2020高考数学(苏教,理科)复习配套课件：第八章 平面解析几何第五节 椭 圆.ppt
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数学
第五节 椭 圆
2．一个椭圆中心在原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，P(2, 3)是椭 圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程 为________． 解析：设椭圆的标准方程为xa22＋by22＝1(a＞b＞0)．由点 P(2, 3)在椭圆上知a42＋b32＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数 列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即 2a＝2·2c，ac＝12，又 c2 ＝a2－b2，联立得 a2＝8，b2＝6. 答案：x82＋y62＝1
第五节
椭圆
第五节 椭 圆
1．椭圆的定义 (1)满足以下条件的点的轨迹是椭圆： ①在平面内； ②与两个定点F1、F2的距离之 和 等于常数； ③常数大于 |F1F2| . (2)焦点：两定点． (3)焦距：两 焦点 间的距离．
数学
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
xa22＋by22＝1(a>b>0)
数学
第五节 椭 圆
[典例] (2013·福建高考)椭圆 Γ：xa22＋by22＝1(a>b>0)的左、 右焦点分别为 F1，F2，焦距为 2c，若直线 y＝ 3(x＋c)与椭圆 Γ 的一个交点 M 满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等 于________．
数学
第五节 椭 圆
1．求椭圆标准方程的方法 (1)定义法：根据椭圆定义，确定 a2，b2 的值，再结合焦点 位置，直接写出椭圆方程． (2)待定系数法：根据椭圆焦点是在 x 轴还是 y 轴上，设出 相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于 a，b，c 的方程 组，解出 a2，b2，从而写出椭圆的标准方程．
数应用主要有两个方面：一是利用定义求椭圆的标 准方程；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离 心率等． 2．利用定义和余弦定理可求得|PF1|·|PF2|，再结合|PF1|2＋ |PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2| 进行转化，可求焦点三角形 的周长和面积． 3．当椭圆焦点位置不明确时，可设为xm2＋yn2＝1(m＞0，n ＞0，m≠n)，也可设为 Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，且 A≠B)．
2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程 为ax22＋by22＝1(a＞b＞0)．
3．注意椭圆的范围，在设椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)上点的坐标 为 P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点 P 有关的最值问题中特别 有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．
数学
第五节 椭 圆
数学
第五节 椭 圆
1.(2014·镇江期末)如图，P 为椭圆2x52＋1y62 ＝1 上一点，F1，F2 分别为其左、右焦点， 则△PF1F2 的周长为________． 解析：根据椭圆第一定义，PF1＋PF2＝2a＝10，F1F2＝2c＝6. 所以△PF1F2 的周长为 PF1＋PF2＋F1F2＝2(a＋c)＝16. 答案：16
第五节 椭 圆
ay22＋xb22＝1(a>b>0)
图形
范围 性 质
对称性
数学
－a ≤x≤a －b ≤y≤b
－b ≤x≤b －a ≤y≤a
对称轴： x 轴、y 轴
对称中心： (0,0)
第五节 椭 圆
标准方程 顶点 轴
性
xa22＋by22＝1(a>b>0) A1 (－a,0) ，A2 (a,0)
ay22＋xb22＝1(a>b>0) A1(0，－a)，A2 (0，a)
[试一试] 若直线 x－2y＋2＝0 经过椭圆的一个焦点和一个顶点， 则该椭圆的标准方程为________． 解析：直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)，由题意知当 焦点在 x 轴上时，c＝2，b＝1， ∴a2＝5，所求椭圆的标准方程为x52＋y2＝1. 当焦点在 y 轴上时，b＝2，c＝1， 答∴案a2＝：5x5，2＋所y2求＝椭1 或圆x标42＋准y5方2＝程1为y52＋x42＝1.
数学
第五节 椭 圆
3．已知两圆 C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动 圆在圆 C1 内部且和圆 C1 相内切，和圆 C2 相外切，则动圆 圆心 M 的轨迹方程为________． 解析：设圆 M 的半径为 r， 则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16， ∴M 的轨迹是以 C1、C2 为焦点的椭圆，且 2a＝16,2c＝8， 故所求的轨迹方程为6x42＋4y82 ＝1. 答案：6x42＋4y82 ＝1
数学
第五节 椭 圆
2．椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个 正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是 3 ，则这个椭圆方 程为________．
a－c＝ 3， 解析：由题意知ac＝12，
解得ac＝＝2
3， 3.
∴椭圆方程为1x22 ＋y92＝1或1y22 ＋x92＝1.
答案：1x22＋y92＝1或1y22 ＋x92＝1
数学
第五节 椭 圆
2．椭圆上任意一点 M 到焦点 F 的所有距离中，长轴端点 到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为 a＋c， 最小距离为 a－c.
3．求椭圆离心率 e 时，只要求出 a，b，c 的一个齐次方程， 再结合 b2＝a2－c2 就可求得 e(0＜e＜1)．
数学
第五节 椭 圆
B1(0，－b) ，B2 (0，b) B1 (－b,0) ，B2 (b,0)
长轴 A1A2 的长为 2a
短轴 B1B2 的长为 2b
质 焦距 离心率
|F1F2|＝ 2c
c e＝ a ，e∈(0,1)
a，b，c 的关系
c2＝ a2－b2
数学
第五节 椭 圆
1．椭圆的定义中易忽视 2a＞|F1F2|这一条件，当 2a＝|F1F2|其 轨迹为线段 F1F2，当 2a＜|F1F2|不存在轨迹．
[练一练] 1．已知椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)与双曲线mx22－ny22＝1(m＞0，n＞
0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若 c 是 a、m 的等比中项， n2 是 2m2 与 c2 的等差中项，则椭圆的离心率是________． 解析：在双曲线中 m2＋n2＝c2，又 2n2＝2m2＋c2，解得 m ＝2c，又 c2＝am，故椭圆的离心率 e＝ac＝12. 答案：12
第五节 椭 圆
2．一个椭圆中心在原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，P(2, 3)是椭 圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程 为________． 解析：设椭圆的标准方程为xa22＋by22＝1(a＞b＞0)．由点 P(2, 3)在椭圆上知a42＋b32＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数 列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即 2a＝2·2c，ac＝12，又 c2 ＝a2－b2，联立得 a2＝8，b2＝6. 答案：x82＋y62＝1
第五节
椭圆
第五节 椭 圆
1．椭圆的定义 (1)满足以下条件的点的轨迹是椭圆： ①在平面内； ②与两个定点F1、F2的距离之 和 等于常数； ③常数大于 |F1F2| . (2)焦点：两定点． (3)焦距：两 焦点 间的距离．
数学
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
xa22＋by22＝1(a>b>0)
数学
第五节 椭 圆
[典例] (2013·福建高考)椭圆 Γ：xa22＋by22＝1(a>b>0)的左、 右焦点分别为 F1，F2，焦距为 2c，若直线 y＝ 3(x＋c)与椭圆 Γ 的一个交点 M 满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等 于________．
数学
第五节 椭 圆
1．求椭圆标准方程的方法 (1)定义法：根据椭圆定义，确定 a2，b2 的值，再结合焦点 位置，直接写出椭圆方程． (2)待定系数法：根据椭圆焦点是在 x 轴还是 y 轴上，设出 相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于 a，b，c 的方程 组，解出 a2，b2，从而写出椭圆的标准方程．
数应用主要有两个方面：一是利用定义求椭圆的标 准方程；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离 心率等． 2．利用定义和余弦定理可求得|PF1|·|PF2|，再结合|PF1|2＋ |PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2| 进行转化，可求焦点三角形 的周长和面积． 3．当椭圆焦点位置不明确时，可设为xm2＋yn2＝1(m＞0，n ＞0，m≠n)，也可设为 Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，且 A≠B)．
2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程 为ax22＋by22＝1(a＞b＞0)．
3．注意椭圆的范围，在设椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)上点的坐标 为 P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点 P 有关的最值问题中特别 有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．
数学
第五节 椭 圆
数学
第五节 椭 圆
1.(2014·镇江期末)如图，P 为椭圆2x52＋1y62 ＝1 上一点，F1，F2 分别为其左、右焦点， 则△PF1F2 的周长为________． 解析：根据椭圆第一定义，PF1＋PF2＝2a＝10，F1F2＝2c＝6. 所以△PF1F2 的周长为 PF1＋PF2＋F1F2＝2(a＋c)＝16. 答案：16
第五节 椭 圆
ay22＋xb22＝1(a>b>0)
图形
范围 性 质
对称性
数学
－a ≤x≤a －b ≤y≤b
－b ≤x≤b －a ≤y≤a
对称轴： x 轴、y 轴
对称中心： (0,0)
第五节 椭 圆
标准方程 顶点 轴
性
xa22＋by22＝1(a>b>0) A1 (－a,0) ，A2 (a,0)
ay22＋xb22＝1(a>b>0) A1(0，－a)，A2 (0，a)
[试一试] 若直线 x－2y＋2＝0 经过椭圆的一个焦点和一个顶点， 则该椭圆的标准方程为________． 解析：直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)，由题意知当 焦点在 x 轴上时，c＝2，b＝1， ∴a2＝5，所求椭圆的标准方程为x52＋y2＝1. 当焦点在 y 轴上时，b＝2，c＝1， 答∴案a2＝：5x5，2＋所y2求＝椭1 或圆x标42＋准y5方2＝程1为y52＋x42＝1.
数学
第五节 椭 圆
3．已知两圆 C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动 圆在圆 C1 内部且和圆 C1 相内切，和圆 C2 相外切，则动圆 圆心 M 的轨迹方程为________． 解析：设圆 M 的半径为 r， 则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16， ∴M 的轨迹是以 C1、C2 为焦点的椭圆，且 2a＝16,2c＝8， 故所求的轨迹方程为6x42＋4y82 ＝1. 答案：6x42＋4y82 ＝1
数学
第五节 椭 圆
2．椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个 正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是 3 ，则这个椭圆方 程为________．
a－c＝ 3， 解析：由题意知ac＝12，
解得ac＝＝2
3， 3.
∴椭圆方程为1x22 ＋y92＝1或1y22 ＋x92＝1.
答案：1x22＋y92＝1或1y22 ＋x92＝1
数学
第五节 椭 圆
2．椭圆上任意一点 M 到焦点 F 的所有距离中，长轴端点 到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为 a＋c， 最小距离为 a－c.
3．求椭圆离心率 e 时，只要求出 a，b，c 的一个齐次方程， 再结合 b2＝a2－c2 就可求得 e(0＜e＜1)．
数学
第五节 椭 圆
B1(0，－b) ，B2 (0，b) B1 (－b,0) ，B2 (b,0)
长轴 A1A2 的长为 2a
短轴 B1B2 的长为 2b
质 焦距 离心率
|F1F2|＝ 2c
c e＝ a ，e∈(0,1)
a，b，c 的关系
c2＝ a2－b2
数学
第五节 椭 圆
1．椭圆的定义中易忽视 2a＞|F1F2|这一条件，当 2a＝|F1F2|其 轨迹为线段 F1F2，当 2a＜|F1F2|不存在轨迹．
[练一练] 1．已知椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)与双曲线mx22－ny22＝1(m＞0，n＞
0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若 c 是 a、m 的等比中项， n2 是 2m2 与 c2 的等差中项，则椭圆的离心率是________． 解析：在双曲线中 m2＋n2＝c2，又 2n2＝2m2＋c2，解得 m ＝2c，又 c2＝am，故椭圆的离心率 e＝ac＝12. 答案：12