03.4修正单纯形法
单纯形法的基本原理
单纯形法的基本原理单纯形法是一种用于线性规划问题求解的数学方法，它的基本原理是通过不断地在可行解空间中移动，寻找到最优解的过程。
在实际应用中，单纯形法被广泛地应用于生产调度、资源分配、运输优化等领域，它的高效性和可靠性使得它成为了解决复杂实际问题的重要工具。
单纯形法的基本原理可以简单地概括为以下几个步骤：1. 初始可行解的构造。
在单纯形法中，首先需要构造一个初始的可行解。
这个可行解需要满足线性规划问题的约束条件，并且需要在可行解空间内。
构造初始可行解的方法有多种，常见的方法包括人工构造、单纯形表法等。
2. 迭代移动。
一旦得到了初始可行解，单纯形法就开始了迭代移动的过程。
在每一步迭代中，单纯形法会根据当前的可行解，寻找一个移动方向，并且沿着这个方向进行移动。
移动的目的是寻找到更优的解，直到找到最优解为止。
3. 优化目标的改善。
在每一步迭代中，单纯形法都会尝试改善优化目标的值。
优化目标通常是线性规划问题的目标函数值，单纯形法的目标是找到一个可行解，使得优化目标的值最小或最大。
4. 终止条件的判断。
单纯形法在迭代移动的过程中，需要不断地判断是否满足终止条件。
终止条件通常包括目标函数值不再改善、可行解空间已经被完全搜索等情况。
通过以上几个基本步骤，单纯形法可以在有限的迭代次数内找到线性规划问题的最优解。
它的高效性和可靠性使得它成为了解决实际问题的重要工具。
在实际应用中，单纯形法还可以通过一些改进的方法来提高求解效率，例如对初始可行解的选择、对移动方向的选择、对终止条件的判断等方面进行优化。
这些改进方法可以使得单纯形法更加适用于复杂的实际问题。
总的来说，单纯形法是一种强大的数学方法，它具有较高的求解效率和可靠性，可以被广泛地应用于各种领域的实际问题求解中。
通过深入理解单纯形法的基本原理，我们可以更好地应用它来解决复杂的实际问题，为各种决策问题提供科学的决策支持。
线性规划——单纯形法文档
线性规划——单纯形法设计文档——《通用优化模块》编写人：徐天爽编写时间：2010年06月完成2010年06月整理目录第一部分功能概述 (1)第二部分理论知识 (2)2.1 线性规划标准型 (2)2.2单纯形法 (4)2.2.1修正单纯形法 (4)2.2.2Bland规则 (7)第三部分程序主要内容 (9)第四部分程序测试 (10)备注 (17)参考文献 (18)第一部分功能概述单纯形法是线性规划算法的一种。
由于若线性规划问题有最优解，则一定存在一个基本可行解是最优解，因此单纯形法是通过沿着可行集的边界，从一个顶点转移到改善当前目标函数值的相邻定点，以此来寻找最优解。
程序编写了加入Bland规则的修正单纯形法，只需用户给定设计变量个数、约束条件个数、约束条件系数，委托矩阵操作类MatrixOperation进行矩阵运算，即可实现线性规划问题的优化。
第二部分 理论知识线性规划问题具备以下性质：定理1 若线性规划问题的可行域X 非空，则X 是一个凸集。
定理2 线性规划问题的每一个基本可行解x 都对应于可行域X 的一个顶点。
定理3 若线性规划问题有最优解，则一定存在一个基本可行解是最优解。
定理4 若线性规划问题有最优解，则目标函数的最优值一定可以再可行域X 的某个顶点上达到。
2.1 线性规划标准型定义1 如果目标函数是设计变量的线性函数，且约束条件也是关于设计变量的线性等式或线性不等式，则相应的数学问题就称为一个线性规划问题。
单纯形法计算问题的最优值需要将原问题统一为标准形式。
定义线性规划问题的标准形式为：定义2 给定线性规划问题的标准型为()()11min ..1,2,,01,2,,nj jj n ij j i j j z c x s t a x b i m x j n ==⎧=⎪⎪⎪==⎨⎪⎪≥=⎪⎩∑∑ (1)其中()01,2,,i b i m ≥= 。
即对目标函数一律求最小值；设计变量均非负；约束条件除非负约束条件之外一律为等式约束；约束条件的右端项一律非负。
教案4_单纯形法(改)
cj→ CB
2 0 3
-z
XB x1 x4 x2
b 2 8 3
-13
2 x1 1 0 0 0
3 x2 0 0 1 0
0 x3 1 -4 0 -2
0 x4 0 1 0 0
0 x5 -1/2 (2 ) 1/4 1/4
θ
4 12
X(2)=(2，3，0，8，0)T， z2 =13 =(2，
cj→ CB XB b
4
X* = (4，1，9，0，0)T , z* = 2
5.3 两阶段法
第一阶段： 人工变量之和最小化为目标函数。 第一阶段：以人工变量之和最小化为目标函数。 最小化为目标函数 min ω = x6+x7
只要原问题有可行解， 该最小化问题的最优目标函数值就 只要原问题有可行解， 是 0，解得的最优解 x6=0，x7=0，对应原问题一个基可行解。 ， ， ，对应原问题一个基可行解。 反之若该问题的最优解目标函数值大于零， 反之若该问题的最优解目标函数值大于零， 则说明原问题无可 行解。 行解。
第一阶段的单纯形表如下： 第一阶段的单纯形表如下：
cj CB 0 1 1 0 1 0 0 0 0 XB x4 x6 x7 x4 x6 x3 x4 x2 x3 b 11 3 1 10 1 1 12 1 1 0 0 x1 1 -4 -2 6 3 0 -2 0 3 0 -2 0 0 x2 -2 1 0 -1 -2 [1] 0 -1 0 1 0 0 0 x3 1 2 [1] -3 0 0 1 0 0 0 1 0 0 x4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 x5 0 -1 0 1 0 -1 0 1 -2 -1 0 1 1 x6 0 1 0 0 0 1 0 0 2 1 0 1 1 x7 0 0 1 0 -1 -2 1 3 -5 -2 0 1 — 1 — 4 — —
改进单纯形法讲解1
根据矩阵理论，第二步迭代表中的任何数都可由B2－1左乘原始 数据得到 1
如：p‘
2＝B2
－1
p2＝
1 0 -
1 0
-
1 0 4 1 4 1 4
p‘3＝B2－1 p3＝
p‘4＝B2－1 p4＝
CB 0 0 0 8 6 8 Cj XB x3 x4 σ x3 x2 σ x1 x2 σ b 12 20 7 5 4 4 6 x1 2 1 6 7/4 1/4 4 1 0 0 8 x2 1 4 8 0 1 0 0 1 0 0 x3 1 0 0 1 0 0 4/7 －1/7 －16/7 0 x4 0 1 0 －1/4 1/4 －2 －1/7 2/7 －10/7 θ 12/1=12 20/4=5 7/(7/4)=4 5/(1/4)=20
例1. 已知: 迭代前的基为: 1 0 0 0 B=( p1, p2, p3, p4 )= 0 1 0 0 0 0 0 1 迭代后的基为: 1 0 0 1 0 0 0 0
1 1
=I
B =(p1, p2, p5, p4) =
-2 0 3 0 5 0 4 1
第r列 -a’1k/a’rk -a’2k/a’rk . . . 1/a’rk . . . . . . -a’mk/a’rk
改进单纯形法的计算步骤可以归结为： (1)在下一步迭代的基变量确定后，求新单纯形表中基矩阵B的逆 θ 矩阵B－1，并求基可行解XB＝B－1 b C XC b x6 x8 x0 x0 0 x 12 2 1 1 0 12/1=12 T -1 0 x 20 1 4 0 1 20/4=5 (2)计算和单纯形乘子Y = CB B 6 8 0 0 σ 0 x 7 7/4 0 1 －1/4 7/(7/4)=4 并计算非基变量的检验数 8 x 5 1/4 1 0 1/4 5/(1/4)=20 4 0 0 σ －2 σN＝CN－CBB－1N＝ CN－ YN 6 x 4 1 0 4/7 －1/7 8 x 4 0 1 2/7 －1/7 － 1 0 0 σ －16/7 －10/7 σj＝Cj－CBB Pj＝ Cj－ Y Pj ， 如果有σj ≤0，达到最优解，计算结束。否则转入下一步 (3)根据max {l ∣ l > 0，l∈IN } = k,确定 xk 为换入变量(即为新 基的基变量) 计算P‘k＝B－1Pk＝（a1k’、a2k’、…… amk’ ） 若aik’ ≤0，线性规划问题有无界解，计算结束。否则转入下一步 （4）按最小比值原则来确定第r行基变量xr为换出变量
单纯形法
单纯形法(SM ，simplex method)首先在n 维欧氏空间n E 中构造一个包含1n +顶点的凸多面体，求出各顶点的函数值并确定其中的最大值，次大值和最小值。
然后通过反射、扩张、内缩、缩边等求出一个较好解，用之取代最差点，从而构成新的多面体。
如此迭代可求得一个极小点。
具体步骤如下：①、 确定初始点。
②、 反射操作：求出1n +个顶点的函数值，确定其中最大值G f ，次大值H f 和最小值L f 。
除去最大值点G X ，计算剩余n 个点的形心X ，然后求出G X 关于X的对称点(2)n X +，计算(2)()n f X +。
若(2)()n L f X f +<，则令(3)(2)()n n X X X X γ++=+-，其中1γ>，取2γ=，并计算(3)()n f X +，若(3)(2)()()n n f X f X++<则用(3)n X +取代G X 转步骤⑤，否则用(2)n X +取代G X 转步骤⑤。
③、 若(2)()n L H f f X f +≤≤，则用(2)n X +取代G X 步骤⑤。
④、 若(2)()n H f X f +≥，则需要内缩，(2)(')min{(),()}n H f X f X f X +=，令(4)(')n X X X X β+=+-，其中0.5β=，计算(4)()n f X +，若(4)()(')n f X f X +≤，则用(4)n X +取代G X ，并转步骤⑤。
若(4)()(')n f X f X +>则缩边，即()/2i i L X X X =+，(1,2,,1)i n =+ ，转步骤⑤。
⑤、 若120.511{[()()]}1n i i f X f X n ε+=-<+∑，则停止，否则转②。
SM 简单，计算量小，优化快速，不需要函数可导。
但对初始值依赖性强，容易陷入局部极小，而且优化效果随函数维数增加明显下降。
单纯形法图解法及原理
单纯形法中的回归分析和误差分析
回归分析
可以通过对单纯形法求解结果进行回归分析，来评 估分析模型的预测准确性和误差范围。
误差分析
对求解过程中出现的误差进行识别和纠正，可以提 高最终结果的精度和可靠性。
单纯形法中的灵敏度分析
1 定义
指在问题模型的基础上， 分析经济因素变动后，最 优解是否发生变化及变化 的情况。
单纯形法在金融中的应用
• 风险投资的有效分配和投资策略的优化 • 金融风险评估和监控，包括信用风险、市场风险和操作风险等 • 资产组合的优化选取和资产价格预测分析，对于促进金融市场的稳定
化和发展有着重要的作用。
单纯形法在工程中的应用
设计优化
单纯形法可以帮助设计和优化复杂的工程模型，包 括航空航天、交通工程、化工工程等多个领域。
设备管理
通过对设备状况的分析和优化，可以减少维护需求 和停机时间，提高工艺效率和生产率。
单纯形法在决策分析中的应用
1 多因素决策
提供一种有效的决策分析方法，可以支持并评估多因素决策，如投资策略、市场营销、 人力资源等。
2 风险评估
通过单纯形法进行风险评估，可以识别和监控潜在风险，促进企业决策者更加科学的做 出决策，并降低风险损失。
可靠性分析
用于识别和减少潜在风险，从而提高模型求解结果 的可靠性。可靠性分析方法可以借鉴于统计学中的 相关理论与方法。
单纯形法在物流中的应用
供应网络优化
单纯形法可以应用在供应网络优化中，包括货物流通路径分析，成本和生产率优化等模型的 构建和求解等。
运输路线规划
单纯形法可以辅助选择最佳的运输路线，并对路线进行规划和优化，从而提高物流效率和降 低成本。
单纯法的工作原理
修正单纯形法求解约束优化问题
修正单纯形法求解约束优化问题姓名王铎学号2007021271班级机械078日期2010/6/23 一．问题分析求解约束优化问题中，假如目标函数和约束条件都是线性的，像这类约束函数和目标函数都是线性函数的优化问题称作线性规划问题。
从实际问题中建立数学模型一般有以下三个步骤：1. 根据影响所要达到目的的因素找到决策变量；2. 由决策变量和所在大道目的之间的函数关系确定目标函数；3. 有决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件；求解线性规划问题的基本方法是单纯形法，而本文研究的是修正单纯形法。
1965 年由J.A.Nelder 等提出。
是在基本单纯形优化法的基础上，引入了反射、扩展与收缩等操作规则，变固定步长推移单纯形为可变步长推移单纯形，在保证优化精度的条件下，加快了优化速度。
是各种单纯形优化法在分析测试中应用最广的一种。
二．数学模型1、线性规划问题的formalization问题(1.1) 称为线性规划问题：x= arg min_x c A T xs.t. Ax=bx>=0 (1.1)其中x为n维列向量，A为m*n的矩阵，b和c分别为m,n维的常数向量。
任意一个线性不等式组约束下求解线性函数的最大最小值问题都可以归结到问题(1.1) 来。
比如A(i,:) x <= b(i)<=>A(i,:) x + y(i) = b(i)y(i)>=0 (1.2)A(i,:) x >= b(i)<=>A(i,:) x - y(i) = b(i)y(i)>=0 (1.3)x<=>x=x'-x"x'>=0x">=0 (1.4)2、单纯形法设m<n即变量个数大于约束的个数。
(否则若m=n则(1.1)的约束可能唯一确定X,最优问题就没有意义，若m>n则可能符合约束的x 不存在，最优问题同样没有意义。
单纯形法的计算步骤及应用
（4-16）
（4-17）
bi' bi
bl ai ,k ( i 1,2, , n; i l ) al ,k
这样经过变换以后就得到了新的增广矩阵 p1 … pl pm pm+1 pk pn b
a1,k 1 a l ,k 1 0 al ,k a m ,k 0 a l ,k 0 a
单纯形法介绍及相关问题
标准型线性规划问题 max s=c1x1+c2x2+…+cnxn s.t. a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2
an1x1+an2x2+…+annxn=bn xj≥0(j=1,2,…,n)
单纯形法介绍及相关问题
例1 已知约束如下
（4-11）
单纯形法介绍及相关问题
2、基本可行解之间的迭代
在讨论中我们假设对方程组（4-10）的系数增广矩阵 p1 … pl pm pm+1 pk pn b
a1,m1 1 1 al ,m1 1 am ,m1
a1,m1 a1,n al ,m1 al ,n am ,m1 am ,n
' a1 ,m 1 ' 0 a1 ,n
' l ,m 1
0
1 al' ,n
1 a'm ,m 1 0 a'm ,n
' b1 bl' ' bm
第一节单纯形法的矩阵描述及改进单纯形法介绍-精品文档
矩阵单纯形法计算的描述
当基变量为 X B 时，新的单纯形表
基变量 非基变量
C B
X Bb B cj zj
1
X B I 0
X X N s 1 BN B 1 1 C C B N C N B BB
当前基解
当前检验数
单 大 纯 规 形 对 模 法 偶 线 矩 问 性 题 阵 规 描 划 述
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修正单纯形法简介
原因：
单纯形法的目的是要求问题的最优解， 而在迭代过程中，单纯形表中的某些列与 求最优解关系不大。因此，对单纯形法进 行修正。
思路：
~ ~ , P b , P , , 每次迭代关键求出 B k k j i
1
需要换入的变量对应的列
单 大 纯 规 形 对 模 法 偶 线 矩 问 性 题 阵 规 描 划 述
特点：
1. 2.
具有一定的输入和输出 在将输入转换成输出的过程中，努力实现自身的决策 目标。
单 大 纯 规 形 对 模 法 偶 线 矩 问 性 题 阵 规 描 划 述
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重要概念
决策单元的相对有效性
评价的依据是决策单元的“输入”和“ 输出”数据，根据输入和输出数据来评价决 策单元的优劣。 决策单元的相对有效性（即决策单元的优劣 ）被称为DEA有效，它用数学规划模型计 算比较决策单元之间的相对效率，为评价对 象作出评价。
第一节 单纯形法的矩阵描述 及改进单纯形法介绍
单纯形法的矩阵描述
继续
改进单纯形法介绍
返回
单 大 纯 规 形 对 模 法 偶 线 矩 问 性 题 阵 规 描 划 述
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单纯形法的矩阵描述
设线性规划问题
03第三章 单纯形法
第三章 单纯形法在线性规划的计算求解中，应用最多且最著名的就是单纯形法。
这种方法是美国运筹学家G .B.Dantzig 丹捷格在1947年提出的。
后来经过人们多次改进，形成了许多变种。
实践证明单纯形法是一种使用方便、行之有效的算法。
§3.1 单纯形法的原理基本可行解的存在定理已经表明，若线性规划有最优解，则一定存在最优基本可行解，因此求线性规划问题就归结为寻找最优基本可行解。
单纯形法的基本思想就是从一个基本可行解出发，检查该基本可行解是否为最优解；若不是，则再设法求另一个未检查过的基本可行解，如此继续，直到查询到最优解为止。
按照以上的思路，需要解决三个难题： 1、 如何求出第一个基本可行解？2、 如何判断这个基本可行解就是最优解？3、 若不是最优解，如何从一个基本可行解过渡到另一个未检查过的基本可行解？ 第一个问题的彻底解决尚需留待今后，但是我们知道，求基本可行解就是解线性方程组=A x B ，由于且()r m =A ，故可以解出m 个变量，称之为基本变量，剩下的n-m 个变量称之为自由变量。
于是，最简单的方法就是令所有的自由变量的值为零相应得到的解就是基本解。
例3.1 考虑线性规划1234134123m in 324..246350,1,2,3,4j z x x x x s t x x x x x x x j =-++-+=-++=≥= （3.1）把约束方程写成表格的形式，如表3-1：20 -4 1 6 -1 1 3 0 5从上述表格的左端可以看出，由第二、四列构成一个单位子矩阵，或曰子块，即对角元为1，其余为0，因此把2x 和4x 解出，即把2x 和4x 作为基本变量，余下1x 和3x 作为自由变量。
41321362453x x x x x x =-+=+- （3.2）令所有的自由变量130x x ==，而426,5x x ==，从而得到一个基本解(0,5,0,6)T 。
若需要判断该基本解是否基本可行解？只需看左端有单位子矩阵时，右列的元素是否都是非负，若是，则为基本可行解。
35改进单纯形法简介
-15/2
1/2 1/2
0
0 1
40 0
x1 x5
B4-1
50
x2
15/2
0
1
3/4
-1/4
0
1 0 0
1 0 0
B1= (P3 P4 P5)= 0 1 0
0 0 1
B1 -1 = 0 1 0
0 0 1 1 0 -1 B2 -1 = 0 1 -1
10
1 0 2
B2= (P3 P4 P2)= 0 1 2
1 0 -1 0 1 -1 0 0 1/2
19
3.5 改进单纯形法简介
特例： max f=CX
AX b
max f=CX+0·X′
AX+EX′= b
X0
令A′=(AE) C′=(CO)
X, X′0
C′- CB B-1 A′=(CO)- CB B-1 (AE)
=(C-CB B-1 A
B-1 A′= B-1(AE)=(B-1 A B-1 E)
7
3.5 改进单纯形法简介
(2)
λ3 = -40 ,λ4= 0
1 -3 0 -1 2 1/2
P3 =
P5 =
8
3.5 改进单纯形法简介
40
x1
50
x2
0
x3
0
x4
0
x5
CB
xB
x3 x4
0
30 60
40
1 3
50
2 2
0
1 0
0
0 1
0
0 0
0 0
B1-1
0
0
x5
xB x3
24
单纯形法图解法及原理
则称X为 D的顶点。
31
定理1：LP问题的可行解域一定是凸集。
引理1：线性规划问题的可行解X为基可 行解的充分必要条件是：X的非 零分量(>=0)所对应的系数矩阵
A的列向量是线性无关。？
32
定理2：线性规划问题的基可行解对应线性 规划问题可行域（凸集）的顶点。
10 20
30 40
x1
11
例2 解线性规划
max z x1 x2
2x1 x2 2
s.t
.
x1 x1
2
x2 x2
2 5
x1 0, x2 0
有唯一最优解
2x1 x2 2
x2
z 3 x 1,4T
z 1.5
A2
z0
A1
40 2x1+x2 50
30
20 可行域
10
目标函数是以Z作为 参数的一组平行线
x2 = Z/30-（5/3）x1
4x1+3x2 120
10 20
30 40
x1 9
x2
50
当Z值不断增加时，该直线
40 2x1+x2 50 x2 = Z/30-（5/3）x1
沿着其法线方向向右上方移
30
动。
令X4=X5=0 X=(12, 12, -6, 0, 0)T
基本解， 但不可行
Z=40X1 +50X2
=40[12-(1/3 X4 -1/3 X5)] +50[12- 1/2 X5 ]
= 1080+(- 40/3 X4 -35/3 X5 )
第3章(单纯形法的运用与改进)1
3.1.2 两阶段法
依据推论3.1 ，可将问题(A)的求解分为两阶
段：
阶段 1 从人工基开始，用单纯形法求解问
题(B) ，或是得到问题(A)的一个可行基和相应的
基可行解，或是证实问题(A)沒有可行解； 阶段 2 从阶段1得到的初始可行基出发，用 单纯形法寻找问题 (A) 的最优解，或是查明问题 (A) 沒有最优解。
-1 x3
0 0 1 0 0 0 1 0
0 x4
1 0 0 0 1 0 0 0
0 x5
0 -1 0 -M -2 -1 0 -1
0 - 16
-M x6
0 1 0 0 2 1 0 1- M
-M x7
θ
1 -
b
10 1 1
x1
3 0 -2 -1
i
-z
0 -1 -1 x4 x2 x3 12 1 1 2
j
4 -
原理与应用 ( 续 )
结论3.1 问题 ( B ) 的最优基的第l个基变量 为人工变量，并且目标函数最优值等于零，而最 优单纯形表中非人工变量在第 l 行的系数全为零， 则表示问题 ( A) 的第 l 个约束方程是多余的，应 予删除。
标准形式线性规划问题的 m个约束方程被假 设为是相互独立的，上述结论中的情形在理论上 不会出现，但在实际中经常碰到。
-1 x3
1 2 [1]
0 x4
1 0 0
0 x5
0 -1 0
-M x6
0 1 0
-M x7
0 0 1 0 -M -1 -2 1 1-3M
θ
11
x1
1 -4 -2
i
3/2 1
改进单纯形法PPT课件
4
1
3
0
0
0 0 1/ 4 0 1
2, 1/ 4 对应 x3, x5
正检验数 换入变量
确定换出变量:
min
B21b B21P5
i i
B21P5
0
min
2 1/
2
,
8, 3 2 1/ 4
C=（CB, CN）
4
若经过迭代运算后，可表示为：
基变量
XB
X B1 X S1
可包含原基变量和松弛变量
非基变量：X N
X X
N1 S2
;
相应有:
系数矩阵A
B N
;
其中N
N1
S2
;
松弛变量：X S
X X
1 0 01 2
2,
3
(0,
0,
0)
0
1
0
4
0
2,
3 对应 x1, x2
0 0 1 0 4
换入变量
21
(3) 确定换出变量
表示选择>0的元素
min
B01b B01P2
i i
B01P2
B11N1
1
1
0
4
4
0
1/ 4 1 1/ 4
最优化理论与方法 单纯形法
如果 zk − ck ≤ 0 则停止计算，现行基本可行解是最优解；否则，下一步。 则停止计算，现行基本可行解是最优解 否则，下一步。 最优解；
3. 计算主列 yk = B −1 pk 。若 yk ≤ 0 ,则停止计算 无有限最优解 否则下一步。 则停止计算,无有限最优解 则停止计算 无有限最优解; 否则下一步。 4. 把主列置于逆矩阵表的右边，组成下表： 把主列置于逆矩阵表的右边，组成下表： 逆矩阵表的右边
线性规划的可行域的极点集与基本可行解集等价； 线性规划的可行域的极点集与基本可行解集等价； 可行域的极点集 等价 当线性规划(2.1.2)有可行解，则一定存在基本可行解。 有可行解，则一定存在基本可行解。 当线性规划 有可行解 当线性规划(2.1.2)存在最优解时，则一定存在一个基本可行解 存在最优解时， 当线性规划 存在最优解时 是目标函数的最优解。（最优基本可行解） 。（最优基本可行解 是目标函数的最优解。（最优基本可行解）
w xB B −1 cB b b xk zk − ck yk
按最小比值确定主行， 按最小比值确定主行，令
bi br = min | yik > 0 yrk yik
为主行， ， r 为主行，以
yrk 为主元
进行主元消去，然后去掉原来的主列，返回第 步 进行主元消去，然后去掉原来的主列，返回第2步。
即
min e xa s.t. Ax + xa = b x ≥ 0, xa ≥ 0
T
用单纯形法求解原问题。
设得到的最优基本可行解是 ( x T , xaT )T ，此 时必有下列三种情况之一： （1） xa ≠ 0 （无可行解） （2） xa = 0 且 xa 的分量都是非基变量 （得基本可行解 x = x ） （3） xa = 0 且 xa 的某些分量是基变量 （用主元消去法）
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如
min f = − 3 x1 + x 2 + x 3 x1 − 2 x 2 + x 3 ≤ 11 s.t . − 4 x1 + x 2 + 2 x 3 ≥ 3 2 x1 − x 3 = − 1 x j ≥ 0, j = 1, 2,3
解：
引入松弛变量及人工变量，化为标准形式
min f = −3x1 + x2 + x3 + 0 x4 + 0 x5 + Mx6 + Mx7 x1 − 2 x2 + x3 + x5 = 11 s.t. − 4 x1 + x2 + 2 x3 − x4 + x6 = 3 − 2 x1 + x3 + x7 = 1 x j ≥ 0, j = 1,2,⋯,7
迭代3（2）
基矩阵
B = (P1 1 − 2 1 P3 ) = − 4 1 2 − 2 0 1
P2
B −1
1 3 2 3 − 5 3 1 = 0 −2 2 3 4 3 − 7 3
迭代3（3）
可行解
1 3 2 3 − 5 311 4 −1 b = B b = 0 1 − 2 3 = 1 2 3 4 3 − 7 3 1 9
第四节 修正单纯形法
单纯形法的解题思路（一）
在单纯形法计算过程中，我们的目的是求出问题 的最优解，判断是否得到最优解的原则是检验数 的符号，当求最大值时，要求Zj-Cj≥0；当求最 小值时，要求Zj-Cj≤0。如果不满足条件，可根 据Zj-Cj的大小找出主元列（∣Zj-Cj∣最大者）， 找出主元列Pj*后，再计算Qi，而后，根据Qi大小 找出主元行（Qi最小者），主元列所对应变量为 调入变量，主元行所对应的变量为调出变量，调 换基变量后，再重新计算检验数进行判断。
Z 4 − C 4 = ΠP4 − C 4 = (0 M 0 − 2M + 1) − 1 − 0 = − M < 0 0
比较检验数大小，选取x2为调入变量，接下去寻找调出变量。
迭代1（6）
1 0 − 1 − 2 − 2 −1 P2 = B P2 = 0 1 − 2 1 = 1 0 0 1 0 0 ⋯⋯ x5 ⋯⋯ x6 ⋯⋯ x3
− bi = min1 1 = 1 min Qi = min P i2 −
⋯⋯ x5 ⋯⋯ x6 ⋯⋯ x3
∴应选取x6为调出变量。
迭代2（1）
基变量为x5，x2，x3， 基变量对应的目标函数系数向量 CB=(c5 c2 c3)=(0 1 1)
初始数据（1）
基变量为x5，x6，x7， 基变量 基变量对应的目标函数系数向量 CB=（c5 c6 c7)=(0 M M)
初始数据（2）
基矩阵
B =
(P 5
P6
1 P7 ) = 0 0
0 1 0
0 0 1
基矩阵的逆阵
B
−1
1 = B = 0 0
0 1 0
迭代1（2）
基矩阵
B = (P5 P6 1 P3 ) = 0 0 0 1 0 1 2 1
基矩阵的逆阵
1 = 0 0 0 1 0 − 1 − 2 1
B
−1
迭代1（3）
可行解
1 −1 b = B b = 0 0
0 1 0
C = (− 3 1 1 0 0 M
M)
用单纯形法的表格形式解题
段
Cj ↓ 0
→ 基 x5 x6 x7 →
0 b 11 3 1 4M 10 1 1 M+1 12 1 1 -2 4 1 9 -2
-3 P1 1 -4 -2 -6M+3 3 0 -2 1 （3） ） 0 -2 1 1 0 0 0
1 P2 -2 1 0 M-1 -2 （1） ） 0 M-1 0 1 0 0 0 1 0 0
单纯形法的解题思路（二）
由此可见，在用单纯形法解题时，每段真 正起作用的只是某些数据，Zj-Cj、bi、Pj*， 如果我们用计算机解单纯形法，那些作用 不大的数据就会占用大量内存，影响解题 速度，费用大，所以我们有必要对单纯形 法进行修正，以方便计算机的计算。
修正单纯形法的思路
修正的单纯形法的基本思路是：只计算与 最优解关系最为密切的几个数据，而每一 段的计算都以前一段的计算为基础进行推 算，这样，单纯形法也就需要记住一些推 导公式。
写出相关的矩阵和向量
1 − 2 1 0 1 0 0 A = − 4 1 2 − 1 0 1 0 − 2 0 1 0 0 0 1 11 b=3 1
1 − 2 1 0 1 0 0 P1 = − 4 P2 = 1 P3 = 2 P4 = − 1 P5 = 0 P6 = 1 P7 = 0 − 2 0 1 0 0 0 1
0 0 1
初始数据（3）
初始基本可行解
11 b = 3 1
初始数据（4）
求检验数
Z j − C j = C B Pj − C j = C B B −1 Pj − C j = ΠPj − C j
1 0 0 M ) 0 1 0 = (0 M 0 0 1
11 1 bi min Qi = min = min 3 2 = 1 P i3 11
⋯⋯ x5 ⋯⋯ x6 ⋯⋯ x7
⋯⋯ x5 ⋯⋯ x6 ⋯⋯ x7
∴应选取x7为调出变量
迭代1（1）
基变量为x5，x6，x3， 基变量对应的目标函数系数向量 CB=(c5 c6 c3)=(0 M 1)
⋯ x1 ⋯ x2 ⋯ x3
迭代3（4）
求检验数
Z j − C j = C B Pj − C j = C B B Pj − C j = ΠPj − C j
Π = C B B −1 = (0 M
M)
初始数据（5）
∵基变量的检验数均为零 ∴此时只需计算非基变量对应的检验数：
1 M ) − 4 − (− 3) = −6 M + 3 < 0 − 2
Z 1 − C1 = Π P1 − C1 = (0
M
Z 2 − C 2 = Π P2 − C 2 = (0
−1
Π = C B B −1 = (0 M
− 2 M + 1)
迭代1（5）
1 Z 1 − C1 = ΠP1 − C1 = (0 M − 2M + 1) − 4 − (− 3) = 1 > 0 − 2 − 2 Z 2 − C 2 = ΠP2 − C 2 = (0 M − 2M + 1) 1 − 1 = M − 1 > 0 0
用修正单纯形法解题
C = (− 3 1 1 0 0 M
1 − 2 1 0 1 0 0 A = − 4 1 2 − 1 0 1 0 − 2 0 1 0 0 0 1
M)
11 b=3 1
1 − 2 1 0 1 0 0 P1 = − 4 P2 = 1 P3 = 2 P4 = − 1 P5 = 0 P6 = 1 P7 = 0 − 2 0 1 0 0 0 1
0 Z 4 − C 4 = ΠP4 − C 4 = (0 1 − 1) − 1 − 0 = −1 < 0 0
比较检验数大小，选取x1对应的变量为调入变量， 接下去寻找调出变量。
迭代2（6）
1 2 − 5 1 3 −1 P1 = B P1 = 0 1 − 2 − 4 = 0 0 0 1 − 2 − 2 ⋯⋯ x5 ⋯⋯ x 2 ⋯⋯ x3
− 1 11 10 − 2 3 = 1 1 1 1
迭代1（4）
求检验数
Z j − C j = C B Pj − C j = C B B Pj − C j = Π Pj − C j
1 0 −1 1) 0 1 − 2 = (0 M 0 0 1
12 3 bi min Qi = min = min − = 4 P i1 −
⋯⋯ x5 ⋯⋯ x 2 ⋯⋯ x3
∴应选取x5为调出变量。
迭代3（1）
基变量为x1，x2，x3， 基变量对应的目标函数系数向量 CB=(c1 c2 c3)=(-3 1 1)
迭代2（4）
求检验数
Z j − C j = C B Pj − C j = C B B −1 Pj − C j = ΠPj − C j
1 2 − 5 = (0 1 1) 0 1 − 2 = (0 1 − 1) 0 0 1
Π = C B B −1
迭代2（5）
1 Z 1 − C1 = ΠP1 − C1 = (0 1 − 1) − 4 − (− 3) = 1 > 0 − 2
1 P3 1 2 （1） ） 3M-1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0
0 P4 0 -1 0 -M 0 -1 0 -M -2 -1 0 -1 -2/3 -1 -4/3 -1/3
0 P5 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1/3 0 2/3 -1/3
M P6 0 1 0 0 0 1 0 0 2 1 0 -M+1 2/3 1 4/3 -M+1/3