大气数值模拟理论与方法中期测试
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Task 1 - Reynolds averaging
Suppose any variable can be partitioned into mean and perturbation (turbulent) parts as follows:
u u u '=+
We have the rules of Reynolds averaging:
, , 0, c c cA cA
A A A A
B AB A B A B
=='===+=+
What the product AB would be? Which part of it represent the turbulent transport? 解：
()()A A A B B B AB A A B B AB AB A B A B AB AB ''=+=+''⇒=++''''=+++'=+，A B '+A B AB A B ''+''
=+
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Task 2 - Local and non-local differencing schemes
函数ϕ∈ 连续可微，令(),
j
j j j x x x f f x
ϕϕ=∂'≡∂ ，其中j = 1, 2, 3, ---, N
(a) 忽略边界影响，给出采用以下不同差分方案时j f '的一般形式： (i) a forward finite differencing (FWD) scheme.
1j j
j f f f +-'=
∆
利用Taylor series: ()()
()()()
23231212
()()()2!3!
()()2!j j j j j j j j j j f f f x x x f f x x ϕϕϕϕϕ±+'
O ∆∆∆'=±∆+±+-∆'⇒=-+O ∆∆
向前差分近似
(ii) a centered finite differencing (CTD) scheme.
()
()()()()
2
3351123114
22()()3!
()()23!j j j j j j j j j f f f x x f f x x ϕϕϕϕ+-+-'
O ∆∆'-=∆++O ∆-∆'⇒=-+O ∆∆
中央差分近似
(iii) a compact finite differencing (CTFD) (or Pade) scheme.
()11113
4j j j j j f f f f f -++-'''++=
-∆
(iv) a spectral differencing scheme.
1122exp 12 exp N
j k k N
j k j f i k f i kj L N f f i kj N N πππ==⎛⎫⎛⎫'= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
⎛⎫=- ⎪⎝⎭
∑∑其中：
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(b) 在下图上，简略画出以上四种差分格式的modified wavenumber.
(c) 计算(iii)的modified wavenumber. 令：
j
ikx j f e
= ①
11, ik ik j j j j f e f f e f ±∆±∆±±''⇒== ②
将①和②代入(iii)：
()()()
()
3433sin 42cos 3sin 2cos ik ik ik ik j j ik ik j j j ik ik e e f e e f e e k f f i f e e k k k k -∆
∆
∆-∆
∆-∆-∆∆
'++=
-∆
-∆
'⇒==∆++∆+∆∆'⇒=
∆+∆
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Task 3 - Consistency and stability of FDE
假定我们为线性平流方程PDE 设计以下FDE 方案：
()11PDE: 0FDE: 0 where , , a constant n n n n
j
j j j j n c t x f f f f c x j t n c ϕϕττ+-∂∂⎧
+=⎪∂∂⎪
⎨--⎪+==∆=⎪∆⎩
(a) 以上FDE 方案的名字？
迎风差 （时间向前空间向后差分）
(b) 该FDE 与对应PDE 相容吗? 为什? 由泰勒级数易知：
()()1
1(,)(,)n n n j j j n n
n j j j t x f f x t x f f t ϕϕτ
τ-+⎧∂-=+O ∆⎪
⎪∂∆
⎨∂-⎪=+O ⎪∂⎩
()()11PDE FDE
(,)
(,)n n
n n n j n j j j j j t x t x f f f f c c t x ϕϕττ+-⇒-⎛⎫∂∂--=+-+ ⎪ ⎪∂∂∆⎝⎭
=O +O ∆ ()()()00
lim PDE FDE lim 0τττ→→∆→∆→∴-=O +O ∆=⎡⎤⎣⎦
故相容
(c) 利用Von-Neumann 稳定度分析方法对该FDE 作稳定度分析 FDE 可写成：()1
1
1 n n n j
j
j c f
f f
τμμμ+-⎛
⎫=-+= ⎪∆⎝
⎭其中 ①
设有形式解j
ikx n j f e
= ②
1n ik n j j f e f -∆-⇒= ③
把②③代入①得：