2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学试题(全国卷1word解析版)

2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学试题(全国卷1）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明1．设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则AB =（A ）{1,3} （B ）{3,5} （C ）{5,7} （D ）{1,7} 【答案】B 【解析】试题分析：集合A 与集合B 公共元素有3，5，故}5,3{=B A ，选B. 考点：集合运算2．设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a= （A ）－3 （B ）－2 （C ）2 （D ）3 【答案】A 【解析】试题分析：设i a a i a i )21(2))(21(++-=++，由已知，得a a 212+=-，解得3-=a ，选A.考点：复数的概念3．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 （A ）13 （B ）12 （C ）13 （D ）56【答案】A 【解析】试题分析：将4中颜色的花种任选两种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛，有6种种法，其中红色和紫色不在一个花坛的种数有2种，故概率为31，选A. 考点：古典概型4．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =2c =，2cos 3A =，则b=（A （B （C ）2 （D ）3 【答案】D 【解析】试题分析：由余弦定理得3222452⨯⨯⨯-+=b b ，解得3=b （31-=b 舍去），选D. 考点：余弦定理5．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为 （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34【答案】B 【解析】试题分析：如图，由题意得在椭圆中，11OF c,OB b,OD 2b b 42===⨯= 在Rt OFB ∆中，|OF ||OB||BF ||OD |⨯=⨯，且222a b c =+，代入解得22a 4c =，所以椭圆得离心率得：1e 2=，故选B.考点：椭圆的几何性质6．若将函数y=2sin （2x+6π）的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为 （A ）y=2sin （2x+4π） （B ）y=2sin （2x+3π）（C ）y=2sin （2x –4π） （D ）y=2sin （2x –3π）【答案】D【解析】试题分析：函数y 2sin(2x )6π=+的周期为π，将函数y 2sin(2x )6π=+的图像向右平移14个周期即4π个单位，所得函数为y 2sin[2(x ))]2sin(2x )463πππ=-+=-，故选D.考点：三角函数图像的平移7．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π 【答案】A 【解析】试题分析：由三视图知：该几何体是78个球，设球的半径为R ，则37428V R 833ππ=⨯=，解得R 2=，所以它的表面积是22734221784πππ⨯⨯+⨯⨯=，故选A ． 考点：三视图及球的表面积与体积 8．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则（A ）log a c ＜log b c （B ）log c a ＜log c b （C ）a c ＜b c （D ）c a ＞c b【答案】B 【解析】试题分析：对于选项A ：a b 1gc 1gclog c ,log c lg a lg b==，0c 1<<1gc 0∴<，而a b 0>>，所以lg a lg b >，但不能确定lga lg b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ：c b 1ga 1gb log a ,log c lg c lg c ==,而lga lg b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向所以选项B 正确;对于选项C ：利用cy x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ：利用x y c =在R 上为减函数易得为错误.所以本题选B.考点：指数函数与对数函数的性质9．函数y=2x 2–e |x|在[–2,2]的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】D 【解析】试题分析：函数f （x ）=2x 2–e |x|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于y 轴对称，因为22(2)8,081f e e =-<-<，所以排除,A B 选项；当[]0,2x ∈时，4x y x e '=-有一零点，设为0x ，当0(0,)x x ∈时，()f x 为减函数，当0(,2)x x ∈时，()f x 为增函数．故选D10．执行右面的程序框图，如果输入的0,1,x y ==n=1,则输出,x y的值满足n=n +1输出x,y x 2+y 2≥36？x =x+n-12，y=ny 输入x,y,n 开始（A ）2y x = （B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x = 【答案】C 【解析】试题分析：第一次循环：0,1,2x y n ===，第二次循环：1,2,32x y n ===， 第三次循环：3,6,32x y n ===，此时满足条件2236x y +≥，循环结束，3,62x y ==，满足4y x =．故选C考点：程序框图与算法案例11．平面α过正文体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A 11//CB D α平面,ABCD m α=平面，11ABB A n α=平面，则m ，n 所成角的正弦值为 （A ）3 （B ）22 （C ）3 （D ）13【答案】A【解析】试题分析：如图，设平面11CB D 平面ABCD ='m ，平面11CB D 平面11ABB A ='n ，因为//α平面11CB D ，所以//',//'m m n n ，则,m n 所成的角等于','m n 所成的角.延长AD ，过1D 作11//D E B C ，连接11,CE B D ，则CE 为'm ，同理11B F 为'n ，而111//,//BD CE B F A B ，则','m n 所成的角即为1,A B BD 所成的角，即为60︒，故,m n所成角的正弦值为3，选A. 考点：平面的截面问题，面面平行的性质定理，异面直线所成的角.12．若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是 （A ）[]1,1- （B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （D ）11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】试题分析：()21cos2cos 03f x x a x '=-+对x ∈R 恒成立，故()2212cos 1cos 03x a x --+，即245cos cos 033a x x -+恒成立， 即245033t at -++对[]1,1t ∈-恒成立，构造()24533f t t at =-++，开口向下的二次函数()f t 的最小值的可能值为端点值，故只需保证()()11031103f t f t ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=+⎪⎩，解得1133a -．故选C ．考点：三角变换及导数的应用第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人 得分二、填空题（题型注释）13．设向量a=（x ，x+1），b=（1，2），且a ⊥b ，则x= . 【答案】23- 【解析】试题分析：由题意， 20,2(1)0,.3a b x x x ⋅=++=∴=- 考点：向量的数量积及坐标运算 14．已知θ是第四象限角，且sin （θ+π4）=35，则tan （θ–π4）= . 【答案】34-【解析】 试题分析：由题意，43cos(),tan()tan()tan().4544244πππππθθθθ+=∴-=+-=-+=-得2a =.正方体的对角线等于其外接球的直径2R ，所以222323,=4=12R a S R ππ==球面，故选A. 考点：三角变换15．设直线y=x+2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay-2=0相交于A ，B 两点，若，则圆C 的面积为 . 【答案】3π 【解析】试题分析：圆22:220C x y ay +--=，即222:()2C x y a a +-=+，圆心为(0,)C a ，由||3,AB C =到直线2y x a =+的距离为2，所以由22223((222a +=+得21,a =所以圆的面积为2(2)3a ππ+=. 考点：直线与圆16．某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料。

生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900【答案】216000【解析】试题分析：设生产产品A、产品B分别为x、y件，利润之和为z元，那么1.50.5150,0.390,53600,0,0.x yx yx yxy+⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩①目标函数2100900z x y=+.二元一次不等式组①等价于3300,103900,53600,0,0.x yx yx yxy+⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩②作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图），即可行域.将2100900z x y=+变形，得73900zy x=-+，平行直线73y x=-，当直线73900zy x=-+经过点M时，z取得最大值.解方程组10390053600x yx y+=⎧⎨+=⎩，得M的坐标(60,100).所以当60x=，100y=时，max210060900100216000z=⨯+⨯=.故生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元.考点：线性规划的应用评卷人得分三、解答题（题型注释）12111==3n n n n b b a b b nb +++=1，，，.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求{}n b 的前n 项和. 【答案】（Ⅰ）31n a n =-（Ⅱ）131.223n --⨯ 【解析】 试题分析：（Ⅰ）用等差数列通项公式求；（Ⅱ）求出通项，再利用等比数列求和公式来求。

试题解析：（Ⅰ）由已知，1221121,1,,3a b b b b b +===得1221121,1,,3a b b b b b +===得12a =，所以数列{}n a 是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为31n a n =-.（Ⅱ）由（Ⅰ）和11n n n n a b b nb +++= ，得13n n b b +=，因此{}n b 是首项为1，公比为13的等比数列.记{}n b 的前n 项和为n S ，则111()313.122313nn n S --==-⨯- 考点：等差数列与等比数列18．如图，在已知正三棱锥P-ABC 的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点E ，连接PE 并延长交AB 于点G.PABD CGE（Ⅰ）证明G 是AB 的中点；（Ⅱ）在图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F （说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）作图见解析，体积为43【解析】试题分析：证明.AB PG ⊥由PA PB =可得G 是AB 的中点.（Ⅱ）在平面PAB 内，过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ，F 即为E 在平面PAC 内的正投影.根据 正三棱中，可得 2.==EF PF 四面体PDEF 的体积114222.323=⨯⨯⨯⨯=V 试题解析：（Ⅰ）因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以.AB PD ⊥因为D 在平面PAB 内的正投影为E ，所以.AB DE ⊥ 所以AB ⊥平面PED ，故.AB PG ⊥又由已知可得，PA PB =，从而G 是AB 的中点. （Ⅱ）在平面PAB 内，过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ，F 即为E 在平面PAC 内的正投影.理由如下：由已知可得PB PA ⊥，PB PC ⊥，又//EF PB ,所以EF PC ⊥,因此EF ⊥平面PAC ，即点F 为E 在平面PAC 内的正投影.连接CG ，因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以D 是正三角形ABC 的中心. 由（Ⅰ）知，G 是AB 的中点，所以D 在CG 上，故2.3=CD CG 由题设可得⊥PC 平面PAB ，⊥DE 平面PAB ，所以//DE PC ，因此21,.33==PE PG DE PC 由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且6=PA ，可得2, 2.==DE PE 在等腰直角三角形EFP 中，可得 2.==EF PF 所以四面体PDEF 的体积114222.323=⨯⨯⨯⨯=V 考点：线面位置关系及几何体体积的结束19．某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：频数记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n 表示购机的同时购买的易损零件数. （Ⅰ）若n =19，求y 与x 的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5，求n 的最小值； （Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？ 【答案】（Ⅰ）)(,19,5700500,19,3800N x x x x y ∈⎩⎨⎧>-≤=（Ⅱ）19（Ⅲ）19【解析】 试题分析：（Ⅰ）分x ≤19及x.19，分别求解析式；（Ⅱ）通过频率大小进行比较；（Ⅲ）分别求出您9，n=20的所需费用的平均数来确定。