不等式选讲

不等式选讲(大题)热点一 含绝对值不等式的解法 1.用零点分段法解绝对值不等式的步骤 (1)求零点；(2)划区间、去绝对值符号； (3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值.2.用图象法、数形结合法可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法.例1 (2019·郴州质检)已知函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －1|. (1)求不等式f (x )≤3的解集；(2)若函数y ＝f (x )的图象的最低点为(m ，n )，正数a ，b 满足ma ＋nb ＝2，求2a ＋1b的取值范围.解 (1)当x ≤－1时，f (x )＝－3x ＋1≤3， 得x ≥－23，所以x ∈∅，当－1<x <1时，f (x )＝－x ＋3≤3，得x ≥0， 所以0≤x <1，当x ≥1时，f (x )＝3x －1≤3，得x ≤43，所以1≤x ≤43，综上，不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43. (2)由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋1，x ≤－1，－x ＋3，－1<x <1，3x －1，x ≥1的图象的最低点为(1,2)，即m ＝1，n ＝2，所以a ＋2b ＝2， 因为a >0，b >0，所以2a ＋1b ＝12(a ＋2b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋4b a ＋a b≥12(4＋24)＝4，当且仅当a ＝2b ＝1时等号成立， 所以2a ＋1b的取值范围是[4，＋∞).跟踪演练1 设函数f (x )＝|2x －a |＋5x ，其中a >0. (1)当a ＝3时，求不等式f (x )≥5x ＋1的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值. 解 (1)当a ＝3时，不等式f (x )≥5x ＋1， 即|2x －3|＋5x ≥5x ＋1，即|2x －3|≥1，解得x ≥2或x ≤1，∴不等式f (x )≥5x ＋1的解集为{x |x ≤1或x ≥2}. (2)由f (x )≤0，得|2x －a |＋5x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a 2，7x －a ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a 2，3x ＋a ≤0，又a >0，∴不等式f (x )≤0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－a3， 由题意得－a3＝－1，解得a ＝3.热点二 含绝对值不等式恒成立(存在)问题 绝对值不等式的成立问题的求解策略(1)分离参数：根据不等式将参数分离，化为a ≥f (x )或a ≤f (x )的形式.(2)转化最值：f (x )>a 恒成立⇔f (x )min >a ；f (x )<a 恒成立⇔f (x )max <a ；f (x )>a 有解⇔f (x )max >a ；f (x )<a 有解⇔f (x )min <a ；f (x )>a 无解⇔f (x )max ≤a ；f (x )<a 无解⇔f (x )min ≥a .(3)求最值：利用基本不等式或绝对值不等式求最值. (4)得结论.例2 (2019·聊城模拟)已知函数f (x )＝|x －a |＋2|x ＋1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≤4 的解集；(2)设不等式f (x )≤|2x ＋4|的解集为M ，若[0,3]⊆M ，求a 的取值范围. 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|＋2|x ＋1|， 当x ≥1时，若f (x )≤4，即x －1＋2x ＋2≤4， 解得x ≤1，故x ＝1，当－1<x <1时，若f (x )≤4，即1－x ＋2x ＋2≤4， 解得x ≤1，故－1<x <1，当x ≤－1时，若f (x )≤4，即1－x －2x －2≤4，解得x ≥－53，故－53≤x ≤－1，综上，不等式的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－53，1.(2)若[0,3]⊆M ，则问题转化为|x －a |＋2|x ＋1|≤|2x ＋4|在[0,3]上恒成立， 即|x －a |≤2x ＋4－2x －2＝2， 故－2≤x －a ≤2，故－2－x ≤－a ≤2－x 在[0,3]上恒成立， 即x －2≤a ≤x ＋2在[0,3]上恒成立， 故1≤a ≤2，即a 的取值范围是[1,2].跟踪演练2 (2019·广州模拟)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2. (1)解不等式|g (x )|<5.(2)若对任意x 1∈R，都有x 2∈R，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围. 解 (1)由||x －1|＋2|<5，得－5<|x －1|＋2<5， 所以－7<|x －1|<3， 解得－2<x <4.故所求不等式的解集为(－2,4). (2)因为对任意x 1∈R，都有x 2∈R， 使得f (x 1)＝g (x 2)成立，所以{y |y ＝f (x )}⊆{y |y ＝g (x )}，又f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|≥|(2x －a )－(2x ＋3)| ＝|a ＋3|，当且仅当(2x －a )(2x ＋3)≤0时等号成立，g (x )＝|x －1|＋2≥2，所以|a ＋3|≥2，解得a ≥－1或a ≤－5，所以实数a 的取值范围为(－∞，－5]∪[－1，＋∞). 热点三 不等式的证明1.证明不等式的基本方法有综合法、分析法等，也常用到基本不等式进行证明.2.对于含有绝对值的不等式，在证明时常用到绝对值三角不等式.3.对于含有根号的不等式，在证明时可用平方法(前提是不等式两边均为正数).4.如果所证明命题是否定性命题或唯一性命题，或以“至少”“至多”等方式给出，可以考虑反证法.例3 已知函数f (x )＝|x －1|＋||x －3. (1)解不等式f (x )≤x ＋1；(2)设函数f (x )的最小值为c ，实数a ，b 满足a >0，b >0，a ＋b ＝c ，求证：a 2a ＋1＋b 2b ＋1≥1.(1)解 f (x )≤x ＋1，即|x －1|＋||x －3≤x ＋1. ①当x <1时，不等式可化为4－2x ≤x ＋1，解得x ≥1. 又∵x <1，∴x ∈∅；②当1≤x ≤3时，不等式可化为2≤x ＋1，解得x ≥1. 又∵1≤x ≤3，∴1≤x ≤3；③当x >3时，不等式可化为2x －4≤x ＋1，解得x ≤5. 又∵x >3，∴3<x ≤5. ∴原不等式的解集为[]1，5. (2)证明 由绝对值不等式的性质， 得|x －1|＋||x －3≥||1－x＋()x －3＝2，当且仅当(x －1)(x －3)≤0，即1≤x ≤3时，等号成立， ∴c ＝2，即a ＋b ＝2. 令a ＋1＝m ，b ＋1＝n ，则m >1，n >1，a ＝m －1，b ＝n －1，m ＋n ＝4，a 2a ＋1＋b 2b ＋1＝()m －12m ＋n －12n＝m ＋n ＋1m ＋1n－4＝4mn≥4⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝1，当且仅当m ＝n ＝2时，等号成立，∴原不等式得证.跟踪演练3 已知函数f (x )＝|3x ＋1|＋|3x －1|，M 为不等式f (x )<6的解集. (1)求集合M ；(2)若a ，b ∈M ，求证：|ab ＋1|>|a ＋b |. (1)解 f (x )＝|3x ＋1|＋|3x －1|<6. 当x <－13时，f (x )＝－3x －1－3x ＋1＝－6x ，由－6x <6，解得x >－1，∴－1<x <－13；当－13≤x ≤13时，f (x )＝3x ＋1－3x ＋1＝2，又2<6恒成立，∴－13≤x ≤13；当x >13时，f (x )＝3x ＋1＋3x －1＝6x ，由6x <6，解得x <1，∴13<x <1.综上，f (x )<6的解集M ＝{x |－1<x <1}.(2)证明 (ab ＋1)2－(a ＋b )2＝a 2b 2＋2ab ＋1－(a 2＋b 2＋2ab ) ＝a 2b 2－a 2－b 2＋1＝(a 2－1)(b 2－1). 由a ，b ∈M ，得|a |<1，|b |<1， ∴a 2－1<0，b 2－1<0， ∴(a 2－1)(b 2－1)>0， ∴|ab ＋1|>|a ＋b |.真题体验(2019·全国Ⅰ，理，23)已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1.证明： (1)1a ＋1b ＋1c≤a 2＋b 2＋c 2；(2)(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.证明 (1)因为a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，且abc ＝1，故有a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ＝ab ＋bc ＋ca abc ＝1a ＋1b ＋1c.所以1a ＋1b ＋1c≤a 2＋b 2＋c 2.(2)因为a ，b ，c 为正数且abc ＝1，故有 (a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥33a ＋b3b ＋c3a ＋c3＝3(a ＋b )(b ＋c )(a ＋c ) ≥3×(2ab )×(2bc )×(2ac ) ＝24.所以(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.押题预测设函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －4|. (1)求不等式f (x )>2的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )>t 2＋2t 的解集非空，求实数t 的取值范围. 解 (1)由f (x )>2，得|x ＋1|－|2x －4|>2，等价为⎩⎪⎨⎪⎧x <－1，x －5>2或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2，3x －3>2或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，－x ＋5>2，可得x ∈∅或53<x ≤2或2<x <3，即53<x <3，则原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫53，3. (2)关于x 的不等式f (x )>t 2＋2t 的解集非空， 可得t 2＋2t <f (x )max ，由f (x )＝|x ＋1|－|x －2|－|x －2|≤|x ＋1－x ＋2|－0＝3， 当且仅当x ＝2时取得最大值3， 可得t 2＋2t <3，解得－3<t <1.A 组 专题通关1.(2019·济南模拟)已知实数a >0，b >0，函数f (x )＝|x －a |－|x ＋b |的最大值为3. (1)求a ＋b 的值；(2)设函数g (x )＝－x 2－ax －b ，若对于任意的x ≥a 均有g (x )<f (x )，求a 的取值范围. 解 (1)f (x )＝|x －a |－|x ＋b |≤|x －a －x －b | ＝|a ＋b |＝3，∵a >0，b >0，∴a ＋b ＝3， (2)由(1)得，0<a <3,0<b <3，∴对于任意的x ≥a ，x －a ≥0，x ＋b >0， 此时f (x )＝x －a －x －b ＝－3， 若对于任意的x ≥a 均有g (x )<f (x )， 即x 2＋ax ＋b －3>0在[a ，＋∞)上恒成立， 即x 2＋ax －a >0在[a ，＋∞)上恒成立， 对称轴x ＝－a2<0，故只需a 2＋a 2－a >0即可， 解得a >12，故12<a <3.2.(2019·德州模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －a |. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )<3的解集；(2)若不等式|x －2|＋|x －a |≤f (x )＋m 2＋32m 恒成立，求实数m 的取值范围.解 (1)a ＝1时，函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －a | ＝|2x ＋1|＋|x －1|，当x ≤－12时，f (x )＝－(2x ＋1)－(x －1)＝－3x ，不等式f (x )<3化为－3x <3，解得x >－1，所以－1<x ≤－12；当－12<x <1时，f (x )＝(2x ＋1)－(x －1)＝x ＋2，不等式f (x )<3化为x ＋2<3，解得x <1， 所以－12<x <1；当x ≥1时，f (x )＝(2x ＋1)＋(x －1)＝3x ， 不等式f (x )<3化为3x <3， 解得x <1，所以x ∈∅；综上，不等式f (x )<3的解集为{x |－1<x <1}. (2)由f (x )＝|2x ＋1|＋|x －a |，不等式为|x －2|＋|x －a |≤|2x ＋1|＋|x －a |＋m 2＋32m ，即|x －2|－|2x ＋1|≤m 2＋32m ，设g (x )＝|x －2|－|2x ＋1|， 则g (x )max ≤m 2＋32m ，由g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x <－12，－3x ＋1，－12≤x ≤2，－x －3，x >2，所以g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝52，所以52≤m 2＋32m ，即2m 2＋3m －5≥0，解得m ≤－52或m ≥1，所以实数m 的取值范围是m ≤－52或m ≥1.3.(2019·全国Ⅲ)设x ，y ，z ∈R，且x ＋y ＋z ＝1. (1)求(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值；(2)若(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥13成立，证明：a ≤－3或a ≥－1.(1)解 由于[(x －1)＋(y ＋1)＋(z ＋1)]2＝(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2＋2[(x －1)(y ＋1)＋(y ＋1)(z ＋1)＋(z ＋1)(x －1)]≤3[(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2]， 故由已知，得(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2≥43，当且仅当x ＝53，y ＝－13，z ＝－13时，等号成立.所以(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值为43.(2)证明 由于[(x －2)＋(y －1)＋(z －a )]2＝(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2＋2[(x －2)(y －1)＋(y －1)(z －a )＋(z －a )(x －2)]≤3[(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2]， 故由已知，得(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥2＋a 23，当且仅当x ＝4－a 3，y ＝1－a 3，z ＝2a －23时，等号成立.因此(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2的最小值为2＋a23.由题设知2＋a23≥13，解得a ≤－3或a ≥－1. B 组 能力提高4.(2019·樟树九校联考)已知函数f (x )＝|x ＋2|－|2x －1|. (1)求f (x )>－5的解集；(2)若关于x 的不等式|b ＋2a |－|2b －a |≥|a |(|x ＋1|＋|x －m |)(a ，b ∈R，a ≠0)能成立，求实数m 的取值范围.解 (1)f (x )＝|x ＋2|－|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3，x <－2，3x ＋1，－2≤x ≤12，3－x ，x >12，可得⎩⎪⎨⎪⎧x <－2，x －3>－5或⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤12，3x ＋1>－5或⎩⎪⎨⎪⎧x >12，3－x >－5，解得x ∈(－2,8)，故f (x )>－5的解集为(－2,8).(2)由|b ＋2a |－|2b －a |≥|a |(|x ＋1|＋|x －m |)(a ≠0)能成立， 得|b ＋2a |－|2b －a ||a |≥|x ＋1|＋|x －m |能成立，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a＋2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪2b a －1≥|x ＋1|＋|x －m |能成立， 令b a＝t ，则|t ＋2|－|2t －1|≥|x ＋1|＋|x －m |能成立，即(|t ＋2|－|2t －1|)max ≥(|x ＋1|＋|x －m |)min .由(1)知，|t ＋2|－|2t －1|≤52， 又∵|x ＋1|＋|x －m |≥|1＋m |，当且仅当(x ＋1)(x －m )≤0时等号成立，∴|1＋m |≤52， ∴－72 ≤m ≤32， ∴实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－72，32. 5.(2019·保山质检)已知函数f (x )＝|2x －2|－|x ＋1|.(1)作出函数y ＝f (x )的图象；(2)若不等式f (x )≥ax ＋b 的解集是实数集R ，求2a ＋b 的取值范围.解 (1)将f (x )去掉绝对值转化为分段函数，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋3，x <－1，－3x ＋1，－1≤x <1，x －3，x ≥1，作出它的图象如图1所示.(2)如图2，点A 的坐标为(1，－2)，“不等式f (x )≥ax ＋b 的解集是实数集R”等价于“对任意的x ∈R，f (x )≥ax ＋b 都成立”，等价于“函数f (x )图象上所有的点都在直线y ＝ax ＋b 的上方或在直线y ＝ax ＋b 上”，等价于⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ≤－2或⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a ≤1，a ×1＋b ≤－2或⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤a <0，a ×1＋b ≤－2，整合三类情形得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤a ≤1，a ＋b ＋2≤0.在平面直角坐标系aOb 中作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤a ≤1，a ＋b ＋2≤0表示的可行域，如图3所示.记2a ＋b ＝z ，即b ＝－2a ＋z ，当直线l ：b ＝－2a ＋z 经过B (1，－3)时，直线l 在y 轴上的截距最大， (2a ＋b )max ＝z max ＝2×1－3＝－1，从图形可知，截距z 的取值范围是(－∞，－1]，所以2a ＋b 的取值范围是(－∞，－1].。