1-5指数与指数函数模板

2018/12/16
数式用对数函数的图象；底数不同、指数也不同的幂式 或底数不同、真数也不同的对数式可引入中间量转化或 化成同底，另外要注意指对互化的灵活运用．
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2．在指数里含有未知数的方程的解法． (1)形如 af(x)＝ag(x)(a>0， a≠1)的方程， 化为 f(x)＝g(x) 求解； (2)形如 af(x)＝bg(x)(a>0，b>0， a≠1， b≠ 1)的方程， 两边取对数； (3)形如 a2x＋b· ax＋ c＝ 0 的方程，用换元法令 ax＝ t 化为二次方程求解．
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3．用换元法解题时，要注意“新元”的取值范围．
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一、数形结合的思想 [例 1]
2 3 3 3 比较 与 2 3 4
的大小．
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4 3 x 解析： 在同一直角坐标系中作出函数 y＝ 与 y＝ 9 4
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解析： 0<a<1 时， f(x)＝ ax 在 [1,2]上单调递减， a 2 ∴ a－ a ＝ ，∴a＝ ； 3 3
2
a a>1 时，f(x)＝ a 单调递增，∴ a － a＝ ， 3
x 2
4 ∴ a＝ . 3
4 2 答案： 或 3 3
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三、解题技巧 1．比较一组幂式、对数式形式的数的大小时，一般 先区分正、负 (与 0 比 )；正数再与 1 比较，找出大于 1 的 和小于 1 的；底数相同的幂式，用指数函数的单调性； 底数相同的对数式用对数函数的单调性；指数相同的幂 式用幂函数的单调性或指数函数的图象；真数相同的对
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第 五 节
指数与指数函数
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重点难点 重点： ①指数幂的运算法则． ②指数函数的概念、图象与性质． 难点： ①根式与分数指数幂的运算． ② a>1 与 0<a<1 时，指数函数图象、性质的区别． ③指数函数图象与性质的应用和简单指数方程、不 等式的求解．
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解析： (1)原式＝ (1－a)(a－1) ＝－ (a－ 1)(a－1) ＝－ (a－ 1)
4 － 3 4
－
3 4
4 ＝－ a－ 1.
2
－1
1 2
(2)原式＝[xy (xy ) ＝ (xy x y ) x y
3 2 3 2 1 3 1 2 1 2
]
1 3
(xy)
1 2
2
1 2
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解析： ∵f(a2＋ a4＋ a6＋ a8＋ a10)＝ 4， f(x)＝ 2x， ∴ a2＋ a4＋ a6＋ a8＋ a10＝ 2， ∵ {an}为公差 d＝ 2 的等差数列， ∴ a1＋ a2＋ …＋ a10＝ 2(a2＋ a4＋ a6＋ a8＋ a10)－ 5d＝－ 6. ∴ log2[f(a1)· f(a2)· …· f(a10)] ＝ log2[2a1· 2 a2· …· 2 a10]＝ log22a1
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(文)(2011· 杭州月考)函数 y＝a|x|(a>1)的图象是(
)
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ax |x| 解析：y＝a ＝ －x a
x≥0 ，当 x≥0 时，与指数 x<0
函数 y＝ ax(a>1)的图象相同；当 x<0 时， y＝ a－x 与 y＝ ax 的图象关于 y 轴对称，由此判断 B 正确．
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指数幂的运算
[例 1] 化简： (1)(1－a) 3 4 1 3＝ ________； a－ 1
(2) xy2· xy－ 1· xy＝________； (3)0.25
－ 0.5
1 － 1 ＋ 3 27
－6250.25＝ ________.
x
3 的图象，考察 x＝ 时 y 值大小， 2
4 3 2 3 4 3 ∵ < ，∴ < ，∴ 3< . 9 4 9 4 3 4
3 2 3 2 3 2
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二、分类讨论的思想 [例 2] 函数 f(x)＝ ax(a>0 且 a≠1)在 [1,2]上的最大值 a 比最小值大 ，则 a 的值为 ________． 3
a n a ＝ |a|
n
， n为奇数， ， n为偶数 .
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(3)分数指数幂 a ＝ a ；a n>1) (4)指数幂的运算性质
s ar· as＝ar s，(ar)s＝ar· ，
＋
m n
n
m
－
m n
1 1 ＝ ＝ .(a>0， m ， n ∈ N，且 n m a a
解析： 因为 f(x)＝ |2x－1|的值域为 [a， b]， 所以 b>a≥ 0， 而函数 f(x)＝ |2x－1|在 [0，＋∞)内是单调递增函数，
|2a－ 1|＝ a 因此应有 b |2 － 1|＝ b a＝ 0 ，解得 b＝ 1
，
所以有 a＋ b＝ 1，选 A.
1 2 1 最大值 ＝ ＋ 2 － 1＝ 14， a a
x
1 ∈a， ， a
1 1 ∵ 0<a<1，∴ a＝ ，∴ a＝ 3 或 . 3 3
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(文)若关于 x 的方程 25－|x＋1|－ 4· 5－ |x＋1|－m＝ 0 有实 根，则实数 m 的取值范围是 ________．
1 2
1 3
1 2
1 2
＝ (x y ) x y ＝ x y x y ＝xy.
1 2
1 2
1 2
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1 2
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1 － 1 (3)原式＝ 2 4
1 － 1 ＋ 3 3 3
－(5 )
4
4
1 － 1 1 －1 ＝ ＋ －5＝ 2＋ 3－5＝ 0. 2 3
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解析：令 t＝ ax，则 y＝ t2＋ 2t－ 1，对称轴方程为 t＝ － 1， 若 a>1，∵ x∈ [－ 1,1]， t＝ a
x
1 ∈ ， a ， a
y 最大值 ＝ a2＋ 2a－ 1＝ 14，∵ a>0，∴ a＝ 3. 若 0<a<1，∵ x∈ [－ 1,1]，∴ t＝ a y
x
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答案：D
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指数函数的单调性
[例 3] 已知 log1 b<log1 a<log1 c，则(
2 2 2
)
A． 2b>2a>2c C． 2c>2b>2a
B． 2a>2b>2c D． 2c>2a>2b
2
分析：可先由对数函数 y＝log1 x 的单调性得出 a、b、 c 的大小，再由 y＝2x 的单调性得出结论．
m n
(a· b)r＝ar· br.(a>0，b>0，r，s∈R)
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2．指数函数的图象和性质
指数函数 定义 y＝ ax(a>0， a≠ 1)
图象
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指数函数 (1)定义域： R (2)值域：(0，＋∞ ) (3)过(0,1)点，即 x＝ 0 时， y＝ 1. 性 (4)当 a>1 时，在 R 上是增函数； 质 当 0<a<1 时，在 R 上是减函数． x>0 a>1 0<a<1 y>1 0<y<1 x<0 0<y<1 y>1
)÷ ( － 3a
1 6
b
5 6
)＝
__________.(a>0， b>0)
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解析： (1)原式＝ 5－2－1－ 5－ 22 ＝ ( 5－ 2)－ 1－( 5－2)＝－ 1.
答案：(1)－1 (2)4a
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指数函数的图象
[例 2] 函数 f(x)＝ax b 的图象如下图，其中 a、b 为
答案：－6
＋a2＋ …＋a10
＝－ 6.
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指数函数的综合问题
[例 5] 如果函数 y＝a2x＋2ax－1(a>0，且 a≠1)在[－ 1,1]上的最大值是 14，求 a 的值． 分析：此函数关于 ax 是二次函数，令 t＝ax 作换元， 则由 x∈[－ 1,1]可求得 t 的取值范围，通过配方利用二次 函数的单调性可求得其最大值，令其最大值等于 14 即可 求得 a 的值．
4 答案：(1)－ a－1
(2)xy (3)0
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点评： 有理指数幂的运算，一般是小数化成分数， 根式化成分数指数幂进行．
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1 化简： (1) －( 3－ 1)0－ 9－4 5＝________； 5＋ 2 (2)(2a
2 3
b
1 2
)( － 6a
1 2
b
1 3
答案：B
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(理)(2010· 山东省实验中学 )若关于 x 的方程 |ax－ 1|＝ 2a(a>0， a≠ 1)有两个不等实根， 则 a 的取值范围是 ( A． (0,1)∪(1，＋∞) C． (1，＋∞ ) B． (0,1) 1 D． (0， ) 2 )
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解析： 若 a>1，如图 (1)为 y＝ |ax－ 1|的图象，与 y＝ 2a 显然无交点；当 0<a<1 时，如图 (2)，要使 y＝2a 与 y 1 ＝ |a － 1|的图象有两个交点，应有 2a<1，∴0<a< . 2
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知识归纳 1．整数指数幂的运算性质
m (1)am· an＝ a
n
＋n
m· n ，(am)n＝ a ，
n n a · b .(m、 n∈ Z) (a· b) ＝
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n x＝ a， n为奇数， n (2)x ＝ a， (n∈ N， n>1)⇔ n x＝ ± a a>0， n为偶数 . ( a)n＝ a ； a2＝ |a| ； n
答案：A
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点评： 本题解题的关键在于首先由函数的值域推出 b>a≥ 0， 从而避免了对 a、 b 的各种可能存在情况的讨论， 然后根据函数的单调性，建立关于 a、b 的方程组求解．
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已知函数 f(x)＝ 2x， 等差数列{an}的公差为 2， 若 f(a2 ＋ a4＋ a6＋ a8＋a10)＝4，则 log2[f(a1)· f(a2)· f(a3)· …· f(a10)] ＝ ________.
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解析： ∵ y＝ log1 x 为减函数，log1 b<log 1 a<log1 c
2 2 2 2
∴ b>a>c 又 y＝ 2x 为增函数 ∴ 2b>2a>2c 故选 A.
答案：A
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1 x 已知集合 M＝ {－ 1,1}， N＝{x| <2 <4，x∈ Z}，则 2 M∩ N 等于 ( A． {－ 1,1} C． {1} ) B． {－1} D．{－ 1,0}
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误区警示 1． 忽视底数 a>1 与 0<a<1 时性质的区别及函数的值 域致误．解题的每一步要等价转化． 2．比较幂值大小时，要注意区分底数相同还是指数 相等．是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性 或指数函数的图象解决．要注意图象的应用，还应注意 中间量 0、1 等的运用．指数函数的图象在第一象限内底 大图高 (逆时针方向底数依次变大)．
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解析： 令 t＝ 5－|x＋1|知 t2－4t＝ m， 则有 m＝ t2－ 4t＝(t－2)2－4. ∵ t∈(0,1]，∴m∈ [－3,0)．
答案：[－3,0)
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(理)已知函数 f(x)＝ b· ax(其中 a， b 为常量且 a>0， a≠ 1) 的图象经过点 A(1,6)， B(3,24)． (1)试确定 f(x)； 1x 1x (2)若不等式 ( ) ＋( ) － m≥ 0 在 x∈ (－∞，1]上恒成 a b 立，求实数 x 的取值范围．
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解析： N＝{x|2－ 1<2x<22，x∈ Z}＝{1,0}， ∴ M∩ N＝{1}．
答案：C
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[例 4] 设函数 f(x)＝ |2x－ 1|的定义域和值域都是 [a， b](b>a)，则 a＋ b 等于 ( A． 1 C． 3 ) B． 2 D． 4
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－
常数，则下列结论正确的是(
)
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A． a＞ 1， b＞ 0 B． a＞ 1， b＜ 0 C． 0＜ a＜ 1， b＞ 0 D． 0＜ a＜ 1， b＜ 0
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解析： 由图象知 0＜ a＜ 1，又 a0－b＝ a－b＜ 1 ∴－ b＞ 0 ∴b＜ 0，故选 D.
答案：D