03.4修正单纯形法

0 M ) − 1 − 0 = − M < 0 0
以上检验数中，Z2-C2>0，Z3-C3>0，比较大小，则选取Z3-C3对 应的变量x3为调入变量，接下去寻找调出变量。
初始数据（7）
1 0 0 1 1 −1 P3 = B P3 = 0 1 0 2 = 2 0 0 1 1 1
− 1 11 10 − 2 3 = 1 1 1 1
迭代1ຫໍສະໝຸດ Baidu4）
求检验数
Z j − C j = C B Pj − C j = C B B Pj − C j = Π Pj − C j
1 0 −1 1) 0 1 − 2 = (0 M 0 0 1
迭代2（4）
求检验数
Z j − C j = C B Pj − C j = C B B −1 Pj − C j = ΠPj − C j
1 2 − 5 = (0 1 1) 0 1 − 2 = (0 1 − 1) 0 0 1
Π = C B B −1
迭代2（5）
1 Z 1 − C1 = ΠP1 − C1 = (0 1 − 1) − 4 − (− 3) = 1 > 0 − 2
C = (− 3 1 1 0 0 M
M)
用单纯形法的表格形式解题
段
Cj ↓ 0
→ 基 x5 x6 x7 →
0 b 11 3 1 4M 10 1 1 M+1 12 1 1 -2 4 1 9 -2
-3 P1 1 -4 -2 -6M+3 3 0 -2 1 （3） ） 0 -2 1 1 0 0 0
1 P2 -2 1 0 M-1 -2 （1） ） 0 M-1 0 1 0 0 0 1 0 0
− bi = min1 1 = 1 min Qi = min P i2 −
⋯⋯ x5 ⋯⋯ x6 ⋯⋯ x3
∴应选取x6为调出变量。
迭代2（1）
基变量为x5，x2，x3， 基变量对应的目标函数系数向量 CB=(c5 c2 c3)=(0 1 1)
0 Z 4 − C 4 = ΠP4 − C 4 = (0 1 − 1) − 1 − 0 = −1 < 0 0
比较检验数大小，选取x1对应的变量为调入变量， 接下去寻找调出变量。
迭代2（6）
1 2 − 5 1 3 −1 P1 = B P1 = 0 1 − 2 − 4 = 0 0 0 1 − 2 − 2 ⋯⋯ x5 ⋯⋯ x 2 ⋯⋯ x3
初始数据（1）
基变量为x5，x6，x7， 基变量 基变量对应的目标函数系数向量 CB=（c5 c6 c7)=(0 M M)
初始数据（2）
基矩阵
B =
(P 5
P6
1 P7 ) = 0 0
0 1 0
0 0 1
基矩阵的逆阵
B
−1
1 = B = 0 0
0 1 0
迭代2（2）
基矩阵
B = (P5 1 − 2 1 P3 ) = 0 1 2 0 0 1
P2
B
−1
1 = 0 0
2 1 0
− 5 − 2 1
迭代2（3）
可行解
1 2 − 5 11 12 −1 b = B b = 0 1 − 2 3 = 1 0 0 1 1 1 ⋯ x5 ⋯ x2 ⋯ x3
用修正单纯形法解题
C = (− 3 1 1 0 0 M
1 − 2 1 0 1 0 0 A = − 4 1 2 − 1 0 1 0 − 2 0 1 0 0 0 1
M)
11 b=3 1
1 − 2 1 0 1 0 0 P1 = − 4 P2 = 1 P3 = 2 P4 = − 1 P5 = 0 P6 = 1 P7 = 0 − 2 0 1 0 0 0 1
写出相关的矩阵和向量
1 − 2 1 0 1 0 0 A = − 4 1 2 − 1 0 1 0 − 2 0 1 0 0 0 1 11 b=3 1
1 − 2 1 0 1 0 0 P1 = − 4 P2 = 1 P3 = 2 P4 = − 1 P5 = 0 P6 = 1 P7 = 0 − 2 0 1 0 0 0 1
0 0 1
初始数据（3）
初始基本可行解
11 b = 3 1

初始数据（4）
求检验数
Z j − C j = C B Pj − C j = C B B −1 Pj − C j = ΠPj − C j
1 0 0 M ) 0 1 0 = (0 M 0 0 1
Π = C B B −1 = (0 M
M)
初始数据（5）
∵基变量的检验数均为零 ∴此时只需计算非基变量对应的检验数：
1 M ) − 4 − (− 3) = −6 M + 3 < 0 − 2
Z 1 − C1 = Π P1 − C1 = (0
M
Z 2 − C 2 = Π P2 − C 2 = (0
M Qi P7 0 0 1 0 -1 -2 1 -3M+1 -5 -2 1 -M-1 -5/3 -2 -7/3 -M+2/3 1 11 3/2 1
注
1
M M Zj-Cj 0
→
x5 x6 x3 →
2
M 1 Zj-Cj 0
→
x5 x2 x3 → x1 x2 x3 →
→
3
1 1 Zj-Cj -3
4
1 1 Zj-Cj
第四节 修正单纯形法
单纯形法的解题思路（一）
在单纯形法计算过程中，我们的目的是求出问题 的最优解，判断是否得到最优解的原则是检验数 的符号，当求最大值时，要求Zj-Cj≥0；当求最 小值时，要求Zj-Cj≤0。如果不满足条件，可根 据Zj-Cj的大小找出主元列（∣Zj-Cj∣最大者）， 找出主元列Pj*后，再计算Qi，而后，根据Qi大小 找出主元行（Qi最小者），主元列所对应变量为 调入变量，主元行所对应的变量为调出变量，调 换基变量后，再重新计算检验数进行判断。
单纯形法的解题思路（二）
由此可见，在用单纯形法解题时，每段真 正起作用的只是某些数据，Zj-Cj、bi、Pj*， 如果我们用计算机解单纯形法，那些作用 不大的数据就会占用大量内存，影响解题 速度，费用大，所以我们有必要对单纯形 法进行修正，以方便计算机的计算。
修正单纯形法的思路
修正的单纯形法的基本思路是：只计算与 最优解关系最为密切的几个数据，而每一 段的计算都以前一段的计算为基础进行推 算，这样，单纯形法也就需要记住一些推 导公式。
12 3 bi min Qi = min = min − = 4 P i1 −
⋯⋯ x5 ⋯⋯ x 2 ⋯⋯ x3
∴应选取x5为调出变量。
迭代3（1）
基变量为x1，x2，x3， 基变量对应的目标函数系数向量 CB=(c1 c2 c3)=(-3 1 1)
M
− 2 M ) 1 − 1 = M + 1 > 0 0
初始数据（6）
Z 3 − C3 = ΠP3 − C3 = (0 M 1 M ) 2 − 1 = 3M − 1 > 0 1
Z 4 − C 4 = ΠP4 − C 4 = (0 M
迭代1（2）
基矩阵
B = (P5 P6 1 P3 ) = 0 0 0 1 0 1 2 1
基矩阵的逆阵
1 = 0 0 0 1 0 − 1 − 2 1
B
−1
迭代1（3）
可行解
1 −1 b = B b = 0 0
0 1 0
⋯ x1 ⋯ x2 ⋯ x3
迭代3（4）
求检验数
Z j − C j = C B Pj − C j = C B B Pj − C j = ΠPj − C j
1 P3 1 2 （1） ） 3M-1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0
0 P4 0 -1 0 -M 0 -1 0 -M -2 -1 0 -1 -2/3 -1 -4/3 -1/3
0 P5 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1/3 0 2/3 -1/3
M P6 0 1 0 0 0 1 0 0 2 1 0 -M+1 2/3 1 4/3 -M+1/3
Z 4 − C 4 = ΠP4 − C 4 = (0 M 0 − 2M + 1) − 1 − 0 = − M < 0 0
比较检验数大小，选取x2为调入变量，接下去寻找调出变量。
迭代1（6）
1 0 − 1 − 2 − 2 −1 P2 = B P2 = 0 1 − 2 1 = 1 0 0 1 0 0 ⋯⋯ x5 ⋯⋯ x6 ⋯⋯ x3
如
min f = − 3 x1 + x 2 + x 3 x1 − 2 x 2 + x 3 ≤ 11 s.t . − 4 x1 + x 2 + 2 x 3 ≥ 3 2 x1 − x 3 = − 1 x j ≥ 0, j = 1, 2,3
解：
引入松弛变量及人工变量，化为标准形式
min f = −3x1 + x2 + x3 + 0 x4 + 0 x5 + Mx6 + Mx7 x1 − 2 x2 + x3 + x5 = 11 s.t. − 4 x1 + x2 + 2 x3 − x4 + x6 = 3 − 2 x1 + x3 + x7 = 1 x j ≥ 0, j = 1,2,⋯,7
11 1 bi min Qi = min = min 3 2 = 1 P i3 11
⋯⋯ x5 ⋯⋯ x6 ⋯⋯ x7
⋯⋯ x5 ⋯⋯ x6 ⋯⋯ x7
∴应选取x7为调出变量
迭代1（1）
基变量为x5，x6，x3， 基变量对应的目标函数系数向量 CB=(c5 c6 c3)=(0 M 1)
迭代3（2）
基矩阵
B = (P1 1 − 2 1 P3 ) = − 4 1 2 − 2 0 1
P2
B −1
1 3 2 3 − 5 3 1 = 0 −2 2 3 4 3 − 7 3
迭代3（3）
可行解
1 3 2 3 − 5 311 4 −1 b = B b = 0 1 − 2 3 = 1 2 3 4 3 − 7 3 1 9
−1
Π = C B B −1 = (0 M
− 2 M + 1)
迭代1（5）
1 Z 1 − C1 = ΠP1 − C1 = (0 M − 2M + 1) − 4 − (− 3) = 1 > 0 − 2 − 2 Z 2 − C 2 = ΠP2 − C 2 = (0 M − 2M + 1) 1 − 1 = M − 1 > 0 0