高中数学人教新课标A版必修1第三章函数的应用3.1.2用二分法求方程的近似解A卷
高中数学第三章函数的应用3.1.2用二分法求方程的近似解课件新人教A版必修1
1.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的 两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根 据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零 点.
二分法的定义 【例1】下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函 数零点的是( )
【解题探究】根据二分法的定义判断.
【答案】A 【解析】按定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且f(a)·f(b)＜ 0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二 分法求出函数的零点.故结合各图象可得选项B，C，D满足条 件，而选项A不满足，在A中，不存在f(a)·f(b)<0，因此不能用 二分法求解.故选A．
3.思一思：函数f(x)＝x2－2x－1在区间(1,3)内有无零点？ 若将区间(1,3)平均分为两个区间，其零点在哪个区间？
【解析】f(1)＝1－2－1＝－2＜0，f(3)＝9－6－1＝2＞0， 在(1,3)内有零点且只有一个零点，对于(1,3)的中点为2， f(2)＝22－2×2－1＝－1＜0，故零点在(2,3)内.
二分法的实际应用
【例3】一日，某市A地到B地的电话线路产生故障，这是 一条10 km长的线路，每隔50 m有一根电线杆，请问如何迅速 查出故障所在？
【解题探究】本题中能否对线段作全面仔细的检查？怎样 的方法可以节省时间和精力？这样的方法可以将故障范围缩小 到多大？
【解析】如图，可首先从中点 C 开始查起，用随身携带的 工具检查，若发现 AC 段正常，断定故障在 BC 段；
高中数学第三章函数的应用3.1.2用二分法求方程的近似解课件新人教A版必修1
方法归纳
(1)用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则 ①需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值 的方法完成)． ②取区间端点的平均数 c，计算 f(c)，确定有解区间是[m，c] 还是[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合 精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值． (2)二分法求函数零点步骤的记忆口诀 定区间，找中点，中值计算两边看． 同号丢，异号算，零点落在异号间． 重复做，何时止，精确度来把关口．
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有函数的零点都可以用二分法来求．( × ) (2)函数 f(x)＝|x|可以用二分法求其零点．( × ) (3)精确度 ε 就是近似值．( × )
2．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函 数零点近似值的是( )
解析：根据二分法的基本方法，函数 f(x)在区间[a，b]上的图象 连续不断，且 f(a)·f(b)<0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a， b]一分为二，逐步得到零点的近似值．对各图象分析可知，选项 A、 B、D 都符合条件，而选项 C 不符合，因为图象在零点两侧函数值 不异号，因此不能用二分法求函数零点的近似值．
解析：∵f(2)·f(3)<0，∴零点在区间(2,3)内． 答案：(2,3)
类型一 二分法概念的理解 例 1 (1)下列函数中，必须用二分法求其零点的是( )
A．y＝x＋7 B．y＝5x－1 C．y＝log3x D．y＝12x－x (2)下列函数图象与 x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函 数零点的是( )
－0.02
因为|1.328 125－1.320 312 5|＝0.007 812 5<0.01，
高中新课程数学(新课标人教A版)必修一《3.1.2 用二分法求方程的近似解》课件
Ａ 机的价格范围是确定的，且报数是整数，所以可用数学中
版 必
的“逼近思想”的特例二分法来设计猜价方案．
修
一
·
新 课 标
·
数 学
解：取价格区间[500,1000]的中点750，如果主持人说
人 教
低 了 ， 就 再 取 [750,1000] 的 中 点 875 ； 否 则 取 另 一 个 区 间
Ａ (500,750)的中点；若遇到小数取整数．照这样的方案，游 版 必 戏过程猜测价如下：750,875,812,843,859,851，经过6次可
人 教
确度0.1)．
Ａ
解：由于f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0，因此可取区间(1,2)
版 必 为初始区间，用二分法逐次计算．
修 一
列表如下：
·
新 课 标
·
数 学
∵|1.5－1.4375|＝0.0625<0.1，
人 教
∴函数的正实数零点近似值可以取1.4375.
Ａ
版 必
修
一
·
新 课 标
·
数 学
在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥
标
D．只有求函数零点时才用二分法
·
·
数 学
答案：B
2．设f(x)＝3x＋2x－8，用二分法求方程3x＋2x－8＝0
人 教
在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，
Ａ 则方程的根在区间
()
版 必
A．(1.25,1.5)
B．(1,1.25)
修 一
C．(1.5,2)
·
·
3．给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如
(新课标)高中数学 3.1.2 用二分法求方程的近似解 课件2 新人教A版必修1
(2.5, 2.625) f(2.5)<0, f(2.625)>0
2.5625 f(2.5625)>0
(2.5, 2.5625) f(2.5)<0, f( 2.5625)>0
2.53125 f(2.53125)<0
(2.53125, f(2.53125)<0, 2.546875 f(2.546875)
2.5625) f(2.5625)>0
>0
(2.53125, 2.546875)
f(2.53125) <0, f(2.546875) >0
(2.53125, f(2.53125) 2.5390625) <0,
f(2.5390625) >0
2.5390625 f(2.5390625) >0
2.53515625 f(2.53515625) >0
中点函数 值的符号
f(2.5)<0
f(2.75)>0
区 间 端点的符号
(2, 3) f(2)<0, f(3)>0
(2.5, 3) f(2.5)<0, f(3)>0 f(2.5)<0,
(2.5, 2.75) f(2.75)>0
中点 的值
2.5 2.75
2.625
中点函数 值的符号
f(2.5)<0
f(2.75)>0
用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：
用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤： 1.确定区间[a, b], 验证f(a)·f(b)＜0, 给定精确度；
区 间 端点的符号
(2, 3) f(2)<0, f(3)>0
高中数学 3.1.2《用二分法求方程的近似解》课件 新人教A版必修1
(1.375,1.5) 1.438
(1.375,1.43
|a－b| 1 0.5
0.25 0.125
第十六页，共24页。
由上表计算可知区间(1.375,1.438)长度小于0.1，故可在 (1.438,1.5)内取1.406 5作为函数f(x)正数的零点的近似值．
第十七页，共24页。
1．准确理解“二分法”的含义 顾名思义，二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不 断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附 近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值 近似地表示真正的零点．
图象可以作出，由图象确定根的大致区间，再用二分法求解．
第九页，共24页。
【解析】 作出y＝lg x，y＝3－x的图象可以发现，方程lgx＝3－x有 唯一解，记为x0，并且解在区间(2,3)内．
设f(x)=lgx+x-3，用计算器计算，得
f(2)<0，f(3)>0，
∴x0∈(2,3)； f(2.5)<0，f(3)>0⇒x0∈(2.5,3)； f(2.5)<0，f(2.75)>0⇒x0∈(2.5,2.75)； f(2.5)<0，f(2.625)>0⇒x0∈(2.5,2.625)； f(2.562)<0，f(2.625)>0⇒x0∈(2.562,2.625)． ∵|2.625－2.562|＝0.063<0.1 ∴方程的近似解可取为2.625(不唯一)．
第四页，共24页。
下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的 是( )
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息： ①题中给出了函数的图象；
②二分法的概念． 解答本题可结合二分法的概念，判断是否具备使用二分法的条件．
高中数学【人教A版必修】1第三章3.1.2 用二分法求方程的近似解 课件(28张ppt)
中点值m
f（m）的近 似值
2.5
-0.084
2.75
0.512
2.625 2.562 5 2.531 25 2.546 875 2.539 062 5
0.215 0.066 -0.009 0.029 0.01
2.535 156 25 0.001
精确度 |a-b|
1 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.015625 0.007813
思考2:如何确定零点的存在性？
运用零点存在性定理， 确定零点存在的区间[a,b]，使 f(a)f(b)<0
高中数学【人教A版必修】1第三章3.1 .2 用二分法求方程的近似解 课件(28张ppt)【精品】
高中数学【人教A版必修】1第三章3.1 .2 用二分法求方程的近似解 课件(28张ppt)【精品】
思考:怎样计算函数 f(x)lnx 2 x6在区 间（2，3）内精确度为0.01的零点？
区间（a，b）
（2，3） （2.5，3） （2.5，2.75） （2.5，2.625） （2.5，2.562 5） （2.531 25，2.562 5） （2.531 25，2.546 875） （2.531 25，2.539 062 5）
函数f(x)=lnx+2x-6零点的近似值：
当精确度为0.01时，由于 | 2.5390625-2.53125 |= 0.0078125<0.01
所以，我们可以将x=2.53125作为函数
f(x)= lnx+2x-6 的近似零点；也即是方程
lnx+2x-6=0 根的近似值。
用二分法求方程的近似解
2. 明确二分法的适用条件，即函数在零 点所在区间内是连续不断的。
人教A版高中数学必修1《用二分法求方程的近似解》教学设计
人教A版高中数学必修1《用二分法求方程的近似解》教学设计一教材背景本节课内容是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修1第三章《函数的应用》3.1《函数与方程》中第3.1.2节《用二分法求方程的近似解》，属于本小节的第三课时。
第一课时我们学习了“方程的根与函数零点的关系”，第二课时学习了“函数零点的存在性”，学生通过前面两节的学习，对方程的根的存在性以及函数零点和方程的根的关系有了一定的认识。
掌握了基本初等函数的图象和性质并具有了一定的数形结合的思想，这为理解函数零点附近的函数值符号提供了直观认识，在此基础上介绍用二分法求函数零点近似值，也就水到渠成。
二分法是求方程近似解的常用方法，在寻求方程近似解的过程中首先将方程解的问题转化为函数的零点问题处理，体现了函数的思想以及函数与方程的联系。
然后借助函数的图象先初步确定函数零点所在的区间，再通过不断地把零点所在区间一分为二逐步缩小区间的范围，使区间的两端点逐步逼近函数的零点，进而得到零点的近似值。
这一过程为高中数学中函数与方程思想、数形结合思想、二分法的算法思想打下了基础，为数学必修3中算法内容的学习做了铺垫。
二分法体现了数学的逼近思想，对学生以后学习圆周的计算，球的面积体积公式的由来、等微积分的知识起了奠基的作用。
因此决定了它的重要地位。
二内容分析二分法的理论依据是“函数零点的存在性（定理）”，本节课是上节学习内容《方程的根与函数零点》的自然延伸，二分法虽然是刻板的、机械的，有时还需要进行大量的重复计算，但是它包含了深刻的思想方法，对学生今后的数学学习还是非常有用的，在教学中要让学生感受到整体到局部，从特殊到一般，定性到定量，精确到近似，计算到技术，技法到算法这些数学思想的发展过程。
在二分法的教学中，方法的建构，技术的运用、算法的渗透，以及它们的同步发展过程，是这节课的隐形教学目标。
在教学中它体现出一种螺旋式的上升：第一个阶段是从数到形，是为了更好的说明二分法的理论依据（根的存在性）；第二个是从形再到数，其中的形是包括从图像到数轴，再从数轴到表格，在这样的过程中，形的特征不断被深化，最后抽象成了以数为主体的一个算法流程，因此，整个二分法的教学流程要体现在这样一个框架中，它是一个代数的问题，第一次转化是从代数到几何直观，第二次转化就是从整体到局部，去研究函数零点区间。
数学新课标人教A版必修1教学课件：3.1.2 用二分法求方程的近似解
1．二分法的定义 对 于在区间[a，b]上连___续__不__断_且_f_(a_)_·_f_(_b_)<_0_的 函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所 在的区间_一__分__为__二__，使区间的两个端点逐步 逼近_零__点__进 而得到零点的近似值的方法，叫 做二分法．由函数的零点与相应方程根的关
必修1 第三章 函数的应用
栏目导引
解析： 由题意知选C. 答案： C
必修1 第三章 函数的应用
栏目导引
2．若函数据如下：
f(1)＝－2
f(1.375)＝－ 0.260
f(1.5)＝0.625
f(1.437 5)＝ 0.162
f(1.25)＝－ 0.984
f(1.406 25)＝－ 0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确
到0.1)为 ( )
A．1.5
B．1.4
C．1.3
D．1.2
必修1 第三章 函数的应用
栏目导引
解析： ∵|1.437 5－1.375|＝0.062 5＜0.1 ∴f(x)的零点近似值可取1.437 5≈1.4或 1.375≈1.4. 答案： B
栏目导引
要求方程2x3＋3x－3＝0的正实根，可转化为 用二分法求函数f(x)＝2x3＋3x－3的正的零点，
故首先要选定初始区间[a，b]，满足 f(a)·f(b)<0，然后逐步逼近.
必修1 第三章 函数的应用
栏目导引
[解题过程] 令f(x)＝2x3＋3x－3， 经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0， 所以函数f(x)在(0,1)内存在零点， 即方程2x3＋3x＝3在(0,1)内有解． 取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，又f(1)>0， 所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解． 如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区
人教A版高中数学必修1第三章3.1.2用二分法求方程的近似解课件
快快动手吧！
借助计算器或计算机用二分法求方程 2+x 3x
=7的近似解（精确到0.1）
20:00:06
20
1.二分法的定义；
2.用二分法求函数零点近似值的步骤。
记忆口诀：定区间，找中点，中值计算两边看. 同号去，异号算，零点落在异号间. 周而复始怎么办? 精确度上来判断.
3.作业：p92 第3、5题
20:00:06
17
例题分析
例1.用二分法求函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2,3) 内的零点的近似解(精确度0.1)
请看下面的表格：
20:00:06
18
区间
端点的符号
中点的值 中点函数值 的符号
（2，3） f(2)<0, f(3)>0 2.5 f(2.5)<0
(2.5,3) f(2.5)<0,f(3)>0 2.75 f(2.75)>0
7
分析：如何求方程 x3+3x-1=0 的近似解 x1. （精确度0.1）
-
+
f(0)<0，f(1)>0 0<x1<1
0
1
-
+
f(0)<0，f(0.5)>0 0<x1<0.5
0
- +0.5
1
0 0.25 0.5
1 f(0.25)<0，f(0.5)>0 0.25<x1<0.5
-+
0 0.25 0.375
x0∈(a,c)；
（3）若f(c)·f(b)<0 ，则令a=c，此时零点
x0∈(c,b).
20:00:06
16
高中数学 第3章 函数的应用 3.1.2 用二分法求方程的近似解 新人教A版必修1
所以f(x)在[－1,2]上只有一个零点，故选B.
纠错心得 求方程的解要注意给定区间，在解题时审题要细，看清条件
很关键.
解析答案
易错点 忽视二次项系数为零致误 例4 已知函数f(x)＝2(m－1)x2－4mx＋2m－1，若f(x)的图象与x轴只有一 个交点，求m值.
解析答案
跟踪训练3 已知方程mx2－x－1＝0在区间(0,1)内恰有一解，则实数m的 取值范围是_(_2_，__＋__∞__)_. 解析 设f(x)＝mx2－x－1，因为方程mx2－x－1＝0在(0,1)内恰有一解， 所以当m＝0时，方程－x－1＝0在(0,1)内无解， 当m≠0时，由f(0)f(1)<0，即－(m－1－1)<0，解得m>2.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 下列函数中，能用二分法求零点的为( B )
解析 函数图象连续不断，函数零点附近的函数值异号，这样的函数零 点才能使用二分法求解，观察四个函数图象，只有B选项符合.
解析答案
题型二 用二分法求方程的近似解 例2 (1)根据下表，用二分法求函数f(x)＝x3－3x＋1在区间(1,2)上的零点 的近似值(精确度0.1)是__1_.5___.
把函数f(x)的零点所在的区间一分为二
，使区间的两个端点逐零步点逼
近 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
思考 所有的函数都可以用二分法求零点吗？
答 用二分法求出的零点一般是零点的近似值，但并不是所有函数都可
以用二分法求零点，必须是满足在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的
函数f(x)才能用二分法求零点的近似值.
解析答案
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1.下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的近似值 的是( B )
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高中数学人教新课标A版必修1 第三章函数的应用 3.1.2 用二分法求方程的近似解
A卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共8题；共16分)
1. （2分）函数f(x)=lnx+2x-6的零点所在的区间为（）
A . (1,2)
B .
C .
D .
2. （2分）若函数f（x）=x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：f （1）=﹣2，f（1.5）=0.625；f（1.25）=﹣0.984，f（1.375）=﹣0.260；
f（1.438）=0.165，f（1.4065）=﹣0.052．
那么方程x3+x2﹣2x﹣2=0的一个近似根可以为（精确度为0.1）（）
A . 1.2
B . 1.35
C . 1.43
D . 1.5
3. （2分）已知函数f（x）=，则下列关于函数y=f[f（x）]+1的零点个数是（）
A . 当a＞0时，函数F（x）有2个零点
B . 当a＞0时，函数F（x）有4个零点
C . 当a＜0时，函数F（x）有2个零点
D . 当a＜0时，函数F（x）有3个零点
4. （2分）下图是函数f（x）的图象，它与x轴有4个不同的公共点．给出下列四个区间，不能用二分法求出函数f（x）的零点的区间上的是（）
A . [﹣2.1，1]
B . [1.9，2.3]
C . [4.1，5]
D . [5，6.1]
5. （2分）函数的零点所在的一个区间是（）
A . （-2，-1）
B . （-1,0）
C . （0,1）
D . （1,2）
6. （2分） (2017高三上·长沙开学考) 已知函数f（x）=x2﹣xlnx﹣k（x+2）+2在区间[ ，+∞）上有两个零点，则实数k的取值范围为（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分） (2017高三上·太原期末) 已知f（x）= ，若函数f（x）有四个零点，则实数a的取值范围是（）
A . （﹣∞，﹣e）
B . （﹣∞，﹣）
C . （﹣∞，﹣）
D . （﹣∞，﹣）
8. （2分）函数的零点所在区间为（）
A . （3,+∞）
B . （2,3）
C . （1,2）
D . （0,1）
二、填空题 (共3题；共3分)
9. （1分） (2019高三上·烟台期中) 已知函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________.
10. （1分）对于实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b= ，设函数f（x）=（x+2）⊗（3﹣x），x∈R，若方程f（x）=c恰有两个不同的解，则实数c的取值范围是________．
11. （1分） (2016高一下·泰州开学考) 若函数f（x）=lgx+x﹣3的零点在区间（k，k+1），k∈Z内，则k=________．
三、解答题 (共3题；共20分)
12. （10分） (2017高一上·上海期中) 设正有理数a1是的一个近似值，令a2=1+ ，求证：
（1）介于a1与a2之间；
（2） a2比a1更接近于．
13. （5分）物理课上老师拿出长为1米的一根导线，此导线中有一处折断无法通电（表面看不出来），如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，较为麻烦．想一想，怎样工作最合理？要把折断处的范围缩小到3～4厘米左右，要查多少次？
14. （5分）研究函数的单调性，并求解方程：3x+4x+5x=6x ．
参考答案一、选择题 (共8题；共16分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
二、填空题 (共3题；共3分)
9-1、
10-1、
11-1、
三、解答题 (共3题；共20分)
12-1、
12-2、13-1、
14-1、。