微积分教学：从冰冷的美丽到火热的思考(

微积分教学：从冰冷的美丽到火热的思考(4490字)

作者: 张奠宙(华东师范大学数学系上海200062)本文已被浏览788次(本文是作者在2005年11月7日“首届全国大学数学课程报告论坛”大会报告)

数学成果通常具有三种不同的形态.第一，数学家构建数学思想、发现数学定理时的原始形态.其次是公开发表，写在论文里、教科书里的学术形态.最后，则是数学教师在课堂上向学生讲课的教育形态.

国际数学教育委员会前主席、数学家 H·弗赖登塔尔H.Freudenthal(1908-1990)有一句名言：“没有一种数学思想，以它被发现时的那个样子发表出来.一个问题被解决以后，相应地发展成一种形式化的技巧，结果使得火热的思考变成了冰冷的美丽.”(Freudenthal,Hans.1983.Didactical Phenomenology of Mathematical Structures.Dordrecht:Reidel.P.9)

事实上，教科书里陈述的数学，往往是“冰冷的美丽”.因此，数学教师的责任在于把数学的学术形态转化为教育形态，使学生既能高效率地进行火热的思考，又能比较容易接受，理解隐藏在“冰冷美丽”背后的数学本质.

一微积分在中国的一个世纪

1859年，李善兰和伟列亚力翻译《代微积拾级》，微积分学传入中国.这时离开微积分的创立已经近200年.但是，这毕竟是中国文化现代化的重要标志，甚至具有一定的国际意义.在19世纪70年代，日本的数学家能够读到的微积分著作，依然只有李善兰的这一译本.日本使用的微积分名词，“微分”、“积分”，都从《代微积拾级》而来.

李善兰是一个值得纪念的数学家.他是中国传统数学的最后一人，又是现代中国数学发端的代表人物.在中国出版的微积分著作中，应该提到他的名字.

2005年是废除科举的100周年.当时的京师大学堂曾经开设微积分课程.用的就是《代微积拾级》，那是竖排本，不能使用拉丁字母和微积分通用符号，现在读来宛如天书.

“彳者，天之微分也.禾者，积分也. 禾彳天，言天微之积分也.”

用今天的符号表示是 ∫ d x.

这样的“中学为体、西学为用”，拒绝与国际接轨的做法，读者当然非常累.

100年前，全国懂得微积分的不过百人.

在1919年的五四运动推动下，1920年代高等教育大发展.各地大学纷纷兴办数学系，微积分学成为理工科大学生的必修果.但是，那时的大学生数量很少，通常也只学初等微积分，高等微积分则依然十分神秘.英美留学归来一些数学教授，甚至还有人不能掌握ε-δ语言.

真正的较大范围普及微积分，是新中国建立以后的事情.笔者于1951年进入大连工学院的应用数学系，一年级采用斯米尔诺夫编著的《数学教程》第一卷(当时还是讲义，尚未出版)，开宗明义便学习极限的ε δ定义.这在解放前是不会有的.任课老师徐润炎先生，在黑板上写ε的读法是“一不是龙”，印象深刻.在“全面学习苏联”政策的影响下，苏联数学学派严

谨、抽象、形式化的数学风格，使得中国数学教学逐渐成熟.中国的微积分教学的特征，至今依然是形式化的处理占主导地位.

进入21世纪，中国高等教育大发展，微积分教学进入新时代.今天的中学，也普遍教授微积分(上海除外).微积分“飞入寻常百姓家”，不再神秘，而改进微积分教学，也就成了当务之急.

那么，我们应该怎样进行微积分教学?这使我们想起“阳春白雪”和“下里巴人”的故事.宋玉的《对楚王问》说：客有歌於郢中者，其始曰［下里巴人］，国人属而和者数千人;其为［阳阿薤露］，国人属而和者数百人；其为［阳春白雪］，国中属而和者不过数十人；引商刻羽，杂以流征，国中属而和者不过数人而己.

是其曲弥高，其和弥寡.

如果说，李善兰时代的微积分是“引商刻羽”，五四以后还是阳春白雪，1950年代的微积分相当于“阳阿

薤露”，那么今天的微积分已经是下里巴人了.

让更多的人知道和掌握微积分的思想方法，成为当代数学教育的重要任务.

二透过形式主义的美丽，领略微积分的无穷魅力

多少年来，我们都是宣扬微积分的形式美丽.ε-δ语言的伟大，极限—连续—导数—积分的不变演绎顺序，推理—证明成为微积分教学的主旋律.形式主义的美丽，几乎掩盖了微积分本身的无穷魅力.尽管严密的形式主义表示十分重要，“阳春白雪”是永远不可缺少的.然而大多数人确实难以欣赏形式主义的美丽.今天，作为“下里巴人”的微积分，应该通过火热的思考充分展现微积分的魅力.

在微积分教学中，我们总是按照定义—定理—推论—习题的逻辑顺序展开，学生只是被动地接受一个一个概念，却不知道为什么要这样做.优秀学生要到后来才恍然大悟，一般的学生只能囫囵吞枣，不知所云.最近看到一篇高等职业技术学院的微积分教学大纲，除了按极限、连续、导数、微分的逻辑顺序展开之外，特别是要讲左右极限.是否有必要涉及这样的枝

节问题?数学本原问题是处理数学教学的灵魂，让职业学校的学生会用微积分观点看问题才是最主要的.没有思想的数学等于废了武功(郑绍远).剑招可以生疏，剑法不能忘记(李大潜).萧树铁先生在一份《高等数学》教学改革报告中要求：“讲推理，更要讲道理.”

确实，微积分教学应该多讲道理，避免把充满人类智慧的微积分思想淹没在形式主义的海洋里.关肇直先生说过：“ε-δ推理曾被认为已经使微积分建立在严格的基础之上，其缺点在于丢失了牛顿、莱布尼兹那种微积分的生动的直观”［1］.西南师大的陈重穆先生曾经呼吁“淡化形式，注重实质”［2］.项武义先生则一再主张“返朴归真，平易近人”.姜伯驹先

生说：“在某种意义上说，会用微积分比会证明更重要.”我想他们的意思都是一样的.微积分教学不能只让学生背诵一些求极限，求导数、求不定积分那样的符号运算，面对“冰冷”的微积分形式，使他们无法体会微积分思想的实质.尽可能恢复原始的火热思考，并以现代数学水平加以处理.

例如，17世纪的一些伟大的数学家，曾经使用无穷小方法得到了许多重要的科学结论.由于逻辑上存在缺陷，经过分析严密化运动，在形式主义数学哲学的影响下，无穷小成为一种“错误”，离开了微积分课本.其实，这个无穷小量，就是“微分dx”.在积分学中，它是构造微元f(x)dx的基本的思考途径.然而，今天的微积分教学，已经把生动的“原始形态”当作陈旧的垃圾丢弃了.未免可惜.

记得袁枚(清)在《随园诗话》里说过“学如箭镞，才如弓弩，识以领之，方能中鹄”.与知识、能力相比，数学思想，才是最重要的.我们不能把微积分淹没在形式主义的海洋里.

我国数学教学受形式主义数学观的影响比较大，是历史条件所决定的.前已提及，1950年代苏联数学学派对中国数学影响非常深刻.数学分析课程的严谨程度远超过英美的教材.微积分课程也没有初等微积分和高等微积分的层次，ε δ语言也是在1950年代得到普及.流行的数学学科的特性是抽象性、严谨性，以及因为抽象而获得的广泛应用性.崇尚严密，当然是进步.但是，事情还有另一面：数学思想往往是朴素的，创新在开始时多半是不严密的.储存在人们头脑里的理解，通常又是生动而粗略的.

长期以来，中国传统文化主张“治学严谨”，清代的考据学派和逻辑推理一脉相承.此外，数学哲理界不断地提到“三次数学危机”，关注数学基础的严密性.《自然辩证法》教材，反复强调19世纪以来的非欧几何、群论、四元数、分析严密化等理性思维的成就，对于影响人类进程的傅立叶方程、流体力学方程、马克斯韦尔电磁学方程的成果则较少提及.数学，似乎只能是公理化的、形式主义、演绎式的那付模样.

总之，数学是一种文明，数学不只是事实的推砌；数学不限于技巧的运用；数学解题不等于创造；数学整体不等于数学杂技.数学考试只是把人已经做过的题目重做一遍而已.数学思想、观念的突破性创新，是对数学文明的主要推动力.

2000年在国际数学教育大会上，日本数学会主席藤田宏教授认为，世界上出现过四个数学高峰，成为人类文明的火车头：

●古希腊文明：欧氏《几何原本》为代表；

●文艺复兴和17世纪的科学黄金时代；牛顿的微积分为代表；

●19世纪与20世纪上半叶科学文明：非欧几何、希尔伯特、黎曼几何与相对论为代表；