人教版高中数学必修二1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积学案+课时训练

人教版高中数学必修二第1章空间几何体
1.3空间几何体的表面积与体积
1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积学案
【学习目标】
1．通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积与体积的求法．(重点)
2．会求组合体的表面积与体积．(难点、易错点)
【核心素养】
直观想象在空间几何体的表面积与体积中的应用直观想象是指借助空间想象感知事物的形态与变化，在空间几何体中通过三视图直观感知几何体的形状与相关度量，计算表面积或体积．
【要点梳理夯实基础】
知识点1柱体、锥体、台体的表面积
阅读教材P23～P25“例2”以上内容，完成下列问题．
1．多面体的表(侧)面积
(1)多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和.
(2)多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积．
2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱圆锥圆台
侧面展开图
侧面积公式S
圆柱侧＝2πrl S
圆锥侧
＝πrl S
圆台侧
＝π(r1＋r2)l
名称图形公式
圆柱底面积：S
底
＝2πr2
侧面积：S
侧
＝2πrl
表面积：S＝2πrl＋2πr2
圆锥底面积：S
底
＝πr2
侧面积：S
侧
＝πrl
表面积：S＝πrl＋πr2
圆台上底面面积：S
上底
＝πr′2
下底面面积：S
下底
＝πr2
侧面积：S
侧
＝πl(r＋r′)
表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
[思考辨析学练结合]
1. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)锥体的体积等于底面面积与高之积.()
(2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.()
(3)多面体的表面积等于各个面的面积之和．()
(4)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的．()
(5)圆台的高就是相应母线的长．()
(6)沿不同的棱将多面体展开，得到的展开图相同，表面积相等．() [解析](1)锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一，故不正确.
(2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差，正确.
(3)正确．多面体的表面积等于侧面积与底面积之和．
(4)错误．棱台的侧面展开图是由若干个梯形组成的，不一定是等腰梯形．
(5)错误．圆台的高是指两个底面之间的距离．
(6)错误．由于剪开的棱不同，同一个几何体的表面展开图可能不相同．但是，不论怎么剪，同一个多面体表面展开图的面积是一样的．
[答案](1)× (2)√ (3)√(4)×(5)×(6)×
2. 已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为()
A.1 cm
B.2 cm
C.3 cm
D.3
2cm
[解析]S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2(cm). [答案] B
3. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A.3π
B.4π
C.2π＋4
D.3π＋4
[解析] 由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所示. 表面积为2×2＋2×12×π×12
＋π×1×2＝4＋3π.
[答案] D
4. 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) A.12π
B.32
3π C.8π
D.4π
[解析] 设正方体的棱长为a ，则a 3＝8，解得a ＝2.设球的半径为R ，则2R ＝3a ，即R ＝ 3.所以球的表面积S ＝4πR 2＝12π. [答案] A
知识点2 柱体、锥体与台体的体积公式
阅读教材P 25“例2”以下～P 26“思考”以上内容，完成下列问题． 1．柱、锥、台的体积
(1)柱体：柱体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝Sh . (2)锥体：锥体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝1
3Sh .
(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S ′、S ，高为h ，则V ＝1
3(S ′＋S ′S ＋S )h .
2．柱、锥、台的表面积和体积
表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底 V ＝Sh 锥体(棱锥和圆锥)
S 表面积＝S 侧＋S 底
V ＝13Sh
台体(棱台和圆台)S
表面积＝S
侧
＋S
上
＋S
下V＝
1
3(S上＋S下＋S上S下)h
球S＝4πR2V＝4
3πR
3
[思考辨析学练结合]
1. 已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为()
A．1 cm B．2 cm
C．3 cm D.3
2cm
[解析]B S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2. [答案] B
2. 圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其体积为()
A．15πB．30
C．12πD．36π
[解析]圆锥的高h＝52－32＝4，故V＝1
3π×3
2×4＝12π.
[答案] C
【合作探究析疑解难】
考点1 空间几何体的表面积和侧面积
[典例1]一个直角梯形的两底边长分别为2和5，高为4.将其绕较长底所在直线旋转一周，求所得旋转体的表面积．
[点拨]旋转所得到的几何体为圆柱与圆锥的组合体．
[解答]旋转所得几何体如图．
由图可知，几何体的表面积为一圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和底面圆的面积之和，
∴S＝S
圆柱底＋S
圆柱侧
＋S
圆锥侧
＝π×42＋2π×4×2＋π×4×5 ＝16π＋16π＋20π＝52π.
[方法总结]
1．求几何体的表面积时，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台体，再通过这些基本柱、锥、台体的表面积，进行求和或作差，从
而获得几何体的表面积．
2．组合体的表面积是组成它的简单几何体的表面积之和减去公共部分面积．
[跟踪练习]
1．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为()
A．81πB．100π
C．168πD．169π
[解析] 圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，则它的母线长为l＝h2＋R－r2＝4r2＋3r2＝5r＝10，所以r＝2，R＝8.
故S
＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，
侧
S表＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.
[答案] C
2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于()
A.8＋2 2
B.11＋2 2
C.14＋2 2
D.15
[解析] 圆由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底
面为直角梯形，如图所示.直角梯形斜腰长为12＋12＝2，
所以底面周长为4＋2，侧面积为2×(4＋2)＝8＋22，
两底面的面积和为2×1
2×
1×(1＋2)＝3.
所以该几何体的表面积为8＋22＋3＝11＋2 2. [答案] B [解题反思]
空间几何体表面积的求法.
(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量.
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.
(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.
考点2 空间几何体的体积
[典例2] 如图1-3-1所示，在长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，用截面截下一个棱锥C -
A ′DD ′，求棱锥C -A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比．
图1-3-1
[点拨] 先求出棱锥的体积，再求得剩余部分的体积，最后求得体积之比． [解答] 法一：设AB ＝a ，AD ＝b ，DD ′＝c ，
则长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的体积V ＝abc ， 又S △A ′DD ′＝1
2bc ，
且三棱锥C -A ′DD ′的高为CD ＝a . ∴V 三棱锥C -A ′DD ′＝13S △A ′D ′D ·CD ＝1
6abc .
则剩余部分的几何体体积V 剩＝abc －16abc ＝5
6abc . 故V 棱锥C -A ′DD ′∶V 剩
＝16abc ∶5
6abc ＝1∶5.
法二：已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱ADD ′A ′­BCC ′B ′，设它
的底面ADD ′A ′面积为S ，高为h ，则它的体积为V ＝Sh .
而棱锥C -A ′DD ′的底面面积为1
2S ，高为h ， 因此棱锥C -A ′DD ′的体积V C -A ′DD ′＝13×12Sh ＝1
6Sh . 剩余部分的体积是Sh －16Sh ＝5
6Sh .
所以棱锥C -A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比为 16Sh ∶56Sh ＝1∶5.
[方法总结]
1．常见的求几何体体积的方法
(1)公式法：直接代入公式求解．
(2)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．
(3)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． 2．求几何体体积时需注意的问题
柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算． 3．如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，过顶点B ，D ，A 1截下一个三棱锥．
(1)求剩余部分的体积； (2)求三棱锥A -A 1BD 的高. [解] (1)V 三棱锥A 1-ABD ＝1
3S △ABD ·A 1A ＝13×12·AB ·AD ·A 1
A ＝16a 3
.
故剩余部分的体积 V ＝V 正方体－V 三棱锥A 1-ABD ＝a 3－16a 3＝56a 3.
(2)由(1)知V 三棱锥A -A 1BD ＝V 三棱锥A 1-ABD ＝16a 3
， 设三棱锥A -A 1BD 的高为h ， 则V 三棱锥A -A 1BD ＝1
3·S △A 1BD ·h ＝13×12×32(2a )2
h ＝
36a 2h ， 故36a 2h ＝16a 3，解得h ＝33a .
4．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD ＝DA ，PB ＝BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是________.
[解析] 由三视图知该四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为2
2，从而该几何体的体积为 13×12×1＋12×43π×
⎝ ⎛⎭⎪⎫223＝13＋2
6π. [答案] 13＋26π [解题反思]
空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解.
(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.
(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.
考点3 与三视图有关的表面积和体积
探究1 一个几何体的三视图如图1-3-3所示，请说出该几何体的结构特征．
[提示] 由所给三视图可知该几何体为一个三棱柱，且底面为直角三角形．
探究2 试根据图1-3-3中数据求该几何体的表面积．
[提示] 三棱柱底面三角形的直角边长分别为3和4，斜边长为5，三棱柱的高为5，如图所示，所以表面积为2⎝ ⎛⎭
⎪⎫12×3×4＋(3＋4＋5)×5＝72.
探究3 已知几何体的三视图，如何求几何体的表面积？
[提示] 首先根据三视图确定几何体的结构特征，再根据相应的表面积公式计算．
[典例3]如图，已知某几何体的三视图如图(单位：cm)． (1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体积．
[点拨] 由三视图确定几何体的形状
→选择表面积及
体积公式求解
【自主解答】 (1)这个几何体的直观图如图所示．
(2)这个几何体可看成是正方体AC 1及三棱柱B 1C 1Q -A 1D 1P 的组合体． 由P A 1＝PD 1＝2，A 1D 1＝AD ＝2， 可得P A 1⊥PD 1. 故所求几何体的表面积
S ＝5×22＋2×12×2×2＋2×2×2＝22＋42(cm 2
)，
所求几何体的体积
V ＝23＋1
2×(2)2×2＝10(cm 3)． [方法总结]
1．解答此类问题的关键是先由三视图还原作出直观图，然后根据三视图中的数据在直观图中求出计算体积所需要的数据．
2．若由三视图还原的几何体的直观图由几部分组成，求几何体的体积时，根据需要先将几何体分割分别求解，最后求和． [跟踪练习]
3．如图1-3-5是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()
图1-3-5
A．20π
B．24π
C．28π
D．32π
[解析]由三视图可知圆柱的底面直径为4，母线长(高)为4，所以圆柱的侧面积为2π×2×4＝16π，底面积为π·22＝4π；圆锥的底面直径为4，高为23，所以圆锥的母线长为232＋22＝4，所以圆锥的侧面积为π×2×4＝8π.所以该几何体的表面积为S＝16π＋4π＋8π＝28π.]
[答案] C
[解题反思]
空间几何体表面积的求法
(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中
各元素之间的位置关系及数量.
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处
理.
(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.
【学习检测巩固提高】
1．若长方体的长、宽、高分别为3 cm、4 cm、5 cm，则长方体的体积为() A．27 cm3B．60 cm3
C．64 cm3D．125 cm3
[解析] 长方体即为四棱柱，其体积为底面积×高，即为3×4×5＝60 cm 3. [答案] B
1．某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形，若该几何体的体积为144 cm 3，则d ＝( )
A ．14 cm
B ．13 cm
C ．12 cm
D ．11 cm
[解析] 根据已知的三视图，作出直观图如下：
由已知有AB ⊥平面BCD ，且∠CBD ＝90°，且AB ＝8，BD ＝9，BC ＝d ，由
三棱锥的体积计算公式V ＝13Sh ＝13×1
2×
9×d ×8＝144，求出d ＝12 cm ，故选C.
[答案] C
3．已知圆锥SO 的高为4，体积为4π，则底面半径r ＝________. [解析] 由已知得4π＝1
3πr 2×4，解得r ＝ 3. [答案]
3
4．一个几何体的三视图如图1-3-6所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.
图1-3-6
[解析] 此几何体是由一个长为3，宽为2，高为1的长方体与底面直径为2，高为3的圆锥组合而成的，故V ＝V 长方体＋V 圆锥＝3×2×1＋1
3π×12×3＝(6＋π)m 3. [答案] 6＋π
5．如图1-3-7所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，求三棱锥D 1-EDF 的体积．
图1-3-7
[解] VD 1-EDF ＝VF -DD 1E ＝13S △D 1DE ·AB ＝13×12×1×1×1＝
16.
2．如图所示，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 中点，则三棱锥A －B 1DC 1的体积为( ) A ．3 B.3
2
C ．1
D.3
2
解析：C [如题图，在正△ABC 中，D 为BC 中点，则有AD ＝3
2AB ＝3，又∵平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，AD ⊥BC ，AD 平面ABC ，由面面垂直的性质定理可得AD ⊥平面BB 1C 1C ，即AD 为三棱锥A －B 1DC 1的底面B 1DC 1上的高，∴V A
－B 1DC 1＝13S △B 1DC 1·AD ＝13×1
2×2×3×3＝1.]
[规律方法]
空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可
直接利用公式进行求解．
(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、
分割法、补形法等方法进行求解．
(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直
观图，然后根据条件求解．
人教版高中数学必修二第1章空间几何体
1.3空间几何体的表面积与体积
1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积课时训练
一、选择题
1．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是()
A．4πB．3πC．2πD．π
[解析]旋转所得几何体为圆柱，底面圆半径为1，高为1，侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.故选C.
[答案] C
2．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是()
A.2
B.9 2
C.3
2 D.3
[解析]由三视图知，该几何体是四棱锥，底面
是直角梯形，且S
底＝
1
2(1＋2)×2＝3. ∴V＝
1
3x·3＝3，解得x＝3.
[答案] D
3．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是()
A.1＋ 3
B.2＋ 3
C.1＋2 2
D.2 2
[解析] 四面体的直观图如图所示.
侧面SAC ⊥底面ABC ，且△SAC 与△ABC 均为腰长是2的等腰直角三角形，SA ＝SC ＝AB ＝BC ＝2，AC ＝2.
设AC 的中点为O ，连接SO ，BO ，则SO ⊥AC ，又SO ⊂平面SAC ，平面SAC ∩平面ABC ＝AC ，
∴SO ⊥平面ABC ，又BO ⊂平面ABC ，∴SO ⊥BO . 又OS ＝OB ＝1，∴SB ＝2，
故△SAB 与△SBC 均是边长为2的正三角形，
故该四面体的表面积为2×12×2×2＋2×3
4×(2)2＝2＋3. [答案] B
4．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有 委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( ) A.14斛
B.22斛
C.36斛
D.66斛
[解析] 设米堆的底面半径为r 尺，则π2r ＝8，所以r ＝16π. 所以米堆的体积为V ＝14×13π·r 2·5＝π12·
⎝ ⎛⎭⎪⎫16π2·5≈320
9(立方尺). 故堆放的米约有320
9÷1.62≈22(斛). [答案] B
5．如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，NB ＝2PN ，则三棱锥N －P AC 与三棱锥D －P AC 的体积比为( ) A.1∶2 B.1∶8 C.1∶6
D.1∶3
[解析] 设点P ，N 在平面ABCD 内的投影分别为点P ′，N ′，则PP ′⊥平面ABCD ，NN ′⊥平面ABCD ，所以PP ′∥NN ′，则在△BPP ′中，由BN ＝2PN 得NN ′PP ′＝23.
V 三棱锥N －P AC ＝V 三棱锥P －ABC －V 三棱锥N －ABC ＝1
3S △ABC ·PP ′－ 13S △ABC ·NN ′＝13S △ABC ·(PP ′－NN ′)＝13S △ABC ·
13PP ′＝19S △ABC ·
PP ′，V 三棱锥D －P AC ＝V 三棱锥P －ACD ＝1
3S △ACD ·PP ′，
又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴S △ABC ＝S △ACD ，∴V 三棱锥N －P AC V 三棱锥D －P AC ＝1
3.故选D.
[答案] D
6．若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形，且其体积为1
2，则该几何体的俯视图可以是( )
[解析] 若俯视图为A ，则该几何体为正方体，其体积为1，不满足条件.若俯视图为B ，则该几何体为圆柱，其体积为π⎝ ⎛⎭⎪⎫122
×1＝π4，不满足条件.若俯视图为C ，
则该几何体为三棱柱，其体积为12×1×1×1＝1
2，满足条件.若俯视图为D ，则该几何体为圆柱的14，体积为14π×1＝π
4，不满足条件.
[答案] C
7．在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，D 为侧棱PC 上的一点，它的正视图和侧视图如图所示，则下列命题正确的是( )
A.AD ⊥平面PBC 且三棱锥D －ABC 的体积为8
3 B.BD ⊥平面P AC 且三棱锥D －ABC 的体积为8
3 C.AD ⊥平面PBC 且三棱锥D －ABC 的体积为
163
D.BD ⊥平面P AC 且三棱锥D －ABC 的体积为16
3 [解析] 因为P A ⊥平面ABC ，所以P A ⊥BC ，又
AC ⊥BC ，P A ∩AC ＝A ，所以BC ⊥平面P AC ，所以BC ⊥AD ，又由三视图可得，在△P AC 中，P A ＝AC ＝4，D 为PC 的中点，所以AD ⊥PC ，又PC ∩BC ＝C ，故AD ⊥平面PBC .
又由三视图可知BC ＝4，∠ADC ＝90°，BC ⊥平面P AC ，
故V D －ABC ＝V B －ADC ＝13×12×22×22×4＝
16
3. [答案] C
8．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊柱的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少？”已知1丈为10尺，现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为( )
A ．5 000立方尺
B ．5 500立方尺
C ．6 000立方尺
D ．6 500立方尺
解析：A [(分割法) 该楔体的直观图如图中的几何体ABCDEF .
取AB 的中点G ，CD 的中点H ，连接FG ，GH ，HF ，则该几何体的体积为四棱锥F －GBCH 与三棱柱ADE －GHF 的体积之和．又可以将三棱柱ADE －GHF
割补成高为EF ，该直棱柱的底面积为S ＝12×3×1＝3
2(平方丈)，故该楔体的体积V ＝32×2＋13×2×3×1＝5(立方丈)＝5 000立方尺．故选A.] 9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )
A ．90π
B ．63π
C ．42π
D ．36π
[解析] (补形法) 由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部
分所得，如图所示．
将圆柱补全，并将圆柱从点A 处水平分成上下两部分．由图可知，该几何
体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的1
2，所以该几何体的体积
V ＝π×32×4＋π×32×6×
1
2＝63π.故选B.
[答案] B
10. 如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )
A.18＋36 5
B.54＋18 5
C.90
D.81
[解析] 由几何体的三视图可知，该几何体是底面为正方形的斜平行六面体. 由题意可知该几何体底面边长为3，高为6，所以侧棱长为32＋62＝3 5.故该几何体的表面积S ＝32×2＋(3×6)×2＋(3×35)×2＝54＋18 5. [答案] B 二、填空题
11. 某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm 2，体积是________cm 3.
[解析] 由三视图可知，该几何体为两个相同长方体组合，长方体的长、宽、高分别为4 cm 、2 cm 、2 cm ，其直观图如下：
其体积V ＝2×2×2×4＝32(cm 3)，由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形，所以表面积为S ＝2(2×2×2＋2×4×4)－2×2×2＝2×(8＋32)－8＝72(cm 2). [答案] 72 32
12．如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为 ________ .
[解析] 设长方体的相邻三条棱长分别为a ，b ，c ，它截出棱锥的体积
V 1＝13×12×12a ×12b ×12c ＝
148abc ，剩下的几何体的体积
V 2＝abc －148abc ＝47
48abc ，所以V 1∶V 2＝1∶47. [答案]1∶47
13．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长均为2，D 为棱B 1C 1上任意一点，则三棱锥D －A 1BC 的体积是 ______ .
[解析]由题可得VD －A 1BC ＝VA 1－BCD ＝13·S BCD ·A 1D ＝13×2×2×12×3＝
23
3. [答案]23
3
14．一个空间几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则侧视图的面积为________cm 2，该几何体的体积为________cm 3.
解析根据几何体的三视图，得：该几何体的左边是半圆锥，右边是直三棱锥的组合体，如图所示；且该几何体侧视图是底边长为2，高为1的等腰三角形，面
积为1
2×2×1＝1 cm
2，该几何体的体积为V
半圆锥
＋V
三棱锥
＝
1
3×
1
2
×π×12×1＋1
3×
1
2×2×1×1＝⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
π
6＋
1
3cm
3.
答案1π
6＋
1
3
15. 已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m3.
[解析]根据三视图可知该四棱锥的底面是底边长为2 m，高为1 m的平行四边形，四棱锥的高为3 m.
故该四棱锥的体积V＝1
3×2×1×3＝2 (m
3).
[答案] 2
16．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________；表面积为________.
解析由三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为2的圆柱和底面半径为1，高为1的半圆锥拼成的组合体.
∴体积V＝π×12×2＋1
2×
1
3π×1
2×1＝
13
6π；半圆锥母线l＝2，
S表＝π×12＋2π×1×2＋1
2π×1
2＋
1
2π×1×2＋
1
2×2×1
＝11＋22π＋1. 答案 136π 11＋22π＋1
三、解答题
17．已知一个几何体的三视图如图所示.
(1)求此几何体的表面积；
(2)如果点P ，Q 在正视图中所示位置，P 为所在线段中点，Q 为顶点，求在几何体表面上，从P 点到Q 点的最短路径的长.
解 (1)由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和.
S 圆锥侧＝12
(2πa )·(2a )＝2πa 2， S 圆柱侧＝(2πa )·(2a )＝4πa 2，
S 圆柱底＝πa 2，
所以S 表＝2πa 2＋4πa 2＋πa 2＝(2＋5)πa 2.
(2)沿P 点与Q 点所在母线剪开圆柱侧面，如图.
则PQ ＝AP 2＋AQ 2＝a 2＋（πa ）2＝a 1＋π2，
所以从P 点到Q 点在侧面上的最短路径的长为a 1＋π2.
18．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ， F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；
(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.
解 (1)交线围成的正方形EHGF 如图所示.
(2)如图，作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8. 因为四边形EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.
于是MH＝EH2－EM2＝6，AH＝10，HB＝6.
故S四边形A1EHA＝1
2×(4＋10)×8＝56，
S四边形EB1BH＝1
2×(12＋6)×8＝72.
因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，
所以其体积的比值为9
7⎝
⎛
⎭
⎪
⎫7
9也正确.
19. 四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H.
(1)求四面体ABCD的体积；
(2)证明：四边形EFGH是矩形.
(1)解由该四面体的三视图可知，
BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝DC＝2，AD＝1，
又BD∩DC＝D，
∴AD⊥平面BDC，
∴四面体ABCD的体积V＝1
3×
1
2×2×2×1＝
2
3.
(2)证明∵BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC＝FG，
平面EFGH∩平面ABC＝EH，
∴BC∥FG，BC∥EH，
∴FG∥EH.
同理，EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG，
∴四边形EFGH是平行四边形.
又∵AD⊥平面BDC，BC⊂平面BDC，∴AD⊥BC，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形.
20. 如图所示，A 1A 是圆柱的母线，AB 是圆柱底面圆的直径，C 是底面圆周上异 于A ，B 的任意一点，AA 1＝AB ＝2.
(1)求证：BC ⊥平面A 1AC ；
(2)求三棱锥A 1－ABC 的体积的最大值.
(1)证明 因为C 是底面圆周上异于A ，B 的一点，且AB 为底面
圆 的直径，所以BC ⊥AC .
因为AA 1⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，
所以AA 1⊥BC .
因为AA 1∩AC ＝A ，AA 1⊂平面A 1AC ，AC ⊂平面A 1AC ，所以BC ⊥平面A 1AC .
(2)解 法一 设AC ＝x ，在Rt △ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝4－x 2(0<x <2)， 故VA 1－ABC ＝13S △ABC ×AA 1＝13×12×AC ×BC ×AA 1＝13
x 4－x 2(0<x <2)，即VA 1－ABC ＝13x 4－x 2＝13x 2（4－x 2）＝13－（x 2－2）2＋4.
因为0<x <2，所以0<x 2<4.
所以当x 2＝2，即x ＝2时，三棱锥A 1－ABC 的体积取得最大值为23.
法二 在Rt △ABC 中，AC 2＋BC 2＝AB 2＝4，
VA 1－ABC ＝13S △ABC ×AA 1＝13×12×
AC ×BC ×AA 1＝ 13×AC ×BC ≤13×AC 2＋BC 22
＝13×AB 22＝23. 当且仅当AC ＝BC 时等号成立，此时AC ＝BC ＝ 2.
所以三棱锥A 1－ABC 的体积的最大值为23.。