空间曲线曲率半径的最大值

A maximum of space curve radius of curvature
Hu Qiaoqiao (College of Mathematics and applied mathematics,taizhou University,zhejiang,china ) Abstract： This paper mainly discusses the maximum radius of curvature of space curve, using vector calculus as a tool. Based on the conception that the reciprocal of curvature is exactly the radius of it and the principle that 空间曲线的某个点的切线 方向角对弧长的转动率, the maximum radius can be achieved. It is concluded that the greater the radius of circle, the smaller the curvature, the greater the radius of curvature. We can conclude that, when the curve is close to linear, radius of curvature becomes the largest. Key word: space curve; radius of curvature; the maximum radius.
空间曲线曲率半径的最大值
摘要 本文主要探讨空间曲线曲率半径的最大值，用向量微积分作为工具，利用曲 率的倒数就是曲率半径的概念， 利用空间曲线的某个点的切线方向角对弧长的转 动率，解决半径最大值问题。得出圆的半径越大，得出曲率越小，曲率越小，则 曲率半径越大。可以知道当曲线接近于直线时，曲率半径最大。 关键词：空间曲线 曲率半径 最大值 引言： 在不同的曲线或者同一条曲线的不同点处，曲线弯曲的程度可能不同，为了 准确地刻画曲线的弯曲程度， 我们引进曲率的概念。 而曲率和圆的弯曲程度有关， 由已学知识可知，直线是不存在曲率的，但是，当圆的弯曲程度无限接近于直线 的时候，曲率为无穷小，而曲率半径和曲率互为倒数，可以由此知道当空间曲线 无限接近于直线的时候，曲率半径达到最大值，一个有界的极大值。 正文 预备知识： 1、定义：空间曲线（C）在 P 点的曲率为 k ( s ) lim | | ，其中 s 为 P 点 s 0 s 及其邻近点 P 1 间的弧长， 为曲线在点 P 和 P 1 的切向量的夹角。 2、平面曲线的曲率就是针对曲线上某个切点的切线方向角对弧长的转动率 的大小。 3、利用空间曲线在一点邻近结构，在 C3 类曲线 r=r(s)上取一点 r(s0),为了研 究点 r(s0)邻近的形状，在它邻近再取一点 r(s0+ S).利用泰勒公式有 1 1 r ( s0 s ) r ( s0 ) r ( s0 )s r ( s0 )(s ) 2 ( r ( s0 ) ) 3 ，其中 lim 0 . s 0 2! 3! 所以，本文主要通过对空间曲线曲率的研究推出曲率半径的最大值。 过程证明： 因为在空间曲线中，曲率的倒数就是曲率半径，若要求出空间曲线曲率半 径的最大的位置，可以将其转化为求空间曲线曲率的最小值问题。 曲率的一般参数表示式。 若给出 C 3 类的空间曲线（C）:r=r(t),
dr ds ds r r , ds dt dt 则有 2 ds d s d r ds 2 d 2 s ds d 2 s r (r ) r ( ) r 2 r( ) r 2 , dt dt 2 ds dt dt dt dt ds 3 ) sin dt ds 由上式可知， | r | 1, r r , | r | ,可以得出 | r r | k | r |3 , dt
参考文献

[1]梁林，毛瑞.空间曲线的曲率圆问题新探[J].楚雄师范学院学报，2012,27,3，28 —39. [2]杜志涛.高师理科学刊[J].某类空间曲线的曲率圆[J] [3]徐进.任意复杂曲面曲线零件曲率半径的图解法[J].现代机械，2014,4,12—13. [4]张玉华.确定盘形凸轮曲率半径的相对加速度法及其应用[J].安徽工业大学学 报，2003,20,4,203—307 [5]梅向明，黄敬之.微分几何（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2008. [6]McCann,Robert J.A GLIMPSE INTO THE DIFFERENTIAL TOPOLOGY AND GE OF OPTIMAL TRANSPORT[J].DISCRETE AND CONTINUOUS DYNAMICAL SYSTEMS 2014,34,4,SI,1605-1621.
可以得出. | r r || r || r | (

由此得到曲率的一般参数表示式为 k
| r r | . | r |3
可以从两方面讨论出空间曲线曲率半径最大值时的情况： 1.由泰勒公式知道，曲线在某点的曲率完全取决于曲线在该点邻近的近似形状, 任意曲线的领域范围内，其形状接近于一条直线的时候，它的曲率最小，从而得 出此时的的曲率半径最大。
| r r | 1 | r |3 2.由空间曲线曲率的一般参数公式 k .得出，曲率半径 R 。 | r |3 k | r r |
当 r 趋向于无穷大时，空间曲率半径达到最大值。 拓展延伸： 空间曲线曲率半径在实际生活中也有很多相关应用， 但一般不是求解曲率半 径的最大值，而是找到一个适当的曲率，优化方案。例如在机械工程中，盘形凸 轮的曲率半径对从动件的相对加速度有很大的影响， 利用凸轮与从动件的相对速 度和相对加速度来确定凸轮的曲率半径， 凸轮的曲率半径或理论曲率半径转变为 凸轮与从动件接触线或者滚子轴线轨迹的曲率半径。 结束语 通过学习微分几何，让我懂得了分析方法来研究空间的几何性质，可以更好 地学习几何知识的内涵。通过本文的“空间曲线曲率半径的最大值”的研究，促 使我去查阅了很多的关于空间曲线曲率半径在现实生活中的运用， 了解到了选取 适当的曲率以及曲率半径对于机械工程，路基工程，材料化学等学科有着重要作 用。国家的各种高科技，高技术工程都离不开微分几何的知识。我会更加重视微 分几何，学习不仅仅在课堂，更多的是在课外寻找更多知识，才会让自己真正学 到和别人不一样的知识。