微积分教学：从冰冷的美丽到火热的思考(
转变教学理念,推行研究型教学方式
—
一
１ ２— ５
随着高校规模 的进一步扩大和招收学生数 大要素 ， 提高课堂效率也就是在这四个要素上做 于解决实际问题的机会。 且创造宽杉 并 ， 最大 量的大幅度增加 ， 学生的学习素质和水平差异较 文章。 —直以 ， 来 我们的 教学手段停留在“ 粉笔＋ 黑 限度地满足学生个体差异发展的需要，注重通过 的基础上。随着科学技术的发展 ， 教学手段发 以探索和研究为基础的教学过程培养学生的研究 大。而高等数学是 门 首先要面对的一门理论性 板” 强目 ． 具有严密的逻辑思维性、繁琐计算及严谨理 生了根本陛的变革，学校普遍使用多媒体进行教 与创新 能 力。 论的基础学科 ， 在教学过程中多数教师的教学仅 学， 从而大大的提高了课堂的教学效率。但是 ， 在 ２ 精心设计习题、 ． ４ 作业、 专题研究报告等， 规 引导学生消化和扩展所学知识 ， 促使 仅是概念、 定理、 明、 证 计算这固有的模式 ， 很难生 定的条件下 ， 教材和教学手段基本上已经定型 ， 范作业管理， 自己去获取知识、 发展能 动形象地去组织教学。 学生感到学习内容枯燥， 一 最终 ， 我们提高课堂效率， 还是应该从教师和学生 学生充分利用课外时间， 尽 方法让学生 大堆的公式和繁琐的计算造成了 学生有较大的惧 身上出发 ， 考虑教师怎么“ 和学生怎么“ ， 教” 学”以 力． 量的做到规律让学生 自主发现 ， 怕心理 ， 不能主动积极地去学习 ， 时间一久， 多数 及他们之间应该遵循的最佳教学方式。因为教师 自主寻找， 思路让学生 自主探究， 问题让学生 自主 教师认为学生学得不好是由于学科的特点和学生 是教学的主体 ，所以教学改革成败的关键在于教 解决。 本身的素质造成； 觉得改善这种局面非常之艰难 ， 师 ， 这已成为当前教学改革的共识。 ２ 开课之初 即 ５ 让学生明确学习高等数学要 达到的目 标和要求 ， 使学生从被动的 学习者变为 这样教师没兴趣教 ， 就会造成恶性循环的局面 ， 教 ２转变教学理念， 推行研究型教学方式。 提高学生的应变 、 创新能力。 学效果可想而知。 实际上教师的 教起着引导作用， 研究型教学方式是从传统的单 向知识传授 主动的求知者， 激发学 归根到底 ， 我们要改变课堂教学 机械 、 沉闷 因而显得至关重要， 是改善这种恶性循环局面的 的教学型教学向知识传授与探索相结合 、 让课堂充满生机。 将传统的‘ ｛ ” 髓通［ 向 第—步。因此， 如何为学生提供一条理解数学 、 享 生求知欲和创造性的研究型教学的转变。应该注 的现状， 师生共同研究 的教学方式转变 ， 使课堂教学真正 受数学、 学会数学的途径是我们需要长期探索的 意 以下几点。 ２ 授课要符合学生的实际情况 ， １ 能根据具体 进 ＾ 、 理想的境界， 从而提高课堂效率。 个重要课题。 １ 改变教学方式的原因 情况及时更新授课内容， 激发ｑ：３Ｉ ￣ ｉ求真理 、 崇尚 参考 文献 我国本科教育基本上都是实行课堂授课制 ， 科学 、 勇于探索的热情， 教材” ｌ 材” 变“ 为‘ 学 。 ｆ 李青， １ １ 刘建平， 徐崇志． 校数学教法的几点探索 高 并且在今后很长的—段时间。 ２ ２讲授 时重点突出、 难点清晰 ， 大学中高等 高 等理科教育， ０ （ ： － ９ ２ ３ ） ６ ５． ０ ２５ ２ 】 郑巧仙， 尚禹战 谈高等数学的教学方法 我们都是要通过课堂对学生传授知识 。因 数学 的讲授不同于中学 ， 课时少 ， 内容多 ， 不容我 【李明， 此，改革高等教育的—个重要 目的便是提高课堂 们面面俱到。 我们要精心设计每—堂课， 在课程内 大学数学２ ０ ，ｏ２ ：５３ ． ０ ４２ （ ）３－ ８ 的效率。 直至整个教育步 入 信息化时代的今天 ， 如 容的组织上多下工夫 ， 重在讲思路、 、 概念 动向， 突 【张奠宙． ３ 】 微积分教 学枞 冰冷的美丽到火热的思 何提高课堂教学效率， 全面推进教育现代化进程 ， 出内容 “ 精 ” 则。 少而 的原 考 高等数 学研 究． ０ ，（ ）２ ２ ６９２ ：— ０ 紧迫课题。我们课堂上 ２ ３充分调动学生学习的自主性 ， 为学生提供 【王庚擞 学文化与数 学 ４ Ｊ 教育【 北京： ． 北京科学 出 Ｏ ｌ ． １ １ 进行的教学过程有教师、 、 教材 学生及教学手段四 自由提问、 、 质疑 探究问题和将 自己所学知识应用 版 社 ２Ｏ ４： １－１ ７
“无穷小”从“冰冷美丽”到“火热的思考”
历 史 发展过 程 ， 让学 生 明 白数 学概 念 的产 生不是 凭
空想 象 的 ， 让学 生看 到 的不 只是教 科 书那 干 巴巴的 字眼， 而是 活 生生 的历 史． 以史 为镜 ， 让 学 生 明 白一
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ３－ ０ ９—１ ７ 基金项 目： 福建省教育科学“ 十二五” 规划２ ０ １ ３年 度 课 题 （ 项 目编 号 Ｆ Ｊ Ｊ Ｋ Ｃ Ｇ ３—１ ５ ８ ）
作者 简介 ： 郑雪静 （ １ ９ ７ ８一 ） ， 女， 福建泉州人 ， 硕士 ， 泉州师范学院讲师 ， 主要从事数学教育研究
张奠 宙教 授 指 出 ， 一般 把数 学成果 分 为三 种不
同的形态 ： 第 一种 是 数 学 家 建 构数 学 思想 、 发现 数 学 定理 时 的原始 形 态 ； 第二种是公开发表的， 写 在 论 文里 、 教科 书 上 的学 术 形 态 ； 第 三 种 是 数 学 教 师
在 课 堂教学 中的教 育 形 态 ． 对 于数 学 教 师 ， 其 主 要
美丽． ” …
数 学教 学 的 目标 之一 ， 就是 要把 数学 知识 的学 术形
态转化 为教 育形 态 ． 本 文拟 就 高等 数 学 的重 要 概 念—— “ 无穷小 ” 为例 ， 探究 如何 将教 科 书 中那 “ 冰冷 美 丽 ” 背后“ 火 热 的思考 ” 揭示 出来 ， 让 学 生感 受 到 高等 数 学 的学 习不 是那 些冷 冰冰 的定 义 、 公式 、 定理 和计算 ， 而是 蕴含 着火 热 的思 考 ， 让 学 生 在 思考 中理 解 数 学 、 形 成 数学 素养 ， 以提 高 学生学 习 高等数 学 的兴趣 ．
用“火热的思考”感受“冰冷的美丽”
用“火热的思考”感受“冰冷的美丽”王丽燕【期刊名称】《湖南教育（下旬刊）》【年(卷),期】2014(000)004【总页数】2页(P27-28)【作者】王丽燕【作者单位】涟源市教研师资培训中心【正文语种】中文黄金分割是一个古老的数学方法。
虽然说在数学上至今无法明确解释它的作用，但人们早已发现了它的神奇魔力。
黄金分割蕴藏着丰富的美学价值，在绘画、雕塑、音乐、建筑等方面应用非常广泛，医学、管理、军事、金融等领域也随处可见，就连动植物界也留下了黄金分割的足迹。
人教版六年级教材“比的应用”课后练习中有一个栏目叫做“你知道吗？”，寥寥数字介绍了与比有关的课外知识——黄金比。
于是，我们决定对这一材料进行深度挖掘。
第一次试教采取“撒大网”的方式，即从各个领域中分别选取一到两个符合黄金比的例子，并提供相应的数据，让学生通过计算，发现这么多美的事物居然都与0.618有关；接着介绍黄金比，然后用画面配音的方式欣赏更多的符合黄金比的事物，进一步拓宽学生视野；最后安排一个应用黄金比解决生活实际问题的情境。
可是理想很美好，现实却很骨感。
试教下来，大家都觉得这不是数学课，而是一堂美术欣赏课，辛辛苦苦在自己的责任田里帮别人种菜。
黄金比作为一节数学文化课，它首先应该是一节数学课，否则就难免舍本逐末，成为美术欣赏课了。
而要从美术欣赏课返回到数学课，必须精选素材。
黄金分割应用如此之广，如何才能在这些性质上极不相同的各种事物中找到最具代表性的突破口？我们就此展开了讨论。
人体和建筑是孩子们生活当中最为熟悉的，几何图形是数学课堂接触得最多的。
于是，新课伊始，我们从人体、建筑、几何图形这三个领域中各选一个最具典型性的例子，再分别准备一个不具备黄金比的同类事物进行对比，让学生形成强烈的视觉冲击，体验黄金比给人带来的愉悦感受。
对人体的研究大家几乎同时想到了维纳斯，维纳斯是迄今为止希腊女性雕像中最美的一尊，雕像的各部分比例几乎都蕴含着黄金分割的美学秘密，这个素材绝对经典。
追根溯源揭本质剥丝抽茧探优解
练微积分基本定理求定积分值等． 对不足近似和过剩近似一 带而过 ， 使 学生丧失一次对极限思想的感悟和理解 ． 解题时 ，
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思考交流 ， 组织学生合作讨 论 ， 在探 究中不断地 质疑和释疑． 案例 中教 师让 学生通 过解 题感 知经 验 ， 多 是信 息 的低 效重
复． 可引导学生探究例 １ 的背 景 及 解 法 ， “ 错位相减法” 和“ 裂
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பைடு நூலகம்
积分 的要求 为 “ 了解定积分 的实 际背景 、 基本思想 、 概念； 了 ② 解 微积分基本定 理的含义． ” 一些教 师认 为高考要求较 低 ， 教
对基 础知识 、 思 想方法 、 策略技巧 “ 透 彻的理解 ” 和“ 到位 的
一
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， 才能将数学进行精彩的转译 ， 把数学 的学术形 态转化 所 以 ＝ ｉ 一 ） ＜ ． 感觉” 为教 育形态 ， 使学生 既能高效地 进行火热 的思考 ， 又能轻松 地接受与理解隐藏在 “ 冰冷美丽” 背后的数学本质． 些 学 生 面 对 数 列 ｛ ｝ 的 求 和 问 题 ， 无 法 实 现 “ 错
让数学“冰冷的美丽”唤发“火热的思考”
让数学“冰冷的美丽”唤发“火热的思考”浙江省象山中学张宗余315700著名数学教育家弗赖登塔尔曾经这样描述数学的表达形式：“没有一种数学的思想，以它被发现时的那个样子公开发表出来，一个问题被解决后，相应地发展为一种形式化拔巧，结果把求解过程丢在一边，使得火热的发明变成冰冷的美丽。
”数学知识学术形态的表现形式枯燥、乏味，给人一种冰冷的感觉，即使学生能看懂表面上的意思，也不知道这些数学干什么，意义何在，价值在哪里？但是数学的思考却是火热的、生动、活泼的。
在传统的数学教学中，往往是这种美丽而冰冷的教学，将火热的思考淹没在形式化的海洋里。
张奠宙教授曾经提出：数学教学的目标之一是要把数学知识的学术形态转化为教育形态，通过数学知识的教育形式散发出数学的巨大魅力，体现数学的价值，提示数学的本质，感染学生，激励学生，让数学“冰冷的美丽”唤发“火热的思考”。
一、返璞归真，展示数学家发明创新时的“火热思考”。
数学教科书里的数学知识大多是形式地摆在那儿的，准确的定义、逻辑的演绎，一个字一个字地印在纸上，这种形式地、演绎地呈现出来的数学，看上去确实是冷冰冰的，教师如果对教材内容的安排不作处理而直截了当地呈现在学生面前，就会淹盖数学知识获得的思维过程，学生就很难进行“火热的思考”和主动建构，剩下的只能是囫囵吞枣似的记忆，欣赏“冰冷的美丽”也更无从谈起，所以在对一些基本的、重要的内容的教学过程，要对教材进行充实、重组和处理，展示当初数学家发明创新的“火热的思考”过程，从而使学生领会数学的本质。
案例1：球体积公式π34=V R 3简洁精练，在其“冰冷的美丽”背后，却浓缩着前辈数学家探索的历程，笔者这样设计教学：准备同底、等高的三个立体模型。
如图：1．提出问题：半球的体积V 的大小？2．观察类比：直觉判断等底、等高的圆锥、半圆、圆柱之间的体积大小关系。
类比：V=ksh =k лR 2h(k 为常数)，且满足31лR 2h<k лR 2h<лR 3 。
从数学概念教学看教师的PCK
注重学生认知水平、精心设计概念教学
在现代认知心理学、建构主义等理论导引下， Thompson（1985）等人指出，数学内容可以区分为 过程和对象两个侧面。Sfard（1991）等人进一步提 出，许多数学概念表现为过程操作与对象结构的统 一上。 实际上这种观点体现了数学概念的数学本质认识 与现代心理学的认识的统一上。
圆锥曲线的 统一定义
理解教材编写意图、挖掘数学概念本质
3.正确掌握概念的内涵与外延，准确运用数学 符号等概念表征形式
从数学概念的逻辑构成角度看， 概念的内涵就是概念的本质属性。
概念的外延就是概念所反映的事物的范围（或集合）。
理解教材编写意图、挖掘数学概念本质
数学概 念学习 过程的 研究框 架
理解教材编写意图、挖掘数学概念本质
要点
• 注重学生认知水平、精心设计概念教学 • 理解教材编写意图、挖掘数学概念本质 • 改变不良教学行为、实践中反思概念教学
注重学生认知水平、精心设计概念教学
注重学生认知水平、精心设计概念教学
• 引例：幼儿概念形成
问题：送食物，根据动物的大小给它们送上合适的 食物，用线连一连。
注重学生认知水平、精心设计概念教学
理解教材编写意图、挖掘数学概念本质
案例2：必修2 第三章3.1直线的倾斜角与斜率 从对教材的思考上看教师的PCK 专家教师的课堂设计： 陈相友老师2010年9月在杭州的一节公开课
理解教材编写意图、挖掘数学概念本质
《直线的倾斜角与斜率》教学设计中的三个片段： （1）怎样引入？设计意图是什么？ （2）怎样形成直线的倾斜角的概念？ （3）为什么用直线倾斜角的正切值定义斜率？
冰冷的美丽与火热的思考
“冰冷的美丽”与“火热的思考”细细读来这本书，一边读一边思考，伴随着一个个【课前慎思】进入华老师的课堂，感受着华老师的数学文化的深厚底蕴，以及在课堂上能够与学生平等对话，将有困于学生的知识，在对话中，在创设情境的探索中，让学生通过自学、互学、质疑学，让学生经历“谁无暴风劲雨时”的过程，体会到“守得云开见月明”的成功喜悦。
带着目的读这本书，一边感受华老师的个人魅力，欣赏经典的案例，一边思考以怎样的角度来写读后感，在接近尾声时，突然想起王国维先生《人间词话》的三种境界，古今之成大事业、大学问者，必经过三种境界，我在想华老师所追求的课堂不就是经过这三种境界，才能算得上好课，才能称得上好老师，不想与华老师不谋而合。
教师要想设计出一节有思维含量，或者一节有创新的课，必须经过这长期的坚持和努力，就如修仙一样，经历重重阻难，不断地反思才能进步。
必定要经历三种境界：昨夜西风凋碧树。
独上高楼，望尽天涯路。
这是第一阶段，首先就是立志，下决心。
我想不管做什么事情首先就是要自己有执着的追求，登高望远，希望自己能够上一堂好课，有着明确的目标和方向，才会努力的执着的为之奋斗。
带着这份激情和斗志，去研究一节课，查看教材内容，了解课程标准的教学目标，准确把握本节课的教学重难点，做到心中有数，感觉此时什么都非常的明了，没有什么不清楚的，就好像登上了高山，把山下的风景尽收眼底，高楼大厦、川河车流都看的清清楚楚，明确了自己的教学流程以及学生会出现的问题。
但是，这个时候的课堂是中规中矩，没有新颖之处，如果达到这个境界，我们就满足现状，去上课，那么课堂将会出现“满堂灌”的情景，学生在这样的课堂只有耳朵，没有头脑，学习效果是极差的。
这也是咱们一线教师普遍存在的现象，多数会遇到的问题，困惑于：“知识点我讲了很多遍了，学生怎么回事啊，怎么跟我没讲一样！”我们问问自己，是不是在日常教学中有这样的疑惑，或者说同事间交流的时候也吐露了心声。
可是，问题真的就出现在学生身上吗？我想首先咱们教师先要自我反思，我们只是“讲”学生听没听倒很难说。
把“冰冷的美丽”转化为“火热的思考”
把“冰冷的美丽”转化为“火热的思考”作者：林桂萍来源：《基础教育论坛·上旬》2019年第01期摘要：教师应该善于把握自己的角色定位，有计划、有步骤地做好小学数学课堂教学过程的优化与实践，充分挖掘其中蕴含的丰富学习资源，打开学生的思维之门，把数学“冰冷的美丽”转化为“火热的思考”，让学生用最自由的方式享受数学学习。
关键词：数学思考;教学过程;优化策略为更加扎实、有效地落实课程培养目标，教师要善于把握自己的角色定位，不遗余力地引发、拓展和推进学生的数学思考，让学生用最自由的方式享受数学学习。
下面，笔者就课堂教学实践中的得失，谈谈如何让数学课堂教学中的“冰冷的美丽”转化为“火热的思考”。
一、优化课前导入设计，引发学生数学思考教师独具匠心的课前设计有利于学生思维的发展，帮助学生理清思路，建构自己的知识体系，激发学生的数学思考，形成数学智慧。
例如，下面的课前活动导入就设计的精彩纷呈。
（1）“图形的运动”中的“旋转文字”。
笔者的名字以旋转的方式形成图案，让学生猜测、感受图形旋转的神奇之美。
这样安排，一方面，符合本节课的教学主题“图形的旋转”;另一方面，因为文字的整体性，让学生在想象名字旋转后形成图案的过程中，整体感知、体会旋转运动，感受旋转后的图案美，从而激发学生的数学思考，同时又对新课旋转的两个知识点——中心、角度有了一定的认识。
（2）“长方形、正方形的周长和面积的练习”中的“我想去看看”。
笔者用当下流行的一句话“世界那么大，我想去看看。
”现场改编“黄山那么大，我想去看看。
”课件依次播放黄山奇、秀、险等风光图片，点燃了学生的热情。
然后，笔者随手拿出一张A4纸提出：A4纸那么小，我想再看看？为学生感受到本节课要思考解决的一定是与长方形的相关问题埋下伏笔，让学生切实感受到数学文化的博大精深，又不留痕迹地将学生置于数学思考中。
二、优化课堂教学组织，引发学生数学思考1.从鲜活的素材中感受数学思考数学教学要为学生的终生可持续发展打好基础，必须开放小课堂，把社会种种的鲜活题材引入到学习数学的大课堂中。
“冰冷的美丽”到“火热的思考”
完成后 ，进 行小组交 流 ：把你提出的问题在小组 内解决一下 ，小组
整数部分不够商 １怎么办？
长做好记录 。这个小组学习提示 ，每位学生都有事可做 ，有提 问 、
商 的小 数 点 （
）。
有解
疑 、有 整 理
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对 知 识 的 梳 理 过
可 以看 到 ，在 这 个 小 组 学 习提 示 中 ，有 学 习步 骤 的安 排 ，有 具 体学习 内容的要求 ，有方法 的总结 ，这样小组学 习时 目标 明确 ，可
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自主学 习一 小 组 交 流一 展 示 反 馈一 拓 展 延 伸 ，正 是 凸 显 了学 生 的 自主学 习、自主探究 ，这是以生为本课 堂的核心。在 四环节教学模 式 中 ，是用 问题 引领 学 生 来 学 习 。所 以 自主 学 习 和小 组 学 习 中 问 题 的设 计很关键 ，不能把 问题设 计成在课 本上找答案 ，也 不能把
程 ，也只有认真地观察年历 ，才能提出问题 。而且这个要求是相对 开放 的 ，对不 同层次 的学生要求是 不同的。３－４分钟 的 自主学 习
１．一位同学讲 算例 ，其他 同学补充评 价。
２．／ｊ、组 长 组 织 讨论 一下 三个 问题 ： 比较 一 下 这 个 式 子 和 昨 天 学 习 的有 什 么 不 同 。
学 生板 演 后 出示 小 组 学 习提 示 ： １．每种方法是怎样 比较大小 的？依据是什么？ ２．在第二种 方法里 ，把 两个 分数转化 为分母相 同的分数 ，分
数学教学中建模能力的培养——化“冰冷的美丽”为“火热的思考”
开动脑筋 ， 趣的形成 是一个 复杂的心理过 程 ， 兴 但总体 上是在充 满情趣 、 富有 魅力 的教学活动 中逐渐培养
起来 的．
很多数学系 的学生对所学 的专业有 一定 的抵触 情绪 ， 到数学 枯燥无 味 ， 感 没有 学 习的动力 ， 很多 学生 给数学起 了个名称 ：冰冷 的美丽 ”作 为数学 教师 ， “ ． 面对这类 学生 ， 先应该 端正 学生对数 学 的态度． 学 首 让 生体会 到数学是一 门基础 的学科 ， 在学数 学的过程 中 ， 最重要 的不是要 记住各种 各样 的定 理 ， 而是要 培养
数学的特点不仅在于概念 的抽象性 、 辑 的严 密性 、 论 的明确性 和体 系的完 整性 ， 逻 结 而且 在于它 应用
的广泛性 ， 进入 ２ ０世纪 以来 ， 随着科学技术 的迅速 发展和计算机 的 日益普及 ， 们对各种 问题 的要求 越来 人 越精确 ， 使得数学的应用越来越广泛 和深入 ， 特别是在 即将进入 ２ 世纪 的知识经 济时代 ， 学科学 的地 位 １ 数 会发生巨大的变化 ， 它正在从 国或经济和科技 的后 备走 到 了前沿． 济发 展 的全 球化 、 经 计算 机的迅猛发展 ， 数理论 与方法的不断扩充使得数学 已经成 为 当代 高科 技 的一 个重要 组成部 分 和思想库 ， 数学 已经成为一 种 能够普遍 实施的技 术． 培养学生数学应用 的意识和能力 已经成 为数学教学 的一个重要方 面．
（ 中央 民族 大学 理 学 院 ， 京 １ ０ ８ ） 北 ０ ０ １
［ 摘
要］ 以 提高 学 生数 学 能力 为 目标 ， 强 数 学 教学 中对 学 生 建 模 能 力 的 培 养 ， 端 正学 生 学 习态 度 、 加 要 培
化“冰冷的美丽”为“火热的思考”
化“冰冷的美丽”为“火热的思考”美国心理学家布鲁纳说：“探索是数学的生命线。
”的确，没有探索，就不会有新的发现。
现行教材中的探究活动为探究性学习提供了一个平台，我们在教学中要转变观念，强调师生交往，构建互动的师生关系；要为学生创造主动参与学习的条件和内容，精心创设探究性问题情境，激发学生的探索欲和创造欲。
一、借助探究，激发兴趣苏霍姆林斯基说：“在人的心灵深处都有一种根深蒂固的需要，就是希望感到自己是一个发现者、研究者、探索者。
”我们不仅要激发学生心灵深处那种强烈的探索欲望，而且要让学生有更多参与探索的机会和成功的情感体验，从而激发学生学习数学的浓烈兴趣。
【例1】①一张纸的厚度为0.09mm，那么你的身高是纸的厚度的多少倍？②将这张纸连续对折6次，这时它的厚度是多少？③假设连续对折始终是可能的，那么对折多少次，所得的厚度可以超过你的身高？先猜一猜，然后计算出实际答案，你的猜想符合实际答案吗？对于①、②两小题学生不难解决问题，对第③小题学生会有五花八门的答案，而又对自己的答案不抱有足够的信心，此时学生的探索欲望就会被激发出来，每个学生都跃跃欲试。
然后教师引导学生从②小题受到启发，去寻求答案的计算方法，最后发现答案出乎意料。
通过此例让学生在生活经验数学化、数学知识实践化的过程中体验到数学就在我们生活中。
让学生在情境中学习，在探索中求知，去探究生活中有趣而富有挑战性的问题，是激发学生学习兴趣和求知欲的有效手段。
二、体验探究，提升知识探索性学习内容立足于教村，又高于教材，许多活动内容符合基础性、多样性、层次性、开放性原则，通过类比探究、归纳探究、实验探究、发散探究、演绎探究等多种形式，进行探求新知，进行知识的再发现、再创造。
【例2】解由两个一元一次不等式组成的不等式组，在取各个不等式的解的公共部分时，有几种不同的情况？若，你能说出下列四种情况下，不等式组的解吗？用数轴试一试（请与你的同伴交流）。
学生掌握了由具体数字组成的不等式组的解法后，借助数轴独立思考，通过小组讨论，在原有的知识经验基础上进行整理与总结，从而得到解不等式组一般的结论和方法，从而达到认识的深化与认知结构的完善，使学生的思维得到自然的升华，通过归纳探究，经历知识的形成性过程，培养思维的深刻性和灵活性。
“冰冷的美丽”到“火热的思考”
“冰冷的美丽”到“火热的思考”作者：赵丽琴来源：《新课程·上旬》2018年第04期摘要：课堂教学中的探究式教学方法主要是教师引导学生对有关学习内容进行深入探讨，或对有关问题进行多方面的研究，以寻找答案、解决问题的过程和活动的方法。
它的实施就是让学生以合作学习的方式在学习过程中掌握知识，获得能力，习得科学方法，养成科学态度和科学精神。
那么如何设计有价值、有意义的问题，优化教学效率，促进学生核心素养发展呢？针对合作学习中问题设计的恰当选择介绍从事小学数学教学工作中的一些做法和体会。
不能把问题设计成在课本上找答案，也不能把问题设计得太细，没有思维含量，也不能问题设计的太大让学生的学习无效。
有效的问题让学生带着任务驱动去进行一个个的数学活动。
关键词：合作学习；问题设计；数学活动华东师大张奠宙教授曾说：教科书里陈述的数学，往往是“冰冷的美丽”。
因此，数学教师的责任在于把数学的学术形态转化为教育形态，使学生既能高效率地进行火热的思考，又能比较容易接受，理解隐藏在“冰冷美丽”背后的数学本质。
数学的核心是发展学生的思维，让学生在学习的过程中通过自己的看、想、做能“悟”出来。
我们现在践行的四环节教学模式：自主学习—小组交流—展示反馈—拓展延伸，正是凸显了学生的自主学习、自主探究，这是以生为本课堂的核心。
在四环节教学模式中，是用问题引领学生来学习。
所以自主学习和小组学习中问题的设计很关键，不能把问题设计成在课本上找答案，也不能把问题设计得太细，没有思维含量，也不能把问题设计得太大让学生的学习无效。
有效的问题是让学生带着任务驱动去进行一个个的数学活动。
一、创设开放的情境让学生自己提出问题美国教育家杜威说过这样一句话：你可以将一匹马牵到河边，但是你决不能按着马头让它饮水。
这句话道出了数学教学的灵魂——让孩子自主快乐地去学习。
因此，开放的情境有利于学生在自主学习的过程中根据自己的学习水平去感悟知识，有利于激发不同层次学生的学习兴趣，在小组交流中梳理积累知识，促进不同层次学生的发展。
用“火热的思考”感受“冰冷的美丽”
用“火热的思考”感受“冰冷的美丽”王丽燕【期刊名称】《湖南教育（下旬刊）》【年(卷),期】2014(000)004【总页数】2页(P27-28)【作者】王丽燕【作者单位】涟源市教研师资培训中心【正文语种】中文博弈论又名对策论、赛局理论，它既是数学的一个分支，也是运筹学的一个重要学科，在生物学、经济学、政治学等学科中都有广泛的应用。
博弈论研究的是具有斗争或竞争性质现象的互动决策数学理论和方法，即研究个体如何在错综复杂的相互影响中变换自己的对抗策略，达到取胜的目标。
“取棋子的策略”就是博弈论研究的范畴。
“取棋子的策略”这一内容的选择源于我二十多年前的一次探亲。
当年妹妹在学校寄宿的时候，有次我去看她，妹妹的一个室友邀我玩“抢60”的游戏。
我以前从没接触过此类游戏，感觉很好奇。
弄明白游戏规则之后，她说你是姐姐你先来，我就跟她玩起来了。
输了两局之后，我觉得不对劲，要求她先来，结果还是输。
奇了怪了，我于是很小心地一边报数一边慢慢想，想扳回一局，无奈事与愿违。
工作室成员一起聊天的时候，我就说了这个故事。
彭老师是个有心人，主动要求将这个内容搬到课堂上进行研究，大家都觉得这主意不错。
“博弈论很高深，小学生未必能懂。
”有人表示担心。
“这个应该问题不大，孙膑没有学过高等数学，不是照样运用策略帮助田忌赢了赛马吗？”有人反驳。
没错，博弈的思想既然来自现实生活，可以高度抽象化地用数学工具表述，自然也可以用日常事例进行说明。
没有高深的数学知识，我们同样可以引导学生通过博弈论的研究成为生活中的策略高手。
说干就干。
第一次试教的时候，师生游戏导入新课，先是老师口述游戏规则：两人从左往右依次轮流取棋子，每次最少取1颗，最多取2颗，谁取到最后1颗棋子谁就获胜。
接着，老师贴出一排棋子，师生你来我往，或1颗、或2颗轮流将棋子从黑板上取下来，比赛结束时黑板上就只剩下两张用来粘棋子的纸条。
为了确保自己必胜，老师精心准备了两套棋子，一套15颗，另一套14颗，都用双面胶在纸条上粘成一排，等学生上台之后，学生如果愿意先拿，她就把15颗棋子贴出来；学生表示想后取，她就把14颗棋子拿出来，这样2轮游戏下来老师都轻松夺冠。
变“冰冷的美丽”为“火热的思考”──小学数学教学内容呈现方式之管见
数学小学教学参考新课程教材图文并茂、生动有趣,贴近学生的生活,充满时代气息,无论是内容的选择还是呈现方式上,都很好地体现了“以学生发展为本”的理念。
它以现实生活为背景,力求形成“问题情境———探究新知———建立模型———解释应用与拓展”的基本教学模式,以儿童化、生活化的方式反映数学的思想方法。
尽管如此,然而教材还是数学知识与思想的浓缩本,呈现给学生的往往都是高度概括和抽象化的静态知识,而隐藏在知识背后的关于知识产生与形成时艰难的探索历程、丰富的思维过程、精彩动人的故事等数学文化和数学背景,很难一一列入教材。
著名数学教育家弗赖登塔尔曾经这样描述数学的表达形式:“没有一种数学的思想,以它被发现时的那个样子公开发表出来。
一个问题被解决后,相应地发展为一种形式化技巧,结果把求解过程丢在一边,使得火热的发明变成冰冷的美丽。
”教学时如果照本宣科,就会不利于引发学生产生问题,不利于促进学生的思考和探究,不利于学生主动建构知识。
数学知识学术形态的表现形式枯燥、乏味,给人一种冰冷的感觉,但是数学的思考却是火热的、生动的、活泼的。
那么,怎样解决这一矛盾呢?张奠宙教授曾经提出:“数学教学的目标之一是要把数学知识的学术形态转化为教育形态,通过数学知识的教育形式散发出数学的巨大魅力,体现数学的价值,揭示数学的本质,感染学生、激励学生,让数学‘冰冷的美丽’焕发学生‘火热的思考’。
”一、变“静态预设”为“动态生成”教材总是静态、固化地呈现编者事先预设的教学思路,而在实际教学中,教师的组织教学、学生的生活经验和知识背景以及思维状况都是不确定的,真正的教学过程总是动态生成的。
因此,学生的学习实际常常不可避免地会与教材的编写预设发生矛盾。
比如教学“两位数加两位数(进位)”一课时,例题是34+16。
教材是让学生先用小棒摆一摆或用计数器拨一拨,再用竖式计算。
然而实际教学中,在学生自主探索算法时,往往提出的是口算或直接用竖式计算的方法。
关于微积分教学的思考
一
图１ 一图 ３是 否表示 函数 。
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图 １ 图２
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核 心概念 理解是 关键
在微积分的学习初期 ，高等数学概念 （ 函数 、极限 、 如
２ ．教师要 注重概念之问的关 系。数学 是一种知识体系 ，
无 穷等 ）的概念化是 教学 的重要 环节 。学生在 由常 量数学 向变量数学转变 的过程 中产生 了困难 ，学 生头 脑 中存 在的
函数的最基本概 念是变 量数值之 间的一种关 系 ，在初 中阶段是用变量之 间的依存关 系定义 的。在高 中阶段则是
从集合之间的对 应关 系 出发 ，将 函数看 作数集之 间的一种
对应。在高等教育 阶段 ，则是 把函数定 义为映 射。美 国的
“ 数运 动”也大胆尝试按照集合 的笛卡儿积来建立 函数定 新
１ 师要对微积 分知识 中的 “ ．教 主要 概 念 ” 进 行 评 估 。 微 积 分 是研 究 函 数 的 ，而 人 们 感 兴 趣 的是 函 数 的 导 数 与 微
注意概念的安排 ，寻求 不同 的方 式来 学习概念 网络 ，体现
概念的分级系统 ，理清 概念 之间 的内在联系。概念 图的构
ｂ０Ｙ ？， ＜≤ ， 些 达 是 数 ？ ＝； ＝ ０ １这 表 式 函 吗 【
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分为 四部分 ：学科 的统领性 观点 即学 科性质 的知识 ；学 生
对特定学习 内容理 解和误解 的知识 ；特定 学习 内容在 横向 和纵向上组织和结构 的知 识；特 定学 习内容呈 现给学生 的 策略性知识 。美国伯克 利加利福 尼亚大学 数学 教授伍 鸿熙 指 出：达到更好的数学 教育形态 的唯一途 径就 是要有 更好
化冰冷的美丽为火热的思考
化冰冷的美丽为火热的思考作者：林梅香来源：《教育教学论坛》 2013年第16期林梅香（福建省漳浦县大南坂中心学校，福建漳浦363200）摘要：数学是美丽的，数据会说话，符号会引路，思想能震撼，方法会导航！然而数学的形式化，定量化特征往往使数学知识的面孔是刻板的，冰冷的。
只有亲近它才能感受到它的亲切；思考它才能体验到它的丰富；探索它，才能领略到它的魅力。
怎样让学生揭开数学美丽而神秘的面纱，畅游在数学知识的海洋，报以火热的思考呢？下面浅谈几点体会。
关键词：生活数学；问题解决；思想方法中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）16-0128-03一、注重生活数学，让学生寻“味”数学知识包括数学理论与方法，数学的思维方式在日益纷繁复杂的现实生活中无处不在，日益凸显。
但是小学生往往不知道哪里藏着数学知识，哪个问题可以用数学的方法来解决，哪个道理可以用数学的方法来解决，哪个道理可以用数据来说明……。
只有当他发现我所学的数学知识正在我身边如影随形，神秘而又直接地影响着我的生活和学习的时候，才会油然地产生亲切感、迫切感和自信心，才会进入数学学习的角色。
因此帮助学生寻找数学知识在实际生活中的原型，让学生联系生活学数学，寻找到数学知识背后那有趣的“故事”，品尝到用数学方法来解决实际问题的精妙，学生才能乐此不疲。
例如在教学“长方形和正方形面积的计算”是，如何让学生不但掌握计算方法，而且理解“长×宽”计算面积的算理呢？我创设了这样一个自主探究、合作交流的情境：先让学生独立思考，尝试用自己喜爱的方法画一个自己喜爱的长方形的物品，再去测量这个长方形的面积是多少。
然后组织学生先进行小组交流，学生提出了两种方法：①用面积是1平方厘米的小正方形去摆，每排摆6个，可以摆这样的两排，一共可以摆12个，所以面积是12平方厘米；②先量出白纸的长和宽，在用“长×宽”计算出面积：6×2=12。
“冰冷”的美丽与“火热”的思考——例谈数学教学活动化
能 创 造 、善 创 造 。 ］
同 样 的 教 学 内 容 ， 笔 者 设 计 了 不 同 的 练 习 ， 施 教 后 有 着 不 同 的 思 考 与 收 获 。 改 革 课 堂 练 习 设 计 ， 是 小 学 数 学教 学改革 的重要 组成 部分 。 我 们只有在 关注个 体差异 、 突 出 个 性 发 展 的 前 提 下 ，设 计 多 元 、 开 放 、 动 态 的 发 展 性 练 习 ， 才 能 为 学 生 的 成 长 创 造 一 种 积 极 向 上 、 民 主 宽 松 的 氛 围 ， 才 能 促 进 每 一 个 个 体 生 命 全 面 、 健 康 、 持 续 地 发展 。◇
学 生 兴 趣 盎 然 ，教 室 里 热 闹极
确 定 位 置 的 知 识 。 ” ［ 思 著 名 心理 学 家皮 亚 杰 从 反
了 。 渐 地 ， 部 分 学 生 都 找 到 了 自 发 生认 识 论 的 角 度 曾 深 刻 揭 示 出 ： 渐 大
己 的座 位 ，可 是 有 三 个 学 生 却 拿 着 “ 童 的 思 维 是 从 动 作 开 始 的 ， 切 断 儿 手 里 的卡 片 在 发 பைடு நூலகம் ， 脸 涨得 通 红 。 动 作 与 思维 的 联 系 ， 思 维 就 不 能 发 小
看 似 平 常 ， 实 则充 分 体 现 了 编 题 者 的创 造 意识 ，加 深 了 学 生对质数和 合数 的理解 。
可 以 说 ， 学 生 本 身 就 是 数 学
表 达 方 式 是 形 式 化 的 ，但 在 课 堂 上 写 着 “ ３ 第 （ ） ” 他 知 道 应 该 第 组 个 ，
置》 学 片段 教
引入 新 知 时 ，我 设 计 了 一 个 找
让“冰冷的美丽”绽放出“火热的思考”——数学教学中学术形态转化为教育形态的教学策略
、
这 样 没问 的好 处是 ： 不 查 表求 值教 材 中经 常 出现 ， 合 ① 符 学 生 的认 知结 构 ， 不会 出现 波 利 亚 所说 的 “ 帽 子 里 掏 出米 一 从 个 兔 子” 的感 觉 ； ｓ ５ ． 。ｏ７ ５ 和 ｃｓ２ ５ ｓ ７ ５ 以对偶 形 ② ｉ ２５ ｃ ｓ． 。 ｏ ． 。ｉ ． 。 ｎ ５ ｎ 式 小 现 ， 容易 让学生 联 想到式 子 ｓ ５ ． 。ｏ７ ５ ＋ｃｓ２５ 很 ｉ ２ ５ ｃｓ 。 ｏ５ ． 。・ ｎ ｓｎ ． 。 ｓｎ２ ５ ｃｓ． 。一ｃｓ２ ５ ｓｎ ． 。 为 在 此 之 前 学 ｉ７ ５ 和 ｉ５ ． 。 ｏ７ ５ ｏ５ ． 。 ｉ７ ５．因 生 对 公 式 ｓ （ｒ ） Ｃ Ｓ ± 的 正 、 向 应 用 已 得 到 强 化 ｉ Ｏ± ，Ｏ （ ） ｎ ＂ 逆 训 练 ．在 学 生 利 用 ｓ ５ ． 。ｃｓ ． 。 ＋ｃ ｓ２ ５ ｉ７ ５ ｉ ２ ５ ｏ７ ５ ｎ ｏ５ ． 。ｓｎ ． 。＝
教学 案例 ２ 王 角 函 数 的 积 化 和 差 公 式 的 教学 ： 教 材 （ 教 版 必 修 ４ 直 接 给 ｝ 了 ４个 对 称 性 的 积 化 和 苏 ） ； ３
羞 公 式 ， 渭是 “ 冷 的 美 丽 ”， 直 接 由学 生 推 导 ， 难 重 可 冰 若 困 重． 意 到 积 化 和 差 公 式 推 导 的 实 质 是 解 一 个 二 元 一 次 方 注 程 组． 处 我 设 计 一 组 不 查 表 求 值 的 问 题 ： ｓ ５ ． 。・ 此 求 ｉ ２５ ｎ ｃ ｓ ． 。 ｃ ｓ２ ５ ｓｎ ． 。 值 ． ｏ７ ５ 和 ｏ５ ． 。 ｉ７ ５ 的
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化冰冷的美丽为火热的思考
一、注重生活数学，让学生寻“味”数学知识包括数学理论与方法，数学的思维方式在日益纷繁复杂的现实生活中无处不在，日益凸显。
但是小学生往往不知道哪里藏着数学知识，哪个问题可以用数学的此，在教学实践中，体育教师应注重穿心教学方法与教学手段：在指导和组织学生进行体育活动时，教师应充分挖掘学生好动的天性，以宽松、和谐、民主的教学氛围，丰富、生动的教学形式，采用灵活多变的教学方法，有意识地创设具有一定情绪色彩和形象生动的具体场面，以引起学生积极的情感态度体验，应善于提出问题，创造情境，激发学生的思考[1]，使教学方法的运用适合与学生的心理特征，从而使学生学有所得，乐在其中。
3.选择适合学生的教学内容，满足学生的学习需求。
对学习内容的选择，最能体现体育教师的课程与教学素养。
体育教师在教学实践中，应注意不断更新和发展教材的内容体系，注意吸收社会上学生最喜欢、最适合于对学生进行体育知识技能、情感态度、价值观培养的内容进入体育课堂，应分析学生的学习需求，选择最有价值的学习内容进行教学，以满足学生的学习需求，促进学生主动、生动地参与到课堂学习中来。
4.激发和培养学生正确的学习动机与学习兴趣。
初中低年级学生的体育学习的动机与学习兴趣是有紧密联系的一种现象，好“玩”，“玩”得高兴，这就是他们的可爱之处，从有得“玩”“玩”中学，到“玩”有所得，会“玩”，使得身心健康自然得到发展[2]。
体育教师要高度重视培养学生正确的学习动机和学习兴趣，并使之贯穿到整个教学活动的全过程。
教师应重视对学生个性的培养和发展，满足学生的创新欲，注重学生良好情感的体验与获得，艺术性地创造和谐愉快的教学情境。
在课堂教学实践中，在重视对学生进行运动技能传授与掌握，发展体能，培养兴趣与爱好的同时，注意运用激励性的评价。
成功是学习兴趣的关键，学生在学习运动技能中，从不会到掌握，就有显著的成就感，且还会有继续尝试的心理追求，这种心态除自身体验外，还来自老师、同伴对其的赞赏，如：一个学生在多次失败后，首次能勉强撑越过“山羊”时，同伴的掌声鼓励，老师肯定其有勇敢的表现及已掌握了“撑、推”的主要技术环节，并指出“推手”再快点、头抬高点、动作更完美，这样的点评就能激励学生继续进取。
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微积分教学：从冰冷的美丽到火热的思考(4490字)作者: 张奠宙(华东师范大学数学系上海200062)本文已被浏览788次(本文是作者在2005年11月7日“首届全国大学数学课程报告论坛”大会报告)数学成果通常具有三种不同的形态.第一，数学家构建数学思想、发现数学定理时的原始形态.其次是公开发表，写在论文里、教科书里的学术形态.最后，则是数学教师在课堂上向学生讲课的教育形态.国际数学教育委员会前主席、数学家 H·弗赖登塔尔H.Freudenthal(1908-1990)有一句名言：“没有一种数学思想，以它被发现时的那个样子发表出来.一个问题被解决以后，相应地发展成一种形式化的技巧，结果使得火热的思考变成了冰冷的美丽.”(Freudenthal,Hans.1983.Didactical Phenomenology of Mathematical Structures.Dordrecht:Reidel.P.9)事实上，教科书里陈述的数学，往往是“冰冷的美丽”.因此，数学教师的责任在于把数学的学术形态转化为教育形态，使学生既能高效率地进行火热的思考，又能比较容易接受，理解隐藏在“冰冷美丽”背后的数学本质.一微积分在中国的一个世纪1859年，李善兰和伟列亚力翻译《代微积拾级》，微积分学传入中国.这时离开微积分的创立已经近200年.但是，这毕竟是中国文化现代化的重要标志，甚至具有一定的国际意义.在19世纪70年代，日本的数学家能够读到的微积分著作，依然只有李善兰的这一译本.日本使用的微积分名词，“微分”、“积分”，都从《代微积拾级》而来.李善兰是一个值得纪念的数学家.他是中国传统数学的最后一人，又是现代中国数学发端的代表人物.在中国出版的微积分著作中，应该提到他的名字.2005年是废除科举的100周年.当时的京师大学堂曾经开设微积分课程.用的就是《代微积拾级》，那是竖排本，不能使用拉丁字母和微积分通用符号，现在读来宛如天书.“彳者，天之微分也.禾者，积分也. 禾彳天，言天微之积分也.”用今天的符号表示是 ∫ d x.这样的“中学为体、西学为用”，拒绝与国际接轨的做法，读者当然非常累.100年前，全国懂得微积分的不过百人.在1919年的五四运动推动下，1920年代高等教育大发展.各地大学纷纷兴办数学系，微积分学成为理工科大学生的必修果.但是，那时的大学生数量很少，通常也只学初等微积分，高等微积分则依然十分神秘.英美留学归来一些数学教授，甚至还有人不能掌握ε-δ语言.真正的较大范围普及微积分，是新中国建立以后的事情.笔者于1951年进入大连工学院的应用数学系，一年级采用斯米尔诺夫编著的《数学教程》第一卷(当时还是讲义，尚未出版)，开宗明义便学习极限的ε δ定义.这在解放前是不会有的.任课老师徐润炎先生，在黑板上写ε的读法是“一不是龙”，印象深刻.在“全面学习苏联”政策的影响下，苏联数学学派严谨、抽象、形式化的数学风格，使得中国数学教学逐渐成熟.中国的微积分教学的特征，至今依然是形式化的处理占主导地位.进入21世纪，中国高等教育大发展，微积分教学进入新时代.今天的中学，也普遍教授微积分(上海除外).微积分“飞入寻常百姓家”，不再神秘，而改进微积分教学，也就成了当务之急.那么，我们应该怎样进行微积分教学?这使我们想起“阳春白雪”和“下里巴人”的故事.宋玉的《对楚王问》说：客有歌於郢中者，其始曰［下里巴人］，国人属而和者数千人;其为［阳阿薤露］，国人属而和者数百人；其为［阳春白雪］，国中属而和者不过数十人；引商刻羽，杂以流征，国中属而和者不过数人而己.是其曲弥高，其和弥寡.如果说，李善兰时代的微积分是“引商刻羽”，五四以后还是阳春白雪，1950年代的微积分相当于“阳阿薤露”，那么今天的微积分已经是下里巴人了.让更多的人知道和掌握微积分的思想方法，成为当代数学教育的重要任务.二透过形式主义的美丽，领略微积分的无穷魅力多少年来，我们都是宣扬微积分的形式美丽.ε-δ语言的伟大，极限—连续—导数—积分的不变演绎顺序，推理—证明成为微积分教学的主旋律.形式主义的美丽，几乎掩盖了微积分本身的无穷魅力.尽管严密的形式主义表示十分重要，“阳春白雪”是永远不可缺少的.然而大多数人确实难以欣赏形式主义的美丽.今天，作为“下里巴人”的微积分，应该通过火热的思考充分展现微积分的魅力.在微积分教学中，我们总是按照定义—定理—推论—习题的逻辑顺序展开，学生只是被动地接受一个一个概念，却不知道为什么要这样做.优秀学生要到后来才恍然大悟，一般的学生只能囫囵吞枣，不知所云.最近看到一篇高等职业技术学院的微积分教学大纲，除了按极限、连续、导数、微分的逻辑顺序展开之外，特别是要讲左右极限.是否有必要涉及这样的枝节问题?数学本原问题是处理数学教学的灵魂，让职业学校的学生会用微积分观点看问题才是最主要的.没有思想的数学等于废了武功(郑绍远).剑招可以生疏，剑法不能忘记(李大潜).萧树铁先生在一份《高等数学》教学改革报告中要求：“讲推理，更要讲道理.”确实，微积分教学应该多讲道理，避免把充满人类智慧的微积分思想淹没在形式主义的海洋里.关肇直先生说过：“ε-δ推理曾被认为已经使微积分建立在严格的基础之上，其缺点在于丢失了牛顿、莱布尼兹那种微积分的生动的直观”［1］.西南师大的陈重穆先生曾经呼吁“淡化形式，注重实质”［2］.项武义先生则一再主张“返朴归真，平易近人”.姜伯驹先生说：“在某种意义上说，会用微积分比会证明更重要.”我想他们的意思都是一样的.微积分教学不能只让学生背诵一些求极限，求导数、求不定积分那样的符号运算，面对“冰冷”的微积分形式，使他们无法体会微积分思想的实质.尽可能恢复原始的火热思考，并以现代数学水平加以处理.例如，17世纪的一些伟大的数学家，曾经使用无穷小方法得到了许多重要的科学结论.由于逻辑上存在缺陷，经过分析严密化运动，在形式主义数学哲学的影响下，无穷小成为一种“错误”，离开了微积分课本.其实，这个无穷小量，就是“微分dx”.在积分学中，它是构造微元f(x)dx的基本的思考途径.然而，今天的微积分教学，已经把生动的“原始形态”当作陈旧的垃圾丢弃了.未免可惜.记得袁枚(清)在《随园诗话》里说过“学如箭镞，才如弓弩，识以领之，方能中鹄”.与知识、能力相比，数学思想，才是最重要的.我们不能把微积分淹没在形式主义的海洋里.我国数学教学受形式主义数学观的影响比较大，是历史条件所决定的.前已提及，1950年代苏联数学学派对中国数学影响非常深刻.数学分析课程的严谨程度远超过英美的教材.微积分课程也没有初等微积分和高等微积分的层次，ε δ语言也是在1950年代得到普及.流行的数学学科的特性是抽象性、严谨性，以及因为抽象而获得的广泛应用性.崇尚严密，当然是进步.但是，事情还有另一面：数学思想往往是朴素的，创新在开始时多半是不严密的.储存在人们头脑里的理解，通常又是生动而粗略的.长期以来，中国传统文化主张“治学严谨”，清代的考据学派和逻辑推理一脉相承.此外，数学哲理界不断地提到“三次数学危机”，关注数学基础的严密性.《自然辩证法》教材，反复强调19世纪以来的非欧几何、群论、四元数、分析严密化等理性思维的成就，对于影响人类进程的傅立叶方程、流体力学方程、马克斯韦尔电磁学方程的成果则较少提及.数学，似乎只能是公理化的、形式主义、演绎式的那付模样.总之，数学是一种文明，数学不只是事实的推砌；数学不限于技巧的运用；数学解题不等于创造；数学整体不等于数学杂技.数学考试只是把人已经做过的题目重做一遍而已.数学思想、观念的突破性创新，是对数学文明的主要推动力.2000年在国际数学教育大会上，日本数学会主席藤田宏教授认为，世界上出现过四个数学高峰，成为人类文明的火车头：●古希腊文明：欧氏《几何原本》为代表；●文艺复兴和17世纪的科学黄金时代；牛顿的微积分为代表；●19世纪与20世纪上半叶科学文明：非欧几何、希尔伯特、黎曼几何与相对论为代表；●信息时代文明：信息论、控制论、冯·诺依曼的计算机方案为代表.数学在20世纪下半叶发生巨大变化，其情势和牛顿时代相同，数学大量渗入各个学科，大刀阔斧地解决各种各样的问题，尽管开始时不大严格.试看1948年的数学地图.美国数学家仙农发表《通信的数学理论》，创立了信息论.维纳在这一年发表《控制论》，冯·诺依曼创造了电子计算机的方案.这三件数学工作，影响了人类的进程.这些工作，都不是形式主义数学所能完成的.由于各种原因，中国数学没有能够参与这一进程.我国的数学哲学深受形式主义的影响，以至数学观还停留在第三个时期.影响所及，数学教学，包括微积分教学，就会过分强调形式主义的演绎，而却忽视数学直观、数学思想、数学应用的培养.形式主义数学哲学观在中国占据着统治地位，一个明显的例子是关于布尔巴基学派的认识.如果说希尔伯特的形式主义是一种关于数学基础的哲学流派，那么布尔巴基学派则将形式主义数学观深入到整个数学.它形成于1930年代，兴盛于1960年代.他们认为只有用三种基本结构加以整理的《数学原本》，才是严谨的数学.但是，在信息技术革命的冲击下，1970年以后，年轻的数学家开始走出布尔巴基学派的光环，投身于更广泛的数学应用，产生了诸如分形、混沌、孤立子、小波、量子群、超弦、密码等许多新的学科.布尔巴基的《数学原本》终于在1970年停止出版新的卷次，基本结束.反观我国，吴文俊先生在1950年代曾在《数学通报》上介绍布尔巴基学派，并没有引起反响.却在1980年代，当该学派已经走下坡路的时刻，在国内推崇(包括自然辩证法这样的政治课)结构主义的数学观，这是和形式主义数学观一脉相承的.陈省身材先生说过：“我和布尔巴基学派的创始人都是好朋友，但是他们的工作不能解决我的问题.比如 Stokes 定理成立的充分必要条件(结构)就写不出来.”当然，数学表示需要形式化，严密的数学学术形态必然是形式化的.微积分的形式化表示，是19世纪许多数学家努力的结果，分析的严格化成为又一个数学高峰的标志.因此，对于以数学为主要工具的专业来说，形式化的学术形态是极端重要的.至于一般使用数学的理、工、农、经等专业，微积分思想和算法之间要取得适当的平衡，只能适度地强调形式化.对于把微积分作为文化背景、常识素养的人来说，形式化的算法就不大重要，关键是微积分的文化价值，以及科学意义.（未完待续）参考文献1.关肇直.数学推理导演个性与认识论众的实践标准.《数学学报》1976(1).2.陈重穆.淡化形式，注重实质.《数学教育学报》,1993(4).三、微积分教育形态的表现形式在微积分教学中，人们面对的是教科书中书写的学术形态，比较形式化的表达.那么如何用各种手段使它呈现为人们易于接受的教育形态呢？以下是一些具体的建议.1 平易近人, 重视人的原始观念切线，瞬时速度，都是人们具有的原始观念.我们应该把它作为微积分的出发点，而不是导数的几何解释和力学解释.切线，人人都懂.于是，我们可以启发学生用切线的斜率变化来研究函数y=x的性质，这和中学里采用的方法完全不同，立即能使得学生关注微积分的奥妙.瞬时速度，其实也是人们的原始概念.当后面的快车赶上慢车的那一刹那，快车的速度比慢车的速度快，大家都明白.尽管我们没有定义过什么是瞬时速度，人人凭经验就可以大体理解.这是人的思维能动性的体现.正如我们没有严格定义过什么是图形的面积(严格的面积定义应该是某集合类上定义的集合函数，它满足：非负性、有限可加性、运动不变性、以及对边长为1的正方形取值为1)，可大家都知道面积的存在，我们的任务是如何求面积.同样，瞬时速度既然存在，问题在于如何求.于是从引入平均速度出发，采取极限方法加以处理，微积分随之展开，非常自然.2 返朴归真，重视微积分发现时的原始形态一个突出的问题是，现代的微积分是否要运用17世纪发明微积分时的那种原始形态？无穷小量还有存在的必要吗？笔者认为仍然需要介绍.因为那是人类智慧的结晶，闪烁着天才的光芒.16—17世纪数学家们在发现微积分的时候，确实火热的思考.请看费马当年怎样运用无穷小讨论以下的极值问题：“周长一定的矩形以正方形面积最大”.证明设周长为A，截取一段B.现取无穷小量E.如果A-B，B是解，那么可以猜想（一个天才的想法）： B（A-B) = (B+E)［A-(B+E)］= BA-B2+AE-2BE+E2,整理得到 (A-2B)E+E2=0,因为E≠0,可以约去E，得(A-2B)+E=0.又因E无限小，可以略去，得到结论A=2B.这样的思想，确实是微积分思想的本质.后来，我们将它严密化，那个E就是无穷小量，称做微分，写成dx，将它理解成增量Δx→0的过程，可以避免逻辑上的困难.此后，导数公式（x2)’=2x的出现，也就顺理成章了.3 把握微积分的整体目标.微积分教学的一个问题是如何树立微积分学的总目标.如果从熟知的自由落体运动出发，提出一般的F（x)和f(x）之间的关系v(t)=gt,s(t)=(1/2)gt2 y=f(x),F(x)=S(x)据此，提出基本问题.1\怎样求瞬时速度？2\怎样求曲边梯形面积？3\如何由变速求位移？4\如何得到二者间的本质联系.带着整体的目标，带着要解决的问题，能够激发学生的学习热情.4 揭示矛盾，运用哲学思考加深理解在形式主义的诠释中，是看不见矛盾的.一切似乎是天衣无缝地安排好了的.事实上，微积分里充满了矛盾.我们是在解决这些矛盾中不断前进的.掩盖了矛盾，就掩盖了微积分的实质，失去了活的灵魂.微积分表面的矛盾有：常量与变量，有限与无限，近似与精确，曲线与直线等等.这些矛盾，采取“匀”、“不匀”、“局部匀”，以及极限方法加以处理，在对立中得到统一，正是微积分的精华所在.这里要提出的一个不被人们注意的矛盾：局部与整体.微分学研究函数的局部性质，一点的极限、连续、可导等.积分学研究整体性质，区间上有界、单调，一致连续，可积等.闭区间上的连续函数，具有局部性质，也有整体性质.覆盖定理是沟通局部性质和整体性质的桥梁.微分中值定理的证明建立在连续函数整体性质的基础上，因而成为研究函数整体性质的工具，其作用仍然是从局部性质过渡到整体性质的桥梁.现在，许多数学系的研究生不知道这样的背景.甚至一篇指导性文章说，函数的局部性质是指在一点的值，令人叹息.整体性质和局部性质的矛盾统一，是世界上普遍存在的矛盾.政治上有全局利益与地方利益；物理学有宏观的天文学与微观的量子力学；美术上有泼墨山水和工笔花鸟；生物有整体的生态描述和微观的基因研究.天下事情都是如此，数学也不例外.必须从整体的发展出发，才能研究局部，反之，只有把局部的性质研究透彻，对整体的性质才能理解透彻.分子生物打开了DNA的密码，对人的整体研究进入了新阶段.导数对函数局部的研究，导致了对函数整体性质的判别.导数为什么能够研究函数的性质？这是因为函数f(x)在一点可导，意味着函数在这一点附近近似于一次函数，即曲线在一点的附近可以近似地看成一条切线，这叫做局部线性化：y=f′(x)Δx+o(Δx)曲线可以千变万化，但是局部地都可以看成线性函数，最简单的一次函数.最后有了微积分的内在联系：牛顿-莱布尼兹公式.5 问题驱动，激活思考在微积分教学中，一提到数学问题，就会联想到无数的练习题和考题.这对掌握和巩固数学知识当然不可缺少.但是，一般地说，这些问题多半是技能训练型的.我们在这里所说的数学问题，是指那些具有启发性的、本原性的、触及数学本质、能够在教学中起统帅作用的问题.问题还要能够形成链条，一切都要发生得自然而连贯，使得所有概念和方法都是合情合理的，没有“天上掉下个林妹妹”来的感觉！在教科书中往往只讲“是什么”，很少讲“为什么”？形式化演绎，往往不是提出问题，而是直接下定义.在“可导”、“可积”概念之前，不知道为什么要讲连续.在定义导数之前，不知道为什么要定义增量，不一而足.关于问题驱动的具体做法，曾有专门记叙[3],这里不赘.6 诠释微积分的文化内涵微积分学，给人的印象是干巴巴的.概念、定理、公式，记忆再记忆，例题、习题、考题，练习再练习.然而，数学是人做出来的，必然有人的思想、情绪、感觉，社会文化，历史传统在起作用.无论数学、科学和人文科学，创造性的思想源泉往往是相通的.数学是一种文化.一个时代的数学会受那个时代文化的制约，同时数学本身的发展又生成了一种文化现象，丰富着那个时代的一般文化.支撑数学的基础在于它的文化价值.正如音乐不等于音符节拍：美术不等于线条颜色；数学也不等于逻辑程式.不然的话，光彩照人的数学女王，就会变成一副x光照片下的骨架！7月31日温总理探望钱学森，钱学森说：科学技术要有创造，必须懂得文学、艺术、音乐.温总理回答说：我们的教育还有一些问题.7月17日《文汇报》，丘成桐：《数学和中国文学的比较》.其中提到，中国诗词都讲究比兴，有深度的文学作品必须要有“义”、有“讽”、有“比兴”.数学亦如是.我们在寻求真知时，往往只能凭已有的经验，因循研究的大方向，凭我们对大自然的感觉而向前迈进，这种感觉是相当主观的，因个人的文化修养而定.那么微积分教学应怎样做呢？揭示数学思想的本质当然是第一位的.除此之外，我们也可以增加一些人文的、文学的、美学的色彩，使人容易接近，尤其在思想意境上能够比较接近.毕竟，数学和其他学科都是人创造的，彼此一定能够互相沟通.四、微积分教学中的美学欣赏在微积分教学中，向学生展示微积分的美，师生共赏数学之美，对激发学生的学习热情，活跃课堂气氛，增强数学理解，乃至提高教学质量，将是十分有效的.以下，我们将依照微积分课程的逻辑顺序，提供一些建议.1 极限的意境美极限是一个无限的过程.描写无限的文化积淀很多，熟知的有“一尺之捶，日取其半，万世不竭”（《庄子》），以及刘徽的割圆术等.徐治利先生曾经引用李白的诗句“孤帆远影碧空尽，惟见长江天际流”来比喻极限的动态过程.抽象的极限在这里具象化了，使得人们感到一种由数学联想带来的愉悦.另一个有关数量变化的意境是“无界”.宋朝叶绍翁的《游园不值》：“春色满园关不住，一枝红杏出墙来”，生动且贴切地描述了无界变化的状态：无论园子有多大，红杏都会出墙，即至少有“一枝”红杏不能被围住.“关不住”是关键词.无界就是无法将数列关住的意思.初唐诗人陈子昂诗云：“前不见古人，后不见来者，念天地之悠悠，独怆然而涕下.”这是古人乃至今天人们对时间与空间的认识.诗人处在原点，两头茫茫皆不见，于是时间的模型是一条两端无限的直线.这就是数轴，也是正负无穷大量的想象.2 连续函数——和谐与奇异之美初等数学里的函数，有许多具象的描述.例如，“指数爆炸”、“直线上升”；对数函数y= logax(a＞1)则增长缓慢，可比喻某种经济现象.y=sinx、y=cosx等三角函数呈周期变化，周而复始，有高峰也有低谷，无限轮回，是“和谐美”的典型.相对于连续，间断则表现为不规则和与众不同，我们称之为“病态”.象狄利克雷函数D（x)，它在任一点都不连续.间断给人的美感尤如奇异抽象面.如果说，艺术依靠想象，那么， D（x) 也是依靠想象诞生出来的事物，在美学上，它们是相通的.3 导数之美——局部线性之美作为函数局部变化率的导数，其意义是描写函数的局部线性形态.局部观念的形成，实在是学习微积分的关节点.人类从数量上考察局部性质——即一点及其邻域内的性质，是一次重大的飞跃.导数之美在于体现了局部的“率”，这是一个无穷的过程.我们不是只看一点的值，而要考察这一点周围的无限小局部的性态.可导函数表示的曲线，就是能够局部近似地看作是一条直线.这条直线（切线）的斜率，就是导数.函数的局部性质在于局部线性.凭着切线的斜率，可以研究函数的整体性质（以y=x2为例，切线能够说明它的单调上升、下降的区间、极值的所在等等）.总之，把函数的局部性质弄得越清楚，整体性质才能揭示得越深刻.微积分教学需要把这层“窗户纸”捅破，欣赏局部思考之美.这就象面对一座美丽的大山，人们可以远望山景，感受其气象万千；也能进山观赏其局部，“云深不知处”，留恋忘返.这样的美学意境，需要慢慢琢磨，细细体会，一旦感受到数学局部的深邃之美，当能受益无穷.4 积分——宏观上的统一之美定积分的定义和区间［a,b］有关，因而涉及函数的整体性质.早在古希望时代，阿基米德就研究［0，1］区间内抛物线围成的弓形的面积，其基本方法是“分割、近似代替、求近似和、取极限”.这样的运算只能是个别问题个别解决，非常复杂，没有统一的解决办法.人们的一个梦想是—求出由一般的函数f(x)生成的曲边图形的面积，这也相当于求变速运动物体的位移.漫长的中世纪黑夜过去以后，经过文艺复兴的时期的思想解放，终于迎来了创立微积分的科学黄金时代.最后的结果，便是出现了伟大的牛顿——莱布尼兹公式∫baf(x)dx=F(b)-F(a).我们把它称为微积分的基本定理.因为它将表现上看起来毫无关系的微分与积分之间建立起了一座桥梁，将积分的问题转化为求导的逆运算，巧妙地将对立的微分和积分统一起来，可谓“一桥飞架南北，天堑变通途”.人类的梦想终于解决了，牛顿力学建立起来了.各种积分（定积分、二重积分、三重积分、n重积分、曲线积分、曲面积分）本来都是通过“分割、近似代替、求近似和、取极限”这四步得到，现在它们最终都可归结为定积分来计算.数学的统一美，需要细细体会.从中学开始，我们有过一些欣赏统一美的机会.例如：●坐标方法，把数和形结合起来，代数学和几何学获得统一；●勾股定理，使直角三角形的三边用一个代数式表示出来；●三角学，使得几何中三角形的边角关系定理化;●二次方程、二次曲线、二次函数、二次不等式，彼此间存在着统一的数学关联.微积分课程中的微分中值定理f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)是一个连接局部性质和整体性质的桥梁.这个定理的左边是整体性的，由区间［a,b］的端点所决定，右边则是局部性的，由［a,b］内某点处的导数（局部性）所决定.基于上述的许多准备知识，终于可以把函数的局部线性的微分和整体累积的积分统一起来了.思考过程是：假定F′（x)=f(x))，那么F≈ΔF1=［F(xi)-F(xi-1)］=F′(ξi)(xi-xi-1)=f(ξi)Δxi→∫baf(x)dx.数学的和谐之美，统一之美当以此为最.每一个学习微积分的人，如果不能欣赏这样的数学美，等于进宝山之后却空手而返.那么我们是怎样从局部过渡到整体的呢？我们需要梳理一下思想脉络.和上述的一连串等式的推论一样，许多整体性质（有界、单调等）可以借助微分中值定理推得.然而，微分中值定理这一桥梁，又是建筑在闭区间上连续函数的性质：闭区间上处处连续的函数必定在整个区间上有界、一致连续、介值性等等.至于如何证明这些性质，可以用区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理中的任何一个.其中，又以有限覆盖定理更能体现由局部通向整体的连接.。