数学模型试卷答案 经典

南昌航空大学2007—2008学年第二学期考试卷答案

（20分）某银行计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益按50%的税率纳税。此外还有以下限制：

（1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；

（2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；

5年。若该经理有1000万元资金，应如何投资？写出投资计划的数学模型。

解：设12345,,,,x x x x x 分别表示购买证卷A,B,C,D,E 的金额（万元），则到期后的净收益为

12345max 0.0430.0270.0250.0220.045z x x x x x =++++

约束条件为；

（1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元，即

234400x x x ++≥

（2）所购证券的平均信用等级不超过1.4，即

12345

12345

225 1.4x x x x x x x x x x ++++≤++++

（3）所购进证券的平均到期年限不超过5年。12345

12345

9154325x x x x x x x x x x ++++≤++++

(4)投资总额为1000万

123451000x x x x x ++++≤ 整理得到（以百万为单位）：

12345234123451234512345max 0.0430.0270.0250.0220.0454

6644360410230..0,1,2,3,4,510

i z x x x x x x x x x x x x x x x x x x s t x i x x x x x =++++++≥⎧⎪+--+≤⎪⎪+---≤⎨⎪≥=⎪++++≤⎪⎩

二、战争模型（共计25分）

下列方程给出了正规战争模型：00

()()(0),(0)x t ay y t bx x x y y

⎧

=-⎪

⎪=-⎨

⎪==⎪⎩

，其中(),()x t y t 分别为甲、乙双方在时刻

t 的兵力，a,b 分别为乙方和甲方的战斗有效系数。假设00/8,2a b x y ==，问：乙取胜时的剩余兵力是多少？乙方取胜的时间如何确定？ 解：由模型：

00

()()(0),(0)x t ay y t bx x x y y

⎧

=-⎪

⎪=-⎨

⎪==⎪⎩

(1) 消去t,得到相轨线方程为：

dy bx dx ay

=， 解得：

222

2

00

,ay bx k k ay bx -==-

(1) 乙方取胜的充要条件是：当x=0时，0y >等价于2

000y b

k x a ⎛⎫>⇔> ⎪⎝⎭

，因为

2

0011

,84

y b a x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故乙方胜，当乙方取胜时()0,x t =

从而02

y y ==。 (2) 为了求得乙方取胜的时间，解方程组(1),重写为：

()0()()0()()()x t a x t x t A b y t y t y t ⎛⎫

-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

，00a A b -⎛⎫= ⎪-⎝

⎭

求解得到A

的特征值为12λλ=

=

1λ=

对应的特征向量为1T

u ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭

1λ=

1T u ⎫=⎪⎪⎭

， 从而方程组（1）的解为：

12()()11x t c c e y t ⎛⎛⎫ =+ ⎪ ⎝⎭ ⎝⎭

⎝⎭

（2）

从而()x t c c =-+

，12()y t c c e =-+，由初始条件

00(0),(0)x x y y ==

得到10020011,22c y c y ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

000011()()()22x t x x e =

-++ (3)

当()0x t =时，解得

e =

将002,8x y a b ==

代入上式得到3e =

=+

t =

四、（共20分）

学生毕业后选择工作，有两个衡量准则：工资水平和个人发展。现有三个待选单位：321,,A A A 。假设相对于总目标选择工作C ，准则“工资水平1c ”和“个人发展2c ”21,c c 的权重为

T w ]5.0,5.0[0=，相对于准则“工资水平1c ”，方案321,,A A A 的判断距阵为

⎪⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛=12/15/1212/1521

A ，相对于准则“个人发展2c ”，方案321,,A A A 的判断距阵为

⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=1535/113/13/131B ，试用和法求方案321,,A A A

答：

⎪⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛=12/15/1212/1521

A 中各列归一化

⎪⎪⎪⎭ ⎝⎛8/17/117/28/27/217/57/417/10 各行求和 ⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛385.0830.0785.1再归一化

⎪⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛128.0277.0595.0=1w 6分 131/31/311/5351B ⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

中各列归一化

0.2310.3330.2170.0770.1110.1300.6920.5560.652⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

求各行平均值 0.2600.1060..633⎛⎫

⎪

⎪ ⎪⎝⎭

=2w 6分

所以三个方案321,,A A A 对总目标的权重为：