2021年高中数学《3..3直线的一般式方程》学案 新人教A版必修

2021年高中数学《3.2.3直线的一般式方程》学案 新人教A 版必修2

一．学习目标：根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的一般式，体会一般式与直线其它方程形式之间的关系.

二．重点、难点：

重点：

难点：

三．知识要点：

1. 一般式（general form ）：，注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程化为斜截式方程，表示斜率为，y 轴上截距为的直线.

2 与直线平行的直线，可设所求方程为；与直线垂直的直线，可设所求方程为. 过点的直线可写为.

经过点，且平行于直线l 的直线方程是；

经过点，且垂直于直线l 的直线方程是.

3. 已知直线的方程分别是：（不同时为0），（不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：

（1）； （2）1212211221//0,0l l A B A B AC A B ⇔-=-≠；

（3）与重合122112210,0A B A B AC A B ⇔-=-=； （4）与相交.

如果时，则；与重合；与相交.

四．自主探究

例题精讲：

【例1】已知直线：，：，问m为何值时：

（1）；（2）.

解：（1）时，，则，解得m＝0.

（2）时，, 解得m＝1.

【例2】（1）求经过点且与直线平行的直线方程；

（2）求经过点且与直线垂直的直线方程.

解：（1）由题意得所求平行直线方程，化为一般式.

（2）由题意得所求垂直直线方程，化为一般式.

【例3】已知直线l的方程为3x+4y－12=0，求与直线l平行且过点（－1，3）的直线的方程．

分析：由两直线平行，所以斜率相等且为，再由点斜式求出所求直线的方程.

解：直线l:3x+4y－12=0的斜率为，

∵所求直线与已知直线平行，∴所求直线的斜率为，

又由于所求直线过点（－1，3），所以，所求直线的方程为：，即.

点评：根据两条直线平行或垂直的关系，得到斜率之间的关系，从而由已知直线的斜率及点斜式求出所求直线的方程. 此题也可根据直线方程的一种形式而直接写出方程，即，再化简而得.

【例4】直线方程的系数A、B、C分别满足什么关系时，这条直线分别有以下性质?

（1）与两条坐标轴都相交；（2）只与x轴相交；（3）只与y轴相交；（4）是x轴所在直线；（5）是y轴所在直线.

分析：由直线性质，考察相应图形，从斜率、截距等角度，分析系数的特征.

解：（1）当A≠0，B≠0，直线与两条坐标轴都相交.

（2）当A≠0，B=0时，直线只与x轴相交.

（3）当A＝0，B≠0时，直线只与y轴相交.

（4）当A＝0，B≠0，C＝0，直线是x轴所在直线.

（5）当A≠0，B＝0，C＝0时，直线是y轴所在直线.

点评：结合图形的几何性质，转化为方程形式所满足的代数形式. 对于直线的一般式方程，需要特别注意以上几种特殊位置时的方程形式.

五．目标检测

（一）基础达标

1．如果直线的倾斜角为，则有关系式（）.

A. B. C. D. 以上均不可能

2．若，则直线必经过一个定点是（）.

A. B. C. D.

3．直线与两坐标轴围成的面积是（）.

A． B． C． D．

4．（xx京皖春）直线（）x+y=3和直线x+（）y=2的位置关系是（）.

A. 相交不垂直

B. 垂直

C. 平行

D. 重合

5．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y轴上的截距为，则m，n的值分别为（）.

A. 4和3

B. －4和3

C. －4和－3

D. 4和－3

6．若直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则a= .

7．过两点（5，7）和（1，3）的直线一般式方程为；若点（，12）在此直线上，则＝．

（二）能力提高

8．根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：

（1）斜率是－，经过点A（8，－2）；（2）经过点B(4，2)，平行于轴；

（3）在轴和轴上的截距分别是,－3；（4）经过两点（3，－2）、（5，－4）.

9．已知直线的方程分别是：（不同时为0），（不同时为0），且. 求证.

（三）探究创新

10．已知直线，，求m的值，使得：

（1）l1和l2相交；（2）l1⊥l2；（3）l1//l2；（4）l1和l2重合.