n')
2设A是n阶可逆矩阵，则
解： ,故同上理，用满秩分解求广义逆的方法有
习题
15（2）
解：方程的增广矩阵为
故 ，故可知方程式相容的。
方案1:故可的其关于 的通解为
故从上式可得A的满秩分解为
,
从而
因此通解为
方案2:故可得其关于 的通解为
利用Hermite初等型求解A-{1}逆
可知 ，
故矩阵A的{1}逆为
（不妨取 ）
A_tempt=A_after_givens(index_j+1:m,index_j+1:n);%取得余下的余子式
end
Q=T_all';
R=T_all*A;
习题
3（1）
解：
故取
, ,所以
3
解：
故取
， ，所以
习题
2
证：设 的特征值为
则存在n阶酉矩阵V，使得
亦即 相似与对角矩阵，则由相似的性质可知
又因 为奇异值，故有 ，从而有
其基为 个 阶的矩阵，故基可写为
， ，
3
解：由题可得
不难看出其秩为3，则
设 ,则存在 有
则 ，故有
即
所以
8
(先补充定理：
定理：设n元齐次线性方程组的系数矩阵A的秩 ，则齐次线性方程组的基础解析存在，并且基础解系所含线性无关的解向量的个数等于 )
证：1）对任意的 ,则有 且 成立，故
所以 。
2）明显
3）对于 来说， 为 的一个基础解系，不妨设 ，则有 式1
其中 ， --------------------------------3
故有 -----------------------------4
则 -------------------------------------------------5
设B为T在基 下的矩阵，则由题意有
-------------------------------------------6
则由 解出向量 （这是 给定后的任一值）
故可得
补充要点：关于 的讨论
由于 不仅与 有关，它还与下面的式子有关，故需要找到一个合适的式子使得两式成立。不妨设
则由式 可得
而由式 可知
故可知
从而可得
不妨取 ，则可得
习题
2.（2）
解：复数域中向量 , 内积为
正交化后
2.(3)
解：
先取一组简单基为 ，再根据题中内积定义进行Schmidt正交化。
10
解：因为
故其收敛半径为1。
又A的特征值为
故
则其谱半径为
又
故可知矩阵级数 发散。
习题
6（1）
解：当 时
由 得
，
所以 。
同理当 时
同理当 时
（3）
解：当 时
由 得
所以 。
同理当 时
同理当 时
习题
1
解：由矩阵函数的性质得知
式中
从而有
..........................................................式7
故可知 为实数，从而可知Hermite矩阵的特征根为实数。
第2章
习题
1（1）
解： ， , , ,故由Gram_Schmidt正交化有
求其单位向量后有
， ，
则单位化后有
， ，
令 ，则
从而可得
17
证明：由题知n阶矩阵A的秩为1，则说明A有n-1重0特征根与一个特征根 。又因存在 ，故可知 ，故A的特征多项式可写为
且存在可逆矩阵P，使得
又最小多项式 ,且最小多项式与特征多项式具有相同的根，则最小多项式为
因为
故n阶矩阵A的最小多项式为 。
18
证明：
不妨引入辅助矩阵，则有下式成立
则
=
故可得
（2）
将式（1）减去式（2）后并等式两边同时加上一个单位矩阵I有
上式变为 ，因此
两边取极限可得
同上理
（3）
将式（3）其两边同乘 则有
（4）
将式（3）减去式（4）后有
（5）
将式（5）其两边同乘 则有
（6）
将式（5）减去式（6）后并等式两边同时加上一个2倍单位矩阵I有
（7）
上式变为
两边取极限，整理可得
。
（2）直接令p=x即可
第3章
习题
4
证明：对于r阶对角阵S，不难看出其逆矩阵满足Moore-Penrose方程，亦即有 。在此，不妨令
则有下式
故由定义可知G为A的广义逆，即有
。证毕
习题
补充作业
1、求广义逆
解：
故可求得 的标准正交基为
则有
故A的广义逆为
=
补充作业
1设A,B都是n阶酉矩阵，则
解：
不难看出 分别为一个列满秩矩阵与行满秩矩阵，故由满秩分解求其广义逆为
Q='null';R='null';
return
end
A_tempt=A;%将矩阵赋给一个用于中间过程运算的矩阵
T_all=eye(m);%初始化Givens矩阵
forindex_j=1:n%对每一列的向量进行变换
b=A_tempt(:,1);%取第一列的向量进行运算
sub_T=eye(m-index_j+1,m-index_j+1);%初始化每次交换值时的每个Givens变化
而由约束条件 知
其中 为 的一个基础解系，则有
故 的秩为 式2
故由式1及式2可知：
综上1），2），3）。则有 证毕
习题
8
解：由题可知 与 时空间 的两组基，则存在一个过渡矩阵C使得
-------------------------------------1
引入 的一组简单基
则 ------------------------------------2
不妨令 为特征值 所对应的一个特征向量，即
..........................................................式2
将式1代入式2可得
........................................................式3
将式3两边同取共轭有
亦即
从而有
19
解：借用18题的结论，则可知BA的特征值为 ，C=AB的特征多项式为
20
解：和19题的解法相同. 的特征多项式为
故特征根为0（n-1重）与 。
习题
13
解：由题可得 的初等因子为
的不变因子为 ，
，
22
解：
故其初等因子为 ，所以
令 ,则有 ,即
即
则由 解出向量
则由 解出向量 （这为任取一个值）
对 单位化： , ,
最后得到该组标准正交基为
4
解：将齐次方程组写为
其中A为
化简上式后有
原方程为
由于 ，故方程组有3个基础解系。将 分别取值为
,故可得解空间的一组解为
对上式解用施密特正交化，有
将上式归一化后的标准正交基为
9
证明：由于A为hermite矩阵，则有
..........................................................式1
6
解：
A的特征多项式为
所以A的特征值为 ，根据单纯矩阵的性质可知，对应于A的二重特征值6，A应该有两个线性无关的特征向量，故线性方程组 的系数矩阵的秩应该为3-2=1，即 ,故
从而可知 时，A为单纯矩阵。
由特征值 可得对应的特征向量分别为
， ，
故 ，
则
故A的谱分解为
求可逆阵P，
（1）将 标准正交化
求得结果为
由式1与式6综合可得
-----------------------------------------------------------7
故
补充知识：对 求逆及求原始的
从题中我们可以看出直接求 的逆有很大的困难度，而 的逆矩阵较为好求，故我们将式5转化一下变为 ，
故可知
从而可求得
同理知道 后可求得C如下
.........................................式4
对上式同时右乘特征向量 后有
...................................................式5
将式2代入式5中有
...................................................式6
T=eye(m-index_j+1,m-index_j+1);%初始化当前列交换完成时候总的Givens矩阵
forsub_i=2:m-index_j+1%将每一列的数据从第二个数据开始依次与第一个数据进行变化
xi=b(1);%获取第一个数据
xj=b(sub_i);%依次获取当前列之后的数据
r=sqrt(xi^2+xj^2);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
T=sub_T*T;%将每次两个数据交换后的Gives变化给乘起来，直到当前列所有数据交换完成
b(1)=sqrt(b(1)^2+b(sub_i)^2);%1求得交换数据之后的第一个数据的值
b(sub_i)=0;%将交换的数据位置0