张量第三章

1、置换张量是关于任意一对指标的反对称量。
2、置换张量的ห้องสมุดไป่ตู้量与坐标系选择有关。
3、关于 ， 与 的几个关系式：
二维置换张量
即
4、利用置换张量展开行列式
类似的
对二阶行列式
§3.3一阶张量——矢量
用张量方法研究矢量，其结果属于任何坐标系。
一、点积
1、点积
2、矢量长度
3、线元长度
二、叉积
1、基矢量叉积
2、矢量叉积
第三章几个基本的张量
§3.1度量张量
一、度量张量
协变基矢量的逆变分量和逆变基矢量的协变分量是单位张量。若把每个基矢量看成是异名基矢量所构成的参照标架的一个特殊矢量，则可以表示为：
是 的协变分量， 是 的逆变分量。
和 称为度量张量。
——度量张量的协变分量或协变度量张量。
——度量张量的逆变分量或逆变度量张量。
对正交坐标
【例】求极坐标中度量张量的协变分量和逆变分量。
, ,
§3.2置换张量
一、置换符号 不是张量
若 是某一坐标系中的量，以笛卡儿直角坐标为新系，则
故 不是张量。
二、置换张量的构造
则 是一个三阶张量。
证明：设笛卡儿直角坐标系为新坐标系。
（ 表示在特殊坐标系成立的等式）
即 是一个三阶协变张量。
又
三、置换张量的性质及原因
证明： ， 是二阶张量：
又
度量张量的混变分量是单位张量，即
二、度量张量的性质和作用
1、度量张量各分量等于同名基矢量的点积。
2、度量张量是二阶对称张量。
3、度量张量的协变分量和逆变分量相乘并按一对指标求和等于单位张量。
由上式，可由度量张量的协变分量求逆变分量或者反过来求。
4、度量张量是坐标微分二次型的系数
， ， （ ）
9、在欧几里德空间，度量张量 是正交的。
总可以通过坐标变换将其变换成上述形式，故 是正定的。
10、度量张量 的行列式及其坐标变换
标架变换时：
记
则
g是标量函数，但在两个参照系中的值是不同的。伪标量。
三、度量张量的确定
若知道了某种坐标与笛卡儿直角坐标的关系，则可以很方便地求出这种坐标中的度量张量。设笛卡儿直角坐标 ，任意坐标 ， ，
类似的，
3、面元
由两个线元矢量 和 组成的面元矢量为
4、力矩。
设过某点A的力矢量为 ，点A相对于某点O的位置矢量为 ，则 对O点力矩矢量 为：
三、混积
1、三个矢量的混积
2、体元。
的物理意义。
——协变基矢量为棱的平行六面体体积。
——逆变基矢量为棱的平行六面体体积。
若三个线元矢量取得和基矢量一致，则：
若线元矢量不与协变基矢量一致，令
§3.4 二阶张量
一、二阶张量矩阵表示
二、二阶对称张量及其性质
定义：
1、若 满足 为二阶对称的协变张量
2、若 满足 j为二阶对称的逆变张量
3、若 满足 为二阶对称的混变张量
记为：
性质:
1、若二阶张量的某种分量是对称的，则其它形式的分量也是对称的。
2、张量的对称性是不变的。
3、三维空间中，二阶对称张量有六个独立分量。
三、二阶反对称张量及其性质
定义：
1、若 满足 为二阶反对称的协变张量
2、若 满足 为二阶反对称的逆变张量
3、若 满足 为二阶反对称的混变张量
性质：
1、若二阶张量的某种分量是反对称的，则其它形式的分量也是反对称的。
2、张量的反对称性质是不变的。
3、三维空间中，二阶反对称张量有三个独立分量。
四、二阶张量的分解
1、任何一个二阶张量可唯一的表示为一个对称张量和一个反对称张量之和。利用置换张量可将对称和反对称张量表示为：
若 是非对称张量，则 表示将其反对称部分分离出来。
2、分解为球张量和偏张量
对 记 则
为 的球张量
为 的偏张量。
或者
设坐标微分dxi，空间线元 ，则：
5、度量张量确定空间两矢量的夹角
又
又
6、度量张量确定矢量的逆变分量和协变分量之间的关系。
即 起着下降某个指标作用， 则上升某个指标。
7、度量张量的混变分量是单位张量
上式在任何参照标架中都成立。
8、在正交坐标系中度量张量的性质。
正交坐标系中，
笛卡儿直角坐标系中,
， ， （不求和）