第01讲计算综合一-高思数学_5年级下第一讲计算综合一

麦粒数量形成的这串数列，就叫做等比数列．等比数列就是按照相同的倍数增加（或 减少）的数列，例如“麦粒数列”就是按照 2 倍的速度变大的，这个相同的倍数就是公比， “麦粒数列”的公比就是 2．
同等差数列一样，等比数列同样有首项、末项及项数．同学们可以想一想如何通过 首项和公比将等比数列的每一项都表示出来．等差数列求和是利用“倒序相加”或“配 对求和”的方法，那么等比数列如何求和呢？我们来看一个例题．
计算综合一
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1 计算综合一
1
五年级
下册第 1 讲
看完前面的故事，同学们可能有些疑问，真的需要那么多麦子吗？同学们可以试着 算一算：
从第一个棋盘开始，需要的麦子数分别为：1 粒、2 粒、4 粒、8 粒、16 粒、32 粒、64 粒、 128 粒、256 粒、512 粒、1024 粒、2048 粒、……，写到这里，同学们可以看出：开始的 时候麦粒数量并不大，但越到后面数量越多，最终会达到全世界都无法承受的程度．
练习
4. 数列 1，1，2，3，5，…中第 100 个数除以 3 的余数为多少？
4
计算综合一
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在数列的计算中，找到数列的规律是非常重要的．但有些数列的规律不容易被发现， 这就需要我们认真观察，仔细比对，从而找到那些隐藏的规律．
例题 5
观 察 数 列 1 ， 1 ， 3 ， 1 ， 3 ， 5 ， 1 ， …， 2007 ，
思考题
将从 1 开始的自然数按照如下图所示的规律排成数阵，数 1000 所在的行与 列中分别有一个最小的数，那么这两个数的和是多少？
1 2 9 10 ⋅⋅⋅
4 3 8 11 ⋅⋅⋅
5 6 7 12 ⋅⋅⋅
16 15 14 13 ⋅⋅⋅
17 ⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
5
五年级
下册第 1 讲
本讲知识点汇总
我国古代数学家也早就研究过等比数列的问题．《孙子算经》中有一个有趣的题目“出 门望九堤”：今有出门重九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏， 雏有九毛，毛有九色，问各几何？
有关等比数列的知识，同学们在初中高中还会继续学习，在这里只需掌握简单的等 比数列求和即可．下面我们来看一道复杂的分数计算的题目．
有七个老妇人同去罗马，每人有七只骡子，每只骡子背着七个袋子，每个袋子放有 七个面包，每个面包有七小刀随之，每把小刀配有七鞘，问列举之物全数共有几何？ 显 然这是一个等比数列的求和问题．
由此也基本解开了阿默斯之谜．原来阿默斯问题的意思是：今有七人，每人有七猫， 每猫食七鼠，每鼠食七只大麦穗，每穗可长成大麦七量器，由此可得之数列如何？当然 这仅仅是推测．
一、等比数列及等比数列“错位相减”法求和． 二、提取公因数，整体约分． 三、分类讨论，分组求和． 四、数列找规律．
作业
1. 有一块正方形的披萨，现在横一刀、竖一刀把披萨切成 4 块，接着对每一块小披 萨也进行同样的操作，然后再次对每一小块披萨进行同样的操作，最终有多少块小披萨？
2446668
2010
2009 的规律，求： 2010
（1）数列中第 2008 项是什么？
（2）数列中前 2008 项的和是多少？
分析 观察数列，你找到什么规律了吗？如何利用这些规律呢？
练习
5.
数列
1 1
，1 2
，
3 2
，1 3
，
3 3
，5 3
，1 4
，…中，第
100
项是什么？前
100
项的和是多少？
例题 2
计算：9
7 8
÷

9
7 8
+
19992 − 1999 + 1 19992 − 1999 ×1998 + 19982

．
分析 本题中最复杂的部分是
19992 −1999 + 1
，看上去很难算，但同
19992 −1999 ×1998 + 19982
学们不要被表象吓倒，认真想一想分子和分母之间有怎样的关系．
+
24
++
210 ；（2）
1 4
+
1 42
++
1 45
．
等比数列求和，最常用的是“错位相减”法 . 其基本步骤是： 1. 设等比数列的和为 S； 2. 等式两边同时乘以公比（或者公比的倒数）； 3. 两式对应的项相减，消去同样的项，求出结果．
2
计算综合一
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古代的等比数列
等比数列源于古代的一些实际问题．古埃及国王拉阿乌斯有位能干 的文书阿默斯．他用象形文字写了一部《算书》，记录了公元前 2000 年 ~ 公元前 1700 年间数学研究的一些成果．其中有这样一题，题中画了 一个阶梯，阶梯旁边标着数：7，49，343，2401，16807．并在数旁依 次画了人、猫、鼠、大麦和量器．原书上并无任何说明，这成为数学史 上的一个难解之谜，2000 多年中无人能解释． 直到中世纪，意大利数 学家斐波那契在 1202 年发表了《算盘全书》，书中有这样一题：
例题 1
计算：（1）1 + 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 ；
（2）1 +
1 3
+
1 32
+
1 33
+
1 34
+
1 35
+
1 36
+
1 37
．
分析 这是一个等比数列求和的问题 . 如果一个一个地计算会有点复杂，那么 该如何简便地算出数列的和呢？
练习
1.
计算：（1） 23
例题 3
从 1 到 2008 这 2008 个自然数的所有数字之和是多少？
分析 发现这个数列是一个等差数列，如果是求数列和，那很自然地想到配对 求和，那么求数字之和能不能用配对求和呢？
练习
3. 从 10 到 100 所有数的数字之和为多少？
例题 4
70 个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的 3 倍都恰好等于它两边两个数的和．这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3， 8，21，…．那么这 70 个数中，除以 6 余 1 的数有多少个？ 分析 很明显我们不能将所有除以 6 余 1 的数一个一个地列出来，不过我们可以 尝试着去计算一下，看看有没有规律可以利用．找到了规律，问题就好解决了．
练习
2.
计算：10
3 4
÷

4
3 8
+
20092
20092 − 20Βιβλιοθήκη Baidu9 + 1 − 2009 × 2008 + 20082

．
3
五年级
下册第 1 讲
在计算中，常用的巧算方法有：凑整、提取公因数、分组求和、倒序相加、找规律 等．有些题目用一种办法就能解决，有的题目可能几种办法都适用．同学们在做题的过 程中要注意多积累，多思考，多去寻找不同的方法解题．下面一个例题，看看你能想到 几种解决方法．