最新一元一次方程单元培优测试卷

一、初一数学一元一次方程解答题压轴题精选（难）

1．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC=30°，将一直角三角板（∠M=30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方．

（1）将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．如图2，经过t秒后，OM恰好平分∠BOC．①求t的值；②此时ON是否平分∠AOC？请说明理由；

（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC平分∠MON？请说明理由；

（3）在（2）问的基础上，经过多长时间OC平分∠MOB？请画图并说明理由．

【答案】（1）解：①∵∠AON+∠BOM=90°，∠COM=∠MOB，

∵∠AOC=30°，

∴∠BOC=2∠COM=150°，

∴∠COM=75°，

∴∠CON=15°，

∴∠AON=∠AOC﹣∠CON=30°﹣15°=15°，

解得：t=15°÷3°=5秒；

②是，理由如下：

∵∠CON=15°，∠AON=15°，

∴ON平分∠AOC

（2）解：15秒时OC平分∠MON，理由如下：

∵∠AON+∠BOM=90°，∠CON=∠COM，

∵∠MON=90°，

∴∠CON=∠COM=45°，

∵三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，

设∠AON为3t，∠AOC为30°+6t，

∵∠AOC﹣∠AON=45°，

可得：6t﹣3t=15°，

解得：t=5秒

（3）解：OC平分∠MOB

∵∠AON+∠BOM=90°，∠BOC=∠COM，

∵三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，

设∠AON为3t，∠AOC为30°+6t，

∴∠COM为（90°﹣3t），

∵∠BOM+∠AON=90°，

可得：180°﹣（30°+6t）= （90°﹣3t），

解得：t=23.3秒；

如图：

【解析】【分析】（1）①根据∠AON+∠BOM=90°，∠COM=∠MOB，及平角的定义∠BOC=2∠COM=150°，故∠COM=75°，根据角的和差得出∠CON=15°从而得到AON=∠AOC ﹣∠CON=30°﹣15°=15°，根据旋转的速度，就可以算出t的值了；②根据∠CON=15°，∠AON=15°，即可得出ON平分∠AOC ；

（2）15秒时OC平分∠MON，理由如下：∠AON+∠BOM=90°，∠CON=∠COM，从而得出∠CON=∠COM=45°，又三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，设∠AON为3t，∠AOC为30°+6t，根据∠AOC﹣∠AON=45°得出含t的方程，求解得出t的值；

（3）根据∠AON+∠BOM=90°，∠BOC=∠COM，及三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，故设∠AON为3t，∠AOC为30°+6t，从而得到∠COM

为（90°﹣3t），又∠BOM+∠AON=90°，从而得出含t的方程，就能解出t的值。

2．今年夏天，我州某地区遭受罕见的水灾，“水灾无情人有情”，州里某单位给该地区某中学捐献一批饮用水和蔬菜共320件，其中饮用水比蔬菜多80件。

（1）求饮用水和蔬菜各有多少件。

（2）现计划租用甲、乙两种型号的货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往受灾地区某中学。已知每辆甲型货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙型货车最多可装饮用水和蔬菜各20件，则该单位安排甲、乙两种货车时有几种方案?请你帮忙设计出来。

（3）在(2)的条件下，如果甲型货车每辆需付运费400元，乙型货车每辆需付运费360元。该单位应选择哪种方案可使运费最少?最少运费是多少元?

【答案】（1）解：设蔬菜有x件，根据题意得

解得：

答：蔬菜有件、饮用水有件

（2）解：设安排甲种货车a辆，根据题意得

解得：

∵a为正整数

∴或或

∴有三种方案：①甲种货车2辆，乙种货车6辆；

②甲种货车3辆，乙种货车5辆；

③甲种货车4辆，乙种货车4辆

（3）解：方案①：（元）

方案②：（元）

方案③：（元）

∵

∴选择方案①可使运费最少，最少运费是元

【解析】【分析】（1）设蔬菜有x件，根据题意列出方程，求出方程的解，即可求解；（2）设安排甲种货车a辆，根据题意列出不等式组，求出不等式组的解集，由a为正整数，得出a为2或3或4，即可求出有三种方案；

（3）分别求出三种方案的运费，即可求解.

3．约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．

示例：如图1，即4+3=7，观察图2，求：

（1）用含x的式子分别表示m和n；

（2）当y=-7时，求n的值。

【答案】（1）解：根据约定的方法可得：

m=x+2x=3x；

n=2x+3；

（2）解：x+2x+2x+3=m+n=y

当y=-7时，5x+3=-7

解得x=-2．

∴n=2x+3=-4+3=-1

【解析】【分析】（1）根据约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，分别列式即可；

（2）根据约定可得m+n=y，代入上题的关系整理可得关于x的一元一次方程，解出x, 代入n的表达式求值即可.

4．已知数轴上A.B两点对应的数分别为−4和2，点P为数轴上一动点，其对应的数为x.

（1）若点P到点A.点B的距离相等，写出点P对应的数；

（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A.点B的距离之和为10?若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；

（3）若点A点B和点P(点P在原点)同时向右运动,它们的速度分别为2、1、1个长度单位/分,问：多少分钟后P点到点A点B的距离相等?(直接写出结果)

【答案】（1）解：∵A、B两点对应的数分别为−4和2，

∴AB=6，

∵点P到点A. 点B的距离相等，

∴P到点A. 点B的距离为3，

∴点P对应的数是−1

（2）解：存在；

设P表示的数为x，

①当P在AB左侧，PA+PB=10，

−4−x+2−x=10，

解得x=−6，

②当P在AB右侧时，

x−2+x−(−4)=10，

解得：x=4

（3）解：∵点B和点P的速度分别为1、1个长度单位/分，

∴无论运动多少秒，PB始终距离为2，

设运动t分钟后P点到点A. 点B的距离相等，