矢量分析与场论(2)

第02讲本节内容1，方向导数2，梯度3，散度4，旋度1 / 382 / 385， 正交坐标系第一章 矢量分析与场论（2）1，数量场的方向导数1.1方向导数由上节可知，数量场)(M u u 的分布情况，可以借助于等值面或等值线来了解，但这只能大致地了解数量场中物理量u 的整体分布情况。

而要详细地研究数量场，还必须对它作局部性的了解，即要考察物理量u 在场中各点处的邻域内沿每一方向的变化情况。

为此，引入方向导数的概念。

3 / 38设0M 是数量场)(M u u =中的一点，从0M 出发沿某一方向引一条射线l，在l 上0M 的邻近取一动点M ，ρ=M M 0，若当M M →时（即0→ρ）：的极限存在，则称此极限为函数)(M u 在点0M 处沿l方向的方向导数。

记为M lu ∂∂，即：可见，方向导数0M lu∂∂是函数)(M u 在点0M 处沿l方向对距离的变化率。

M 0l4 / 38当0>∂∂l u时，表示在0M 处u 沿l 方向是增加的，反之就是减小的。

在直角坐标系中，方向导数有以下定理所述的计算公式：[定理] 若函数),,(z y x u u =在点),,(0000z y x M 处可微，αcos ，βcos ，γcos 为l方向的方向余弦。

则u 在0M 处沿l 方向的方向导数必存在，且：证：M 坐标为),,(000z z y y x x ∆+∆+∆+∵u 在点0M 可微，故：ω是比ρ高阶的无穷小。

两边除以ρ得两边取0→ρ时的极限得例 求数量场zy x u 22+=在点)2,1,1(M 处沿z y x l ˆ2ˆ2ˆ++=方向的方向导数。

5 / 38解：l方向的方向余弦为：31cos =α，32cos =β，32cos =γzx x u 2=∂∂，z y y u 2=∂∂，222z y x z u +-=∂∂1=∂∂Mxu，1=∂∂Myu ，21-=∂∂Mzu ∴323221321311=⋅-⋅+⋅=∂∂l u2，梯度 2.1．概念方向导数为)(M u 在给定点处沿某方向变化率。

但从场中一点出发无穷多方向，通常不必要更不可能研究所有方向的变化率。

人们往往只关心沿6 / 38何方向变化率最大，此变化率为多少？下从方向导数的计算公式出发来讨论此问题。

∵αcos 、βcos 、γcos 为l方向的方向余弦∴l方向的单位矢量可表示为：若把xu∂∂，yu ∂∂，zu ∂∂看成是某矢量G的三分量。

即：则：),cos(︒=︒⋅=∂∂l G G l G l uG 在给定点处为一常矢量。

由上式，G在l 方向上的投影恰等于函数u在该方向上的方向导数。

显然，当l 与G的方向一致时，即1),cos(=︒l G 时，方向导数取得最大值，7 / 38或说沿G方向的方向导数最大，此最大值为：这样即找到了一个矢量G，其方向为)(M u 变化率最大，且其模即为最大变化率，该矢量称函数)(M u 在给定点处的梯度。

在数量场)(M u 中的一点M 处，其方向为函数)(M u 在M 点处变化率最大的方向，其模恰好等于此最大变化率的矢量G，称为)(M u 在M 点处的梯度，记为：需指出，梯度的定义与坐标系无关，它由数量场)(M u 的分布所决定，在不同的坐标系中只是表达形式不同。

前面已得出其在直系中的表达式：从此公式可以看出，梯度在形式上可以视为矢量微分算子zz y y x x ˆˆˆ∂∂+∂∂+∂∂=∇8 / 38与函数u 的乘积，算子∇称为哈密尔顿算子。

所以梯度又常表示为u ∇。

2．2．梯度的性质1°梯度与方向导数的关系：在某点M 处沿任一方向的方向导数等于该点处的梯度在此方向上的投影。

︒⋅=∂∂l G l u2°梯度与等值面的关系：场)(M u 中每一点M 处的梯度，垂直于过该点的等值面，且指向)(M u 增大一方。

这是因为点M处u ∇的三个分量xu∂∂，yu ∂∂，zu ∂∂恰为过M 点的等值面c z y x u =),,(的法线方向数，即梯度在其法线方向上，故垂直于此等值面。

又因为u 沿u ∇方向的方向导数0>=∂∂u grad l u即)(M u 沿u grad 方向是增9 / 38加的，或者说u grad 指向)(M u 增大一方。

等值面和方向导数均与梯度存在一种比较理想的关系，这使得梯度成为研究数量场的一个极为重要的矢量。

例试证明),,(z y x M 点的矢径z z y y xx r ˆˆˆ++= 的模222z y x r r ++==的梯度︒==∇r r r r。

证：r x zy x xxr =++=∂∂222，r y y r =∂∂，r z z r =∂∂ ∴z rzy r y x r x r ˆˆˆ++=∇ 例求222z y x r r ++== 在)1,0,1(M 处沿k j i l22++=方向的l u ∂∂。

解法1：直接由lu∂∂公式（略）10 / 38解法2：作为梯度在l上投影r x x r =∂∂，r yy r =∂∂，rz z r =∂∂在)1,0,1(M 处，21=∂∂x r ，00==∂∂r y r ，21=∂∂z r∴M 处 z x r ˆ21ˆ21+=∇ 2.3．梯度的运算法则1°0=∇c （c 为常数）2°u c cu ∇=∇)(（c 为常数） 3°v u v u ∇±∇=±∇)( 4°v u u v uv ∇+∇=∇)(5°)(1)(2v u u v vv u ∇-∇=∇ 6°u u f u f ∇'=∇)()]([例 已知位于原点处的点电荷q 在其周围空间任一点),,(z y x M 处产生的电位为rq πεϕ4=（222z y x r r ++== ），且知电场强度ϕ-∇=E ，求E。

解：由法则6°： 3矢量场的通量与散度3.1、 通量12 / 38为区分曲面的两侧，常规定其一侧为曲面的正侧，另一面为其负侧。

这种取定了正侧的曲面称为有向曲面。

对于封闭曲面，习惯上总是取其外侧为正侧。

在研究实际问题时，常规定有向曲面的法向矢量n恒指向研究问题时所取的一侧。

下面通过例子导出通量定义。

设s为流速场)(M v 中一有向曲面，考虑单位时间流体向正侧穿过s 的流量Q 。

（n指向s 正侧）在s 上取ds ，ds M ∈。

因ds 甚小，可认为v和n 在ds 上均不变，分别与M处v 和n相同。

流体穿过ds 的流量为：其中nnn =︒为M 处单位法向矢量13 / 38则单位时间内沿正向穿过s 的总通量为：数学上把这种形式的曲面积分称为通量。

设)(M A为一矢量场，沿其中有向曲面s 正(负)侧的曲面积分：称为矢量场A向s 正（负）侧穿过曲面s 的通量。

如磁感应强度为B的磁场中，穿过曲面s 的磁通量为：若某一矢量场是由两个以上的矢量场迭加而成，则总场穿过某曲面的通量等于每个矢量场穿过该曲面的通量之和。

即若∑==++=m i i m A A A A 11则：在直角坐标系中，若A可表示为：14 / 38而 k ds j ds i ds ds n s dγβαcos cos cos ++=︒=其中αcos ，βcos ，γcos 是n的方向余弦∴⎰⎰⎰⎰++=⋅=ssdxdy R dxdz Q dydz P s d Aφ例 场k z j y i x r ++=，s ：圆锥面222z y x =+与平面z =H 所围封闭面，求从s 内穿出的φ。

解：⎰⎰⋅=ss d rφ⎰⎰⋅=1s sd r 2s 上任一点s d r ⊥若s 为上半球面2222R z y x =++，(0>z )，则x15 / 38总流量⎰⎰⋅=ss d v Q为单位时间内向上侧穿过s 的正流量和负流量的代数和。

当Q >0时表示向正侧流量多于向负侧流量；Q <0时向正侧流量小于向负侧流量；Q =0时向正侧流量等于向负侧流量。

对于封闭曲面s ，提及穿过它的通量时，通常指从内向外。

此时： 当0>φ时，表明穿出的通量大于穿入的，称s 内有产生φ的正源；当0<φ时，表明穿入通量大于穿出的，称s 内有产生φ的负源。

正源和负源可同时存在。

例 原点处点电荷q 在其周围产生的电场中，任一点处的电位移矢量︒=r r q D24π (222ˆˆˆz y x z z y y x x r r r ++++==︒)，求穿过以原点为球心，R 为半径的球面的16 / 38电通量。

解：⎰⎰⋅=se s d Dφ可见，s 内产生电通量的源即为电荷q ，q 为正电荷时，0>e φ，表明q 为正源；反之q 为负源。

3.2散度根据穿出闭合面的通量φ的正负，可判断出该曲面内有正源或负源，但源在s 内的分布情况和强弱却是通量无法说明的。

为此，引入矢量场的散度。

设M是矢量场)(M A中的一点，在M 的某个邻域内取一包含M 在内的17 / 38任一闭合曲面s ∆，其所包含区域的体积为V ∆，以φ∆表示穿出s ∆的通量。

若当该区域以任意方式缩向点M 时，的极限存在，则称之为矢量场)(M A在点M 处的散度。

记为A divA div为一数量，它表示场中一点处的通量对体积的变化率，即该点处穿出包围单位体积的闭合曲面的通量。

称为该点处源的强度。

0>A div——该点有正源；0<A div ——该点有负源。

A div表示产生通量或吸收通量的强度。

当0=A div时，表示该点无源。

0≡A div 的矢量场称为无源场。

[定理]（散度在直系中的表达式）在直角坐标系中，矢量场：在任一点),,(z y x M 处的散度为：18 / 38证：⎰⎰⎰⎰∆∆++=⋅=∆ssz y x dxdy A dxdz A dydz A s d Aφ由曲面积分的奥氏公式：因为xA x∂∂、y A y∂∂、zA z∂∂均连续，根据中值定理，V ∆内必存在一点*M 使得：∴*∂∂+∂∂+∂∂=∆∆=→∆→∆M z y x M V M V zA y A x A V A div ][lim lim φ∵M M →*，故zA y A x A A div zy x ∂∂+∂∂+∂∂=可见，散度在形式上可看作哈密尔顿算子与矢量A的点乘，所以通常表示为A ⋅∇。

此定理不仅告诉我们如何计算散度，也可由之得出以下推论： [推论1] 奥氏公式可以写成矢量形式：高斯定理19 / 38从数学角度可以认为高斯定理建立了面积分和体积分的关系。

从物理角度可以理解为高斯定理建立了区域 V 中的场和包围区域V 的闭合面S 上的场之间的关系。

因此，如果已知区域V 中的场，根据高斯定理即可求出边界S 上的场，反之亦然。

[推论2] 由推论1，若在封闭曲面s 内处处有0=⋅∇A，则：[推论3] 在矢量场A中，若某些点（或区域）上有0≠⋅∇A 或不存在，而其它点上都有0=⋅∇A，则穿出包围这些点（或区域）的任一闭曲面的通量都相等。