第六章微波网络基础
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I ( z) ( I e
j z
I e
j z
)
在起始点：z=0 V ( z ) V V ；I ( z ) I I
微波网络的阻抗和导纳矩阵（续一）
N端口微波网络的阻抗矩阵方程为：
V1 Z11 Z12 V2 Z 21 Z 22 VN Z N1 即： V Z I Z1N I1 Z2N I2 Z NN IN
同样分析 可得：
( E )
y
B t y
2 c
k V j Iz z je
6.1 18
由此可得TEM波导的传输线等效电路。 如图6.1（a），单位长度的阻抗/导纳为：
2.均匀波导等效电路（续二）
k Z1 j ; Y1 je je
反射系数的幅值及其平方均为的偶函数。
6.3 微波网络的阻抗和导纳矩阵
理论基础：6.1节等效电压、电流（导波系统） 用途：分析滤波器、耦合器、无源器件设计 1.阻抗和导纳矩阵： 设有N端口微波网络（传输线或导波系统等效传输线） 定义：第i端口参考面参数为： Vi 、Ii、Vi -、Ii 利用：V ( z ) (V e j z V e j z )
1 2
V * ( )e jt d
即：V * ( )=V( )
说明频域电压实部位偶、虚部位奇函数。可证明 （书）对于电流、电阻及反射系数都是如此。
如 : R( ) jX ( ) Z ( ) Z * ( ) R( ) jX ( ) R( )为偶X( )为奇.
I V * 4 j (We Wm ) V I
*
6.2 9
福斯特电抗定理
应用V=jXI、I＝jBV,分离实虚部可得：
X 4(We Wm ) 2 I B 4(We Wm ) 2 V
6.2 10 /11
无耗网络的电抗和电纳都具有正的斜率。此即 福斯特(Foster)电抗定理。 扩展：物理上可以实现的电抗或电纳函数的极 点或零点必定在轴上交替出现。
积分是对波导截面进行的。
Z0 V
I V
I C1 C2
若要求Z0=Zw,则Zw（ZTE,ZTM） =C1/C2 若归一化1
等效电压电流(续三)
从而我们可采用功率和归一化关系解出 C1,C2代回基本关系式V,I(任意模)
Vn j n z Vn j n z Et ( x, y, z ) e e E0t ( x, y ) 6.1 13 C1n n 1 C1n N I n j n z I n j n z H t ( x, y , z ) e e H 0t ( x, y ) C2 n n 1 C2 n
L L
H t ( x , y , z ) I ( z ) H 0 t ( x, y ) e
6.2-2
一端口网络的阻抗特性（续一）
假设能量归一化，则有：
1 1 * * P VI E0t H 0t ds VI 2 s 2
6.2-3
于是可算得输入阻抗为：
Pl 2 j (Wm We ) V P Zin Rin jX in 2 2 I 0.5 I 0.5 I
V E dl ; I H dl ; Z 0 V / I
C
等效电压电流
矩形波导（TE10）将电场解带入有： j a x j z V H10 sin e dy y a 可见电压与x位臵和y方向的积分长度有关。 电流和电阻计算也是如此。 实际应用的定义：
不均匀性网络
描述实用微波系统器件:截面、材料、孔缝分支等。 各种不均匀性(接口)高次模式 分析方法:
(A)等效电抗元件： L、C图6.1-2、6.1-3 (B)不均匀均可用集总参量多端口网络等效 (C)散射矩阵：多端口网络 特点：微波网络与模式有关。一个模N端口 m个模N*m端口 网络形式取决于端口参考面（任意垂直于波导轴线且 远离不均匀区的面。）
Vk 0;k j，k=1,N
一般情况Z及Y均为复数元。
2. 互易网络
当微波网络不含非线性介质（磁性介质、等离 子体、有源器件），则导纳和阻抗阵必为对称 的，无耗时非对角元为纯虚数——计算简化。 证明：假定网络互易，除端口1,2外所有端口参 考面均短路，网络内有两个独立源a、b,在任意 点产生的场分别为Ea（Ha）、Eb （Hb）则：
H t ( x, y, z ) H 0t ( x, y )( A e
j z
A e
j z
由定义可将H表示为E
V / I V / I Z0 ;
z E0t H 0t Zw
V ( z ) (V e j z V e j z ); I ( z ) ( I e j z I e j z )
对特定导模定义：V∝Et I∝Ht P=V*I Z=V/I(通常归一化)
等效电压电流(续一)
对于任意导模：
Et ( x, y, z ) E0t ( x, y )( A e
j z
A+=V+/C1 ,A+=V+/C1
A e
j z
E0t ( x, y ) j z ) (V e V e j z ) C1 H 0 t ( x, y ) j z ) (I e I e j z ) C2
微波网络基础
（等效电路分析方法）
主要内容
微波接头等效网络（概念与方法）
一端口网络的阻抗特性
微波网络的阻抗和导纳矩阵
微波网络的散射矩阵
ABCD矩阵
微波网络的信号流图
6.1 微波接头的等效电路
本节主要目的是将导波段等效为双导线， 接头等效为集总参数网络，为利用矩阵 分析微波系统打下基础。 1.等效电压和电流： 实际测试几乎无法进行。 TEM：（可能）
1 j z 1 j z Hz (A e A e ) sin( x a ) I ( z ) (V e j z V e j z ) ZTE Z0 ab A 1 P E y H z dxdy 2 s 4 ZTE
2
1 P V I * 2
N
Vn〒，In〒为n阶模式的等效电压、电流值。 根据模式的正交性可知有n个模式阻抗
例题6.1-1 求矩形波导的等效V、I
TE10波导模式横向场
E y ( A e j z A e j z ) sin( x a )
传输线模型
V ( z ) V e j z V e j z
导纳阵为： I1
Y11 Y12 I 2 Y21 Y22 IN YN 1 即： I Y V
Y1N V1 Y2 N V2 YNN VN
j z j z
ab j z ab j z V V e V e Ae Ae 2 2 1 1 ab j z ab j z j z j z I (V e V e ) Ae Ae Z0 ZTE 2 2
解：对比关系如上，由功率表示式有：
P ab A
2
ห้องสมุดไป่ตู้
4ZTE
V I * A ab C1C2 C1C2 2 2 2ZTE
2
例题6.1-1 求矩形波导的等效V、I（续一）
选Z0=ZW=ZTE 有
ZTE V
I V
I C1 C2 ab ; 2
ab 1 相乘开方有： C1＝ ; 相除开方有：C2＝ 2 ZTE 于是：
6.2 一端口网络的阻抗特性
一端口网络：单口波导/传输线 分析：策动点阻抗特性——
driving point impedance
端口输入 P 功率：
1 2
S
E
H ds
*
Pl
2 j (Wm We )
Pl为实功率，代表网络耗散平均功率。 端口平面场：
Et ( x, y, z ) V ( z ) E0t ( x, y )e
2. Z()和G()的奇偶特性
考虑一端口网络策动点阻抗Z() 电压、电流和阻抗满足欧姆定理。 我们可以对电压取傅立叶变换：
v(t )
1 2
V ( )e d
jt
v ( t ) v* ( t ) 左边式子取共轭
1 2
V ( )e
*
jt
d
显然Z与Y互为逆矩阵
阵元组成
1.阻抗阵的对角元是其它端口开路时的输入阻 抗；其余为互电抗j激励与i输出的比值。 Vi Zi , j i 1,..., N ; j 1,...N I j I 0;k j，k=1,N
k
2.导纳阵的对角阵元是其它端口短路时的输入电 纳；其余元为互电纳
Ii Yi , j Vj i 1,..., N ; j 1,...N
ez
Hy
H y D je Ex z z t x 0 x
利用纵横关系及6.1-14带入上式有：
2.均匀波导等效电路（续一）
je I z jeV 2 Ez z kc z
6.1 16 /18
由麦克斯 韦第二方 程有：
B ( E )z t 0 z V V Ex ；E y x y
(无旋 标量梯度) 6.1 14
由麦克斯 韦第一方 程有：
ex ( H )x ＝ x H x
ey
y
可以根据功率流来确定系数C1C2:
等效电压电流(续二)
1 2 P |A | 2
s
V I E0t H 0t zds 2C1C2
* 0t
*
V I S E0t H zds 2
* 0t
*
C1C E0t H zds
* 2 S
6.1 10
Z 0,TM Z 0,TE Z1 Y1 Z1 Y1 j ( kc2 / je ) je
c e h 1 hG e
j h /G 2 je ( kc / j ) 6.1 24
j 2 e kc2
结果与第一章一致，等效仅对特定模式有 效，当波导传输n次模式时，等效于n对 传输线。
2 c
对于TEmn模的矩形波导，同样可得其传输 线等效电路如图6.1-1(b），参量如下： 2 kc Z1 j ; Y1 je j 特性：等效电路具有高通特性； f<fc时为电容(a)或电感(b)分压器；串(a)/并(b) 支路谐振时截止。
均匀波导等效电路（续三）
谐振时均有：kc2 = c2e
可见：RinPl; Xin储能（感/容性为正/负）
1.福斯特电抗定理
由麦克斯韦基本方程(无源无耗)：
E j H H j E
将方程取共轭并对求导、相加；再对方程两边 求积分利用散度定理简化（书,类似于电磁场书中波印 廷定理的推导方法）；结合端口场的表示式可得：
（2）阻抗概念
媒质固有阻抗:
h(/e)1/2;取决于材料本身（平面波阻抗）
波阻抗:
Zw=1/Y0=Et/Ht。导行波参数。
特性阻抗:
Z0=1/Y0=(L1/C1)1/2。导行电压与电流之比。 （对TEM唯一，TE/TM不定）
2.均匀波导等效电路
以矩形波导为例：TMmn（Hz=0)
j z
I e
j z
)
在起始点：z=0 V ( z ) V V ；I ( z ) I I
微波网络的阻抗和导纳矩阵（续一）
N端口微波网络的阻抗矩阵方程为：
V1 Z11 Z12 V2 Z 21 Z 22 VN Z N1 即： V Z I Z1N I1 Z2N I2 Z NN IN
同样分析 可得：
( E )
y
B t y
2 c
k V j Iz z je
6.1 18
由此可得TEM波导的传输线等效电路。 如图6.1（a），单位长度的阻抗/导纳为：
2.均匀波导等效电路（续二）
k Z1 j ; Y1 je je
反射系数的幅值及其平方均为的偶函数。
6.3 微波网络的阻抗和导纳矩阵
理论基础：6.1节等效电压、电流（导波系统） 用途：分析滤波器、耦合器、无源器件设计 1.阻抗和导纳矩阵： 设有N端口微波网络（传输线或导波系统等效传输线） 定义：第i端口参考面参数为： Vi 、Ii、Vi -、Ii 利用：V ( z ) (V e j z V e j z )
1 2
V * ( )e jt d
即：V * ( )=V( )
说明频域电压实部位偶、虚部位奇函数。可证明 （书）对于电流、电阻及反射系数都是如此。
如 : R( ) jX ( ) Z ( ) Z * ( ) R( ) jX ( ) R( )为偶X( )为奇.
I V * 4 j (We Wm ) V I
*
6.2 9
福斯特电抗定理
应用V=jXI、I＝jBV,分离实虚部可得：
X 4(We Wm ) 2 I B 4(We Wm ) 2 V
6.2 10 /11
无耗网络的电抗和电纳都具有正的斜率。此即 福斯特(Foster)电抗定理。 扩展：物理上可以实现的电抗或电纳函数的极 点或零点必定在轴上交替出现。
积分是对波导截面进行的。
Z0 V
I V
I C1 C2
若要求Z0=Zw,则Zw（ZTE,ZTM） =C1/C2 若归一化1
等效电压电流(续三)
从而我们可采用功率和归一化关系解出 C1,C2代回基本关系式V,I(任意模)
Vn j n z Vn j n z Et ( x, y, z ) e e E0t ( x, y ) 6.1 13 C1n n 1 C1n N I n j n z I n j n z H t ( x, y , z ) e e H 0t ( x, y ) C2 n n 1 C2 n
L L
H t ( x , y , z ) I ( z ) H 0 t ( x, y ) e
6.2-2
一端口网络的阻抗特性（续一）
假设能量归一化，则有：
1 1 * * P VI E0t H 0t ds VI 2 s 2
6.2-3
于是可算得输入阻抗为：
Pl 2 j (Wm We ) V P Zin Rin jX in 2 2 I 0.5 I 0.5 I
V E dl ; I H dl ; Z 0 V / I
C
等效电压电流
矩形波导（TE10）将电场解带入有： j a x j z V H10 sin e dy y a 可见电压与x位臵和y方向的积分长度有关。 电流和电阻计算也是如此。 实际应用的定义：
不均匀性网络
描述实用微波系统器件:截面、材料、孔缝分支等。 各种不均匀性(接口)高次模式 分析方法:
(A)等效电抗元件： L、C图6.1-2、6.1-3 (B)不均匀均可用集总参量多端口网络等效 (C)散射矩阵：多端口网络 特点：微波网络与模式有关。一个模N端口 m个模N*m端口 网络形式取决于端口参考面（任意垂直于波导轴线且 远离不均匀区的面。）
Vk 0;k j，k=1,N
一般情况Z及Y均为复数元。
2. 互易网络
当微波网络不含非线性介质（磁性介质、等离 子体、有源器件），则导纳和阻抗阵必为对称 的，无耗时非对角元为纯虚数——计算简化。 证明：假定网络互易，除端口1,2外所有端口参 考面均短路，网络内有两个独立源a、b,在任意 点产生的场分别为Ea（Ha）、Eb （Hb）则：
H t ( x, y, z ) H 0t ( x, y )( A e
j z
A e
j z
由定义可将H表示为E
V / I V / I Z0 ;
z E0t H 0t Zw
V ( z ) (V e j z V e j z ); I ( z ) ( I e j z I e j z )
对特定导模定义：V∝Et I∝Ht P=V*I Z=V/I(通常归一化)
等效电压电流(续一)
对于任意导模：
Et ( x, y, z ) E0t ( x, y )( A e
j z
A+=V+/C1 ,A+=V+/C1
A e
j z
E0t ( x, y ) j z ) (V e V e j z ) C1 H 0 t ( x, y ) j z ) (I e I e j z ) C2
微波网络基础
（等效电路分析方法）
主要内容
微波接头等效网络（概念与方法）
一端口网络的阻抗特性
微波网络的阻抗和导纳矩阵
微波网络的散射矩阵
ABCD矩阵
微波网络的信号流图
6.1 微波接头的等效电路
本节主要目的是将导波段等效为双导线， 接头等效为集总参数网络，为利用矩阵 分析微波系统打下基础。 1.等效电压和电流： 实际测试几乎无法进行。 TEM：（可能）
1 j z 1 j z Hz (A e A e ) sin( x a ) I ( z ) (V e j z V e j z ) ZTE Z0 ab A 1 P E y H z dxdy 2 s 4 ZTE
2
1 P V I * 2
N
Vn〒，In〒为n阶模式的等效电压、电流值。 根据模式的正交性可知有n个模式阻抗
例题6.1-1 求矩形波导的等效V、I
TE10波导模式横向场
E y ( A e j z A e j z ) sin( x a )
传输线模型
V ( z ) V e j z V e j z
导纳阵为： I1
Y11 Y12 I 2 Y21 Y22 IN YN 1 即： I Y V
Y1N V1 Y2 N V2 YNN VN
j z j z
ab j z ab j z V V e V e Ae Ae 2 2 1 1 ab j z ab j z j z j z I (V e V e ) Ae Ae Z0 ZTE 2 2
解：对比关系如上，由功率表示式有：
P ab A
2
ห้องสมุดไป่ตู้
4ZTE
V I * A ab C1C2 C1C2 2 2 2ZTE
2
例题6.1-1 求矩形波导的等效V、I（续一）
选Z0=ZW=ZTE 有
ZTE V
I V
I C1 C2 ab ; 2
ab 1 相乘开方有： C1＝ ; 相除开方有：C2＝ 2 ZTE 于是：
6.2 一端口网络的阻抗特性
一端口网络：单口波导/传输线 分析：策动点阻抗特性——
driving point impedance
端口输入 P 功率：
1 2
S
E
H ds
*
Pl
2 j (Wm We )
Pl为实功率，代表网络耗散平均功率。 端口平面场：
Et ( x, y, z ) V ( z ) E0t ( x, y )e
2. Z()和G()的奇偶特性
考虑一端口网络策动点阻抗Z() 电压、电流和阻抗满足欧姆定理。 我们可以对电压取傅立叶变换：
v(t )
1 2
V ( )e d
jt
v ( t ) v* ( t ) 左边式子取共轭
1 2
V ( )e
*
jt
d
显然Z与Y互为逆矩阵
阵元组成
1.阻抗阵的对角元是其它端口开路时的输入阻 抗；其余为互电抗j激励与i输出的比值。 Vi Zi , j i 1,..., N ; j 1,...N I j I 0;k j，k=1,N
k
2.导纳阵的对角阵元是其它端口短路时的输入电 纳；其余元为互电纳
Ii Yi , j Vj i 1,..., N ; j 1,...N
ez
Hy
H y D je Ex z z t x 0 x
利用纵横关系及6.1-14带入上式有：
2.均匀波导等效电路（续一）
je I z jeV 2 Ez z kc z
6.1 16 /18
由麦克斯 韦第二方 程有：
B ( E )z t 0 z V V Ex ；E y x y
(无旋 标量梯度) 6.1 14
由麦克斯 韦第一方 程有：
ex ( H )x ＝ x H x
ey
y
可以根据功率流来确定系数C1C2:
等效电压电流(续二)
1 2 P |A | 2
s
V I E0t H 0t zds 2C1C2
* 0t
*
V I S E0t H zds 2
* 0t
*
C1C E0t H zds
* 2 S
6.1 10
Z 0,TM Z 0,TE Z1 Y1 Z1 Y1 j ( kc2 / je ) je
c e h 1 hG e
j h /G 2 je ( kc / j ) 6.1 24
j 2 e kc2
结果与第一章一致，等效仅对特定模式有 效，当波导传输n次模式时，等效于n对 传输线。
2 c
对于TEmn模的矩形波导，同样可得其传输 线等效电路如图6.1-1(b），参量如下： 2 kc Z1 j ; Y1 je j 特性：等效电路具有高通特性； f<fc时为电容(a)或电感(b)分压器；串(a)/并(b) 支路谐振时截止。
均匀波导等效电路（续三）
谐振时均有：kc2 = c2e
可见：RinPl; Xin储能（感/容性为正/负）
1.福斯特电抗定理
由麦克斯韦基本方程(无源无耗)：
E j H H j E
将方程取共轭并对求导、相加；再对方程两边 求积分利用散度定理简化（书,类似于电磁场书中波印 廷定理的推导方法）；结合端口场的表示式可得：
（2）阻抗概念
媒质固有阻抗:
h(/e)1/2;取决于材料本身（平面波阻抗）
波阻抗:
Zw=1/Y0=Et/Ht。导行波参数。
特性阻抗:
Z0=1/Y0=(L1/C1)1/2。导行电压与电流之比。 （对TEM唯一，TE/TM不定）
2.均匀波导等效电路
以矩形波导为例：TMmn（Hz=0)