反比例函数的图象和性质
反比例函数的图像与性质.
x 0
y
0
x
如图，函数y=k/x和y=－kx+1(k≠0)在同 一坐标系内的图象大致是 （ D ）
6
y
6
y
4
4
2
2
-5
O
-2
5
x
-5
O
-2
5
x
A
-4
B
y
6
-4
先假设某个函数 图象已经画好， 再确定另外的是否 符合条件.
6
y
4
4
2
2
-5
O
-2
5
x
-5
O
-2
5
x
-4
C
D
-4
k 3.已知反比例函数 y (k≠0) x
b’
b B A a’ a
0 书本练习P53. 1 .2
x
已知直线y=kx（k>0） 绕原点旋转，与反比例函数 8 在第一象限交于点P。 y=— X 过点P向X轴，y轴作垂线， 垂足分别是A，B。 问 OAPB是一个什么图形？ 随着直线的转动，这个图形 的面积将如何变化？
B B
P
y=kx P
A
A
不变，等于8
C 4
x
Gibco胎牛血清/xueqing/ Gibco胎牛血清
mqu79hno
次装满一大海碗，对耿兰说：“兰儿，你去姥爷那儿跑一趟哇，这个饺子应该比饭店里做的好吃呢，让姥爷和舅舅他们也尝一 尝！”剩下的，郭氏装在干净的竹篮子里，吩咐耿英悬挂到地窖里去了。耿兰从姥爷那儿返回来的时候，娘和姐姐已经把所有 的剩饭剩菜都收拾妥当，并且把几大摞碗碟，以及酒瓶子酒盅筷子什么的都洗刷干净归置好了。郭氏说：“咱们都歇息一会儿 哇，晚上还要热闹呢！娘今儿个很高兴，可也有些个累了呢！”于是，娘三个就在东、西两个厢房内小睡去了。半下午时分， 耿英醒来了。看到妹妹还在酣睡呢，就轻手轻脚地起身下炕来。再轻轻走到西厢房的门口探头往里瞧瞧，见娘还睡得很沉，就 动作轻轻地把晚上“供月”的各色水果都洗干净了空在漏箩里。看到娘和妹妹还没有睡醒的迹象，耿英想，俺也看看水稻去！ 于是，她轻手轻脚地出门倒挂上院门，又尽量动作轻轻地拉齐了。然后，就脚步轻盈地往爹试种的水稻田那边去了。耿英先去 了自家的水田边，看到齐刷刷秀了穗儿的水稻在微风中略显沉重地摇曳着。用手捏一捏，真是已经灌了半饱的浆了呢！再看看 稻田周围的几十个草人儿，见它们“手”里绑着的那些个拉了很长的纸旗儿一飘一飘的忒好玩儿，耿英不觉笑出了声儿。高高 兴兴地独自观看一圈后，她又往不远处舅舅家的水田那边溜达过去了。一直到黄昏时分，父子四个才高高兴兴地返回家来。这 个时候，郭氏和耿兰已经把八仙桌和餐桌全都搬到当院儿里了，正在那里摆放各种鲜瓜和鲜果子呢。见父子四个回来了，郭氏 说：“哎呀，这一下午，睡得可真叫个香哇。醒来以后，一点儿都不觉得累了！英子啊，你还是那样经得起摔打哇，早早地就 起来洗好了瓜果，还去看你爹的水稻了？”耿英轻轻笑一笑说：“俺睡了一会儿就不觉得累了。咱们上午那点儿活计，小菜一 碟儿！”耿兰不好意思地说：“可俺像死猪一样，几乎睡了整整一个下午呢！”耿直夸张地瞪大眼睛大声儿对妹妹说：“兰兰 啊，你哪里能跟咱姐比哇！你是咱娘在暖房里养大的嫩苗苗，咱姐可是在旷野中疯长的圪针啊，不光是硬实无比，还扎人呢！” 耿英笑着说：“小直子你就摆忽哇。将来啊，非得让你在咱们家盖的大戏台上，好好儿地过一把你这个喜欢瞎摆忽的瘾不可！” 郭氏不解地看看耿英，又看看耿直，说：“你们都在说些什么呢？嫩苗苗、圪针的，还要让小直子过什么瞎摆忽的瘾？俺怎么 越听越糊涂了？”耿兰假装生气地斜了姐姐和二哥一眼，恨恨地说：“俺也只是听明白了一半呢！娘，咱俩不理他们，还给咱 们咬文嚼字呢！谝他们强，看俺将来不超过他们！”耿老爹听了小女儿这话却非常高兴，笑着说：“就是，俺兰儿一点儿也不 比他们差，将来一定能超过他们的！”耿正对爹说：“俺就喜欢兰
反比例函数的图像和性质3要用
x<-2或x>0 当y﹥-1时,x的取值范围是 _________ .
考察函数 y k 的图象,当x=-2时,y= __3 ；
0<y<3 当x<-2时,y的取值范围是 _____ ;
y
x
y>3或y<0 当x﹥-2时,y的取值范围是 _________ -2<x<0 当y﹥3时,x的取值范围是 _________ .
p
y
N
o x
M
如图，已知A（-2，1）、B（n，-2）是一次 m 函数y=kx+b的图象与反比例函数 y 的图 x 象的两个交点； （1）求此反比例函数和一次函数的解析式 （2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数 的值的x的取值范围； （3）求△AOB的面积．
拓展练习
1、已知点（ x1，-1 ）（ x2，5），
1 的图象上， （x3，-9）在函数y= x
则下列关系式正确的是（ C
A C x1＜x2＜x1＞x2＞x3
D x1＜x3＜x2
练一练
2、若M(-3.5,y1)、N(-1.2,y2)、P(2.7,y3)三点都 在函数y=k/x（k>0）的图象上，则y1、y2、y3 的大小关系是( C ) (A)y1>y2>y3 (B)y1>y3>y2 (C)y3>y1>y2 (D)y2>y3>y1
A 面积分别为S1 , S 2 , S3 , 则有 __ .
A.S1 = S2 = S3 B. S1 < S2 < S3 C. S3 < S1 < S2 D. S1 > S2 >S3
y
A S1 B S2
反比例函数反比例函数的图象与性质
2023-11-06
contents
目录
• 反比例函数概述 • 反比例函数的图象 • 反比例函数的性质 • 反比例函数的应用 • 反比例函数的扩展知识
01
反比例函数概述
反比例函数的定义
反比例函数定义
一般地，形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数 。
反比例函数的积分特性
反比例函数在区间(-∞,0)和(0,+∞) 上的积分等于常数k。
VS
反比例函数在区间(-∞,x)和(x,+∞)上 的积分等于常数k乘以x。
04
反比例函数的应用
用反比例函数解决实际问题
电力分布
在电力分布问题中，常常 需要使用反比例函数来计 算电力的分布情况，以便 合理规划电力设施。
反比例函数的定义域和值域
定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y≠0}。
反比例函数的单调性
在区间(-∞,0)和(0,∞)上单调递减。
反比例函数的基本形式
反比例函数的基本形式
01
一般地，形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。Biblioteka 反比例函数的解析式02
反比例函数通常被表示为y = k / x的形式，其中k是常数且不
热传导
在热传导中，可以使用反比例函数 来描述热量在介质中的传导规律。
在几何中的应用
圆的面积
在计算圆的面积时，可以使用 反比例函数来描述圆的面积与
半径之间的关系。
球的体积
在计算球的体积时，可以使用 反比例函数来描述球的体积与
半径之间的关系。
光线反射
在光线反射问题中，可以使用 反比例函数来描述光线反射的
反比例函数的图像和性质
A S1 B
A. B. C. D.
S1 S1 S3 S1
= < < >
S2 S2 S1 S2
= S3 < S3 < S2 >S3
C
o
S2 S3 A1 B1 C1
x
7.如图，过平面直角坐标系中的x轴上的整数 点1、2、3、4、5作x轴的垂线，分别交反比例函数 D、E作y轴的垂线。则图中阴影部分的面积是___.
1 4.如图在坐标系中，直线y=x+ 2
k与ห้องสมุดไป่ตู้
4.如图，点A、C是反比例函数
的图
像上的任意两点，过点A作x轴的垂线，过点C 作y轴的垂线，连接OA、OC，设Rt△OAB和 Rt△OCD（O为坐标原点）的面积分别是M和N， y 则M、N的大小关系是（ ） A.M>N B.M<N C.M=N D.M和N的大小关系不能确定.
S1
A
B
o
S2
x
C
D
1 5. .如图, 在 y ( x > 0 )的图像上有三点 A , B , C , x 经过三点分别向 x 轴引垂线 , 交 x 轴于 A1 , B1 , C 1 三点 , 边结 OA , OB , OC , 记 OAA 1 , OBB 1 , OCC 1的 面积分别为 S 1 , S 2 , S 3 , 则有 __ .
3 2
5 D. 2
y A D C O B
x
例1.如图：一次函数y=ax+b的图象与 k 反比例函数y= x 交于M （2，m） 、N （1，-4）两点。（1）求反比例函数和一次 函数的解析式；（2）根据图象写出反比 例函数的值大于一次函数 y 的值的x的取值范围。
反比例函数图像及其性质
易加益教育培训中心——溧阳校区 小学、初中创新教育专家反比例函数图像及其性质一、函数定义一般的，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成 xk y (k 为常数，k ≠0），其中k 叫做反比例系数，x 是自变量，y 是自变量x 的函数，x 的取值范围是不等于0的一切实数，且y 也不能等于0。
k 大于0时，图像在一、三象限。
k 小于0时，图像在二、四象限。
k 的绝对值表示的是x 与y 的坐标形成的矩形的面积。
二、函数的性质1、单调性当k>0时，图象分别位于第一、三象限，从左往右，y 随x 的增大而减小，为减函数； 当k<0时，图象分别位于第二、四象限，从左往右，y 随x 的增大而增大，为增函数。
2、相交性因为y=k/x(k ≠0)中，x 不能为0，y 也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x 轴相交，也不可能与y 轴相交，只能无限接近x 轴，y 轴。
3、图像表达⑴ 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴：y=x 和y=-x （即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。
⑵ 反比例函数图像不与x 轴和y 轴相交的渐近线为：x 轴与y 轴。
⑶ k 值相等的反比例函数重合，k 值不相等的反比例函数永不相交。
⑷ |k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。
三、重点知识⑴ 过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为|k|。
⑵ 对于双曲线y=k/x ，若在分母上加减任意一个实数(即y=k/（x ±m ），m 为常数)，就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。
（加一个数时向左平移，减一个数时向右平移）四、反比例函数图像。
反比例函数的图像与性质
反比例函数的图象和性质一、反比例函数的定义函数ky x=（k 为常数，0k ≠）叫做反比例函数，其中k 叫做比例系数，x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数．二、反比例函数的图象反比例函数ky x=（k 为常数，0k ≠）的图象由两条曲线组成，每条曲线随着x 的不断增大（或减小）越来越接近坐标轴，反比例函数的图象属于双曲线．反比例函数k y x =与ky x=-（0k ≠）的图象关于x 轴对称，也关于y 轴对称．三、反比例函数的性质反比例函数ky x=（k 为常数，0k ≠）的图象是双曲线； 当0k >时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小；当0k <时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大．注意：⑴反比例函数ky x=（0k ≠）的取值范围是0x ≠．因此，①图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来． ②叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”，如当0k >时，双曲线ky x=的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小．这是由于0x ≠，即0x >或0x <的缘故．如果笼统地叙述为0k <时，y 随x 的增大而增大就是错误的．⑵由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图象和x 轴、y 轴都没有交点，但画图时要体现出图象和坐标轴无限贴近的趋势． ⑶在画出的图象上要注明函数的解析式．四、反比例函数解析式的求法反比例函数的解析式(0)ky k x=≠中，只有一个系数k ，确定了k 的值，也就确定了反比例函数的解析式．因此，只需给出一组x 、y 的对应值或图象上一点的坐标，利用待定系数法，即可确定反比例函数的解析式．五、比例系数k 的几何意义过反比例函数()0ky k =≠，图象上一点()P x y ，，做两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P 点组成一个矩一、反比例函数的定义及解析式的确定【例1】 下列关于x 的函数中：①2y x =；②43y x -=；③ky x=；④22m y x +=中，一定是反比例函数的有（ ）A ．1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个【巩固】已知y 与2x 成反比例，当3x =时，4y =，则y 是x 的（ ）A ． 正比例函数B ．一次函数C ．反比例函数D ．以上都不是【例2】 若函数||1a y x-=是反比例函数，则a 的值为（ ）． A ． a 为任意实数 B ． 0a > C ． 1a ≠ D ． 1a ≠±【巩固】已知()2212m m y m m x +-=+是关于x 的反比例函数，求m 的值及函数的解析式．【例3】 已知反比例函数的图象经过点()3,2和(),2m -，则m 的值是 ．【巩固】已知212y y y =+，其中1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，且当2x =和3x =时，y 的值都为l9，求y 与变量x 的函数关系式．二、反比例函数的图象分布及增减性【例4】在下图中，反比例函数21kyx+=的图象大致是（）ABC D【巩固】函数kyx=（0k>）的图象可能是（）A. B. C. D.【例5】函数kyx=与y kx b=+在同一坐标系的图象大致是图中的（）ABCD【巩固】函数(0)ky k x=≠的图象如图所示，那么函数y kx k =-的图象大致是（ ）AD【例6】 已知0a ≠，0b ≠，0a b +≠则函数y ax b =+与a by x+=在同一坐标系中的图象不可能是() A. B. C. D.【巩固】如图，反比例函数1k y x-=与一次函数(1)y k x =+只可能是（ ）A. B. C. D.【例7】 反比例函数2(0)k y k x=≠的图象的两个分支分别位于 ．【巩固】已知点()1P a ，在反比例函数ky x=（0k ≠）的图象上，其中223a m m =++（m 为实数），则这个函数的图象在第_____象限．【例8】 在反比例函数5k y x-=图象的每一支曲线上，y 都随x 的增大而减小，则k 的取值范围是 （ ） A ．5k > B ．0k > C ．5k < D ．0k <【巩固】已知反比例函数12my x-=的图象上两点A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），当120x x <<时，有12y y <，则m 的取值范围是__ ___．【例9】 已知3b =，且反比例函数1by x+=的图象在每个象限内，y 随x 的增大而增大，如果点（a ，3）在双曲线上1by x+=，则_____a =．【例10】 若A （1a ，1b ），B （2a ，2b ）是反比例函数2y x=-图象上的两个点，且 12a a <，则1b 与2b 的大小关系是（ ）A ．12b b <B ．12b b = C ．12b b > D ．大小不确定【巩固】已知反比例函数ky x=的图象在第二、第四象限内，函数图象上有两点()()1227,,5,A y B y ，则1y 与2y 的大小关系为（ ）A ．12y y >B ． 12y y =C ． 12y y <D ． 无法确定【例11】 反比例函数3y x=-的图象上有三点，（2-，a ），（1-，b ），（1，c ） ，比较a ，b ，c 大小．【巩固】若点A （1-，1y ）、B （2，2y ）、B （π，3y ）都是反比例函数21k y x+=的图象上，试比较1y 、2y 、3y 的大小关系 ．1. 已知函数1mm y x-=是y 关于x 的反比例函数，求m 的值．2.如图，点P 在反比例函数()10y x x=>的图象上，且横坐标为2． 若将点P 先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后所得的像为点'P ．则在第一象限内，经过点'P 的反比例函数图象的解析式是（ ）A ．()50y x x =->B ．()50y x x=>C ．()60y x x =->D ．()60y x x =>3.函数y x m =+与(0)my m x=≠在同一坐标系内的图象可以是（）4.已知反比例函数的图象经过点()21P -，，则这个函数的图象位于（ ） A ．第一、三象限B ．第二、三象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限5.反比例函数()2231m y m x -=-的图象所在的象限内，y 随x 增大而增大，则反比例函数的解析式是（ ） A ．4y x =B ．4y x =-C ．4y x =或4y x=- D ．不能确定6.反比例函数21m y x-=的图象如图所示，1(1)A b -，，2(2)B b -，是该图象上的两点． ⑴比较1b 与2b 的大小； ⑵求m 的取值范围．。
反比例函数的图像和性质ppt课件
7、若点（-2，y1）、（-1，y2）、（2，y3）在
反比例函数 y = - 1 0 0 的图象上，则（
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
）
A、y1>y2>y3 C、y3>y1>y2
B、y2>y1>y3 D、y3>y2>y1
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
已知点A(2,y1)， B（5,y2)C是（反-3比,y例3)函是数y 象上的两点．请比较y1,y2的,y大3的小大．小．
4 x
图
y
⑴代入求值
y1 A B
-3 y2 O2 5
C y3
⑵利用增减性
⑶根据图象判断
x
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
1、反比例函数y= - 5 的图象大致是（ D ）
y
x
y
A：
o
x
B：
o
x
y
C：
o
x
D：
y
o x
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
2、我校食堂有5吨煤，用y表示可以用的天数
，用x表示每天的烧煤量，则y关于x的函数的
10
１、这几个函数图象有 8 什么共同点？
２、函数图象分别位于 6 哪几个象限？
4
３、y随的x变化有怎
反比例函数图象和性质
对称性
反比例函数的图象关于原点对称，即 如果点 (x, y) 在图象上，那么点 (-x, y) 也在图象上。利用这一性质，可以 更快地描出图象。
图象特点总结
图象形状
反比例函数的图象是一条双 曲线，且以原点为中心对称 。
渐近线
当 x 趋向于正无穷或负无穷 时，y 趋向于 0。因此，x 轴和 y 轴是反比例函数的渐 近线。
在生物学领域，反比例 关系可以描述生物体内 部某些生理过程之间的 平衡关系。例如，在生 态系统中，捕食者和猎 物之间的数量关系可能
呈现出反比例关系。
THANK YOU
解析法
对于反比例函数f(x)=k/x (k≠0)，可以通过求导来判断其增减性。当k>0时，f'(x)=-k/x^2<0，函数在定义域内 单调递减；当k<0时，f'(x)=-k/x^2>0，函数在定义域内单调递增。
对称性表现形式
中心对称性
反比例函数的图象关于原点对称。即对于任意一点(x,y)在反比例函数的图象上， 其关于原点的对称点(-x,-y)也在反比例函数的图象上。
06
函数图象位于第二象限和第四象限，且关于原点对称。
02
反比例函数图象绘制
列表法绘制步骤
确定函数表达式
列表取值
首先确定反比例函数的表达式 y = k/x (k ≠ 0)。
在自变量 x 的取值范围内，选取一些具有 代表性的点，计算对应的函数值 y。
绘制坐标点
连线成图
在坐标系中，将选取的点用坐标 (x, y) 表示 出来。
变速直线运动
在某些变速直线运动中，速度与时间的关系也可以近似为反 比例关系。此时，可以利用反比例函数来分析和求解相关问 题。
函数及其图象反比例函数反比例函数的图象和性质
反比例函数图像的变换规律
伸缩变换
当k值变化时，反比例函数的图像 会沿着x轴或y轴方向伸缩。当k增 大时，图像会向原点靠近；当k减 小时，图像会远离原点。
平移变换
当反比例函数沿x轴或y轴平移时 ，其图像也会相应地沿x轴或y轴 方向移动。
03
反比例函数的性质
反比例函数的单调性
递减性
当$k > 0$时，反比例函数在$(\infty,0)$和$(0,+\infty)$上单调递 减。
溶质溶解度
在溶质溶解度中，溶解度 与温度也成反比关系，即 温度越高，溶解度越低。
反比例函数在经济问题中的应用
供需关系
在市场经济中，供需关系 呈反比关系，即供应量越 大，需求量越小；反之亦 然。
货币流通速度
在货币流通中，货币流通 速度与货币供应量也成反 比关系，即货币供应量越 大，货币流通速度越慢。
热力学中的气体定律
在热力学中，气体的压强与体积也成反比关系，即压强越大，体积 越小。
反比例函数在化学问题中的应用
01
02
03
化学反应速率
在化学反应中，反应速率 与反应物的浓度成反比关 系，即浓度越高，反应速 率越快。
化学平衡
在化学平衡中，反应物的 转化率与反应温度成反比 关系，即温度越高，转化 率越低。
04
反比例函数的图像是双 曲线。
反比例函数的应用场景
在物理学中，反比例函数可以用来描述一些物理量之间的关系，例如电 流与电阻之间的关系可以表示为 $I = \frac{V}{R}$。
在化学中，反比例函数可以用来描述一些化学反应速率与反应物浓度之 间的关系。
在经济学中，反比例函数可以用来描述一些经济现象之间的关系，例如 需求与价格之间的关系可以表示为 $D = \frac{N \times P}{M}$。
反比例函数的图象和性质课件
函数值的无限性
01
由于x不能为0，所以y的值是无限 的，即反比例函数图像上存在无穷 多个点。
02
在每一个象限内，随着x的增大或 减小，y的值会趋近于无穷大或无 穷小。
函数值的单调性
当k>0时，函数在(0, +∞)区间内单调 递减，在(-∞, 0)区间内也单调递减。
当k<0时，函数在(0, +∞)区间内单调递 增，在(-∞, 0)区间内也单调递增。
反比例函数的定义
反比例函数是指形如 y = k/x (k ≠ 0) 的函数，其中 k 是 常数。
反比例函数的性质
反比例函数的图象是双曲线，当 k > 0 时，双曲线的两支 分别位于第一、第三象限；当 k < 0 时，双曲线的两支分 别位于第二、第四象限。
反比例函数的单调性
在各自象限内，反比例函数是单调递减的。
反比例函数的图象和性质课件
目录
• 反比例函数概述 • 反比例函数的图像性质 • 反比例函数的性质 • 反比例函数的应用 • 反比例函数的扩展知识
01 反比例函数概述
反比例函数的定义
反比例函数是指函数形式为$f(x) = frac{k}{x}$（其中$k neq 0$）的函数。
当$k > 0$时，反比例函数的图像分布在 第一象限和第三象限；当$k < 0$时，图 像分布在第二象限和第四象限。
经济问题
在经济学中，反比例函数可以用 于描述商品价格与市场需求之间 的关系，通过分析反比例函数的 特性，可以预测市场价格的变动
趋势。
在物理中的应用
磁场问题
在电磁学中，磁场与电流之间的 关系可以用反比例函数描述，通 过分析反比例函数的特性，可以 解决与磁场和电流相关的问题。
反比例函数的图象和性质课件
反比例函数的图象和性质ppt课件介绍了反比例函数的定义、性质、图象以及 应用。通过课件，你将了解反比例函数的基本概念和特点，并掌握其在实际 问题中的应用。
I. 反比例函数的定义及性质
定义
反比例函数是一种特殊的函 数关系，其变量之间的比例 关系是相反的。
解析式
反比例函数的解析式一般为y = k/x，其中k为常数。
练习题演练
通过练习题的演练，加深对反比例函数的理解，并提高解决实际问题的能力。
IV. 总结与思考
特点回顾
反比例函数具有对称轴、渐近线等特点，是一种重要的函数类型。
图象对实际问题的帮助
反比例函数的图象可以帮助我们理解和解决实际问题，提供定性和定量的分析。
进一步思考
通过深入思考和探索，我们可以将反比例函数应用于更复杂的优化问题中。
反比例函数的图象可以通过平移、 伸缩等变换得到不同的形态。
反比例函数的图象包括关键点， 如顶点、渐近线和交点。
III. 反比例函数的应用
与正比例函数的关系
反比例函数和正比例函数是互为倒数的关系，它们在实际问题中经常同时出现。
实际问题中的应用
反比例函数在经济、物理和工程等领域中有广泛的应用，例如弹簧的伸长和台阶的高度与数 量关系。
定义域和值域
反比例函数的定义域为除数 不为0的实数集合，值域为不 等于0的实数集合。
单调性
反比例函数在定义域内通常是单调递减或单调增 函数。
渐近线
反比例函数在x轴和y轴上都有渐近线，分别为y = 0和x = 0。
II. 反比例函数的图象
基本形态
变形
特征点
反比例函数的图象通常为双曲线， 具有一个对称轴。
反比例函数图象及性质
2x
2x
4x
800x
3、下列反比例函数图像的一个分支,在第三象限的是( B )
3
21k3(A) y (B)y (C) y (D) y
x
x
x
x
4、函数 y 1 a2 的图象在第 二、四 象限.
x
例题讲解
2 例1：在反比例函数 y x 的图象上有两点（x1，y1）、
（x2，y2）,若x1>x2 ，则y1>y2吗？
x 当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限， 在每个 象限内y值随x值的增大而减小.
当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限， 在每个 象限内y值随x值的增大而增大.
y
6
y=
6 x
5 4
3
2
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x
-1
-2 -3
-4 -5
-6
观察y 6 和y 6 的图象
x
x
发现函数值y怎样随着自变量x的变化而变化？
1、在每一个象限内 2、在整个自变量的取值范围内
如图xB< xA 但yB< yA
y
6
6
5
y x
4
· 3
A
y
· C 6
6
5
y
x
4
3
2
2
xB
1
x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x
-1
A
· -2
B
-3
-4 -5
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
3
-1
-2
反比例函数的图像和性质
反比函数的图象和性质是什么？
反比函数的图象是什么？反比函数的图像是在一个坐标轴上有两根相互对称的曲线而组成，性质分别为：①单调性、②面积、③图想表达、④对称性，以上就是反比函数的图象和性质。
接下来详细的看一下其中的内容吧！
①单调性：反比函数是具有单调性的，当函数内容k大于零的时候，图像分别位于第一三象限，而在每一个象限的内部，从左往右来数，y 是随着x的增大而减少，如果K小于零的时候，图像分别位于第二四象限，在每一个象限的内部，y随着x的增大而增大。
当K大于零的时候，函数在x小于零上是一个减函数，而在x大于零的时候，也是为减函数。
在k小于零的时候，函数在x小于零上为增函数，在x大于零的时候同为增函数。
②面积：在一个反比例函数上面取两个点，这两个点可以随意的取，然后过点分别做一个x轴和一个y轴的平行线，而这个平行线是可以和坐标轴围成一个矩形，而这一个矩形的面积为绝对值得K。
而在反比例函数上，找到一个点，向X/Y轴分别做一个垂线，设置一个围好的矩形，而这个矩形则为QOWM，这个垂线分别位于y轴和x 轴，则围成形状的这个面积为绝对值得K，则连接这个矩形的对角线为OM，则满足RT△OMQ的面积等于二分之一绝对值得K。
③图像表达：对于反比例函数的图像来说的话，不和x轴或者是y轴的相交渐近线为x轴和y轴，K值相等的反比例函数图像是相互重合的，k值不相等的反比例函数图像是永远都不会相交的，而绝对值得K 越大的话，反比例函数距离坐标轴就会越来越远。
④对称性：反比例函数是一种中心对称的图形，对称中心是原点，而正是这样的一个反比例函数的图像也是轴对称图形，随意反比例函数上的点是关于原点坐标对称的，图像关于原点对称。
《反比例函数的图象和性质》课件
新知探究 知识点1：反比例函数图象和性质的综合
例3 已知反比例函数的图象经过点 A(2，6).
(1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如何变
化？A(2，6)Fra bibliotek第一象限
反比例函数
函数位于第
一，三象限
在每一个象限内，
y随x的增大而减小
解：（1）因为点 A（2，6）在第一象限 ,所以这个函数的
解析：∵k＝﹣12＜0，∴双曲线在第二，四象限，
∵x1＜0＜x2，∴点A在第二象限，点B在第四象限，
∴y2＜0＜y1．
6
2.如图，正比例函数y＝kx与函数y＝
的图象交于A，
B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，则S△ABC＝__________．
12
解析：连接OC，设AC交x轴于点N，BC交y
轴于M点，∴S△AON＝S△OBM ＝3.
>0的
> 0 的解集.
课堂小结
画法
列表、描点、连线
形状
双曲线
图象
反
比
例
函
数
图象位置
性质
增减性
k 的几何意义
对接中考
1.已知点A（x1，y1）,B（x2，y2）在反比例函数y＝﹣
12
的图象上．若x1＜0＜x
,则（
2
A．y1＜0＜y2
C．y1＜y2＜0
）
B
B．y2＜0＜y1
D．y2＜y1＜0
S△OAE =5，
S四边形BECD =5
S阴影=1
随堂练习
1.已知点 A(x1，3)，B(x2，6)都在反比例函数 =
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B
A
O y
=____________；
的面积是否发生变化？ B A
O y
x
可以得到AOB S D =____________. 2.从反比例函数x
k
y =
（k ≠0）的图象上任一点P （x ，y ）向x 轴、y 轴作垂线段，与x 轴、y 轴所围成的矩形面积S ＝ . 二、合作、交流、展示：
1．已知反比例函数的图象经过点A （2,6）.
（1）这个函数的图象位于哪些象限？y 随x 的增大如何变化？
（2）点B （3,4），C （142,42
5
--），D （2,5）是否在这个函数的图像上？
解：
【反思】判断点是否在图像上，只要 .
2.下列图形中，阴影部分面积最大的是（ ） A ．
B ．
C ．
D
．
3. 如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数x
m
y =
的图象交于A （－2，1）、B （1，n ）两点.（1）分别求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围；
（3）求△AOB 的面积.
三、巩固与应用：
1. 已知点（－1，y 1）、（2，y 2）、（π，y 3）在双曲线x
k y 1
2+-=上，则下列关
系式正确的是（ ）
（A ）y 1＞y 2＞y 3 （B ）y 1＞y 3＞y 2 （C ）y 2＞y 1＞y 3 （D ）y 3＞y 1＞y 2
2. 如图，A 、B 是函数x
y 2
=
的图象上关于原点对称的任意两点，BC ∥x 轴，AC ∥y 轴
，
△ABC 的面积记为S ，则( )． (A)S ＝2 (B)S ＝4
(C)2＜S ＜4
(D)S ＞4
3.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数x
k
y =
(x>0)的图象和矩形ABCD 的第一象限，AD 平行于x 轴，且AB =2，AD =4，点A 的坐标为(2，6) ． （1）直接写出B 、C 、D 三点的坐标；
（2）若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是哪两个点，并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式． 四、小结： １.理解反比例函数k 的几何含义；２.综合运用知识解题.
五、作业：必做：课本P9习题T5，8，9习题T ； 选做：《作业精编》相应练习.
一、
二、
三、
四、
五、课前导学：预习课本第1页至第3页，完成下列问题:
1.我们形如的函数叫做一次函数，当时，又叫做正比例函数.
2.探究：反比例函数的意义
问题1：(1)京沪线铁路全长1 463km，某次列车的平均速度vkm/h•随此次列车的全程运行问题th的变化而变化，其关系可用函数式表示为：
(2)某住宅小区要种植一个面积为1 000m2矩形草坪，草坪的长ym随宽xm•的变化而变化，可用函数式表示为 (3)已知北京市的总面积为1.68×104km2，人均占有的土地面积Skm2/人，随全市总人口n人的变化而变化，其关系可用函数式表示为．
问题2上述问题中的函数关系式都有什么共同的特征？
4. 反比例函数的意义：一般的，形如 的函数，叫做反比例函数，其中x 是自变量， y 是函数学．自变量的取值范围是 的一切实数．
5.下列哪个等式中的y 是x 的反比例函数？
6.已知y 是x 的反比例函数，当x=2时，y=6．写出y 与x 的函数关系式； 求当x=4
时，y 的值．
7.已知y 与(2x+1)成反比例，且x=1时，y=2，那么当x=0时，y 的值是
二、
合作、交流、展示：
1.比例函数的意义：反比例函数的解析式 ,y=
x
k 反比例函数的变形形式：（1）xy=k (2)1
-=kx y 2.例题1.下列等式中，哪些是反比例函数? （1）3x y =
（2）x y 2-= （3）xy ＝21 （4）2
5
+=x y
（5）x y 23-
= （6）31
+=x
y （7）y ＝x －4 例题2.当m 取什么值时，函数
2
3)2(m x m y --=是反比例函数？
例题3(拓展提升)．已知函数y ＝y 1＋y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝4；当x ＝2时，y ＝5
(1)求y 与x 的函数关系式； (2)当x ＝－2时，求函数y 的值
归纳总结： 注意y 1与x 和y 2与x 的函数关系中的比例系数 ，故不能都设为k ， 要用 的字母表示。
三、巩固与应用：
1已知函数y=(m+2)x
｜m ｜－3
是反比例函数,则m 的值是 ．.
2.已知y=y 1－y 2，y 1与x 成反比例，y 2与x －2成正比例，并且当x=3时，y=5； 当x=1时，y=－1.求y 与x 之间的函数关系式.
3.下列各变量之间的关系属于反比例函数关系的有( )
①当路程s 一定时,汽车行驶的平均速度v 与行驶时间t 之间的关系; ②当电压U 一定时,电路中的电阻R 与通过的电流强度I 之间的函数关系;
()()()().5
18;57;76;3652x y x y xy x y ==
-=+-=()()()().24;2
3;4.02;51====xy x y x y x y
③当矩形面积S一定时,矩形的两边a与b之间的函数关系;
④当受力F一定时,物体所受到的压强p与受力面积S之间的函数关系.
A.①②③
B.②③④
C.①③④
D.①②③④4．一张一百元的新版人民币把它换成50元的人民币，可得几张？换成10元的人民币可得几张？依次换成5元，2元，1元的人民币，各可得几张？换得的张数y 与面值x之间有怎样的关系呢？请同学们填表:
换成的面值x(元) 50 20 10 5 2 1
换成的张数y(张)
(1)用含有x的代数式表示y.(2)换成的面值x会怎样变化呢？变量y是x的什么函数？为什么？。