第十章直线相关与回归

第十章 直线相关与回归

一、教学大纲要求

（一） 掌握内容

⒈ 直线相关与回归的基本概念。 ⒉ 相关系数与回归系数的意义及计算。 ⒊ 相关系数与回归系数相互的区别与联系。 （二）熟悉内容

⒈ 相关系数与回归系数的假设检验。 ⒉ 直线回归方程的应用。 ⒊ 秩相关与秩回归的意义。 （三）了解内容 曲线直线化。

二、 学内容精要

(一) 直线回归 1. 基本概念

直线回归(linear regression)建立一个描述应变量依自变量变化而变化的直线方程，并要求各点与该直线纵向距离的平方和为最小。直线回归是回归分析中最基本、最简单的一种，故又称简单回归（simple regression ）。

直线回归方程bX a Y +=ˆ中，a 、b 是决定直线的两个系数，见表10-1。

表10-1 直线回归方程a 、b 两系数对比

a

b

含义

回归直线在Y 轴上的截距（intercept ）。 表示X 为零时，Y 的平均水平的估计值。

回归系数（regression coefficient ），即直线的斜率。表示X 每变化一个单位时，Y 的平均变化量的估计值。 系数>0 a >0表示直线与纵轴的交点在原点的上方

b >0，表示直线从左下方走向右上方，即Y 随X 增大而增大 系数<0 a <0表示直线与纵轴的交点在原点的下方

b <0，表示直线从左上方走向右下方，即Y 随X 增大而减小

系数=0 a =0表示回归直线通过原点 b =0，表示直线与X 轴平行，即Y 不随X 的变化而变化

计算公式

X b Y a -=

XX XY l l X X Y Y X X b =---=

∑∑2

)())((

2. 样本回归系数b 的假设检验 （1）方差分析； （2）t 检验。

3. 直线回归方程的应用 （1）描述两变量的依存关系； （2）用回归方程进行预测； （3）用回归方程进行统计控制； （4）用直线回归应注意的问题。 (二) 直线相关 1. 基本概念

直线相关（linear correlation ）又称简单相关（simple correlation ），用于双变量正态分布资料。有正相关、负相关和零相关等关系。直线相关的性质可由散点图直观的说明。

相关系数又称积差相关系数（coefficient of product-moment correlation ），以符号r 表示样 本相关系数，ρ表示总体相关系数。它是说明具有直线关系的两个变量间，相关关系的密切程度与相关方向的指标。

2.

计算公式

YY

XX XY l l l Y Y X X Y Y X X r =

----=

∑∑2

2

)

()()

)((

相关系数r 没有单位，其值为－1≤r ≤1。其绝对值愈接近1，两个变量间的直线相关愈密切；愈接近0，相关愈不密切。r 值为正表示正相关，说明一变量随另一变量增减而增减，方向相同；r 值为负表示负相关，说明一变量增加、另一变量减少，即方向相反；r 的绝对值等于1为完全相关。

3. 样本相关系数r 的假设检验 （1）r 界值表法； （2）t 检验法。

（三）直线回归与相关的区别与联系 1. 区别

（1） 资料要求：直线回归要求因变量Y 服从正态分布，X 是可以精确测量和严格控制的变量，一般称为Ⅰ型回归；直线相关要求两个变量X 、Y 服从双变量正态分布。这种资料若进行回归分析称为Ⅱ型回归。

（2） 应用情况：直线回归是说明两变量依存变化的数量关系；直线相关是说明两变量间的相关关系。

（3） 意义：b 表示X 每增（减）一个单位时，Y 平均改变b 个单位；r 说明具有直线关系的两个变量间关系的密切程度与相关方向。

（4） 计算：b= l xy / l xx ；r = l xy /yy xx l l 。 （5） 取值范围：—∞＜b ＜+∞ ；－1≤r ≤1 。 （6） 单位：b 有单位；r 没有单位。 2. 联系

（1） 方向一致：对一组数据若能同时计算b 和r ,它们的符号一致。

（2） 假设检验等价：对同一样本，r 和b 的假设检验得到的t 值相等，即t b =t r 。

（3） 用回归解释相关：决定系数总回SS SS l l l r yy

xx xy

==22

，回归平方和越接近总平方和，

则r 2越接近1，说明引入相关的效果越好。 （四）秩相关

秩相关，又称等级相关（rank correlation ），是用双变量等级数据作直线相关分析，适用于下列资料：

⒈ 不服从双变量正态分布而不宜作积差相关分析； ⒉ 总体分布型未知； ⒊ 用等级表示的原始数据。

三、典型试题分析

1．回归系数的假设检验（ ）

A ．只能用r 的检验代替

B ．只能用t 检验

C ．只能用F 检验

D ．三者均可 答案：D

[评析] 本题考点：回归系数假设检验方法的理解。

回归系数的假设检验常用的方法有：①方差分析；②t 检验。对同一样本，r 和b 的假设检验等价，r 和b 的假设检验得到的t 值相等，即t b =t r 。故回归系数的假设检验用三者均可。

2．已知r 1=r 2，那么（ ）

A ．b 1=b 2

B ．t b 1=t b 2

C ．t r 1=t r 2

D ．两样本决定系数相等 答案： D

[评析] 本题考点：直线相关系数与回归系数关系的理解。

因为相关系数r 和回归系数b 的计算公式不同，不能推导出b 1=b 2 ；r 和b 的假设检验等价，即t r 1= t b 1，t r 2=t b 2，而不是t b 1=t b 2，t r 1=t r 2 ；样本决定系数为r 2，已知r 1=r 2，则两样本决定系数相等，即r 12

=r 22

。

3．|r |>r 0.05( n-2)时，可认为两变量X 与Y 间（ ）

A ．有一定关系 B. 有正相关关系 C ．一定有直线关系 D. 有直线关系 答案： D

[评析] 本题考点：直线相关系数假设检验的理解。

因为直线相关系数r 是样本的相关系数，它是相应总体相关系数ρ的估计值。由于抽样误差的影响，必须进行显著性检验。r 的假设检验是检验两变量是否有直线相关关系。|r |>r 0.05( n-2)时，P <0.05，拒绝H 0，接受H 1，认为总体相关系数ρ≠0，因此可认为两变量X 与Y 间有直线关系。

4．相关系数检验的无效假设H 0是（ ）

A ．ρ=0 B. ρ≠0 C ．ρ>0 D. ρ<0 答案： A