数学高二-选修2-2素材教材习题点拨第五章1数系的扩充与复数的引入

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人教新课标版数学高二人教A版选修2-2练习数系的扩充和复数的相关概念

3．1 数系的扩充和复数的概念3．1.1 数系的扩充和复数的相关概念1．理解复数的基本概念．2．理解复数相等的充要条件．基础梳理1．复数的概念及代数表示(1)复数的定义：把集合C＝{a＋b i|a，b∈R|}中的数，即形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数．其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1．(2)复数的代数形式：复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的实部与虚部．(3)复数集全体复数所构成的集合叫做复数集．记作C＝{a＋b i|a，b∈R}．想一想：为了解决方程x2＝2在有理数范围内无根的问题，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x 2＋1＝0在实数系中无根的问题？解析：设想引入新数i ，使i 是方程x 2＋1＝0的根，即i ·i ＝－1，那么方程x 2＋1＝0就有解x ＝i 了．2．两个复数相等的充要条件(1)在复数集C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R}中任取两个复数a ＋b i ，c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，规定a ＋b i 与c ＋d i 相等的充要条件是a ＝c 且b ＝d ．(2)当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相等或不相等，但两个复数都是实数时，可以比较大小．想一想：由3>2能否推出3＋i>2＋i ？两个实数能比较大小，那么两个复数能比较大小吗？解析：由3>2不能推出3＋i>2＋i ，当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小．3．复数的分类：(1)复数a ＋b i(a ，b ∈R)⎩⎪⎨⎪⎧实数（b ＝0），虚数（b ≠0）⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数（a ＝0），非纯虚数（a ≠0）. (2)集合表示：想一想：(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，当b ＝0时，z 是什么数？(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，当a ＝0且b ≠0时，z 是什么数？(1)解析：当b＝0时，z＝a为实数．(2)解析：当a＝0，b≠0时，z＝bi为纯虚数．自测自评1．复数a＋b i(a，b∈R)为纯虚数是a＝0的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若a＋b i(a，b∈R)为纯虚数，则a＝0，b≠0.∴a＋b i(a，b∈R)为纯虚数是a＝0的充分不必要条件．2．下列说法正确的是(A)A．如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等B．若a，b∈R且a＞b，则a i＞b iC．如果复数x＋y i是实数，则x＝0，y＝0D．复数a＋b i不是实数解析：由两个复数相等的充要条件知这两个复数的实部与虚部分别相等，即它们的实部差与虚部差都为0.故选A.3．如果C，R，I分别表示复数集，实数集和纯虚数集，其中C为全集，则(D)A．C＝R∪I B．R∪I＝{0}C．R＝C∩I D．R∩I＝∅基础巩固1．设C＝{复数}，A＝{实数}，B＝{纯虚数}，全集U＝C，那么下列结论正确的是(D)A．A∪B＝C B．∁U A＝BC．A∩∁U B＝∅D．B∪∁U B＝C2．以2i－5的虚部为实部，以5i＋2i2的实部为虚部的新复数是(A) A．2－2i B．2＋iC．－5＋5i D.5＋5i解析：2i－5的虚部为2，5i＋2i2＝－2＋5i的实部为－2，所以新复数为2－2i.3．下列说法正确的是(A)A．如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等B．若a，b∈R且a＞b，则a i＞b iC．如果复数x＋y i是实数，则x＝0，y＝0D．复数a＋b i不是实数解析：由两个复数相等的充要条件知这两个复数的实部与虚部分别相等，即它们的实部差与虚部差都为0.4．已知复数z＝m2(1＋i)－m(m＋i)(m∈R)，若z是实数，则m的值为________．解析：z ＝m 2＋m 2i －m 2－m i ＝(m 2－m )i ，∴m 2－m ＝0，∴m ＝0或1. 答案：0或1 能力提升5．如果关于x 的方程x 2－2x －a ＝0的一个根是i ，那么复数a (D )A ．一定是实数B ．一定是纯虚数C ．可能是实数，也可能是虚数D ．一定是虚数，但不是纯虚数解析：因为i 是方程x 2－2x －a ＝0的根，故代入整理得：a ＝x 2－2x ＝i 2－2i ＝－1－2i ，故选D.6．已知集合M ＝{1，2，(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1，3}，M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为(B )A ．4B ．－1C ．－1或4D ．－1或6解析：由M ∩N ＝{3}得3∈M ，故(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i ＝3，因此得⎩⎨⎧m 2－3m －1＝3，m 2－5m －6＝0，解得⎩⎨⎧m ＝4或m ＝－1，m ＝6或m ＝－1.所以m 的值为－1，故选B.7．若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，则实数x 的取值范围是________．解析：∵log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，∴⎩⎨⎧log 2（x 2－3x －2）>1，log 2（x 2＋2x ＋1）＝0，∴x ＝－2. 答案：－28．复数z ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θi ，且θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，若z 是实数，则θ的值为________；若z 为纯虚数，则θ的值为________．解析：z ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋θi ＝－sin θ＋icos θ.当z 是实数时，cos θ＝0.∵θ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π2，π2，∴θ＝±π2；当z 为纯虚数时⎩⎨⎧－sin θ＝0cos θ≠0，又θ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π2，π2，∴θ＝0. 答案：±π20 9．已知关于实数x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧（2x －1）＋i ＝y －（3－y ）i ，（2x ＋ay ）－（4x －y ＋b ）i ＝9－8i有实数解，求实数a ，b 的值．解析：由(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i 得⎩⎨⎧2x －1＝y ，1＝－（3－y ），解得x ＝52，y ＝4. 由2x ＋ay －(4x －y ＋b )i ＝9－8i ，得⎩⎨⎧2x ＋ay ＝9，4x －y ＋b ＝8，即⎩⎨⎧5＋4a ＝9，10－4＋b ＝8.解得a ＝1，b ＝2.10．已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R)，试求实数a 分别取什么值时，z 分别是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解析：(1)由题意得即⎩⎨⎧a 2－5a －6＝0，a 2－1≠0，即⎩⎨⎧a ＝－1或a ＝6，a ≠±1，故当a ＝6时，z 为实数． (2)依题意有⎩⎨⎧a 2－5a －6≠0，a 2－1≠0，所以⎩⎨⎧a ≠－1，a ≠±1且a ≠6，所以a ≠±1且a ≠6.故当a ∈R 且a ≠±1，6时，z 为虚数．(3)依题意有⎩⎨⎧a 2－5a －6≠0，a 2－7a ＋6a 2－1＝0，所以⎩⎨⎧a ≠－1且a ≠6，a ＝6.所以不存在实数a 使z 为纯虚数．。

北师大数学选修22配套作业：第五章数系的扩充与复数的引入 §1 含解析

第5章 §1 数系的扩充与复数的引入A 级基础巩固一、选择题1．(2019·泉州高二检测)如果复数z ＝a 2＋a －2＋(a 2－3a ＋2)i 为纯虚数，那么实数a 的值为( A )A ．－2B ．1C ．2D ．1或－2[解析] 由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －2＝0a 2－3a ＋2≠0解得a ＝－2，故选A.2．设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝( A ) A ．－3 B ．－2 C ．2D ．3[解析] 由题意知(1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(2a ＋1)i ∴a －2＝2a ＋1，解得a ＝－3. 故选A.3．(2019·西安高二检测)设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] a ＋b i ＝a ＋b ii 2＝a －b i 为纯虚数，则a ＝0，b ≠0，故选B.4．设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( B ) A ．1 B ．2 C ． 3D ．2[解析] 因为(1＋i)x ＝x ＋x i ＝1＋y i ，所以x ＝y ＝1，|x ＋y i|＝|1＋i|＝12＋12＝2，选B.5．设x ，y 均是实数，i 是虚数单位，复数(x －2y )＋(5－2x －y )i 的实部大于0，虚部不小于0，则复数z ＝x ＋y i 在复平面上的点集用阴影表示为图中的( A )[解析] 由题可知⎩⎪⎨⎪⎧x －2y >05－2x －y ≥0，可行域如A 所示，故选A.6．若复数z 1＝sin2θ＋icos θ，z 2＝cos θ＋i 3sin θ(θ∈R )，z 1＝z 2，则θ等于( D ) A ．k π(k ∈Z ) B ．2k π＋π3(k ∈Z )C ．2k π±π6(k ∈Z )D ．2k π＋π6(k ∈Z )[解析] 由复数相等的定义可知，⎩⎪⎨⎪⎧sin2θ＝cos θ，cos θ＝3sin θ.∴cos θ＝32，sin θ＝12.∴θ＝π6＋2k π，k ∈Z ，故选D. 二、填空题7．方程(2x 2－3x －2)＋(x 2－5x ＋6)i ＝0的实数解x ＝2.[解析] 方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－3x －2＝0，x 2－5x ＋6＝0.解得x ＝2.8．(2019·江苏卷，2改编)已知复数a －2＋(a ＋2)i 为纯虚数，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是2.[解析] a －2＋(a ＋2)i 为纯虚数， ∴实部为0且虚部不为0，故a ＝2. 三、解答题9．实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i 是： (1)对应点在x 轴上方；(2)对应点在直线x ＋y ＋5＝0上．[解析] (1)由m 2－2m －15>0，得知m <－3或m >5时，z 的对应点在x 轴上方； (2)由(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋5＝0，得知：m ＝－3－414或m ＝－3＋414，z 的对应点在直线x ＋y ＋5＝0上．10．(2019·会宁期中)设复数z ＝(m 2－2m －3)＋(m 2＋3m ＋2)i ，试求实数m 的取值，使得(1)z 是纯虚数；(2)z 对应的点位于复平面的第二象限．[解析] (1)复数是一个纯虚数，实部等于零而虚部不等于0由⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －3＝0m 2＋3m ＋2≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1或m ＝3m ≠－1且m ≠－2，得m ＝3.(2)当复数对应的点在第二象限时，由⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －3<0m 2＋3m ＋2>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<m <3m >－1或m <－2，得－1＜m ＜3.B 级素养提升一、选择题1．已知复数z 1＝m ＋(4－m 2)i(m ∈R )，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围为( D )A ．－7≤λ≤916B ．916≤λ≤7C ．－1≤λ≤1D ．－916≤λ≤7[解析] 由z 1＝z 2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，消去m ，得λ＝4sin 2θ－3sin θ ＝4(sin θ－38)2－916.由于－1≤sin θ≤1，故－916≤λ≤7.2．(2019·哈尔滨高二检测)若复数z ＝(sin θ－35)＋(cos θ－45)i(θ∈R )是纯虚数，则tan(θ－π4)的值为( A )A ．－7B ．－17C ．7D ．－7或－17[解析] 因为复数z 是纯虚数，所以满足实部为零且虚部不为零，即⎩⎨⎧sin θ＝35，cos θ≠45，因为sin θ＝35且cos θ≠45，所以cos θ＝－45，所以tan θ＝－34，所以tan(θ－π4)＝tan θ－11＋tan θ＝－34－11－34＝－7.二、填空题3．若复数z ＝log 2(x 2－3x －3)＋ilog 2(x －3)为实数，则x 的值为4. [解析] ∵复数z ＝log 2(x 2－3x －3)＋ilog 2(x －3)为实数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －3>0x －3＝1，解得：x ＝4. 4．已知复数z 1＝－1＋2i 、z 2＝1－i 、z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A 、B 、C ，若O C →＝x O A →＋y O B →(x 、y ∈R )，则x ＋y 的值是5.[解析] 由复数的几何意义可知，O C →＝xOA →＋yOB →，即3－2i ＝x (－1＋2i)＋y (1－i)， ∴3－2i ＝(y －x )＋(2x －y )i ，由复数相等可得，⎩⎪⎨⎪⎧ y －x ＝3，2x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4.∴x ＋y ＝5. 三、解答题5．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，如果(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋2y i －y 1，求实数x ，y 的值．[解析] 由定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋2y i －y 1＝3x ＋2y ＋y i ，故有(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝3x ＋2y ＋y i. 因为x ，y 为实数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3x ＋2y ，x ＋3＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x ＋3＝y ，得x ＝－1，y ＝2.6．已知复数z 0＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z ＝(a ＋3)＋(b －2)i ，若|z 0|＝2，求复数z 对应点的轨迹．[解析] 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则复数z 的对应点为P (x ，y )，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋3，y ＝b －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝x －3，b ＝y ＋2.① ∵z 0＝a ＋b i ，|z 0|＝2，∴a 2＋b 2＝4. 将①代入得(x －3)2＋(y ＋2)2＝4.∴点P 的轨迹是以(3，－2)为圆心，2为半径的圆．C 级能力拔高已知z ∈C ，|z －2i|＝2，当z 取何值时，|z ＋2－4i|分别取得最大值和最小值？并求出最大值和最小值．[解析] 解法一：如图所示，|z －2i|＝2在复平面内对应点的轨迹是以(0,2)为圆心，2为半径的圆．|z ＋2－4i|＝|z －(－2＋4i)|，欲求其最大值和最小值，即在圆上求出点M ，N ，使得M 或N 到定点P (－2,4)的距离最大或最小．显然过P 与圆心连线交圆于M ，N 两点，则M ，N 即为所求．不难求得M (1,1)，N (－1,3)，即当z ＝1＋i 时，|z ＋2－4i|有最大值，为32；当z ＝1＋3i 时，|z ＋2－4i|有最小值，为 2.解法二：如图所示，设ω＝z ＋2－4i ，则z ＝ω－2＋4i ，代入|z －2i|＝2得|ω－2＋2i|＝2，在复平面内ω对应的点在以(2，－2)为圆心，2为半径的圆上运动．欲求|ω|的最值，即求圆上的点到原点的距离的最值．圆心与原点的连线交圆于M，N两点，则M(3，－3)，N(1，－1)即为所求．当ω＝3－3i，即z＝1＋i时，|ω|取最大值，为32；当ω＝1－i，即z＝－1＋3i时，|ω|取最小值，为 2.。

(必考题)高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》检测题(含答案解析)(3)

一、选择题1．若i 为虚数单位，则复数311i i-+的模是（） A ．22B ．5C ．5D ．22．已知i 是虚数单位，,a b ∈R ，31ia bi i++=-，则a b -等于（） A ．-1B ．1C ．3D ．43．如果复数z 满足21z i -=，i 为虚数单位，那么1z i ++的最小值是（） A ．101-B ．21-C ．101+D ．21+4．设复数z=()()12i i a ++为纯虚数，其中a 为实数，则a =（） A ．2-B ．12-C ．12D ．25．已知复数z 满足：()()312z i i i -+=(其中i 为虚数单位)，复数z 的虚部等于( ) A ．15-B ．25-C ．45D ．356．若复数满足，则复数的虚部为（）A ．B ．C ．D ．7．已知复数3412iz i+=-，是z 的共轭复数，则z 为 ( ) A ．55B ．221C ．5D ．58．已知复数z 满足z （1﹣i ）＝﹣3+i （期中i 是虚数单位），则z 的共轭复数z 在复平面对应的点是（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 9．若复数z 满足(34)112i z i -=+，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为（） A ．2-B ．2C ．2i -D ．2i10．满足条件4z i z i ++-=的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（）． A ．椭圆 B ．两条直线C ．圆D ．一条直线11．已知复数33iz i --=，则z 的虚部为（） A ．3-B ．3C ．3iD ．3i -12．已知复数z 满足(1-i)z=2+i ，则z 的共轭复数为（） A ．3322i + B ．1322i - C ．3322i - D ．1322i + 二、填空题13．已知复数z 满足|2|1z i +-=，则|21|z -的取值范围是________. 14．设复数z 满足(1)1z i i -=+（i 为虚数单位），则z 的模为________． 15．复数z 满足21z i -+=，则z 的最大值是___________． 16．213i(3i)-+化简后的结果为_________． 17．已知i 是虚数单位，则满足()1z i i +=的复数z 的共轭复数为_______________ 18．设a R ∈，若复数3a i z i-=+(i 是虚数单位)的实部为12，则 a = __________．19．已知复数43cos sin 55z i θθ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是纯虚数，（i 为虚数单位)，则tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.20．已知z C ∈，||1z =，则2|21|z z ++的最大值为______．三、解答题21．（Ⅰ）已知m R ∈，复数()()2245215z m m m m i =--+--是纯虚数，求m 的值；（Ⅱ）已知复数z 满足方程()20z z i +-=，求z 及2z i +的值． 22．已知复数w 满足()432(w w i i -=-为虚数单位）．（1）求w ；（2）设z C ∈，在复平面内求满足不等式12z w ≤-≤的点Z 构成的图形面积． 23．已知复数，，，求：（1）求的值；（2）若,且,求的值．24．已知复数()()2226z m m m m i =-++-所对应的点分别在（1）虚轴上；（2）第三象限．试求以上实数m 的值或取值范围． 25．已知1z i =+．（1）设23(1)4z i ω=+--，求ω；（2）如果2211z az bi z z ++=--+，求实数,a b 的值． 26．下列方程至少有一个实根，求实数t 的值与相应方程的根.（1）2(2)(2)0x t i x ti ++++=；（2）2(21)(3)0x i x t i --+-=.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据复数的除法运算把311i i-+化成(),a bi a b R +∈ 【详解】()()()()2231131331241211112i i i i i i ii i i i i -----++====+++--，31121i i i-∴=+==+ 故选：B . 【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的求模公式，属于基础题.2．A解析：A 【分析】根据复数的除法化简31ii+-，再根据复数相等的充要条件求出,a b ，即得答案. 【详解】()()()()2231334241211112i i i i i ia bi i i i i i +++++++=====+--+-， 1,2,1ab a b ∴==∴-=-.故选：A . 【点睛】本题考查复数的除法运算和复数相等的充要条件，属于基础题.3．A解析：A 【分析】由模的几何意义可转化为以(0,2)为圆心，1为半径的圆上一点与点(1,1)--距离的最小值,根据圆的性质即可求解. 【详解】因为21z i -=，所以复数z 对应的点Z 在以(0,2)为圆心，1为半径的圆上，因为1z i ++表示Z 点与定点(1,1)--的距离，所以Z 点与定点(1,1)--的距离的最小值等于圆心(0,2)与(1,1)--的距离减去圆的半径，即min 111z i ++==，故选：A 【点睛】本题主要考查了复数及复数模的几何意义，圆的性质，属于中档题.4．D解析：D 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a 值. 【详解】()()()()12i i 212i z a a a =++=-++为纯虚数， 20120a a -=⎧∴⎨+≠⎩，解得2a =，故选D. 【点睛】本题主要考查的是复数的乘法运算以及纯虚数的定义，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++以及()()()()a bi c di a bi c di c di c di +-+=++- 运算的准确性，否则很容易出现错误.5．C解析：C 【分析】利用复数代数形式的乘除运算法则求出241255i z i i i -=+=-++，由此能求出复数z 的虚部．【详解】∵复数z 满足：()()312z i i i -+=(其中i 为虚数单位)，∴()()()122412121255i i i z i i i i i i ---=+=+=-+++-． ∴复数z 的虚部等于45，故选C. 【点睛】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数代数形式的乘除运算法则的合理运用．6．B【解析】分析：先根据复数除法法则得复数，再根据复数虚部概念得结果. 详解：因为，所以，因此复数的虚部为，选B.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为7．C解析：C 【解析】分析：利用复数模的性质直接求解．详解：∵3412iz i+=-， ∴2222343434512121(2)i i z z i i +++=====--+- 故选C ．点睛：复数(,)z a bi a b R =+∈的模为22z a b =+1212z z z z =，1122z z z z =． 8．B解析：B 【分析】先化简得到2z i =--，再计算2z i =-+得到答案。

(压轴题)高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》测试(含答案解析)(1)

一、选择题1．已知复数1z =，i 为虚数单位，则34z i -+的最小值是（）A ．2B ．3C ．4D ．52．已知11z ≠-，111i 1z b z -=+（b ∈R ），2141(+1)z z =-，则z 对应的点在（） A ．圆上B ．抛物线上C ．双曲线上D ．椭圆上3．若202031i iz i+=+，则z 在复平面内对应点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．i 为虚数单位，则20151+1i i ⎛⎫ ⎪-⎝⎭=( )A ．iB ．-1C ．-iD ．15．已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为()()2,1,0,1--，则122z z z +=（） A ．22i +B ．22i -C ．2i -+D ．2i --6．当复数2(32)()z x x x i x =-+-∈R 的实部与虚部的差最小时，1zi =-（） A ．33i -+ B ．33i +C ．13i -D ．13i --7．已知复数z 满足z （1﹣i ）＝﹣3+i （期中i 是虚数单位），则z 的共轭复数z 在复平面对应的点是（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．已知复数z 满足(1-i)z=2+i ，则z 的共轭复数为（） A ．3322i + B ．1322i - C ．3322i - D ．1322i + 9．已知复数2(1)(1)z m m i =--+,其中m R ∈.若z 是纯虚数，则m = A ．1B ．1-C ．1或1-D ．010．设i 是虚数单位，则复数734ii++在复平面内所对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．已知向量(2,0)OB =，向量(2,2)OC =，向量(2)CA αα=，则向量OA 与向量OB 的夹角的取值范围是（）．A ．π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π5π,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．5ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．π5π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 12．已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上一点P ，使AP ·BP 有最小值，则点P 的坐标为 ( )A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0)二、填空题13．已知,z w C ∈，1z w +=，224z w +=，则zw 的最大值为______.14．在复平面内，复数65i -与32i -+对应的向量分别是,OA OB →→，其中O 是原点，则向量BA →的坐标为___________. 15．若复数23z i =+，则1iz+=__________． 16．若复数1(1)z m m i =++-为纯虚数，则实数m =____________.17．已知复数43cos sin 55z i θθ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是纯虚数，（i 为虚数单位)，则tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.18．设集合4{|10,}A x x x C =-=∈，23i z =-，若x A ∈，则||x z -最大值是________19．设i 是虚数单位，1i2ia ++是纯虚数，则实数a 的值是________． 20．设m R ∈，复数22235(23)z m m m m i =--+--，当m =_________时，z 为纯虚数.三、解答题21．(1)若212aii++＝－2i ，求实数a 的值；(2)若复数z ＝21ii-，求|z ＋3i|. 22．(1) 设复数满足，其中是虚数单位，求的值；(2) 若实数，满足，求，的值．23．已知复数()21211az a i a =+--，2(1)z m m i =+-（i 是虚数单位，a R ∈，m R ∈）（1）若1z 是实数，求a 的值；（2）在（1）的条件下，若12z z <，求实数m 的取值范围.24．已知复数()()2226z m m m m i =-++-所对应的点分别在（1）虚轴上；（2）第三象限．试求以上实数m 的值或取值范围． 25．已知复数（1）m 取什么值时，z 是实数？（2）m 取什么值时，z 是纯虚数？26．已知z 是复数，i z 2+、iz -2均为实数（i 为虚数单位），且复数2)(ai z +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用复数的几何意义，转化求解即可．【详解】解：复数z 满足1z =（i 是虚数单位），复数z 表示，复平面上的点到()0,0的距离为1的圆．|34|z i -+的几何意义是圆上的点与(3,4)-的距离，14=．故选：C ．【点睛】本题考查复数的几何意义，复数的模的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．2．B解析：B 【分析】先求出214+1bi z b z =-，再求出12221+1bi z b+=+，代入得22z b bi =--，设,z x yi =+即得解. 【详解】由题得22111111122211111123(23)31341(+1)(+1)(+1)+1+1+1z z z z z z z z bi z z z z z z --+-+-+-+=-===-=-⋅ 211111444()+1+1+1z bibi bi bi b z z z -+=-⋅=--⋅=-. 所以214+1biz b z =-因为111i 1z b z -=+，所以21112121i(1),1b bi z b z z b-+-=+∴=+.所以12221+1bi z b+=+，代入214+1bi z b z =-得22z b bi =--. 设2,(,),,2z x yi x y R x b y b =+∈∴=-=-，消去b 得24y x =-. 所以z 对应的点在抛物线上. 故选：B 【点睛】本题主要考查复数的运算和复数的轨迹问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.3．A解析：A 【分析】化简得到2z i =+，得到答案. 【详解】()()()()202013131342211112i i i i i iz i i i i i +-+++=====++++-，对应的点在第一象限.故选：A . 【点睛】本题考查了复数对应象限，意在考查学生的计算能力.4．C解析：C 【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数1+i1i-为i ，根据20154503331+i i i 1i ⨯+⎛⎫== ⎪-⎝⎭，从而可得结果.详解：()()()21+i 1+i 2i ==i 1i 1i 1i 2=--+，则20154503331+i i i i 1i ⨯+⎛⎫===- ⎪-⎝⎭，故选C.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.5．A解析：A 【解析】分析：首先确定复数12,z z ，然后结合题意进行复数的混合运算即可. 详解：由题意可得：122,z i z i =-=-，则：()1222212i i z i i z i i--===+--，21z =，据此可得：12222z z i z +=+. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查复数的定义及其运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．C解析：C 【解析】【分析】实部与虚部的差为242x x -+。

【高中】高中数学第五章数系的扩充与复数的引入22复数的乘法与除法教材习题点拨北师大版选修22

【关键字】高中高中数学第五章数系的扩充与复数的引入 2.2 复数的乘法与除法教材习题点拨北师大版选修2-2教材习题点拨练习(P107)1.解:(1)（1+3i）（3+2i）=3+2i+9i-6=-3+11i；（2）（-1-2i）（2i+4）=-2i+i=-10i；(3)（+i）2=（+i）（+i）=-i-i-=i；(4)(3+2i)(-3+2i)=-9+6i-6i-4=-13.思路分析:按照单数相乘的法则分项相乘即可.2.解:(1)i·i2·i3·i4=i10=-1；(2)i+i2+i3+i4+i5+i6+i7+i8=i-1-i+1+i-1-i+1=0.思路分析:利用公式:i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i分别计算即可.3.解:(1)（-2+3i）3=［(-2+3i)(-2+3i)］(-2+3i)=(-5-12i)(-2+3i）=46+9i;(2)(1+2i)4=［(1+2i)(1+2i)］2=(4i-3)2=-7-24i.思路分析:灵活利用单数相乘的法则进行计算即可.4.解:(1);(2).思路分析:综合应用单数的运算法则计算即可.习题5-(P107)A组1.解:(1)i+（3+4i）=3+（i+4i）=3+5i；(2)（1-i）-（1+i）=（1-1）+（-i-i）=-2i；(3)（2-i）-（3+i）=（2-3）+（-i-i）=-1-2i；(4)（1-4i）+（2-i）=（1+2）+（-4i-i）=3-5i.2.解:(1)（1+i）（3+4i）=3+4i+3i-4=-1+7i；(2)（1-2i）（1+2i）=1+2i-2i+4=5；(3)（3+i）（3-2i）（1-i）=［(3+i)(3-2i)］(1-i)=(9-6i+6i+2)(1-i)=8-14i;(4)［（5-4i）+（1+3i）］（5+2i）=（6-i）（5+2i）=32+7i.思路分析:综合应用单数的加、减、乘运算法则运算即可.3.解:(1)i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=1+i-1-i=0;(2)i4n·i4n+1·i4n+2·i4n+3=1·i·(-1)·(-i)=-1.思路分析:注意利用公式i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i.4.解:(1)=-2i-3;(2)=i;(3);(4).思路分析:进行单数的除法时,要注意将分母转化为实数.5.解:(1)（1+2i)2=1+4i-4=-3+4i;(2)(3-4i)2=9-12i-12i-16=-24i-7.思路分析:注意利用公式(a+b)2=a2+2ab+b2.6.答案:-1.思路分析:()2==-1.7.解:,实部与虚部相等,也就是.B 组1.答案:A思路分析：与单数z=3-4i 共轭的单数为3+4i,由于单数的实部和虚部都大于0,因此应该在第一象限.2.解:(1)=-3-i (2)=-i-2 (3)=1+3i (4)=3+4i各对单数对应的点如下图所示A ，A ′;B,B ′;C ，C ′;D,D ′分别对应（1）中的z 和z ；（2）中的z 和z ′；（3）中的z 和z ；（4）中的z 和z.思路分析:一个单数的共轭单数实际上就是实部不变、虚部变为相反数时的单数.3.答案：略.4.解:,由单数的实部和虚部相等可以得出:⇒++=++-222436812436433aa a a a 33-4a+a 2=12+8a ⇒a 2-12a+21=0⇒a=6±15. STS复数的形成与发展(二)挪威的测量学家成塞尔(1745—1818)在1779年试图给予这种虚数以直观的几何解释,并首先发表其作法,然而没有得到学术界的重视.德国数学家高斯(1777—1855)在1806年公布了虚数的图像表示法,即所有实数能用一条数轴表示,同样,虚数也能用一个平面上的点来表示.在直角坐标系中,横轴上取对应实数a 的点A,纵轴上取对应实数b 的点B,并过这两点引平行于坐标轴的直线,它们的交点C 就表示复数a+bi.像这样,由各点都对应复数的平面叫做“复平面”,后来又称“高斯平面”.高斯在1831年,用实数组(a,b)代表复数a+bi,并建立了复数的某些运算,使得复数的某些运算也像实数一样地“代数化”.他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词,还将表示平面上同一点的两种不同方法——直角坐标法和极坐标法加以综合.统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中,并把数轴上的点与实数一一对应,扩展为平面上的点与复数一一对应.高斯不仅把复数看作平面上的点,而且还看作是一种向量,并利用复数与向量之间一一对应的关系,阐述了复数的几何加法与乘法.至此,复数理论才比较完整和系统地建立起来了.经过许多数学家长期不懈的努力,深刻探讨并发展了复数理论,才使得在数学领域游荡了200年的幽灵——虚数揭去了神秘的面纱,显现出它的本来面目,原来虚数不虚呵.虚数成为数系大家庭中的一员,从而实数集才扩充到了复数集.随着科学和技术的进步,复数理论已越来越显出它的重要性,它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义,而且对证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用,并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力,也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

(压轴题)高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》测试题(有答案解析)(3)

一、选择题1．复数34i z i-=，|z |＝（）A B ．3 C ．4 D ．52．若复数z 的虚部小于0，|z |=4z z +=，则iz =（）A ．13i +B ．2i +C ．12i +D ．12i - 3．如果复数z 满足21z i -=，i 为虚数单位，那么1z i ++的最小值是（）A 1B 1C 1D 1 4．若复数z 满足(34)25i z i +=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是 A ．3iB ．3i -C ．3D ．-3 5．若复数1a i a i -+为纯虚数，则实数的值为 A ．i B ．0 C ．1 D ．－16．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（）A ．1B ．iC ．1-D ．i -7．2(1)1i i+=-（） A ．1i + B ．1i -C ．1i -+D ．1i -- 8．设i 是虚数单位，复数1a i i -+在复平面内对应的点在直线10x y -+=上，则实数a 的值为（）A ．1B ．0C ．-1D ．29．已知复数z 满足21i z i =+，那么z 的虚部为（） A ．1B ．-iC ．1-D ．i 10．复数411-i ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是( )． A ．－4i B ．4i C ．－4 D ．411．在复平面内，复数65,23i i +-+对应的点分别为,A C .若C 为线段AB 的中点，则点B 对应的复数是( )A ．24i +B ．82i +C ．82i --D ．10i -+ 12．在复平面内，复数3i 12i +在复平面中对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题13．复数z 满足(1＋i)z ＝i|，则z 的共轭复数z ＝________．14．若复数12,z z满足12121,z z z z ==+=，则122z z -的值是____________. 15．如果复数z 满足2z i z i ++-=，那么1z i ++的最小值是________.16．设复数z 满足(1)1z i i -=+（i 为虚数单位），则z 的模为________．17．已知复数43cos sin 55z i θθ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是纯虚数，（i 为虚数单位)，则tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________. 18．已知复数z=（1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位，则z 的模是__________19．设复数1=-i z i ，则z =_____________． 20．如果复数()()2i 1i m m ++（其中i 是虚数单位）是实数，则实数m =___________. 三、解答题21．已知关于x 的方程20x x m -+=()m R ∈的两根为1x 、2x ，且123x x +=，求m 的值.解：1x 、2x 是20x x m -+=的两个根，12121x x x x m +=⎧∴⎨=⎩， 123,x x +=22112229x x x x ∴++=()2121212229x x x x x x +-+=，即122||9m m -+=，解得2m =-.请你仔细阅读上述解题过程，判断是否有错误.如果有，请指出错误之处，并写出正确的解答过程.22．在复数范围内分解因式：42625x x -+= ________.23．已知复数2(1)2(5)3i i z i++-=+. （1）求||z ；（2）若()z z a b i +=+，求实数a ，b 的值.24．已知复数22(232)(32)z m m m m i =--+-+，(其中i 为虚数单位)（1）当复数z 是纯虚数时，求实数m 的值；（2）若复数z 对应的点在第三象限，求实数m 的取值范围.25．已知复数,)32()1(2i m m m m z -++-=（1）当实数m 取什么值时，复数z 是：②纯虚数；③.52i z +=（2）若在复平面C 内，z 所对应的点在第四象限，求m 的取值范围．26．设m ∈R ，复数z 1＝22m m m ++＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，若z 1＋z 2是虚数，求m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据复数的除法运算先把z 化成(),z a bi a b R =+∈的形式，再根据公式z =求模.【详解】 ()()()2234343443i i i i i z i i i i i----+====----，5z ∴==.故选：D .【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的模，属于基础题.2．C解析：C【分析】根据4z z +=可得()2z mi m =+∈R ，结合模长关系列方程，根据虚部小于0即可得解. 【详解】由4z z +=，得()2z mi m =+∈R ，因为||z ==1m =±.又z 的虚部小于0，所以2z i =-，12iz i =+.故选：C【点睛】此题考查复数的概念辨析和模长计算，根据复数的概念和运算法则求解. 3．A解析：A由模的几何意义可转化为以(0,2)为圆心，1为半径的圆上一点与点(1,1)--距离的最小值,根据圆的性质即可求解.【详解】因为21z i -=，所以复数z 对应的点Z 在以(0,2)为圆心，1为半径的圆上，因为1z i ++表示Z 点与定点(1,1)--的距离，所以Z 点与定点(1,1)--的距离的最小值等于圆心(0,2)与(1,1)--的距离减去圆的半径，即min 111z i ++==，故选：A【点睛】本题主要考查了复数及复数模的几何意义，圆的性质，属于中档题.4．C解析：C【分析】本道题目可以设出z a bi =+,然后结合待定系数法,计算参数,即可得出答案.【详解】设z a bi =+,代入原式得到()()()()34343434i z i a bi a b b a i +=++=-++结合待定系数法得到340,3425a b b a -=+=,解得3b =,故选C.【点睛】本道题目考查了待定系数法和复数的四则运算,注意虚部是指i 的系数.5．C解析：C【解析】分析：由题意首先设出纯虚数，然后利用复数相等的充分必要条件整理计算即可求得最终结果. 详解：不妨设()1a i ki k R i-=∈+，则：()21a i ki i ki ki k ki -=+=+=-+，由复数相等的充分必要条件可得：1a k k =-⎧⎨-=⎩，即11a k =⎧⎨=-⎩，即实数a 的值为1.本题选择C 选项. 点睛：本题主要考查复数的分类，复数的综合运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．A【解析】()12i z i +=22(1)112i i i z i i -⇒===++，所以z 的虚部是1，选A. 7．C解析：C【分析】由题意结合复数的运算法则计算其值即可.【详解】由复数的运算法则有：()()()()()22121(1)21111112i i i i i i i i i i i i i +++====+=-+---+. 故选C .【点睛】本题主要考查复数的除法运算，复数的乘法运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．C解析：C【解析】【分析】根据复数的运算得11122a i a a i i --+=-+，得到复数在复平面内对应的点为11(,)22a a -+-，代入直线的方程，即可求解．【详解】由题意，复数()()()()1(1)(1)11111222a i i a i a a i a a i i i i -----+-+===-++-，所以复数在复平面内对应的点为11(,)22a a -+-，则111022a a -+++=，解得1a =-，故选C ．【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的表示的应用，其中解答熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．9．A解析：A【分析】根据复数除法的运算法则化简，即可求出复数虚部.因为22(1)112i i i z i i -===++，所以虚部为1，故选A. 【点睛】本题主要考查了复数的运算法则及复数的实部虚部的概念，属于中档题.10．C解析：C【解析】【分析】利用复数的代数形式的乘除运算法则将411i ⎛⎫- ⎪⎝⎭化简，即可求值. 【详解】 ∵21111i i i i-=-=+ ∴2(1)1212i i i +=+-= ∴()421124i i ⎛⎫-==- ⎪⎝⎭故选C.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，利用i 的幂的性质是迅速化简的关键，属于基础题． 11．D解析：D【解析】分析：根据两个复数对应的点的坐标分别为(6,5)A ，(2,3)C -，由C 为线段AB 的中点即可确定中点B 的坐标，从而可得答案．详解：∵复数65,23i i +-+对应的点分别为,A C∴(6,5)A ，(2,3)C -∵C 为线段AB 的中点∴(10,1)B -∴点C 对应的复数是10i -+故选D.点睛：本题考查复平面的基本知识及中点坐标公式．求解此类问题要能够灵活准确的对复平面内的点的坐标与复数进行相互转化，复数(,)x yi x y R +∈与复平面内(,)x y 一一对应. 12．A解析：A【解析】复数()()()3123631212125i i i i i i i ⨯-+==++-，它在复平面内对应的点的坐标为63,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，故对应的点在第一象限故选A二、填空题13．1＋i 【分析】先求出复数的模长把已知登时变形然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数求出即可【详解】因为所以则故答案为【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算考查了复数模长和共轭复数的概念解题的关键是解析：1＋i【分析】先求出复数3i -的模长，把已知登时变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，求出z 即可.【详解】因为()132i z i +=-=，所以211z i i==-+，则，故答案为1i +. 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模长和共轭复数的概念，解题的关键是求出z ，是基础题． 14．【分析】作图先证明四边形ABCD 是正方形再利用复数的几何意义求解【详解】如图所示因为所以所以四边形ABCD 是正方形因为AB=BE 所以故答案为：【点睛】本题主要考查复数的几何意义和复数模的计算意在考查解析：5【分析】作图，先证明四边形ABCD 是正方形，再利用复数的几何意义求解.【详解】如图所示，||1||,||2AB AD AC ===,AC AB AD =+，因为222AD DC AC +=,所以090ADC ∠=,所以四边形ABCD 是正方形.因为AB=BE,所以2212|||2|125ED z z =-=+=.故答案为：5【点睛】本题主要考查复数的几何意义和复数模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 15．【分析】先得出复数对应的点的轨迹为复平面内连接点和的线段的几何意义为复数对应的点到点的距离利用数形结合思想可得出的最小值【详解】设由复数模的三角不等式可得所以复数在复平面的轨迹是连接点和的线段如下图解析：1【分析】先得出复数z 对应的点的轨迹为复平面内连接点()0,1和()0,1-的线段，1z i ++的几何意义为复数z 对应的点到点()1,1--的距离，利用数形结合思想可得出1z i ++的最小值.【详解】设z x yi =+，由复数模的三角不等式可得()()222z i z i z i z i i =++-≥+--==，所以，复数z 在复平面的轨迹是连接点()0,1和()0,1-的线段，如下图所示：当z i =-时，则1z i ++取得最小值1.故答案为1.【点睛】本题考查与复数相关的点的轨迹问题，解本题的关键在于确定出复数对应的点的轨迹，利用数形结合思想求解，考查分析问题的和解决问题的能力，属于中等题.16．【分析】根据复数的运算可得再利用模的计算公式即可求解【详解】由题意复数满足则则的模为【点睛】本题主要考查了复数的运算以及复数模的计算其中解答中熟记复数的运算法则以及复数模的计算公式是解答的关键着重考解析：【分析】根据复数的运算可得11i z i i+==-，再利用模的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，复数z 满足(1)1z i i -=+，则()()()()11121112i i i i z i i i i +++====--+，则z 的模为1z i ==.【点睛】本题主要考查了复数的运算以及复数模的计算，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数模的计算公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.17．【分析】利用复数为纯虚数可得实部为零虚部不为零从而可求利用同角的三角函数的基本关系式和两角差的正切可求的值【详解】所以故答案为：【点睛】本题考查复数的概念同角的三角函数的基本关系以及两角差的正确理解解析：7-【分析】利用复数为纯虚数可得实部为零，虚部不为零，从而可求43cos 0,sin 055θθ-=-≠，利用同角的三角函数的基本关系式和两角差的正切可求tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 【详解】4333cos 0,sin 0sin tan 5554θθθθ-=-≠⇒=-⇒=-, 所以tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭3147314--=--, 故答案为：7-.【点睛】本题考查复数的概念、同角的三角函数的基本关系以及两角差的正确，理解纯虚数的概念是关键，本题为中档题.18．【分析】利用复数的运算法则模的计算公式即可得出【详解】解：复数z ＝（1+i ）（1+2i ）＝1﹣2+3i ＝﹣1+3i ∴|z|故答案为【点睛】对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其次要熟悉【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【详解】解：复数z ＝（1+i ）（1+2i ）＝1﹣2+3i ＝﹣1+3i ，∴|z |22(1)310=-+=．故答案为10．【点睛】对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()a bi c di ++=()()(,,,)ac bd ad bc i a b c d R -++∈．其次要熟悉复数相关概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭复数为a bi -．19．【解析】试题分析：因为所以故应填考点：复数的基本概念及其运算解析：．【解析】试题分析：因为1iz i=-，所以z =，故应填．考点：复数的基本概念及其运算．20．【详解】由复数的运算法则可知因为复数是实数则解析：1- 【详解】由复数的运算法则可知223()(1)()(1)m i mi m m m i ++=-++，因为复数2()(1)m i mi ++是实数，则3101m m +=⇒=-.三、解答题21．不正确，详见解析【分析】解题过程不正确．1x 、2x 为虚根时，22221122||,||x x x x ≠≠．由1x 、2x 是20x x m -+=的两个根，得12121x x x x m +=⎧⎨=⎩，当△0即14m 时，方程有两个实数根，求出2m =-；当△0<即14m >时，方程有一对共轭虚根，求出94m =．【详解】解：解题过程不正确．当两根正确的解答过程如下： 1x 、2x 为虚根时，22221122||,||x x x x ≠≠．1x 、2x 是20x x m -+=的两个根，∴12121x x x x m +=⎧⎨=⎩， ①当0∆≥即14m 时，方程有两个实数根． 12||||3x x +=，∴2211222||9x x x x ++=．2121212()22||9x x x x x x +-+=，即122||9m m -+=，解得2m =-．②当∆<0即14m>时，方程有一对共轭虚根． 221212||||x x x x m ===，13||2x ∴=，解得94m =，综上所述，2m =-或94m =．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，考查一元二次方程的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题．22．()()()()2222x i x i x i x i ++--+--+【分析】配方为()()()222422262531634x x x x i -+=-+=--，由()2234i i ±=±结合平方差公式即可求得答案.【详解】 ()2234i i -=-，()2234i i +=+，()()()()()222422222625316343434x x x x i x i x i ∴-+=-+=--=---+()()()()222222343422x i x i x i x i ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+--=-+--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()2222x i x i x i x i ++--+--+=.故答案为()()()()2222x i x i x i x i ++--+--+.【点睛】本题考查在复数范围内进行因式分解，充分利用平方差公式进行分解是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.23．（1；（2）7a =-，13b =-．【解析】试题分析：（1）利用复数的计算法则将其化简，即可求得z ；（2）利用复数的计算法则将等号左边化简，再根据等号左右两边实部虚部相等即可求解．试题（1）∵21021010(3)33310i i i z i i i +--====-++，∴10z =；（2）∵2(3)(3)(3)(3)83(6)i i a i i a a a i b i --+=-+-=+-+=+，∴837{{(6)113a b a a b +==-⇒-+==-．考点：复数的计算． 24．（1）,（2）()1,2m ∈ 【详解】（1）由题意有时，解得，即时，复数为纯虚数.（2）由题意有：222320{320m m m m --<-+<，解得：12{212m m -<<<<，所以当()1,2m ∈时，复数z 对应的点在第三象限考点：纯虚数概念25．（1）①m=1；②m=0；③m=2；（2）30m -<<【解析】试题分析：在复数a bi +中复数为0需满足0a b ==，为纯虚数需满足0,0a b =≠，复数对应的点在第四象限需满足0,0a b ><试题（1）①中需满足()2101230m m m m m ⎧-=∴=⎨+-=⎩②中需满足()2100230m m m m m ⎧-=∴=⎨+-≠⎩③中()2122235m m m m m ⎧-=∴=⎨+-=⎩（2）⎩⎨⎧<-+>-0320)1(2m m m m ⇒30m -<< 考点：复数及相关概念26．m ≠5，m ≠－3且m ≠－2(m ∈R)【解析】试题分析：根据虚数定义得m 2－2m －15≠0，根据分母不为零得m ≠－2，解得m 的取值范围．试题∵z 1＝22m m m ++＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ， ∴z 1＋z 2＝222m m m +-+（）＋[(m －15)＋m (m －3)]i ＝242m m m --+＋(m 2－2m －15)i. ∵z 1＋z 2为虚数，∴m 2－2m －15≠0且m ≠－2，解得m ≠5，m ≠－3且m ≠－2(m ∈R)．点睛：要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为(,)a b 、共轭为.-a bi。

高中数学第五章数系的扩充与复数的引入高考八大高频考点例析课件北师大版选修2-2

不能被 5 整除．
答案：B
5．如图，几何体 ABCDEP 中，底面 ABCD 是边长为 4 的正方形， PA⊥平面 ABCD，PA∥EB，且 PA＝2BE＝4 2.
(1)证明：BD∥平面 PEC； (2)若 G 为 BC 上的动点，求证：AE⊥PG.
证明：(1)连接 AC 交 BD 于点 O，取 PC 的中点 F，连接 OF，EF.
法二：对任意 k∈N＋，2Sk＝2a11－1－qqk， Sk＋2＋Sk＋1＝a111－－qqk＋2＋a111－－qqk＋1＝a12－1q－k＋2q－qk＋1， 2Sk－(Sk＋2＋Sk＋1)＝2a11－1－qqk－a12－1q－k＋2q－qk＋1 ＝1－a1 q[2(1－qk)－(2－qk＋2－qk＋1)] ＝1a－1qkq(q2＋q－2)＝0，因此，对任意 k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1 成等差数列．
直接证明与间接证明
高考中直接证明主要考查立体几何中的平行与垂直、考查等差或等比数列、函数与不等式的证明等问题，题型多以方式解答题为主；高考直接考查反证法的题目并不多，但大多
作为证明和判断一些命题的方法，隐含于试题中．在备考中，要分清综合法、分析法和反证法的特点，
备考把握三种方法在解决问题中的一般步骤，熟悉三种方法适指要用于解决问题的类型．数学归纳法是证明与正整数有关的
由 a1≠0，q≠0 得 q2＋q－2＝0，解得 q1＝－2，q2＝1(舍去)，所以 q＝－2.
(2)证明：法一：对任意 k∈N＋，Sk＋2＋Sk＋1－2Sk ＝(Sk＋2－Sk)＋(Sk＋1－Sk) ＝ak＋1＋ak＋2＋ak＋1 ＝2ak＋1＋ak＋1·(－2) ＝0，所以，对任意 k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1 成等差数列．

高中数学选修2-2精品课件5：数系的扩充与复数的引入章末复习与测试

章末复习与测试
知识结构
题型1：复数的有关概念
①复数的分类实数(b＝0)
a＋bi虚数(b≠0)纯非虚纯数虚(数a＝(a0≠) 0)
②处理有关复数概念的问题，首先可找准复数的实部与虚部(若复数为非标准代数形式，则应通过代数运算化为代数形式)，然后根据定义解题．
例 1：复数 z＝m2m＋＋m2－6＋(m2－3m－10)i，求实数 m 使得 (1)z 是实数； (2)z 是纯虚数； (3)z 所对应的点在复平面的第二象限； (4)z 是复数．
由 4z＋2 z ＝3 3＋i 得 4(a＋bi)＋2(a－bi)＝3 3＋i 即 6a＋2bi＝3 3＋i，根据复数相等的充要条件有
6a＝3 2b＝1
3
a＝ ⇒
3 2
b＝12
，∴z＝ 23＋12i.
∴z－ω＝ 23＋12i－(sinθ－icosθ)
＝ 23－sinθ＋12＋cosθi
∴|OM |＝
(m＋m3＋)(m2－2)∈R (m＋2)(m－5)∈R
∴当 m≠－2 时，z 为复数.
题型2：复数的相等
①a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)⇔ab＝＝cd . ②利用复数相等可实现复数问题向实数问题的转化，解题时可把等号两边的复数化为标准的代数形式．
例2：已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i,8}，集合N＝ {3i，(a2－1)＋(b＋2)i}同时满足M∩N M，M∩N≠∅，求整数a，b.
解：依题意得(a＋3)＋(b2－1)i＝3i ① 或(a＋3)＋(b2－1)i＝(a2－1)＋(b＋2)i ② 或 8＝(a2－1)＋(b＋2)i ③
由①得 a＝－3，b＝±2，经检验 b＝－2.不合题意，舍去． ∴a＝－3，b＝2.

高中数学第五章 §1 数系的扩充与复数的引入课件北师大版选修22

答案：2
[例3] 实数a取什么值时，复平面内表示复数z＝a2＋ a－2＋(a2－3a＋2)i的点
(1)位于第二象限； (2)位于直线y＝x上？ [思路点拨] 位于第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0；位于直线y＝x上的点的横坐标等于纵坐标．
[精解详析] 根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z ＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点就是点Z(a2＋a－2，a2－3a＋2)．
问题1：实数与数轴上的点一一对应，复数可以用平面内的点表示吗？
提示：可以．问题2：复数z＝a＋bi(a，b∈R)与有序实数对(a， b)有何对应关系？与平面直角坐标系中的点Z(a，b)有何对应关系？提示：一一对应，一一对应．
问题3：在平面直角坐标系中点Z(a，b)与向量 OZ ＝(a， b)有何对应关系？
平面向量 OZ 之间的关系可用图表示．
8．若复数z＝(m－2)＋mi的模等于2，则实数m的值为 __________．解析：由题意得 m－22＋m2＝2，
即 2m2－4m＋4＝4，解得 m＝0 或 2，
即实数 m 的值为 0 或 2.
答案：0或2
9．求复数 z1＝6＋8i 及 z2＝－12－ 2i 的模，并比较它们的
模的大小．
解：∵z1＝6＋8i，z2＝－12－ 2i，
提示：一一对应关系．问题4：复数z＝a＋bi(a，b∈R)与 OZ 有何对应关系？提示：一一对应．
1．复平面 (1)当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面， x轴为实轴， y轴为虚轴．
(2)任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点 Z(a，b) 是一一对应的．这是复数的几何意义．
2．表示实数的点都在实轴上，实轴上的点都表示实数，它们是一一对应的；表示纯虚数的点都在虚轴上，但虚轴上的点不都表示纯虚数，如原点表示实数0.

数学高二-选修2-2素材教材基础第五章1数系的扩充与复数的引入

第五章数系的扩充与复数的引入走进学科思想“数形结合思想”是本章最具代表性的数学思想,借助复平面使复数与复平面上的点建立起一一对应关系,从而使复数实现数形转化,为解决复数问题搭建起了一个极其重要的学习平台,比如复数可以用复平面内的点来表示,同时还可用平面向量来表示.其次,“化归思想”也是本章中极为重要的一个数学思想.在处理复数问题时,通常设复数z=x+yi(x,y∈R),它在复数与实数之间架起桥梁,把复数问题实数化.§1 数系的扩充与复数的引入复数是16世纪人们在研究求解一元二次、三次方程的问题时引入的.现在它已在数学、力学、电学以及其他科学里获得了广泛的应用.复数的初步知识是进一步学习高等数学的基础,在初等数学范围内,它与平面解析几何、三角函数、指数和对数等也有密切的联系,为解决一些问题提供了方便. 高手支招1细品教材一、虚数单位i 状元笔记i 就是-1的一个平方根,-i 是-1的另一个平方根.1.我们把平方等于-1的数用i 表示,规定i 2=-1,其中的i 叫做虚数单位.虚数单位的引入是为了使方程x 2+1=0,即x 2=-1有解,使实数的开方运算总可以实施（即让负数能开平方根），实数集的扩充就从引入平方等于-1的“新数”开始. 2.i 可与实数进行四则运算,且原有的加、乘运算仍然成立.i 可以与实数进行四则混合运算,是扩充数集的原则之一,这里只提加、乘运算,不提减、除运算,并不是对减、除运算不成立,这和后面在讲复数的四则运算时,只对加法和乘法法则作出规定,而把减法、除法运算分别定义为加法、乘法的逆运算的做法一致的,即在四则运算中突出加、乘运算,这样处理更为科学、合理,分清了主次. 二、复数的概念 1.复数与复数集我们把形如a+bi(a,b ∈R )的数叫做复数.其中i 做虚数单位.全体复数所构成的集合C={a+bi|a,b ∈R }叫做复数集. 2.复数的实部与虚部(1)复数通常用字母z 来表示,即z=a+bi(a,b ∈R ),这一表示形式叫做复数的代数形式.其中a 与b 分别叫做复数z 的实部与虚部,分别用Rez 与Imz 表示,即a=Rez,b=Imz.【示例】写出下列复数的实部与虚部,并指出哪些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数. 4,2-3i,0,21-+34i,5+2i,6i. 思路分析:要指出这些复数的实部与虚部,我们首先要弄清楚这些复数的完整形式,如2-3i 本身已是复数的完整形式,其实部与虚部一目了然,然而像4,6i 等形式简化的复数,在指出它们的实部与虚部时可先写出它们的完整的复数形式,如4=4+0i,那么,我们便马上得出4的实部是4,虚部为0;6i=0+6i,则我们马上可知其实部是0,虚部是6. 解:4的实部为4,虚部为0; 2-3i 的实部为2,虚部为-3; 0的实部为0,虚部为0;21-+34i 的实部为21-,虚部为34; 5+2i 的实部为5,虚部为2; 6i 的实部为0,虚部为6. 4，0是实数， 2-3i,21-+34i,5+2i,6i 是虚数,其中6i 是纯虚数. 状元笔记1.实数集R 和虚数集都是复数集C 的真子集,且R ∪虚数集=C ,R ∩虚数集=∅.2.z=a+bi(a,b ∈R )的虚部是b,而不是bi.3.实数也是复数,但是复数不一定是实数,它可能是虚数.(2)对于复数a+bi,当且仅当b=0时,它是实数;当且仅当a=b=0时,它是实数0;当b≠0时,叫做虚数;当a=0且b≠0时,叫做纯虚数.即:⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧≠=≠≠∈+)0()0()0()0(),(a a b b R b a bi a 非纯虚数纯虚数虚数实数复数【示例】实数m 取什么值时,复数z=m(m-1)+(m-1)i 是(1)实数，(2)虚数，(3)纯虚数.思路分析:由m ∈R 可知，m(m-1)和m-1都是实数,根据复数a+bi 是实数,虚数和纯虚数的条件可以分别确定m 的值.解:(1)当m-1=0,即m=1时,复数z 是实数. (2)当m-1≠0,即m≠1时,复数z 是虚数.(3)当m(m-1)=0,且m-1≠0,即m=0时,复数z 是纯虚数. 状元笔记学习复数概念时,要注意复数是“实数部分”与“虚数部分”的复合体,这是一种二元化的记数形式的数.三、复数相等的条件 1.复数相等(1)两个复数a+bi 与c+di 相等,当且仅当它们的实部和虚部分别相等(a=c 、b=d).记作a+bi=c+di.即a+bi=c+di ⎩⎨⎧==⇔.,d b c a(2)根据两个复数相等的定义知,在a=c 且b=d 两式中,如果有一个不成立,那么a+bi≠c+di. (3)一个复数等于零的充要条件是这个复数的实部与虚部均为零.即a+bi=0⎩⎨⎧==⇔.0,0b a【示例】已知(x+y)+(x-2y)i=(2x-5)+(3x+y)i,求实数x,y 的值.思路分析:要求实数x,y 的值,我们只要根据两个复数相等的充要条件,使等式两边的实部与虚部分别相等,列出方程组,从而解得实数x,y 的值. 解:根据两个复数相等的充要条件,可得⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧+=--=+.2,3,32,52v x v x v x x y x 解得状元笔记复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的重要依据,是复数问题实数化这一重要数学思想方法的体现.复数的引入实现了中学阶段数系的最后一次扩充. 2.复数的大小两个实数可以比较大小,但是两个复数至少有一个为虚数时,不可以比较大小. 如果两个复数可以比较大小,那么,这两个复数必定全是实数. 四、复平面1.用点来表示复数根据复数相等的定义可知,任何一个复数z=a+bi都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定,而有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的.因此,可以用直角坐标系中的点Z(a,b)来表示复数z=a+bi.如右图,原点O（0，0）表示实数0,x轴上的点A(-2,0)表示实数,y轴上的点B(0,1)表示纯虚数i,点C(1,2)表示复数1+2i等.状元笔记复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的,这种对应关系架起了联系复数和解析几何的桥梁,使得复数问题可以用几何方法来解决,而几何问题可以用复数方法来解决(即数形结合法).复平面内,一对共轭复数所对应的点关于实轴对称.2.复平面的定义当直角坐标平面用来表示复数时,就叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数,除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.3.复数集C与复平面的对应每一个复数在复平面内都有唯一的点和它对应;反过来,在复平面内每一个点也都有唯一的复数和它对应.复数集C和复平面内的所有的点构成的集合是一一对应的,即任一个复数z=a+bi与复平面内的点Z(a，b)是对应的.状元笔记复数与复平面内的点及向量三者之间建立起了一一对应的关系,这种对应关系是给予复数几何解释的依据.这里要特别注意到向量是以原点为起点的,否则,就谈不上一一对应,因为平面上与OZ相等的向量有无穷多个.五、复数的向量表示1.复数、复平面内的点与向量三者之间的一一对应关系因为复数与复平面内的点Z(a,b)是一一对应的,而复平面内的点Z(a,b)与以原点为起点、以Z(a,b)为终点的向量OZ一一对应，所以复数z=a+bi也与向量OZ是一一对应的.复数z=a+bi、复平面内的点Z(a,b)和平面向量OZ之间的关系可用下图来表示.这样,复数z=a+bi就可以用向量OZ来表示.为方便起见,常把复数z=a+bi 说成点Z 或向量OZ ,并且规定,相等的向量表示同一个复数.【示例】在复平面内,分别用点和向量表示下列复数:4,2+i,-i,-1+3i,3-2i.解:如下图,点A,B,C,D,E 分别表示复数4,2+i,-i,-1+3i,3-2i.与之对应的向量可用OA ,OB ,OE OD OC ,,来表示.2.复数的模设复数z=a+bi 在复平面内对应的点是Z(a,b),点Z 到原点的距离叫做复数的模或绝对值,记作|z|.由向量长度的计算公式得|z|=|a+bi|=22b a +.两个不全为实数的复数不能比较大小,但它们的模可以比较大小. 【示例】已知复数z 1=3+4i,z 2=-1+5i,试比较它们模的大小.思路分析:要比较两复数模的大小,只要先分别求出它们的模,然后进行比较大小. 解:因为|z 1|=2243+=5,|z 2|=265)1(22=+-,所以，|z 1|<|z 2|.高手支招2基础整理本节内容主要阐述了虚数单位的概念、复数的概念、复数的实部和虚部概念,同时阐述了复数相等的充要条件.并且从两方面阐述了复数的几何意义,一是从复平面上的点与复数的一一对应关系,二是从复数与从原点出发的向量建立起的一一对应关系,同时还阐述了复数模及复数加减法的几何意义.。

(压轴题)高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》测试题(包含答案解析)(2)

一、选择题1．已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若(1)(1)i bi a +-=，则a bi +=（）A ．2B ．2C ．5D ．52．已知i 是虚数单位，则复数1012ii-的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知复数z x yi =+，x ∈R ，y R ∈，满足114z z ++-=，则点()x y ，的轨迹是（） A ．线段 B ．圆 C ．双曲线 D ．椭圆 4．若复数z 满足(34)25i z i +=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是A ．3iB ．3i -C ．3D ．-35．若复数满足，则复数的虚部为（）A ．B ．C ．D ．6．已知(,)z x yi x y R =+∈且1z =，则3x y 的最大值（） A ．13B ．2C ．1D 37．在下列命题中，正确命题的个数是（）①若z 是虚数，则20z ；②若复数2z 满足2z ∈R ，则z R ∈；③若复数11z i =+，2z t i =+，且12z z ⋅对应的复数位于第四象限，则实数t 的取值范围是()1,1-；④若()()2212230z z z z -+-=，则123z z z ==. A ．0B ．1C ．2D ．38．已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为()()2,1,0,1--，则122z z z +=（） A ．22i +B ．22i -C ．2i -+D ．2i --9．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（） A ．1B ．iC ．1-D ．i -10．已知2(1i)=1i z(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数等于（）A ．1i --B ．1i -C ．1i -+D ．1i +11．复数1234ii-+在复平面上对应的点位于第________象限 A ．一B ．二C ．三D ．四12．已知t ∈R ，i 为虚数单位，复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则t 等于( )A ．34B ．43C ．43-D ．34-二、填空题13．复数z 满足114z z -++=则复数z 对应点表示的曲线是 _____________.14．计算10251(12)()1i i i i+-⋅+=-__.15．若复数z 满足221(1)2i z i ⎛⋅=+ ⎝⎭，则z =_______________. 16．已知i 为虚数单位，若(1)2z i i ⋅+=，则复数z =________． 17．已知i 为虚数单位，计算1i1i-=+__________． 18．已知复数z=i （2+i ），则|z|=___．19．已知复数()()13i z m m m R =-+-∈对应的点在x 轴上方，则m 的取值范围是_______．20．复平面内，已知复数13z x i =-所对应的点都在单位圆内，则实数x 的取值范围是__________．三、解答题21．已知复数0z 满足00|215|10|z z ++，（1）求证：0||z 为定值；（2）设12i x +=，0n n z z x =，若1||n n n a z z -=-，*n N ∈，求12lim()n n a a a →∞++⋯+． 22．实数m 取怎样的值时，复数226(215)z m m m m i =--+--是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？23．（1）设复数z 和它的共轭复数z 满足：42i z z +=，求复数z ；（2）设复数z 满足：228z z ++-=，求复数z 对应的点的轨迹方程. 24．已知复数22(34)(224)z m m m m i =+-+--()m R ∈．（1）若复数z 所对应的点在一、三象限的角平分线上，求实数m 的值；（2）若复数z 为纯虚数，求实数m 的值．25．已知复数1z 满足1(2)(1)1z i i -+=-（i 为虚数单位），复数2z 的虚部为2，12z z ⋅是实数，求2z ．26．已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i }，P ＝{－1，1，4i }，若M P P =，求实数m的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于,a b 的方程组，解得,a b 的值，进而可得答案. 【详解】因为(1)(1)1(1)i bi b b i a +-=++-=，结合,a b ∈R ，所以有110b a b +=⎧⎨-=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，所以2a bi i +=+==故选C. 【点睛】该题考查的是有关复数的模的问题，涉及到的知识点有复数相等的条件，属于简单题目.2．C解析：C 【分析】先计算出104212ii i=-+-，求出其共轭复数，即得解. 【详解】由题得1010(12)20104212(12)(12)5i i i ii i i i +-+===-+--+，所以1012ii-的共轭复数为42i --，它对应的点为(4,2)--，在第三象限. 故选：C 【点睛】本题主要考查复数的除法和共轭复数，考查复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．D解析：D 【分析】根据复数模长的几何意义，结合椭圆的定义知，复数z 对应的点在某一椭圆上．【详解】复平面上，复数z 满足114z z ++-=，则z 对应的点M 到点()11,0F -，点()21,0F 的距离和为4，即12124,24MF MF F F +==<， ∴复数z 对应的点M 在以12,FF 为焦点，长轴长为4的椭圆上．故选：D ．【点睛】本题考查了复数的代数形式与模长几何意义应用问题，也考查了椭圆的定义应用问题，是基础题．4．C解析：C 【分析】本道题目可以设出z a bi =+,然后结合待定系数法,计算参数,即可得出答案. 【详解】设z a bi =+,代入原式得到()()()()34343434i z i a bi a b b a i +=++=-++ 结合待定系数法得到340,3425a b b a -=+=,解得3b =, 故选C. 【点睛】本道题目考查了待定系数法和复数的四则运算,注意虚部是指i 的系数.5．B解析：B 【解析】分析：先根据复数除法法则得复数，再根据复数虚部概念得结果. 详解：因为，所以，因此复数的虚部为，选B.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为6．B解析：B 【解析】分析：由1z =可得221x y +=，可设cos x θ=，sin y θ=，R θ∈，可得32sin()6x πθ+=+，进而利用正弦函数的性质求出答案．详解：∵(),z x yi x y R =+∈且1z = ∴221x y +=设cos x θ=，sin y θ=，R θ∈. ∴3cos 32sin()6x πθθθ+=+=+∴x 的最大值是2 故选B.点睛：本题主要考查复数的求模公式及三角函数的性质，解答本题的关键是利用三角换元结合三角函数的性质求函数的最值．7．B解析：B 【解析】分析：利用复数的知识对每一个命题逐一分析判断.详解：对于①,举例z=1+i ,但是22z i =，但是不能说2i≥0，因为虚数和实数不能比较大小.所以①不正确.对于②，举例z=i ，所以21,z R =-∈但是i R ∉,所以②不正确. 对于③，12z z ⋅=(1)()1(1),i t i t t i +-=++-所以10,1 1.10t t t +>⎧∴-<<⎨-<⎩所以③正确.对于④，若()()2212230z z z z -+-=，举例1232,1,1,z z z i ===-但是123z z z ==不成立.所以④不正确. 故答案为B点睛：（1）本题主要考查复数的基础知识，意在考查学生对复数的基础知识的掌握能力.(2)判断命题的真假时，要灵活，可以证明，也可以举反例.8．A解析：A 【解析】分析：首先确定复数12,z z ，然后结合题意进行复数的混合运算即可. 详解：由题意可得：122,z i z i =-=-，则：()1222212i i z i i z i i --===+--，21z =，据此可得：12222z z i z +=+. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查复数的定义及其运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．A解析：A 【解析】()12i z i +=22(1)112i i i z i i -⇒===++，所以z 的虚部是1，选A. 10．A【解析】【分析】由复数的运算法则，化简复数1z i =-+，再根据共轭复数的概念，即可求解，得到答案．【详解】由题意，复数满足2(1)=1i i z，即221(1)2=11111i i i iz i i ii i，所以复数z 的共轭复数等于1z i =--，故选A ．【点睛】本题主要考查了复数的运算法则，以及共轭复数的概念的应用，其中解答中熟记复数的运算法则，准确求解复数z 是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．11．C解析：C 【解析】【分析】将复数化简为a bi +的形式，得到(,)a b ，就可以得到答案．【详解】 ∵复数12(12)(34)5101234(34)(34)2555i i i i i i i i -----===--++- ∴复数1234ii-+在复平面上对应的点位于第三象限故选C. 【点睛】复数化简为a bi +的形式，是解题关键，a b 、的符号决定复数在复平面上对应的点位于的象限．基础题目．12．D解析：D 【详解】因为z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，所以z 1·z 2＝(3t －4)＋(4t ＋3)i ，又z 1·z 2是实数，所以4t ＋3＝0，所以t ＝34-. 故选：D.二、填空题13．椭圆【分析】设利用复数摸的公式化简等式再由椭圆的定义即可判断【详解】设代入可得所以式子的几何意义是：点到点与点的距离之和为定值4又所以复数对应点表示的曲线为以点与点为焦点的椭圆故答案为：椭圆【点睛】解析：椭圆设z x yi =+，利用复数摸的公式化简等式，再由椭圆的定义即可判断. 【详解】设z x yi =+，代入114z z -++=可得114-++++=x yi x yi ，4=，式子的几何意义是：点(),z x y 到点1,0A 与点()1,0B -的距离之和为定值4，又24=<AB ，所以复数z 对应点表示的曲线为以点1,0A 与点()1,0B -为焦点的椭圆.故答案为：椭圆【点睛】本题主要考查复数模的公式，解题的关键是对椭圆定义的理解，属于中档题.14．【分析】由复数的除法和乘法化简再求即可【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的四则运算属于中档题解析：13i -+【分析】由复数的除法和乘法化简11i i+-，102i ，再求10251(12)()1i i i i +-⋅+-即可. 【详解】221(1)121(1)(1)2i i i i i i i i ++++===-+-，()51102251(1)1i i ==-=- 102551(12)()1212131i i i i i i i i i+∴-⋅+=-++=-++=-+-故答案为：13i -+ 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，属于中档题.15．【分析】利用复数的四则运算得出结合共轭复数的定义即可得出答案【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及共轭复数的定义属于中档题 i【分析】利用复数的四则运算得出z i ，结合共轭复数的定义，即可得出答案.【详解】()2222112(1)12i i i z i i ⎛⎫⎫+- ⎪⎪⎫+==⎪⎪⎛⎝⎭+ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭=⎝z i ∴=i 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及共轭复数的定义，属于中档题.16．【解析】【分析】由题意利用复数的除法运算法则确定z 的值即可【详解】【点睛】本题主要考查复数的除法运算属于基础题解析：1i +. 【解析】【分析】由题意利用复数的除法运算法则确定z 的值即可. 【详解】()()()2122211112i i i i z i i i i -+====+++-. 【点睛】本题主要考查复数的除法运算，属于基础题.17．【解析】分析：根据复数除法法则求解详解：复数点睛：首先对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其次要熟悉复数相关基本概念如复数的实部为虚部为模为对应点为共轭为解析：i -【解析】分析：根据复数除法法则求解. 详解：复数1i (1)(1)2ii 1i (1)(1)2i i i i ----===-++-．点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi18．【解析】分析：先计算复数再根据复数的模的定义求结果详解：点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念属于基本题首先对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其次要熟悉复数相关基本概念如复数的【解析】分析：先计算复数，再根据复数的模的定义求结果.详解：(2)21z i i i z =+=-∴==点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi19．【解析】分析：首先根据复数在复平面内对应的点的坐标为之后根据坐标系中各个象限内的点的横纵坐标的符号结合题中要求点落在轴上方要求其纵坐标大于零从而确定出所满足的不等关系式最后求得结果详解：复数在复平面解析：3m <. 【解析】分析：首先根据复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,3)m m +-，之后根据坐标系中各个象限内的点的横纵坐标的符号，结合题中要求点落在x 轴上方，要求其纵坐标大于零，从而确定出m 所满足的不等关系式，最后求得结果.详解：复数()()13,z m m i m R =-+-∈在复平面上对应的点的坐标为(1,3)m m --，如果该点落在x 轴上方，则有30m ->，解得3m <.点睛：该题考查的是有关复数在复平面内对应的点的坐标的问题，应用实部是横坐标，虚部是纵坐标，结合题中的要求，列出式子，求得结果.20．【详解】∵z 对应的点z(x －)都在单位圆内∴|z|<1即<1∴x2+<1∴x2<∴－解析：222233x -<<【详解】 ∵z 对应的点z (x ,－)都在单位圆内， ∴|z|<1,即<1.∴x 2+<1.∴x 2<. ∴－.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）356 【分析】（1）设0(,)z x yi x y R =+∈，利用00|215|310|z z +=+，可得2275x y +=，即可证明：0||z 为定值；（2）12||532nn n n a z z -⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，再求极限．【详解】（1）证明：设0(,)z x yi x y R =+∈，则00|215|10|z z ++，|2152|10|x yi x yi ∴+++-，2222(215)(2)3(10)3x y x y ∴++=++， 2275x y ∴+=，0||z ∴= （2）解：12ix +=，0n n z z x =， 12||32nnn n a z z-⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭，121nn a a a ⎫⎪-⎪⎝⎭∴++⋯+=∴121lim()nnn n a a a →∞⎫⎪-⎪⎝⎭++⋯+===．【点睛】本题考查复数模的计算，考查极限的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 22．（1）5m =或3m =-；（2）5m ≠且3m ≠-；（3）3m =或2m =- 【分析】（1）由虚部等于0列式求解m 的值；（2）由虚部不等于0列式求解m 的值；（3）由实部等于0且虚部不等于0列式求解m 的值. 【详解】（1）当22150m m --=，即5m =或3m =-时，z 的虚部等于0，所以当5m =或3m =-时，z 为实数；（2）当22150m m --≠时，即5m ≠且3m ≠-时，z 为虚数；（3）当22602150m m m m ⎧--=⎨--≠⎩时，即3m =或2m =-时，z 为纯虚数.【点睛】该题考查的是有关根据复数的类别求解参数的值的问题，涉及到的知识点有复数的分类，属于简单题目.23．（1）1i 2z =+；（2）2211612x y +=【解析】分析：（1）设(),z x yi x y R =+∈，由题意结合复数的运算法则可得62x yi i +=，则12x y ==，12z i =+. （2）设复数(),z x yi x y R =+∈，由题意可得()884=>，则其轨迹是椭圆，轨迹方程为：2211612x y +=. 详解：（1）设(),z x yi x y R =+∈，则4262z z x yi +=+，由42z z i +=可得：62x yi i +=，所以12x y ==，12z i ∴= （2）设复数(),z x yi x y R =+∈，由228z z ++-=得：()884=>，其轨迹是椭圆，此时28,4a a ==，24,2c c ==，212b =，所求的轨迹方程为：2211612x y +=. 点睛：求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以直接根据定义先定轨迹类型，再写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法，其关键是准确应用解析几何中有关曲线的定义．24．（1）4m =-；（2）1m =.【解析】试题分析：（1）利用实部与虚部相等列方程求解即可；（2）利用实部为零列方程，验证虚部不为零即可得结果.试题（1）复数z 所对应的点在一、三象限的角平分线上，∴ 2234224m m m m +-=--，解得 4m =-.（2）复数z 为纯虚数，∴ 22340{2240m m m m +-=--≠ 41{46m m m m =-=≠-≠或且解得 1m =. 25．242z i =+【解析】解：1(2)(1)1z i i -+=-⇒12z i =-（4分）设22,z a i a R =+∈，则12(2)(2)(22)(4)z z i a i a a i =-+=++-，（12分） ∵12z z R ∈，∴242z i =+（12分）26．m ＝1或m ＝2.【分析】先由M P P =，知M 是P 的子集，再依据集合中元素的互异性得复数22(2)(2)m m m m i -++-的取值，最后根据复数相等的定义即可解出m ．【详解】由MP P =，知M 是P 的子集，从而可知22(2)(2)1m m m m i -++-=-或4i ．由22(2)(2)1m m m m i -++-=-，得222120m m m m ⎧-=-⎨+-=⎩，解之得：1m =，由22(2)(2)4m m m m i i -++-=，得222024m m m m ⎧-=⎨+-=⎩，解之得：2m =，综上可知：1m =或2m =．【点睛】本题主要考查了并集及运算、复数的基本概念，是一道复数与集合交汇的题目，属于基础题.。

武汉市英格中学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》测试题(含答案解析)

一、选择题1．已知复数1z =，i 为虚数单位，则34z i -+的最小值是（）A ．2B ． 3C ．4D ．52．已知11z ≠-，111i 1z b z -=+（b ∈R ），2141(+1)z z =-，则z 对应的点在（） A ．圆上B ．抛物线上C ．双曲线上D ．椭圆上3．已知i 是虚数单位，,a b ∈R ，31ia bi i++=-，则a b -等于（） A ．-1B ．1C ．3D ．44．如果复数z 满足21z i -=，i 为虚数单位，那么1z i ++的最小值是（） A ．101- B ．21-C ．101+D ．21+5．复数z 满足，则A ．B ．2C ．D ．6．已知复数113iz i-=+，则复数z 的虚部是（） A ．25 B ．25i C ．25-D ．25i -7．(1)两个共轭复数的差是纯虚数；（2）两个共轭复数的和不一定是实数；（3）若复数(,)a bi a b R +∈是某一元二次方程的根，则a bi -是也一定是这个方程的根；（4）若z 为虚数，则z 的平方根为虚数，其中正确的个数为（） A ．3B ．2C ．1D ．08．已知复数z 满足(1-i)z=2+i ，则z 的共轭复数为（） A ．3322i + B ．1322i - C ．3322i - D ．1322i + 9．设i 为虚数单位，则复数13i z -=的共轭复数是（）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．2i +10．已知复数21iz =-+，则（） A ．2z =B ．z 的实部为1C ．z 的虚部为1-D ．z 的共轭复数为1i +11．若复数z 满足()11i z i +=-，则z = ( ) A ．1B ．iC ．1-D ．i -12．设i 是虚数单位，则复数734ii++在复平面内所对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题13．若复数12,z z满足12121,z z z z ==+=，则122z z -的值是____________.14．已知实数x 和复数m 满足2(43)430i x mx i +++-=，则m 的最小值是________. 15．复数z 满足21z i -+=，则z 的最大值是___________． 16．若复数(3)(2)i a i -+是纯虚数，则实数a =___________.17．设集合4{|10,}A x x x C =-=∈，23i z =-，若x A ∈，则||x z -最大值是________18．已知z C ∈，||1z =，则2|21|z z ++的最大值为______．19．设m R ∈，复数22235(23)z m m m m i =--+--，当m =_________时，z 为纯虚数. 20．若实数,x y 满足()()3235x y x y i i -++=+，则x y += __________．三、解答题21．（Ⅰ）已知m R ∈，复数()()2245215z m m m m i =--+--是纯虚数，求m 的值；（Ⅱ）已知复数z 满足方程()20z z i +-=，求z 及2z i +的值． 22．已知复数z=m(m-1)+( m 2+2m-3)i 当实数m 取什么值时，复数z 是 (1)零；（2）纯虚数；（3）z=2+5i 23．已知复数2(1)36z i i =-++.(1)求z 及z ，（2）若2820z az b i ++=-+，求实数,a b 的值．24．已知复数1(4)z a i =-+，2z a ai =-（a 为实数，i 为虚数单位），且12z z +是纯虚数．（1）求复数1z ，2z ；（2）求12z z 的共轭复数．25．已知复数2z i =-(i 为虚数单位). （1）求复数z 的模z ；（2）求复数z 的共轭复数；（3）若z 是关于x 的方程250x mx -+=一个虚根，求实数m 的值.26．设m ∈R ，复数z 1＝22m mm ++＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，若z 1＋z 2是虚数，求m的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用复数的几何意义，转化求解即可．【详解】解：复数z 满足1z =（i 是虚数单位），复数z 表示，复平面上的点到()0,0的距离为1的圆．|34|z i -+的几何意义是圆上的点与(3,4)-的距离，14=．故选：C ．【点睛】本题考查复数的几何意义，复数的模的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．2．B解析：B 【分析】先求出214+1bi z b z =-，再求出12221+1bi z b+=+，代入得22z b bi =--，设,z x yi =+即得解. 【详解】由题得22111111122211111123(23)31341(+1)(+1)(+1)+1+1+1z z z z z z z z bi z z z z z z --+-+-+-+=-===-=-⋅ 211111444()+1+1+1z bibi bi bi b z z z -+=-⋅=--⋅=-. 所以214+1biz b z =-因为111i 1z b z -=+，所以21112121i(1),1b bi z b z z b-+-=+∴=+. 所以12221+1bi z b+=+，代入214+1bi z b z =-得22z b bi =--. 设2,(,),,2z x yi x y R x b y b =+∈∴=-=-，消去b 得24y x =-. 所以z 对应的点在抛物线上.故选：B 【点睛】本题主要考查复数的运算和复数的轨迹问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.3．A解析：A 【分析】根据复数的除法化简31ii+-，再根据复数相等的充要条件求出,a b ，即得答案. 【详解】()()()()2231334241211112i i i i i ia bi i i i i i +++++++=====+--+-，1,2,1a b a b ∴==∴-=-.故选：A . 【点睛】本题考查复数的除法运算和复数相等的充要条件，属于基础题.4．A解析：A 【分析】由模的几何意义可转化为以(0,2)为圆心，1为半径的圆上一点与点(1,1)--距离的最小值,根据圆的性质即可求解. 【详解】因为21z i -=，所以复数z 对应的点Z 在以(0,2)为圆心，1为半径的圆上，因为1z i ++表示Z 点与定点(1,1)--的距离，所以Z 点与定点(1,1)--的距离的最小值等于圆心(0,2)与(1,1)--的距离减去圆的半径，即22min 11(21)1101z i ++=++-=-，故选：A 【点睛】本题主要考查了复数及复数模的几何意义，圆的性质，属于中档题.5．A解析：A 【解析】【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，利用复数模的公式可得结果. 【详解】因为，．故选A ．【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的摸这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.6．C解析：C 【解析】113i z i -=+(1)(13)121055i i i --==-- ,所以虚部是25- ,选C. 7．C解析：C 【分析】直接利用复数的基本概念判断命题的真假即可．【详解】（1）两个共轭复数的差是纯虚数；如果两个复数是实数，差值也是实数，所以（1）不正确；（2）两个共轭复数的和不一定是实数，不正确，和一定是实数；（3）若复数(,)a bi a b R +∈是某一元二次方程的根，则a bi -是也一定是这个方程的根，不正确，因为实系数方程的虚根才是共轭复数，所以（3）不正确；（4）若z 为虚数，则z 的平方根为虚数，设(,0)z x yi x y R y =+∈≠，，其平方根为(,)a bi a b R +∈,设222(),2,20a bi x yi a b abi x yi ab y +=+∴-+=+∴=≠，所以0,0a b ≠≠，所以z 的平方根为虚数．所以该命题正确. 故选：C ．【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，复数的基本概念和计算的应用，考查计算能力．8．B解析：B 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【详解】：，∴（1-i ）（1+i ）z=（1-i ）（1+2i ），化为2z=1+3i ，∴1322z i =+ ．则z 的共轭复数为，故选B ．【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．A解析：A 【解析】【分析】利用复数的运算法则和共轭复数即可求得结果【详解】()()()()2131312111i i i i z i i----====--，则共轭复数为1i +故选A 【点睛】本题主要考查了复数的运算法则和共轭复数，属于基础题10．C解析：C 【解析】分析：由题意首先化简复数z ，然后结合z 的值逐一考查所给的选项即可确定正确的说法. 详解：由复数的运算法则可得：()()()()21211112i i z i i i ----===---+--，则2z =，选项A 错误；z 的实部为1-，选项B 错误； z 的虚部为1-，选项C 正确； z 的共轭复数为1z i =-+，选项D 错误.本题选择C 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．D解析：D 【解析】分析：由()1i 1i z +⋅=-，得1i1i-=+z ，再利用复数乘法、除法的运算法则求解即可.详解：由()1i 1i z +⋅=-，得()()()21i 1i 2i i 1i 1i 1i 2z --====-++-，故选D. 点睛：本题主要考查的是复数的乘法、除法运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++以及()()()()a bi c di a bi c di c di c di +-+=++- 运算的准确性，否则很容易出现错误.12．D解析：D 【解析】因为734i i ++(7)(34)2525=1(34)(34)25i i i i i i +--==-+-，所以所对应的点为(1,1)-，位于第四象限，选D.二、填空题13．【分析】作图先证明四边形ABCD 是正方形再利用复数的几何意义求解【详解】如图所示因为所以所以四边形ABCD 是正方形因为AB=BE 所以故答案为：【点睛】本题主要考查复数的几何意义和复数模的计算意在考查解析：5【分析】作图，先证明四边形ABCD 是正方形，再利用复数的几何意义求解. 【详解】如图所示，||1||,||2AB AD AC ===,AC AB AD =+，因为222AD DC AC +=,所以090ADC ∠=,所以四边形ABCD 是正方形. 因为AB=BE,所以2212|||2|125ED z z =-=+=【点睛】本题主要考查复数的几何意义和复数模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14．8【分析】设m ＝a+bi 得到（4x2+ax+4）+（3x2+bx ﹣3）i ＝0解出ab 的值从而求出|m|的最小值即可【详解】设m ＝a+bi ∵（4+3i ）x2+（a+bi ）x+4﹣3i ＝0∴（4x2+a解析：8 【分析】设m ＝a +bi ，得到（4x 2+ax +4）+（3x 2+bx ﹣3）i ＝0，解出a ，b 的值，从而求出|m |的最小值即可．【详解】设m ＝a +bi ，∵（4+3i ）x 2+（a +bi ）x +4﹣3i ＝0， ∴（4x 2+ax +4）+（3x 2+bx ﹣3）i ＝0，∴22440330x ax x bx ⎧++=⎨+-=⎩，∴a 24(1)x x+=-，b 23(1)x x -=-，∴|m |==≥=8，当且仅当x 2＝1时“＝”成立，故答案为：8．【点睛】本题考查了复数的运算性质及基本不等式求最值，考查解方程组问题，是一道基础题．15．【分析】由两个复数差的模的几何意义得从而求得的最大值【详解】因为复数满足所以即所以答案【点睛】考查复数的模解题的关键是表示出【分析】由两个复数差的模的几何意义得()222,z z i z i z i =-+=--≥-- 从而求得z 的最大值．【详解】因为复数z 满足21z i -+=，所以()222,z z i z i z i =-+=--≥--即21z i --≤，2z i ≤-【点睛】考查复数的模，解题的关键是表示出z .16．【解析】∵复数是纯虚数解得解析：23-【解析】∵复数()()()()32326i a i a a i -+=++-是纯虚数，32060a a +=⎧∴⎨-≠⎩，解得2.3a =-.17．【解析】由得：则x=1时时当时当时故答案为解析：25【解析】由410,x x C -=∈得： 1x x i ，=±=±，则x=1时 12310x z i -=-+=，1x =-时，12332x z i -=--+= ，当x i =时，232425x z i i i -=-+=-+=当x i =-时，232222x z i i i -=--+=-+=.故答案为25.18．4【解析】由已知设则解析：4 【解析】由已知z C ∈，1z =，设()22,,1,1z a bi a b R a b a =+∈∴+=≤ 则()222222|211|121224z z z a b a a b a ++=+=++=+++=+≤19．【解析】∵z 为纯虚数∴且解得：m=点睛：对于复数当且仅当b=0时复数a+bi(ab ∈R)是实数a ；当b≠0时复数z=a+bi 叫做虚数；当a=0且b≠0时z=bi 叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时z 就是解析：52【解析】∵z 为纯虚数，∴22350m m --=且2230m m --≠，解得：m=52. 点睛：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R)是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数020．1【解析】因为实数满足所以解得故答案为解析：1【解析】因为实数,x y 满足()()3235x y x y i i -++=+，所以35{231x y x y -=+= 解得2{1x y ==- ， 1x y +=，故答案为1 .三、解答题21．（Ⅰ）1m =-；（Ⅱ）1z i =-【分析】（Ⅰ）根据纯虚数概念列方程，解得结果，（Ⅱ）解复数方程的z ，再根据共轭复数概念以及模的定义的结果. 【详解】（Ⅰ）∵z 为纯虚数，∴2251450532150m m m m m m m m ⎧==-⎧--=⇒⎨⎨≠≠---≠⎩⎩或且，∴1m =-；（Ⅱ）()()()2121111i i i z i i i i -===+++-，∴1z i =-， ∴()2121z i i i i +=-+=+=【点睛】本题考查纯虚数、共轭复数以及复数运算，考查基本分析求解能力，属基础题. 22．⑴m=1⑵m=0⑶ m=2 【分析】对于复数(,)z a bi a b R =+∈，（1）当且仅当0a b 时，复数0z =；（2）当且仅当0a =，0b ≠时，复数z 是纯虚数；（3）当且仅当2a =，5b =时，复数25z i =+．【详解】（1）当且仅当 ()210230m m m m ⎧-=⎨+-=⎩解得m=1，即m=1时，复数z=0．（2）当且仅当()210230m m m m ⎧-=⎨+-≠⎩解得m=0，即m=0时，复数z=﹣3i 为纯虚数．（3）当且仅当()212235m m m m ⎧-=⎨+-=⎩解得m=2，即m=2时，复数z=2+5i ．【点睛】本题考查了复数的基本概念，深刻理解好基本概念是解决好本题的关键．23．(1) 34,5z i z =+=.(2) 1,2a b =-=.【分析】()1利用复数代数形式的运算进行化简求得z ，根据求模公式可得z()2由()1把z 代入等式，利用复数相等的充要条件可得方程组，解出即可得到答案【详解】（1）解：（1）依题意得，（2）解得：【点睛】本题主要考查了复数代数形式的运算和求模公式，复数相等的充要条件24．（1）12z i =-+，222z i =-．（2）3144i -+ 【解析】分析：(1)由已知复数12,z z ，求出12z z +，再由12z z +是纯虚数，列出列出相应的等量关系式和不等关系式，求解即可得a 的值，进一步求出12,z z ；(2)直接把12,z z 代入12z z ，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案. 详解：（1）()12241z z a a i +=-+-， ∵12z z +为纯虚数，∴240a -=，2a =，∴12z i =-+，222z i =-．（2）()()()()12212213122211444i i z i i i z i i i -++-+---====----+， ∴12z z 的共轭复数为3144i -+．点睛：该题考查的是有关复数的概念及运算问题，在解题的过程中，注意应用纯虚数的概念得到参数所满足的关系式，从而求得结果，二是要熟练掌握复数的除法运算法则，再者就是要注意题的条件，理解共轭复数的概念，求得结果.25．（152）2z i =+；（3）4m =.【分析】（1）直接根据模长的定义求解即可；（2）实部相等，虚部相反即可；（3）推导出()()22250i i m ---+=，由此能求出实数m 的值.【详解】（1）因为复数2z i =-；故z == （2）2z i =+；（3）∵z 是关于x 的方程250x mx -+=一个虚根，故()()()()222508240i m i m m i ---+=⇒-+-=；因为m 为实数，所以4m =.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的模长、共轭复数的定义、复数方程的根，考查了计算能力，属于基础题．26．m ≠5，m ≠－3且m ≠－2(m ∈R)【解析】试题分析：根据虚数定义得m 2－2m －15≠0，根据分母不为零得m ≠－2，解得m 的取值范围．试题 ∵z 1＝22m m m ++＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ， ∴z 1＋z 2＝222m m m +-+（）＋[(m －15)＋m (m －3)]i ＝242m m m --+＋(m 2－2m －15)i. ∵z 1＋z 2为虚数，∴m 2－2m －15≠0且m ≠－2，解得m ≠5，m ≠－3且m ≠－2(m ∈R)．点睛：要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为(,)a b 、共轭为.-a bi。

高二数学选修2-2_本章小结：数系的扩充与复数的引入

小结：数系的扩充与复数的引入
一、本章知识结构
二、回顾与思考
1.复数系是在实数系的基础上扩充而得到的.数系扩充的过程体现了实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）对数学发展的推动作用，同时也体现了人类理性思维的作用.请你收集一些从实数系扩充到复数系的数学史料，并对“整数——分数（有理数）——实数——复数”的数系扩充过程进行整理.
2.学习复数应联系实数，注意到复数事实上是一对有序实数，请比较实数、虚数、纯虚数、复数之间的区别和联系，比较实数和复数的几何意义的区别.
3.你对复数四则运算法则规定的合理性，以及复数代数形式的加、减运算与向量的加、减运算的一致性有什么体会？
4.在学习本章时，应注意复数与实数、有理数的联系，复数及其代数形式的加、减运算与平面向量及其加、减运算的联系，还应注意复数及其代数形式的加法、减法、乘法运算与多项式及其加法、减法、乘法运算的联系.这些关系可以用以下框图表示：
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数学高二-选修2-2第五章数系的扩充与复数的引入单元测试B

北师大版数学选修2-2第五章数系的扩充与复数的引入单元测试B一、选择题：1、若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数x 的值是（）A 1B 1-C 1±D 以上都不对2、221(1)(4),.z m m m m i m R =++++-∈232.z i =-则1m =是12z z =的（）条件A 充分不必要B 必要不充分C 充要D 既不充分又不必要3、若12,z z C ∈，则1212z z z z ⋅+⋅是（）A 纯虚数B 实数C 虚数D 无法确定4、(),()n n f n i i n N -+=+∈的值域中，元素的个数是（）A 2B 3C 4D 无数个5、3()m i R +∈，则实数m 的值为（）A ±3±2±6、若x C ∈，则方程||13x i x =+-的解是（）A 122+ B 124,1x x ==- C 43i -+ D 122-7、|34|2z i ++≤，则||z 的最大值为（）A 3B 7C 9D 58、已知z =则501001z z ++的值为（）A iB 1C 2i +D 39、已知11x x +=，则199619961x x +的值为（）A 1-B 1C i -D i10、已知方程|2||2|z z a --+=表示等轴双曲线，则实数a 的值为（）A ± B11、复数集内方程25||60z z ++=的解的个数是（）A 2B 4C 6D 812、复数1cos sin ,(2)z i ααπαπ=++<<的模是（） A 2cos 2α B 2cos 2α- C 2sin 2α D 2tan 2α-二、填空题：13、34i +的平方根是、。

14、在复平面内，若复数满足|1|||z z i +=-，则所对应的点的集合构成的图形是。

15、设12ω=-，则集合A={|()k k x x k Z ωω-=+∈}中元素的个数是。