不等式选讲

不等式选讲(大题)

热点一 含绝对值不等式的解法 1.用零点分段法解绝对值不等式的步骤 (1)求零点；

(2)划区间、去绝对值符号； (3)分别解去掉绝对值的不等式；

(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值.

2.用图象法、数形结合法可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法.

例1 (2019·郴州质检)已知函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －1|. (1)求不等式f (x )≤3的解集；

(2)若函数y ＝f (x )的图象的最低点为(m ，n )，正数a ，b 满足ma ＋nb ＝2，求2a ＋1

b

的取值范

围.

解 (1)当x ≤－1时，f (x )＝－3x ＋1≤3， 得x ≥－2

3

，所以x ∈∅，

当－1

当x ≥1时，f (x )＝3x －1≤3，得x ≤4

3，

所以1≤x ≤4

3

，

综上，不等式的解集为⎣⎢⎡⎦

⎥⎤0，43. (2)由f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

－3x ＋1，x ≤－1，－x ＋3，－1

3x －1，x ≥1

的图象的最低点为(1,2)，

即m ＝1，n ＝2，所以a ＋2b ＝2， 因为a >0，b >0，

所以2a ＋1b ＝12(a ＋2b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋4b a ＋a b

≥1

2

(4＋24)＝4，

当且仅当a ＝2b ＝1时等号成立， 所以2a ＋1

b

的取值范围是[4，＋∞).

跟踪演练1 设函数f (x )＝|2x －a |＋5x ，其中a >0. (1)当a ＝3时，求不等式f (x )≥5x ＋1的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值. 解 (1)当a ＝3时，不等式f (x )≥5x ＋1， 即|2x －3|＋5x ≥5x ＋1，

即|2x －3|≥1，解得x ≥2或x ≤1，

∴不等式f (x )≥5x ＋1的解集为{x |x ≤1或x ≥2}. (2)由f (x )≤0，得|2x －a |＋5x ≤0，

即⎩⎪⎨⎪⎧

x ≥a 2，7x －a ≤0

或⎩⎪⎨⎪⎧

x

3x ＋a ≤0，

又a >0，

∴不等式f (x )≤0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫x ⎪

⎪⎪

x ≤－

a

3， 由题意得－a

3

＝－1，解得a ＝3.

热点二 含绝对值不等式恒成立(存在)问题 绝对值不等式的成立问题的求解策略

(1)分离参数：根据不等式将参数分离，化为a ≥f (x )或a ≤f (x )的形式.

(2)转化最值：f (x )>a 恒成立⇔f (x )min >a ；f (x )a 有解⇔f (x )max >a ；

f (x )a 无解⇔f (x )max ≤a ；f (x )

(3)求最值：利用基本不等式或绝对值不等式求最值. (4)得结论.

例2 (2019·聊城模拟)已知函数f (x )＝|x －a |＋2|x ＋1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≤4 的解集；

(2)设不等式f (x )≤|2x ＋4|的解集为M ，若[0,3]⊆M ，求a 的取值范围. 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|＋2|x ＋1|， 当x ≥1时，若f (x )≤4，即x －1＋2x ＋2≤4， 解得x ≤1，故x ＝1，

当－1

当x ≤－1时，若f (x )≤4，即1－x －2x －2≤4，

解得x ≥－53，故－5

3

≤x ≤－1，

综上，不等式的解集是⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－53，1.

(2)若[0,3]⊆M ，

则问题转化为|x －a |＋2|x ＋1|≤|2x ＋4|在[0,3]上恒成立， 即|x －a |≤2x ＋4－2x －2＝2， 故－2≤x －a ≤2，

故－2－x ≤－a ≤2－x 在[0,3]上恒成立， 即x －2≤a ≤x ＋2在[0,3]上恒成立， 故1≤a ≤2，

即a 的取值范围是[1,2].

跟踪演练2 (2019·广州模拟)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2. (1)解不等式|g (x )|<5.

(2)若对任意x 1∈R，都有x 2∈R，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围. 解 (1)由||x －1|＋2|<5，得－5<|x －1|＋2<5， 所以－7<|x －1|<3， 解得－2

故所求不等式的解集为(－2,4). (2)因为对任意x 1∈R，都有x 2∈R， 使得f (x 1)＝g (x 2)成立，

所以{y |y ＝f (x )}⊆{y |y ＝g (x )}，

又f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|≥|(2x －a )－(2x ＋3)| ＝|a ＋3|，

当且仅当(2x －a )(2x ＋3)≤0时等号成立，

g (x )＝|x －1|＋2≥2，所以|a ＋3|≥2，

解得a ≥－1或a ≤－5，

所以实数a 的取值范围为(－∞，－5]∪[－1，＋∞). 热点三 不等式的证明

1.证明不等式的基本方法有综合法、分析法等，也常用到基本不等式进行证明.

2.对于含有绝对值的不等式，在证明时常用到绝对值三角不等式.

3.对于含有根号的不等式，在证明时可用平方法(前提是不等式两边均为正数).

4.如果所证明命题是否定性命题或唯一性命题，或以“至少”“至多”等方式给出，可以考虑反证法.