高中数学教师备课必备系列(圆与方程)专题八 圆系方程及其应用 Word版含解析
人教版(A)必修二课件圆的方程及其应用
练习：（1）等腰三角形的顶点A的坐标是（4，2）， 底边一个端点B的坐标是（3，5），求另一个端点C 的轨迹方程，并说明它是什么图形。
（2）已知AB是 o的直径， AB 2a，点M 为
圆上的一动点，做MN AB，垂足为N，在OM 上取点P，使得 OP MN ，求点P的轨迹。
（3） 圆x y 4 x 2 y c 0与y轴交于A、B两点，
圆的方程的综合应用
例1、已知点M与两个定点O（0，0）、A（3，0） 1 的距离比是 ， 2 （1）求M的轨迹方程；
延伸：已知点M与两个定点O（0，0）、A（3，0） 的距离比是（ 0)，求M的轨迹方程
（2）平面上有两个点B（-1，0）、C（1，0）， 在M的轨迹上取一点P， 求使得 BP CP 取得最小值时点P的坐标。
2 2
圆心为P，若90，求c的值。
（4）已知x2 y 2 4 x 2 y 4 0, 则x 2 y 2的最大值_______, 最小值________.
作业
• 书Ｐ１３５ Ｂ组Ｔ２ • 作业本Ｂ本Ｐ６９
高考数学复习第八章解析几何第3节圆的方程课件文新人教A版
4＋2D＋F＝0，
F＝0.
方法二 画出示意图如图所示，则△OAB 为等腰直角三角形，故
所求圆的圆心为(1,0)，半径为 1，所以所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，
即 x2＋y2－2x＝0.
VS
题组二 教材改编⇔最新模拟
3．(P121 练习 T3 改编)圆 C 的直径的两个端点分别是 A(－1,2)，B(1，4)，则圆 C 的标准方程为____x2_＋__(_y_－__3_)2_＝__2___.
考点二 与圆有关的轨迹问题
师生 共研
设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平 行四边形MONP，求点P的轨迹．
解 如图，设 P(x，y)，N(x0，y0)，则线段 OP 的中点坐标 为2x，2y，线段 MN 的中点坐标为x0－2 3，y0＋2 4.
是
(B)
A．R
B．(－∞，1)
C．(－∞，1]
D．[1，＋∞)
解析 由方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0可得(x－2)2＋(y＋1)2＝5－5k，此方程表示 圆，则5－5k>0，解得k<1.故实数k的取值范围是(－∞，1).
6．(2019·河北邯郸月考)圆(x＋1)2＋y2＝2 的圆心到直线 y＝x＋3 的距离为
故圆 P 的方程为 x2＋(y－1)2＝3 或 x2＋(y＋1)2＝3.
考点三 与圆有关的最值问题
已知实数 x, y 满足方程 x2＋y2－4x＋1＝0. (1)求yx的最大值和最小值； (2)求 y－x 的最大值和最小值．
师生 共研
解 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心， 3为半径的圆． (1) yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k，即 y＝kx.当直线 y ＝kx 与圆相切时，斜率 k 取得最大值或最小值，此时|2kk2－＋01|＝ 3，解得 k＝± 3(如图 1)． 所以yx的最大值为 3，最小值为－ 3.
圆系方程 高三数学复习圆系方程及教案 高三数学复习圆系方程及教案
圆系方程在平面解析几何直线与圆的教学中，向学生介绍圆系方程可为解题提供便利。
这里主研究常用的一类圆系方程。
定理1 过直线L:y=kx+b及圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0的两个交点的圆系方程为：x2+y2+Dx+Ey+F+λ(kx-y+b)=0 ①（其中λ为待定常数）。
首先证明方程①表示圆。
由于直线l与圆C交，故方程组：；有两组不同的实数解，消去y整理得：(k2+1)x2+(D+kE+2kb)x+b2+bE+F=0 ；Δ＝(D+kE+2kb)2-4(k2+1)(b2+bE+F)＞0 ；整理得： D2+k2E2+2kDE+4kbD-4k2F＞4(b2+bE+F) ②将方程①变形为：x2+y2+(D+kλ)x+(E-λ)y+λb+F=0.要证此方程表示圆，即证：(D+kλ)2+(E-λ)2-4(λb+F)＞0,即：(k2+1)λ2+(2kD-2E-4b)λ+D2+E2-4F＞0.将它看作是关于λ的一元二次不等式，要证其成立，只需证明：Δ＝(2kD-2E-4b)2-4(k2+1)(D2+E2-4F)＜0 ③而此式等价变形为： D2+k2E2+2kDE+4kbD-4k2F＞4(b2+bE+F).它与②完全一致，由于原方程组有两组不同的实数解，所以②式成立，故③式恒成立，方程①表示圆。
其次，证明圆①一定经过直线L与圆C的两个交点。
设两交点分别为A(x1,y1) ，B(x2,y2)，∵点A既在直线L上又在圆C上，∴kx1-y1+b=0, x12+y12+Dx1+Ey1+F=0,∴x12+y12+Dx1+Ey1+F+λ(kx1-y1+b)=0,即点A在圆①上，同理点B亦在此圆上。
故圆①经过A、B两点。
综上，定理1得证。
定理2 经过两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0,C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0,的交点的圆系方程为：x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(包括圆C1，不包括圆C2，其中λ为常数且λ≠-1）特别地，当λ＝-1时，即（D1-D2）x+(E1-E2)y+F1-F2=0表示两圆公共弦所在直线方程。
人教版高中总复习一轮数学精品课件 第8章 解析几何 8.3 圆的方程
命题角度2 截距型最值问题
例4 在例3的条件下求y-x的最大值和最小值.
解 y-x可看作直线y=x+b在y轴上的截距.
如图,当直线y=x+b与圆相切时,
纵截距b取得最大值或最小值,
|2-0+|
此时
√2
= √3,解得 b=-2±√6.
故 y-x 的最大值为-2+√6,最小值为-2-√6.
命题角度3 距离型最值问题
2
2
x+y-2=0.
解题心得求解与圆有关的最值问题的两种思路
(1)借助几何性质求最值
-
①形如 k= 的最值问题,可转化为定点(a,b)与圆上的动点(x,y)的斜率的
-
最值问题;
②形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题;
③形如u=(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的
代入 x2+y2=1,整理得
又 y0≠0,所以 y≠0.故所求轨迹方程为
1 2
2 4
+ 3 +y =9(y≠0).
解题心得求与圆有关的轨迹方程问题时,根据题设条件的不同,常采用以下
方法:
(1)直接法:直接根据题目提供的条件求出轨迹方程.
(2)定义法:根据圆、直线等定义求出轨迹方程.
(3)几何法:利用圆的几何性质求出轨迹方程.
则点P的坐标为(2x-2,2y),其中x≠2.
因为点P在圆x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4,即(x-1)2+y2=1.
故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1(x≠2).
(2)设PQ的中点为N(x,y).在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|.
高中数学教师备课必备系列圆与方程专题八 圆系方程及其应用 含解析
圆系方程及其应用一．常见的圆系方程有如下几种：222??0)?)(x?a)??(y?b(),b(a为圆心的同心圆系方程：．以12222?0??+Dx?Ey?F?0xEyx??yy+Dx?与圆同心的圆系方程为：220??F+DxC:x??yEy0?l:ax?by?c交点的圆系方程为：与圆2．过直线22??）R?）?0+（（ax?byx??yc+Dx?Ey?FABClB,A为公共弦的一系列相交圆，其圆心在（1）当直线交于与圆两点时，圆系中的所有圆是以AB的垂直平分线上；公共弦??b??aED),?M(?ACl时，这时圆系的圆心与圆，切于点（2）当直线22?????bEaE?abD?D),b?(a?(?,?)?CM?OM?OC?(?,?)?(?,?)2222222?n?CM=CMn l)b(a,n?，∴，∴而直线∥的法向量2l?CM ACl的过点，且直线的切线．为圆因此，CMCACA?l与重合．又∵（过切点的半径与切线垂直），∴ACCl圆心都，直线外）与圆内切或外切于点是它们的公切线，由此可知，圆系中的所有圆（除圆CA在直线上．22220??FDx?Ey?F?0C:x?yC:x+?yE+Dx?y交点的圆系方程为：．过两圆与322112112????2222??1?0?Dx?Ey?y+Dx?Ey?F??xF?y?x+．221121??E??DED2211),?M(?,可知，圆心??)?)2(12(1?????(E?E)E?(D?DDDE?)ED1111211222)?(?,?)CM(??,?OM?OC?(??,?)11????)2(1??)?2(12(1)2(1?2)2???EDED2211)]?(OC?OC,?)?C[(??,C)?(??2112?????1122221?M,C,CCC M上．因此，点共线，即圆系的所有圆的圆心都在已知两圆的连心线2112CAB?CC AB C BA,为所有两点时，则，且弦（即连心线与公共弦垂直）（1）当圆与圆相交于2211圆的公共弦；CCCC AAM上，圆系的所有圆都与已（2）当圆与圆内切或外切于的连心线点时，则在过切点2121CC A处内切或外切．及圆知的圆在点21注意：22+Dx?EyxC:??yF?0； 1）此圆系不含圆（2222CC和两圆公共弦所在直线交点的圆，可等价转化为过圆（2）为了避免利用上述圆系方程时讨论圆2122?[(D?D)x?(E?E)y?Dx?Ey?F?(F?F)]?x?y0? :系方程211112211???1??*0F)?)y?(F??(D?D)x?(EE称为根轴方程．时，上述方程（3）特别地，当222111根轴的特点：位于已知两圆外的根轴上的任意一点向圆系的所有圆所作的切线的长都相等．CC ABBA,(*)所在直线的方程；与圆两点时，方程于表示公共弦①当两已知圆21C AA C(*)的公切线方程．②当圆点时，方程与圆内切或外切于表示过（内或外）公切点21A外，公切线上的所有点均具有根轴的性质．这时，除点二．圆系方程在解题中的应用2222?2x?yy?1??y?2?03x0x??y3?3x交点和坐标原点的圆的方程．．求经过两圆和例122020?x?2y?x?y?4(2,0)3)BA(?1,?，且过点例2．求与圆切于点的圆的方程．222222?0?3)]?(y200x?y?4x?2y???[(x?1)?(x?1)?(y3)?3)A(??1,，构造圆系为点圆解一：视点422??7x?7y?4x?18y?20?0(2,0)B，∴所求的圆的方程为，可得代入点3A(?1,?3)3x?4y?15?0，与已知圆构造圆系解二：过点的已知圆的切线方程为22?(3x?4y??15)?x0?yy?4x?2?20822??7x?7y?4x?18y?20?0(2,0)B代入点，∴所求的圆的方程为，可得7220?1?y??2x4yxC:?0??2:x?y4l的交点且面积最小的圆的方程．求经过直线与圆Ｃ： 3.例??22?0?4?x?y2x?y?1+?2xy?4解一：设圆的方程为，即22???)?0?(1?x)?(4?4)xy?y+2(1+，则1584??2222???????()4144r??(41)?(?)?(?)，5544．8222??r?26x?12y?5x37?5y?0. 最小，从而圆的面积最小，故所求圆的方程为：∴当时，5作业：222?x?y4)?B(?1,A(1,1) 1.求与圆的圆的方程．切于点，且过点22220x?y?x?4x?y?10x?3y?6?的交点，且与直线2.求过两圆和相切的圆的方程．221)??R,k?k?10)y10k?20?0(kx??y2?kx?(4中，任意两个圆的位置关系如何？3.圆系一．常见的圆系方程有如下几种：222??0)(???x?a)?(yb)()b(a, 1．以为圆心的同心圆系方程：2222?0??+Dx?EyxDxx?y+?Ey?F?0?y同心的圆系方程为：与圆220?c?axl:?by0?EyC:x?y+Dx??F交点的圆系方程为：与圆2．过直线22??）0?（R???x?y+Dx?EyF+（ax?byc）ABClB,A为公共弦的一系列相交圆，其圆心在两点时，圆系中的所有圆是以与圆交于）当直线（1AB公共弦的垂直平分线上；??b??aED,?M(?)ACl，2（时，这时圆系的圆心切于点）当直线与圆22．?????b?abDD?EaE,?)?((??,?)?(?,?)??(a,b)CM?OM?OC?2222222?n?CM=CMn l)bn?(a,，∴，∴而直线∥的法向量2CM?l ACl的切线．，且直线因此，的过点为圆CA?lCACM重合．与（过切点的半径与切线垂直）又∵，∴CCAl是它们的公切线，外）与圆内切或外切于点圆心都由此可知，圆系中的所有圆（除圆，直线CA上．在直线2222+Dx?Ey?F?0C:x?:xy?y+Dx?Ey?F?0C交点的圆系方程为：．过两圆与311222121????2222??10??Eyy?F??Fx??y?+Dxx?yD+x?E．211122??EE??DD2211,M(??),可知，圆心??)??)2(12(1????(E?E)(D?D?DDE?)EDE1111222211)?(?,?)CM(??,?OM?OC?(?,?)?11????)2(122(1??2(1?2(1)?))2???EDDE2211)]?(OC?OC)?)?(??,?[(?C,?C2121????12211??22M,C,CCC M上．共线，即圆系的所有圆的圆心因此，点都在已知两圆的连心线2211CAB?CCC ABB,A为所有（即连心线与公共弦垂直）相交于两点时，则（1）当圆，且弦与圆2211圆的公共弦；CCCC AAM上，圆系的所有圆都与已内切或外切于在过切点与圆点时，则）当圆（2的连心线2121CC A处内切或外切．及圆知的圆在点21注意：22+Dx?Ey?FC:x??y0；1）此圆系不含圆（2222CC和两圆公共弦所在直线交点的圆）为了避免利用上述圆系方程时讨论圆，可等价转化为过圆（22122?[(D?D)x?(E?E)y?Dx?EyF??(F?F)]?0x?y? :系方程221211111???1??*)F?0)E?Ey?(F?x?(DD)?(称为根轴方程．3（）特别地，当时，上述方程211221根轴的特点：位于已知两圆外的根轴上的任意一点向圆系的所有圆所作的切线的长都相等．CC ABBA,(*)所在直线的方程；表示公共弦两点时，方程①当两已知圆与圆于21C AA C(*)的公切线方程．内切或外切于点时，方程表示过（内或外）公切点与圆②当圆21A外，公切线上的所有点均具有根轴的性质．这时，除点二、圆系方程在解题中的应用：2222?2x?y3y?1?3x?y?2?03xx0?y??交点和坐标原点的圆的方程．例1 和．求经过两圆22?4x?2y?20?x0?y A(?1,?3)B(2,0)的圆的方程．，且过点切于点例2．求与圆222222?]?3)0?(?20?y[(x?1)?(y?3)1)?0x??y?4x?2y(x?3)1,A(??视点解一：为点圆，构造圆系422??(2,0)B?4x?18yx??7y20?07，可得，∴所求的圆的方程为代入点3A(?1,?3)3x?4y?15?0，与已知圆构造圆系的已知圆的切线方程为解二：过点22?(3x?4y??20?15)?x0?y??4x2y822??7x?7y?4x?18y?20?0(2,0)B，可得代入点，∴所求的圆的方程为72201?y2?x?C:x4?y?0x4??y?l:2的交点且面积最小的圆的方程．与圆Ｃ：例3.求经过直线??22?02x?1+y?4??x?xy?2?4y，即解一：设圆的方程为22???)??40?4)yx??y(1+2(1+)x?(，则1584??2222???????4)r??()(41?)1?(?4)?4(，55448222??r5x?5y?26x?12y?37?0. 最小，从而圆的面积最小，故所求圆的方程为：∴当时，5练习：22?yx2?A(1,1)B(?1,?4)的圆的方程．，且过点切于点1.求与圆2222??2)?1)??y(x(x?1)0?(y?解：设所求的圆方程为29????+29=0154???1,yB(?1,?4)x?，，解得代入，得，将∵圆过点15822???15x?15y?447x??7y0将代回圆系方程，得所求的圆方程为522220?4yxx?y??1x?0?x?3y?6 2.求过两圆相切的圆的方程．和的交点，且与直线?14??222222?x??x?y?00x?y?1?x?y?4x?，即解：设所求的圆的方程为????1122?????1441?12?????4?r???(,0)，半径圆心?????????1||1??21?1?????2?6||??|?|232??1?d?(,0)0?y?6x?3圆心的距离到直线??||1?2?13?12???8??3|41|2??rd?0?y?6x?3????相切，∴，即∵所求圆与直线??|?11|1?|1|28??2222220xx?y?yx??1??40?x?y?311?323x∴所求的圆的方程为，??222,0?2?d?r0x?4??xy0y3?6?x?的距离又圆的圆心到直线即11|2?6|3?1220x??xy?4∴圆也符合题意，22220??x??32y?3x3?x110y4x?.∴所求的圆的方程为或22?2kx?(4k?10)y?10k?20?0(k?R,xk?y??1)中，任意两个圆的位置关系如何？3.圆系22?10y?20?2k(x?4y?5)?x0?y解：圆系方程可化为：2x?4y?10?0x?2y?5?0??k?R，k??1∵，??2250,C?0?10?2l:x?4y?5)?x5?(y的半径，故直线∴，即??2222x?y?10y?20?0x?(y?5)?5??到直线易知圆心的距离恰等于圆22?5y?5)(x?02xl:?y??5相切，即上述方程组有且只有一个解，从而圆系方程所表示的与圆任意两个圆有且只有一个公共点，故它们的关系是外切或内切．。
2025高考数学一轮复习-8.3-圆的方程【课件】
A．a<－2
B．－23<a<0
C．－2<a<0
D．－2<a<23
【解析】 由方程表示圆的条件得 a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0， 即 3a2＋4a－4<0，∴－2<a<23.故选 D.
6．已知实数 x，y 满足(x－2)2＋y2＝4，则 3x2＋4y2 的最大值为___4_8____．
3．过点 A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线 x＋y－2＝0 上的圆的方程是( C ) A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
【解析】 解法一：∵圆心在直线 x＋y－2＝0 上，
设圆心(a,2－a)，圆方程为(x－a)2＋(y－2＋a)2＝r2，代入点 A(1，－1)，B(－1,1)得
【解析】 由(x－2)2＋y2＝4，得 y2＝4x－x2≥0，得 0≤x≤4.所以 3x2＋4y2＝3x2＋4(4x －x2)＝－x2＋16x＝－(x－8)2＋64,0≤x≤4，所以当 x＝4 时，3x2＋4y2 取得最大值 48.
易错点睛：(1)忽视表示圆的充要条件 D2＋E2－4F>0 致误． (2)忽视圆的方程中变量的取值范围致误．
x－y－1＝0.联立 Nhomakorabeax－y－1＝0， 2x－7y＋8＝0，
解得
x＝3， y＝2.
∴r＝ 6－32＋0－22＝ 13.
∴圆 C 的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝13.
解法二(待定系数法)：设圆 C 的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
由题意得61－ －aa22＋ ＋05－ －bb22＝ ＝rr22， ， 2a－7b＋8＝0，
(word完整版)高中数学圆的方程经典例题与解析(2021年整理)
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高中数学圆的方程经典例题与解析例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小,而要判断点P 与圆的位置关系,只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径,则点在圆内．解法一：（待定系数法)设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-．∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为222)(r y a x =+-．又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-22224)3(16)1(ra ra解之得：1-=a ,202=r ．所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点,所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13124-=--=AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(,故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C∴半径204)11(22=++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外．说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系,若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢?例2 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线．解：∵点()42，P 不在圆O 上,∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y 根据r d = ∴ 21422=++-k k解得43=k 所以()4243+-=x y 即 01043=+-y x 因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2=x ．说明:上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决(也要注意漏解）．还可以运用200r y y x x =+，求出切点坐标0x 、0y 的值来解决，此时没有漏解． 例3、直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为解：依题意得，弦心距3=d ，故弦长2222=-=d r AB ，从而△OAB 是等边三角形，故截得的劣弧所对的圆心角为3π=∠AOB .例4 圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个？分析:借助图形直观求解．或先求出直线1l 、2l 的方程，从代数计算中寻找解答． 解法一：圆9)3()3(22=-+-y x 的圆心为)3,3(1O ，半径3=r ． 设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324311343322<=+-⨯+⨯=d ．如图,在圆心1O 同侧，与直线01143=-+y x 平行且距离为1的直线1l 与圆有两个交点，这两个交点符合题意．又123=-=-d r ．∴与直线01143=-+y x 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意．∴符合题意的点共有3个．解法二:符合题意的点是平行于直线01143=-+y x ,且与之距离为1的直线和圆的交点．设所求直线为043=++m y x ，则1431122=++=m d ，∴511±=+m ，即6-=m ，或16-=m ,也即06431=-+y x l ：，或016432=-+y x l ：．设圆9)3()3(221=-+-y x O ：的圆心到直线1l 、2l 的距离为1d 、2d ，则 34363433221=+-⨯+⨯=d ,143163433222=+-⨯+⨯=d ．∴1l 与1O 相切，与圆1O 有一个公共点；2l 与圆1O 相交，与圆1O 有两个公共点．即符合题意的点共3个．说明：对于本题,若不留心，则易发生以下误解： 设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ,则324311343322<=+-⨯+⨯=d ．∴圆1O 到01143=-+y x 距离为1的点有两个．显然，上述误解中的d 是圆心到直线01143=-+y x 的距离，r d <，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断． 例5：圆0222=-+x y x 和圆0422=++y y x 的公切线共有 条。
圆系方程及其应用
圆系方程及其应用圆系方程是描述平面上所有圆的方程。
圆是由与固定点之间的距离保持不变的所有点组成的集合。
圆系方程可以用来解决各种几何问题，如确定圆的位置、分析圆与其他几何图形的关系等。
一、圆的方程1.标准方程圆的标准方程是以中心坐标和半径为变量的方程，形式如下：(x-h)^2+(y-k)^2=r^2其中，圆心坐标为(h,k)，半径为r。
2.参数方程圆的参数方程是以圆周上的点的坐标为变量的方程，形式如下：x = h + r*cosθy = k + r*sinθ其中，θ是圆周上的一个参数，范围为0到2π。
3.一般方程圆的一般方程形如：Ax^2+Ay^2+Bx+Cy+D=0其中，A、B、C、D是常数，圆心坐标可以通过一般方程中B、C的系数求出。
二、圆系方程的应用1.圆的位置通过圆系方程可以判断圆的位置。
当一般方程中的B和C的系数为零时，圆位于x轴或y轴上；当A和D的系数为零时，圆位于原点；当一般方程中B和C的系数不为零时，可以通过圆心坐标(-B/2A,-C/2A)来确定圆的位置。
2.圆与直线的关系通过圆系方程可以分析圆与直线的关系。
当圆的一般方程与直线的一般方程相交时，可以通过求解联立方程来确定相交点；当一般方程中A、B、C的系数满足一些条件时，圆与直线相切或相离。
3.圆与圆的关系通过圆系方程可以分析圆与圆的关系。
当两个圆的一般方程相交时，可以通过求解联立方程来确定相交点；当一般方程中A、B、C的系数满足一些条件时，圆与圆相切或相离。
4.圆的切线通过圆系方程可以确定圆的切线。
给定圆(y-k)^2=r^2和一直线Ax+By+C=0，可以通过求解联立方程确定圆上的一个点，然后通过推导求出该点处的切线方程。
以上是圆系方程及其应用的简要介绍。
圆系方程不仅可以帮助我们确定圆的位置和分析圆与其他几何图形的关系，还可以应用于解决实际问题，如地图上两个位置之间最短距离、圆形物体的表面积和体积等。
掌握圆系方程的应用技巧，对于解决几何问题与实际应用将大有裨益。
(江西版)高考数学总复习 第八章8.3 圆的方程教案 理 北师大版
2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第八章8.1 直线及其方程考纲要求1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，掌握确定直线位置的几何要素． 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．3．掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．知识梳理1．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角：①定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴____与直线l ____方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为______．②倾斜角的取值范围为________． (2)直线的斜率： ①定义：一条直线的倾斜角α的______叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝______，倾斜角是______的直线的斜率不存在．②过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝________.2．直线的方程(1)点斜式：已知直线过点(x 0，y 0)，斜率为k ，则直线方程为____________，它不包括__________的直线．(2)斜截式：已知直线在y 轴上的截距b 和斜率k ，则直线方程为__________，它不包括垂直于x 轴的直线．(3)两点式：已知直线经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)，则直线方程为________，它不包括垂直于坐标轴的直线．(4)截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距分别为a ，b (其中a ≠0，b ≠0)，则直线方程为____________，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线．(5)一般式：任何直线的方程均可写成______________的形式． 基础自测1．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( )． A ．π6 B ．π3 C ．23π D ．56π2．已知A (3,1)，B (－1，k )，C (8,11)三点共线，则k 的取值是( )． A ．－6 B ．－7 C ．－8 D ．－93．斜率为2的直线的倾斜角α所在的范围是( )． A ．0°＜α＜45° B ．45°＜α＜90° C ．90°＜α＜135° D ．135°＜α＜180° 4．直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )． A ．1 B ．－1 C ．－2或－1 D ．－2或15．若直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、三象限，则有( )． A ．ab ＞0，bc ＞0 B ．ab ＞0，bc ＜0 C ．ab ＜0，bc ＞0 D ．ab ＜0，bc ＜0 思维拓展1．如何正确理解直线的倾斜角与斜率的关系？提示：(1)所有的直线都有倾斜角，当直线与x 轴垂直，即倾斜角为π2时，斜率不存在；(2)直线倾斜角的范围为[0，π)，因为正切函数在[0，π)上不单调，所以在研究斜率与倾斜角的关系时，可结合正切函数在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π的图像，对其在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上的变化情况分别讨论．2．求直线方程时，应注意什么？提示：(1)因为点确定直线的位置，斜率确定直线的方向，所以求直线方程时可从寻求点的坐标或直线的斜率入手，再选择合适的形式写出直线的方程；(2)有时也可先设出直线的方程，再利用待定系数法确定其中的参数．此时，一定要注意斜率不存在的情况．一、直线的倾斜角与斜率【例1】已知A (－2,3)，B (3,2)，过点P (0，－2)的直线l 与线段AB 没有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是__________．方法提炼直线倾斜角的范围是[0，π)，但这个区间不是正切函数的单调区间．因此在考虑倾斜角与斜率的关系时，要分⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π两种情况讨论．由正切函数图像可以看出，当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0)．请做[针对训练]1二、求直线的方程【例2】已知直线l 过(2,1)，(m,3)两点，求直线l 的方程．方法提炼用待定系数法求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意所选方程的适用条件．无论选择哪种直线方程的形式，最后结果都要化成一般式．请做[针对训练]4三、直线方程的应用【例3－1】已知点A (2,5)与点B (4，－7)，试在y 轴上求一点P ，使得|PA |＋|PB |的值为最小．【例3－2】已知两直线l 1：x ＋2＝0，l 2：4x ＋3y ＋5＝0及定点A (－1，－2)，求过l 1，l 2的交点且与点A 的距离等于1的直线l 的方程．方法提炼在求直线方程的过程中，若有以直线为载体的面积、距离的最值等问题，一般要结合函数、不等式或利用对称来加以解决．请做[针对训练]5考情分析通过对近几年的高考试题的统计分析可以看出，对于直线方程的考查，一是考查直线倾斜角与斜率的关系、斜率公式；二是考查求直线的方程．从分析五种直线方程成立的条件入手，确定相应的量是确定直线方程的关键．用待定系数法求直线方程时，要特别注意斜率不存在的情况．单独考查直线方程的题目较少，主要是以直线方程为载体，与其他知识相交汇进行综合考查．针对训练1．直线x sin α－y ＋1＝0的倾斜角的变化范围是( )． A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 B ．(0，π) C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π2．(2011山东临沂模拟)直线x cos θ＋3y ＋2＝0的倾斜角的取值范围为__________．3．(2011广东广州高三调研)已知直线l 经过坐标原点，且与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0相切，切点在第四象限，则直线l 的方程为__________．4．若直线l 过点P (－2,3)，与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l 的方程． 5．已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．参考答案基础梳理自测 知识梳理1．(1)①正向 向上 0° ②0°≤α＜180° (2)①正切值 tan α 90° ②y 2－y 1x 2－x 12．(1)y －y 0＝k (x －x 0) 垂直于x 轴(2)y ＝kx ＋b (3)y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(4)x a ＋y b＝1 (5)Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0) 基础自测1．D 解析：∵直线的斜截式方程为y ＝－33x －33， ∴其斜率为－33. ∴其倾斜角为56π.2．B 解析：∵A ，B ，C 三点共线， ∴k －1－1－3＝11－18－3. ∴k ＝－7. 3．B 解析：由tan α＝2，结合正切函数在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π的图像，易知45°＜α＜90°.4．D 解析：当直线l 过原点时，则－2－a ＝0，即a ＝－2；当直线l 不过原点时，原方程可化为x a ＋2a＋ya ＋2＝1， 由a ＋2a＝a ＋2，得a ＝1. 所以a 的值为－2或1.5．D 解析：显然直线斜率存在，直线方程可化为y ＝－a b x －c b， 因为直线过第一、二、三象限， 所以有－a b ＞0，－c b＞0，即ab ＜0，bc ＜0. 考点探究突破【例1】⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，43 解析：如图，由斜率公式得k AP ＝－2－30－(－2)＝－52，k BP ＝－2－20－3＝43，当直线l 从与x 轴平行位置绕P 点逆时针旋转到直线PB 位置但不与PB 重合时满足题意，其斜率l 满足0≤k ＜k PB ＝43；当直线l 从AP 位置(与AP 不重合)绕P 点逆时针旋转到与x 轴平行的位置时，其斜率k满足k AP ＜k ＜0，即－52＜k ＜0.综上所述k 的取值范围是－52＜k ＜43.【例2】解：当m ＝2时，直线l 的方程为x ＝2；当m ≠2时，直线l 的方程为y －13－1＝x －2m －2，即2x －(m －2)y ＋m －6＝0.因为m ＝2时，方程2x －(m －2)y ＋m －6＝0，即为x ＝2， 所以直线l 的方程为2x －(m －2)y ＋m －6＝0.【例3－1】解：如图所示，先求出A 点关于y 轴的对称点A ′(－2,5)，直线A ′B 的方程为y ＋75＋7＝x －4－2－4，化简为2x ＋y －1＝0. 令x ＝0，得y ＝1.故所求P 点坐标为P (0,1)．【例3－2】解：先利用“过l 1、l 2的交点”写出直线系方程，再根据“l 与A 点距离等于1”来确定参数．过l 1、l 2交点的直线系方程是x ＋2＋λ(4x ＋3y ＋5)＝0，λ是参数．化为(1＋4λ)x ＋3λy ＋(2＋5λ)＝0①，由|－1×(1＋4λ)＋(－2)×3λ＋(2＋5λ)|(1＋4λ)2＋(3λ)2＝1， 得λ＝0.代入方程①，得x ＋2＝0.因为直线系方程①中不包含l 2，所以应检验l 2是否也符合已知条件．因A (－1，－2)到l 2的距离为|－4－6＋5|42＋32＝1，l 2也符合要求． 故直线l 的方程为x ＋2＝0和4x ＋3y ＋5＝0. 演练巩固提升 针对训练1．D 解析：直线x sin α－y ＋1＝0的斜率是k ＝sin α， 又∵－1≤sin α≤1，∴－1≤k ≤1.当0≤k ≤1时，倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4；当－1≤k ＜0时，倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.2．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫56π，π 解析：把直线方程化为斜截式y ＝－33cos θ·x －233，则k ＝－33cos θ.∵－33≤k ≤33， ∴0≤α≤π6或56π≤α＜π.3．y ＝－33x 解析：将圆的一般方程化为标准方程：(x －2)2＋y 2＝1，圆心为(2,0)，半径r ＝1，如图，经过原点的圆的切线的倾斜角为150°，切线的斜率为tan 150°＝－33，切线方程为y ＝－33x .4．解：由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ， 则l 的方程为y －3＝k (x ＋2)． 令x ＝0，得y ＝2k ＋3；令y ＝0，得x ＝－3k－2，则12·|2k ＋3|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3k －2＝4， ∴(2k ＋3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ＋2＝±8.若(2k ＋3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ＋2＝8，化简得4k 2＋4k ＋9＝0，方程无解；若(2k ＋3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ＋2＝－8，化简得4k 2＋20k ＋9＝0，解得k ＝－92或－12.∴直线l 的方程为y －3＝－92(x ＋2)或y －3＝－12(x ＋2)，即9x ＋2y ＋12＝0或x ＋2y －4＝0.5．解：解法一：设A (a,0)，B (0，b )(a ＞0，b ＞0)，则直线l 的方程为x a ＋y b＝1. ∵l 过点P (3,2)， ∴3a ＋2b ＝1，b ＝2a a －3. 从而S △ABO ＝12a ·b ＝12a ·2a a －3＝a 2a －3.故有S △ABO ＝(a －3)2＋6(a －3)＋9a －3＝(a －3)＋9a －3＋6≥2(a －3)·9a －3＋6＝12， 当且仅当a －3＝9a －3，即a ＝6时，(S △ABO )min ＝12，此时b ＝2×66－3＝4.∴所求直线l 的方程为x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0.解法二：设直线方程为x a ＋y b＝1(a ＞0，b ＞0)， 代入P (3,2)，得3a ＋2b ＝1≥26ab，得ab ≥24，从而S △AOB ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b 时，等号成立，此时k ＝－b a ＝－23，∴y －2＝－23(x －3)，∴所求直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0. 解法三：依题意知，直线l 的斜率存在． 设直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k ＜0)，则有A (3－2k，0)，B (0,2－3k )，∴S △AOB ＝12(2－3k )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋(－9k )＋4(－k )≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2(－9k )·4(－k ) ＝12(12＋12)＝12， 当且仅当－9k ＝4－k ，即k ＝－23时，等号成立．故所求直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0.。
高考数学统考一轮复习 第八章 平面解析几何 第三节 圆的方程(教师文档)教案 文 北师大版
学习资料第三节圆的方程授课提示:对应学生用书第156页［基础梳理]1．圆的定义、方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫作圆标准方程（x－a)2＋(y－b）2＝r2(r〉0)圆心：（a，b)半径:r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0条件：D2＋E2－4F>0圆心：错误!半径：r＝错误!错误!点M（x0，y0)与圆（x－a）2＋(y－b)2＝r2的位置关系:（1)点M(x0,y0）在圆外，则（x0－a)2＋（y0－b)2〉r2。
（2）点M(x0，y0)在圆上，则（x0－a)2＋(y0－b）2＝r2。
（3）点M（x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋（y0－b)2〈r2。
1．方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件：A＝C≠0，B＝0，且D2＋E2－4F＞0。
2．以A(x1,y1），B(x2，y2）为直径的圆的方程为(x－x1）（x－x2）＋(y－y1)（y－y2)＝0。
[四基自测]1．（基础点：圆的一般方程与标准方程的互化)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(）A．(2，3)B．（－2，3）C．（－2，－3）D。
(2，－3)答案：D2．(基础点：求圆的方程）过点A（1,－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是（）A．(x－3）2＋（y＋1）2＝4 B．(x＋3)2＋（y－1）2＝4C．（x－1）2＋(y－1）2＝4 D。
(x＋1)2＋（y＋1）2＝4答案:C3．（基础点：求圆的方程)△AOB中，A（4，0),B(0，3)，O（0，0)，则△AOB外接圆的方程为____________________．答案:x2＋y2－4x－3y＝04．(易错点：二元二次方程表示圆的条件）若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是________．答案：(－2，错误!)授课提示：对应学生用书第156页考点一求圆的方程挖掘求圆的方程/ 自主练透[例](1)圆心在y轴上，半径长为1,且过点A（1，2)的圆的方程是（)A．x2＋（y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1）2＋（y－3)2＝1D．x2＋（y－3)2＝4［解析］根据题意可设圆的方程为x2＋(y－b）2＝1,因为圆过点A（1,2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2，所以所求圆的方程为x2＋(y－2)2＝1。
2019高三数学理北师大版一轮教师用书：第8章 第3节 圆
第三节圆的方程[考纲传真](教师用书独具)1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．(对应学生用书第134页)[基础知识填充]1．圆的定义及方程2.点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．()(2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆．()(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.()(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0.()[解析]由圆的定义及点与圆的位置关系，知(1)(3)(4)正确．(2)中，当t≠0时，表示圆心为(－a，－b)，半径为|t|的圆，不正确．[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√ 2．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D [由题意得圆的半径为2，故该圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，故选D.]3．(2016·全国卷Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34 C ．3 D ．2A [圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0，得圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.] 4．点(2a ，a －1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，则a 的取值范围是( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜1C ．－1＜a ＜15D ．－15＜a ＜1D [由(2a )2＋(a －2)2＜5得－15＜a ＜1.]5．(教材改编)圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1,1)和B (1,3)，则圆C 的方程为________．(x －2)2＋y 2＝10 [设圆心坐标为C (a,0)， ∵点A (－1,1)和B (1,3)在圆C 上，∴|CA |＝|CB |，即(a ＋1)2＋1＝(a －1)2＋9， 解得a ＝2，所以圆心为C (2,0)， 半径|CA |＝(2＋1)2＋1＝10， ∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.](对应学生用书第135页)(1)(2017·豫北名校4月联考)圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4C ．x 2＋(y －2)2＝4D ．(x －1)2＋(y －3)2＝4(2)(2015·全国卷Ⅱ)过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( ) A ．26 B ．8 C ．4 6D ．10(1)D (2)C [(1)设圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心(2,0)关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(a ，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧b a －2·33＝－1，b 2＝33·a ＋22，解得a ＝1，b ＝3，从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.故选D. (2)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎨⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0.解得⎩⎨⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.∴圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0.令x ＝0，得y ＝－2＋26或y ＝－2－26，∴M (0，－2＋26)，N (0，－2－26)或M (0，－2－26)，N (0，－2＋26)，∴|MN |＝46，故选C ．]相切，圆心在直线y ＝－x －4上，则圆M 的标准方程为( )【导学号：79140274】A ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝1B ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1D ．(x －3)2＋(y －1)2＝1(2)(2016·天津高考)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________． (1)C (2)(x －2)2＋y 2＝9 [(1)到两直线3x －4y ＝0和3x －4y ＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x －4y ＋5＝0，联立方程组⎩⎨⎧3x －4x ＋5＝0，y ＝－x －4，解得⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝－1，所以圆M 的圆心坐标为(－3，－1)，又两平行线之间的距离为1032＋42＝2，所以圆M 的半径为1，所以圆M 的方程为(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1，故选C ．(2)因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a >0， 所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a 5＝455， 解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3， 所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.]已知M (x ，y )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)．(1)求|MQ |的最大值和最小值；(2)求y －3x ＋2的最大值和最小值． [解] (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0， 可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，∴圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2. 又|QC |＝(2＋2)2＋(7－3)2＝42， ∴|MQ |max ＝42＋22＝62， |MQ |min ＝42－22＝2 2.(2)可知y －3x ＋2表示直线MQ 的斜率k .设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0. 由直线MQ 与圆C 有交点，所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k2≤22， 可得2－3≤k ≤2＋3， ∴y －3x ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.1．(变化结论)在本例的条件下，求y －x 的最大值和最小值．[解] 设y －x ＝b ，则x －y ＋b ＝0.当直线y ＝x ＋b 与圆C 相切时，截距b 取到最值， ∴|2－7＋b |12＋(－1)2＝22，∴b ＝9或b ＝1. 因此y －x 的最大值为9，最小值为1.2．(变换条件)若本例中条件“点Q (－2,3)”改为“点Q 是直线3x ＋4y ＋1＝0上的动点”，其它条件不变，试求|MQ |的最小值．[解] ∵圆心C (2,7)到直线3x ＋4y ＋1＝0上动点Q 的最小值为点C 到直线3x ＋4y ＋1＝0的距离， ∴|QC |min ＝d ＝|2×3＋7×4＋1|32＋42＝7.又圆C的半径r＝22，∴|MQ|的最小值为7－2 2.－y＝2的距离的最大值是()A．1＋ 2 B．2C．1＋22D．2＋2 2(2)(2017·广东七校联考)圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0关于直线ax－by＋3＝0(a＞0，b＞0)对称，则1a＋3b的最小值是()A．2 3 B.20 3C．4 D.16 3(1)A(2)D[(1)由已知得圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，则圆心坐标为(1,1)，半径为1，所以圆心到直线的距离为|1－1－2|2＝2，所以圆上的点到直线的距离的最大值是1＋2，故选A．(2)由圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0知其标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝9，∵圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0关于直线ax－by＋3＝0(a＞0，b＞0)对称，∴该直线经过圆心(－1,3)，即－a－3b＋3＝0，∴a＋3b＝3(a＞0，b＞0)，∴1a＋3b＝13(a＋3b)⎝⎛⎭⎪⎫1a＋3b＝13⎝⎛⎭⎪⎫1＋3ab＋3ba＋9≥13⎝⎛⎭⎪⎫10＋23ab·3ba＝163，当且仅当3b a＝3ab，即a＝b时取等号，故选D.]已知A(2,0) 为圆x2＋y2＝4上一定点，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点.【导学号：79140275】(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．[解](1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.P(1,4)所连线段的中点M的轨迹方程．[解]由题意可知：动点C的轨迹是以(－1,0)为圆心，3为半径长的圆，方程为(x＋1)2＋y2＝9.设M(x0，y0)，则由中点坐标公式可求得C(2x0－1,2y0－4)，代入点C的轨迹方程得4x20＋4(y0－2)2＝9，化简得x20＋(y0－2)2＝9 4，故点M的轨迹方程为x2＋(y－2)2＝9 4.。
圆方程共52页
A．y2＋(x－2)2＝1 B．x2＋(y－2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1 答案：A
三基能力强化
3．当 a 为任意实数时，直线(a－ 1)x－y＋a＋1＝0 恒过定点 C，则以 C 为圆心， 5为半径的圆的方程为( )
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高考检阅
(本题满分12分)设有一个半径为3 km的圆形村落，A、B两人同时从村 落中心出发，A向东而B向北前进，A 出村后不久，改变前进方向，沿着切 于村落边界的方向前进，后来恰好与 B相遇．设A、B两人的速度都一定， 其比为3∶1，问两人在何处相遇？
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解：以村落中心为原点，A、B开 始前进方向为x轴、y轴建立直角坐标 系．
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(3)当 P 点在上述圆外时， ∵(x＋245)2＋y2＞(145)2， ∴[9(x＋5)2＋9y2]－[(x－5)2＋y2] ＝8[(x＋255)2＋y2－(145)2]＞0， ∴3 (x＋5)2＋y2＞ (x－5)2＋y2. 故此时到 B 地购物合算. 12 分
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【名师点评】 在解决实际问题 时，关键要明确题意，掌握建立数学 基本模型的方法将实际问题转化为数 学问题解决．
± 3.
所以y的最大值为 x
3，最小值
为－ 3.
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(2)y－x 可看作是直线 y＝x＋b 在 y 轴上的截距，当直线 y＝x＋b 与圆相切时，纵截距 b 取得最大值 或最小值，此时|2－0＋b|＝ 3，解
2 得 b＝－2± 6.
所以 y－x 的最大值为－2＋ 6，最小值为－2－ 6.
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圆的方程及其应用
80. 圆的四种方程
1圆的标准方程.
2圆的一般方程(＞0).
3圆的参数方程.
4圆的直径式方程(圆的直径的端点是、
).
81. 圆系方程
(1)过点,的圆系方程是
,其中是直线的方程,λ是待定的系数．
(2)过直线:与圆:的交点的圆系方程是,λ是待定的系数．
(3) 过圆:与圆:的交
点的圆系方程是,λ是待定的系数．
特别地，当时，就是
表示：
①当两圆相交时，为公共弦所在的直线方程；
②向两圆所引切线长相等的点的轨迹直线方程
82.点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有三种
若，则点在圆外;点在圆
上;点在圆内.
83.直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有三种
():
;;.
84.两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为O
1，O
2
，半径分别为r
1
，r
2
，
;
;
;
;
.
85.圆的切线方程及切线长公式
(1)已知圆．
①若已知切点在圆上，则切线只有一条，其方程是
.
当圆外时, 表示过两个切点的切点弦方程．求切点弦方程，还可以通过连心线为直径的圆与原圆的公共弦确定。
②过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．
③斜率为k的切线方程可设为，再利用相切条件求b，必有两条切线．
(2)已知圆．
①过圆上的点的切线方程为;
②斜率为的圆的切线方程为.
(3) 过圆外一点的切线长为。
2019-2020高中数学专题汇编(九)——圆与方程(K12教育文档)
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2019—2020高中数学专题汇编（九）-—圆与方程1. 若曲线：上所有的点均在第二象限内，则的取值范围为（ )。
A. B。
C.D。
2。
直线与圆有公共点，则实数的取值范围是（）。
A. B.C.D。
3. 三个顶点的坐标分别为, ，,则的形状为( ）。
A. 正三角形B。
锐角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形4. 已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，点为线段的中点，直线的方程为，且纵截距小于 ,若直线与点的轨迹只有一个公共点，则的值为（ ).B.A. C. 或D。
或5. 若圆与圆的公共弦长为，则的值为（）。
A。
B.C. D. 无解6. 若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为（）。
A. B.C. D.7。
在直角坐标系中，设, ，沿轴把坐标平面折成的二面角后，的长是( ）。
2019-2020高中数学专题汇编(九)——圆与方程(word版可编辑修改)A. B.C。
D。
8。
过圆外一点作圆的两条切线，切点为、，则的外接圆方程是（）。
A. B. C。
D.9. 已知圆：，圆：，当圆和圆内含时，的取值范围是（）。
A。
B。
C。
D。
10. 已知曲线: ,则曲线上的点到原点距离的最小值是（ )。
教案 高教版(数学)第二册——8.10 圆的方程
圆的方程教学目标知识目标：1、标系中，探索并掌握圆的标准方程；2、会由圆的方程写出圆的半径和圆心，能根据条件写出圆的方程。
能力目标：1、进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力；2、使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解；3、增强学生用数学的意识。
情感目标：培养学生主动探究知识、合作交流的意识，在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣。
教学重点圆的标准方程的求法及其应用。
教学难点会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程以及选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题。
教学方法启发引导法，讨论法。
教学过程一、圆的方程1、圆的标准方程x2＋y2＝r2，圆心Ｏ（０，０），半径r；(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心O（a，b），半径r。
确定圆方程的条件圆的标准方程中(x－a)2＋(y－b)2＝r2中，有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定，因此确定圆方程，须三个独立条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。
确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r，或直接求出圆心（a，b）和半径r，一般步骤为：根据题意，设所求的圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2；根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程。
圆的一般方程圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方，得，其圆心为（），半径为（D2＋E2－4F＞0）圆的一般方程的特点是：①x2，y2项的系数相同；②不含xy项。
具有上述两个特点的二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0仅符合了方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式，还需满足D2＋E2－4F＞0的条件，才能表示圆，因此，上述两个特点①、②是二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的必要条件，不是充分条件。
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一．常见的圆系方程有如下几种：
．以为圆心的同心圆系方程：
与圆同心的圆系方程为：
．过直线与圆交点的圆系方程为：
（）当直线与圆交于两点时，圆系中的所有圆是以为公共弦的一系列相交圆，其圆心在公共弦的垂直平分线上；
（）当直线与圆切于点时，这时圆系的圆心，
而直线的法向量，∴，∴∥
因此，，且直线为圆的过点的切线．
又∵（过切点的半径与切线垂直），∴与重合．
由此可知，圆系中的所有圆（除圆外）与圆内切或外切于点，直线是它们的公切线，圆心都在直线上．
．过两圆与交点的圆系方程为：．可知，圆心,
因此，点共线，即圆系的所有圆的圆心都在已知两圆的连心线上．
（）当圆与圆相交于两点时，则（即连心线与公共弦垂直），且弦为所有圆的公共弦；
（）当圆与圆内切或外切于点时，则在过切点的连心线上，圆系的所有圆都与已知的圆及圆在点处内切或外切．
注意：
（）此圆系不含圆；
（）为了避免利用上述圆系方程时讨论圆，可等价转化为过圆和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:
（）特别地，当时，上述方程称为根轴方程．
根轴的特点：位于已知两圆外的根轴上的任意一点向圆系的所有圆所作的切线的长都相等．
①当两已知圆与圆于两点时，方程表示公共弦所在直线的方程；
②当圆与圆内切或外切于点时，方程表示过（内或外）公切点的公切线方程．
这时，除点外，公切线上的所有点均具有根轴的性质．
二．圆系方程在解题中的应用
例．求经过两圆和交点和坐标原点的圆的方程．
例．求与圆切于点，且过点的圆的方程．
解一：视点为点圆，构造圆系
代入点，可得，∴所求的圆的方程为
解二：过点的已知圆的切线方程为，与已知圆构造圆系。