chap3 运输与分配问题

如何回答？
变量？ 约束方程？
10
运输问题的解法及软件求解
线性规划问题：单纯形法 线性规划问题：表上作业法
最小费用流问题：对偶算法
如何回答？
11
运输问题举例
例 三个工厂B1、B2、B3，它们需要同一种 原料，数量分别为72吨、102吨、41吨，另 外有三个供应商A1、A2、A3可以供应上述 原料56吨、82吨、77吨，由于工厂和供应 商位置不同，单位运价也不同，具体数据 如表。应如何安排运输方案，才能使总运 费最小？
a
i 1
m
i

b
j 1
n
j
问如何安排运输可使总运费最小?
8
运输表格
销地 单价 产 地
B1
B2
…
Bn
产量
A1 A2 …
Am 销量
c11 c21 …
cm1 b1
x11
x21
c12 x … 12 c22 …
x22
c1n c2n …
cmn bn
x1n x2n
a1 a2 …
…
xm1
…
xm2
cm2 b2
如何回答？
32
产销不平衡的运输问题
1.总产量>总销量: 虚拟一个销地(增添一列 ),销量=总产量-总销量.单位运费为0. 即可 化为平衡的运输问题. 2.总产量<总销量: 虚拟一个产地(增添一行 ),产量=总销量-总产量.单位运费为0. 即可 化为平衡的运输问题.
33
例完整计算过程:
B1 A1 A2 4
用闭回路法计算 非基变量的检验数与调整
1.闭回路的概念：从任一非基变量格(末填运量的 格)出发,可水平或垂直地走,遇到基变量格(填运 量的格)可转(也可跳过)900走,最后转回到起点 的非基变量格.则转弯的格形成唯一的一条闭回 路. 2.闭回路的特点：
1).第一个格是非基变量格,其他各格都是基变量格. 2).每个格都是转弯的格,每个格都是900的顶点格. 3).一行或一列有闭回路的格一定是双数个.
56
B2 8 24
16 41 61 41
B3 8 16
41
产量 56 82
0 41 0 61
16
A3 销量
8 72
16
16 102
0
24
0
77 215
0
41
0
34
B1
B2 56
B3
产量
A1
A2 A3 销量
4
16 8 72
8
24
8
56
82 77 215
16
41 16 41 16 24 61 102 41
72
102
41
∴最优方案：从A1运56吨到B2；从A2运41吨到B2；从A2 运41吨到B3；从A3运72吨到B1；从A3运5吨到B2。 最小总运费 = 56×8+41×24+41×16+72×8+5×16=2744
7.5 运输单纯形法（课后）
运输问题的表上作业法步骤
1.列出产销平衡表； 2.建立初始可行方案(初始基本可行解). 用西北角法；或者 最小元素法. 3.用闭回路法计算检验数并判断（位势法） 4.用闭回路法调整达到最优.
检验数λ33=24-16+24-16=16.
∵ λij≥0, ∴最优方案是:从A1运56吨到B2；从A2运 41吨到B2；从A2运41吨到B3；从A3运72吨到B1； 从A3运5吨到B2。 最小总运费 =56×8+41×24+41×16+72×8+5×16=2744.
31
产销不平衡的运输问题
1.总产量>总销量，如何处理？ 2.总产量<总销量，如何处理？
12
多起点、多终点运输的LP模型
Xij:从Ai到Bj的运量. Z:总运输费用.
min Z = 4X11 ＋ 8X12 ＋ 8X13 + 16X21 ＋ 24X22 ＋ 16X23 + 9X31 ＋ 16X32 ＋ 24X33 s.t. X11 ＋ X12 ＋ X13 ≤ 56 （供应量约束1） X21 ＋ X22 ＋ X23 ≤ 82 （供应量约束2） X31 ＋ X32 ＋ X33 ≤ 77 （供应量约束3） X11 ＋X21 ＋ X31 ≥ 72 （需求量约束1） X12 ＋X22 ＋ X32 ≥ 102 （需求量约束2） X13 ＋X23 ＋ X33 ≥ 41 （需求量约束3） Xij ≥ 0 （ i, j =1,2,3） 13
24
检验数的概念
检验数的概念： 闭回路中单数格的运费单价取+
闭回路中双数格的运费单价取 它们的代数和就是此非基变量格的检验
数。
25
B1
B2 56
B3
产量
A1
A2 A3 销量
4
16 8 72
8
24
8
56
82 77 215
16
41 16 41 16 24 61 102 41
检验数λ12=8-16+8-4= -4; 检验数λ13=8-4+8-16+24-16= 4; 检验数λ21=16-24+16-8= 0; 检验数λ33=24-16+24-16=16.

1
授课内容（第6章）
Question
运输问题(表上作业法) 6.2 指派问题(应用软件计算) 6.3 转运问题 Case:分销系统设计（教材P192） 6.4最短路径问题 6.5最大流量问题 6.6 生产与库存应用
6.1
2
例1 海华设备厂均衡运输优化问题
单位运输成本(元/单位）如下表，应如何 安排运输方案，才能使总运费最小？
机器
工时 工人
y1 2 15 13 4
y2 10 4 14 7
y3 3 14 16 13
y4 7 8 11 9
7
X1 X2 X3 X4
运输问题的提法
运输问题的提法:某物资有M个产地Ai, 产量分 别是ai (I=1,2,…,m), 有N个销地Bj(j=1,2,…,n). 销 量分别是bj (j=1,2,…,n). 若从Ai运到Bj的单位运价 为cij (I=1,2,…,m; j=1,2,…,n), 又假设产销平衡, 即
检验数λ12=8-16+8-4= -4; 检验数λ13=8-4+8-16+24-16= 4; 检验数λ21=16-24+16-8= 0; 检验数λ33=24-16+24-16=16.
5
表 工厂B和供应商A之间单位运价
B1
A1 A2 A3
需求量
B2
8 24 16
B3
8 16 24 41
供应量
4 16 8 72
56 82 77 215
102
指派问题举例
4个人分配做4项工作，每人只做一项工作 ，由于每人能力、特长不同，因此每人 干每项工作的工时也不同，问如何指派 使工作总工时最小？
16
表上作业法的产销平衡表
B1 A1 A2 4 16
X11 X21 X31
B2 8 24
X12 X22 X32
B3 8 16
X13 X23 X33
产量 56 82
A3 销量
8
16
24
77 215
17
72
102
41
西北角法步骤
1.从西北角的格(元素)出发填运量=min{此格对应 剩余产量与销量},同时用一条直线划去满足的 一行或一列.(只划一条线,若需同时划两条线,则 应在此行或此列其它格补0,此0当填运量的格看 待.) 2.在末划线的格重复1. 3.填最后的格的运量时,要同时划一行和一列两条 线.这样保证填运量的格的个数是:m+n-1个.也 即基变量的格的个数是: m+n-1个.
双数格的运量} = min{61,56}=56.
调整后方案如下:
B1
A1 A2 A3 销量 4 16 8 72 72
B2
8 24 16 5 102 56 41
B3
8 16 24 41 41
产量
56 82 77 215
30
例计算结果
检验数λ11=4-8+16-8=4; 检验数λ13=8-16+24-8=8; 检验数λ21=16-24+16-8=0;
《管理数量方法 》目录
1绪论 — Introduction 2线性规划 —Linear Programming 3运输与指派问题—Transportation Models 4整数规划 —Integer Programming 5图与网络 —Network Models 6项目计划 —PERT & CPM 7排队论 —Queueing Models 8 模拟 —Simulation 9决策分析 — Decision Theory 10多目标决策 — Multi-objective Decision
23
B1
B2 56
B3
产量
A1
A2 A3 销量
4
16 8 72
8
24
8
56
82 77 215
16
41 16 41 16 24 61 102 41
x12对应的闭回路是:x12,x32,x31,x11. x13对应的闭回路是:x13,x11,x31,x32,x22,x23. x21对应的闭回路是:x21,x22,x32,x31. x33对应的闭回路是:x33,x32,x22,x23.
1.最优判别准则:当所有检验数都大于或等 于0时,方案最优. 2.调整: 1).取检验数中负数最小的闭回路调整. 2).调整量θ= min{闭回路中双数格的运量}. 3).调整方法:闭回路中单数格的运量+ θ,闭 回路中双数格的运量- θ,其他格运量不变.
29
检验数λ12=-4,最小,调整.调整量θ= min{闭回路中
单纯形法计算过程
B1
A1 4
X11
B2
8
X12
22
B3
8
X13 X23
33
供应量
56
A2
A3
需求量
16
8
X21
X31
24 X
16 X
16
82
77 215
32
24 X 41
72
102
单纯形法的求解(见Excel文件)
B1 B2 B3
供应量
A1
A2 A3
需求量
0
0 72
56
41 5
0
41 0
56
82 77
26
调整λ12 =-4的闭回路后,两个方案 的总运费比较
1. 原方案的总运费 =4*56+8*16+16*61+24*41+16*41=2968;
2. 调整后的方案的总运费
= 8θ+4(56- θ)+8(16+θ)+16(61- θ)+24*41+16*41
= θ(8-4+8-16)+2968= -4 θ+2968
20
B1 A1 A2 4
源自文库56
B2 8 24
41
B3 8 16
41
产量 56 82
0 41 0 61
16
A3 销量
8
16
16
61
24
0 0
77 215
0
72
16 0
41
102
41
21
单纯型法的基本思路
确定初始基本可行解 是
检查是否为 最优解？
求最优解的目标函数值
否 确定改善方向 求新的基本可行解
22
18
B1 A1 A2 4
56
B2 8 24
16 66
B3 8 16
产量 56 82
0 66 0 41
16
A3 销量
8 72
16 0
16
36
24
41
77 215
36
102
0
41
19
最小元素法步骤
1.从最小元素的格(元素)出发填运量=min{此格对 应剩余产量与销量},同时用一条直线划去满足 的一行或一列.(只划一条线,若需同时划两条线, 则应在此行或此列其它格补0,此0当填运量的格 看待.) 2.在末划线的格重复1. 3.填最后的格的运量时,要同时划一行和一列两条 线.这样保证填运量的格的个数是:m+n-1个.也 即基变量的格的个数是: m+n-1个.
供应节点 工厂A 工厂B 工厂C 总需求量 用户1 70 70 80 20 需求节点 用户2 用户3 40 80 100 110 70 130 15 23
用户4 可提供量 60 20 50 30 40 40 32
3
例2 海华设备厂非均衡运输问题
单位运输成本(元/单位）如下表，应如何 安排运输方案，才能使总运费最小？
3. 因为θ是调整量, 大于０; 故调整后的方案的总运 费比原方案的总运费小.
27
检验数的经济意义
• 1. 检验数是正数,则沿此闭回路调整方案,总运费 会增加.为什么? • 2 检验数是负数,则沿此闭回路调整方案,总运费 会减少. • 3. 检验数是0,则沿此闭回路调整方案,总运费不变.
28
最优判别与调整
供应节点 工厂A 工厂B 工厂C 总需求量 用户1 70 70 80 20 需求节点 用户2 用户3 40 80 100 110 70 130 15 23
用户4 可提供量 60 25 50 35 40 45 32
4
运输问题举例
例 三个工厂B1、B2、B3，它们需要同一种 原料，数量分别为72吨、102吨、41吨，另 外有三个供应商A1、A2、A3可以供应上述 原料56吨、82吨、77吨，由于工厂和供应 商位置不同，单位运价也不同，具体数据 如表。应如何安排运输方案，才能使总运 费最小？
… …
xmn
am
9
如何建立运输问题的LP模型
Xij:从Ai到Bj的运量. Z:总运输费用.
m in Z
d
i 1 j 1
m
n
ij
x ij
n x ij a i ...( i 1,2,..., m ) j 1 m s .t : x ij b j ...( j 1,2,..., n) i 1 x 0...( i 1,2,..., m; j 1,2,..., n) ij