4重积分的应用
重积分的积分应用和物理意义
重积分的积分应用和物理意义重积分是高等数学中一个重要的概念和工具。
它的出现是为了解决多元函数在空间区域内的积分问题。
在实际应用中，重积分有着广泛的应用，尤其是在物理学领域。
本文就对重积分的积分应用和物理意义进行分析。
一、重积分的积分应用1.体积和质量的计算在几何学和物理学中，体积和质量的计算都涉及到对空间中某个区域的积分。
例如，在三维空间中，某个具有规则形状的立体体积可以通过三重积分计算得出。
具体地，设空间中一个体积为V的区域为S，对其进行三重积分可以得到S的体积为：V = ∫∫∫ S dx dy dz同样的，如果在空间中某一点对应有一定质量，那么对该区域进行三重积分可以得到该区域的质量。
这时需要考虑到每个小立方体所包含的质量及其对应的体积，即：m = ∫∫∫ S ρ(x, y, z) dx dy dz其中，ρ(x, y, z)表示该点的密度。
2.力的计算在物理学中，重积分可用于计算某个物体所受的外力。
例如，平面上某个点的引力如果可以看成是均匀分布的，那么该点所受的外力可以通过对其周围区域进行二重积分得到。
具体地，如果某一点所受的引力函数的密度为ρ(x, y)，则该点所受的外力F可以表示为：F = ∫∫ D ρ(x, y) dS其中，D为该点周围的区域面积，dS为微小面积元素。
3.能量的计算在物理学中，重积分还可用于计算某个系统所具有的能量。
例如，某个三维物体所具有的动能可以通过对其质点进行积分计算得到。
具体地，设空间中某个物体的速度场为V(x, y, z)，则其动能可以表示为：E = 1/2 * m * ∫∫∫ S [V(x, y, z)]^2 dx dy dz其中，m为该物体的总质量。
二、重积分的物理意义重积分在物理学中有着广泛的应用，它可以帮助我们理解物理现象的本质和规律。
以下就以几个例子来说明重积分的物理意义。
1.空间电荷密度在电学中，空间电荷密度常常需要进行积分计算。
例如，在计算某一电场强度时，我们需要考虑到空间中每个点的电荷密度对该点电场强度的影响。
10-4重积分的应用
四川大学数学学院 邓瑾
小块, 将 Ω 分成 n 小块 在第 k 块上任取一点 (ξk ,ηk ,ζk ), 的质点, 将第 k 块看作质量集中于点 (ξk ,ηk ,ζk ) 的质点 此质点 系的质心坐标就近似该物体的质心坐标. 例如, 系的质心坐标就近似该物体的质心坐标 例如
x≈
∑ξ ρ(ξ ,η ,ζ
Ω
o x
y
= ρ ∫∫∫ ( r2 sin2 φ cos2 θ + r2 sin2 φ sin2 θ)
Ω
⋅r2 sinϕdrd d ϕ θ
球体的质量 4 3 M = πa ρ 3
= ρ ∫ dθ ∫ sin ϕdϕ ∫ r dr
3 4 0 0 0
z
dIz = (x + y )ρ (x, y, z)dv
2 2
Ω
的转动惯量: 因此物体 对 z 轴 的转动惯量
o x
y
Iz = ∫∫∫ (x + y )ρ (x, y, z)dxdydz
2 2 Ω
18
四川大学数学学院 邓瑾
类似可得: 类似可得 对 x 轴的转动惯量
Ix = ∫∫∫ ( y + z ) ρ (x, y, z)dxdydz
A= ∫∫
= ∫∫
D
1+ zx2 + zy2 dxdy
1+ x2 + y2 dxdy
R 0
D
= ∫ dθ ∫
0
2π
1+ r r dr
2
3 2 2 2 = π [(1+ R ) −1)] 3
9
四川大学数学学院 邓瑾
的球的表面积. 例4. 计算半径为 a 的球的表面积 方法1 利用球坐标方程. 解: 方法 利用球坐标方程 设球面方程为 r = a 球面面积元素为
重积分的计算方法及应用
重积分的计算方法及应用重积分是多元函数积分的一种形式，应用广泛。
本文将介绍重积分的计算方法和应用。
一、重积分的计算方法1. 重积分的定义重积分是对多元函数在一个具有面积的区域上进行的积分，它可以看作是对一个平面上的区域进行积分。
假设在二元函数f(x,y)的定义域D上选择了一个面积为S的区域R，那么多元函数f(x,y)在区域R上的重积分为∬Rf(x,y)dxdy。
2. 重积分的计算方法重积分的计算方法与一元函数积分类似，可以使用曲线积分或者换元法进行求解。
特别的，对于二元函数f(x,y)，可以通过极坐标系进行重积分的计算，在极坐标系中，面积可以用rdrdθ表示，积分公式为f(x,y)dxdy=rdrdθ∫∫Rf(rcosθ,rsinθ)drdθ。
如果要计算三元函数的重积分，则需要使用球坐标系，积分公式为f(x,y,z)dxdydz=r^2sinθdrdθdϕ∫∫∫Rf(x,y,z)r^2sinθdxdydz。
二、重积分的应用重积分在实际生活中有许多应用，比如：1. 计算物体的质量和重心物体的质量可以看作是物体密度分布的加权平均值，因此可以使用重积分的概念来计算物体的质量。
同样的，对于一个平面图形，可以通过将图形分割为若干个小面积来计算它的面积和重心。
2. 计算物体的体积重积分还可以用于计算物体的体积。
假设在三元函数f(x,y,z)的定义域D上选择了一个体积为V的区域S，那么多元函数f(x,y,z)在区域S上的重积分为∭Sf(x,y,z)dxdydz。
3. 计算动量和角动量在物理学中，物体的动量和角动量可以通过积分的方式计算。
物体的动量可以看作是物体质量与运动速度的乘积，因此可以通过对速度的积分来计算动量。
同样的，物体的角动量可以看作是物体质量、运动速度和距离的乘积，因此可以通过对速度和距离的积分来计算角动量。
4. 计算电荷量和电场强度在电磁学中，电荷量可以通过积分来计算。
同样的，电场强度也可以通过积分来计算。
重积分知识点的总结
重积分知识点的总结一、重积分的基本概念1. 多元函数在多元函数中，自变量不再是一个，而是两个或两个以上。
例如，z=f(x,y)就是一个的二元函数。
无论是一元函数，还是二元函数，其基本概念都是“输入-处理-输出”。
其中输入就是参数，也就是变量，处理就是函数规定的运算。
这一基本概念在重积分中也是适用的。
2. 多元函数的极限多元函数的极限，与一元函数的极限类似，只是在多个自变量的情况下，我们需要考察所有自变量分别趋于一定值时的极限情况。
其中一定需要掌握的是多元函数极限的存在性问题。
3. 多元函数的连续性对于多元函数的连续性，我们同样需要关注多个自变量的变化趋势。
多元函数的连续性与一元函数的连续性类似，但要求更加严格。
在重积分中，对于多元函数的连续性是一个比较重要的概念。
4. 重积分的意义重积分的最基本的意义，就是对于多变量函数在多维空间上进行积分。
而在物理学上，重积分的意义就更加明显了。
在空间当中，一定有一个虚拟的某一点，作为观察点。
而对整个空间进行积分，就是将所有的观察点都进行积分，求得整个空间的某一个物理量。
二、重积分的性质1. 线性性质重积分的线性性质是最基本的性质之一。
它影响到重积分的很多性质，例如加减性、齐次性等都是与线性性质相关的。
2. 保号性和保序性对于多元函数来说，保号性和保序性是非常重要的性质。
在重积分中，保号性和保序性也是一个非常重要的概念，它们影响到多元函数的积分值的大小。
3. 对称性对称性在重积分中同样起到了非常重要的作用。
对称性不仅在理论证明中起到了重要作用，而且在实际应用中，对称性也常常起到了非常重要的作用。
4. 交换积分次序对于多元函数的重积分来说，交换积分次序是一个很基本的性质。
但是在实际应用中，交换积分次序同样是需要一些技巧的，有时候并不是直接可行的，需要一些特殊的条件。
5. 分部积分法分部积分法在一元函数的积分中是非常重要的一种积分方法。
而对于多元函数的重积分来说，分部积分法同样是非常重要的。
重积分的应用
I z ( x y ) ( x , y , z )dv
2 2
x
x
y
2 2 2 2 [( x , y , z ) 到 l 的距离 ] )d (x I0 ( x , y ,z v, y , z )dv l ( x y z )
16
例 设一均匀的直角三角形薄板,两直角边长分别为 a,b,求这三角形对其中任一直角边的转动惯量.
2
b
y a (1 b )
D
0
0
1 3 x dx a b . 12
17
例 求由y 2 ax及直线x a(a 0)所围图形对直线
y a的转动惯量( 1).
解
y
I ( y ( a )) d
2 D
( x, y)
y 2 ax (a , a )
xa
o x
y
x2 y2 a2 , z a
在xy 平面上的投影域为 Dxy : x 2 y 2 a 2 ,
1 2 由 z ( x y 2 )得 a
2x 2y zx , zy , a a
6
1 2 由 z ( x y 2 )得 a
Dxy : x y a ,
解 由对称性知 A 4 A1 , (A1为第一卦限图形的面积,如图) 2 2 D1 xy : x y ax ( x , y 0) 曲面方程 z a 2 x 2 y 2 于是,
2 dA 1 z x z2 y dxdy a dxdy 2 2 2 a x y
2 A 1 x 2 x y z dydz
Dxy
Dzx ３．设曲面的方程为：y h( z, x), 投影域为
高等数学-重积分的 计算 及应用
D
例如计算： I x2d
D:
D
I y2d
D
I 1
(x2 y2 )d
a4
2D
4
14
x2 y2 a2
例6
d
D (a2 x2 y2 )3/ 2
其中 D : 0 x a ; 0 y a
y yx
a
解：如图D是关于直线 y x 对称。
D2
D1
r a
cos
原式 2
D1
o 4
D1 D2 D
x
连续, 所以
6
D (x y) d D2 (x y) d D1 (x y) d
4
dy
6
12 y
y2 (x y)d x
2
dy
4
4 y
y2 (x y)d x
2
2
54311 15
9
例2. 计算 x2 y2 4 d , 其中 D : x2 y2 9
F(0) 0
利用洛必达法则与导数定义,得
lim
t0
F
(t ) t4
lim
t 0
4 f (t) 4 t3
t
2
lim
t 0
f (t) t
f
(0)
f (0)
33
f (x, y, z) d v
x
D
z2 (x, y) f (x, y, z)dz dxdy
z1( x, y)
记作 dxdy z2 (x, y) f (x, y, z)dz
D
z1( x, y)
20
y D
dxd y
微元线密度≈
f (x, y, z) dxdy
方法2. 截面法 (“先二后一”)
重积分知识点总结例题
重积分知识点总结例题1. 重积分的定义在介绍重积分的定义之前，首先需要了解多元函数的概念。
多元函数是指自变量有多个的函数，通常表示为$f(x_1, x_2, ..., x_n)$。
在平面上，一元函数是自变量只有一个的函数，并且可以表示为$y = f(x)$。
而在空间中，两元函数是自变量有两个的函数，并且可以表示为$z = f(x, y)$，三元函数是自变量有三个的函数，并且可以表示为$w = f(x, y, z)$。
在多元函数的情况下，我们需要对其在一个区域上进行积分。
这就引出了重积分的概念。
重积分可以看作是对一个区域上的函数值在该区域上的加权平均。
重积分的定义如下：设$f(x, y)$是定义在闭区域$D$上的有界函数，$D$的面积记为$A(D)$，取$D$上的任意一组分割$P = \{R_i\}$和抽样点$Q = \{(\xi_i, \eta_i)\}$，$M_{ij}$是$f(x, y)$在$R_{ij}$上任意一点的函数值。
作Riemann和$$S(P, Q, f) = \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} M_{ij} \Delta \sigma_{ij}$$如果极限$L$存在，不依赖于分割$P$和点$Q$的取法，即$L = \lim_{\lambda(P) \to0,\delta(Q) \to 0} S(P, Q, f)$存在，则称$f(x, y)$在闭区域$D$上可积，这个极限$L$称为$f(x, y)$在$D$上的重积分，记作$$\iint_D f(x, y) d\sigma = L$$其中，$d\sigma$表示对$D$内的面积元素进行积分。
如果$f(x, y)$在$D$上可积，则称$f(x, y)$在$D$上可积，否则称为不可积。
2. 重积分的性质重积分具有一些重要的性质，这些性质有助于我们进行重积分的计算和应用。
下面我们将介绍一些重要的性质。
（1）可加性设$f(x, y)$在闭区域$D$上可积，$D_1$和$D_2$是$D$的两个互不相交的子区域，其并集为$D = D_1 \cup D_2$，则有$$\iint_D f(x, y) d\sigma = \iint_{D_1} f(x, y) d\sigma + \iint_{D_2} f(x, y) d\sigma$$这就是重积分的可加性。
4 重积分的应用
| cos( n, z ) | = | cos γ i | =
1 1 + f x2 (ξ i ,η i ) + f y2 (ξ i ,η i )
.
因为 Ai 在 xy 平面上的投影为 σ i , 所以
σ i Ai = = 1 + f x2 (ξ i ,η i ) + f y2 (ξ i ,ηi ) σ i . cos γ i
20
由
∫∫∫ z dxdydz =
V
π
4
abc 2 ,
故得
z=
π
4
abc
2
3c 2π abc = , 3 8
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系 2
平面 π i , 并在 π i 上取出一小块 Ai , 使得 Ai 与 S i 在
x y 平面上的投影都是 σ i
z S : z = f ( x, y)
(见图). 见图).
在点 M i 附
近用切平面 Ai 代替小 代替小 曲面片 Si , 从而当 T 充分小时, 充分小时, 有
i =1
Hale Waihona Puke n的面积. 作为 S 的面积. 现在按照上述曲面面积的概念, 现在按照上述曲面面积的概念, 来建立曲面面积的 计算公式. 计算公式. 为此首先计算 Ai 的面积 由于切平面 π i 的法向量就 的面积. 是曲面 是曲面 S 在点 M i (ξ i ,η i , i ) 处的法向量 n, 记它与 z 轴的夹角为 γ i , 则
y = f ( x ), x ∈ [a , b] ( f ( x ) ≥ 0).
求证此曲线绕 x 轴旋转一周得到的旋转面的面积为
重积分的应用
s
dA M dS
点 ( x , y ) d ,
o
( x, y) d
y
以 d 边界为准线 , 母线平行于z轴的小柱面, 截曲面 S为 dS;截切平面 为 dA, 则有
dA dS
重积分的应用
n ( f x , f y , 1)
d 为 dA 在 xOy 面上的投影
d dA cos
x
z
n
s
d M dSA
o
1 cos 2 2 1 fx f y
dA 1 f f d
2 x 2 y
( x, y) d
y
曲面S的面积元素 曲面S的面积公式
A 1 f x2 f y2 d
D
重积分的应用
A1: z a 2 x 2 则 x zx 2 , zy 0 2 a x
2 x 2 y
O
y
x
y
a 1 z z dxdy dxdy 2 2 a x
x2 y2 a2
O
a
x
重积分的应用
a dxdy dA1 1 z z dxdy 2 2 a x
2 x 2 y
2 由 z 2a x 2 y 2知 1 z x z 2 2 y
A
1 2 a 4 x 2 4 y 2 dxdy 2dxdy a D D
xy xy
d
0
2
a
0
6 Dxy : x 2 y 2 a 2
a 2
1 2 a 4 2 d 2a 2 a
(6 2 5 5 1)
重积分的计算方法及应用
重积分的计算方法及应用重积分是数学中的一个重要分支，它在科学、工程和社会学中都有广泛应用。
重积分可以用于计算空间中的体积、质心、惯性矩以及流量等问题，其计算方法和应用十分繁多。
本文将深入探讨重积分的计算方法及应用。
一、重积分的概念重积分是对多元函数在一个特定区域内的积分，通常表示为：$I=\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dxdydz$其中，$\Omega$为三维空间中的一个区域，$f(x,y,z)$为在该区域内的三元实函数。
计算重积分时，可以将区域$\Omega$分成许多小块，然后用Riemann和或迭代积分的方法将小块内的函数积分起来。
此外，还可以利用极坐标、球坐标等坐标系来简化计算。
二、重积分的计算方法1. 利用Riemann和计算重积分Riemann和法是比较基本的计算重积分的方法，它将积分区域$\Omega$分成若干小块，然后在每个小块上用矩形的面积逼近函数值。
具体来说，可以按照以下步骤计算重积分：（1）将积分区域$\Omega$分成$n$个小块：$\Omega_1,\Omega_2,\cdots,\Omega_n$。
（2）在每个小块$\Omega_i$内选择一个点$(x_i,y_i,z_i)$，作为该小块的代表点。
（3）计算每个小块$\Omega_i$上的函数值$f(x_i,y_i,z_i)$。
（4）计算每个小块$\Omega_i$的体积：$V_i=\Delta x\Deltay\Delta z$。
（5）将每个小块的函数值$f(x_i,y_i,z_i)$与体积$V_i$相乘，得到小块的贡献值：$f(x_i,y_i,z_i)V_i$。
（6）将所有小块的贡献值相加得到积分：$I=\sum\limits_{i=1}^nf(x_i,y_i,z_i)V_i$。
2. 利用迭代积分计算重积分迭代积分是计算重积分的一种方法，它将三维积分转化为一系列二维积分或一维积分。
具体来说，可以按照以下步骤计算重积分：（1）将积分区域$\Omega$用某种方法描述出来，例如：$0\leqslant z\leqslant \sqrt{x^2+y^2},\quad 0\leqslant x\leqslant 1,\quad 0\leqslant y\leqslant 1$（2）选择一个自变量，例如$x$，将积分区域$\Omega$分成若干个垂直于$x$轴的小块，每个小块的底面为一个矩形，顶面为一个曲面。
重积分的应用解析
x2 y2 R2及x2 z2 R2 所围立体的表面积.
解 因第一卦限部分的表面积由两个相同部
分构成，故只需求出一个部分的表面积，再乘16
即得所求的表面积.
z
z R2 x2
z x , z 0
x
R2 x2 y
o
y
积分区域 D :
x2 y2 R2, x 0, y 0
x
A 16
xi
2
,
i 1
i 1
Io
n
mi
(
xi2
yi2 ).
i 1
设有一薄片，占有xoy面上的闭区域 D,在点 ( x, y) 处的面密度为 ( x, y) ，假定 ( x, y) 在 D
* 上连续，求薄片对于 x 轴和 y 轴的转动惯量。
薄片对于x 轴的转动惯量
I x y2( x, y)d ,
D
薄片对于2 d 0103
14 15
1
36r 2 1010
rdr
104
54
5044231,
面积比
S高 S低
09333.
练习1 求半径为 a 的球的表面积。 练习2 设有一颗地球同步轨道通讯卫星，距地 面的高度为 h 36000km, 运行的角速度与地球自转 的角速度相同.试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球 表面积的比值(地球半径 R 6400 km )。
02
d
02
d
02a
cos
r
6
sin3
dr
256a7
7
02
(cos7
cos9
)d cos
32a7 .
35
练习6 求密度为 的均匀球体对于过球心的一
8.4 重积分的应用
第四节 重积分的应用
(Application of Multiple Integrals)
—— 曲面的面积
2019年6月29日星期六
1
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一、曲面的面积 (Area of Surface)
设光滑曲面
z
n
则面积 A 可看成曲面上各点 M (x, y, z) S M
处小切平面的面积 d A 无限积累而成.
若光滑曲面方程为 y h (z, x) , (z, x) Dz x ,则有
A
1 (y )2 (y )2 d zd x
Dz x
z
x
若光滑曲面方程为隐式
且
则
z Fx , za Fy , x Fz y Fz
(x, y) Dx y
A
h(t )
2 h(t)
2
0
h2 (t) 16r 2 rd r 13 h2 (t)
12
2019年6月29日星期六
7
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V h3(t) , S 13 h2 (t)
4
12
由题意知 dV 0.9S dt
令 h(t) 0, 得 t 100 (小时)
a ,
a2 x2 y2
a
A 2
D
1
z
2 x
zy2 dxdy
2
D
dxdy a2 x2 y2
2
a
2a d
1
rdr
0
0 a2 r2
4a2.
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x0 )
d
v
Fy
G
(x,
y,
z)( y r3
y0 )
d
v
Fz
G
(x,
y, z)(z r3
z0) d
v
其中: r (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2
若求 xOy 面上的平面薄片D, 对点P0处的单位质量质点
的引力分量, 则上式改为D上的二重积分, 密度函数改为
解: 取球心为原点, z 轴为 l 轴, 设球所占
z l
域为
则
O
(x2 y2 ) dxdydz (用球坐标) x
y
( r 2 sin2 cos2 r 2 sin2 sin2 )
r 2 sin drd d
2π
d
π sin3 d
d Fy
G
(x,
y, z)( y r3
y0 ) dv
d
Fz
G
(x,
y, z)(z r3
z0 ) dv
z
dv
dF r
O P0
x
y
其中 r (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 ,G 为引力常数
因此引力分量为
Fx
G
(x,
y, z)(x r3
a
2
)
3
2
x
Fz
G a
D
d
(
x
2
y
2
a2
)
3 2
2π R
Ga d
0
rdr
0
(r2
a2
3
)2
例10. 求半径为R的均匀球
对位于
点
的单位质量质点的引力.
解: 利用对称性知引力分量Fx Fy 0
Fz
G
[x2
y2
za (z
a)2
3
Dz x
z
x
若光滑曲面方程为隐式
且
则
z Fx , z Fy , x Fz y Fz
(x, y) Dx y
A
Fx2 Fy2 Fz 2 dx d y
Dx y
Fz
例3. 计算双曲抛物面
被柱面
出的面积 A .
解: 曲面在 xOy 面上投影为D : x2 y2 R2, 则
x xd x d y d z , y yd x d y d z ,
V
V
z zd x d y d z V
V d x d y d z为 的体积
若物体为占有xOy 面上区域 D 的平面薄片,其面密度 则它的质心坐标为
x D x (x, y)dxdy M y D (x, y)dxdy M
1
π
7
9π 0
9π 4 2 2 3
例6. 一个炼钢炉为旋转体形, 剖面壁线
z
的方程为
若炉
内储有高为 h 的均质钢液, 不计炉体的
自重, 求它的质心.
解: 利用对称性可知质心在 z 轴上，故 其坐标为
x y 0, z z dxdydz V
Ox
采用柱坐标, 则炉壁方程为 9r 2 z(3 z)2, 因此
的质心.
解: 利用对称性可知 x 0
而
y
1 A
D
yd xd y
y 4
C2 D
1 3π
D
r
2
sin
drd
Ox
1
π
sin d
4sin r 2 d r 56
π sin4 d
3π 0
2 sin
9π 0
56 2
π 2
sin 4
d
56 2 3
]2
d
v
R
dxd y
G
(z
R
a)dz
Dz
[x2
y2
(z
a)2
3
]2
z a M0 R
Dz
xO y
R
2π
G (z a)dz d
R
0
R2 z2
rdr
0
[r
2
(z
a)2
3
]2
写出所围区域 D ; 第三步: 求体积V .
(示意图)
例1. 求曲面
任一点的切平面与曲面
所围立体的体积 V .
解: 曲面 S1在点
的切平面方程为
z 2x0 x 2 y0 y 1 x02 y02
它与曲面
的交线在 xOy 面上的投影为
(x x0 )2 ( y y0 )2 1 (记所围域为D )
dxdydz
2π
d
sin d
2a cos r 2 d r
0
0
0
16 π a3 cos3 sin d 4 π a3 (1 cos4 )
30
3
二、曲面的面积
设光滑曲面
zn
则面积 A 可看成曲面上各点 M (x, y, z) S M
处小切平面的面积 d A 无限积累而成.
V
dxdydz
h
0 dzDz
d
xd
y
h
0
9
z(3
z)2dz
V h3(9 2h 1 h2 )
92
4
zd xdydz
h3(3 3h 1 h2 )
9
25
z
h
60 90
30h 40h
4h2 5h2
z Ox
四、物体的转动惯量
a sind
d
a
d A a2 sin d d
ad
A a2
2π d
π
sin d
0
0
O
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
y
4πa2
方法2 利用直角坐标方程. (略)
三、物体的质心
设空间有n个质点, 分别位于 (xk , yk , zk ) , 其质量分别
为 mk ( k 1, 2, , n ) ,由力学知, 该质点系的质心坐标
所截
A D 1 zx2 z y2 dxdy
z
D 1 x2 y2 dxdy
2π
d
R
1 r 2 r dr
0
0
O
y
2
π
[
(1
R2
3
)2
1)
]
x
3
例4. 计算半径为 a 的球的表面积.
解: 方法1 利用球坐标方程.
设球面方程为 r a
球面面积元素为
z
a sin
(x, y) 即可.
例如,
Fz
GD
(
x,
y)(0 r3
z0
)
d
例9. 设面密度为μ ,半径为R的圆形薄片
求它对位于点 处的单位质量质点的引力.
解: 由对称性知引力F (0 , 0 , Fz )
za。M 0
d
O
Ry
d Fz
G
d
d2
a d
G
a
(
x
2
d
y2
r 2 sin drd d
2π
d
π sin3 d
ar4 dr
0
0
0
球体的质量
2 2 1 3
M 4 π a3
3
五、物体的引力 设物体占有空间区域 , 其密度函数
物体对位于点P0(x0, y0, z0)处的单位质量质点的引力为
F (Fx , Fy , Fz ), 引力元素在三坐标轴上分量为
即
A D
1 (z)2 (z)2 d xd y x y
若光滑曲面方程为 x g( y, z) , ( y, z) Dy z ,则有
Dy z
若光滑曲面方程为 y h (z, x) , (z, x) Dz x ,则有
A
1 (y )2 (y )2 d zd x
1r3 dr
0
0
π 2
例2. 求半径为a 的球面与半顶角为 的
z
内接锥面所围成的立体的体积.
2a
解: 在球坐标系下空间立体所占区域为
0 r 2a cos
M
: 0 0 2π
则立体体积为
xO y
d v r 2 sind d dr
V
如果物体是平面薄片, 面密度为 (x, y), (x, y) D
则转动惯量的表达式是二重积分.
y2
y
x2
D
IO D (x2 y2 ) (x, y) dxdy O
x
例7.求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径
的转动惯量.
解:
建立坐标系如图,
D
:
x2
y
2
y0
a2
第四节 重积分的应用
一、立体体积 二、曲面的面积 三、物体的质心 四、物体的转动惯量 五、物体的引力