4.3.1 对数的概念
4.3.1对数的概念
4.3.1 对数的概念【引入】1．庄子曰：一尺之棰，日取其半，万世不竭．(1)取5次，还有多长？(2)取多少次，还有0.125尺？2．细胞分裂问题，经过几次分裂后细胞的个数为4 096个？2x＝4 096．【新课】一、对数的概念一般地，如果a (a＞0且a≠1)的b次幂等于N，即a b＝N，那么幂指数b叫做以a为底N的对数．“以a为底N的对数b”记作b＝log a N (a＞0且a≠1)，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．注意：(1) 底数的限制：a＞0且a≠1；(2)对数的书写格式；(3)对数的真数大于零．二、对数式与指数式的关系由对数的定义可知，a b＝N与b＝log a N两个等式所表示的是a，b，N三个量之间的同一关系的两种不同表示形式．例如：32＝9⇔2＝log39．对数式与指数式的互化：a b＝N ⇔b＝log a N练习1(1) 将下列指数式写成对数式：22＝4；62＝36；7.60＝1；34＝81．(2) 将下列对数式写成指数式：log39＝2；log416＝2；log5125＝3；log749＝2．练习2 将下列指数式写成对数式 ( 其中 a ＞0且 a ≠1)：21＝2； a 1＝a ；60＝1； a 0＝1．三、对数的性质(1) log a a ＝1，即底数的对数等于1；(2) log a 1＝0，即1的对数等于零；(3) 0和负数没有对数．例1 求log 22，log 21，log 216，log 212． 解 (1) 因为 21＝2，所以 log 22＝1；(2) 因为 20＝1，所以 log 21＝0；(3) 因为 24＝16，所以 log 216＝4；(4) 因为 2－1＝12，所以 log 212＝－1． 四、常用对数以10为底的对数叫做常用对数．为了简便，log 10N 简记作 lg N ． 例2 求lg 10，lg 100，lg 0.01．解 (1) 因为 101＝10，所以 lg10＝1；(2) 因为 102＝100，所以 lg100＝2；(3) 因为 10－2＝0.01，所以lg0.01＝－2．例 3 利用计算器求对数(精确到0.000 1)．lg2 001； lg0.618；lg0.004； lg396.5．练习3 求下列各式的值(1) lg1＋lg10＋lg100；(2) lg0.1＋lg0.01＋lg0.001．【小结】一、对数二、指数式与对数式的关系式a b ＝N b ＝log a N三、常用对数以10为底的对数叫做常用对数，简记作 lg N ．。
2025年高考数学一轮复习-4.3.1-对数的概念【课件】
指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不 变，写出对数式． (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不 变，写出指数式．
将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．
(1)43＝64；(2)ln a＝b；(3)12m＝n；(4)lg 1 000＝3. 解：(1)因为 43＝64，所以 log4 64＝3. (2)因为 ln a＝b，所以 eb＝a.
第四章 指数函数与对数函数
4.3 对数 4.3.1 对数的概念
01
预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
自测案 当堂达标
04
应用案 巩固提升
学习指导
核心素养
1.数学抽象：理解对数的概念，掌握对数的基 1.会用对数的定义进行对
本性质，理解常用对数和自然对数的定义形式 数式与指数式的互化．
以及在科学实践中的应用． 2.理解和掌握对数的性质，
1
假设 log－42 存在，设 log－42＝x，则(－4)x＝2，我们知道 42＝ 4＝2，但是 －4 的任何次幂都不可能等于 2，所以这样的 x 是不存在的．
(2)若a＝0，且N≠0，则logaN不存在；若a＝0，N＝0，log00有无数个，不 能确定．为此，规定a≠0，N≠0. (3)若a＝1，且N≠1，则logaN不存在；若a＝1，N＝1，logaN有无数个值, 不能确定．为此，规定a≠1.因此，为了避免对数logaN不存在或不唯一确 定的情况，规定a>0，且a≠1. 2．任何一个指数式都可以化为对数式吗？ 提示：不是，如(－3)2＝9，不能写成log(－3)9＝2.
(2)对数恒等式 alogaN＝N 的应用 ①能直接应用对数恒等式的直接应用即可． ②对于不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解．
4.3.1 对数的概念
4．3.1 对数的概念(一)教材梳理填空 (1)对数的概念一般地，如果a x ＝N (a ＞0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(2)对数的基本性质①当a ＞0，且a ≠1时，a x ＝N ⇔x ＝log a N . ②负数和0没有对数．③特殊值：1的对数是0，即log a 1＝0(a ＞0，且a ≠1)；底数的对数是1，即log a a ＝1(a ＞0，且a ≠1)．(3)常用对数与自然对数名称 定义记法 常用对数 以10为底的对数叫做常用对数lg_N 自然对数 以无理数e ＝2.718 28…为底的对数称为自然对数ln_N(二)基本知能小试 1．判断正误(1)因为(－2)2＝4，所以2＝log (－2)4.( ) (2)log a N 是log a 与N 的乘积( )(3)使对数log 2(－2a ＋1)有意义的a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，12.( ) 2．若a 2＝M (a ＞0且a ≠1)，则有( ) A ．log 2M ＝a B ．log a M ＝2 C ．log a 2＝MD ．log 2a ＝M3．log 21＋log 22＝( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0 4．已知log 32x －15＝0，则x ＝________.题型一指数式与对数式的互化[学透用活](1)对数的概念的实质是指数式化为对数式，关键是弄清指数式各部分的“去向”：(2)定义中规定a＞0，且a≠1.理由：①当a＜0且N为某些数值时，x不存在，如式子(－2)x＝3没有实数解，所以log(－2)3不存在，因此，规定a不能小于0.由指数函数的定义也可知a不能小于0.②当a＝0，且N≠0时，log a N不存在；当a＝0，且N＝0时，x可取无数个值，因此规定a≠0.③当a＝1，且N不为1时，x不存在；而a＝1且N＝1时，x可以为任何实数，因此规定a≠1.[典例1]将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式：(1)33＝27；(2)log128＝－3；(3)⎝⎛⎭⎫14－2＝16；(4)lg 1 000＝3.[对点练清]1．3b＝5化为对数式是()A．log b3＝5B．log35＝b C．log5b＝3 D．log53＝b 2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是() A．100＝1与lg 1＝0B．27-13＝13与log2713＝－13C．log39＝2与912＝3D．log55＝1与51＝5题型二对数的计算[学透用活][典例2]求下列各式的值．(1)log1381；(2)lg 0.000 1；(3)log(5－2)(5＋2)．求对数式log a N的值的步骤[对点练清]1．求下列对数的值：(1)log 28；(2)log 919；(3)ln e ；(4)lg 1.2．求下列各式中x 的值：(1)⎝⎛⎭⎫13x ＝5；(2)log 64x ＝－23；(3)log x 8＝6；(4)lg 100＝x .题型三 对数的性质及对数恒等式[学透用活][典例3] 求下列各式中x 的值： (1)log 2(log 5x )＝0； (2)log 3(lg x )＝1； (3)log 3(log 4(log 5x ))＝0.[对点练清]1．[变条件]本例(3)中若将“log 3(log 4(log 5x ))＝0”改为“log 3(log 4(log 5x ))＝1”，又如何求解x 呢？2．[变设问]在本例(3)条件下，计算625log x 3的值．3．[变条件]本例(3)中若将“log 3(log 4(log 5x ))＝0”改为“3log 3(log 4(log 5x ))＝1”，又如何求解x 呢？[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1．已知log x 16＝2，则x 等于( ) A ．4B ．±4C ．256D ．22．2－3＝18化为对数式为( )A ．log 182＝－3B ．log 18(－3)＝2C ．log 218＝－3D ．log 2(－3)＝183．求值：lg 1 000＝________；lg 0.001＝________. 4．已知log 2x ＝3，则x -12＝________.二、创新应用题5．先将下列式子改写成指数式，再求各式中x 的值．[课下双层级演练过关] A 级——学考水平达标练1．若a ＞0，且a ≠1，c ＞0，则将a b ＝c 化为对数式为( ) A ．log a b ＝c B ．log a c ＝b C ．log b c ＝aD ．log c a ＝b2．若对数log (2a －1)(6－2a )有意义，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，3) B.⎝⎛⎭⎫12，3 C.⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫12，1∪(1,3)3．若log x 7y ＝z ，则x ，y ，z 之间满足( ) A ．y 7＝x z B ．y ＝x 7z C ．y ＝7x zD ．y ＝z 7x4．对于a ＞0，且a ≠1，下列说法中，正确的是( ) ①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ； ②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ； ③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ； ④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2. A ．①③ B ．②④ C ．②D ．①②③④5．(2018·河北辛集中学高一期中)若x log 23＝1，则3x ＋9x 的值为( ) A ．6 B ．3 C ．52D ．126．若a ＝log 43，则2a ＋2－a ＝________. 7．若a ＝lg 2，b ＝lg 3，则1002b a 的值为________．8．给出下列各式：①lg(lg 10)＝0；②lg(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝10；④由log 25x ＝12，得x ＝±5. 其中，正确的是________(把正确的序号都填上)． 9．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． (1)53＝125； (2)4－2＝116； (3)log 3127＝－3. 10．若log 12x ＝m ，log 14y ＝m ＋2，求x 2y的值．B 级——高考水平高分练1．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x -12等于( ) A.13 B.36 C.24D.332．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 2(x ＋1)，x ≥0，2x －1，x ＜0，则f (f (3))＝________.3．已知log 2(log 3(log 4x ))＝0，且log 4(log 2y )＝1.求x ·y 34的值．4．分贝是计量声音强度相对大小的单位．物理学家引入了声压级(spl)来描述声音的大小：把一很小的声压P 0＝2×10－5 帕作为参考声压，把所要测量的声压P 与参考声压P 0的比值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级．声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB)．分贝值在60以下为无害区，60～110为过渡区，110以上为有害区．(1)根据上述材料，列出分贝y 与声压P 的函数关系式；(2)某地声压P ＝0.002帕，试问该地为以上所说的什么区，声音环境是否优良？。
4.3.1对数的概念课件(人教版)
(2)由
26 1 , 可得
64
log2 64 6;
(3)由
(1)m 5.73, 3
可得 log1 5.73 m;
3
(4)由
log1 16
4,
可得 (1)4 2
16;
2
(6)由ln10＝2.303，可得e2.303＝10.
学习目标
新课讲授
课堂总结
总结归纳
指数式与对数式互化的方法 1.将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数 不变，写出对数式； 2.将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变， 写出指数式.
学习目标
新课讲授
课堂总结
例1 将下列指数情势化为对数情势,对数情势化为指数情势：
（1）54 625;
（2）26
1 64
;
（3）(13)m 5.73;
（4）log1 16 4; （5）lg 0.01 2; （6）ln10 2.303;
2
解：(1) 由54＝625，可得log5625＝4； (5)由lg0.01＝-2，可得10-2＝0.01；
另外，在科技、经济、社会中经常使用以无理数e=2.71828…为底数的对数， 以e为底的对数叫做自然对数，也有它特殊的符号，即
loge N ln N
学习目标
新课讲授
课堂总结
知识点2：对数与指数的关系
指数和对数之间有什么关系？
对数由指数变换而来
指数 幂
对数 真数
ax=N
logaN=x
底数 故a>0，且a≠1，ax＝N⇔x=logaN.
学习目标
新课讲授
课堂总结
根据今天所学，回答下列问题： 1.对数怎么表示？ 2.对数和指数之间有着怎样的关系，如何相互转换？
学案4：4.3.1 对数的概念
4.3.1对数的概念新知初探知识点对数1．对数的概念(1)定义如果a x＝N(a＞0，且a≠1)，那么数叫做以为底的对数，记作x＝log a N.(2)相关概念①底数与真数其中，叫做对数的底数，叫做真数．②常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记作；以无理数e＝2.718 28…为底数的对数称为自然对数，并且把log e N记为.状元随笔log a N是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写．2．对数与指数间的关系当a＞0，a≠1时，a x＝N⇔x＝log a N.前者叫指数式，后者叫对数式．3．对数的性质状元随笔指数式、对数式中各个字母的名称变化如下表：教材解难对数式与指数式的关系(1)对数式是指数式的另一种表达形式，对数运算是指数运算的逆运算，常用符号“log”表示对数．(2)对数的概念中出现了两个等式：指数式a x ＝N 和对数式x ＝log a N ，这两个等式是等价的，它们之间的关系如图所示．根据这个关系可以将指数式化成对数式，也可将对数式化成指数式． 基础自测1．把指数式a b ＝N 化为对数式是( ) A ．log b a ＝N B ．log a N ＝b C ．log N b ＝aD ．log N a ＝b2．把对数式log a 49＝2写成指数式为( ) A ．a 49＝2 B ．2a ＝49 C ．492＝aD ．a 2＝493．已知log x 16＝2，则x 等于( ) A ．±4 B ．4 C ．256D ．24．下列各式： ①lg(lg 10)＝0； ②lg(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝10； ④由log 25x ＝12，得x ＝±5.其中，正确的是________．(把正确的序号都填上)课堂探究题型一 指数式与对数式互化例1 把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： 利用a b ＝N ⇔log a N ＝b. (1)54＝625； (2)2－6＝164；(3)⎝⎛⎭⎫13m ＝5.73;(4)log 1216＝－4；(5)lg 0.01＝－2； (6)ln 10＝2.303. 教材反思指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 跟踪训练1 将下列指数式与对数式互化： (1)25＝32； (2)⎝⎛⎭⎫12－2＝4； (3)log 381＝4； (4)log 134＝m .题型二 对数基本性质的应用例2求下列各式中的x的值．利用性质log a a＝1，log a1＝0求值．(1)log2(log3x)＝0；(2)log5(log2x)＝1；log x.(3)方法归纳利用对数性质求值的方法(1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求log a(log b c)的值，先求log b c的值，再求log a(log b c)的值．(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．跟踪训练2求下列各式中的x的值．(1)log8[log7(log2x)]＝0；(2)log2[log3(log2x)]＝1.题型三对数恒等式a log a N＝N(a＞0，且a≠1，N＞0)的应用例3求下列各式的值：(1)22log 3＋33log 2；(2)22＋log 213；(3)101＋lg 2；(4)e －1＋ln 3.方法归纳利用对数恒等式化简的关键是利用指数幂的相关运算性质把式子转化为alog a N的形式．跟踪训练3 计算：(1)931log 42＝________；(2)⎝⎛⎭⎫1331log 2－＋＝________.课时训练一、选择题 1．对于下列说法： (1)零和负数没有对数；(2)任何一个指数式都可以化成对数式； (3)以10为底的对数叫做自然对数； (4)以e 为底的对数叫做常用对数． 其中错误说法的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．42．将⎝⎛⎭⎫13－2＝9写成对数式，正确的是( )A ．log 913＝－2B ．log 139＝－2C ．log 13(－2)＝9D ．log 9(－2)＝133．若log a2b ＝c 则( )A ．a 2b ＝cB ．a 2c ＝bC ．b c ＝2aD ．c 2a ＝b4．33log 4－2723－lg 0.01＋ln e 3等于( ) A ．14 B ．0 C ．1D ．6二、填空题5．求下列各式的值： (1)log 636＝________. (2)ln e 3＝________. (3)log 50.2＝________. (4)lg 0.01＝________. 6．ln 1＋1)log (2－1)＝________.7．10lg 2－ln e＝________.三、解答题8．将下列指数式与对数式互化： (1)log 216＝4; (2)log 1327＝－3；(3)log 3x ＝6; (4)43＝64；(5)3－2＝19； (6)⎝⎛⎭⎫14－2＝16.9．求下列各式中x 的值： (1)log 3(log 2x )＝0； (2)log 2(lg x )＝1；(3)552log 3－＝x .10．计算下列各式：(1)2ln e ＋lg 1＋33log 2；(2)33log 4lg 10－＋2ln 1.参考答案新知初探 知识点 对数1．(1)x a N (2)①a N ②lg N ln N3．零和负数 0 0 1 1 基础自测 1．【答案】B【解析】根据对数定义知a b ＝N ⇔log a N ＝b . 2．【答案】D【解析】根据指数式与对数式的互化可知，把log a 49＝2化为指数式为a 2＝49. 3．【答案】B【解析】由log x 16＝2可知x 2＝16，所以x ＝±4， 又x ＞0且x ≠1，所以x ＝4. 4．【答案】①②【解析】因为lg 10＝1，所以lg(lg 10)＝lg 1＝0，①正确； 因为ln e ＝1，所以lg(ln e)＝lg 1＝0，②正确； 若10＝lg x ，则x ＝1010，③错误； 由log 25x ＝12，得x ＝2512＝5，④错误．课堂探究题型一 指数式与对数式互化 例1 解：(1)log 5625＝4；(2)log 2164＝－6；(3) log 135.73＝m ； (4)⎝⎛⎭⎫12－4＝16；(5)10－2＝0.01；(6)e 2.303＝10. 跟踪训练1 解：(1)log 232＝5； (2)log 124＝－2；(3)34＝81； (4)⎝⎛⎭⎫13m ＝4.底数不变，指数与对数，幂与真数相对应．题型二 对数基本性质的应用 例2 解：(1)因为log 2(log 3x )＝0， 所以log 3x ＝1， 所以x ＝3.(2)因为log 5(log 2x )＝1， 所以log 2x ＝5， 所以x ＝25＝32. (3)23－1＝2(3＋1)2＝3＋1，所以1)log 1)log 1)+＝1，所以x ＝1.跟踪训练2 解：(1)由log 8[log 7(log 2x )]＝0 得log 7(log 2x )＝1， 所以log 2x ＝7， 所以x ＝27＝128.(2)由log 2[log 3(log 2x )]＝1得 log 3(log 2x )＝2， 所以log 2x ＝32， 所以x ＝29＝512.已知多重对数式的值求变量，先外到内，利用性质逐一求值． 题型三 对数恒等式a log a N ＝N (a ＞0，且a ≠1，N ＞0)的应用 例3 解：(1)因为22log 3＝3,33log 2＝2，所以原式＝3＋2＝5.(2)原式＝22×221log 3＝4×13＝43.(3)原式＝10×10lg 2＝10×2＝20. (4)原式＝e －1×e ln 3＝1e ×3＝3e .化成a log a N ＝N 形式，再求值．跟踪训练3 【答案】(1)4 (2)32【解析】(1)931log 42＝(912)3log 4＝33log 4＝4.(2)原式＝⎝⎛⎭⎫13－1×⎝⎛⎭⎫133log 2＝3×(3－1)3log 2＝3×(33log 2)－1＝3×2－1＝32.课时训练一、选择题 1．【答案】C【解析】只有符合a ＞0，且a ≠1，N ＞0，才有a x ＝N ⇔x ＝log a N ，故(2)错误．由定义可知(3)(4)均错误．只有(1)正确． 2．【答案】B【解析】根据对数的定义，得log 139＝－2，故选B.3．【答案】B【解析】log a 2b ＝c ⇔(a 2)c ＝b ⇔a 2c ＝b . 4．【答案】B【解析】33log 4－2723－lg 0.01＋ln e 3＝4－3272－lg 1100＋3＝4－32－(－2)＋3＝0.选B.二、填空题5．【答案】(1)2 (2)3 (3)－1 (4)－2 【解析】(1)log 636＝2. (2)ln e 3＝3.(3)log 50.2＝log 55－1＝－1. (4)lg 0.01＝lg 10－2＝－2. 6．【答案】1 【解析】ln 1＋1)log (2－1)＝0＋1＝1.7．【答案】15【解析】ln e ＝1，所以原式＝10lg2－1＝10lg 2×10－1＝2×110＝15. 三、解答题8．解：(1)24＝16; (2)⎝⎛⎭⎫13－3＝27； (3)(3)6＝x; (4)log 464＝3；(5)log 319＝－2; (6)log 1416＝－2. 9．解：(1)∵log 3(log 2x )＝0，∴log 2x ＝1.∴x ＝21＝2.(2)∵log 2(lg x )＝1，∴lg x ＝2.∴x ＝102＝100.(3)x ＝552log 3－＝5255log 3＝253. 10．解：(1)原式＝21＋0＋2＝2＋2＝4.(2)原式＝33log 41－＋20 ＝33log 4÷31＋1＝43＋1＝73.。
4.3.1对数的概念课件-2024-2025学年高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册
E N G L I S H
T I T L E
【问题】为什么规定 > 且 ≠ ?
【1】如果 < 0 ，则会出现N为某些数值时， 不存在的情况，比如，假设
(−4) 2 存在，设 (−4) 2 = ，则 (−4) = 2，无解.
【2】如果 = 0，且 ≠ 0 ，则 不存在；若 = 0，且 = 0 , 0 0有无
Y O U R
E N G L I S H
T I T L E
引例：庄子有云，一尺之棰，日取其半，
万世不竭．意思是说：一尺长的棍子，第
一天取其一半，第二天取剩余的一半….
【问题1】：取四次还有多长?怎样计算？
1
1 4
1
∗
= （ ） ∈ , = （ ） =
= 0.0625
2
2
16
【问题2】：取多少次还有0.03125尺？你能列
F R E S H
E D U C A T I O N
对 数 的 概 念
I don’t know if we each have a destiny, or if we’re all just floating around
accidental—like on a breeze.
0 1 |对数的由
来
出关系式吗？
1
由问题1，0.0625 ÷ 2 = 0.03125 = （ ）4 ×
1
2
数学史点击图片转链接
1
2
2
= （ ）5 ，这里 = 5，所以取5次还有0.03125
【问题3】：取多少次还有0.0000009536尺？
你能列出关系式吗？
0 1 |概念引入
Y O U R
高中数学人教A版必修第一册4.3.1对数的概念课件
(1)
log64
x
2 3
(3) lg100 x
(2) logx 8 6 (4) ln e2 x
解：(1)x
64
2 3
1
2
64 3
1
2
43 3
1 16
1
1
(2)x6 8, x 86 22 2
(3)10x 100, x 2
(4) ln e2 x ln e2 x e2 ex 2 x x 2
（1）54 625
(4) log1 16 4
2
（2）26 1 64
(5) lg 0.01 2
（3） 1 m 5.73 3
(6) ln10 2.303
其实指数式与对数式，虽然从情势上看， 两者不同，但本质上是一致的。 这个一致就是底数、指数（对数）、幂（真数） 三者之间的关系。
典例解析
例2.求下列各式中x的值：
3.求下列各式中x的值：
(1) log1 x 3
3
(2) logx 49 4
(3) lg 0.00001 x
(4) ln e x
知识拓展
对数恒等式: aloga N N (a 0，且a 1, N 0)
令 loga N x
ax N
即
aloga N N
请同学们记在课本里
巩固练习 金版P86-88 P88 A级 练习5
课堂练习 P123练习
1.把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式：
（1）23 8 (4) log3 9 2
（2）e 3 m (5) lg n 2.3
（3）27
1 3
1
3
(6)
log3
1 81
4
2.求下列各式的值：
4.3.1 对数的概念 (教学课件)-高中数学人教A版(2019)必修第一册
情况，规定(a>0 且a≠1)
根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系(互化): 若a>0 且a≠1, 则a⁸=N⇔loga N=x
指
指数 以a为底N 的对数
数
幂 真数
式
X
al
log N =
对
底数
数
式
1.指数式与对数式的转化
练习1求下列各式的值：
(1)3¹+log₃2;
练习2 求下列各式中的x 的值：
(1)1g(In x)=0;
0.
(2)1g(Inx)=1;
(3)log₇[log₃(log₂x)]=
课本126页 习题4.3 第 1 题
求下列各式中x的值
(1)31o⁸₃(Inx)=2
(2)In(log₂x)=0
(3)log₁(lg x)=1 1)=2 2
(2)loga1=0(a>0 且a≠1). <=a⁰=1.
(3)logaa=1(a>0 且a≠1). <=a¹=a.
例2求下列对数的值
(1)log₂2 = (2)log₂1=
(3)log₂16=
概念生成
3.对数的重要结论
(1)负数和零没有对数.
ax=N,N>0.
当真数N≤0 时，没有对数.
(2)loga1=0(a>0 且a≠1). <=a⁰=1.
x=3—2
x=6÷3
士 √9
a=N→x=logaN
是一种运算
概念生成
1.对数的概念
注意：①底 数 ：a>0 且a≠1
②对数的书写格式
4.3.1 对数的概念(课件)高一数学(人教A版2019必修第一册)
3
m；
（3）
102 100 ；
（2）ln m 3．
（3）lg100 2
．
1.把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式。
（4）log39＝2；
（5）lg n＝2.3；
1
log 3 4 ．
（6）
81
答案：
（4）32＝9．
（5）102.3＝n．
1
（6）3
．
81
4
2.求下列各式中的值。
2
10
2
0.01
e
2.303
10
根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：
若a 0且a 1，则a x N log a N x
a log a N N
由指数和对数的这个关系，可以得到关于对数的如下结论：
负数和0没有对数；（真数一定为正数）
log a 1 0，
【答案】3 [由 log2(logx9)＝1 可知 logx9＝2，即 x2＝9，∴x＝3(x＝－3 舍去)．]
4． log33＋3log 2＝________.
3
【答案】3 [log33＋3log 2＝1＋2＝3.]
3
5．求下列各式中的 x 值：
3
(1)logx27＝2；
2
(2)log2 x＝－3；
3
解：①∵0.01 = ，∴10 = 0.01 = 10−2 , = −2.
②∵7 ( + 2) = 2，∴72 = + 2 = 49, = 47.
9
2
9
2
③∵2 4 = ，∴(3) = 4 = (3)−2 , = −2.
3
1
课件5：4.3.1 对数的概念
[针对训练] 1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)2－7＝1128； (2)3a＝27； (3)10－1＝0.1；
(4)log1 32＝－5； 2
(5)lg0.001＝－3.
[解] (1)log21128＝－7. (2)log327＝a. (3)lg0.1＝－1. (4)21－5＝32. (5)10－3＝0.001.
[针对训练] 3．求下列各式中 x 的值： (1)log2(log4x)＝0； (2)log3(lgx)＝1.
[解] (1)∵log2(log4x)＝0，∴log4x＝20＝1， ∴x＝41＝4. (2)∵log3(lgx)＝1， ∴lgx＝31＝3， ∴x＝103＝1000.
课堂归纳小结 1．对数概念的理解 (1)规定 a>0 且 a≠1. (2)由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，所以 ab＝N 中，N 总是正数，即零和负数没有对数.
(3)对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的， 即 ab＝N⇔logaN＝b(a>0 且 a≠1，N>0)，据此可得两个 常用恒等式：①logaab＝b；②alogaN＝N. 2.在关系式 ax＝N 中，已知 a 和 x 求 N 的运算称为求幂 运算，而如果已知 a 和 N 求 x 的运算就是对数运算，两 个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.
本课结束
3x2＋2x－1＝2x2－1，
得3x2＋2x－1>0， 2x2－1>0且2x2－1≠1，
解得 x＝－2. (2)由 log2[log3(log4x)]＝0 可得 log3(log4x)＝1， 故 log4x＝3，所以 x＝43＝64.
名师提醒 对数性质的应用要点
(1)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才 能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层 使用对数的性质． (2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数 恒等式的应用．这就要求首先要牢记对数恒等式 alogaN＝N 及 其格式．
4.3.1 对数的概念
∴4x＝4，x＝16.
(2)求下列各式中x的值：
①log27x＝－23；
解 ∵log27x＝－23，
∴
x
2
27 3
(33
)
2 3
＝3－2＝19.
②logx16＝－4.
解 ∵logx16＝－4， ∴x－4＝16，即 x4＝116＝124， ∴x＝12.
三、利用对数性质及对数恒等式求值
例3 求下列各式中x的值： (1)log2(log5x)＝0； 解 ∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝20＝1， ∴x＝51＝5.
反思
感悟 要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指
数幂的运算性质求解.
跟踪训练2 (1)计算log927；log4 3 81 的值；
解 设x＝log927，则9x＝27,32x＝33，
∴2x＝3，x＝32.
x
x
设 x log 4 3 81，则 4 3 ＝81, 34 ＝34，
3 随堂演练
PART THREE
1.将13－2＝9 写成对数式，正确的是
A.log913＝－2
C. log1 (2)＝9
3
√B. log1 9 ＝－2
3
D.log9(－2)＝13
解析 根据对数的定义，得 log1 9 ＝－2，故选B.
3
12345
2.若logax＝1，则
A.x＝1
B.a＝1
√C.x＝a
PART TWO
一、指数式与对数式的互化
例1 将下列指数式与对数式互化： (1)2－2＝14； 解 log214＝－2. (2)102＝100；
解 log10100＝2，即lg 100＝2.
4.3.1 对数的概念(课件)
log64x
＝－2得 3
x
＝64
－
2 3
＝4 ＝4 ＝ 1 . 3
－
2 3
－2
16
②由 logx8＝6，得 x6＝8，又 x>0，
即
x＝8
1 6
＝
3 1
26
＝
2.
③由 lg 100＝x，得 10x＝100＝102，即 x＝2.
[方法技巧] 求对数式 logaN 的值的步骤
(1)设 logaN＝m； (2)将 logaN＝m 写成指数式 am＝N； (3)将 N 写成以 a 为底的指数幂 N＝ab，则 m＝b，即 logaN＝b.
[解析] (1)①设 log981＝x，所以 9x＝81＝92， 故 x＝2，即 log981＝2. ②设 log0.41＝x，所以 0.4x＝1＝0.40， 故 x＝0，即 log0.41＝0. ③设 ln e2＝x，所以 ex＝e2， 故 x＝2，即 ln e2＝2. 答案：①2 ②0 ③2
(2)①由
4.3.1 对数的概念
4．3 对 数 4．3.1 对数的概念 1．理解对数的概念，掌握对数的性质，能进行简单的对数计算． 2．理解指数式与对数式的等价关系，能够熟练地进行对数式与指 数式的互化． 3．通过对数式与指数式的互化的理解和简单的对数值的求解，发 展学生数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养．
(一)教材梳理填空
1．对数的概念 一般地，如果 ax＝N(a＞0，且 a≠1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对 数，记作 x＝l_o_g_a_N_，其中 a 叫做对数的_底__数__，N 叫做_真__数__． 2．常用对数与自然对数
名称
定义
记法
常用对数 以1_0__为底的对数叫做常用对数
4.3.1对数的概念课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版必修第一册
2 log3 1 0 lg1 0
ln1 0
loga a 1 loga 1 0
3 log0.9 0.95 5 ln e8 8 lg103 3 loga aN N
4 7 log7 0.6 0.6 eln3 3
10lg6 6
aloga N N
有一天，这个财主想了个坏主张，要一年算两次利息。
上半年 50%，下半年50%，一年一共
(1+50%)(1+50%)=(1+1/2)^2=2.25元。
过了一段时间他又想，如果按季度算利息，一年算4次， 岂不是更赚？那就是(1+1/4)^4=2.44141，果然更多了！于是 又想，那干脆每天都算吧，这样一年下来就是 (1+1/365)^365≈2.714567482。哇，这真舒坦。
x loga N
x log2 5
新知
1.对数的定义：
一般的，如果 ax N(a 0, 且a 1) ，那么数
叫做x以 为底a 的对N数，记作
a 其中 叫做对数的底数，N 叫做真数.
2.指数式与对数式 注：a 0,且a 1, N 0
指数
对数
ax N
x loga N
底数
幂
真数
由指数和对数的关系可知：负数和零没有对数 (N 0)
3.对数的性质：（a 0,且a 1)
（1）loga 1 0 （2）loga a 1
（3）loga aN N
（4）aloga N N
对数恒等式
练一练： 求下列各式的值：
（1）log525 2
(3) ln 1 e
1
(2) log0.4 1 0 (4)4log4 3 3
4.3.1 对数的概念(课件)
自主学习
四.对数恒等式
1. alogaN＝ N (a>0 且 a≠1，N >0).
b 2.logaab＝ (a>0，且 a≠1)．
思考 3：如何推出对数恒等式 alogaN＝N(a>0 且 a≠1，N >0)吗？
因为 ax＝N，所以 x＝logaN，代入 ax＝N 可得 alogaN＝N.
自主学习
课后作业
对应课后练习
解读：恒等式 alogaN＝N 与 logaab＝b 的作用 1.alogaN＝N 的作用在于能把任意一个正实数转化为以 a 为底的指数形式． 2.logaab＝b 的作用在于能把以 a 为底的指数转化为一个实数．
小试牛刀
1.思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)logaN 是 loga 与 N 的乘积．( × ) (2)(－2)3＝－8 可化为 log(－2)(－8)＝3.( × )
1 3
1 ，B
3
正确；
对于 C， log3 9 2 32 9 ，C 不正确；对于 D， log5 5 1 51 5，D 正确
当堂达标
3.对数式 log(a－2)(5－a)＝b 中，实数 a 的取值范围是( )
A．(－∞，5)
B．(2,5)
C．(2，＋∞)
D．(2,3)∪(3,5)
a－2＞0 D 解析：∵a－2≠1
3.对数恒等式 alogaN＝N (a>0 且 a≠1，N >0)，logaab＝b(a>0，且 a≠1).
经典例题
题型三
跟踪训练3 求下列各式中的 x 的值．
(1)log2(log3x)＝0； (2)log2[log3(log2x)]＝1.
人教版高中数学必修第一册4.3.1对数的概念【课件】
(1) 设 x＝log7
7
，则 7x＝
1
7 ， 即 7x＝72 ，
所以 x＝12 .
(2) 设 x＝log927，根据对数的定义知 9x＝27，即 32x＝33，所以 2x＝3，得 x＝32 ， 所以 log927＝32 .
(3)
设 x＝log 1
16
1 8
，所以
1 16
x
＝18
，即
1 2
4
;(5) log33=
;(6) logaa=
.
你从上述结果中能得出怎样的结论?
【活动3】 指数式与对数式的互化
【问题6】 对比 2x=3 和 log23=x,你发现了什么?
【问题7】 能否将指数式与对数式的互化写成一般形式?
【问题8】 求下列各式的值.
(1)
;(2)
. ;(3) log334;(4) lne-2.
解：(1) 因为 log3(lgx)=1,所以 lgx=31=3,所以 x=103=1 000. (2) 由 log3[log4(log5x)]=0 可
得 log4(log5x)=1,故 log5x=4,所以 x=54=625.
【方法规律】
(1) 求多重对数式的值的方法是由内到外,如求 loga(logbc) 时,先
【问题3】 对于等式ax＝N (a>0，且a≠1)，如何表示这里的x?
【活动2】 认识和理解对数的概念 【问题4】 对数的真数可以取哪些值?能为零吗?可以为负数吗?
【问题5】
试说出下列各对数的值(a>0,a≠1):
(1) log51=
;(2) log31=
;(3) loga1=
;
(4) log55=
第4章4.3.1对数的概念(课件)
精彩课堂
精彩课堂
(4)两类常见的对数 ①以10为底的对数叫做常用对数,log10N常记为lg N. ②以无理数e=2.718 28…为底的对数称为自然对数,logeN常记 为ln N. 注意：在没有指出对数的底的情况下,一般指常用对数.
精彩课堂
2.应用举例
精彩课堂
课堂练习
C
课堂练习
C
课堂练习
4.3.1 对数的概念
导入新课
我国经济保持了持续高速的增长.假设2018年我国国内生产总 值为a亿元,如果每年平均增长10%,那么经过多少年国内生产总值 是2018年的2倍?
设经过x 年国内生产总值是2018年的2倍,列式为a(1+10%)x=2a.
精彩课堂
1.探究新知
(1)对数的概念
问题 若2=1.1x,则x称作是以1.1为底的2的对数.你能否据此给出
C
A
课堂总结
回顾、梳理本节课的学习内容: (1)对数的定义及其记法; (2)对数式与指数式的关系; (3)自然对数和常用对数的概念.
布置作业 教材练习第1,2,3题.
一个一般性的结论?
对数的定义:
注意底数的取值范围！
一般地,如果ax =N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记
作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
精彩课堂
(2)对数式与指数式的互化 请总结对数与指数之间的关系.
精彩课堂
【说明】 对数式 x=logaN可看作一个记号,表示底为a(a>0,且a≠1),幂为N 的指数式表示的方程ax=N(a>0,且a≠1)的解;logaN也可以看作一种 运算,即已知底为a(a>0,且a≠1)幂为N,求幂指数的运算,因此,对数式 x=logaN又可看作幂运算的逆运算.
4.3.1对数的概念与对数运算(两课时)课件(人教版)
x=㏒aN
※性质
0和负数没有对数，即N > 0；
1的对数等于0，即loga1=0；
底数的对数等于1，即logaa=1；
④对数恒等式 a
log a N
N.
探究角度1 对数式与指数式的互化
[例1] 将下列对(或指)数式化成指(或对)数式.
(1)lo
x=3;
(2)logx64=-6;
对数定律说明书》中阐明了对数原理,后人称为纳皮尔对数
.
对数的主要作用是简化运算
解下列方程
(1)2 8
x
(3)1.11 2
x
(2)2
x
2
(4)1.11 3
x
一般地，
对数概念
如果ax=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N 的对数,记
作x=logaN，其中a叫做对数的底数，N 叫做真数
loga N
N (对数恒等式）
对数的运算性质
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么：
（1）logaM n = n logaM (n∈R)
（2）loga(MN)=logaM+logaN
M
(3) log a
log a M log a N
N
探究点一
对数运算法则
[例1] 计算:
(2)
+
+
解:(1)由log8[log7(log2x)]=0,得log7(log2x)=1,即log2x=7,所以x=27.
(2)log2[log3(log2x)]=1.
解:(2)由log2[log3(log2x)]=1,所以log3(log2x)=2,所以log2x=9,所以x=29.
2024-2025学年高一数学必修第一册(配湘教版)教学课件4.3.1对数的概念
变式训练2
求下列各式中的x值:
1
(1)log2x= ;
2
解
1
1
∵log2x= ,∴x=22 ,∴x=
2
2.
(2)log216=x;
解 ∵log216=x,∴2x=16,∴2x=24,∴x=4.
(3)logx27=3;
解 ∵logx27=3,∴x3=27,即x3=33,∴x=3.
2
=9.
解 由3lo g 3
=9 得 =9,解得 x=81.
规律方法
1.利用对数性质求解两类问题的解法
(1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外,逐步脱去“log”后再求解,如
求loga(logbc)(a>0,且a≠1,b>0,b≠1,c>0)的值,先求logbc的值,再求loga(logbc)
(2)32+log 3 5 =x.
解 x=32×3log 3 5 =9×5=45.
学以致用·随堂检测促达标
1 2 3 4
1.对数式log(a-2)(5-a)中实数a的取值范围是( C )
A.(-∞,5)
B.(2,5)
C.(2,3)∪(3,5)
D.(2,+∞)
解析 要使对数式 b=log(a-2)(5-a)有意义,
不变;而将对数式化为指数式,只需将对数式的真数作为幂,对数作为指数,
底数不变.
变式训练1
将下列指数式改写为对数式:
(1)36=729;
解 log3729=6.
(2)212=4 096;
解 log24 096=12.
2
3
(3)
27
8
解
高数数学必修一《4.3.1对数的概念》教学课件
)
10－1＝x
2．lg x＝－1，指数式为________．
解析：lg x＝－1，指数式为10－1＝x.
三、对数的性质
1．对数的基本性质
零
负数
(1)________和________没有对数．
0
(2)loga1＝________(a>0，且a≠1)．
1
(3)logaa＝________(a>0，且a≠1)．
微点拨❷
b
指数式a ＝N，根式 ＝a和对数式logaN＝b(N＞0，a＞0，且a≠1)
是同一种数量关系的三种不同表达形式，具体对应如下：
a
b
N
表达形式
ab＝N
底数 指数
幂
＝a 方根 根指数 被开方数
logaN＝b 底数 对数
真数
对应的运算
乘方，由a，b求N
开方，由N，b求a
对数，由N，a求b
学霸笔记：
利用对数的性质求值的方法
(1)求解此类问题时，应根据对数的两个结论loga1＝0和logaa＝1(a＞
0，且a≠1)，进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指
数式运算．
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”
后再求解．
跟踪训练3 (1)已知log2[log3(log4x)]＝log3[log4(log2y)]＝0，求x＋y的
A．(1，＋∞)
B．(0，1)∪ 1， + ∞
2
2
C．(0， )
D．( ，＋∞)
3
3
答案：C
>0
2
2
解析：由题意知ቐ ≠ 1 ，解得0<a<3，所以实数a的取值范围是(0，3).故选C.
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课堂小结
1．对数 (1)指数式与对数式的互化及有关概念：
指数
对数
幂 真数
底数
(2)底数 a 的范围是_____a_>__0_，__且 ____a_≠. 1 2.实指数式与对数式，虽然从形式上看，两者不同，但本质上是一致的。
3．对数的基本性质 (1)log a 1＝00 ( a>0，且 a≠1)．
(2)log a a＝11 (a >0，且 a≠1)．
(3)负数和零没没有有 对数．（指的是真数）
思考：为什么零和负数没有对数？ (真数N>0)
例1 将下列指数形式化为对数形式 , 对数形式化为指数形式：
(1) 54＝ 625;
对数的概念
例如: 由于 记作
，所以x就是以1.11为底2的对数， ；
由于 记作
，所以x就是以3为底6的对数， ；
由于
，所以x就是以4为底16的对数，
记作 2 = log4 16
常用对数与自然对数
lgN= log10N
lnN= logeN
2.指数式与对数式的互化及有关概念：
指数
对数
幂
真数
底数
对数的基本性质
第四章 指数函数与对数函数
4.3.1 对数的概念
创设情境
在4.2.1的问题1中，通过指数幂运算，我们能从y＝
中求出
经过x年后Ｂ地景区的游客人次为2001年的y倍．反之，如果要求经过多
少年游客人次是2001年的2倍，3倍3= ，4= ，…中分别求出x，即已知底数和 幂的值，求指数．用我们现有的知识体系可以解决上述问题吗？
这就是本节要学习的对数。
对数的概念
1．对数的定义 如果ax ＝ N，（a > 0，且a ≠ 1），则数x叫以a为底N的对数. 记作x ＝ loga N，其中a叫底数，N叫真数.
注意： （1）对数的写法； （2）log只是记录对数的符号，类似于三角中的正余弦sin,cos等； （3） logaN不是loga与N的乘积； （4）对数是一个数，是指数式中指数的等价表达。
(2) 2－6＝ ；
(3) ( )m ＝ 5.73
(4)log 1 16＝ －4；(5)lg 0.01＝ －2； (6)ln 10＝ 2.303
2
例 2 求 下 列 各 式 中 的 x 的 值：
(1) log 64 x＝ － 32； (3) lg 100 ＝ x;
(2) log x 8 ＝ 6； (4) － ln e2 ＝ x.