金融时间序列间的条件相关性分析与Copula函数的选择原则_李述山

其中 ：C(t,t)=1-2t+c(t,t)
1.2
金融时间序列间的条件相关性度量 对两金融时间序列 {Xt，t=1 ，2 ，…，n} ，{Yt，t=1 ，2 ，… ，n} ， 记
Ψt 为 t 及其以前时刻的信息集 ， 我们关心的是在 Ψt-1 已知的
条件下 ，Xt 与 Yt 的相关程度 。 定义 1 定义 2 称在 Ψt-1 已知的条件下 ，Xt 与 Yt 之间的相关性 设在 Ψt-1 已知的条件下 ，Xt 与 Yt 的联合分布函 为 Xt 与 Yt 的条件相关性 。 数 为 Ht (x ，y) ， 边 际 分 布 函 数 分 别 为 Ft (x) ，Gt (y) ， 则 存 在 一 个 Copula 函 数 Ct 使 得 Ht (x ，y)=Ct (Ft (x) ，Gt (y)) ， 称 Ct 为 (Xt，Yt) 在 Ψt-1 已知条件下的条件 Copula 函数 。 类似于非条件相关性度量 ， 我们定义相应的条件相关性 度量 。 条件 τ ：τC， 条件 α 上尾相关系数 ：λU (α) ， 条件 α 下尾相
τ=4
0<u ，v<1
蓦 C(u，v)DC(u,v)-1
（1 ）
軍 λU(α)= C(1-α,1-α) ,λL(α)= C(α,α) α α 軍 λU=lim C(t,t) ,λL=lim C(t,t) t→1 1-t t→1 t
模型更为灵活 。 这表现在如下两个方面 ： 一是 Copula 模
Yt)|Ψ(t-1) 的 联 合 分 布 函 数 为 Ht(x,y) ， 边 际 分 布 函 数 分 别 为 Ft (x) ，Gt(y) ， 则 Xt 与 Yt 在 Ψ(t-1) 已知条件下 的 条 件 α 左 尾 相 关
系数和条件 α 右尾条件相关系数分别定义为 ：
1 ，2 ，…，n ）((ξi，ηi) 为 (ξ ，η) 的样本 ) 的 τ 的非参数估计量为 [1]： 軇= n τ 2
指 出 对 于 一 个 具 有 边 缘 分 布 F 1， F 2 ， … ， F m 的 联 合 分 布 函 数
F ， 一 定 存 在 一 个 Copula 函 数 C ， 使 得 F(x1， … ，xm)=C(F1 (x1) ，
…，Fm(xm) ）。 事实上 ，Copula 函数描述了变量间的相关结构 ， 运 用 Copula 技 术 来 分 析 随 机 变 量 间 的 相 关 性 有 很 多 优 点 ： 与线性 相 关 系 数 相 比 ， 由 Copula 函 数 导 出 的 一 致 性 和 相 关 性测度可以捕捉变量间非线性相关关系， 因此应用范围更 广 、 实用性更强 ； 与基于联合分布函数的建模方法相比 ，Cop-
（10 ）
εij~iid(0 ，1) ，i=1 ，2
2
2.1
Copula 函数与经验 Copula 函数的拟合程度要高
首 先 ， 所 选 择 Copula 函 数 要 通 过 拟 合 优 度 检 验 ， 如 K-S
(ε1t，ε2t)~iid(C(F1(z1) ，F2(z2)))
检验 、χ2 拟合优度检验等 。 文 [9] 引入了一个评价 Copula 函数 的 χ2 拟 合 优 度 的 拟 合 优 度 检 验 法 （ 以 二 元 情 况 为 例 ）： 设 (U ，
C
1 1.1
相关性度量与条件相关性度量
相关性度量
关 系 数 ：λ L (α) ， 条 件 上 尾 相 关 系 数 ：λ U ， 条 件 下 尾 相 关 系 数 ：
C
C
λL ， 同样它们可以由相应的条件 Copula 函数进行表达 。
定义 3 设 {Xt} ，{Yt} 为两个随机变量序列 ， 定义在 Ψ(t-1)
其中 σit 为在 t-1 时刻的信息集 Ψt-1 给定的条件下 Xit 的 条件方差 。 引理 [2] 变的 。 由式 （10 ） 可以看 出 ， 在 t-1 时 刻 的 信 息 集 Ψt-1 给 定 的 条 件 下 ，Xt =(X1t，X2t) 是 εt =(ε1t，ε2t) 的 严 格 增 变 换 ， 因 此 有 如 下 推 论。 推论 收 益 率 向 量 Xt=(X1t ，X2t) 在 Ψt-1 已 知 条 件 下 的 条 件 Copula 函 数 与 标 准 化 残 差 εt =(ε1t ，ε2t) 的 Copula 函 数 相 同 ， 因 此 X1t 与 X2t 之 间 的 条 件 相 关 性 与 ε1t ，ε2t 之 间 的 相 关 性相同。 由推论可以看出 ，X1t 与 X2t 之 间 的 条 件 相 关 性 可 以 通 过 残差 ε1t，ε2t 之间的相关性获得 。 由于 εt=(ε1t，ε2t) （t=1 ，2 ，…，T ） 独立同分布 ， 可以视为来自同一个二维总体的样本 ， 因此 ε1t， 连接函数对于随机变量的严格单调增变换是不
V) 为 边 缘 分 布 均 为 [0 ，1] 上 均 匀 分 布 的 随 机 向 量 ， (uk，vk) （k= 1 ，2 ，… ，n ） 为 样 本 ， 将 [0 ，1] 均 匀 分 割 成 m ×m 个 单 元 格 G(i ，j) （i ，j=1 ，2 ，… ，m ） 记 Aij 为 落 入 单 元 格 G(i ，j) 内 的 实 际 频 数 ，Bij
C
+
（5 ） （6 ）
即用参数估计法得到的 Kendall 的 τ 、α 上 、 下尾相关系 上述原则对条件 Copula 函数的选择同样适用 。
軍t(u,u)=1-2u+Ct(u ，u) 其中 ：C 2 相关性分析中 Co p u la 函数的选择原则
3 基于 Co p u la - EGARCH 模型的条件相关 性分析
益率 ， 用 Copula-EGARCH 模型刻画 ：
) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
Xit=μi+σitεit ln(σit )=ωi+Σαij|εit-j|+Σγik(εit-k)+Σβijln(σit-j )
j = 1 k = 1 j = 1 2 pi ri qi 2
C
作者简介 ： 李述山 （1966- ）， 男 ， 山东蒙阴人 ， 博士 ， 教授 ， 研究方向 ： 统计学 。
统计与决策 2010 年第 10 期 （ 总第 310 期 ）
23
理 论 新 探
已知条件下 Xt 与 Yt 之间的条件 Kendall 相关系数为 ：
τC=P{(Z1t-Z2t)(W1t-W2t)>0}-P{Z1t-Z2t)(W1t-W2t)<0}
型不限制边 缘 分 布 的 选 择 ， 而 且 Copula 函 数 有 很 多 分 布 族 ； 二是 Copula 模 型 将 随 机 变 量 之 间 的 相 关 程 度 和 相 关 模 式 有 机地结合在一起 ， 不仅可以得到度量相关程度的相关参数 ， 还可以 得 到 描 述 相 关 模 式 的 Copula 函 数 ， 可 以 更 全 面 地 刻 画随机变量间的相关关系 [1]。 因此 ，Copula 技术在相关性分析 及风险分析等方面得到了广泛的应用 。 当 我 们 用 Copula 函 数 来 刻 画 条 件 联 合 分 布 时 ， 就 可 以 进行条件相关性分析 。 本文拟建立条件相关性的概念以及条 件相关性度量 ， 提出相关性分析中 Copula 函数选择的原则 ， 通 过 构 建 Copula-EGARCH 模 型 ， 将 两 个 金 融 资 产 间 的 条 件 相关性转化为标准化残差间的相关性进行分析 ， 并进行实证 研究 。
0
引言 Copula 函数是连接随机变量边缘分布的连接函数 ，Sklar
Kentalτ 、α 上尾相关系数 λL(α) 、 下尾相关系数 λU、 上尾相关系
数 λL、 下尾相关系数已成为几种最重要的非线性相关系数 ， 它们在金融风险分析中具有重要的作用 ， 且都可以由 Copula 进行表达 [1~4]：
假 设 X1t，X2t 为 t 时 刻 两 项 资 产 （ 或 资 产 组 合 ） 的 对 数 收
采用 Copula 技术进行相关性分析 ， 就要求 Copula 函数 要很好地刻画各种非线性相关关系 ， 这体现在两个方面 ： 一 是 Copula 函数要能很好地拟合实际数据 ； 二是 Copula 函数 要能够充分反映各变量间的非线性相关性指标 。 因此我们提 出如下选取原则 。
如下二式作为 α 上 、 下尾相关系数的非参数估计 ：
λU =lim P(Wt>Gt (u)|Zt≤Ft (u))
u→1-
c
-1
-1
结论 ：设(Zt，Wt）=(Xt，Yt)|Ψ(t-1)对应的 Copula 函数为 Ct，则
軒 (α ， α) 軌 L(α)= C λ α 軒 (1-α ，1-α) 軌 U(α)= 1-2(1-α)+C λ α
数的估计要与上述非参数估计接近 。
（8 ） （9 ）
τC=4
0<u ，v<1
蓦 C (u，v)dC (u,v)-1
t t
（4 ）
軍 C C λU (α)= Ct(1-α,1-α) ，λL (α)= Ct(α,α) α α 軍 C λU =lim Ct(u,u) ，λL =lim Ct(u,u) u→1 u→0 u 1-u
表示落入单元格 G(i,j) 内的理论频数 ， 则在原假设 H0:(U,V)~C
λL =lim P(Wt≤Gt (u)|Zt≤Ft (u))
u→0+
c
-1
-1
軒 (u ，v) 是 相 应 的 经 记 C(u ，v) 为 (ξ ，η) 对 应 的 Copula 函 数 ，C 軒 (u ，v) 是 C(u ，v) 的 估 计 量 ， 因 此 ， 我 们 用 验 Copula 函 数 ， 由 于 C
理 论 新 探