《对数函数的概念》教学设计【高中数学必修1(北师大版)】

《对数函数的概念》

《对数函数的概念》是北师大版高中数学必修一第三章第5节的内容。在此之前我们学习了指数函数与对数等内容，它为过渡到本节起着铺垫作用。“对数函数”这节教材，是在没学习反函数的基础上研究的指数函数和对数函数的自变量与因变量之间的关系，同时对数函数作为常用数学模型在解决社会生活中的实例有广泛的应用，本节课为学生进一步学习、参加生产和实际生活提供了必要的基础知识。

【知识与能力目标】

1、理解对数函数的概念；

2、理解对数函数与指数函数的关系。

【过程与方法目标】

1、注重思考方法的渗透，培养学生以已知探求未知的能力；

2、通过实例培养学生抽象概括能力、类比联想能力。

【情感态度价值观目标】

通过对《对数函数的概念》的教学，引导学生从现实生活的经历与体验出发，激发学生对数学问题的兴趣，使学生了解数学知识的功能与价值，形成主动学习的态度。

【教学重点】

对数函数的概念。在教学中只有突出这个重点，才能使教材脉络分明，才能有利于学生联系旧知识，学习新知识。

【教学难点】

指数函数与对数函数的关系。

电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

一、导入部分

◆教学重难点

◆

◆课前准备

◆

◆教材分析

◆教学过程

◆教学目标

一、问题提出1．在§1正整数函数中，细胞分裂的问题得到细胞分裂个数y 与分裂次数x 的函数关系是 ？（y=2x ）

2．若一个细胞经过多次分裂大约可以得到一万个细胞或十万个细胞，即分裂次数x 和细胞个数y 之间的关系，可以写成 。 X=log

2y 3．对于一般的指数函数y=a x (a>o,a ≠1)中的两个变量，能不能把y 当作自变量，使得x 是 y 的函数？

二、研探新知，建构概念

指数函数x

y a = (a>o,a ≠1)对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与它对应，当x 1≠x 2时，y 1≠y 2,（如图所示）指数函数的图像反映了数集R 与数集﹛y │y ＞0﹜之间的一一对应关系。由此可见对于任意的y ∈（0，+∞）,在R 中都有唯一数x 满足y=a x ，即把y 当作自变量，那么x 就是y 的函数，有§4可以知道这个函数就是x a y =㏒ (a>o,a ≠1)函数x a y =㏒叫做对数函数，(a>o,a ≠1)，自变量y ＞0。习惯上，自变量用x 表示，所以这个函数就写成 y a x =㏒ (a>o,a ≠1)。

1、对数函数的概念:

一般地，我们把函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）叫做对数函数，其中a 叫做对数函数的底数,x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）。

（1）常用对数函数：10y x lgx ==㏒

（2）自然对数函数：e y x x ==㏒㏑

问题1：（1）在函数的定义中，为什么要限定a ＞0且a ≠1？

（2）为什么对数函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）的定义域是（0，+∞）？

组织学生充分讨论、交流，使学生更加理解对数函数的含义，从而加深对对数函数的理解。 答：①根据对数与指数式的关系，知log a y x =可化为y a x =，由指数的概念，要使y a x =有意义，必须规定a ＞0且a ≠1。

②因为log a y x =可化为y x a =，不管y 取什么值，由指数函数的性质，y a ＞0，所以(0,)x ∈+∞。

2.反函数：

问题2：指数函数y ＝a x 和对数函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)有什么关系？

指数函数y ＝a x 和对数函数x ＝log a y 刻画的是同一对变量x ，y 之间的关系，所不同的是：指数函数y ＝a x 中，x 是自变量，y 是x 的函数．其定义域是R ，值域是(0，＋∞)； 对数函数x ＝log a y 中，y 是自变量，x 是y 的函数，其定义域是(0，＋∞)，值域是R 。 像这样的两个函数叫作互为反函数。就是说，对数函数x ＝log a y 是指数函数y ＝a x 的反函数； 指数函数y ＝a x 是对数函数x ＝log a y 的反函数。由于对数函数通常写成y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)，因此，指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)是对数函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的反函数； 对数函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)也是指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的反函数。

三、质疑答辩，发展思维

例1 计算：

（1）计算对数函数x y 2log =对应于x 取1，2，4时的函数值；

（2）计算常用对数函数

x y lg =对应于x 取1，10，100，0.1时的函数值。 解 （1）当1=x

时，01log log 22===x y 当2=x

时，12log log 22===x y 当4=x

时，24log log 22===x y ； （2） 当1=x

时，01lg lg ===x y 当10=x

时，110lg lg ===x y 当100=x

时，2100lg lg ===x y 当1.0=x 时，11.0lg lg -===x y

例2 写出下列对数函数的反函数：

（1）lg

y x

=（2）x

y

3

1

log

=

解（1）对数函数lg

y x

=，它的底数是10，它的反函数是指数函数

10x

y=；

（2）对数函数x

y

3

1

log

=，它的底数是

3

1

，它的反函数是(

)1

3

x

y=

。例3 写出下列指数函数的反函数：

（1）

5x

y=（2）

2

3

x

y=

⎛⎫

⎪

⎝⎭

解：（1）指数函数

x

y5

=，它的底数是5，它的反函数是x

y

5

log

=；（2）指数函数

x

y⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

=

3

2

，它的底数是，它的反函数是

x

y

3

2

log

=。课堂练习：

课本P91 练习2、3、4。

四、课堂小结

1、对数函数的概念。

2、指数函数与对数函数的关系。

五、作业布置

课本P97 习题A组 T1、T2。

略。

◆教学反思