高二数学上学期第一次月考试题.doc
江西省南昌市第十中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题(含解析)
南昌十中2024-2025学年上学期第一次月考高二数学试题说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分。
考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（）A．B．C．D．2．若直线的倾斜角为，则实数值为（）AB．CD．3．已知经过点的直线的一个方向向量为，则的方程为（）A．B．C．D．4．已知向量，，且与互相垂直，则实数等于（）A．B．或C．0或D．0或5．在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）ABCD6．已知，，直线，，且，则的最小值为（）A．2B．4C．8D．97．点到直线的距离最大时，其最大值以及此时直线的方程分别为（）ABCDO xyz-()2,4,3P--yOz()2,4,3-()2,4,3--()2,4,3--()2,4,3-:10l x my++=23πm()3,1l()3,2l32110x y+-=2330x y--=2390x y+-=3270x y--=()1,1,0a=()1,,2bλ=-75a b+2a b-λ3535753575111ABC A B C-AC BC⊥14AC AA==2BC=1AC1B Ca>0b>()1:110l a x y-+-=2:210l x by++=12l l⊥21a b+ ()2,1P--()()():131240l x yλλλλ+++--=∈Rl:3250x y+-=3250x y+-= 2310x y-+=:2310x y-+=8．如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，，，，点是的中点，则线段上的动点到直线的距离的最小值为（ ）AB ．2CD ．3二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
四川省成都市2024-2025学年高二上学期月考(一)数学试题含答案
高二上数学月考（一）（答案在最后）一､单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号，001，002，…，649，650.从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（）32211834297864540732524206443812234356773578905642 84421253313457860736253007328623457889072368960804 32567808436789535577348994837522535578324577892345A.623B.328C.072D.457【答案】A【解析】【分析】按照随机数表提供的数据，三位一组的读数，并取001到650内的数，重复的只取一次即可【详解】从第5行第6列开始向右读取数据，第一个数为253，第二个数是313，第三个数是457，下一个数是860，不符合要求，下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复，第四个是007，第五个是328，第六个数是623，，故A正确.故选：A.2.某校高一共有10个班，编号1至10，某项调查要从中抽取三个班作为样本，现用抽签法抽取样本，每次抽取一个号码，共抽3次，设五班第二次被抽到的可能性为b，则（）A.19b= B.29b= C.310b= D.110b=【答案】D【解析】【分析】根据题意，在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等即可求解.【详解】因为总体中共有10个个体，所以五班第一次没被抽到，第二次被抽到的可能性为91110910b=⨯=.故选：D.3.已知向量1,22AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，122BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，则ABC ∠=（）A.30°B.150°C.60°D.120°【答案】B 【解析】【分析】根据向量夹角的坐标表示求出向量夹角，进而求解几何角.【详解】因为向量13,22AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，31,22BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以13312222cos ,2AB BC AB BC AB BC⎛⎫⎛⎫⨯+-⨯- ⎪ ⎪⋅==⋅，又0,180AB BC ≤≤，所以,30AB BC =，所以,18030150BA BC =-= ，所以150ABC ∠=o .故选：B.4.已知,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则下列说法错误的是（）A.若//a b ，,b a αα⊂⊄，则//a αB.若,a b αα⊥⊥，则//a bC.若,,b a b αβαβ⊥⋂=⊥，则a β⊥D.若,a b 为异面直线，,a b αβ⊂⊂，//a β，//b α，则//αβ【答案】C 【解析】【分析】根据线面平行的判定定理判断A ，根据线面垂直的性质判断B ，当a α⊄时即可判断C ，根据异面直线的定义及线面平行的性质定理判断D.【详解】对于A ：若//a b ，,b a αα⊂⊄，根据线面平行的判定定理可知//a α，故A 正确；对于B ：若,a b αα⊥⊥，则//a b ，故B 正确；对于C ：当a α⊂时，,,b a b αβαβ⊥⋂=⊥，由面面垂直的性质定理可得a β⊥，当a α⊄时，,,b a b αβαβ⊥⋂=⊥，则//a β或a β⊂或a 与β相交，故C 错误；对于D ：因为a α⊂，//b α，所以存在b α'⊂使得//b b '，又b β⊂，b β'⊄，所以//b β'，又//a β且,a b 为异面直线，所以平面α内的两直线b '、a 必相交，所以//αβ，故D 正确.故选：C5.下列说法正确的是（）A.互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件B.若()()1P A P B +=，则事件A 与事件B 是对立事件C.从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为25D.事件A 与事件B 中至少有一个发生的概率不一定比A 与B 中恰有一个发生的概率大【答案】D 【解析】【分析】根据互斥事件、对立事件和古典概型及其计算逐一判定即可．【详解】对于A ，由互斥事件和对立事件的关系可判断，对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，故A 错误;对于B ，由()()1P A P B +=，并不能得出A 与B 是对立事件，举例说明：现从a ，b ，c ，d 四个小球中选取一个小球，已知选中每个小球的概率是相同的，设事件A 表示选中a 球或b 球，则1()2P A =，事件B 表示选中b 球或c 球，则1()2P B =，所以()()1P A P B +=，但A ，B 不是对立事件，故B 错误;对于C ，该试验的样本空间可表示为：{(1,3,5),(1,3,7),(1,3,9),(1,5,7),(1,5,9),(1,7,9),(3,5,7),(3,5,9),(3,7,9)(5,7,9)}Ω=，共有10个样本点，其中能构成三角形的样本点有(3,5,7),(3,7,9),(5,7,9)，共3个，故所求概率310P =，故C 错误;对于D ，若A ，B 是互斥事件，事件A ，B 中至少有一个发生的概率等于A ，B 中恰有一个发生的概率，故D 正确．故选：D.6.一组数据：53，57，45，61，79，49，x ，若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3，则x =（）．A.58或64B.58C.59或64D.59【答案】A 【解析】【分析】先对数据从小到大排序，分57x ≤，79x ≥，5779x <<三种情况，舍去不合要求的情况，列出方程，求出答案,【详解】将已知的6个数从小到大排序为45，49，53，57，61，79．若57x ≤，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为61和57，他们的差为4，不符合条件；若79x ≥，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为79和61，它们的差为18，不符合条件；若5779x <<，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为x 和61（或61和x ），则613x -=，解得58x =或64x =故选：A7.如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面,,2ABCD FB ED AB ED FB ==∥，记三棱锥,,E ACD F ABC F ACE ---的体积分别为123,,V V V ，则（）A.322V V =B.31V V =C.3123V V V =-D.3123V V =【答案】D 【解析】【分析】结合线面垂直的性质，确定相应三棱锥的高，求出123,,V V V 的值，结合选项，即可判断出答案.【详解】连接BD 交AC 于O ，连接,OE OF ，设22AB ED FB ===，由于ED ⊥平面,ABCD FB ED ∥，则FB ⊥平面ABCD ,则1211141112222,22133233323ACD ABC V S ED V S FB =⨯⨯=⨯⨯⨯⨯==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= ；ED ⊥平面,ABCD AC Ì平面ABCD ，故ED AC ⊥，又四边形ABCD 为正方形，则AC BD ⊥，而,,ED BD D ED BD =⊂ 平面BDEF ，故AC ⊥平面BDEF ，OF ⊂平面BDEF ，故AC OF ⊥，又ED ⊥平面ABCD ，FB ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，故,ED BD FB BD ⊥⊥，222222,26,3,BD OD OB OE OD ED OF OB BF =∴===+==+=而()223EF BD ED FB =+-=，所以222EF OF OE +=，即得OE OF ⊥，而,,OE AC O OE AC =⊂ 平面ACE ，故OF ⊥平面ACE ，又22222AC AE CE ===+=，故(2231131323233434F ACE V V ACE S OF AC OF =-=⋅=⨯⋅=⨯= ，故323131231,2,,233V V V V V V V V V ≠≠≠-=，故ABC 错误，D 正确，故选：D8.已知平面向量a ，b ，e ，且1e = ，2a = .已知向量b 与e所成的角为60°，且b te b e -≥- 对任意实数t 恒成立，则12a e ab ++-的最小值为（）A.31+ B.23C.35 D.25【答案】B【解析】【分析】b te b e -≥-对任意实数t 恒成立，两边平方，转化为二次函数的恒成立问题，用判别式来解，算出||2b =r ，借助2a =，得到122a e a e +=+ ，12a e a b ++- 的最小值转化为11222a e a b++- 的最小值，最后用绝对值的三角不等式来解即可【详解】根据题意，1cos 602b e b e b ⋅=⋅︒=，b te b e -≥- ，两边平方22222||2||2b t e tb e b e b e +-⋅≥+-⋅ ，整理得到210t b t b --+≥ ，对任意实数t 恒成立，则()2Δ||410b b =--+≤ ，解得2(2)0b -≤ ，则||2b =r .由于2a =，如上图，122a e a e +=+ ，则111112(2)()22222a e a b a e a b a e a b ++-=++-≥+--222843e b e b b e =+=++⋅12a e ab ++- 的最小值为23当且仅当12,,2e b a -终点在同一直线上时取等号.故选：B ．二､多项选择题.本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，部分选对的得部分，有选错的得0分.9.某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则（）A.丁险种参保人数超过五成B.41岁以上参保人数超过总参保人数的五成C.18－29周岁人群参保的总费用最少D.人均参保费用不超过5000元【答案】ACD 【解析】【分析】根据统计图表逐个选项进行验证即可.【详解】由参保险种比例图可知，丁险种参保人数比例10.020.040.10.30.54----=，故A 正确;由参保人数比例图可知，41岁以上参保人数超过总参保人数的45%不到五成，B 错误;由不同年龄段人均参保费用图可知，1829~周岁人群人均参保费用最少()3000,4000，但是这类人所占比例为15%，54周岁以上参保人数最少比例为10%，54周岁以上人群人均参保费用6000,所以18－29周岁人群参保的总费用最少，故C 正确．由不同年龄段人均参保费用图可知，人均参保费用不超过5000元,故D 正确;故选：ACD ．10.在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”过去10日，甲､乙､丙､丁四地新增疑似病例数据信息如下：甲地：中位数为2，极差为5；乙地：总体平均数为2，众数为2；丙地：总体平均数为1，总体方差大于0；丁地：总体平均数为2，总体方差为3.则甲､乙､丙､丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的有（）A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地【答案】AD 【解析】【分析】假设最多一天疑似病例超过7人，根据极差可判断AD ；根据平均数可算出10天疑似病例总人数，可判断BC ．【详解】解：假设甲地最多一天疑似病例超过7人，甲地中位数为2，说明有一天疑似病例小于2，极差会超过5，∴甲地每天疑似病例不会超过7，∴选A ．根据乙、丙两地疑似病例平均数可算出10天疑似病例总人数，可推断最多一天疑似病例可能超过7人，由此不能断定一定没有发生大规模群体感染，∴不选BC ；假设丁地最多一天疑似病例超过7人，丁地总体平均数为2，说明极差会超过3，∴丁地每天疑似病例不会超过7，∴选D ．故选：AD ．11.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体．如图所示，设正四面体ABCD 的棱长为2，则下列说法正确的是（）A.勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为22-B.勒洛四面体被平面ABC 截得的截面面积是(2π-C.勒洛四面体表面上交线AC 的长度为2π3D.勒洛四面体表面上任意两点间的距离可能大于2【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项：求出正四面体ABCD 的外接球半径，进而得到勒洛四面体的内切球半径，得到答案；B 选项，作出截面图形，求出截面面积；C 选项，根据对称性得到交线AC 所在圆的圆心和半径，求出长度；D 选项，作出正四面体对棱中点连线，在C 选项的基础上求出长度.【详解】A 选项，先求解出正四面体ABCD 的外接球，如图所示：取CD 的中点G ，连接,BG AG ，过点A 作AF BG ⊥于点F ，则F 为等边ABC V 的中心，外接球球心为O ，连接OB ，则,OA OB 为外接球半径，设OA OB R ==，由正四面体的棱长为2，则1CG DG ==，BG AG ==133FG BG ==，233BF BG ==3AF ===，3OF AF R R =-=-，由勾股定理得：222OF BF OB +=，即22233R R ⎛⎫⎛-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：2R =，此时我们再次完整的抽取部分勒洛四面体，如图所示：图中取正四面体ABCD 中心为O ，连接BO 交平面ACD 于点E ，交 AD 于点F ，其中 AD 与ABD △共面，其中BO 即为正四面体外接球半径2R =，设勒洛四面体内切球半径为r ，则22r OF BF BO ==-=-，故A 正确；B 选项，勒洛四面体截面面积的最大值为经过正四面体某三个顶点的截面，如图所示：面积为(2221π333322222344⎛⎫⨯⨯⨯-⨯+⨯= ⎪ ⎪⎭⎝，B 正确；C 选项，由对称性可知：勒洛四面体表面上交线AC 所在圆的圆心为BD 的中点M ，故3MA MC ==2AC =，由余弦定理得：2221cos 23233AM MC AC AMC AM MC +-∠===⋅⨯⨯，故1arccos3AMC ∠=3AC 133，C 错误；D 选项，将正四面体对棱所在的弧中点连接，此时连线长度最大，如图所示：连接GH ，交AB 于中点S ，交CD 于中点T ，连接AT ，则22312ST AT AS =-=-=则由C 选项的分析知：3TG SH ==，所以323322GH =+=，故勒洛四面体表面上两点间的距离可能大于2，D 正确.故选：ABD.【点睛】结论点睛：勒洛四面体考试中经常考查，下面是一些它的性质：①勒洛四面体上两点间的最大距离比四面体的棱长大，是对棱弧中点连线，最大长度为232a a ⎫->⎪⎪⎭，②表面6个弧长之和不是6个圆心角为60︒的扇形弧长之和，其圆心角为1arccos 3，半径为32a .三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12.某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为3：4：7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本，样本中的A 型号产品有15件，那么样本容量n 为________．【答案】70【解析】【分析】利用分层抽样的定义得到方程，求出70n =.【详解】由题意得315347n=++，解得70n =.故答案为：7013.平面四边形ABCD 中，AB =AD =CD =1，BD =BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体A ′﹣BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，若四面体A ′﹣BCD 顶点在同一个球面上，则该球的表面积_____.【答案】3π【解析】【分析】根据BD ⊥CD ，BA ⊥AC ，BC 的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的表面积.【详解】因为平面A′BD ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，所以CD ⊥平面ABD ，∴CD ⊥BA ，又BA ⊥AD ，∴BA ⊥面ADC ，所以BA ⊥AC ，所以△BCD 和△ABC 都是直角三角形，由题意，四面体A ﹣BCD 顶点在同一个球面上，所以BC 的中点就是球心，所以BC =2所以球的表面积为：242π⋅=3π.故答案为：3π.【点睛】本题主要考查面面垂直的性质定理和球的外接问题，还考查空间想象和运算求解的能力，属于中档题.14.若一组样本数据12,,n x x x 的平均数为10，另一组样本数据1224,24,,24n x x x +++ 的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的方差是__________.【答案】54【解析】【分析】计算出1n ii x =∑、21nii x=∑的值，再利用平均数和方差公式可求得合并后的新数据的方差.【详解】由题意可知，数据12,n x x x 的平均数为10，所以12)101(n x x x x n =+++= ，则110ni i x n ==∑，所以数据1224,24,,24n x x x +++ 的平均数为121(242424)210424n x x x x n'=++++++=⨯+= ，方差为()(()222221111444[24241010n n n i i i i i i s x x x x n n n n n ===⎤⎡⎤=+-+=-=-⨯⨯⎦⎣⎦∑∑∑2144008n i i x n ==-=∑，所以21102nii xn ==∑，将两组数据合并后，得到新数据1212,24,24,,24,n n x x x x x x +++ ，，则其平均数为11114)4)11113]4)[(2(3(222n i nn n i i i i i i i x x x x x n n n ====''=+=⨯+=⨯++∑∑∑∑()13104172=⨯⨯+=，方差为()()2222111111172417(586458)22n n n ni i i i i i i i s x x x x n n n ====⎡⎤=-++-=-+⎢⎥⎣⎦'∑∑∑∑1(51028610458)542n n n n=⨯-⨯+=.故答案为：54.四､解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.袋中有形状、大小都相同的4个小球，标号分别为1,2,3,4.（1）从袋中一次随机摸出2个球，求标号和为奇数的概率;（2）从袋中每次摸出一球，有放回地摸两次.甲、乙约定：若摸出的两个球标号和为奇数，则甲胜，反之，则乙胜.你认为此游戏是否公平?说明你的理由.【答案】（1）23（2）是公平的，理由见解析【解析】【分析】（1）利用列举法写出样本空间及事件的样本点，结合古典概型的计算公式即可求解;（2）利用列举法写出样本空间及事件的样本点，结合古典概型的计算公式及概率进行比较即可求解.【小问1详解】试验的样本空间{(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}Ω=，共6个样本点，设标号和为奇数为事件B ，则B 包含的样本点为(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4个，所以42().63P B ==【小问2详解】试验的样本空间Ω{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}=，共有16个，设标号和为奇数为事件C ，事件C 包含的样本点为(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,3)，共8个,故所求概率为81()162P C ==,即甲胜的概率为12，则乙胜的概率为12,所以甲、乙获胜的概率是公平的.16.（1）请利用已经学过的方差公式：()2211ni i s x xn ==-∑来证明方差第二公式22211n i i s x x n ==-∑；（2）如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B 相互独立吗？请给予证明.【答案】（1）证明见解析；（2）独立，证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，对方差公式恒等变形，分析可得结论；（2）根据相互独立事件的定义，只需证明()()()P AB P A P B =即可.【详解】（1）()()()()2222212111n i n i s x xx x x x x x n n =⎡⎤=-=-+-++-⎢⎥⎣⎦∑ ()()2222121212n n x x x x x x x nx n ⎡⎤=+++-+++⎢⎥⎣⎦ ()22221212n x x x x nx nx n ⎡⎤=+++-⨯+⎢⎥⎣⎦ ()222121n x x x nx n ⎡⎤=+++-⎢⎥⎣⎦ 2211n i i x x n ==-∑；（2）因为事件A 与B 相互独立，所以()()()P AB P A P B =，因为()()()P AB P AB P A +=，所以()()()()()()P AB P A P AB P A P A P B =-=-()()()()()1P A P B P A P B =-=，所以事件A 与B 相互独立.17.如图，四棱锥P ABCD -的侧面PAD 是边长为2的正三角形，底面ABCD 为矩形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为AB ，AD 的中点，二面角D PN C --的正切值为2.（1）求四棱锥P ABCD -的体积；（2）证明：DM PC⊥（3）求直线PM 与平面PNC 所成角的正弦值.【答案】（1）3（2）证明见解析（3）35【解析】【分析】（1）先证明DNC ∠为二面角D PN C --的平面角，可得底面ABCD 为正方形，利用锥体的体积公式计算即可；（2）利用线面垂直的判定定理证明DM ⊥平面PNC ，即可证明DM PC ⊥；（3）由DM⊥平面PNC 可得MPO ∠为直线PM 与平面PNC 所成的角，计算其正弦值即可.【小问1详解】解：∵PAD △是边长为2的正三角形，N 为AD 中点，∴PN AD ^，PN =又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =∴PN ^平面ABCD又NC ⊂平面ABCD ，∴PN NC ⊥∴DNC ∠为二面角D PN C --的平面角，∴tan 2DC DNC DN∠==又1DN =，∴2DC =∴底面ABCD 为正方形.∴四棱P ABCD -的体积12233V =⨯⨯=.【小问2详解】证明：由（1）知，PN ^平面ABCD ，DM ⊂平面ABCD ，∴PN DM⊥在正方形ABCD 中，易知DAM CDN ≌△△∴ADM DCN ∠=∠而90ADM MDC ∠+∠=︒，∴90DCN MDC ∠+∠=︒∴DM CN ⊥∵PN CN N = ，∴DM ⊥平面PNC∵PC ⊂平面PNC ，∴DM PC ⊥.【小问3详解】设DM CN O ⋂=，连接PO ，MN .∵DM⊥平面PNC .∴MPO ∠为直线PM 与平面PNC 所成的角∵2,1AD AM ==，∴DM =5DO ==∴55MO ==又MN =PM ==∴35sin 5MO MPO PM ∠===∴直线PM 与平面PNC 所成角的正弦值为35.18.某市根据居民的月用电量实行三档阶梯电价，为了深入了解该市第二档居民用户的用电情况，该市统计局用比例分配的分层随机抽样方法，从该市所辖A ，B ，C 三个区域的第二档居民用户中按2：2：1的比例分配抽取了100户后，统计其去年一年的月均用电量（单位：kW h ⋅），进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），频率分布直方图如下图所示.（1）求m 的值；（2）若去年小明家的月均用电量为234kW h ⋅，小明估计自己家的月均用电量超出了该市第二档用户中85%的用户，请判断小明的估计是否正确？（3）通过进一步计算抽样的样本数据，得到A 区样本数据的均值为213，方差为24.2；B 区样本数据的均值为223，方差为12.3；C 区样本数据的均值为233，方差为38.5，试估计该市去年第二档居民用户月均用电量的方差.（需先推导总样本方差计算公式，再利用数据计算）【答案】（1）0.016m =（2）不正确（3）78.26【解析】【分析】（1）利用频率和为1列式即可得解；（2）求出85%分位数后判断即可；（3）利用方差公式推导总样本方差计算公式，从而得解.【小问1详解】根据频率和为1，可知()0.0090.0220.0250.028101m ++++⨯=，可得0.016m =.【小问2详解】由题意，需要确定月均用电量的85%分位数，因为()0.0280.0220.025100.75++⨯=，()0.0280.0220.0250.016100.91+++⨯=，所以85%分位数位于[)230,240内，从而85%分位数为0.850.7523010236.252340.910.75-+⨯=>-.所以小明的估计不正确.【小问3详解】由题意，A 区的样本数为1000.440⨯=，样本记为1x ，2x ，L ，40x ，平均数记为x ；B 区的样本数1000.440⨯=，样本记为1y ，2y ，L ，40y ，平均数记为y ；C 区样本数为1000.220⨯=，样本记为1z ，2z ，L ，20z ，平均数记为z .记抽取的样本均值为ω，0.42130.42230.2233221ω=⨯+⨯+⨯=.设该市第二档用户的月均用电量方差为2s ，则根据方差定义，总体样本方差为()()()40402022221111100i j k i i i s x y z ωωω===⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑()()()4040202221111100i j k i i i x x x y y y z z z ωωω===⎡⎤=-+-+-+-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑因为()4010ii x x =-=∑，所以()()()()404011220iii i x x x x x x ωω==--=--=∑∑，同理()()()()404011220jji i yyy y yy ωω==--=--=∑∑，()()()()202011220kki i zz z z zz ωω==--=--=∑∑，因此()()()()4040404022222111111100100i j i i i i s x x x y y y ωω====⎡⎤⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑()()202022111100k i i z z z ω==⎡⎤+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑，代入数据得()()222114024.2402132214012.340223221100100s ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎦=⨯+⨯-+⨯-⎣+⨯()212038.32023322178.26100⎡⎤+⨯+⨯-=⎣⎦.19.在世界杯小组赛阶段，每个小组内的四支球队进行循环比赛，共打6场，每场比赛中，胜、平、负分别积3，1，0分.每个小组积分的前两名球队出线，进入淘汰赛.若出现积分相同的情况，则需要通过净胜球数等规则决出前两名，每个小组前两名球队出线，进入淘汰赛.假定积分相同的球队，通过净胜球数等规则出线的概率相同（例如：若B ，C ，D 三支积分相同的球队同时争夺第二名，则每个球队夺得第二名的概率相同）.已知某小组内的A ，B ，C ，D 四支球队实力相当，且每支球队在每场比赛中胜、平、负的概率都是13，每场比赛的结果相互独立.（1）求A 球队在小组赛的3场比赛中只积3分的概率；（2）已知在已结束的小组赛的3场比赛中，A 球队胜2场，负1场，求A 球队最终小组出线的概率.【答案】（1）427（2）7981【解析】【分析】（1）分类讨论只积3分的可能情况，结合独立事件概率乘法公式运算求解；（2）由题意，若A 球队参与的3场比赛中胜2场，负1场，根据获胜的三队通过净胜球数等规则决出前两名，分情况讨论结合独立事件概率乘法公式运算求解.【小问1详解】A 球队在小组赛的3场比赛中只积3分，有两种情况.第一种情况：A 球队在3场比赛中都是平局，其概率为111133327⨯⨯=.第二种情况：A球队在3场比赛中胜1场，负2场，其概率为11113 3339⨯⨯⨯=.故所求概率为114 27927+=.【小问2详解】不妨假设A球队参与的3场比赛的结果为A与B比赛，B胜；A与C比赛，A胜；A与D比赛，A胜.此情况下，A积6分，B积3分，C，D各积0分.在剩下的3场比赛中：若C与D比赛平局，则C，D每队最多只能加4分，此时C，D的积分都低于A的积分，A可以出线；若B与C比赛平局，后面2场比赛的结果无论如何，都有两队的积分低于A，A可以出线；若B与D比赛平局，同理可得A可以出线.故当剩下的3场比赛中有平局时，A一定可以出线.若剩下的3场比赛中没有平局，则当B，C，D各赢1场比赛时，A可以出线.当B，C，D中有一支队伍胜2场时，若C胜2场，B胜1场，A，B，C争夺第一、二名，则A淘汰的概率为11111 333381⨯⨯⨯=；若D胜2场，B胜1场，A，B，D争夺第一、二名，则A淘汰的概率为11111 333381⨯⨯⨯=.其他情况A均可以出线.综上，A球队最终小组出线的概率为1179 1818181⎛⎫-+=⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：解题的关键在于分类讨论获胜的三队通过净胜球数等规则决出前两名，讨论要恰当划分，做到不重不漏，从而即可顺利得解.。
天津市南开大学附属中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷
天津市南开大学附属中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷一、单选题1．已知全集{}0,2,4,6,8,10U =，集合{}0,2,4A =，{}0,6,8B =，则()U A B ⋂=ð（）A ．{}0B ．{}6,8C ．{}0,6,8D ．{}2,4,6,82．在空间直角坐标系中，点(3,1,5)M -，关于x 轴对称的点的坐标是A ．()3,1,5---B ．()3,1,5--C ．()3,1,5-D ．()3,1,5--3．以下各组向量中的三个向量，不能构成空间基底的是（）A ．()1,0,0a = ，()0,2,0b = ，1(,2c = B ．()1,0,0a =，()0,1,0b = ，()0,0,2c = C ．()1,0,1= a ，()0,1,1b = ，()2,1,2c =D ．()1,1,1a = ，()0,1,0b = ，()1,0,2c =4．已知{},,a b c 是空间的一组基底，其中23AB a b =- ，AC a c =- ，2AD b c λ=+.若A ，B ，C ，D 四点共面，则λ=（）A ．34-B ．34C ．43D ．43-5．如图，在空间四边形OABC 中，点E 为BC 中点，点F 在OA 上，且2OF FA = ,则EF等于A ．121+232OA OB OC-B ．211+322OA OB OC-+C ．111222OA OB OC+-D ．211322OA OB OC--6．若直线1x ya b-=过第一、三、四象限，则实数,a b 满足（）A ．0,0a b <<B ．0,0a b <>C ．0,0a b >>D ．0,0a b ><7．已知直线l 的一个方向向量为ππsin ,cos 33p ⎛⎫= ⎝⎭ ，则直线l 的倾斜角为（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．4π38．已知直线310kx y k --+=，当k 变化时，所有直线都恒过点（）A ．()0,0B ．()0,1C ．()2,1D ．()3,19．已知()2,4A ，()1,1B 两点，直线l 过点()0,2C 且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围为（）A ．(][),11,-∞-+∞B ．(][),22,-∞-+∞UC ．[]1,1-D ．[]22-,10．若曲线y =()21y k x =++仅有一个交点，则实数k 的取值范围是（）A ．11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．11,3⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C ．{}11,03⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ D ．{}11,03⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ 二、填空题11．已知空间向量()2,3,4a = ，()1,0,1b =- ，那么a 在b上的投影向量为.12．已知向量(2,,1),(2,1,1)a t b =--= ，若a与b 的夹角为钝角，则实数t 的取值范围是．13．已知直线12:3450,:6850l x y l x y +-=++=则1l 与2l 的距离d =.14．在棱长为2的正方体ABCD A B C D -₁₁₁₁中E BC ，为中点，则点1B 到直线1A E 的距离为15．已知(,0),(,0)(0),A m B m m ->若圆22:68210C x y x y ++-+=上存在点P ，使得222||||4PA PB m +=，则m 的范围．三、解答题16．已知ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，7,8,5a b c ===．(1)求角A 的值；(2)求sin B 的值．17．已知直线1:(4)(6)160l m x m y +++-=与直线2:6(1)80l x m y +--=．(1)当m 为何值时，1l 与2l 相交；(2)当m 为何值时，1l 与2l 平行，并求1l 与2l 的距离；(3)当m 为何值时，1l 与2l 垂直．18．已知点M (3，1)，圆O 1：(x ﹣1)2+(y ﹣2)2=4.（1）若直线ax ﹣y +4=0与圆O 1相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为a 的值；（2）求过点M 的圆O 1的切线方程.19．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,60AB AD AA A AB A AD BAD ===∠=∠=∠=︒．(1)证明：1AC BD ⊥；(2)求1AC 的长；(3)求直线1BD 与AC 所成角的余弦值．20．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，四边形ADPQ 是梯形，PD ∥π,2QA PDA PDC ∠∠==，且22AD PD QA ===.(1)求证：QB∥平面PDC；--的平面角大小.(2)求二面角C PB Q(3)已知点H在棱PD上，且异面直线AH与PB H的位置.。
四川省德阳2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题含答案
德阳高2023级2024年秋季第一学月考试数学试题（答案在最后）考试范围：必修二第十章、选修第一册第一章；考试时间：120分钟；命题人：高二数学组注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一、单选题1.已知集合{}2,0,1,3A =-，{}0,2,3B =，则A B = （）A.{}2,1- B.{}2,1,2- C.{}0,3 D.{}2,0,1,2,3-【答案】C 【解析】【分析】运用交集性质即可得.【详解】由{}2,0,1,3A =-，{}0,2,3B =，则{}0,3A B ⋂=.故选：C.2.2(2i)4z =+-在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】将复数化为标准形式再根据复数的几何意义即可确定.【详解】2(2i)414i z =+-=-+，则z 在复平面内对应的点位于第二象限，故选：B.3.某实验中学共有职工150人，其中高级职称的职工15人，中级职称的职工45人，一般职员90人，现采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为（）A.5、10、15B.3、9、18C.3、10、17D.5、9、16【答案】B 【解析】【分析】利用分层抽样的定义求出对应人数，得到答案.【详解】抽取的高级职称人数为15303150⨯=，中级职称人数为45309150⨯=，一般职员的人数为903018150⨯=，故抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为3、9、18.故选：B4.已知一组数据：4，6，7，9，11，13，则这组数据的第50百分位数为（）A .6B.7C.8D.9【答案】C 【解析】【分析】借助百分位数定义计算即可得.【详解】由60.53⨯=，故这组数据的中位数为7982+=.故选：C.5.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，取到的2个数之和为偶数的概率为（）A.13B.23C.12D.25【答案】D 【解析】【分析】应用列举法求古典概型的概率即可.【详解】任取2个不同数可能有(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(3,4)、(3,5)、(4,5)，共10种情况，其中和为偶数的情况有(1,3)、(1,5)、(2,4)、(3,5)，共4种情况，所以取到的2个数之和为偶数的概率为42105=.故选：D6.已知空间中非零向量a ，b ，且1a = ，2b = ， 60a b =,，则2a b - 的值为（）A.1B.C.2D.4【答案】C 【解析】【分析】根据向量的模长公式即可求解.【详解】因为2222222(2)4444cos a b a b a a b b a a b a b b -=-=-⋅+=- ,14412442=-⨯⨯⨯+=，所以22a b -= ．故选:C7.已知空间向量()1,2,3m = ，空间向量n 满足//m n u r r 且7⋅=m n ，则n ＝（）A.13,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B.13,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭C.31,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭ D.31,1,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】由空间向量共线的坐标表示与数量积的坐标表示求解即可.【详解】∵()1,2,3m = ，且空间向量n满足//m n u r r ，∴可设(),2,3n m λλλλ==，又7⋅= m n ，∴1233147λλλλ⨯+⨯+⨯==，得12λ=．∴113,1,222n m ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故A 正确.故选：A.8.已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直，若点C 到平面AB 1D 1的距离为5，则直线1B D 与平面11AB D 所成角的余弦值为（）A.B.3710C.1010D.10【答案】A 【解析】【分析】先由等面积法求得1AA 的长，再以1A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系1A xyz -，运用线面角的向量求解方法可得答案．【详解】如图，连接11A C 交11B D 于O 点，过点C 作CH AO ⊥于H ，则CH ⊥平面11AB D，则5CH =，设1AA a =，则AO CO AC ===，则根据三角形面积得1122AOC S AO CH AC ∆=⨯⨯=⨯，代入解得a =以1A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系1A xyz -．则1111(2,0,0),(0,2,0),(0,2,2(2,0,A B D D AD AB =-=-，1(B D =- ，设平面11AB D 的法向量为(n x =，y ，)z ，则1100n AD n AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2020y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令x =，得n =．11110cos ,10||||B D n B D n B D n ⋅〈〉==，所以直线1B D 与平面1111D C B A故选：A．二、多选题9.设,A B 是两个概率大于0的随机事件，则下列结论正确的是（）A.若A 和B 互斥，则A 和B 一定相互独立B.若事件A B ⊆，则()()P A P B ≤C.若A 和B 相互独立，则A 和B 一定不互斥D.()()()P A B P A P B <+ 不一定成立【答案】BC 【解析】【分析】对于AC ：根据互斥事件和独立事件分析判断即可；对于B ：根据事件间关系分析判断即可；对于D ：举反例说明即可.【详解】由题意可知：()()0,0P A P B >>，对于选项A ：若A 和B 互斥，则()0P AB =，显然()()()P AB P A P B ≠，所以A 和B 一定不相互独立，故A 错误；对于选项B ：若事件A B ⊆，则()()P A P B ≤，故B 正确；对于选项C ：若A 和B 相互独立，则()()()0P AB P A P B =>，所以A 和B 一定不互斥，故C 正确；对于选项D ：因为()()()()P A B P A P B P AB =+- ，若A 和B 互斥，则()0P AB =，则()()()P A B P A P B =+ ，故D 错误；故选：BC.10.如图，点,,,,A B C M N 是正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足//MN 平面ABC 的是（）A. B.C. D.【答案】ACD 【解析】【分析】结合题目条件，根据线面平行的判断定理，构造线线平行，证明线面平行.【详解】对A ：如图：连接EF ，因为,M N 为正方体棱的中点，所以//MN EF ，又//EF AC ，所以//MN AC ，AC ⊂平面ABC ，MN ⊄平面ABC ，所以//MN 平面ABC .故A 正确；对B ：如图：因为,,,,A B C M N 是正方体棱的中点，所以//MN GH ，//BC EF ，//GH EF ，所以//BC MN ，同理：//AB DN ，//AM CD .所以,,,,A B C M N 5点共面，所以//MN 平面ABC 不成立.故B 错误；对C ：如图：因为,B C 是正方体棱的中点，所以//BC EF ，//MN EF ，所以//BC MN .⊂BC 平面ABC ，MN ⊄平面ABC ，所以//MN 平面ABC .故C 正确；对D ：如图：因为,.B C M 为正方体棱的中点，连接ME 交AC 于F ，连接BF ，则BF 为MNE 的中位线，所以//BF MN ，BF ⊂平面ABC ，MN ⊄平面ABC ，所以//MN 平面ABC .故D 正确.故选：ACD11.如图，在平行四边形ABCD 中，1AB =，2AD =，60A ∠=︒，沿对角线BD 将△ABD 折起到△PBD 的位置，使得平面PBD ⊥平面BCD ，连接PC ，下列说法正确的是（）A.平面PCD ⊥平面PBDB.三棱锥P BCD -外接球的表面积为10πC.PD 与平面PBC 所成角的正弦值为34D.若点M 在线段PD 上（包含端点），则△BCM 面积的最小值为217【答案】ACD 【解析】【分析】结合线线垂直，线面垂直与面面垂直的相互转化关系检验A,根据外接球的球心位置即可结合三角形的边角关系求解半径，可判断B,结合空间直角坐标系及空间角及空间点到直线的距离公式检验CD ．【详解】BCD △中，1CD =，2BC =，60A ∠=︒，所以3BD =，故222BD CD BC +=，所以BD CD ⊥，因为平面PBD ⊥平面BCD ,且平面PBD 平面BCD BD =，又BD CD ⊥，CD ⊂平面BCD 所以CD ⊥平面PBD ，CD ⊂平面PCD ,所以平面PCD ⊥平面BPD ，故A 正确；取BC 的中点为N ,PB 中点为Q ,过N 作12ON //PB,ON PB =,由平面PBD ⊥平面BCD ,且平面PBD 平面BCD BD =，又BD PB ⊥,PB ⊂平面PBD ,故PB ⊥平面BCD ,因此ON ⊥平面BCD ,由于BCD △为直角三角形，且N 为斜边中点，所以OB OC OD ==,又12ON //PB,ON PB =,所以QB ON ,BQ //ON =,因此OP OB =,因此O 为三棱锥P BCD -外接球的球心，且半径为2OB ==,故球的表面积为54π=5π4´，故B错误，以D为原点，联立如图所示的空间直角坐标系，则B 0，0)，(0C ，1，0)，P ，0，1)，因为(0BP = ，0，1)，(BC =，1，0)，)01DP ,= ,设平面PBC 的法向量为(),,m x y z =，所以0000z m BP y m BC ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩，取x =)30m ,=所以cos ,4||||m DP m DP m DP⋅<>==，故PD 与平面PBC所成角的正弦值为4，故C 正确，因为M 在线段PD上，设M ，0，)a，则MB=，0，)a -，所以点M 到BC的距离d ==，当37a =时，d 取得最小值217，此时MBC ∆面积取得最小值12121277BC ⨯=，D 正确．故选：ACD．第Ⅱ卷（选择题）三、填空题12.如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是14，从乙口袋中摸出一个红球的概率是13，现分别从甲乙口袋中各摸出1个球，则2个球都是红球的概率是________．【答案】112【解析】【分析】根据相互独立事件概率乘法公式求解．【详解】从甲口袋中摸出一个红球的概率是14，从乙口袋中摸出一个红球的概率是13，现分别从甲乙口袋中各摸出1个球，则2个球都是红球的概率1114312P =⨯=．故答案为：112．13.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E 是11A B 的中点，则点A 到直线BE 的距离是__________．【答案】5【解析】【分析】以D 为原点，以1,,DA DC DD的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，利用点到直线的向量公式可得.【详解】以D 为原点，以1,,DA DC DD的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系.则()()()2,0,0,2,2,0,2,1,2A B E ，所以()()0,2,0,0,1,2BA BE =-=-，记与BE同向的单位向量为u ，则5250,,55u ⎛=-⎝⎭，所以，点A 到直线BE 的距离455d ===.故答案为：514.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，2PA AB ==，点,E F 分别为,CD CP 的中点，点T 为PAB 内的一个动点（包括边界），若CT ∥平面AEF ，则点T 的轨迹的长度为__________.【答案】53153【解析】【分析】记AB 的中点为G ，点T 的轨迹与PB 交于点H ，则平面//CHG 平面AEF ，建立空间直角坐标系，利用CH垂直于平面AEF ，的法向量确定点H 的位置，利用向量即可得解.【详解】由题知，,,AB AD AP 两两垂直，以A 为原点，,,AB AD AP 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，记AB 的中点为G ，连接CG ，因为ABCD 为正方形，E 为CD 中点，所以//AG CE ，且AG CE =，所以AGCE 为平行四边形，所以//CG AE ，又CG ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，所以//CG 平面AEF ，记点T 的轨迹与PB 交于点H ，由题知//CH 平面AEF ，因为,CH CG 是平面CHG 内的相交直线，所以平面//CHG 平面AEF ，所以GH 即为点T 的轨迹，因为()()()()()()0,0,0,1,2,0,1,1,1,2,2,0,0,0,2,2,0,0A E F C P B ，所以()()()()2,0,2,2,2,2,1,2,0,1,1,1PB CP AE AF =-=--== ，设PH PB λ=，则()()()2,2,22,0,222,2,22CH CP PH CP PB λλλλ=+=+=--+-=--- ，设(),,n x y z =为平面AEF 的法向量，则200AE n x y AF n x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩ ，令1y =得()2,1,1n =- ，因为CH n ⊥ ，所以()2222220λλ---+-=，解得23λ=，则22,2,33CH ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，又()1,2,0GC AE == 所以()22121,2,0,2,,0,3333GH GC CH ⎛⎫⎛⎫=+=+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以12145,0,33993GH ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭.故答案为：53【点睛】关键点睛：本题关键在于利用向量垂直确定点T 的轨迹与PB 的交点位置，然后利用向量运算求解即可.四、解答题15.《中华人民共和国民法典》于2021年1月1日正式施行．某社区为了解居民对民法典的认识程度，随机抽取了一定数量的居民进行问卷测试（满分：100分），并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）估计该组测试成绩的平均数和第57百分位数；（2）该社区在参加问卷且测试成绩位于区间[)80,90和[]90,100的居民中，采用分层随机抽样，确定了5人.若从这5人中随机抽取2人作为该社区民法典宣讲员，设事件A =“两人的测试成绩分别位于[)80,90和[]90,100”，求()P A .【答案】（1）平均数76.2；第57百分位数79；（2）()35P A =.【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图计算平均数及百分位数；（2）根据分层抽样确定测试成绩分别位于[)80,90和[]90,100的人数，按照古典概型计算即可.【小问1详解】由频率分布直方图可知测试成绩的平均数450.04550.06650.2750.3850.24950.1676.2x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.测试成绩落在区间[)40,70的频率为()0.0040.0060.02100.3++⨯=，落在区间[)40,80的频率为()0.0040.0060.020.03100.6+++⨯=，所以设第57百分位数为a ，有()0.3700.030.57a +-⨯=，解得79a =；【小问2详解】由题知，测试分数位于区间[)80,90、[)90,100的人数之比为0.2430.162=，所以采用分层随机抽样确定的5人，在区间[)80,90中3人，用1A ，2A ，3A 表示，在区间[)90,100中2人，用1B ，2B 表示，从这5人中抽取2人的所有可能情况有：()12,A A ，()13,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()23,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()31A B ，()32,A B ，()12,B B ，共10种，其中“分别落在区间[)80,90和[)90,100”有6种，所以()35P A =.16.在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上，且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点．（1）证明：B 1D ⊥平面ABD ；（2）证明：平面EGF ∥平面ABD .【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法来证得1B D ⊥平面ABD .（2）利用向量法证得平面//EGF 平面ABD .【小问1详解】以B 为坐标原点，BA 、BC 、BB 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B (0,0,0)，D (0,2,2)，B 1(0,0,4)，设BA ＝a ，则A (a,0,0)，所以BA ＝(a,0,0)，BD ＝(0,2,2)，1B D ＝(0,2，－2)，1B D ·BA ＝0，1B D ·BD ＝0＋4－4＝0，即B 1D ⊥BA ，B 1D ⊥BD .又BA ∩BD ＝B ，因此B 1D ⊥平面ABD .【小问2详解】由(1)知，E (0,0,3)，G ,1,42a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，F (0,1,4)，则EG uuu r ＝,1,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，EF ＝(0,1,1)，1B D ·EG uuu r ＝0＋2－2＝0，1B D ·EF ＝0＋2－2＝0，即B 1D ⊥EG ，B 1D ⊥EF .又EG ∩EF ＝E ，因此B 1D ⊥平面EGF .结合(1)可知平面EGF ∥平面ABD .17.已知甲射击的命中率为0.8，乙射击的命中率为0.9，甲乙两人的射击相互独立．（1）甲乙两人同时命中目标的概率；（2）甲乙两人中至少有1人命中目标的概率．【答案】（1）0.72（2）0.98【解析】【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式即可求出答案.（2）利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式即可求得答案.【小问1详解】因为甲射击的命中率为0.8，乙射击的命中率为0.9，甲乙两人的射击相互独立，设事件A 表示甲命中，事件B 表示乙命中，则()0.8P A =,()0.9P B =所以甲、乙两人同时命中目标的概率()()()0.80.90.72P AB P A P B ==⨯=,【小问2详解】甲乙两人中至少有1人命中目标的对立事件是甲、乙都没击中目标，甲、乙都没击中目标的概率()()()()()10.810.90.02P AB P A P B ==--=,所以甲乙两人中至少有1人命中目标的概率为：()()110.020.98P A B P AB =-=-= 18.如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点E 在底面圆周上，,AF DE F ⊥为垂足.（1）求证：AF DB ⊥.（2）当直线DE 与平面ABE 所成角的正切值为2时，①求平面EDC 与平面DCB 夹角的余弦值；②求点B 到平面CDE 的距离.【答案】（1）证明见解析（2）①41919；②25719【解析】【分析】（1）利用线面垂直得到AF ⊥平面BED ，进而证明AF DB ⊥即可.（2）①建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法处理即可.②利用点到平面的距离公式求解即可.【小问1详解】由题意可知DA ⊥底面,ABE BE ⊂平面ABE ，故BE DA ⊥，又,,,BE AE AE DE E AE DE ⊥⋂=⊂平面AED ，故BE ⊥平面AED ，由AF ⊂平面AED ，得AF BE ⊥，又,,,AF DE BE DE E BE DE ⊥⋂=⊂平面BED ，故AF ⊥平面BED ，由DB ⊂平面BED ，可得AF DB ⊥.【小问2详解】①由题意，以A 为原点，分别以AB ，AD 所在直线为y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，并设AD 的长度为2，则(0,0,0),(0,2,0),(0,2,2),(0,0,2)A B C D ，因为DA ⊥平面ABE ，所以DEA ∠就是直线DE 与平面ABE 所成的角，所以tan 2DA DEA AE∠==，所以1AE =，所以31,,022E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭由以上可得1(0,2,0),,,222DC DE ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭ ，设平面EDC 的法向量为(,,)n x y z = ，则0,0,n DC n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即20,3120,22y x y z =⎧+-=⎪⎩取4x =，得n = .又(1,0,0)m = 是平面BCD 的一个法向量，设平面EDC 与平面DCB 夹角的大小为θ，所以cos cos ,19m n m n m n θ⋅==== ，所以平面EDC 与平面DCB 夹角的余弦值为41919.②因为33,,022BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以点B 到平面CDE的距离19BE n d n ⋅== .19.图1是直角梯形ABCD ，AB CD ∥，90D Ð=°，四边形ABCE 是边长为4的菱形，并且60BCE ∠=︒，以BE 为折痕将BCE 折起，使点C 到达1C的位置，且1AC =，如图2.（1）求证：平面1BC E ⊥平面ABED ；（2）在棱1DC 上是否存在点P ，使得P 到平面1ABC 的距离为2155，若存在，则1DP PC 的值；（3）在（2）的前提下，求出直线EP 与平面1ABC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见详解（2）存在，11DP PC =（3）155【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到AF ⊥BE ，1C F ⊥BE ，且123AF C F ==，由勾股定理逆定理求出AF ⊥1C F ，从而证明出线面垂直，面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，求平面1ABC 的法向量，利用空间向量求解出点P 的坐标，（3）根据（2）可得31,322EP ⎛= ⎝uu r ，利用空间向量求线面夹角.【小问1详解】取BE 的中点F ，连接AF ，1C F，因为四边形ABCE 是边长为4的菱形，并且60BCE ∠=︒，所以1,ABE BEC 均为等边三角形，故AF ⊥BE ，1C F ⊥BE，且1AF C F ==，因为1AC =，所以22211AF C F AC +=，由勾股定理逆定理得：AF ⊥1C F ，又因为AF BE F ⋂=，,AF BE ⊂平面ABE ，所以1C F ⊥平面ABED ，因为1C F ⊂平面1BEC ，所以平面1BC E ⊥平面ABED ；【小问2详解】以F 为坐标原点，FA 所在直线为x 轴，FB 所在直线为y 轴，1FC 所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则()()()()()10,0,0,,0,2,0,0,0,,3,0,0,2,0F A B C D E --，设(),,P m n t ，1DP DC λ= ，[]0,1λ∈，即()(3,m n t λ+=，解得：,33,m n t λ==-=，故),33,P λ--，设平面1ABC 的法向量为(),,v x y z = ，则()(12,0,AB AC =-=-，则1200v AB y v AC ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1x =，则1y z ==，故()v = ，其中1,33,C P λ=--则15C P v d v⋅=== ，解得：12λ=或32（舍去），所以否存在点P ，使得P 到平面1ABC 的距离为2155，此时11DP PC =.【小问3详解】由（2）可得：()3331,0,2,0,2222EP ⎛⎛=---= ⎝⎝ ，设直线EP 与平面1ABC 所成角为θ，则15sin cos ,5EP v EP v EP v θ⋅===⋅，所以直线EP 与平面1ABC 所成角的正弦值为5.。
高二数学第一次月考模拟(基础卷)(学生版)
2024-2025学年高二上学期第一次月考模拟(基础卷)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.(23-24高二上·重庆·月考)已知A 1,2,-3 ，则点A 关于xOy 平面的对称点的坐标是()A.-1,2,-3B.-1,-2,3C.-1,2,3D.1,2,32.(23-24高二上·河南·月考)若直线经过A 1,0 ,B 2,3 两点，则直线AB 的倾斜角为()A.30°B.45°C.60°D.135°3.(23-24高二上·广东湛江·月考)已知a =1,2,-y ,b =x ,1,2 ，且a +2b ∥2a -b ，则()A.x =13,y =1 B.x =2,y =14C.x =12,y =-4 D.x =1,y =-14.(23-24高二上·福建福州·期中)两条平行直线2x -y +3=0和ax -3y +6=0间的距离为d ，则a ,d 的值分别为()A.a =6,d =63B.a =-6,d =63C.a =-6,d =55D.a =6,d =555.(23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中)如图，空间四边形OABC 中，OA =a ，OB =b ，OC =c，点M在OA 上，且OM =23OA ，点N 为BC 中点，则MN等于()A.12a +12b -12c B.-23a +12b +12cC.-23a +23b -12cD.23a +23b -12c6.(23-24高二上·山东·月考)过点P 0,-1 作直线l ，若直线l 与连接A -2,1 ，B 23,1 两点的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角范围为()A.π4,π6B.π6,3π4C.0,π6 ∪3π4,π D.π6,π2 ∪3π4,π 7.(23-24高二上·天津河西·月考)以下各组向量中的三个向量，不能构成空间基底的是()A.a =1,0,0 ，b =0,2,0 ，c =12,-2,0B.a =1,0,0 ，b =0,1,0 ，c=0,0,2C.a =1,0,1 ，b =0,1,1 ，c=2,1,2D.a =1,1,1 ，b =0,1,0 ，c=1,0,28.(23-24高二上·江苏南京·月考)点P (-2,-1)到直线l :(1+3λ)x +(1+λ)y -2-4λ=0(λ∈R )的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为()A.13；3x +2y -5=0B.11；3x +2y -5=0C.13；2x -3y +1=0D.11；2x -3y +1=0二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.(23-24高二上·浙江嘉兴·月考)已知AB =(-2,1,4),AC =(4,2,0),AP =(1,-2,1),AQ=(0,4,4)，则下列说法正确的是()A.AP是平面ABC 的一个法向量B.A ,B ,C ,Q 四点共面C.PQ ∥BCD.BC =5310.(23-24高二上·河北保定·月考)已知直线l 1：x +a -1 y +1=0，直线l 2：ax +2y +2=0，则下列结论正确的是()A.l 1在x 轴上的截距为-1B.l 2过定点0,-1C.若l 1⎳l 2，则a =-1或a =2D.若l 1⊥l 2，则a =2311.(24-25高二上·湖南邵阳·开学考试)如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 是正方体的上底面A 1B 1C 1D 1内(不含边界)的动点，点Q 是棱BC 的中点，则以下命题正确的是()A.三棱锥Q -PCD 的体积是定值B.存在点P ，使得PQ 与AA 1所成的角为60°C.直线PQ 与平面A 1ADD 1所成角的正弦值的取值范围为0,22D.若PD 1=PQ ，则P 的轨迹的长度为354三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.(23-24高二上·山东德州·月考)已知a =-2,1,3 ，b =-1,2,1 ，则a与b 夹角的余弦值为.13.(23-24高二下·江苏扬州·月考)在空间直角坐标系中，点M 0,0,1 为平面ABC 外一点，其中A 1,0,0 、B 0,2,1 ，若平面ABC 的一个法向量为1,y 0,-1 ，则点M 到平面ABC 的距离为．14.(23-24高二上·四川达州·月考)直线l 1:x +m +1 y -2m -2=0与直线l 2:m +1 x -y -2m -2=0相交于点P ，对任意实数m ，直线l 1，l 2分别恒过定点A ，B ，则P A +PB 的最大值为四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(23-24高二上·广东湛江·月考)已知点P -2,0,2 ，Q -1,1,2 ，R -3,0,4 ，设a =PQ ，b =PR ，c=QR ．(1)若实数k 使ka +b 与c垂直，求k 值．(2)求a 在b上的投影向量．16.(23-24高二上·江苏南京·月考)已知△ABC 的三个顶点为A 4,0 ,B 0,2 ,C 2,6 .(1)求AC 边上的高BD 所在直线的方程；(2)求BC 边上的中线AE 所在直线的方程.17.(23-24高二上·安徽安庆·月考)已知平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1，底面是正方形，AD =AB =2,AA 1=1，∠A 1AB =∠DAA 1=60°,A 1C 1 =3NC 1 ,D 1B =2MB ，设AB =a ,AD =b ,AA 1 =c．(1)试用a ,b ,c表示AN ；(2)求MN 的长度．18.(23-24高二上·湖北武汉·月考)已知直线l 过点P 4,1 且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，(1)求三角形OAB 面积取最小值时直线l 的方程；(2)求OA +OB 取最小值时直线l 的方程．19.(24-25高二上·安徽阜阳·开学考试)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ADC=∠BCD=90°，BC=1，CD=3，PD=2，∠PDA=60°，∠P AD=30°，且平面P AD⊥平面ABCD，在平面ABCD内过B作BO⊥AD，交AD于O，连PO.(1)求证：PO⊥平面ABCD；(2)求二面角A-PB-C的正弦值；(3)在线段P A上存在一点M，使直线BM与平面P AD所成的角的正弦值为277，求PM的长.。
天津市第一中学滨海学校2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷
天津市第一中学滨海学校2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷一、单选题120my ++=的倾斜角为π3，则m =（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-2．若方程2242x y x y a +-+=表示圆，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,5)-∞-B ．(5,)-+∞C ．(,0)-∞D ．(0,+∞)3．已知圆心为()2,1-的圆与y 轴相切，则该圆的标准方程是（ ） A ．()()22211x y ++-= B ．()()22214x y ++-= C ．()()22211x y -++=D ．()()22214x y -++=4．圆22260x y x y +-+=的圆心到直线20x y -+=的距离为（ ）A B ．2C ．3D ．5．若直线:l y kx =2360x y +-=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A ．ππ,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．ππ,62⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．ππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．若1:10l x my --=与()2:2310l m x y --+=是两条不同的直线，则“1m =-”是“12l l ∥”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件7．四棱锥S ABCD -中，()4,2,3AB =-u u u r ，()4,1,0AD =-u u u r ，()3,1,4AS =--u u u r，则顶点S 到底面ABCD 的距离为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．已知直线30x y λ++=与直线2610x y ++=λ=（ ） A ．92-或112B ．9-C ．9-或11D ．6或4-9．已知直线l 过定点()2,3,1A ，且方向向量为()0,1,1s =r，则点()4,3,2P 到l 的距离为（ ）A B C D 10．已知点D 在△ABC 确定的平面内，O 是平面ABC 外任意一点，实数x ，y 满足32OD OC xOA yOB =--u u u r u u u r u u u r u u u r，则222x y +的最小值为（ ）A ．13B ．23C ．1D ．4311．已知集合()3,2,1y A x y y x ⎧⎫-==∈⎨⎬-⎩⎭R ，(){},4160,,B x y x ay x y =+-=∈R ，A B ≠∅I ，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()(),44,-∞-+∞UB ．()(),22,-∞-+∞UC ．()()(),22,44,-∞-⋃-⋃+∞D ．()()(),44,22,-∞-⋃-⋃+∞12．已知()11,A x y 、()22,B x y 为圆22:1C x y +=不同两点，且满足12OA OB ⋅=u u u r u u u r ，则）A B ．2C ．2D ．二、填空题13．已知经过()1,1A a a -+、()3,2B a 两点的直线l 的方向向量为()1,2-，则实数a 的值为．14．直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=o ，11,D F 分别是1111A B AC ，的中点，1BC AC CC ==，则11BD AF 与所成角的余弦值为 15．已知直线l 的倾斜角为4,sin 5αα=，且这条直线l 经过点()3,5P ，则直线l 的一般式方程为.16．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面是边长为1的正方形，若1160A AB A AD ∠=∠=o ，且13AA =，则1AC 的长为.17．如图，已知A (4，0)，B (0，4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是．18．①坐标系中，经过三点()()()0,0,1,1,2,0的圆的方程为②过()()5,0,2,1-两点，且圆心在直线3100x y --=上的圆的标准方程为19．如图，圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面中心，M 为SO 中点，动点P 在圆锥底面内（包括圆周）．若AM ⊥MP ，则点P 形成的轨迹长度为，点S 与P 距离的最小值是．20．已知圆22:(6)9C x y -+=，点M 的坐标为(2,4)，过点(4,0)N 作直线l 交圆C 于A B 、两点，则MA MB +u u u r u u u r的取值范围为三、解答题21．已知点()1,2P -，直线1:430l x y ++=和2:3550l x y --= (1)过点P 作1l 的垂线PH ，求垂足H 的坐标；(2)过点P 作l 分别于12,l l 交于点A B 、，若P 恰为线段AB 的中点，求直线l 的方程． 22．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是边长为3的正方形，PA ⊥平面ABCD ，PC =E 是棱PB 的中点，点F 是棱PC 上的一点，且2PF FC =.(1)证明：平面AEC ⊥平面PBC ； (2)求平面AEF 和平面AFC 夹角的大小.23．已知圆M 与直线340x +=相切于点(，圆心M 在x 轴上. (1)求圆M 的标准方程；(2)若直线l ：(21)(1)74m x m y m +++=+()m ∈R 与圆M 交于P ，Q 两点，求弦PQ 的最短长度.24．如图，在四棱锥E ABCD -中，平面ABCD ⊥平面ABE ，//AB DC ，,222AB BC AB BC CD ⊥===，AE BE =M 为BE 的中点.(1)求证：//CM 平面ADE ；(2)在线段AD上是否存在一点N，使直线MD与平面BEN 求出AN的长，若不存在说明理由.。
鞍山市第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考(10月)月考数学试卷
鞍山市第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考（10月）月考数学试卷一、单选题1310y -+=的倾斜角是（ ） A ．30oB ．60oC ．120oD ．150o2．若方程2224240x y mx y m m ++-+-=表示一个圆，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1m ≤- B ．1m <- C ．1m ≥-D ．1m >-3．已知直线l 的一个方向向量为()1,2,1m =-r ，平面α的一个法向量为1,1,2n x ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，若//l α，则x =（ ）A ．52B ．52-C ．12-D ．124．已知直线()12:20,:2120l ax y l x a y +-=+++=，若1l ∥2l ，则a =（ ） A ．1-或2B ．1C ．1或2-D ．2-5．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为11,DB AC 的中点，则直线1A M 和BN 夹角的余弦值为（ ）A B C ．23D ．126．当点()2,1P --到直线()()():131240l x y λλλλ+++--=∈R 的距离最大时，直线l 的一般式方程是（ ） A ．3250x y +-= B ．2310x y -+= C ．250x y ++=D ．2320x y -+=7．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，190,1,,,BAC AB AC AA G E F ∠=︒===分别是棱111,A B CC 和AB 的中点，点D 是线段AC 上的动点（不包括端点）．若GD EF ⊥，则线段AD 的长度是（ ）A ．14B ．12C ．34D ．138．如图，在四裬锥P ABCD -中，PA ⊥平面,90,ABCD BAD BC ∠=o ∥AD ，12,2PA AB BC AD Q ====是四边形ABCD 内部一点（包括边界），且二面角Q PD A --的平面角大小为π3，若点M 是PC 中点，则四棱锥M ADQ -体积的最大值是（ ）A B ．43C D ．1二、多选题9．已知m ∈R ，若过定点A 的动直线1l ：20x my m -+-=和过定点B 的动直线2l ：240mx y m ++-=交于点P （P 与A ，B 不重合），则以下说法正确的是（ ）A ．A 点的坐标为 2,1B ．PA PB ⊥C ．2225PA PB +=D ．2PA PB +的最大值为510．如图，已知二面角l αβ--的棱l 上有,A B 两点，,,C AC l D αβ∈⊥∈，BD l ⊥，若2,AC AB BD CD ====，则（ ）A ．直线AB 与CD 所成角的余弦值为45o B ．二面角l αβ--的大小为60oC ．三棱锥A BCD -的体积为D ．直线CD 与平面β11．如图，M 为棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -表面上的一个动点，则（ ）A ．当M 在平面1111D CB A 内运动时，四棱锥M ABCD -的体积是定值 B ．当M 在直线11AC 上运动时，BM 与AC 所成角的取值范围为ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．使得直线MA 与平面ABCD 所成的角为60°的点M D ．若N 为棱11A B 的中点，当M 在底面ABCD 内运动，且//MN 平面11B CD 时，MN 的三、填空题12．已知空间直角坐标系中的三点()2,0,2A 、()0,0,1B 、()2,2,2C ，则点A 到直线BC 的距离为．13．一条光线从点(4,0)A -射出，经直线10x y +-=反射到圆22:(2)2C x y ++=上，则光线经过的最短路径的长度为．14．已知梯形CEPD 如图1所示，其中8,6PD CE ==，A 为线段PD 的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB 进行折叠，使得平面PABE ⊥平面ABCD ，得到如图2所示的几何体．已知当点F 满足(01)AF AB λλ=<<u u u r u u u r 时，平面DEF ⊥平面PCE ，则λ的值为．图1 图2四、解答题15．已知直线l 的方程为：()()211740m x m y m +++--=. (1)求证：不论m 为何值，直线必过定点M ；(2)过点M 引直线1l 交坐标轴正半轴于A B 、两点，当AOB V 面积最小时，求AOB V 的周长. 16．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11AC 的中点.(1)求异面直线AE 与1B C 所成角的余弦值； (2)求三棱锥1A B CE -的体积.17．已知圆满足：截y 轴所得弦长为2；被x 轴分成两段弧，其弧长的比为3:1， (1)若圆心在直线20x y -=上，求圆的标准方程；(2)在满足条件的所有圆中，求圆心到直线1:20x y -=的距离最小的圆的方程．18．如图，PD ⊥平面,,ABCD AD CD AB ⊥∥,CD PQ ∥,222CD AD CD DP PQ AB =====，点,,E F M 分别为,,AP CD BQ 的中点.(1)求证：EF ∥平面CPM ；(2)求平面QPM 与平面CPM 夹角的余弦值；(3)若N 为线段CQ 上的点，且直线DN 与平面QPM 所成的角为π6，求N 到平面CPM 的距离.19．如图，在ABC V 中，,2,AC BC AC BC D ⊥==是AC 中点，E F ､分别是BA BC ､边上的动点，且EF ∥AC ；将BEF △沿EF 折起，将点B 折至点P 的位置，得到四棱锥P ACFE -；(1)求证：EF PC ⊥；(2)若2BE AE =，二面角P EF C --是直二面角，求二面角P CE F --的正弦值； (3)当PD AE ⊥时，求直线PE 与平面ABC 所成角的正弦值的取值范围.。
湖南师大附中 2023-2024 学年度高二第一学期第一次大练习(月考)数学试卷
湖南师大附中2023-2024学年度高二第一学期第一次大练习（月考）数 学时量：120分钟 满分：150分得分：_________一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知1i22iz −=+，则z z −=（ ） A ．i −B ．iC ．0D ．12．已知直线m ，n 和平面α，β，给出下列四个命题，其中正确的是（ ） A ．若m ∥α，n α⊂，则m ∥n B ．若αβ⊥，m α⊂，则m β⊥ C ．若m ∥n ，n β⊥，m α⊂，则αβ⊥D ．若m α⊂，n β⊂，m ∥β，n ∥α，则α∥β 3．若()()21ln21x f x x a x −=++为偶函数，则a=（ ） A ．0B ．12C ．1D ．24．如图，在四面体A -BCD 中，点O 为底面△BCD 的重心，P 为AO 的中点，设AB a = ，AC b = ，AD c =，则BP =（ ）A ．511666a b c −− B ．511666a b c −++ C ．211333a b c −−D ．211333a b c −++ 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b=c ，()2221sin a b A =−，则A=（ ） A ．34π B ．3πC ．4πD ．6π6．将一枚骰子连续抛两次，得到正而朝上的点数分别为x ，y ，记事件A 为“x y +为偶数”，事件B 为“7x y +<”，则()P B A 的值为（ ） A ．12B ．13C ．79D ．597．若tan 2tan 5πα=，则3cos 10sin 5παπα− =−（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．对实数a ，b ，定义运算“*”：,1,1a ab a b b a b −≤ ∗=−> ，设函数()()()212f x xx =+∗+，若函数()y f x c =−有两个零点，则实数c 的取值范围是（ ） A ．()()2,45,+∞ B ．(](]1,24,5 C ．()(],14,5−∞D ．[]1,2二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．2019年中国5G 建设有序推进，新型信息基础设施能力不断提升，有力支撑社会的数字化转型，电信业务发展迅速，下图是2010-2019年中国移动电话用户数及增速走势图．根据该图，下列说法正确的是（ ）A ．2010-2019年中国移动电话用户数逐年增加B ．2011-2019年中国移动电话用户数增速的中位数为7.2%C ．2011-2019年中国移动电话用户数在2011年增速最快D ．中国移动电话用户数在2011-2014年的增速逐年递减，因此期户数逐年减少10．已知直线l ：()220a x ay ++−=与n ：()2360a x y −+−=，下列选项正确的是（ ） A ．若l ∥n ，则a=6或1a =−B ．若l n ⊥，则1a =C ．直线恒过点（1，1−）D ．若直线n 在x 轴上的截距为6，则直线n 的斜截式为123y x =−−11．已知函数()()cos 21f x A x ϕ=+−（0A >，0ϕπ<<），若函数()y f x =的部分图象如图所示，函数()()sin g x A Ax ϕ=−，则下列结论正确的是（ ）A ．将函数()1y f x =+的图象向左平移6π个单位长度可得到函数()g x 的图象B ．函数()y g x =的图象关于点（6π−，0）对称 C ．函数()g x 在区间0,2πD ．若函数()g x θ+（0θ≥）为偶函数，则θ的最小值为712π 12．如图ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是棱CC 1上的动点（不含端点），点F 在侧面BCC 1B 1上运动，且满足A 1F ∥平面AD 1E ，则下列命题正确的有（ ）A ．侧面BCC 1B 1上存在点F ，使役A 1F ⊥BC 1B ．直线A 1F 与直线DC 所成角的正切值的范围为（0） C ．当点E 固定时，三棱雉D 1-AEF 的体积为定值D ．设正方体的棱长为1，当E 为棱CC 1上靠近C 1的三等分点时，则过点A ，D 1，E三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知圆锥的侧面积（单位：cm 2）为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm ）是__________．14．已知()()25,3log 1,3x e x f x x x − ≤ =−> ，则()()126f f =__________．15．设函数()sin 5f x x πω=+（0ω>），若()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，则ω的取值范围是__________．16．已知向量a ，b ，e 满足1=e ，1⋅=a e ，2⋅=b e ，2−=a b ，则⋅a b 的最小值是__________．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 已知直线l 经过点P （2，3），倾斜角为α．（1）若cos α=，求直线l 的斜截式方程； （2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的一般式方程． 18．（本小题满分12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分別为a ，b ，c ，且cos b a A A c++=． （1）求角C ；（2）设BC 的中点为D ，且，求2a b +的取值范围．如图，在四棱雉P-ABCD中，P A⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且，BC=P A=2．（1）求证：AB⊥PC；（2）若点M为PD的中点，求直线BM与平而AMC所成角的正弦值．20．（本小题满分12分）为了调查某中学高一年级学生的身高情况，在高一年级随机抽取100名学生作为样本，把他们的身高（单位：cm）按照区间[160，165），[165，170），[170，175），[175，180），[180，185]分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示．（1）求频率分布直方图中x的值以及样本中身高不低于175cm的学生人数；（2）在统计过程中，小明与小张两位同学因事缺席，测得其余98名同学的平均身高为172cm，方差为29．之后补测得到小明与小张的身高分别为171cm与173cm．试根据上述数据求样本的方差．斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积为4，侧面ABB 1A 1上侧面BCC 1B 1，平行四边形BCC 1B 1的面积为．（1）求点A 到平面BCC 1B 1的距离；（2）如图，D 为BB 1的中点，，BB 1=BC ⊥BB 1，求二面角A -B 1C -B 的大小． 22．（本小题满分12分）已知函数()f x （0x >）满足：()()22f x f x a +=+，()12f =，且当(]2,4x ∈时，()2266f x x x −+．（1）求a 的值； （2）求()2f x ≥解集； （3）设()24log 231x g x=+ −，()2cos cos 2h x x m x =+（,22x ππ∈−），若()()f h x g h x ≥ ，求实数m 的值．。
吉林省东北师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷
吉林省东北师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷一、单选题1．若随机试验的样本空间为{}Ω0,1,2=，则下列说法不正确的是（ ） A ．事件{}1,2P =是随机事件 B ．事件{}0,1,2Q =是必然事件 C ．事件{}1,2M =--是不可能事件D ．事件{}1,0-是随机事件2．已知点()1,0A ，(B -，则直线AB 的倾斜角为（ ） A ．5π6B ．2π3 C ．π3D ．π63．投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行.如图为一幅唐朝的投壶图，甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，假设甲、乙、丙每次投壶时，投中的概率均为0.6且投壶结果互不影响.若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中至少有2人投中的概率为（ ）A ．0.648B ．0.432C ．0.36D ．0.3124．设,A B 是一个随机试验中的两个事件，且()()()131,,+252P A P B P A B ===，则()P A B =（ ） A ．13B ．15C ．25D ．1105．若()2,2,1A ，()0,0,1B ，()2,0,0C ，则点A 到直线BC 的距离为（ ）A B C D 6．某乒乓球队在长春训练基地进行封闭式集训，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮．．．流．发球，连续赢2个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为23，乙发球甲赢的概率为14，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球．则该局打4个球甲赢的概率为（ ） A ．13B ．16C ．112D ．5247．据史书记载，古代的算筹是由一根根同样长短和粗细的小棍制成，如图所示，据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当． 即在算筹计数法中，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推．例如⊥‖表示62，＝T 表示26，现有6根算筹，据此表示方式任意表示两位数（算筹不剩余且个位不为0），则这个两位数不小于50的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．358．正三棱柱111ABC A B C -中，12,AB AA O =为BC 的中点，M 为棱11B C 上的动点，N 为棱AM 上的动点，且MN MOMO MA=，则线段MN 长度的取值范围为（ ）A ．⎣B ．⎣⎦C ．⎣⎦D ．二、多选题9．下列命题中正确的是（ ）A ．若表示两个空间向量的有向线段的终点不同，则这两个向量可能相等；B ．在所有棱长都相等的直平行六面体1111ABCD A BCD -中，BD ⊥平面11ACC A ；C ．对于空间三个非零向量,,a b c r r r，一定有()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r 成立；D ．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点,M N 分别是棱11A D ，AB 的中点，则异面直线MD 与NC 所成角的余弦值为25． 10．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，用数字x 表示第一次抛掷骰子的点数，数字y 表示第二次抛掷骰子的点数，用(),x y 表示一次试验的结果．记事件A =“7x y +=”，事件B=“3x ≤”，事件C =“()21N xy k k *=-∈”，则（ ）A ．()14P C =B ．A 与B 相互独立C ．A 与C 为对立事件D ．B 与C 相互独立11．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1BB 上一点，且12B P PB =，Q 为正方形11BB C C 内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（ ）A ．若1D Q ∥平面1A PD ，则动点QB ．存在点Q ，使得1D Q ⊥平面1A PDC ．三棱锥1Q A PD -的最大体积为518D ．若1D Q =，且1D Q 与平面1A PD 所成的角为θ，则sin θ三、填空题12．已知()3,2,1a =-r ，()2,1,2b =r，当()()2ka b a b +⊥-r r r r 时，实数k 的值为．13．柜子里有3双不同的鞋子，分别用121212,,,,,a a b b c c 表示6只鞋，从中有放回地．．．．取出2只，记事件M =“取出的鞋是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则事件M 的概率是． 14．已知正四面体ABCD 的棱切球1T （正四面体的中心与球心重合，六条棱与球面相切）的半径为1，则该正四面体的内切球2T 的半径为；若动点,M N 分别在1T 与2T 的球面上运动，且满足MN xAB yAC z AD =++u u u u r u u u r u u u r u u u r，则2x y z ++的最大值为．四、解答题15．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，,M N 分别是111,A B B C 上的点，且1112,2A M MB B N NC ==u u u u r u u u r u u u u r u u u u r ．设1,,AB a AC b AA c ===u u u r r u u u r r u u u r r ．(1)试用,,a b c r r r 表示向量MN u u u u r；(2)若11190,60,1BAC BAA CAA AB AC AA ∠=∠=∠====o o ，求异面直线MN 与AC 的夹角的余弦值．16．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122AA AB ==，,E F 分别为1BB ，1CC 的中点．(1)证明：1A F ∥平面CDE ； (2)求三棱锥1A CDE -的体积； (3)求直线1A E 与平面CDE 所成的角．17．2023年10月31日，东北师大附中以“邂逅数学之美，闪耀科技之光”为主题的第17届科技节在自由、青华两校区开幕.在科技节中数学教研室组织开展了“送书券”活动．该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响．连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券．游戏规则如下表：(1)分别求出游戏一，游戏二的获胜概率；(2)甲同学先玩了游戏一，当m 为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大．18．球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O 的半径为R ，A 、B 、C 为球面上的三点，设a O 表示以O 为圆心，且过B 、C 的圆，劣弧BC 的长度记为a ，同理，圆b O ，c O 的劣弧AC 、AB 的长度分别记为b ，c ，曲面ABC （阴影部分）叫做球面三角形．如果二面角,,C OA B A OB C B OC A ------的大小分别为,,αβγ，那么球面三角形的面积为()2++πABC S R αβγ=-V 球面．(1)若平面OAB 、平面OAC 、平面OBC 两两垂直，求球面三角形ABC 的面积；(2)若平面三角形ABC 为直角三角形，AC BC ⊥，设1AO C θ∠=，2BOC θ∠=，3AOB θ∠=． ①求证：123cos cos cos 1θθθ+-=；②延长AO 与球O 交于点D ，若直线DA ，DC 与平面ABC 所成的角分别为ππ,43，,(0,1]BE BD λλ=∈u u u r u u u r，S 为AC 的中点，T 为BC 的中点． 设平面OBC 与平面EST 的夹角为θ，求cos θ的最大值及此时平面AEC 截球O 的面积．。
【人教版】高二数学上学期第一次月考试题(含答案)
高二上学期数学第一次月考试卷（满分150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知圆的方程为222610x y x y +--+=，那么圆心坐标为（）A．(1,3)--B．(1,3)-C．(1,3)D．(1,3)-2.某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异,为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,则最合适的抽样方法是()A.抽签法B.随机数法C.系统抽样D.分层抽样3．下列说法正确的是()A．一个人打靶，打了10发子弹，有7发子弹中靶，因此这个人中靶的概率是710B．一个同学做掷硬币试验，掷了6次，一定有3次正面向上C．某地发行彩票，其回报率为47%，有人花了100元钱买彩票，一定会有47元的回报D．大量试验后，可以用频率近似估计概率4.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分,得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比,不变的数字特征是()A.中位数B.平均数C.方差D.极差5.圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2－6x ＋8y －24＝0的位置关系是()A．相交B．相离C．内切D．外切6.把黑，红，白3张纸牌分给甲，乙，丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（）A.对立事件B.互斥但不对立事件C.不可能事件D.必然事件7.圆422=+y x 与圆06222=-++y y x 的公共弦长为（）A.1B.2C.3D.328.已知变量x 和y 满足关系y=-0.1x+1,变量y 与z 负相关.下列结论中正确的是A.x 与y 负相关,x 与z 负相关B.x 与y 正相关,x 与z 正相关C.x 与y 正相关,x 与z 负相关D.x 与y 负相关,x 与z 正相关9.直线l:)(01)1(R k ky x k ∈=--+与圆C:1)1(22=-+y x 的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.相交或相切10.若圆(x-3)2+(y+5)2=r 2上有且只有两个点到直线4x-3y=2的距离等于1,则半径r 的取值范围为()(A)(4,6)(B)[4,6)(C)(4,6](D)[4,6]11.某学校为了解1000名新生的身体素质,将这些学生编号为1,2,…,1000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到,则下面4名学生中被抽到的是()A.8号学生B.200号学生C.616号学生D.815号学生12.当曲线y=1+与直线y=k(x-2)+4有两个相异交点时,实数k 的取值范围是()(A))125,0((B)]43,31((C)]43,125((D)),125(+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
福建省宁德市柘荣县第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(含解析)
2024—2025学年柘荣一中第一学期第一次月考（高二数学）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在等差数列中，已知，，则（ ）A.9B.12C.15D.182.已知数列为等比数列，，且，则的值为（ ）A.1或 B.1C.2或D.23.已知数列的前项和，，则（ ）A.20B.17C.18D.194.在等差数列中，若为其前项和，，则的值是（ ）A.60B.55C.50D.115.《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺，20日共织布232尺，则该女子织布每日增加（ ）尺A.B.C.D.6.各项不为0的等差数列中，，数列是等比数列，且，则（ ）A.2B.4C.8D.167.在数列中，若，，则（ ）A. B.1C.D.2.8.高斯（Gauss ）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进行的求和运算时，他这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前项和的方法正是借助了高斯算法.已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据以上提示探求：若，则（ ）A.2023B.4046C.2022D.4044二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.{}n a 53a =96a =13a ={}n a 12a =53a a =10a 1-2-{}n a 221n S n =+*n ∈N 5a ={}n a n S n 65a =11S 47162981545{}n a 23711220a a a -+={}n b 77b a =68b b ={}n a 11a =-()*112,N 1n n a n n a -=≥∈-10a =1-12123100++++ 1100101+=299101+=5051101+=501015050⨯=n {}n a 120231a a =24()1f x x=+()()()122023f a f a f a +++=9.（5分）已知等差数列满足，前3项和，等比数列满足，，的前项和为.则下列命题错误的是（）A.的通项公式为B.等差数列的前项和为C.等比数列的公比为D.10.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排的形状，把数分成许多类，如图1，图形中黑色小点个数：1，3，6，10，称为三角形数，如图2，图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数为数列，正方形数为数列，则（ ）图（1）图（2）A. B. C. D.11.已知数列满足，，则（ ）A. B.数列是等差数列C. D.数列的前99项和小于三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在等差数列中，，则___________.13.已知等比数列满足，且，，成等差数列，则___________.14.若数列满足（为常数），则称数列为等比和数列，为公比和.已知数列是以3为公比和的等比和数列，其中，，则___________.四、解答题：（本题共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本题13分）已知等差数列公差，且，，成等比数列，（1）求的通项公式；{}n a 32a =392S ={}n b 11b a =415b a ={}n b n n T {}n a 24n a n =-{}n a n 234n n nS +={}n b 1221n n T =-⋯{}n a {}n b 515a =520b =101045b a =+(1)2n n n a +={}n a 12a =1(1)(1)(2)2n n n na n a n n n +-+=++216a =n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭10102400a =2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭2516{}n a 1359a a a ++=24a a +={}n a 4780a a -=1a 21a +3a 5a ={}n a 211n n n na a k a a ++++=k {}n a k {}n a 11a =22a =2202a ={}n a 2d =5a 6a 9a {}n a（2）设数列的前项和为，求的最小值及此时的值.16.（本题15分）设是公比为正数的等比数列，，.（1）求的通项公式；（2）设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前项和.17.（本题15分）设是等差数列的前项和，已知，.（I ）求；（II ）若数列，求数列的前项和.18.（本题17分）已知数列的首项，且满足.（1）求证：数列为等比数列；（2）若，求满足条件的最大正整数.19.（本题17分）已知数列的前项和为，，数列满足，.（1）求数列，的通项公式；（2）令，求数列的前项和；（3）若，求对所有的正整数都有成立的的取值范围.{}n a n n S n S n {}n a 12a =324a a =+{}n a {}n b {}n n a b +n n S n S {}n a n 132a a +=-()*1575N S n =∈9S ()()1144n n n b a a +=++{}n b n n T {}n a 127a =()*1231n n n a a n a +=∈+N 13n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭1231111100na a a a +++⋯+<n {}n a n n S ()*12N 2n n S a n =-∈{}n b 11b =120n n b b +-+={}n a {}n b n n n c a b =⋅{}n c n n T 0λ>n 222nnb k a λλ-+>k柘荣一中20242025学年第一学期第一次月考（高二数学）参考答案1. A在等差数列中，，，所以，所以，2.C设等比数列的公比为，因为，且，所以，解得，所以.故选：C.3.C因为数列的前项和，，所以.4.B因为在等差数列中，若为其前项和，，所以.故选：B.5.D设该妇子织布每天增加尺，由题意知，解得.故该女子织布每天增加尺.故选：D 6.D等差数列中，，故原式等价于解得或，各项不为0的等差数列，故得到，数列是等比数列，故.故选：D.7.A解：因为，，所以，，{}n a 53a =96a =95132a a a =+139522639a a a =-=⨯-={}n a q 12a =53a a =21q =1q =±91012a a q ==±{}n a 221n S n =+*N n ∈()()2255425124118a S S =-=⨯+-⨯+={}n a n S n 65a =()1111161111552a a S a +===d 2020192042322S d ⨯=⨯+=45d =45{}n a 31172a a a +=27740a a -=70a =74a ={}n a 774a b =={}n b 268716b b b ==11a =-()*112,N 1n n a n n a -=≥∈-2111111(1)2a a ===---321121112a a ===--，，所以数列是以3为周期的周期数列，所以.8.B解：选B 根据等比数列的下标性质由，函数，，令，则，，.9.AC【解答】解：设等差数列的公差为，因为，，所以，，解得，，所以，故A 错误；，故B 正确；设等比数列的公比为，由，，可得，解得，故C 错误；，故D 正确.故选：AC.10.ACD【详解】依题意，，，AD 正确；，，B 错误；，，C 正确.故选：ACD 11.ACD解：A 选项，中得，，故，A 正确；413111112a a a ===-=--52411111(1)2a a a ====---{}n a 1033111a a a ⨯+===-12023202411n n a a a a -⋅=⇒⋅= 24()1f x x =+222214444()41111x f x f x x x x+⎛⎫∴+=+== ⎪++⎝⎭+()()()122023T f a f a f a =+++ ()()()202320231T f a f a f a =+++ ()()()()()()120232202220231242023T f a f a f a f a f a f a ∴=++++++=⨯ 4046T ∴={}n a d 32a =392S =122a d +=9332a d +=11a =12d =1n 11(1)22n a n +=+-=211n 3n(1)224n S n n n +=+-⨯={}n b q 111b a ==4158b a ==38q =2q =n122112n n T -==--(1)12342n n n a n +=+++++=55(51)152a +==2[1(21)]1357(21)2n n n b n n +-=+++++-== 525b =1010(101)552a +==1010100554545b a ==+=+1(1)(1)(2)2n n n na n a n n n +-+=++1n =21223212a a -=⨯⨯=216a =B 选项，变形得到，故数列不是等差数列，B 错误；C 选项，，……，，上面个式子相加得，设①，则②，式子①－②得，则，故，所以，故，C 正确；D 选项，由C 选项知，，则，所以为公比为2的等比数列，的前99项和为，D 正确.12.【详解】在等差数列中，，解得，所以.13.【解答】解：设等比数列的公比为，由，可得，解得，由，，成等差数列，可得，即为，解得，所以，故答案为：32.11(1)2(2)2(1)(2)1n n n n n n na n a a an n n n n n++-+=⇒-=+⋅+++n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭2321232,422132a a a a -=⨯-=⨯11(1)21n n n a a n n n ---=+⋅-(1)n -2113242(1)21n n a a n n --=⨯+⨯+++⋅ 213242(1)2n n T n -=⨯+⨯+++⋅ 2323242(1)2n n T n =⨯+⨯+++⋅ 231426222(1)26(1)22212nn nn n n T n n n ---=++++-+⋅=+-+⋅=-⋅- 22n n T n =⋅-222n na n n-=⋅-22n n a n =⋅210101021001024102400a =⋅=⨯=22nn a n =122(1)2n n a n a n ++=2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭()1002512991001004252222222221612-+++==-<==- {}n a 313539a a a a =++=33a =24326a a a +=={}n a q 4780a a -=3748a q a ==2q =1a 21a +3a ()21321a a a +=+()1122141aa a a +=+12a =5232as ==14.【分析】令，先利用等比和数列的定义得到①，又②，两式相减得，然后由求得，求出，再利用累乘法求出.【解答】解：令，则①，又②，由②－①得，即，，，，故答案为：.【点评】本题主要考查数列新定义、数列通项公式的求法及累乘法在求数列通项公式中的应用，属于中档题.15.【答案】（1）（2）最小值为，.【小问1详解】由知为等差数列，设的公差为，则，，，成等比数列，所以，即，解得，又，所以的通项公式为；【小问2详解】由（1）得，所以当时，取得最小值，最小值为.16.【分析】（1）设为等比数列的公比，由已知可得关于的一元二次方程，求解可得值，则数列的通项可求；（2）由已知可得，然后分组，再由等差数列与等比数列的前项和公式求解.【解答】解：（1）设为等比数列的公比，则由，得，1n n na b a +=13n n b b ++=123n n b b +++=2n n b b +=1b 2b n b 2020a n 1nn a b a +=13n n b b ++=123n n b b +++=20n n b b +-=2n n b b +=2112a b a == 2131b b ∴=-=*1*1,2,N 2,21,Nn n n a n k k b a n k k +⎧=∈∴==⎨=-∈⎩101032019202022020112201820191212122a a a a a a a a a a ∴=⨯⨯⨯⋯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⋯⨯⨯=1010229n a n =-16-4n =12n n a a +-={}n a {}n a d 2d =5a 6a 9a 2659a a a =()()()211110816a a a +=++17a =-2d ={}n a 29n a n =-22(729)8(4)162n n n S n n n -+-==-=--4n =n S 16-q {}n a q q {}n a 12(1)21n b n n =+-=-n q {}n a 12a =324a a =+2224q q =+即，解得或（舍去），因此，的通项为；（2）由已知可得，，，【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查等差数列与等比数列前项和的求法，是中档题.17.【解答】解：（I ）设等差数列的公差为，则由，，得，解得.；（II ）由（I ）知，，，.【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了利用裂项相消法求数列的前n 项和，是中档题.18.（1）由已知递推公式得，由此可得证；（2）由（1）得，根据等比数列的求和公式可求得，再令，得函数的单调性和，可得答案.（1）解：，，，，又，，220q q --=2q =1q =-2q ={}n a ∴n 1n 222n a -=⨯=12(1)21n b n n =+-=-2(21)n n n a b n ∴+=+-()12212(1)222122n n n n n S n n +-+∴=+⨯-=+--n {}n a d 132a a +=-1575S =112221510575a d a d +=-⎧⎨+=⎩121a d =-⎧⎨=⎩9989(2)1182S ⨯∴=⨯-+⨯=21(1)3n a n n =-+⨯-=-()()1111144(1)(2)12n n n b a a n n n n +∴===-++++++123111111112334122224n n n T b b b b n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++⋯+=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111332n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭1132nn a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1231111na a a a +++⋯+1()3992xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()f x (33)0f <(34)0f >1231n n n a a a +=+ 13112n n na a a ++∴=111322n n a a +∴=+1111332n n a a +⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭127a =1171322a ∴=-=数列是以为首项，为公比的等比数列.（2）解：由（1）可知，，，，若，则，，令，所以在上单调递增，且，，所以满足条件的最大正整数.19.【解答】解：（1）数列的前项和为①，当时，解得.当时，②，①－②得，整理得，所以（常数），所以数列是以为首项，2为公比的等比数列；所以.数列满足，点在直线上.所以（常数），所以.（2），所以①，②，①－②得，整理得.∴13n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭1212111113222n n n a -⎛⎫⎛⎫∴-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1132nn a ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭2123111111113132222nnn n n a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++++=++++=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1231111100n a a a a ++++< 1131002nn ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭13992nn ⎛⎫∴-< ⎪⎝⎭1()3992xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()f x R 331(33)999902f ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭341(34)1029902f ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭33n ={}n a n ()*1,22n n n S S a n =-∈N 1n =112a =2n ≥11122n n S a --=-1122n n n n n a S S a a --=-=-12n n a a -=12n n a a -={}n a 1222n n a -={}n b 11b =()1,n n P b b +20x y -+=12n n b b +-=21n b n =-2(21)2n n n n c a b n -==-⋅21113252(21)2n n T n -=⨯+⨯+⨯++⋅- 1211232(21)n n T n -=⨯+⨯++⋅- ()2211212222(21)2n n n T n ---=+++++-- 13(23)22n n T n -=+-⋅（3）由（1）得，所以，所以数列为单调递减数列，所以，所以的最大值为1，对所有的正整数都有都成立，故，可得，所以恒成立，只需满足，故，故的取值范围为.【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法及应用，错位相减法在数列求和中的应用，数列的单调性，恒成立问题，基本不等式，主要考查学生的运算能力，属于中档题.2222(21)n nnb n a -=⋅-222212(1)22(21)2(21)2(56)0n n n n nn nb b n n n a a ---++=⋅+-⋅-=-<2n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭1221n n b b a a ≤=2n n b a n 222nnb k a λλ-+>221k λλ-+>21k λλ<+1k λλ<+min12k λλ⎛⎫<+= ⎪⎝⎭2k <k (,2)-∞。
宁波镇海中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷(原卷)
2026届高二数学秋季月考卷第一期考试范围：大部分学校已经学习过的内容：考试时间：120分钟：满分：150分 注意事项：1.答题前填写好自已的姓名､班级､考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知向量()2,4a = ，()1,1b =− ，则2a b −= A. ()5,7 B. ()5,9C. ()3,7D. ()3,9 2. 已知直线12:320,:310l x y l x ay −+=−−=，若12l l ⊥，则实数a 的值为（ ） A. 1 B. 12 C. 12− D. 1−3. 已知m 是实常数，若方程22240x y x y m ++++=表示的曲线是圆，则m 的取值范围为（ ）A. (),20−∞B. (),5−∞C. ()5,+∞D. ()20,+∞ 4. 设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）A. 若a b ，与α所成的角相等，则aa ∥bbB. 若a αβ∥，b ∥，αβ∥，则aa ∥bbC. 若a b a b αβ⊂⊂ ，，，则αβ∥D. 若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥5. 直线3y kx =+与圆()()22324x y −+−=相交于M 、N两点，若MN = ，则k 等于（ ） A 0 B. 23− C. 23−或0 D. 34−或0 6. 过点()1,3P 作直线l ，若l 经过点(),0A a 和()0,B b ，且,a b 均为正整数，则这样的直线l 可以作出（ ），A 1条 B. 2条 C. 3条D. 无数条..7. 已知长方体1111ABCD A B C D −中，12AA AB ==，若棱AB 上存在点P ，使得1D P PC ⊥，则AD 的取值范围是（ ）A. [)1,2B. (C. (]0,1D. ()0,28. 已知点P 在直线3y x =−−上运动，M 是圆221x y +=上的动点，N 是圆22(9)(2)16x y −+−=上的动点，则PM PN +的最小值为（ ）A. 13B. 11C. 9D. 8二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9. 三条直线0x y +=，0x y −=，3x ay +=构成三角形，则a 的值不能为（ ） A. 1B. 2C. 1−D. －210. 正方体1111ABCD A B C D −中，下列结论正确是（ ）A. 直线1AD 与直线11A C 所成角为3π B. 直线1AD 与平面ABCD 所成角为3π C. 二面角1D AB D −−的大小为4πD. 平面11AB D ⊥平面11B D C 11. 已知圆22:(1)(1)4M x y −+−=，直线:20,l x y P ++=为直线l 上的动点，过点P 作圆M 的切线PA PB ､，切点为A B ､，则下列各选项正确的是（ ）A. 四边形MAPB 面积的最小值为4B. 四边形MAPB 面积的最大值为8C. 当APB ∠最大时，2PA =D. 当APB ∠最大时，直线AB 的方程为0x y +=第II 卷（非选择题）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知直线1:230l mx y m ++−=，2:10l mx y m +−+=，则直线1l 与2l 之间的距离最大值为______. 13. 已知三棱锥P ABC −中，23APB ∠=π，PA PB ==，5AC =，4BC =，且平面PAB ⊥平面ABC ，则该三棱锥的外接球的表面积为_________．的14. 若点A （x ，y ）满足C ：（x +3）2+（y +4）2≤25，点B 是直线3x +4y =12上的动点，则对定点P （6，1）而言，|PA PB +|的最小值为_____. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知直线:230m x y −−=与直线:30n x y +−=的交点为P . （1）若直线l 过点P ，且点A (1,3)和点B (3,2)到直线l 的距离相等，求直线l 的方程；（2）若直线l 1过点P 且与x 轴和y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，△ABO 的面积为4，求直线l 1的方程．16. 某同学在劳动实践课上制作了一个如图所示的容器，其上半部分是一个正四棱锥，下半部分是一个长方体，已知正四棱锥S ABCD −的高是长方体1111ABCD A B C D −高的12，且底面正方形ABCD 的边长为4，12AA =．（1）求1AC 的长及该长方体的外接球的体积；（2）求正四棱锥的斜高和体积．17. 已知：圆C 过点()0,1D ，()2,1E −，(F −，P 是直线1:2l y x =−上的任意一点，直线2:1=+l y x 与圆C 交于A 、B 两点.（1）求圆C 的方程；（2）求22PA PB +最小值.的18. 平面直角坐标系xOy 中，已知圆()()221:314C x y ++−=和圆()()222:454C x y −+−=．（1）若直线l 过点()1,0A −，且与圆1C 相切，求直线l 的方程； （2）设P 为直线32x =−上的点，满足：过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等．试求满足条件的点P 的坐标．19. 如图，已知直三棱柱111A B C ABC −中，90ABC ∠=°且12AB BC BB ===，D 、E 、F 分别为AC 、BC 、1B B 的中点，G 为线段DE 上一动点.（1）求1C F 与平面111A B C 所成角的正切值；（2）证明：11C F AG ⊥； （3）求锐二面角111C AG B −−的余弦值的最大值.在。
高二数学上学期第一次月考试题含解析 试题
智才艺州攀枝花市创界学校潜山第二二零二零—二零二壹高二数学上学期第一次月考试题〔含解析〕第I 卷〔选择题，一共60分〕一、选择题：〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕A ＝{x |x >1}，B ＝{x |x 2－2x <0}，那么A ∪B 等于()A.{x |x >0}B.{x |x >1}C.{x |1<x <2}D.{x |0<x <2}【答案】A 【解析】 【分析】先解出集合B ，再由并集的定义即可求出． 【详解】因为集合{}02B x x =<<，A ＝{x |x >1}，所以{}0A B x x ⋃=>．应选：A ．【点睛】此题主要考察集合的并集运算，属于根底题．x 的终边上一点的坐标为(sin56π，cos 56π)，那么角x 的最小正值为() A.56πB.53π C.116π D.23π 【答案】B【解析】 【分析】先根据角x 终边上点的坐标判断出角x 的终边所在象限，然后根据三角函数的定义即可求出角x 的最小正值．【详解】因为5sin06π>，5cos 06π<，所以角x 的终边在第四象限，根据三角函数的定义，可知 53sin cos 62x π==-，故角x 的最小正值为5233x πππ=-=．应选：B ．【点睛】此题主要考察利用角的终边上一点求角，意在考察学生对三角函数定义的理解以及终边一样的角的表示，属于根底题．3.数列{a n }是等差数列，a 1＋a 7＝－8，a 2＝2，那么数列{a n }的公差d 等于〔〕 A.－1 B.－2C.－3D.－4【答案】C 【解析】试题分析：由等差数列的性质知，，所以，又，解得：，应选C ．考点：1、等差数列的性质；2、等差数列的通项公式．a >0，b >0，且ln (a ＋b )＝0，那么11a b+的最小值是() A.14B.1C.4D.8【答案】C 【解析】 【分析】先将对数式化指数式，再根据根本不等式即可求出． 【详解】由()ln0a b +=得1a b +=，所以()11112224b aa b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当12ab ==时取等号，故11a b+的最小值是4． 应选：C ．【点睛】此题主要考察对数的性质以及根本不等式中“1的代换〞的应用，属于根底题． 5.m ，n 表示两条不同直线，α表示平面．以下说法正确的选项是() A.假设m ∥α，n ∥α，那么m ∥n B .假设m ⊥α，n ⊂α，那么m ⊥nC.假设m ⊥α，m ⊥n ，那么n ∥αD.假设m ∥α，m ⊥n ，那么n ⊥α 【答案】B 【解析】 【分析】根据线线、线面关系的定义、性质、结论和断定定理对各项逐个判断即可． 【详解】对于A ，假设,mn αα，那么m 与n 可能平行，可能相交，可能异面，所以A 错误；对于B ，根据线面垂直的定义可知，正确； 对于C ，假设,m m n α⊥⊥，那么n α或者n ⊂α，所以C 错误；对于D ，假设,m m n α⊥，那么n 可能垂直于α，也可能n⊂α，也可能n α，所以D 错误．应选：B ．【点睛】此题主要考察空间线线、线面关系的判断，意在考察学生的直观想象和逻辑推理才能，属于中档题． 〔1，1〕在圆()()224x a y a -++=的内部，那么a 的取值范围是〔〕A.11a -<<B.01a <<C.1a <-或者1a >D.1a =±【答案】A 【解析】因为点〔1，1〕在圆内部，所以22(1)(1)4a a -++<,解之得11a -<<.x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，那么a 的范围是()A.a <－2或者a >23B.－23<a <2C.－2<a <0D.－2<a <23【答案】D 【解析】 【分析】先把圆的一般方程化为圆的HY 方程，由此可求得a 的范围. 【详解】由题意可得圆的HY 方程2223()()124a x y a a a +++=--，由23104a a -->解得223a -<<，选D.【点睛】圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=，化HY 方程为22224()()224D E D E F x y +-+++=〔其中2240D E F +->〕，圆心为(,)22D E--，半径2r =．8.点P 〔2，﹣1〕为圆〔x ﹣1〕2+y 2=25的弦AB 的中点，那么直线AB 的方程为〔〕 A.x+y ﹣1=0B.2x+y ﹣3=0C.x ﹣y ﹣3=0D.2x ﹣y ﹣5=0【答案】C【解析】试题分析：由垂径定理，得AB中点与圆心C的连线与AB互相垂直，由此算出AB的斜率k=1，结合直线方程的点斜式列式，即可得到直线AB的方程．解：∵AB是圆〔x﹣1〕2+y2=25的弦，圆心为C〔1，0〕∴设AB的中点是P〔2，﹣1〕满足AB⊥CP因此，PQ的斜率k===1可得直线PQ的方程是y+1=x﹣2，化简得x﹣y﹣3=0应选C考点：直线与圆相交的性质．9.一个算法：(1)m＝a.(2)假设b<m，那么m＝b，输出m；否那么执行第(3)步．(3)假设c<m，那么m＝c，输出m.假设a＝3，b＝6，c＝2，那么执行这个算法的结果是()A.3B.6C.2D.m【答案】C【解析】【分析】根据算法的功能可知，输出三个数中的最小值，即可求解．【详解】根据算法的功能可知，输出三个数中的最小值，故执行这个算法的结果是2.应选：C．【点睛】此题主要考察对算法语句以及算法功能的理解．C 的方程为22(2)(1)9x y -++=，直线l 的方程为320x y -+=，那么曲线C 上到直线l 的间隔为10的点的个数为〔〕A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】试题分析：由22(2)(1)9x y -++=，可得圆心坐标为(2,1)C -，半径为3r =，那么圆心到直线的间隔为d ===，所以此时对应的点位于过圆心C 的直径上，所以满足条件的点有两个，应选B ． 考点：直线与圆的位置关系．【方法点晴】此题主要考察了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的据公式和直线与圆位置关系的断定与应用，试题思维量和运算量较大，属于中档试题，着重考察了学生分析问题和解答问题的才能，以及数形结合思想的应用，此类问题平时需要注意方法的积累和总结．11.两点A 〔－2，0〕，B 〔0，2〕，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，那么△ABC 面积的最小值是〔〕A.3B.3C.3 【答案】A 【解析】 试题分析：圆C的HY 方程为22(1)1x y -+=，圆心为(1,0)D ，半径为1，直线AB 方程为122x y+=-，即20x y -+=，D 到直线AB 的间隔为2d ==，点C 到AB 的间隔的最小值为1-，AB =，所以ABC∆面积最小值为11)32S =⨯=．应选A ． 考点：点到直线的间隔．(1,1)P 的直线，将圆形区域{}22(,)|4x y x y +≤分两局部，使得这两局部的面积之差最大，那么该直线的方程为 A.20x y +-= B.10y -=C.0x y -=D.340x y +-=【答案】A 【解析】要使直线将圆形区域分成两局部的面积之差最大，通过观察图形，显然只需该直线与直线OP 垂直即可，又P(1，1)，那么所求直线的斜率为－1，又该直线过点P(1，1)，易求得该直线的方程为x ＋y －2＝0.应选A.第II 卷〔非选择题，一共90分〕二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.)13.函数的定义域为___________________________．【答案】()1,1- 【解析】 【分析】根据函数表达式得到使得函数有意义只需要210340x x x +>⎧⎨--+>⎩,解这个不等式获得交集即可. 【详解】由210340x x x +>⎧⎨--+>⎩得－1<x<1. 故答案为()1,1-.【点睛】求函数定义域的类型及求法:(1)函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解;(2)抽象函数：①假设函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f [g (x )]的定义域由a ≤g (x )≤b 求出;②假设函数f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，那么f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域． C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上，那么C 的方程为__________．【答案】22(2)10x y -+=.【解析】 【分析】由圆的几何性质得，圆心在AB 的垂直平分线上,结合题意知，求出AB 的垂直平分线方程，令0y =，可得圆心坐标，从而可得圆的半径，进而可得圆的方程. 【详解】由圆的几何性质得，圆心在AB 的垂直平分线上,结合题意知，AB 的垂直平分线为24y x =-，令y =，得2x =，故圆心坐标为(2,0)，所以圆的半径=22(2)10x y -+=.【点睛】此题主要考察圆的性质和圆的方程的求解,意在考察对根底知识的掌握与应用，属于根底题. 15.执行如图的程序框图，假设输入的ε的值是0.25，那么输入的n 的值_____.【答案】3. 【解析】根据运行顺序计算出11F 的值，当11F ≤ε时输出n 的值，完毕程序．由程序框图可知：第一次运行：F 1＝1＋2＝3，F 0＝3－1＝2，n ＝1＋1＝2，11F ＝13＞ε，不满足要求，继续运行； 第二次运行：F 1＝2＋3＝5，F 0＝5－2＝3，n ＝2＋1＝3，11F ＝15＝0.2＜ε，满足条件． 完毕运行，输出n ＝3.【此处有视频，请去附件查看】,a b 夹角为45︒，且1,210a a b =-=，那么b =__________．【答案】32【解析】试题分析：的夹角，，，，.考点：向量的运算.【思路点晴】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用.利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.三、解答题(本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤) 17.如下列图，底角为45°的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7cm ，腰长为2cm ，当一条垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从B 点开场由左至右挪动(与梯形ABCD 有公一共点)时，直线l 把梯形分成两局部，令BF ＝x (0≤x ≤7)，左边局部的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式，画出程序框图，并写出程序．【答案】221,02222,251(7)10,572x x y x x x x ⎧≤≤⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪-+<<⎩，程序框图和程序见解析． 【解析】 【分析】根据直线l 将梯形分割的左边局部的形状进展分类讨论，求出函数关系式，即可根据条件构造画出程序框图，并写出程序．【详解】过点A ，D 分别作AG ⊥BC ，DH ⊥BC ，垂足分别是G ，H .∵四边形ABCD 是等腰梯形，底角是45°，AB ＝2cm ，∴BG ＝AG ＝DH ＝HC ＝2cm .又BC ＝7cm ，∴AD ＝GH ＝3cm ，当02x ≤≤时，212y x =； 当25x <≤时，22y x =-； 当57x <<时，21(7)102y x =-+， 所以221,02222,251(7)10,572x x y x x x x ⎧≤≤⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪-+<<⎩． 程序框图如下：程序：INPUT “x ＝〞；xIFx >＝0ANDx <＝2THENy ＝0.5*x ^2ELSEIFx <＝5THENy ＝2*x -2ELSEy =-0.5*(x -7)^2+10ENDIFENDIFPRINTyEND【点睛】此题主要考察分段函数解析式的求法、程序框图的画法以及程序语句的书写，意在考察学生分类讨论思想和算法语句的理解和书写．xOy 中,曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上,那么圆C 的方程为.【答案】22(3)(1)0.x y -+-= 【解析】【详解】试题分析：根据题意令y=0，可知23610,y x x x =-+==±∴同时令x=0,得到函数与y 轴的交点坐标为〔0，1〕，那么利用圆的性质可知，与x 轴的两个根的中点坐标即为圆心的横坐标为3，设圆心为：(3,)t ，那么229(1)8t t +-=+，解得1t = 因此可知圆的方程为22(3)(1)0.x y -+-=，故答案为22(3)(1)0.x y -+-=．考点：本试题考察了抛物线与坐标轴的交点问题．点评：解决该试题的关键是确定出交点的坐标，然后结合交点坐标，得到圆心坐标和圆的半径，进而秋季诶圆的方程，属于根底题．19.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA⊥底面ABCD ，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC ，E 是PC 的中点．〔1〕求PB 和平面PAD 所成的角的大小；〔2〕证明AE⊥平面PCD ．【答案】〔1〕45°；〔2〕见解析【解析】试题分析：〔1〕先找出PB 和平面PAD 所成的角，再进展求解即可；〔2〕可以利用线面垂直根据二面角的定义作角，再证明线面垂直．〔1〕解：在四棱锥P ﹣ABCD 中，因PA⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，故PA⊥AB．又AB⊥AD，PA∩AD=A，从而AB⊥平面PAD ，故PB 在平面PAD 内的射影为PA ，从而∠APB 为PB 和平面PAD 所成的角．在Rt△PAB 中，AB=PA ，故∠APB=45°．所以PB 和平面PAD 所成的角的大小为45°．〔2〕证明：在四棱锥P ﹣ABCD 中，因为PA⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以CD⊥PA．因为CD⊥AC，PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC ．又AE ⊂平面PAC ，所以AE⊥CD．由PA=AB=BC ，∠ABC=60°，可得AC=PA ．因为E 是PC 的中点，所以AE⊥PC．又PC∩CD=C，所以AE⊥平面PCD ．考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的断定．()f x 是(),-∞+∞上的奇函数，()()2f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =.〔1〕求()f π的值；〔2〕当44x -≤≤时，求()f x 的图象与x 轴所围成图形的面积.【答案】〔1〕4π-〔2〕4 【解析】【分析】〔1〕由()()2f x f x +=-可推出函数()f x 是以4为周期的周期函数，再利用函数的周期性及奇偶性可得()()()()1444f f f f ππππ=-⨯+=-=--， 再利用函数在[]0,1上的解析式即可得解，〔2〕由函数的周期性、奇偶性及函数在[]0,1上的解析式，作出函数在[]4,4-的图像，再求()f x 的图象与x 轴所围成图形的面积即可.【详解】解：〔1〕由()()2f x f x +=-得，()()()()4222f x f x f x f x +=++=-+=⎡⎤⎣⎦，所以()f x 是以4为周期的周期函数， 所以()()()()1444f f f f ππππ=-⨯+=-=--()44ππ=--=-.〔2〕由()f x 是奇函数且()()2f x f x +=-， 得()()()1211f x f x f x -+=--=--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 即()()11f x f x +=-.故知函数()y f x =的图象关于直线1x =对称.又当01x ≤≤时，()f x x =，且()f x 的图象关于原点成中心对称，那么()f x 44x -≤≤时，()f x 的图象与x 轴围成的图形面积为S ，那么1442142OAB S S ∆⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭. 【点睛】此题考察了函数的周期性、奇偶性及函数的图像，主要考察了函数性质的应用，重点考察了作图才能，属中档题.()2cos sin 34f x x x x π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭，x R ∈．〔Ⅰ〕求()f x 的最小正周期；〔Ⅱ〕求()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值． 【答案】〔Ⅰ〕π;〔Ⅱ〕最小值12-和最大值14． 【解析】 试题分析：〔1〕由利用两角和与差的三角函数公式及倍角公式将()f x 的解析式化为一个复合角的三角函数式，再利用正弦型函数()sin y A x B ωϕ=++的最小正周期计算公式2T πω=，即可求得函数()f x 的最小正周期；〔2〕由〔1〕得函数，分析它在闭区间上的单调性，可知函数()f x 在区间上是减函数，在区间上是增函数，由此即可求得函数()f x 在闭区间上的最大值和最小值．也可以利用整体思想求函数()f x 在闭区间上的最大值和最小值．由，有 ()f x 的最小正周期． 〔2〕∵()f x 在区间上是减函数，在区间上是增函数，，，∴函数()f x 在闭区间上的最大值为，最小值为．考点：1．两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式；2．三角函数的周期性和单调性．22.设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，S n ＋1=4a n ＋2.(1)设b n =a n ＋1−2a n ，证明：数列{b n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式．【答案】(1)见解析；(2)a n=(3n−1)·2n−2.【解析】(1)由a1=1及S n＋1=4a n＋2，得a1＋a2=S2=4a1＋2.∴a2=5，∴b1=a2−2a1=3.又①−②，得a n＋1=4a n−4a n−1，∴a n＋1−2a n=2(a n−2a n−1)．∵b n=a n＋1−2a n，∴b n=2b n−1，故{b n}是首项b1=3，公比为2的等比数列. (2)由(1)知b n=a n＋1−2a n=3·2n−1，∴−=，故是首项为，公差为的等差数列．∴=＋(n−1)·=，故a n=(3n−1)·2n−2.。
2023-2024学年福建省泉州市石狮市高二上册第一次月考数学试题(含解析)
2023-2024学年福建省泉州市石狮市高二上册第一次月考数学试题一、单选题1．直线10x y -+=的倾斜角为（）A ．30°B ．45°C ．120°D ．150°【正确答案】B【分析】由直线的一般式方程，明确其斜率，令斜率与倾斜角的关系，可得答案.【详解】由直线10x y -+=，则该直线的斜率1k =，设直线10x y -+=的倾斜角为θ，则tan 1θ=，解得45θ= .故选：B.2．若直线30x my ++=与直线460mx y ++=平行，则m =（）A ．12B ．12-C ．12或12-D ．不存在【正确答案】B【分析】根据两直线平行，列出方程，去掉两直线重合的情况，即可得到结果.【详解】由直线30x my ++=与直线460mx y ++=平行，可得:241126m m ⎧=⎨≠⎩，解得12m =-．故选:B.3．已知()()1,2,,,1,2a y b x =-=，且()//22()a b a b +- ，则（）A ．113x y ==，B ．142x y ==-C ．124x y ==，D ．x =1，y =-1【正确答案】B【分析】利用空间向量的坐标运算，结合空间向量共线的坐标表示计算作答.【详解】向量()()1,2,,,1,2a y b x =-=，则2(12,4,4)a b x y +=+- ，2(2,3,22)a b x y -=--- ，因()//22()a b a b +- ，于是得12442322x y x y +-==---，解得1,42x y ==-，所以1,42x y ==-.故选：B4．直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点M ，则直线2x ＋3y －6＝0关于点M 对称的直线方程为（）A ．2x ＋3y －12＝0B ．2x ＋3y ＋12＝0C ．3x －2y －6＝0D ．2x ＋3y ＋6＝0【正确答案】B【分析】先求出定点M 的坐标，再设出与直线2x ＋3y －6＝0关于点M 对称的直线方程，利用点到直线距离公式求出答案.【详解】由ax ＋y ＋3a －1＝0得()()310x a y ++-=，由3010x y +=⎧⎨-=⎩，得31x y =-⎧⎨=⎩，∴M （－3，1）．设直线2x ＋3y －6＝0关于点M 对称的直线方程为()2306x y C C ++=≠-，=:C ＝12或C ＝－6（舍去），∴直线2x ＋3y －6＝0关于点M 对称的直线方程为2x ＋3y ＋12＝0．故选：B ．5．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE AF ⋅的值为（）A ．1B ．12C ．14D 【正确答案】C【分析】先得到该空间四边形及其对角线构成的几何体为正四面体，再根据空间向量的基本定理得到1122AE AB AC =+ ，利用空间向量的数量积运算法则计算出答案.【详解】此空间四边形及其对角线构成的几何体为正四面体，棱长为1，因为点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，所以1122AE AB AC =+，所以11112222AE AF AB AC AF AB AF AC AF ⎛⎫⋅=+⋅=⋅+⋅ ⎪⎝⎭111111111cos 60cos 60222222224AB AF AC AF =⋅︒+⋅︒=⨯⨯+⨯⨯= .故选：C6．已知直线l 过点()2,3P ，且与x ，y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点．若AOB 的面积为12（O 为坐标原点），则直线l 的截距式方程为（）A ．146x y+=B ．1812x y +=C ．1131323x y +=D ．164x y +=【正确答案】A【分析】设出直线的截距式方程，根据题意求出待定系数，可得结论．【详解】解：设直线l 的方程为1(0,0)x ya b a b +=>>，则AOB 的面积为1122ab =①．因为直线l 过点(2,3)P ，所以231a b+=②．联立①②，解得4a =，6b =，故直线l 的方程为146x y+=，故选：A ．7．经过点(0,1)P -作直线l ，若直线l 与连接(2,3)(-1,2),A B 的线段总有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（）A ．[)(]2--3⋃+∞∞，，B ．[]-32，C ．[)2+∞，D ．(]--3∞，【正确答案】A【分析】作出线段及点，即可得出直线变化范围，即可确定斜率取值范围.【详解】如图所示，()()31212,32010PA PB k k ----====----，故直线l 的斜率的取值范围是[)(]2--3⋃+∞∞，，.故选：A8．已知点A （﹣1，0），B （1，0），C （0，1），直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（）A ．（0，1）B ．21122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，C ．21123⎛⎤⎥ ⎝⎦，D ．1132⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【正确答案】B【分析】先求得直线y ＝ax +b （a ＞0）与x 轴的交点为M （ba -，0），由b a -≤0可得点M 在射线OA 上．求出直线和BC 的交点N 的坐标，①若点M 和点A 重合，求得b 13=；②若点M 在点O 和点A 之间，求得13＜b 12＜；③若点M 在点A 的左侧，求得13＞b ＞122-．再把以上得到的三个b 的范围取并集，可得结果．【详解】由题意可得，三角形ABC 的面积为12AB OC ⋅⋅=1，由于直线y ＝ax +b （a ＞0）与x 轴的交点为M （ba-，0），由直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，可得b ＞0，故ba-≤0，故点M 在射线OA 上．设直线y ＝ax +b 和BC 的交点为N ，则由1y ax b x y =+⎧⎨+=⎩可得点N 的坐标为11b a -+1a ba ++．①若点M 和点A 重合，如图：则点N 为线段BC 的中点，故N1212，把A 、N 两点的坐标代入直线y ＝ax +b ，求得a ＝b 13=．②若点M 在点O 和点A 之间，如图：此时b 13＞，点N 在点B 和点C 之间，由题意可得三角形NMB 的面积等于12，即1122N MB y ⋅⋅=，即111212b a b a a +⎛⎫⨯+⋅= ⎪+⎝⎭，可得a 212b b=-＞0，求得b 12＜，故有13＜b 12＜．③若点M 在点A 的左侧，则b 13＜，由点M 的横坐标ba--＜1，求得b ＞a ．设直线y ＝ax +b 和AC 的交点为P ，则由1y ax b y x =+⎧⎨=+⎩求得点P 的坐标为11b a --1a b a --，此时，由题意可得，三角形CPN 的面积等于12，即12•（1﹣b ）•|xN ﹣xP |12=，即12（1﹣b ）•|1111b b a a ---+-|12=，化简可得2（1﹣b ）2＝|a 2﹣1|．由于此时b ＞a ＞0，0＜a ＜1，∴2（1﹣b ）2＝|a 2﹣1|＝1﹣a 2．两边开方可得（1﹣b ）=1，∴1﹣bb ＞12-，故有12-b 13＜．综上可得b 的取值范围应是112⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，故选B ．本题主要考查确定直线的要素，点到直线的距离公式以及三角形的面积公式的应用，还考查了运算能力以及综合分析能力，分类讨论思想，属于难题．二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．点斜式()11y y k x x -=-可以表示任何直线B ．已知直线l 过点()2,3P ，且在x ，y 轴上截距相等，则直线l 的方程为50x y +-=．C ．直线240x y --=与直线210x y ++=相互垂直．D ．直线42y x =-在y 轴上的截距为2-【正确答案】CD【分析】根据直线点斜式方程适用的条件即可判断A ；分直线过原点和不过原点两种情况讨论即可判断B ；根据两直线垂直的公式即可判断C ；根据直线的斜截式方程即可判断D.【详解】对于A ，点斜式()11y y k x x -=-表示斜率存在的直线，故A 错误；对于B ，若直线过原点，则32l k =，所以直线方程为32y x =，若直线不过原点，设直线方程为()11x ya a a+=≠，将点()2,3P 代入解得5a =，所以直线方程为50x y +-=，综上，直线l 的方程为50x y +-=或32y x =，故B 错误；对于C ，因为()12210⨯+-⨯=，所以直线240x y --=与直线210x y ++=相互垂直，故C 正确；对于D ，直线42y x =-在y 轴上的截距为2-，故D 正确.故选：CD.10．下面四个结论正确的是（）A ．空间向量()112a ,,=-关于x 轴对称的向量为()1,1,2-B ．若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点共面C ．已知{},,a b c 是空间的一组基底，若m a c =+，则{},,a b m 也是空间的一组基底D ．任意向量,,a b c ，满足()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅ 【正确答案】ABC【分析】根据对称性即可判断A ；根据空间向量共面定理即可判断B ；根据基底的定义即可判断C ；根据数量积的定义即可判断D.【详解】对于A ，空间向量()112a ,,=-关于x 轴对称的向量为()1,1,2-，故A 正确；对于B ，若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++ ，因为1111632++=，所以P ，A ，B ，C 四点共面，故B 正确；对于C ，{},,a b c 是空间的一组基底，则,,a b c不共面，若m a c =+ ，所以,,a c m 共面，所以,,a b m不共面，故{},,a b m也是空间的一组基底，故C 正确；对于D ，()a b c ⋅⋅表示与c 共线的向量，()a b c ⋅⋅表示与a 共线的向量，而,a c的方向不确定，所以不能得出上述结论，故D 错误.故选：ABC.11．在通用技术课上，某小组将一个直三棱柱111ABC A B C -展开得到平面图如图所示，90ABC ∠=︒，1AA AB =，P 为1AB 的中点，Q 为1AC 的中点，则在原直三棱柱111ABC A B C -中，下列说法正确的是（）A ．P ，Q ，C ，B 四点共面B ．11A C AB ⊥C ．几何体A PQCB -和直三棱柱111ABC A B C -的体积之比为38D ．当2BC 时，1AC 与平面1ABB 所成的角为45︒【正确答案】ABD【分析】根据线面位置关系可判断A ，B 选项，根据几何体的体积计算方法即可判断C 选项，利用定义法可判断线面角，即可判断D 选项【详解】如图，将展开的平面图还原成立体图形，对A 选项，连接1A B ，P 为1AB 的中点，P ∴也为1A B 的中点，又Q 为1AC 的中点，//PQ BC ∴，P ∴，Q ，C ，B 四点共面，故A 选项正确；对B 选项，90ABC ∠=︒ ，棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，∴易得BC ⊥平面11ABB A ，又1AB ⊂平面11ABB A ，∴1AB BC ⊥，又1AA AB =，∴四边形11ABB A 为正方形，11AB A B ∴⊥，又1BC A B B ⋂=，1AB ∴⊥平面1A BC ，又1AC ⊂平面1A BC ，11A C AB ∴⊥，∴B 选项正确；对C 选项，P ，Q 分别为1A B ，1AC 的中点，134A BC PQCB S S ∴=四边形，111111113331144434A PQCB A A BC A ABC ABC A B C ABC A B C V V V V V -----∴===⨯=∴几何体A PQCB -和直三棱柱111ABC A B C -的体积之比为14，故C 选项错误；对D 选项，当2BC 时，又1AA AB =，且1AA AB ⊥，12A B ∴，1BC A B ∴=，1A B BC ⊥145BAC ∴∠=︒，又由B 选项的分析知BC ⊥平面11ABB A ，1BAC ∴∠即为1AC 与平面1ABB 所成的角，又145BAC ∠=︒，1A C ∴与平面1ABB 所成的角为45︒，故D 选项正确．故选：ABD ．12．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的梭长为2，P 为正方形底面ABCD 内的一动点，则下列结论正确的有（）A ．三棱雉111B A D P -的体积为定值B ．存在点P ，使得11D P AD ⊥C ．若11D P B D ⊥，则P 点在正方形底面ABCD 内的运动轨迹是线段ACD ．若点P 是AD 的中点，点Q 是1BB 的中点，过P Q ，作平面α⊥平面11ACC A ，则平面α截正方体1111ABCD A B C D -的截面周长为2【正确答案】ACD【分析】对于A ，利用111111B A D P P A B D V V --=可得，A 正确；对于B ，建立空间直角坐标系，根据11D P AD ⊥，计算得满足条件的点P 不在平面ABCD 内，故B 错误；对于C ，建立空间直角坐标系，根据11D P B D ⊥，可得方程2x y +=，判断C 正确；对于D ，关键找到直线BD ，使//BD 平面α，且PQ ⊂平面α，以BD 为参照线作出平面α与正方体各个侧面的交线，得到截面图形，计算得答案，D 正确.【详解】对于A ，P 为正方形底面ABCD 内一点时，由111111B A D P P A B D V V --=，三棱锥111P A B D -的高不变，底面积也不变，所以体积为定值，故A 正确；对于B ，以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设(),,0P x y ，则()()()()()11110,0,2,2,0,0,2,2,2,,,2,2,0,2D A B D P x y AD =-=-，若11D P AD ⊥，则110D P AD ⋅=，所以240x --=即2x =-，此时P 点不在底面ABCD 内，与题意矛盾，故B 错误；对于C ，因为()12,2,2B D =--- ，若11D P B D ⊥，110D P BD =⋅，所以22+40x y --=即2x y +=，所以P 的轨迹就是线段AC ，故C 正确；对于D ，因为BD AC ⊥，1BD AA ⊥，又AC ⊂平面11AAC C ，1AA ⊂平面11AAC C ，1AC AA A =∩，所以BD ⊥平面11AAC C ，因为面α⊥平面11ACC A ，,BD PQ 异面，BD ⊄平面α，所以//BD 平面α，以BD 为参照线作出平面α与正方体各个侧面的交线，如图所示，易知每个侧面的交线均相等，长度为正方体的面对角线的一半，由于正方体的梭长为2，故面对角线长为所以截面周长为6，故D 正确．故选：ACD.三、填空题13．直线1:3230l x y +-=与26410l x y +-=：平行，则它们的距离是_____【正确答案】26【分析】根据两个平行线之间的距离计算公式，计算得答案.【详解】直线1:3230l x y +-=可化为直线1:6460l x y +-=，又26410l x y +-=：，且12//l l ，所以它们的距离d =故答案为14．过原点O 有一条直线l ，它夹在两条直线1:220--=l x y 与2:30l x y ++=之间的线段恰好被点O 平分，则直线l 的方程为______________.【正确答案】45y x =设两交点分别为(,22)A a a -，(,3)B b b --，利用中点为原点求解a ,b ，得到A 点坐标，即得解.【详解】设两交点分别为(,22)A a a -，(,3)B b b --，则50325053a a b a b b ⎧⎧=⎪⎪+=⎪⎪⇒⎨⎨--=⎪⎪=-⎪⎪⎩⎩故点54,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以直线l 的方程为45y x =.故45y x =本题考查了直线与直线的位置关系，考查了学生综合分析，转化划归的能力，属于中档题.15．已知在ABC ∆中，顶点()4,2A ，点B 在直线l ：20x y -+=上，点C 在x 轴上，则ABC ∆的周长的最小值______.【正确答案】【分析】设点A 关于直线l ：20x y -+=的对称点111(,)A x y ，点A 关于x 轴的对称点为222(,)A x y ，连接12A A 交l 于B ，交x 轴于C ，则此时ABC ∆的周长取最小值，且最小值为12A A ，利用对称知识求出1A 和2A ，再利用两点间距离公式即可求解.【详解】如图：设点A 关于直线l ：20x y -+=的对称点111(,)A x y ，点A 关于x 轴的对称点为222(,)A x y ，连接12A A 交l 于B ，交x 轴于C ，则此时ABC ∆的周长取最小值，且最小值为12A A ，1A 与A 关于直线l ：20x y -+=对称，∴11112114422022y x x y -⎧⨯=-⎪-⎪⎨++⎪-+=⎪⎩，解得：1106x y =⎧⎨=⎩，∴1(0,6)A ，易求得：2(4,2)A -，∴ABC ∆的周长的最小值12A A ==故答案为.本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法，体现了数形结合的数学思想，综合性较强.16．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在正方体的12条棱上（包括顶点）运动，则AC BP ⋅ 的取值范围是______．【正确答案】[]4,4-【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得AC BP ⋅ 的表达式，进而根据线性规划求得AC BP ⋅ 的取值范围.【详解】解：建立如图所示空间直角坐标系，()()()2,0,0,0,2,0,2,2,0A C B ，()2,2,0AC =- ，设(),,P x y z （且P 只在正方体的12条棱上运动），则()2,2,BP x y z =-- ，()42242AC BP x y y x ⋅=-+-=- ，因为0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，设z y x =-，根据线性规划，作出可行域如图，当2,0x y ==时，y x -取得最小值2-，即AC BP ⋅ 取最小值4-；当0,2x y ==时，y x -取得最大值2，即AC BP ⋅ 取最大值4.故[]4,4-四、解答题17．已知ABC 的三个顶点的坐标为()3,3A 、()2,2B -、()7,1C -，试求：(1)BC 边上的高所在的直线方程；(2)ABC 的面积．【正确答案】(1)360x y --=(2)24【分析】（1）先求出直线BC 的斜率，进而得BC 边上的高的斜率，由点斜式写出方程即可；（2）先求出BC 及直线BC 方程，再由点到直线距离公式求得A 到BC 的距离，即可求得面积.【详解】（1）因为2112(7)3BC k --==---，则BC 边上的高的斜率为3，又经过A 点，故方程为()333y x -=-，化简得360x y --=．（2）()2227(21)310BC =++--=BC 方程为12(2)3y x +=--，整理得340x y ++=，则A 到BC 2233341013+⨯++，则ABC 的面积为131024210⨯=.18．如图，三棱柱111ABC A B C -中，M ，N 分别是111,A B B C 上的点，且1112,2BM A M C N B N ==．设AB a =，AC b = ，1AA c = ．(1)试用a ，b ，c 表示向量MN ；(2)若11190,60,1BAC BAA CAA AB AC AA ∠=︒∠=∠=︒===，求MN 的长．【正确答案】(1)111333MN a c =++【分析】（1）利用空间向量的线性运算即可求解.（2）根据空间向量的数量积以及向量模的求法即可求解.【详解】（1）解：1111MN MA A C C N=++ 11233BA AC =++ 1112()333AB AA AC AB AC =-+++- 1111333AB AA AC =++ ，∴111333MN a c =++ ；（2）解：11,||||||1AB AC AA a b c ===∴=== ，1190,0,60BAC a b BAA CAA ∠=∴⋅=∠=∠=︒︒ ，12a cbc ∴⋅=⋅= ，()221||9MN a b c ∴=++ ()2221522299a b c a b a c b c =+++⋅+⋅+⋅= ，||MN ∴=即MN 19．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122AA AB E ==，为1CC 的中点.(1)求证:1//AC 平面BDE .(2)若F 为1BB 中点，求直线1A F 与平面BDE 所成角的正弦值，【正确答案】(1)详见解析.63【分析】（1）连接AC 与BD 交于点O ，根据E ，O 为中点，得到1//AC OE ，再利用线面平行的判定定理证明；（2）建立空间直角坐标系，分别求得1A F 的坐标和平面BDE 的一个法向量(),,n x y z = ，再由11sin A F n A F nθ⋅=⋅ .【详解】（1）证明：如图所示：连接AC 与BD 交于点O ，因为E ，O 为中点，所以1//AC OE ，又1AC ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以1//AC 平面BDE ；（2）建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()()11,0,2,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,1,1A F B D E ，所以()()()10,1,1,1,1,0,1,0,1A F BD BE =-=--=- ，设平面BDE 的一个法向量为(),,n x y z = ，则00n BD n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00x y x y --=⎧⎨-+=⎩，令1x =，得1,1y z =-=，则()1,1,1n =- ，设直线1A F 与平面BDE 所成的角为θ，则11sin A F n A F nθ⋅==⋅ .20．已知直线:(21)(3)70l m x m y m +-++-=．(1)m 为何值时，点(3,4)Q 到直线l 的距离最大?并求出最大值；(2)若直线l 分别与x 轴，y 轴的负半轴交于A ，B 两点，求AOB （O 为坐标原点）面积的最小值及此时直线l 的方程．【正确答案】(1)2219m =-；(2)面积的最小值为12，直线l 的方程为3x +2y +12=0.【分析】（1）由题设求得直线l 过定点(2,3)P --，则Q 与定点P 的连线的距离就是所求最大值，根据垂直关系及75PQ k =求参数m ；（2）设直线l 为3(2)y k x +=+，0k <并求出A ，B 坐标，应用三角形面积公式、基本不等式求最小值，并写出直线方程.【详解】（1）已知直线:(21)(3)70l m x m y m +-++-=，整理得(21)370x y m x y -++--=，由21023703x y x x y y ⎧-+==-⎧⇒⎨⎨--==-⎩⎩，故直线l 过定点(2,3)P --，点(3,4)Q 到直线l 的距离最大，即Q 与定点P 的连线的距离就是所求最大值，=∵437325PQ k +==+，∴(21)(3)70m x m y m +-++-=的斜率为57-，得52173m m +-=+，解得2219m =-；（2）若直线l 分别与x 轴，y 轴的负半轴交于A ，B 两点，则设直线l 为3(2)y k x +=+，0k <，则32,0A k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(0,23)B k -，1313192232(32)12(4)12222AOB S k k k k k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⋅-=--=+-+-≥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．（当且仅当32k =-时，取“=”），故AOB 面积的最小值为12，此时直线l 的方程为3x +2y +12=0.21．如图，在四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，1AB =，3SC =，三棱锥S BCD -是正三棱锥，E ，F 分别为SA ，SC 的中点.(1)求证：直线BD ⊥平面SAC ；(2)求二面角E BF D --的余弦值；(3)判断直线SA 与平面BDF 的位置关系.如果平行，求出直线SA 与平面BDF 的距离；如果不平行，说明理由.【正确答案】(1)证明见解析7(3)平行，距离为14【分析】(1)要证线面平行，先证线线平行，只需证BD AC ⊥，BD SO ⊥，即可.(2)建立适当的直角坐标系，再利用平面的法向量，即可求解.(3)利用向量OA 在平面BDF 的法向量上的投影，即可求解.【详解】（1）证明：连接AC ，交BD 于点O ，连接SO ，因为四边形ABCD 是菱形，所以O 为AC ，BD 的中点，且BD AC ⊥，因为三棱锥S BCD -是正三棱锥，SB SD =，O 为BD 的中点，所以BD SO ⊥，又SO AC O = ，所以BD ⊥平面SAC .（2）作SH ⊥平面BCD 于H ，则H 为正三角形BCD 的中点，H 在线段OC 上，且2OC =，113326OH OC ==，233CH OC ==，1SH ==.如图，以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，HS 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则0,A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,0,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C.,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，D .1,0,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，0,6S ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，10,62E ⎛⎫- ⎝⎭，12F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以11,22BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，1122BF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()1,0,0BD =- ，设()1111,,n x y z = 是平面EBF 的法向量，则1111111111026211022n BE x y z n BF x y z ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩，则()11,0,1n = ，设()2222,,n x y z = 是平面DBF 的法向量，则2222220110232n BD x n BF x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取()22n =- ，所以121212cos ,7n n n n n n ⋅==- ，又因为二面角E BF D --是锐二面角，所以二面角E BF D --的余弦值为7.（3）直线SA 与平面BDF 平行.理由如下：连接OF ，由（1）知O 为AC 的中点，又F 为SC 的中点，所以OF SA ∥，又因为SA ⊄平面BDF ，OF ⊂平面BDF ，所以直线SA ∥平面BDF .（或者用向量法证明直线SA 与平面BDF 平行：由（2）知()23,2n =- 是平面BDF 的一个法向量，又30,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，30,6S ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以30,,13SA ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，所以()()2230032103SA n ⎛⋅=⨯+-⨯-= ⎝⎭，所以2SA n ⊥ ，又因为SA ⊄平面BDF ，所以直线SA ∥平面BDF .设点A 与平面BDF 的距离为h ，则h 即为直线SA 与平面BDF 的距离，因为30,2OA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，()23,2n =- 是平面DBF 的一个法向量，所以()22300302237147OA n n ⎛⎫⨯+⨯-+⨯- ⎪⋅⎝⎭== ，所以点A 与平面BDF 3714所以直线SA 与平面BDF 的距离为3714.22．如图，C 是以AB 为直径的圆O 上异于A ，B 的点，平面PAC ⊥平面,ABC PAC 为正三角形，E ，F 分别是,PC PB 上的动点.(1)求证：BC AE ⊥；(2)若E ，F 分别是,PC PB 的中点且异面直线AF 与BC 32记平面AEF 与平面ABC 的交线为直线l ，点Q 为直线l 上动点，求直线PQ 与平面AEF 所成角的取值范围.【正确答案】(1)证明见解析(2)0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明BC ⊥平面PAC ，即可证明BC AE ⊥.（2）由已知结合线面平行的判定定理知//BC 平面AEF ，结合线面平行的性质定理知//BC l ，建立空间直角坐标系，设(2,,0)Q t ，求出平面AEF 的一个法向量，利用空间向量求线面角即可得解.【详解】（1）证明：因为C 是以AB 为直径的圆O 上异于A ，B 的点，所以BC AC ⊥，又平面PAC ⊥平面ABC ，且平面PAC 平面,ABC AC BC =⊂平面ABC ，所以BC ⊥平面,PAC AE ⊂平面PAC .所以BC AE⊥（2）由E ，F 分别是,PC PB 的中点，连结,AE EF ，所以BC EF ∥，由（1）知BC AE ⊥，所以EF AE ⊥，所以在Rt AFE 中，AFE ∠就是异面直线AF 与BC 所成的角.因为异面直线AF 与BC 32所以3tan 2∠=AFE ，即32AE EF =又EF ⊂平面,⊄AEF BC 平面AEF ，所以//BC 平面AEF ，又BC ⊂平面ABC ，平面⋂EFA 平面=ABC l ，所以BC l∥所以在平面ABC 中，过点A 作BC 的平行线即为直线l .以C 为坐标原点，,CA CB 所在直线分别为x 轴，y 轴，过C 且垂直于平面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，设2AC =.因为PAC △为正三角形所以3AE =2EF =由已知E ，F 分别是,PC PB 的中点，所以24BC EF ==则(2,0,0),(0,4,0),3)A B P ，所以1313,2222⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭E F ，所以33,(0,2,0)22⎛⎫=-= ⎪⎝⎭E AF E ，因为BC l ∥，所以可设(2,,0)Q t ，平面AEF 的一个法向量为(,,)m x y z = ，则3302220x z AE m EF m y ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅==⎩，取3z =3)m = ，又(1,,3)=- PQ t ，则21|cos ,|0,2||||4⋅⎛⎤〈〉== ⎥⋅⎝⎦+ PQ m PQ m PQ m t .设直线PQ 与平面AEF 所成角为θ，则21sin 0,24⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦+t θ.所以直线PQ 与平面AEF 所成角的取值范围为0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
曲周县第一中学第一学期高二第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设 0＜ a＜ b＜1，则下列不等式成立的是（）A ． a 3＞ b3 B．1＜1C ． a 2＞ b2 D． 0 ＜ b﹣ a＜ 1a b2．在△ ABC 中， a=2， b= ， A= ，则 B=（）A ．B、 C D．3．在△ ABC 中， sinA ： sinB ： sinC=4 ： 3： 2，则 cosA 的值是（）A ．﹣B C．﹣D．4． x＞1， y＞ 1 且 lgx+lgy=4 ，则 lgxlgy 最大值为（）A． 2 B． 4 C． 8 D． 165．（ 5 设变量 x，y 满足约束条件，则目标函数z=4x+2y 的最大值为（）A ．12 B． 10 C 8 D． 26．在△ ABC 中，，三边长 a， b， c 成等差数列，且ac=6，则 b 的值是（）A ．B．C、D．7．数列 {a } 的通项式 a = ，则数列 {a } 中的最大项是（）n n nA．第 9项B．第 10 项和第9 项C．第 10 项D．第 9项和第 8项8．已知等差数列 {a } 中，有+1＜ 0，且该数列的前n 项和 S 有最大值，则使得S＞0 成立n n n的 n 的最大值为（）A．11 B． 19 C 20 D． 219．设 x， y 都是正数，且2x+y=1 ，则的最小值是（）A．4 B． 3 C． 2+3 D． 3+210．数列 {a n} 的首项为 1，{b n} 是以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列，且b n=a n+1﹣ a n（ n∈ N*）则 a n=（）A．2n﹣ 1 B． 2n C． 2n+1﹣ 1 D． 2n﹣211．若两个等差数列 {a } ， {b } 的前 n 项的和为 A， B ．且，则=（）n n nnA．B．C．D．12．（ 5 分）已知平面区域 D 由以 A（1， 3），B（ 5， 2）， C（ 3，1）为顶点的三角形内部以及边界组成．若在区域 D 上有无穷多个点（x， y）可使目标函数z=x+my 取得最小值，则m=（）A．﹣ 2 B．﹣ 1 C． 1 D． 4二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共20 分，把正确答案填在答题卡中的横线上）13．设 a= ﹣， b= ﹣， c= ﹣，则 a、 b、 c 的大小顺序是．14．不等式x2﹣ ax﹣b＜ 0 的解集是（ 2， 3），则不等式bx2﹣ ax﹣ 1＞ 0 的解集是．15．把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，循环分为（ 1），（ 3，5），（ 7，9，11），（ 13），（ 15，17），（ 19，21，23），（ 25），，则第 100 个括号内的数为．16 在三角形 ABC中，若角 A， B， C所对的三边 a， b，c 成等差数列，则下列结论中正确的是（填上所有正确结论的序号）（ 1） b2≥ac（ 2）（3）b2≤（4）tan2．三、解答题（本大题共 6 小题， 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（ 10 分）设 2x2﹣3x+1≤0的解集为 A，x2﹣（ 2a+1） x+a（ a+1）≤0的解集为 B，若 A B，求实数 a 的取值范围．18．（12分）△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=2，求△ ABC 面积的最大值．19．（ 12 分）（ 1）已知 a，b， c 为任意实数，求证：a2+b2+c2≥ab+bc+ca；（ 2）设 a， b， c 均为正数，且a+b+c=1，求证： ab+bc+ca≤．20．（ 12 分）已知等差数列{a n} 满足 a2=0， a6+a8=﹣ 10（Ⅰ）求数列{a n} 的通项公式；（Ⅱ）求数列{} 的前 n 项和．21．（ 12 分）长沙市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示．经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似地为半径是 R 的圆面．该圆面的内接四边形 ABCD是原棚户建筑用地，测量可知边界 AB=AD=4万米， BC=6万米， CD=2万米．（1）请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及圆面的半径 R 的值；（2）因地理条件的限制，边界AD、DC不能变更，而边界 AB、 BC可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在圆弧ABC上设计一点P；使得棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大，并求最大值．22．（ 12 分）已知数列 {a n} 中， a1=2， a2=3，其前 n 项和 S n满足 S n+2+S n=2S n+1+1（ n∈N*）；数列 {b n} 中， b1=a1， {b n+2} 是以 4 为公比的等比数列．（1）求数列 {a n} ，{b n} 的通项公式；（2）设 c n=b n+2+（﹣ 1）n﹣1λ?2a（nλ为非零整数， n∈N*），试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有 c n+1＞ c n成立．数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（ 5 分）1. 设 0＜a＜ b＜ 1，则下列不等式成立的是（）3 3 B．1＜1A ． a ＞ ba b2 2C． a ＞b D． 0 ＜b﹣ a＜1考点：不等关系与不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由 0＜ a＜ b＜ 1，可得 0＜ b﹣ a＜ 1．即可得出．解答：解：∵ 0＜ a＜ b＜1，∴0＜ b﹣ a＜ 1．故选： D．点评：本题考查了不等式的性质，属于基础题．2．（ 5 分）在△ ABC 中， a=2， b= ， A= ，则 B=（）A．B．C．D．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：根据正弦定理求得 sinB= ．再由 b＜a 可得 B＜ A，从而求得 B 的值．解答：解：在△ ABC 中，由于a=2， b= ， A= ，则根据正弦定理可得，即=，求得sinB=．再由 b＜a 可得 B＜ A，∴ B=，故选 B．点评：本题主要考查正弦定理的应用，以及大边对大角，根据三角函数的值求角，属于中档题．3．（ 5 分）在△ ABC 中， sinA ： sinB ： sinC=4 ： 3： 2，则 cosA 的值是（）A．﹣B．C．﹣D．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：已知比例式利用正弦定理化简求出三边之比，进而设出三边长，利用余弦定理表示出 cosA，将三边长代入即可求出cosA 的值．解答：解：在△ ABC 中， sinA ： sinB ： sinC=4 ： 3： 2，利用正弦定理化简得：a：b： c=4： 3： 2，设 a=4k， b=3k，c=2k ，∴cosA===﹣．故选： A．点评：此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键．4．（ 5 分） x＞ 1，y＞ 1 且 lgx+lgy=4 ，则 lgxlgy 最大值为（）A． 2 B． 4 C． 8 D． 16考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式和对数的意义即可得出．解答：解：∵ x＞ 1， y＞1，∴ lgx ＞ 0， lgy ＞ 0．∴4=lgx+lgy ，化为 lgx?lgy ≤4，当且仅当 lgx=lgy=2 即 x=y=100 时取等号．故 lgxlgy 最大值为 4．故选： B．点评：本题考查了基本不等式和对数的运算，属于基础题．5．（ 5 分）设变量 x， y 满足约束条件，则目标函数z=4x+2y 的最大值为（）A． 12B．10C．8D． 2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：1．作出可行域 2 目标函数z 的几何意义：直线截距 2 倍，直线截距去的最大值时z 也取得最大值解答：解：本题主要考查目标函数最值的求法，属于容易题，做出可行域，由图可知，当目标函数过直线y=1 与 x+y=3 的交点（ 2， 1）时， z 取得最大值10．点评：本题考查线性规划问题：目标函数的几何意义6．（ 5 分）在△ ABC 中，，三边长 a， b，c 成等差数列，且ac=6，则 b 的值是（）A．B．C．D．考点：数列与三角函数的综合．专题：综合题．分析：根据三边长 a， b， c 成等差数列，可得 a+c=2b，再利用余弦定理及ac=6，可求 b 的值．解答：解：由题意，∵三边长a，b， c 成等差数列∴a+c=2b∵∴由余弦定理得b2=a2+c 2﹣ 2accosB= （ a+c）2﹣ 3ac∵a c=62∴b=6∴故选 D．点评：本题以三角形载体，考查余弦定理的运用，考查数列与三角函数的综合，属于中档题．7．（ 5 分）数列 {a n} 的通项式 a n= ，则数列 {a n} 中的最大项是（）A．第9项B．第 10项和第 9项C．第10项D．第 9项和第 8项考点：数列的函数特性．专题：导数的综合应用．分析：利用导数考察函数 f （ x）= （ x＞0）的单调性即可得出．解答：解：由数列 {a n} 的通项式 a n= ，考察函数 f （ x） = （ x＞ 0）的单调性．∵f ′（ x） =，令 f ′（ x）≥0，解得 0＜，此时函数f（ x）单调递增；令 f ′（ x）＜ 0，解得，此时函数 f （ x）单调递减．而， f （9） =f （ 10）．∴数列 {a n} 中的最大项是第10 项和第 9 项．故选： B．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了计算能力，属于基础题．8．（ 5 分）已知等差数列{a n} 中，有+1＜ 0，且该数列的前n 项和 S n有最大值，则使得S n＞ 0 成立的 n 的最大值为（）A． 11 B． 19 C． 20 D． 21考点：等差数列的前n 项和；数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得＜0，公差d＜0，进而可得S19＞0， S20＜ 0，可得答案．解答：解：由+1＜0 可得＜0又∵数列的前n 项和 S n有最大值，∴可得数列的公差d＜ 0，∴a10＞0，a11+a10 ＜0，a11＜0，∴a1+a19=2a10＞0，a1+a20=a11+a10＜0．∴S19＞0，S20＜0∴使得 S n＞0 的 n 的最大值n=19，故选 B点评：本题考查等差数列的性质在求解和的最值中应用，属基础题．9．（ 5 分）设 x，y 都是正数，且2x+y=1 ，则的最小值是（）A． 4 B． 3 C． 2+3 D． 3+2考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用“乘 1 法”和基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵ x， y 都是正数，且2x+y=1 ，∴= =3+ =3+2 ，当且仅当 y= x= ﹣1 时取等号．因此的最小值是．故选： D．点评：本题考查了“乘 1 法”和基本不等式的性质，属于基础题．10．（ 5 分）数列 {a n} 的首项为1， {b n} 是以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列，且b n=a n+1﹣ a n *）（n∈ N 则 a n=（）A． 2n﹣ 1 B． 2n C． 2n+1﹣ 1 D． 2n﹣2考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等比数列的通项公式求出b n，然后利用累加法即可求出数列的通项公式．解答：n 2 为公比的等比数列，解：∵ {b } 是以 2 为首项，以∴b n=2?2n﹣1=2n，即 b n=a n+1﹣ a n=2n，则 a2﹣ a1=21，2a3﹣ a2=2 ，a n﹣ a n﹣1=2n﹣1，等式两边同时相加得，a n﹣ a1==2n﹣ 2，即 a n=2n﹣ 2+1=2n﹣ 1，故选： A点评：本题主要考查数列通项公式的求解，根据等比数列的通项公式以及累加法是解决本题的关键．11．（ 5 分）若两个等差数列{a n} ， {b n} 的前 n 项的和为A n，B n．且，则= （）A．B．C．D．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：==，代入可得结论．解答：解：====，故选： D．点评：本题考查等差数列的通项与求和，考查学生的计算能力，比较基础．12．（ 5 分）已知平面区域 D 由以 A（1， 3），B（ 5， 2）， C（ 3，1）为顶点的三角形内部以及边界组成．若在区域 D 上有无穷多个点（ x， y）可使目标函数z=x+my 取得最小值，则 m=（）A．﹣2 B．﹣1 C． 1 D． 4考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；压轴题．分析：将目标函数 z=x+my 化成斜截式方程后得：y=﹣ x+ z，若 m＞0 时，目标函数值 Z与直线族： y= ﹣ x+ z 截距同号，当直线族y=﹣x+ z 的斜率与直线 AC的斜率相等时，目标函数 z=x+my 取得最小值的最优解有无数多个；若m＜ 0 时，目标函数值 Z 与直线族： y=﹣x+ z 截距异号，当直线族 y=﹣ x+ z 的斜率与直线 BC的斜率相等时，目标函数z=x+my 取得最小值的最优解有无数多个，但此时是取目标函数取最大值的最优解为无数个，不满足条件．解答：解：依题意，满足已知条件的三角形如下图示：令 z=0，可得直线x+my=0 的斜率为﹣，结合可行域可知当直线x+my=0与直线 AC平行时，线段 AC上的任意一点都可使目标函数z=x+my 取得最小值，而直线 AC的斜率为=﹣ 1，所以﹣=﹣ 1，解得 m=1，故选 C．增加网友的解法，相当巧妙值得体会！请看：依题意， 1+3m=5+2m＜ 3+m，或 1+3m=3+m＜ 5+2m，或 3+m=5+2m＜1+3m解得 m∈空集，或 m=1，或 m∈空集，所以 m=1，选 C．评析：此解法妙在理解了在边界处取到最小值这个命题的内蕴，区域的三个顶点中一定有两个顶点的坐标是最优解，故此两点处函数值相等，小于第三个顶点处的目标函数值，本题略去了判断最优解取到位置的判断，用三个不等式概括了三种情况，从而解出参数的范围，此方法可以在此类求参数的题中推广，具有一般性！点评：目标函数的最优解有无数多个，处理方法一般是：①将目标函数的解析式进行变形，化成斜截式；②分析 Z 与截距的关系，是符号相同，还是相反；③根据分析结果，结合图形做出结论④根据斜率相等求出参数．二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在答题卡中的横线上）13．（ 5 分）设 a= ﹣， b= ﹣， c= ﹣，则 a、 b、c 的大小顺序是 a＞b＞ c．考点：不等式比较大小．专题：函数的性质及应用．分析：不妨设 a＞ b，由此得出 a＞b，同理得出 b＞ c，即可得出 a、 b、 c 的大小顺序．解答：解：∵ a= ﹣＞ 0，b= ﹣＞ 0，c= ﹣＞0，不妨设 a＞ b，即﹣＞﹣，∴+ ＞+ ，∴8+2 ＞ 8+2 ，即＞，∴15＞ 12，∴a＞ b，同理 b＞c；∴a、 b、 c 的大小顺序是 a＞ b＞c．故答案为： a＞ b＞ c．点评：本题考查了表达式的比较大小的问题，解题时应先比较两个数的大小，从而得出正确的结果，是基础题．14．（ 5 分）不等式x2﹣ax﹣ b＜0 的解集是（ 2，3），则不等式bx2﹣ ax﹣ 1＞ 0 的解集是（﹣，﹣）．考点：一元二次不等式的应用．专题：计算题．分析：根据不等式 x2﹣ ax ﹣b＜ 0 的解为 2＜x＜ 3，得到一元二次方程x2﹣ax﹣ b=0 的根为x1=2， x2=3，利用根据根与系数的关系可得a=5， b=﹣ 6，因此不等式bx2﹣ax﹣ 1＞0 即不等式﹣ 6x2﹣ 5x﹣ 1＞ 0，解之即得﹣＜ x＜﹣，所示解集为（﹣，﹣）．解答：解：∵不等式 x2﹣ ax﹣ b＜ 0 的解为 2＜ x＜ 3，∴一元二次方程 x2﹣ax﹣ b=0 的根为 x1=2， x2=3，根据根与系数的关系可得：，所以 a=5，b=﹣ 6；不等式 bx 2﹣ ax﹣ 1＞0 即不等式﹣6x2﹣ 5x﹣ 1＞ 0，2整理，得 6x +5x+1＜0，即（ 2x+1）（ 3x+1）＜ 0，解之得﹣＜x＜﹣∴不等式 bx2﹣ ax﹣ 1＞ 0 的解集是（﹣，﹣）故答案为：（﹣，﹣）点评：本题给出含有字母参数的一元二次不等式的解集，求参数的值并解另一个一元二次不等式的解集，着重考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程根与系数的关系等知识点，属于基础题．15．（ 5 分）把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，循环分为（ 1），（ 3， 5），（ 7， 9，11），（ 13），（ 15， 17），（ 19，21， 23），（ 25），，则第 100 个括号内的数为 397．考点：归纳推理．专题：计算题；推理和证明．分析：括号里的数有规律：即每三个一组，里面的数都是1+2+3=6，所以到第100 个括号内的数为第34 组的第一个数，即可得出结论．解答：解：括号里的数有规律：即每三个括号算一组，里面的数个数都是1+2+3=6 个，所以到第100 个括号内的数为第34 组的第一个数，第 100 个括号内的数为是 2×（ 33×6+1）﹣ 1=397．故答案为： 397点评：本题是等差数列的通项公式的简单运用及等差数列的求和公式，属于基本知识的运用，试题较易．16．（ 5 分）在三角形 ABC中，若角 A， B， C所对的三边 a， b，c 成等差数列，则下列结论中正确的是（ 1）（3）（ 4）（填上所有正确结论的序号）（ 1） b2≥ac（ 2）（3）b2≤（4）tan2．考点：解三角形．专题：解三角形．分析：由 a， b， c 成等差数列，利用等差数列的性质得到2b=a+c，利用基本不等式得到a+c≥2，把 2b=a+c 代入得到结果，即可对于选项（1）做出判断；选项（ 2）中不等式左边通分并利用同分母分式的加法法则变形，把选项（1）的结论代入即可做出判断；利用作差法判断选项（3）即可；利用余弦定理表示出cosB ，把 2b=a+c 代入并利用基本不等式化简求出 cosB 的范围，确定出 B 的范围，即可求出tan 2的范围，做出判断．解答：解：由 a， b， c 成等差数列，得到2b=a+c，∵a+c≥2，∴2b≥2，即b2≥ac，选项（1）正确；+ ==≥=，选项（2）错误；2∵b﹣= ﹣=﹣≤0，选项（ 3）正确；由余弦定理得：cosB===≥=，∴0＜B≤，则 tan 2≤，选项（4）正确，故答案为：（ 1）（3）（ 4）点评：此题属于解三角形题型，涉及的知识有：等差数列的性质，基本不等式的运用，余弦定理，以及正切函数的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．三、解答题（本大题共 6 小题， 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（ 10 分设 2x2﹣3x+1≤0的解集为 A，x2﹣（ 2a+1）x+a（ a+1）≤0的解集为 B，若 A B，求实数 a 的取值范围．解答：解：由题意得，，B={x|a≤x≤a+1}，若A B，∴，∴．故实数 a 的取值范围为．点评：本题考查一元二次不等式的解法，考查二次不等式与二次函数的关系，注意等价转化思想的运用．18．（ 12 分）△ ABC 在内角 A、 B、 C的对边分别为a， b， c，已知 a=bcosC+csinB ．（Ⅰ）求 B；（Ⅱ）若 b=2，求△ ABC 面积的最大值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，求出tanB 的值，由 B 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出 B 的度数；（Ⅱ）利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把sinB 的值代入，得到三角形面积最大即为ac 最大，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出ac 的最大值，即可得到面积的最大值．解答：解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得：sinA=sinBcosC+sinBsinC ①，∵sinA=sin （ B+C）=sinBcosC+cosBsinC②，∴sinB=cosB，即 tanB=1 ，∵B为三角形的内角，∴B= ；（Ⅱ） S△ABC= acsinB= ac ，由已知及余弦定理得：2 2﹣ 2accos ≥2ac﹣2ac×，4=a +c整理得： ac≤，当且仅当 a=c 时，等号成立，则△ ABC面积的最大值为××= × ×（2+ ）= +1．点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．19．（ 12 分）（ 1）已知 a，b， c 为任意实数，求证：a2+b2+c2≥ab+bc+ca；（ 2）设 a， b， c 均为正数，且a+b+c=1，求证： ab+bc+ca≤．考点：不等式的证明．专题：证明题；不等式的解法及应用．分析：（ 1）利用基本不等式可得a2+b2≥2ab， b2+c2≥2bc， c2+a2≥2ca，三式相加即得结论，（2）利用（ a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1， a2+b2+c2≥ab+bc+ca，即可证明．解答：证明：（1）由 a2+b2≥2ab， b2+c2≥2bc， c2+a2≥2ca，三式相加即得 a2+b2+c2≥ab+bc+ca，（ 6 分）（2）因为（ a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1， a2+b2+c2≥ab+bc+ca，所以（12 分）点评：本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（ 12 分）已知等差数列{a n} 满足 a2=0， a6+a8=﹣ 10（Ⅰ）求数列{a n} 的通项公式；（Ⅱ）求数列{} 的前 n 项和．考点：等差数列的通项公式；数列的求和．专题：综合题．分析：（ I ）根据等差数列的通项公式化简 a2=0 和 a6 +a8=﹣ 10，得到关于首项和公差的方程组，求出方程组的解即可得到数列的首项和公差，根据首项和公差写出数列的通项公式即可；（II ）把（ I ）求出通项公式代入已知数列，列举出各项记作①，然后给两边都除以 2 得另一个关系式记作②，①﹣②后，利用a n的通项公式及等比数列的前n 项和的公式化简后，即可得到数列 {} 的前 n 项和的通项公式．解答：解：（ I ）设等差数列 {a n} 的公差为d，由已知条件可得，解得：，故数列 {a n} 的通项公式为a n=2﹣ n；（ II ）设数列 {} 的前 n 项和为 S n，即 S n=a1+ + +①，故S1=1，=+ ++ ②，当 n＞1 时，①﹣②得：=a1 ++ +﹣=1﹣（+ + +）﹣=1﹣（ 1﹣）﹣=，所以 S n=，综上，数列 {} 的前 n 项和 S n=．点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式化简求值，会利用错位相减法求数列的和，是一道中档题．21．（ 12 分）长沙市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示．经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似地为半径是 R 的圆面．该圆面的内接四边形 ABCD是原棚户建筑用地，测量可知边界 AB=AD=4万米， BC=6万米， CD=2万米．（1）请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及圆面的半径 R 的值；（2）因地理条件的限制，边界AD、DC不能变更，而边界 AB、 BC可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在圆弧ABC上设计一点P；使得棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大，并求最大值．考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；综合题．分析：（ 1）连接 AC，根据余弦定理求得cos∠ABC的值，进而求得∠ ABC，然后利用三角形面积公式分别求得△ ABC 和△ ADC的面积，二者相加即可求得四边形ABCD的面积，在△ ABC 中，由余弦定理求得AC，进而利用正弦定理求得外接圆的半径．（ 2）设 AP=x， CP=y．根据余弦定理求得x 和 y 的关系式，进而根据均值不等式求得xy 的最大值，进而求得△ APC 的面积的最大值，与△ ADC的面积相加即可求得四边形APCD面积的最大值．解答：解：（ 1）因为四边形ABCD内接于圆，所以∠ ABC+∠ADC=180°，连接AC，由余弦定理：22 2AC=4 +6 ﹣2×4×6×cos∠ABC=42+22﹣2×2×4cos∠ADC、所以 cos∠ABC= ，∵∠ ABC∈（ 0，π），故∠ ABC=60°．S 四边形ABCD= ×4×6×sin60 °+×2×4×sin120°=8（万平方米）．在△ ABC中，由余弦定理：22 2AC=AB+BC﹣2AB?BC?cos∠ABC=16+36﹣2×4×6×．AC=2．由正弦定理==2R，∴2R===，∴R=（万米）．（ 2）∵S 四边形 APCD =S △ADC +S △APC ，又 S △ADC = AD?CD?sin120°=2，设 AP=x ， CP=y ．则 S= xy?sin60 °=xy ．△APC又由余弦定理 222AC=x +y ﹣2xycos60° =x 2+y 2﹣ xy=28 ．22∴x +y ﹣xy ≥2xy ﹣ xy=xy ．∴xy ≤28，当且仅当 x=y 时取等号 ∴S 四边形 APCD =2 + xy ≤2 + ×28=9 ， ∴最大面积为 9万平方米．点评： 本题主要考查了解三角形的实际应用，正弦定理和余弦定理的应用以及基本不等式求最值．考查了基础知识的综合运用．22．（ 12 分）已知数列 {a n } 中， a 1=2， a 2=3，其前 n 项和 S n 满足 S n+2+S n =2S n+1+1（ n ∈N * ）；数列 {b n } 中， b 1=a 1， {b n +2} 是以 4 为公比的等比数列．（ 1）求数列 {a n } ，{b n } 的通项公式；（ 2）设 c n =b n +2+（﹣ 1）n ﹣1λ?2a （n λ 为非零整数， n ∈N * ），试确定 λ 的值，使得对任意n ∈N * ，都有 c n+1＞ c n 成立．考点： 数列的求和；数列递推式．专题： 等差数列与等比数列．分析： （1）由 S +S =2S +1得 S ﹣S ﹣（S﹣ S ） =1，即 a ﹣ a =1（n ≥1），再验证n+2 nn+1 n+2n+1n+1nn+2n+1a ﹣ a =1，从而得到数列 {a } 是等差数列，并求出a 1 和公差 d ，由等差数列、等比数列的通项21n公式求出 a n ， b n ；（ 2）由（ 1）和题意求出 c n ，代入 c n+1﹣ c n 化简并将不等式转化为：（﹣ 1） n ﹣ 1λ＜ 2n ﹣ 1 恒成立，再对 n 分偶数、奇数讨论，分别分离出 λ，再由指数函数的单调性和 n 的取值，求出对应的最值，从而求出 c 的范围． 解答：解：（ 1）由 S n+2+S n =2S n+1+1 得， S n+2﹣S n+1﹣（ S n+1﹣ S n ） =1，所以 a n+2﹣ a n+1=1（n ≥1）（ 2 分）又 a 2﹣ a 1=1，所以数列 {a n } 是以 a 1=2 为首项， 1 为公差的等差数列．所以 a n =n+1．（ 4 分）因为 {b n +2} 是以 4 为首项， 4 为公比的等比数列．所以 b n=4n﹣ 2．（ 6 分）（2）因为 a n=n+1， b n=4n﹣ 2，所以 c n=4n+（﹣ 1）n﹣1λ?2 n+1．要使 c n+1＞ c n恒成立，需 c n+1﹣c n =4n+1﹣4n+（﹣ 1）nλ?2 n+2﹣（﹣1）n﹣1λ?2n+1＞ 0 恒成立，即 3?4n﹣3λ（﹣ 1）n﹣12n+1＞ 0 恒成立．所以（﹣1） n﹣ 1λ＜2n﹣ 1 恒成立．（ 9 分）①当 n 为奇数时，即λ＜ 2n﹣1恒成立，当且仅当 n=1 时， 2n﹣1有最小值1，所以λ＜ 1；（10 分）②当 n 为偶数时，即λ＞﹣ 2n﹣1 恒成立，当且仅当 n=2 时，﹣ 2 n﹣1有最大值﹣ 2．所以λ＞﹣ 2，（ 11 分）结合①②可知﹣ 2＜λ＜ 1．又λ为非零整数，则λ=﹣ 1．故存在λ=﹣ 1，使得对任意 n∈ N*，都有 c n+1＞ c n成立．（ 12 分）点评：本题考查等比、等差数列的通项公式，以及作差法解决数列不等式问题，恒成立问题转化为求函数的最值问题。