离散数学试卷及答案(3)

一、 填空 20% （每空 2分）1、 设 f ，g 是自然数集N 上的函数x x g x x f N x 2)(,1)(,=+=∈∀，则=)(x g f 。

2、 设A={a ，b ，c}，A 上二元关系R={< a, a > , < a, b >,< a, c >, < c, c>} ,则s （R ）= 。

3、 A={1，2，3，4，5，6}，A 上二元关系}|,{是素数y x y x T ÷><=，则用列举法 T= ； T 的关系图为； T 具有 性质。

4、 集合}}2{},2,{{Φ=A 的幂集A2= 。

5、 P ，Q 真值为0 ；R ，S 真值为1。

则))()(())((S R Q P S R P wff ∧∧∨→∨∧的真值为 。

6、 R R Q P wff →∨∧⌝))((的主合取范式为 。

7、 设 P （x ）：x 是素数， E(x)：x 是偶数，O(x)：x 是奇数 N (x,y)：x 可以整数y 。

则谓词))),()(()((x y N y O y x P x wff ∧∃→∀ 的自然语言是。

8、 谓词)),,()),(),(((u y x uQ z y P z x P z y x wff ∃→∧∃∀∀的前束范式为。

二、 选择 20% （每小题 2分）1、 下述命题公式中，是重言式的为（ ）。

A 、)()(q p q p ∨→∧ ；B 、))())(()(p q q p q p →∧→↔↔ ；C 、q q p ∧→⌝)( ；D 、q p p ↔⌝∧)( 。

2、 r q p wff→∧⌝)(的主析取范式中含极小项的个数为（ ）。

A 、2；B 、 3；C 、5；D 、0；E 、 8 。

3、 给定推理①))()((x G x F x →∀ P ②)()(y G y F → US ① ③)(x xF ∃ P ④)(y F ES ③ ⑤)(y G T ②④I ⑥)(x xG ∀UG ⑤)())()((x xG x G x F x ∀⇒→∀∴推理过程中错在（ ）。

A 、①->②;B 、②->③;C 、③->④;D 、④->⑤;E 、⑤->⑥4、 设S 1={1，2，…，8，9}，S 2={2，4，6，8}，S 3={1，3，5，7，9}，S 4={3，4，5}，S 5={3，5}，在条件31S X S X ⊄⊆且下X 与（ ）集合相等。

A 、 X=S 2或S 5 ； B 、X=S 4或S 5；C 、X=S 1，S 2或S 4；D 、X 与S 1，…，S 5中任何集合都不等。

5、 设R 和S 是P 上的关系，P 是所有人的集合，},|,{的父亲是y x P y x y x R ∧∈><=，},|,{的母亲是y x P y x y x S ∧∈><= 则R S 1-表示关系 （ ）。

A 、},|,{的丈夫是y x P y x y x ∧∈><； B 、},|,{的孙子或孙女是y x P y x y x ∧∈><；C 、 Φ；D 、},|,{的祖父或祖母是y x P y x y x ∧∈><。

6、 下面函数（ ）是单射而非满射。

A 、12)(,:2-+-=→x x x f R R f ；B 、x x f R Z f ln )(,:=→+；C 、的最大整数表示不大于x x x x f Z R f ][],[)(,:=→；D 、12)(,:+=→x x f R R f 。

其中R 为实数集，Z 为整数集，R +，Z +分别表示正实数与正整数集。

7、 设S={1，2，3}，R 为S 上的关系，其关系图为则R 具有（ ）的性质。

A 、 自反、对称、传递；B 、什么性质也没有；C 、反自反、反对称、传递；D 、自反、对称、反对称、传递。

8、 设}}2,1{},1{,{Φ=S ，则有（ ）S ⊆。

A 、{{1,2}} ；B 、{1,2 } ；C 、{1} ；D 、{2} 。

9、 设A={1 ,2 ,3 }，则A 上有（ ）个二元关系。

A 、23 ；B 、32 ；C 、322； D 、232。

10、全体小项合取式为（ ）。

A 、可满足式；B 、矛盾式；C 、永真式；D 、A ，B ，C 都有可能。

三、 用CP 规则证明 16% （每小题 8分）1、F A FE D D C B A →⇒→∨∧→∨,2、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ∃∨∀⇒∨∀四、（14%）集合X={<1,2>, <3,4>, <5,6>,… }，R={<<x 1,y 1>,<x 2,y 2>>|x 1+y 2 = x 2+y 1} 。

1、 证明R 是X 上的等价关系。

（10分） 2、 求出X 关于R 的商集。

（4分）五、（10%）设集合A={ a ,b , c , d }上关系R={< a, b > , < b , a > , < b , c > , < c , d >}要求 1、写出R 的关系矩阵和关系图。

（4分） 2、用矩阵运算求出R 的传递闭包。

（6分）六、（20%）1、（10分）设f 和g 是函数，证明g f ⋂也是函数。

2、（10分）设函数S T f T S g →→::，证明 S T f →:有一左逆函数当且仅当f 是入射函数。

一、 填空 20%（每空2分）1、2(x+1)；2、}a , c ,a , b ,c , c ,c , a ,b , a ,a , a {><><><><><>< ；3、>}<><><><><><3,6,2,6,2,4,5,1,3,1,2,1{；4、反对称性、反自反性；4、}}}2{},2,{{}},2{{}},2,{{,{ΦΦΦ；5、1；6、)()()(R Q P R Q P R Q P ∨∨∧∨∨⌝∧∨⌝∨；7、任意x ，如果x 是素数则存在一个y ，y 是奇数且y 整除x ；8、)),,(),(),((u y x Q z y P z x P u z y x ∨⌝∨⌝∃∀∀∀。

二、 选择 20%（每小题 2分）三、 证明 16%(每小题8分) 1、 ①A P （附加前提） ②B A ∨T ①I ③D C B A ∧→∨P④D C ∧ T ②③I ⑤D T ④I ⑥E D ∨ T ⑤I ⑦F E D →∨ P ⑧F T ⑥⑦I ⑨F A → CP2、)()(())()(()()()()()(x xQ x xP x Q x P x x xQ x P x x xQ x xP ∃→∀⌝⇒∨∀∃→∀⌝⇔∃∨∀本题可证① ))((x xP ∀⌝ P （附加前提） ②))((x P x ⌝∃ T ①E ③)(a P ⌝ES ② ④))()((x Q x P x ∨∀ P ⑤)()(a Q a P ∨ US ④ ⑥)(a Q T ③⑤I ⑦)(x xQ ∃EG ⑥ ⑧)()((x xQ x xP ∃→∀⌝ CP四、 14% 1、 证明：（1） 自反性：y x y x X y x +=+>∈<∀由于,,自反R Ry x y x >>∈<><<∴,,,（2） 对称性：X y x X y x >∈<∀>∈<∀2211,,,时当R y x y x >>∈<><<2211,,, 21121221y x y x y x y x +=++=+也即即有对称性故R R y x y x >>∈<><<1122,,,（3） 传递性：X y x X y x X y x >∈<∀>∈<∀>∈<∀332211,,,,时且当R y x y x R y x y x >>∈<><<>>∈<><<33222211,,,,,,⎩⎨⎧+=++=+)2()1(23321221y x y x y x y x 即23123221)2()1(y x y x y x y x +++=++++即1331y x y x +=+有传递性故R R y x y x >>∈<><<3311,,,由（1）（2）（3）知：R 是X 上的先等价关系。

2、X/R=}]2,1{[R >< 五、 10%1、⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000100001010010R M ； 关系图 2、⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==00000000101001012R R R M M M ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==000000000101101023R R R M M M 2340000000010100101R R R R M M M M =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛== ,,4635R R R R M M M M == ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++=0000100011111111432)(R R R R R t M M M M M ∴ t (R)={<a , a> , <a , b> , < a , c> , <a , d > , <b , a > , < b ,b > , < b , c . > , < b , d > , < c , d > }。

六、 20%1、（1）)}()(|,{)}()(|,{x g x f y domg domf x y x x g y x f y domg x domf x y x g f ==∧⋂∈><==∧=∧∈∧∈><=⋂)}()(,|{x g x f domg domf x x domh g domf gf h =⋂∈==⋂∴⋂=令（2）)}()()(|,{x g x f x h y domg domf x y x h ===∧⋂∈><=使得若有对21,y y domh x ∈ )()()(,)()()(21x g x f x h y x g x f x h y ======21,)(y y g f =有是函数或由于)(x h y y domh x =∈∀使得有唯一即 也是函数g f ⋂∴。