极限证明(精选多篇)

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高等数学说课稿《数列极限》（精选5篇）

高等数学说课稿《数列极限》（精选5篇）第一篇：高等数学说课稿《数列极限》《数列极限》说课稿袁勋这次我说课的内容是由盛祥耀主编的《高等数学》（上册）第一章第二节极限概念中的数列极限。

这部分内容在课本第18页至20页。

下面我把对本节课的教学目的、过程、方法、工具等方面的简单认识作一个说明。

一、关于教学目的的确定：众所周知，对极限这个概念的理解是高等数学的学习基础，但由于学生对数列极限概念及其定义的数学语言表述的理解比较困难，这种理解上的困难将影响学生对后继知识的学习，因此，我从知识、能力、情感等方面确定了本次课的教学目标。

1．在知识上，使学生理解极限的概念，能初步利用极限定义确定某些简单的数列极限；2．在能力上，培养学生观察、分析、概括的能力和在探索问题中的，由静态到动态、由有限到无限的辨证观点。

体验‚从具体到抽象，从特殊到一般再到特殊‛的认识过程；3．在情感上，通过介绍我国古代数学家刘徽的成就，激发学生的民族自尊心和爱国主义思想情感，并使他们对数列极限知识有一个形象化的了解。

二、关于教学过程的设计：为了达到以上教学目的，根据两节。

在具体教学中，根据‚循序渐进原则‛，我把这次课分为三个阶段：‚概念探索阶段‛；‚概念建立阶段‛；‚概念巩固阶段‛。

下面我将对每一阶段教学中计划解决的主要问题和教学步骤作出说明。

（一）‚概念探索阶段‛ 1.这一阶段要解决的主要问题在这一阶段的教学中，由于注意到学生在开始接触数列极限这个概念时，总是以静止的观点来理解这个描述变化过程的动态概念，总觉得与以前知识相比，接受起来有困难，似乎这个概念是突然产生的，甚至于不明概念所云，故我在这一阶段计划主要解决这样几个问题：①使学生了解以研究函数值的变化趋势的观点研究无穷数列，从而发现数列极限的过程；②使学生形成对数列极限的初步认识；③使学生了解学习数列极限概念的必要性。

2．本阶段教学安排我采取温故知新、推陈出新的教学过程，分三个步骤进行教学。

几何法证明不等式(精选多篇)

几何法证明不等式(精选多篇)^2(a,b∈r，且a≠b)设一个正方形的边为c,有4个直角三角形拼成这个正方形,设三角形的一条直角边为a,另一条直角边为b,(b>a)a=b,刚好构成,若a不等于b时,侧中间会出现一个小正方形,所以小正方形的面积为(b-a)^2,经化简有(b+a)^2=4ab,所以有((a+b)/2)^2=ab,又因为(a^2+b^2)/2>=ab,所以有((a+b)/2)^2<=(a^2+b^2)/2,又因为a不等与b,所以不取等号可以在直角三角形内解决该问题=^2-(a^2+b^2)/2=/4=-(a-b)^2/4<0能不能用几何方法证明不等式，举例一下。

比如证明sinx不大于x(x范围是0到兀/2，闭区间)做出一个单位圆，以o为顶点，x轴为角的一条边任取第一象限一个角x，它所对应的弧长就是1*x=x那个角另一条边与圆有一个交点交点到x轴的距离就是sinx因为点到直线，垂线段长度最小，所以sinx小于等于x，当且尽当x=0时，取等已经有的方法：第一数学归纳法2种;反向归纳法(特殊到一般从2^k过渡到n);重复递归利用结论法;凸函数性质法;能给出其他方法的就给分(a1+a2+...+an)/n≥(a1a2...an)^(1/n)一个是算术，一个是几何。

人类认认识算术才有几何，人类吃饱了就去研究细微的东西，所以明显有后者小于前者的结论，这么简单都不懂，叼佬就是叼佬^_^搞笑归搞笑，我觉得可以这样做，题目结论相当于证(a1+a2+...+an)/n-(a1a2...an)^(1/n)≥0我们记f(a1,a2,……,an)=(a1+a2+...+an)/n-(a1a2...an)^(1/n)这时n看做固定的。

我们讨论f的极值，它是一个n元函数，它是没有最大值的(这个显然)我们考虑各元偏导都等于0，得到方程组，然后解出a1=a2=……=an再代入f中得0，从而f≥0，里面的具体步骤私下聊，写太麻烦了。

函数极限的证明(精选多的篇)

函数极限的证明(精选多的篇)
函数极限的证明是数学分析中一个重要的内容，它能够让我们更好地理解函数的性质和特征。

通过证明函数极限可以更加深入地了解函数的行为，使我们能够正确应用函数来解决问题。

函数极限的证明可以从不同的角度来看，最常见的是从定义上来看。

它定义为：对于给定函数f(x)，当x的取值趋近于某一特定的数值a时，函数f(x)的值趋近于L，则称L为函数f(x)在x=a处的极限。

换句话说，就是函数f(x)的值在x取值不断靠近a 时，其值也会靠近某一特定的数值L，L就是函数f(x)在x=a处的极限。

为了证明函数极限，首先要引入极限定义，即当x取值趋近于a时，函数f(x)的值趋近于L，则称L为函数
f(x)在x=a处的极限。

然后，根据极限定义，可以将函数f(x)分成两部分：
1. 在x取值趋近于a的情况下，函数f(x)的值小于极限L；
2. 在x取值趋近于a的情况下，函数f(x)的值大于极限L。

然后，对于第一部分，可以通过证明：即使x取值趋近于a，函数f(x)的值仍然小于极限L，从而证明函数
f(x)在x=a处的极限L。

而第二部分，则可以通过证明：即使x取值趋近于a，函数f(x)的值仍然大于极限L，从而证明函数f(x)在x=a处的极限L。

最后，根据以上两个部分，可以得出结论：函数f(x)在x=a处的极限L是有效的，即函数f(x)的值在x取值趋近于a时，其值也会靠近某一特定的数值L。

函数极限的证明是一个简单而又实用的数学技术，它能够让我们更好地了解函数的性质和特征，使我们能够正确应用函数来解决问题。

等价无穷小求极限（精选1篇）

等价无穷小求极限（精选1篇）以下是网友分享的关于等价无穷小求极限的资料1篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。

等价无穷小求极限篇一等价无穷小求极限摘要：极限的计算方法多样灵活, 计算巧妙. 等价无穷小的替换是求极限的重要方法之一. 在求和、差形式的函数极限, 1型函数的极限, 积分上限函数的极限等方面, 等价无穷小的替换具有很好的作用, 掌握并充分利用好它的性质, 往往会使一些复杂的问题简单化, 起到事半功倍的效果.关键词：等价无穷小; 函数的极限; 级数收敛Equivalent Infinitesimal in limit researchAbstract : The limits of the calculation methods are various flexible, clever calculation. Equivalent infinitesimal replacement is one of the important methods for limit. In sum, poor function limit, type function limit, the limit of integral upper limit function and so on, the equivalent infinitesimal replacement with good properties, grasp and make full use of the good properties, tend to make some complex problem is simplified, have twice the result with half the effort.Keywords : Equivalent infinitesimal, The limit of the function, Replace, The series converges.目录引言 .................................................... 1 1乘积因子等价无穷小的替换. .............................. 2 2变上限积分的极限 ...................................... 3 3极限中含加减因子的等价无穷小替换....................... 4 41 型不定式极限的替换................................... 9 5级数敛散性的等价无穷小替换. ........................... 11 6用洛必达法则求极限................................... 12 6.1 对非不定式极限使用洛必达法则 . (13)6.2 过分依赖洛必达法则的优越性 (15)6.3洛必达法则与等无穷小替换的结合 ............................. `16 6.4 洛必达法则是充分条件而非必要条件............................157小结...........................................................................16 8参考文献..................................................................... 17 9致谢 (18)引言等价无穷小代换是高等数学中求极限的最重要的方法之一，由于其便利快捷，化繁为简, 它现在已经成为很多行业进行研究分析的一种重要工具。

关于函数极限如何证明

关于函数极限如何证明函数极限的性质是怎么一回事呢?这类的性质该怎么证明呢?下面就是学习啦给大家的函数极限的性质证明内容，希望大家喜欢。

X1=2,Xn+1=2+1/Xn,证明Xn的极限存在，并求该极限求极限我会|Xn+1-A|以此类推，改变数列下标可得|Xn-A||Xn-1-A|……|X2-A|向上迭代，可以得到|Xn+1-A|只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。

用数学归纳法：①证明{x(n)}单调增加。

x(2)=√[2+3x(1)]=√5>x(1);设x(k+1)>x(k)，则x(k+2)-x(k+1))=√[2+3x(k+1)]-√[2+3x(k)](分子有理化) =[x(k+1)-3x(k)]/【√[2+3x(k+1)]+√[2+3x(k)]】>0。

②证明{x(n)}有上界。

x(1)=1<4，设x(k)<4，则x(k+1)=√[2+3x(k)]<√(2+3*4)<4。

当0构造函数f(x)=x*a^x(0令t=1/a，则：t>1、a=1/t且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)则：lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x=lim(x→+∞)[x'/(t^x)'](分子分母分别求导)=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)=1/(+∞)=0所以，对于数列n*a^n，其极限为03.根据数列极限的定义证明：(1)lim[1/(n的平方)]=0n→∞(2)lim[(3n+1)/(2n+1)]=3/2n→∞(3)lim[根号(n+1)-根号(n)]=0n→∞(4)lim0.999…9=1n→∞n个95几道数列极限的证明题，帮个忙。

Lim就省略不打了。

n/(n^2+1)=0√(n^2+4)/n=1sin(1/n)=0实质就是计算题，只不过题目把答案告诉你了，你把过程写出来就好了第一题，分子分母都除以n，把n等于无穷带进去就行第二题，利用海涅定理，把n换成x，原题由数列极限变成函数极限，用罗比达法则(不知楼主学了没，没学的话以后会学的) 第三题，n趋于无穷时1/n=0，sin(1/n)=0不知楼主觉得我的解法对不对呀limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1= 0lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1/n^2)=1limsin(1/n)=lim[(1/n)*sin(1/n)/(1/n)]=lim(1/n)*lim[sin(1/n) ]/(1/n)=0*1=0猜你感兴趣：1.利用导数证明不等式2.构造函数证明不等式3.统计物理小结(精选3篇)4.xx成人高考数学备考复习攻略5.中心极限定理证明。

关于极限作文600字（精选48篇）

极限作文600字关于极限作文600字（精选48篇）极限作文600字篇1知人者智，自知者明。

面对极限，不顾一切，迎难而上的，那是勇毅；深谙己力，激流勇退的，那是自知。

不放弃突破极限的勇毅，也不应抛开对现实的自知。

面对极限，具一分理性，多一点坦然，学会自知，学会分析。

弹簧在一次次不知极限的拉伸中，失去了弹性；人在日复日的无限度的辛劳中，损伤了身体。

竭泽而渔，不知极限的索取，断送生命延续的去路；留得青山，适当时候的退让，保全再一次发展的机会。

弓满则劲，一旦超过极限，弦断弓折，便纵有挽弓三百的神力，但已没有穿杨射日的机会了；风满则快，一旦超越极限，帆裂桅断，即使有乘风破浪的气概，但碎布断木又有何作为？过犹而不及，极限，有的是不可逾越的。

只有适时而退，才有再试一次的机会；只有合理把握，才有最大功效的发挥。

极限不怕，可怕的是没有面对极限时的理性。

放弃不是失去，是另一种收获；退却不是懦弱，是另一种勇敢。

事物无限，精神无限。

面对极限，一方面要学会把握，学会分析；另一方面也要永不言败，勇于挑战极限。

理性的分析加坚强的气概，极限有可能被打破。

百年的飞行史，是人与地心力极限的抗争史。

一次次的试验，一回回不畏死亡的挑战，终于腾空而起，遨游太空。

一砖一石地添加，一尺一寸地积累，巴比伦塔，挑战上帝神力的极限；一代代的努力，一点一点地挖掘，愚公也能移走大山阻碍的极限。

水滴石穿，是无数水滴粉身碎骨换来的突破；绳锯木断，无金石之强，凭不懈之功，也可折木断树。

并非所有的极限都不可被打破；不是所有的记录都不可被刷新。

要有打破极限的成功，就要有无限的精神气概。

面对极限，不可贸然行事，也不用畏葸不前。

第一、最高，不过是一时的风光，却赌不来一世的顺畅。

保全力量，积蓄力气，才能促成飞跃，冲破极限。

极限作文600字篇2鹰击长空，面对高空的极限，鹰选择了用拼搏去战胜高空。

鲸潜深海，面对深海的极限，鲸选择了用坚毅去战胜深海。

我们应该用这样积极的态度去面对极限。

极限证明(精选多的篇)

极限证明(精选多的篇)
一、极限证明
极限证明是一种数学方法，用来确定一个函数的一个特定的值，在一个字面上的极限条件下成立。

它主要是比较一个连续函数在定义域和像素点的抵消及取值之间的关系，以便进行该函数的有限的趋向，从而了解该函数的表现趋势。

因此，极限证明的作用，是用来显示一个特定的函数给定条件下的最终值，以便确定该函数最终得到的值。

一般来说，极限证明是一种在数据和机器证明之间某种平衡而不受某些不明显结果问题的情况下，消去无穷极限的计算过程。

关于极限的证明过程，常常会开始选取被证明的函数，然后定义一组该函数的独立变量及相应的约束条件。

下一步是在所有约束条件下，计算该函数的取值范围，以便在该取值范围内最终达到一个无穷极限。

它也可以用来找到函数的解析解。

极限运动作文(精选13篇)

极限运动作文（精选13篇）极限运动作文篇1如今，极限运动已经得到全时世界的普遍认可，越来越多的勇敢者都积极的参与到这项运动中来。

它不同于其他体育项目的是它不但需要高超的竞技水平，而且还需要一定的勇气，因此，它也被人们称作是“勇敢者的游戏。

”我也是一名极限运动的爱好者，同样也喜欢在刺激中寻找乐趣。

极限运动种类繁多，例如：“高山滑雪、水上冲浪、高空蹦极”等。

无一不是让人听了胆战心惊的，但我今天要为各位读者介绍另外一项极限运动，我想它的难度系数不亚于以上任何一项极限运动——因为那就是我的初三生活。

自从升入初三，我身上就又多了一样东西——那就是疲惫。

从早到晚，我似乎都在无休止的做一件事，那就是思考，只怪我初一.初二时的基础没打牢固，因此才会······取乐在校间的学习，每天回到家里，还需要面对一大堆的复习资料，我感到发愁，经常奋斗到十一点多，每次下来第二天就会变成猫熊，当然了，我也试着偷过懒，但每每的结果就是进办公室。

此后，我便渐渐的打消了此念头。

其实，每天属于我的幸福时光就只有六七个钟头，有时还会因为白天的疲劳过度而晚上失眠，这样就更悲惨了。

各位朋友，听了鄙人的一番介绍后您是否对此项极限运动有了一定的了解？它最关键的就是需要一种持之以恒的精神。

虽然我曾经也想过放弃，虽然我也不知道自身还能坚持多久，但IBelieve凭借着鄙人的顽强意志会慢慢的Love上此项运动的。

鄙人今天将学习比喻成极限运动也并不是我的本意，只是我进入初三的感慨而已。

不知各位是否和我同样的感受咧！极限运动作文篇2放寒假后，我便很少出门，但天天待家里不动也不行，等开学都成小胖妞了。

于是，我和老爸制定了两项“极限运动”！第一项，是打乒乓球。

每天晚上，我都会和老爸打一会儿球，我每次都会很惊讶，我除了现在，只有六七岁时打过乒乓球，却总能一下把老爸发过来的球打回去，并让他接不到！其实，乒乓球都是在家里打的，我们在老爸老妈卧室，以大床为桌子打，再将床单拎起一点当界限就成了。

以极限为话题的议论文（精选7篇）

以极限为话题的议论文以极限为话题的议论文（精选7篇）相信大家都尝试过写作文吧，特别是议论文，议论文是对某个问题或某件事进行分析、评论，表达自己的观点和主张的文章体裁。

我们应该怎么写这类型的作文呢？下面是小编收集整理的以极限为话题的议论文（精选7篇），欢迎大家分享。

一位学者曾这样概括人生的三种境界：昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路、衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴、众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处。

人们都希望能到达人生的最高境界，即这第三境界，体味那战胜自我，超越极限后一览众山小的胜利感，然而在这自我提炼、自我实现的过程中，许多优秀的品质都是不可或缺的。

要战胜自我，超越极限，首先要有坚定的信念。

坚定的信念是一个人取得成功的先决条件，伟大着作《史记》的创作者司马迁，曾饱受牢狱之灾，但他立志要通古仿之变，成一家之言，终于达成心愿，孙子膑脚，《兵法》修列；不韦迁蜀，世传《吕览》；韩非囚秦，《说难》、《孤愤》，这些例子无一不说明了坚定的信念对成功的重要。

外国也不乏这样的例子，在无产阶级饱受资产阶级剥削与压迫之时，马克思、恩格斯凭着对共产主义无比坚定的信念，完成了《资本论》一书，为人类社会的进步指出了一条光明的大道。

战胜自我，超越极限，还要有过人的勇气，首先从动物界来看，见过蝉蜕壳的人都知道，要破茧新生，关键在于震裂蝉壳时使出了多大的力气，倘若力气不够或半途而废，蝉最终会窒息而死。

动物界沿尚且有这样的规律，何况于人哥白尼提出日心说之时，正值教皇统治无比黑暗的时候，他不畏惧教皇势力对他的残酷打击，坚持扞卫自己的观点，为人类科学的进步作出了卓越的贡献。

战胜自我，超越极限，还要有足够的智慧。

要取得成功，一味只知蛮干的莽夫显然是不行的，他们只会遗留在历史冰冷的笑声里，如堂吉诃德大战风车一样毫无意义。

看过《飘》的人应该对其中描写荞麦的一段话记忆犹新：我们不要做小麦，而要做荞麦，小麦在大风过后会被刮断，而荞麦不同，它的体内有足够的水分，在大风吹来之时，能柔韧地弯腰，大风过后，仍能立起，昂起头茂密茁壮地生长。

考研高数证明题的解题方法[精选5篇]

考研高数证明题的解题方法[精选5篇]第一篇：考研高数证明题的解题方法分析法，综合法，反证法，都是欧氏分析方法。

欧氏分析方法起自于欧氏几何，早在公元前400年左右即为人类总结运用。

构造法是微积分学，代数学自身的方法。

分析法——尽可能由已知条件挖掘信息，并以此为起点作逻辑推理。

一元微积分讲究条件分析。

要用分析法，就需要对各个概念理解准确，强弱分明；推理有序，因果清晰。

为了弥补非数学专业学生的“短板”，我建议大家把考研题目中出现頻率较高的典型条件，预先推个滚瓜烂熟。

比如已知条件“f（x）连续，且x趋于0时，lim(f（x）/x)= 1”的推理。

（见讲座（9）基本推理先记熟。

）已知条件“f（x）在点x0可导，且f ′(x0)> 0 ”的推理。

（这是阐述“一点可导且导数大于0与一段可导且导数大0的差别；证明洛尔定理（费尔玛引理），达布定理，……，等的关键。

见讲座（11）洛尔定理做游戏；讲座（17）论证不能凭感觉。

）已知条件“非零矩阵AB = 0”的推理。

（见讲座（42）矩阵乘法很惬意。

）已知“含参的三阶方阵A能与对角阵相似，且A有二重特征值。

计算参数。

”的推理。

（见讲座（48）中心定理路简明。

）“已知连续型随机变量X的分布函数或随机向量（X，Y）的密度函数，求函数型随机变量U = φ(x)或U =φ(x，y)”的推理计算（见讲座（78）分布函数是核心。

）一个娴熟的推导就是一条高速路啊。

你非常熟练了吗？！综合法——由题目要证明的结论出发，反向逻辑推理，观察我们究竟需要做什么。

最典型的范例是考研数学题目“证明有点ξ，满足某个含有函数及其导数的关系式”。

例设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间（0，1）内可导，且f(0)= 0，则区间（0，1）内至少有一点ξ，使得f(ξ)f ′(1―ξ)= f ′(ξ)f(1―ξ)分析（综合法）即要证明f(ξ)f ′(1―ξ)― f[b′(ξ)f(1―ξ)= 0点ξ是运用某个定理而得到的客观存在。

函数极限的证明(精选多篇)

函数极限的证明(精选多篇)第一篇：函数极限的证明函数极限的证明(一)时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义(和.)几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……(二)时函数的极限：由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由=为使需有为使需有于是,倘限制,就有例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有=§2函数极限的性质(3学时)教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。

教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。

教学重点：函数极限的性质及其计算。

教学难点：函数极限性质证明及其应用。

教学方法：讲练结合。

把max{a1,...am}记作a。

不妨设f1(x)趋于a;作b>a>=0,m>1;那么存在n1,当x>n1,有a/mn2时，0ni时，0那么当x>n,有(a/m)第三篇：二元函数极限证明二元函数极限证明设p=f(x,y),p0=(a,b)，当p→p0时f(x,y)的极限是x,y 同时趋向于a,b时所得到的称为二重极限。

函数极限的证明(精选多篇)

教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。

教学重点：函数极限的性质及其计算。

教学难点：函数极限性质证明及其应用。

教学方法：讲练结合。

把max{a1,...am}记作a。

不妨设f1(x)趋于a;作b>a>=0,m>1;那么存在n1,当x>n1,有a/m<=f1(x)注意到f2的极限小于等于a，那么存在n2，当x>n2时，0<=f2(x)同理，存在ni，当x>ni时，0<=fi(x)取n=max{n1,n2...nm};那么当x>n,有(a/m)+相等，但二重极限仍可能不存在2函数f(x)当x→x0时极限存在，不妨设：limf(x)=a(x→x0)根据定义:对任意ε>0,存在δ>0,使当|x-x0|<δ时,有|f(x)-a|<ε而|x-x0|<δ即为x属于x0的某个邻域u(x0;δ)又因为ε有任意性,故可取ε=1,则有:|f(x)-a|<ε=1,即:a-1再取m=max{|a-1|,|a+1|},则有:存在δ>0,当任意x属于x0的某个邻域u(x0;δ)时,有|f(x)|证毕3首先，我的方法不正规，其次，正确不正确有待考察。

如何证明极限不存在(精选多篇)

如何证明极限不存在(精选多篇)第一篇：证明极限不存在证明极限不存在二元函数的极限是高等数学中一个很重要的内容,因为其定义与一元函数极限的定义有所不同,需要定义域上的点趋于定点时必须以任意方式趋近,所以与之对应的证明极限不存在的方法有几种.其中有一种是找一种含参数的方式趋近,代入二元函数,使之变为一元函数求极限.若最后的极限值与参数有关,则说明二重极限不存在.但在证明这类型的题目时,除了选y=kx这种趋近方式外,许多学生不知该如何选择趋近方式.本文给出证明一类常见的有理分式函数极限不存在的一种简单方法.例1证明下列极限不存在:(1)lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6;(2)lim(x,y)→(0,0)x2y2x2y2+(x-y)2.证明一般地,对于(1)选择当(x,y)沿直线y=kxy=kx趋近于(0,0)时,有lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6=limx→0k2x6(1+k6)x6=k21+k6.显然它随着k值的不同而改变,故原极限不存在.对于(2)若仍然选择以上的趋近方式,则不能得到证明.实际上,若选择(x,y)沿抛物线y=kx2+x(k≠0)(x,y)→(0,0)趋近于(0,0),则有l..2是因为定义域d={(x,y)|x不等于y}吗，从哪儿入手呢，请高手指点沿着两条直线y=2xy=-2x趋于(0,0)时极限分别为-3和-1/3不相等极限存在的定义要求延任何过(0,0)直线求极限时极限都相等所以极限不存在3lim(x和y)趋向于无穷大(x -5y )/(x +3y )证明该极限不存在lim(x -5y )/(x +3y )=lim(x +3y )/(x +3y )-8y /(x +3y )=1-lim8/因为不知道x、y的大校所以lim(x和y)趋向于无穷大(x -5y )/(x +3y )极限不存在4如图用定义证明极限不存在~谢谢!!反证法若存在实数l，使limsin(1/x)=l，取ε=1/2，在x=0点的任意小的邻域x内，总存在整数n，①记x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈x，有sin=1，②记x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈x，有sin=-1，使|sin-l|<1/3，和|sin-l|<1/3，同时成立。

中心极限定理证明（精选篇）

中心极限定理证明中心极限定理证明中心极限定理证明一、例子例1] 高尔顿钉板试验.图中每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子.每排钉子等距排列,下一排的每个钉子恰在上一排两相邻钉子之间.假设有排钉子,从入口中处放入小圆珠.由于钉板斜放,珠子在下落过程中碰到钉子后以的概率滚向左边,也以的概率滚向右边.如果较大,可以看到许多珠子从处滚到钉板底端的格子的情形如图所示,堆成的曲线近似于正态分布. 如果定义:当第碰到钉子后滚向右边,令;当第碰到钉子后滚向左边,令.则是独立的,且那么由图形知小珠最后的位置的分布接近正态.可以想象,当越来越大时接近程度越好.由于时,.因此,显然应考虑的是的极限分布.历史上德莫佛第一个证明了二项分布的极限是正态分布.研究极限分布为正态分布的极限定理称为中心极限定理.二、中心极限定理设是独立随机变量序列,假设存在,若对于任意的,成立称服从中心极限定理.例2] 设服从中心极限定理,则服从中心极限定理,其中为数列. 解:服从中心极限定理,则表明其中.由于,因此故服从中心极限定理.三、德莫佛-拉普拉斯中心极限定理在重贝努里试验中,事件在每试验中出现的概率为为试验中事件出现的数,则例3] 用频率估计概率时的误差估计.由德莫佛—拉普拉斯极限定理,由此即得第一类问题是已知,求,这只需查表即可.第二类问题是已知,要使不小于某定值,应至少做多少试验?这时利用求出最小的.第三类问题是已知,求.解法如下:先找,使得.那么,即.若未知,则利用,可得如下估计: .例4] 抛掷一枚均匀的骰子,为了至少有0.95的把握使出现六点的概率与之差不超过0.01,问需要抛掷多少?解:由例4中的第二类问题的结论,.即.查表得.将代入,便得. 由此可见,利用比利用契比晓夫不等式要准确得多.例5] 已知在重贝努里试验中,事件在每试验中出现的概率为为试验中事件出现的数,则服从二项分布:的随机变量.求.解:因为很大,于是所以利用标准正态分布表,就可以求出的值.例6] 某单位内部有260架电话分机,每个分机有0.04的时间要用外线通话,可以认为各个电话分机用不用外线是是相互独立的,问总机要备有多少条外线才能以0.95的把握保证各个分机在使用外线时不必等候.解:以表示第个分机用不用外线,若使用,则令;否则令.则.如果260架电话分机同时要求使用外线的分机数为,显然有.由题意得,查表得,,故取.于是取最接近的整数,所以总机至少有16条外线,才能有0.95以上的把握保证各个分机在使用外线时不必等候.例7] 根据孟德尔遗传理论,红黄两种番茄杂交第二代结红果植株和结黄果植株的比率为3:1,现在种植杂交种0株,试求结黄果植株介于83和117之间的概率.解:将观察一株杂交种的果实颜色看作是一试验,并假定各试验是独立的.在0株杂交种中结黄果的株数记为,则.由德莫佛—拉普拉斯极限定理,有其中,即有四、林德贝格-勒维中心极限定理若是独立同分布的随机变量序列,假设,则有证明:设的特征函数为,则的特征函数为又因为,所以于是特征函数的展开式从而对任意固定的,有而是分布的特征函数.因此,成立.例8] 在数值计算时,数用一定位的小数来近似,误差.设是用四舍五入法得到的小数点后五位的数,这时相应的误差可以看作是上的均匀分布.设有个数,它们的近似数分别是,.,.令用代替的误差总和.由林德贝格——勒维定理,以,上式右端为0.997,即以0.997的概率有例9] 设为独立同分布的随机变量序列,且互相独立,其中,证明:的分布函数弱收敛于.证明:为独立同分布的随机变量序列,且互相独立,所以仍是独立同分布的随机变量序列,易知有由林德贝格——勒维中心极限定理,知的分布函数弱收敛于,结论得证.作业:P222 EX 32,33,,五、林德贝尔格条件设为独立随机变量序列,又令,对于标准化了的独立随机变量和的分布当时,是否会收敛于分布?例10] 除以外,其余的均恒等于零,于是.这时就是的分布函数.如果不是正态分布,那么取极限后,分布的极限也就不会是正态分布了.因而,为了使得成立,还应该对随机变量序列加上一些条件.从例题中看出,除以外,其余的均恒等于零,在和式中,只有一项是起突出作用.由此认为,在一般情形下,要使得收敛于分布,在的所有加项中不应该有这种起突出作用的加项.因为考虑加项个数的情况,也就意味着它们都要“均匀地斜.设是独立随机变量序列,又,,这时(1)若是连续型随机变量,密度函数为,如果对任意的,有(2)若是离散型随机变量,的分布列为如果对于任意的,有则称满足林德贝尔格条件.例11] 以连续型情形为例,验证:林德贝尔格条件保证每个加项是“均匀地斜.证明: 令,则于是从而对任意的,若林德贝尔格条件成立,就有这个关系式表明, 的每一个加项中最大的项大于的概率要小于零,这就意味着所有加项是“均匀地斜.六、费勒条件设是独立随机变量序列,又,,称条件为费勒条件.林德贝尔格证明了林德贝尔格条件是中心极限定理成立的充分条件,但不是必要条件.费勒指出若费勒条件得到满足,则林德贝尔格条件也是中心极限定理成立的必要条件.七、林德贝尔格-费勒中心极限定理引理1 对及任意的,证明:记,设,由于因此, ,其,对,用归纳法即得.由于,因此,对也成立.引理2 对于任意满足及的复数,有证明:显然因此,由归纳法可证结论成立.引理3 若是特征函数,则也是特征函数,特别地证明定义随机变量其中相互独立,均有特征函数,服从参数的普哇松分布,且与诸独立,不难验证的特征函数为,由特征函数的性质即知成立.林德贝尔格-费勒定理定理设为独立随机变量序列,又 .令 ,则(1)与费勒条件成立的充要条件是林德贝尔格条件成立.证明:(1)准备部分记(2)显然(3)(4)以及分别表示的特征函数与分布函数,表示的分布函数,那么 (5) 这时因此林德贝尔格条件化为:对任意,(6)现在开始证明定理.设是任意固定的实数.为证(1)式必须证明(7)先证明,在费勒条件成立的假定下,(7)与下式是等价的:(8)事实上,由(3)知,又因为故对一切,把在原点附近展开,得到因若费勒条件成立,则对任意的,只要充分大,均有(9)这时(10)对任意的,只要充分小,就可以有(11)因此,由引理3,引理2及(10),(11),只要充分大,就有(12)因为可以任意小,故左边趋于0,因此,证得(7)与(8)的等价性.(2)充分性先证由林德贝尔格条件可以推出费勒条件.事实上,(13)右边与无关,而且可选得任意小;对选定的,由林德贝尔格条件(6)知道第二式当足够大时,也可以任意地小,这样,费勒条件成立.其证明林德贝尔格条件能保证(1)式成立.注意到(3)及(4),可知,当时,当时,因此(14)对任给的,由于的任意性,可选得使,对选定的,用林德贝尔格条件知只要充分大,也可使.因此,已证得了(8),但由于已证过费勒条件成立,这时(8)与(7)是等价的,因而(7)也成立.(3)必要性由于(1)成立,因此相应的特征函数应满足(7).但在费勒条件成立时,这又推出了(8),因此,(15)上述被积函数的实部非负,故而且(16)因为对任意的,可找到,使,这时由(15),(16)可得故林德贝尔格条件成立.八、李雅普诺夫定理设为独立随机变量序列,又.令,若存在,使有则对于任意的,有。

高数第二章极限知识点（精选3篇）

高数第二章极限知识点（精选3篇）以下是网友分享的关于高数第二章极限知识点的资料3篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。

篇一：高中数学知识点总结第十三、四章极限与导数高中数学第十三章-极限考试内容：教学归纳法．数学归纳法应用．数列的极限．函数的极限．根限的四则运算．函数的连续性．考试要求：（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．（2）了解数列极限和函数极限的概念．（3）掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限．（4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质．§13. 极限知识要点1. ⑴第一数学归纳法：①证明当n 取第一个n 0时结论正确；②假设当n =k （k ∈N +, k ≥n 0）时，结论正确，证明当n =k +1时，结论成立.⑵第二数学归纳法：设P (n ) 是一个与正整数n 有关的命题，如果①当n =n 0（n 0∈N +）时，P (n ) 成立；②假设当n ≤k （k ∈N +, k ≥n 0）时，P (n ) 成立，推得n =k +1时，P (n ) 也成立. 那么，根据①②对一切自然数n ≥n 0时，P (n ) 都成立. 2. ⑴数列极限的表示方法：①lim a n =an →∞②当n →∞时，a n →a . ⑵几个常用极限：①lim C =C （C 为常数）n →∞②limn →∞1nk=0(k ∈N , k 是常数)③对于任意实常数，当|a | 1时，lim a n =0n →∞当a =1时，若a = 1，则lim a n =1；若a =-1，则lim a n =lim (-1) n 不存在n →∞n →∞n →∞当a 1时，lim a n 不存在n →∞⑶数列极限的四则运算法则：如果lim a n =a , lim b b =b ，那么n →∞n →∞①lim (a n ±b n ) =a ±bn →∞②lim (a n ⋅b n ) =a ⋅bn →∞③lima n a=(b ≠0)n →∞b n b特别地，如果C 是常数，那么n →∞lim (C ⋅a n ) =lim C ⋅lim a n =Ca .n →∞n →∞⑷数列极限的应用：求无穷数列的各项和，特别地，当q 1时，无穷等比数列的各项和为S =a 1(q 1) . 1-q（化循环小数为分数方法同上式）注：并不是每一个无穷数列都有极限. 3. 函数极限；⑴当自变量x 无限趋近于常数x 0（但不等于x 0）时，如果函数f (x ) 无限趋进于一个常数a ，就是说当x 趋近于x 0时，函数f (x ) 的极限为a . 记作lim f (x ) =a 或当x →x 0时，f (x ) →a .x →x 0注：当x →x 0时，f (x ) 是否存在极限与f (x ) 在x 0处是否定义无关，因为x →x 0并不要求x =x 0. （当然，f (x ) 在x 0是否有定义也与f (x ) 在x 0处是否存在极限无关. ⇒函数f (x ) 在x 0有定义是lim f (x ) 存在的既不充分又不必要条件. ）x →x 0如P (x ) =⎨⎧x -1x 1在x =1处无定义，但lim P (x ) 存在，因为在x =1处左右极限均等于零.x →1⎩-x +1x 1⑵函数极限的四则运算法则：如果lim f (x ) =a , lim g (x ) =b ，那么x →x 0x →x 0①lim (f (x ) ±g (x )) =a ±bx →x 0②lim (f (x ) ⋅g (x )) =a ⋅bx →x 0③limx →x 0f (x ) a=(b ≠0) g (x ) b特别地，如果C 是常数，那么x →x 0lim (C ⋅f (x )) =C lim f (x ) .x →x 0x →x 0lim [f (x )]n =[lim f (x )]n （n ∈N +）x →x 0注：①各个函数的极限都应存在.②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况. ⑶几个常用极限：1①lim =0 n →∞x ②lim a x =0（0＜a ＜1）；lim a x =0（a ＞1）x →+∞x →-∞③limsin x x=1⇒lim =1x →0x x →0sin x1④lim (1+) x =e ，lim (1+x ) x =e （e =2. 71828183）x →0x →∞x14. 函数的连续性：⑴如果函数f （x ），g （x ）在某一点x =x 0连续，那么函数f (x ) ±g (x ), f (x ) ⋅g (x ), 在点x =x 0处都连续.⑵函数f （x ）在点x =x 0处连续必须满足三个条件：①函数f （x ）在点x =x 0处有定义；②lim f (x ) 存在；③函数f （x ）在点x =x 0处的极限值x →x 0f (x )(g (x ) ≠0) g (x )等于该点的函数值，即lim f (x ) =f (x 0) .x →x 0⑶函数f （x ）在点x =x 0处不连续（间断）的判定：如果函数f （x ）在点x =x 0处有下列三种情况之一时，则称x 0为函数f （x ）的不连续点. ①f （x ）在点x =x 0处没有定义，即f (x 0) 不存在；②lim f (x ) 不存在；③lim f (x ) 存在，x →x 0x →x 0但lim f (x ) ≠f (x 0) .x →x 05. 零点定理，介值定理，夹逼定理：⑴零点定理：设函数f （x ）在闭区间[a , b ]上连续，且f (a ) ⋅f (b ) 0. 那么在开区间(a , b ) 内至少有函数f (x ) 的一个零点，即至少有一点ξ（a ＜ξ＜b ）使f (ξ) =0.⑵介值定理：设函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续，且在这区间的端点取不同函数值，f (a ) =A , f (b ) =B ，那么对于A , B 之间任意的一个数C ，在开区间(a , b ) 内至少有一点ξ，使得f (ξ) =C （a ＜ξ＜b ）.⑶夹逼定理：设当0 |x -x 0| δ时，有g (x ) ≤f (x ) ≤h (x ) ，且lim g (x ) =lim h (x ) =A ，则x →x 0x →x 0必有lim f (x ) =A .x →x 0注：|x -x 0|：表示以x 0为的极限，则|x -x 0|就无限趋近于零. （ξ为最小整数） 6. 几个常用极限：①lim q n =0, q 1 n →+∞a n=0(a 0) ②limn →+∞n !③limn k ann →+∞=0(a 1, k 为常数）④lim ⑤limln n=0n →+∞n(lnn ) k n εn →+∞=0(ε 0, k 为常数）高中数学第十四章导数考试内容：导数的背影．导数的概念．多项式函数的导数．利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．考试要求：（1）了解导数概念的某些实际背景．（2）理解导数的几何意义．（3）掌握函数，y=c(c为常数) 、y=xn(n∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数．（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值．§14. 导数知识要点1. 导数（导函数的简称）的定义：设x 0是函数y =f (x ) 定义域的一点，如果自变量x 在x 0处有增量∆x ，则函数值y 也引起相应的增量∆y =f (x 0+∆x ) -f (x 0) ；比值∆y f (x 0+∆x ) -f (x 0)称为函数y =f (x ) 在点x 0到x 0+∆x 之间的平均变化率；如果极限=∆x ∆x f (x 0+∆x ) -f (x 0) ∆y存在，则称函数y =f (x ) 在点x 0处可导，并把这个极限叫做=lim∆x →0∆x ∆x →0∆x limy =f (x ) 在x 0处的导数，记作f … (x 0) 或y … |x =x 0，即f … (x 0) =lim注：①∆x 是增量，我们也称为“改变量”，因为∆x 可正，可负，但不为零.②以知函数y =f (x ) 定义域为A ，y =f … (x ) 的定义域为B ，则A 与B 关系为A ⊇B . 2. 函数y =f (x ) 在点x 0处连续与点x 0处可导的关系：⑴函数y =f (x ) 在点x 0处连续是y =f (x ) 在点x 0处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果y =f (x ) 在点x 0处可导，那么y =f (x ) 点x 0处连续. 事实上，令x =x 0+∆x ，则x →x 0相当于∆x →0.于是lim f (x ) =lim f (x 0+∆x ) =lim [f (x +x 0) -f (x 0) +f (x 0)]x →x 0∆x →0∆x →0f (x 0+∆x ) -f (x 0) ∆y. =lim∆x →0∆x ∆x →0∆xf (x 0+∆x ) -f (x 0) f (x 0+∆x ) -f (x 0)⋅∆x +f (x 0)]=lim ⋅lim +lim f (x 0) =f … (x 0) ⋅0+f (x 0) =f (x 0).∆x →0∆x →0∆x →0∆x →0∆x ∆x⑵如果y =f (x ) 点x 0处连续，那么y =f (x ) 在点x 0处可导，是不成立的. =lim [例：f (x ) =|x |在点x 0=0处连续，但在点x 0=0处不可导，因为∆y ∆y ∆y不存在. =1；当∆x ＜0时，=-1，故lim∆x →0∆x ∆x ∆x∆y |∆x |，当∆x ＞0时，=∆x ∆x注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义：函数y =f (x ) 在点x 0处的导数的几何意义就是曲线y =f (x ) 在点(x 0, f (x )) 处的切线的斜率，也就是说，曲线y =f (x ) 在点P (x 0, f (x )) 处的切线的斜率是f … (x 0) ，切线方程为y -y 0=f … (x )(x -x 0).4. 求导数的四则运算法则：(u ±v ) … =u … ±v … ⇒y =f 1(x ) +f 2(x ) +... +f n (x ) ⇒y … =f 1‟ (x ) +f 2‟ (x ) +... +f n … (x )(uv ) … =vu … +v … u ⇒(cv ) … =c … v +cv … =cv … （c 为常数）vu … -v … u ⎛u ⎫(v ≠0) ⎪=v 2⎝v ⎭…注：①u , v 必须是可导函数.②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.22例如：设f (x ) =2sin x +，g (x ) =cos x -，则f (x ), g (x ) 在x =0处均不可导，但它们和x xf (x ) +g (x ) =sin x +cos x 在x =0处均可导.5. 复合函数的求导法则：f x … (ϕ(x )) =f … (u ) ϕ‟ (x ) 或y … x =y … u ⋅u … x 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.6. 函数单调性：⑴函数单调性的判定方法：设函数y =f (x ) 在某个区间内可导，如果f … (x ) ＞0，则y =f (x ) 为增函数；如果f … (x ) ＜0，则y =f (x ) 为减函数. ⑵常数的判定方法；如果函数y =f (x ) 在区间I 内恒有f … (x ) =0，则y =f (x ) 为常数.注：①f (x ) 0是f （x ）递增的充分条件，但不是必要条件，如y =2x 3在(-∞, +∞) 上并不是都有f (x ) 0，有一个点例外即x =0时f （x ）= 0，同样f (x ) 0是f （x ）递减的充分非必要条件.②一般地，如果f （x ）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么 f （x ）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的. 7. 极值的判别方法：（极值是在x 0附近所有的点，都有f (x ) ＜f (x 0) ，则f (x 0) 是函数f (x ) 的极大值，极小值同理）当函数f (x ) 在点x 0处连续时，①如果在x 0附近的左侧f … (x ) ＞0，右侧f … (x ) ＜0，那么f (x 0) 是极大值；②如果在x 0附近的左侧f … (x ) ＜0，右侧f … (x ) ＞0，那么f (x 0) 是极小值.也就是说x 0是极值点的充分条件是x 0点两侧导数异号，而不是f … (x ) =0. 此外，函数不①可导的点也可能是函数的极值点. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.②注①：若点x 0是可导函数f (x ) 的极值点，则f … (x ) =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点x 0是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. 例如：函数y =f (x ) =x 3，x =0使f … (x ) =0，但x =0不是极值点.②例如：函数y =f (x ) =|x |，在点x =0处不可导，但点x =0是函数的极小值点.8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.注：函数的极值点一定有意义. 9. 几种常见的函数导数：…I. C … =0（C 为常数）(sinx ) =cos x (arcsinx ) =…1-x2(x n ) … =nx n -1（n ∈R ）(cosx ) … =-sin x (arccosx ) … =- 1-x2II. (lnx ) … =1‟ 11(loga x ) … =log a e (arctanx ) =2 x x x +11x 2+1(e x ) … =e x (a x ) … =a x ln a (arc cot x ) … =-III. 求导的常见方法：①常用结论：(ln|x |)‟ =1. x②形如y =(x -a 1)(x -a 2)...(x -a n ) 或y =求代数和形式. (x -a 1)(x -a 2)...(x -a n )两边同取自然对数，可转化(x -b 1)(x -b 2)...(x -b n )③无理函数或形如y =x x 这类函数，如y =x x 取自然对数之后可变形为ln y =x ln x ，对两边y (1)求导可得=ln x +x ⋅⇒y … =y ln x +y ⇒y … =x x ln x +x x . y x篇二：高等数学(同济五版)第一章函数与极限知识点第一章函数与极限一、对于函数概念要注意以下几点：(1) 函数概念的本质特征是确定函数的两个要素：定义域和对应法则。