常微分方程理论在数学建模中的简单应用

常微分方程理论在数学建模中的简单应用摘要：众所周知，自然界中一切物质都按照自身的规律在运动和演变，不同物质的运动规律总是在时间和空间中运动着的，虽然物质的运动形式千差万别，但我们总可以找到它们共性的一面，即具有共同的量的变化规律。

为了能够定性和定量的研究一些特定的运动和演变过程，就必须将物质运动和演变过程中相关的因素进行数学化。

这种数学化的过程就是数学建模的过程，即根据运动和演变规律找出不同变量之间互相制约、互相影响的关系式。

由于大量的实际问题中，稍微复杂一些的运动过程往往不能直接写出他们的函数，却容易建立变量及其导数(或微分)间的关系式，即微分方程。

微分方程描述的是物质运动的瞬时规律。

将常微分方程应用于数学建模是因为常微分方程理论是用数学方法解决实际问题的强有力的工具，是一门有着重要背景应用的学科，具有悠久的历史，系统理论日臻完善，而且继续保持着进一步发展的活力，其主要原因是它的根源深扎在各种实际问题中。

关键词：常微分方程，常微分方程模型，稳定性，数学建模
正：
１数学建模简介
对复杂现象进行分析，用数学语言来描述其中的关系或规律，抽象出恰当的数学关系，并将其实际问题转化成为一个数学问题，同时运用数学系统的知识方法对数学问题进行求解，对现实问题作出解释的过程，这就是数学建模…。

与数学不同，构建数学模型的过程不仅
要对复杂的问题进行提炼、归纳和总结而且还应进行演绎推理。

所以构建数学模型的过程也是一个演绎推理与归纳总结相结合的过程。

对现实问题的观察、假设、归纳，怎样将其化为一个数学问题是数学建模的关键。

但这仅仅是数学建模的开始，完整的数学建模过程还应求解数学问题并能得到所要求的解。

同时还应看到得出的解是否与数据或实际经验相吻合，是否能解释实际问题；否则，还应重新修正。

２常微分方程和数学建模结合的特点
通常在建立对象的动态模型时，应对不同的实际对象建立不同的并与之相适合的数学模型。

首先要具体的问题具体分析对建模的目的应该做出简化的假设，而后还要依照对可以类比的其它对象的规律或者其对象内在的微分方程进行解题并求出这一方程的解，这样才能将其结果反馈回实际的对象，然后再进行预测或控制，描述与分析。

数学建模也是一个分析问题、解决问题的创造性思维过程，它的内容来自于实践、结果应用于实践、方法结合于实践【２Ｊ，因此要选准切人点，才能有机地结合常微分方程的内容，充分体现数学建模的思想意图。

数学建模思想的培养不可能立竿见影，而是一个长期的过程。

而要我们脚踏实地认真去工作和钻研，纯粹数学的能力和数学建模能力是截然不同的，数学建模能力需要长期培养和锻炼才能形成。

应用微分方程理论在实际解决问题的过程中建立的数学模型，一般是动态数学模型，其结果极其简明，但整个推导过程却有点繁杂，不过还是能给人们以合理的解释。

由此笔者认为有机地将数学建模与常微分方程结合，必定能使常微分方程在实际应用过程中发挥更多更
好的作用，以便能解决更多的实际问题，产生更好效益。

３常微分方程在数学建模中的应用
在碰到实际问题时，应建立研究对象的数学模型。

建立数学模型首先应具体问题具体分析，对建立［收稿日期］２００９一０８—２２【作者简介］肖勇（１９６７一），女，福建福安人，宁德职业技术学院高级讲师。

研究方向：高等数学教学。

数学模型的目的应作相应的假设和简化，而后依照其内在规律罗列出这种微分方程，求出其方程的解。

并将其结果进行描述、分析、预测或控制，最后回到实际对象中应用。

下面介绍几个微分方程建模的典型例子。

３．１常微分方程在新产品推广模型中的应用
假设市场上要推出一新产品，ｔ时刻的销量为Ｘ（ｔ），新产品性能优良质量好，所以产品本身就是宣传品。

因而，ｔ时刻产品销量的增量ｄｘ／ｄｔ与ｘ（ｔ）成正比，还应想到新产品销售有一定稳定的市场容量Ｎ，结果统计表明，ｄｘ／ｄｔ与尚未购买该新产品的顾客潜在的销售数量Ｎ—ｘ（ｔ）也成正比，因此就有以下逻辑斯谛模型ｄｘ／ｄｔ＝ｌ【）【（Ｎ—ｘ），其中常数ｋ＞０为比例系数，分离变量、积分，可以解得逻辑斯谛曲线ｍ）＝奇持。

由宝＝器及雾＝号鲁舻，当ｏ＜ｘ（ｔ．）＜Ｎ时’ｄｘ／ｄｔ＞０僦是新产由此很多经济学专家和产品销售人士调查得出，许多新产品的销售曲线与逻辑斯谛曲线是相当接品销量ｘ（ｔ）单调也增加；当ｘ（ｔ’）＝孚时，丽ｄ２ｘ＝０；当ｘ（ｔ’）＞孚时，丽ｄ２ｘ＜
０；当ｘ（ｔ’）＜孚时，台＞０，也就是当新产品销量达到消费者最大需求量Ｎ的一半时，新产品畅销最佳；当新产品销量不足Ｎ一半时，新产品销售速度不断增加；当新产品销量超过一半时，新产品销量速度就会慢慢减少。

近的。

从而可以深入对新产品的销售曲线性状进行分析，得出新产品在推出销售的前期要采取小量地生产，同时多加强宣传和广告力度，而当新产品消费者达到２０％一８０％之间时，新产品就可以大量的生产；当新产品消费者超过８０％时候，那么企业就应选择适当时机转产，以求达到企业更好的效益。

３．２常微分方程在动力学模型中的应用
动力学的基本定律是第二定律ｆ＝ｍ，而动力学是微分方程源泉之一。

因此微分方程可以用来解决动力学的基本关系式。

人们都很清楚影响物体自由降落的两大因素是空气阻力和重力作用，所以物体下落速度与空气阻力成反比，物体下落的速度与重力成正比。

我们假设跳伞运动员质量为ｍ，降落伞的速度与所受空气阻力成正比。

求降落伞下降速度１，＝１，（ｔ）的变化规律。

在这样的模型中，应用常微分方程可以很好地解决问题。

解假设空气阻力系数为ｋ，再设时刻为ｔ，物体的下落速度为１Ｊ，于是在这时刻ｔ，物体所受的力为ｆ＝ｍｇ—ｋＵ。

从而，依据牛顿第二定律可得出微分方程ｍ等＝ｍｇ—ｋＵ，解出１Ｊ得１Ｊ＝警＋ＣＯ一｝。

当ｔ＿＋００时，有ｌｉｍｌ，（ｔ）＝学。

根据计算结果ｌｉｍｖ（ｔ）＝警，就可以为跳伞运动员设计保证安全降落的伞的直径大小，当跳伞运动员在天空中降落时就有足够
长的停留时间，使得当跳伞运动员到达地面时的速度接近于常速ｍｇ／ｋ，并且不会超过ｍｇ／ｋ，这样跳伞运动员才能安全降落地面。

３．３常微分方程在流体混合数学模型中的应用
我们在生产实验中时常会碰到这样的情况：实验容器里装有含物质Ａ的流体。

假设时刻为ｔｏ，流体体积是Ｖ。

，物体Ａ的质量是】【ｏ（浓度已知）。

今以速度１Ｊ２（单位时间的流量）放出流体，而同时又要以速度ｖ。

注入浓度为ｃ。

的流体，试求时刻ｔ时容器内物质Ａ的质量及流体的浓度。

我们把这种问题称之为流体混合问题。

其实这种问题如果用常微分方程来处理就会很直观和方便：设在时刻ｔ，容器内物质Ａ的质量为Ｘ＝ｘ（ｔ），浓度为ｃ：，时间ｄｔ后，容器内物质Ａ的质量就增加了ｄ）【，于是，就有关系式ｄｘ＝ｃ１１，１ｄｔ—ｅ２ｘＪ２ｄｔ。

由ｃｚ２瓦了南，可僭．面ｄｘ＝一瓦了南ｘ＋ｃ，Ｖｔ。

所要求的物体Ａ在ｔ时刻的质量问题，就可５１
以用常微分方程转化为求方程（詈＝一瓦了吉旨４－Ｃ１１０］）满足初始条件ｘ（ｏ）＝ｘｏ的解的问题。

３．４常微分方程在传染病模型中的应用
模型Ｉ在最简单数学模型里面，设时刻ｔ的传染性疾病病人数ｘ（ｔ）是连续、可微函数，而且每个传染性疾病病人每天有效接触（指的是足够使人致传染性疾病的接触）的人数为常数入，考察ｔ到ｔ＋△ｔ内传染性疾病病人人数的增加，就有ｘ（ｔ＋Ａｔ）一ｘ（ｔ）＝舡（ｔ）Ａｔ，又再设ｔ＝０时有ｘ个传染性疾病病人，即得微分
方程警＝ｋ，ｘ（ｏ）＝Ｘｏ，它的解为ｘ（ｔ）＝ｘｏｅｎ。

从以上的结果表明，随时间ｔ的增加，传染性疾病病人的人数ｘ（ｔ）也不断增长，与实际不相符，表明建模失败。

这一失败的原因是：传染性疾病病人有效接触到的人群中，有传染性疾病病人也有健康人，只有健康人才可能被传染为传染性疾病病人，因此在改进的数学模型里必须区别传染性疾病病人和健康人这两种人。

模型２假设条件是：１）考察传染性疾病传播期内所在地方的总人数Ｎ不变，我们不考虑迁移也不考虑人员生死，把人员分为已感染者和易感染者两类，下面称传染性疾病病人与健康人。

时刻ｔ这两种人在总人数中所占比例分别记作ｓ（ｔ）和ｉ（ｔ）（其中ｓ（ｔ）＋ｉ（ｔ）＝１）。

２）每天每个传染性疾病病人有效接触的平均人数是常数入（入称为日接触率）。

当健康人与传染性疾病病人有效接触时，足够使健康人受传染而变成传染性疾病病人。

由假设条件，每天每个病人可使ｂ（ｔ）个健康者变为传染性疾病病人，那么传染性疾病病人数为Ｎｉ（ｔ），由此每天共有ｋＮｓ（ｔ）ｉ（ｔ）个健康者被感染，所以ｋｘｓｉ就是传染性疾病病人数Ｎｉ（ｔ）的增长率，因而有Ｎｉ‘ｌｘ＝入虬，可解得Ｌｏｇｉｓｔｉｃ模型罢＝Ⅺ（１一ｉ），ｉ（０）＝ｉ０。

Ｌｏｇｉｓｔｉｃ模型的解为ｉ（ｔ）＝
二１０——１』—一。

当ｉ＝÷时ｄｇ／ｄｔ达到最大值ｔ。

＝入。

１ｌＩｌ（÷一１）。

这时候传染性疾病病人增加是最快ｌ＋（÷一一１）ｅ—ｎ
１０
的，也是各个医院的门诊量最多的时间，由此我们可以预测着传染病高峰的即将来到，这也是各级医疗卫生部门应高度关注的时候。

ｔ。

与入成反比，由此日接触率入表示该地方的卫生水准，入越小卫生水准越高。

因此提高卫生水准、改善卫生保健设施足可延迟传染病高峰的降临。

此时所建的数学模型才与生活实际相符合。

４小结
文章对常微分方程在数学建模中的应用作了简单的探究，并对数学建模与常微分方程的特点作了一些有益的分析。

从建模的过程来看，建立一种数学模型，就是数学理论更好地指导实际生活的过程。

当然，纯粹以运用数学理论为目的的建模并不是建模的目的，真正的建模目的是为了将不容易解决的生产生活实际中的难题用数学来解决。

常微分方程在数学建模中的应用和常微分方程的出现，将生产生活实际与数学理论巧妙地结合起来，给人们提供一种新的思维和解决问题的方式，把人们的理论从知识型向能力型转变。

正因为常微分方程的这种重要意义，才使得它的应用会越来越广泛。

［参考文献】
［１］王高雄．常微分方程［Ｍ］．［２］姜启源，谢金星，叶俊．数学建模［Ｍ］．
［３］李文林．数学史教程【Ｍ］．。