复变函数(第四版)课后习题答案

习题一解答

1．求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角。 （3）(3+ 4i )(2 5i )

；

（4）i 8 4i 21 +

i

1

3+ 2i

1 3i

1 i

（1）

； （2）

；

i 2i

3+ 2i = (3+ 2i )(3 2i ) = 1 (3 2i ) 1 3 2i 13

解 （1）

所以

♣ 1 ♥3+ 2i ↑ 13 ↔ = ←

3， Im ♣♦ ←= 2 1 ↔ Re ♦ , 13

♥3+ 2i ↑ 2 2

1 3+ 2i = 1 1 3+ 2i

=  3  + 3 

13 (3+ 2i )， ， 13 13  13  = 13

Arg  1 3+ 2i   =

arg  1 3+ 2i 

 + 2k π 2

= arctan + 2k ,k = 0,±1,±2,"

3

1 3i

i 3i (1+ i ) = i 1 ( 3+ 3i )= 3 5 （2） 1 i = i ( i ) (1 i )(1+ i) i,

i

2

2 2

所以

♣1 3i ↔ 3

, Re ♦ ♥i 1 i ↑←= 2

♣1 3i ↔ ←= 5 Im ♦

♥i 1 i ↑ 2

2

2

1 3i = + i 5， 3 1 3i 1 i =   +

 = 34， 3 5

i 1 i  1 3i 2 2 i 2 2 2 1 3i  + 2k π Arg = arg

i 1

i  i 1 i  = arctan 5 + 2k π,

k = 0,±1,±2,".

3

（3） (3+ 4i )(2 5i ) = (3+ 4i )(2 5i )( 2i ) = (26 7i )( 2i )

2i (2i )( 2i ) 4

= 7 26i = 7 13i 2 2

所以

♣(3+ 4i )(2 5i )↔ Re ♦

←= 7 ， ♥ 2i ↑ 2 ♣(3+ 4i )(2 5i )↔

Im ♦

←↑= 13， ♥

2i

ϒ(3+ 4i )(2 5i )/∞ =

7 + l3i 2 '

2i ≤ ƒ

(3+ 4i )(2 5i ) = 5 29

，

2i

2

(3+ 4i )(2 5i ) 2i (3+ 4i )(2 5i )/ 26 π + 2k π ϒ / ϒ Arg = arg + 2k π = 2arctan 7 k = 0,±1,±2," . ' ≤ ∞ ƒ ' ≤

∞ 2i ƒ

= arctan 267 +(2k

1) ,

（4）i

)4 4(i )10

i + i = ( 1)4 4( 1)10i + i 8 2 2

4i 21 + i = (i

=1 4i + i =1 3i

所以

Re {i 8 4i 21 + i }=1,Im {i 8 4i i }

21 + = 3

i

1 3i ，| i 8 4i 21 + i |= 10 8 4i 21 + i = +

Arg (i 8 4i 21 + i )= arg (i 8 4i 21 + i )+ 2k π = arg (1 3i )+ 2k π

= arctan3+ 2k π k = 0,±1,±2,".

x +1+ i (y 3) =1+ i 成立，试求实数 x, y 为何值。

2．如果等式 解：由于

5+ 3i

x +1+ i (y 3) = [x +1+ i (y 3)](5 3i )

5+ 3i

(5+ 3i )(5 3i ) = 5(x +1)+ 3(y 3)+ i [ 3(x +1)+ 5(y 3)]

34 = 1 [5x + 3y 4]+ i ( 3x + 5y 18)=1+ i 34

比较等式两端的实、虚部，得

♣ 5x + 3y 4 = 34 ♣ 5x + 3y = 38 3x + 5y 18 = 34或 ♦ ♥ 3x + 5y = 52 ♦

♥

解得 x =1, y =11。

i

3．证明虚单位i 有这样的性质：-i=i -1=。 4．证明

1) | z | = zz

2

# 6)Re(z) = 1 (z + z),Im(z) = 1 (z z)

2 2i

证明：可设 z = x + iy ，然后代入逐项验证。

=| z | 5．对任何 z ，z 2 2是否成立？如果是，就给出证明。如果不是，对那些

z 值才成立？

解：设 z = x + iy ，则要使 z

2

=| z |2成立有 y = x + y , xy = 0。由此可得 z 为实数。 2 2

x 2 y 2 + 2ixy = x 2 + y 2 ，即 x

2 2

6．当| z |δ1时，求| z n + a |的最大值，其中 n 为正整数，a 为复数。 iarga

+|a|δ1+|a|，且当 z = e 时，有

n

解：由于 z n

+ a δ|z| n

n

iarga

+|a|e iarga = (1+ a )e iarga = 1+|a| | z n + a| = e n 故1+ | a |为所求。

8．将下列复数化成三角表示式和指数表示式。 （1）i ；

（2）-1；

（3）1+ 3 i ；

(cos5∏ + isin5∏)2

2i

（4）1 cos ∏ + isin ∏(0 δ ∏ δ π)； （5） ； （6）(cos3∏ isin3∏)

1+ i

3 i π

解：（1）i = cos π + isin π = e ；

2 2

2

（2） 1= cos π + isin π = e i π

π

i 1 3 = 2 cos π + isin = 2e 3 π  3  （3）1+ i 3 = 2  2 + i ； 2 3 2

∏ + i2sin ∏ cos ∏ = 2sin ∏  2  sin ∏ + icos ∏ 

2  （4）1 cos ∏ + isin ∏ = 2sin

2 2 + isin π 1 2

2 = 2sin ∏  cos 2 

π ∏ ∏  = 2sin ∏2 e ,(0 δ∏ δ π)； i π ∏

2

2 2 2i 1+ i = 1 2i ( 1 i )=1 i = 2 i 1 （5） 2 2 2 

2 cos π isin π 

4  =

4

i π

= 2e

4

(cos5∏ + isin5∏) (cos3∏ isin3∏)

2

3 =(e i5∏) ( ∏)

2 3 = e i10∏/e i9∏ = e i19∏

i3

（6）