湘教版解读-15三角形全等的判定

**三角形全等的判定

1.新课导读 问

题

链

接

问题探究 你认为她是否可行？

2.教材解读

知识点1 “边边边（重点/难点/掌握）

（知识详解）三边对应相等的两个三角形全等，简称为“边边边”公理，用字母表示为“SSS ”.

【知识拓展】这一判定方法实质就是三角形的稳定性，即当三角形的三边一定时，它的大小和形状也就随之确定了.

【探究交流】在△ABC 与△DEF 中，∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，∠C ＝∠F ，则△ABC 与△DEF 有什么样关系？ 【点拨】它们不一定全等。我们可试画出图1和图2也可能得到图1和图3则它们不一定全等。两个三角形全等，其中至少要有一条边对应相等。

【教材栏目答疑】“问题：(课本P)

【例1】已知，如图，AB =CD ,AE =DF , CF =BE .试说明：∠B=∠C .

【分析】题目中已经有三组对应边相等，则直接利用“SSS ”可以得到△ABE ≌△DCF ，从而说明∠B =∠C .

【解】在△ABE 和△DCF 中AB DC AE DF CF BE =⎧⎪

=⎨⎪=⎩

,

所以△ABE ≌△DCF .

【解题策略】有三边，先考虑边边边方法。

F E

D

C B

A

A E F D C

B D E F 图1 图2 图3

知识点2 “边角边”或“SAS ”（重点/难点/掌握）

（知识详解，两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS” . 【知识拓展】“SAS ”中的“A ”是两个“S ”的所夹的角．在使用这个方法的时候一定要注意，这个角一定要是两组对应边的夹角对应相等，如果是两个三角形的两边及其中一边的对角对应相等，这两个三角形不一定全等，所以在应用这一方法时要看清边和角之间的位置关系. 【探究交流】在△ABC 和△ABD 中，AC=ED ，AB=EF ，∠B=∠F ，△ABC 和△EFD 全等吗？

【点拨】△ABC 和△EFD 不全等。我们可通过平移得下图。因为∠B 、∠F 不是两组对应边的夹角

【

教

材

栏

目

答

疑

】

“

问

题

：

(课本

P29)

【答疑】因为点O 为AA ′、BB ′的中点，则AO ＝A ′O ，BO ＝B ′O ，又∠AOB ＝∠A ′OB ′，得△OAB ≌△OA ′B ′，得AB ＝A ′B ′。

【例2】如图，AB 是∠DAC 的平分线，且AD=AC.试说明BD=BC 的理由.

【分析】由角平分线，可得两角相等，条件中还有这个角的一边对应相等，还差一个条件，

D

A

B

C

A （E ）

B （F ） D

C E

F D

A

B

C

只有从图中找了。

【解】因为AB 是∠DAC 的平分线

所以∠DAB=∠BAC 在△DAB 和△CAB 中

⎪⎩

⎪

⎨⎧=∠=∠=AB AB CAB DAB AC AD 所以△DAB ≌△CAB 所以BD=BC

【规律·方法】要善于发现题目中的隐含条件，本题的隐含条件是公共边. 知识点3 “角边角（重点/难点/掌握）

（知识详解）有两角对应相等，且夹边相等的两个三角形全等.简称“角边角”公理，用字母表示为“A S A ”.

【知识拓展】在使用这个方法的时候一定要注意，这条边应该是两个角的夹边对应相等，证明时要加强边角的对应关系.

【例3】如图，AF=CE ，AD ∥BC ，∠AFD=∠CEB ，试证△ADF ≌△CBE 。F

E D

C

B

A

【分析】题中有一边与一角，无法再找到另一边，则只有找角！

【解】在△ADF 和△CBE 中，∵AF=CE ，又AD ∥CB ，∴∠A=∠C ，∠AFD=∠CEB ，∴△ADF ≌△CBE （ASA ），

【解题策略】问题的关键是寻求能判断△ADF 与△CBE 全等的条件 知识点4 “角角边”（重点/难点/掌握）

（知识详解）有两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.简称“角角边”定理，用字母表示为“AAS”. 【知识拓展】（1）在使用这个方法的时候一定要注意，这条边一定要是两个角中的一个的对边，且对应相等.（2）在应用AAS 证明两个三角形全等的时候一定要注意和ASA 的区别，主要区别在边与角的关系上，前者是角的对边对应相等，后者是两个角的夹边对应相等，使用时一定要弄清楚.

【规律方法小结】判定三角形全等的方法总结

判定方法 条 件 注 意

“边角边”（SAS ） 两边和它们夹角对应相等 必须是两边夹一角不能是两边对一角 “角边角”(ASA) 两角和它们夹边对应相等 此两个判定方法常结合起来用.但不

能理解为两角及任意一边

“角角边”(AAS)

两角和其中一角的对边对应相等

“边边边”

(SSS) 三边对应相等三边对应相等

“斜边直角边”(HL) 斜边和一条直角边对应相等必须在直角三角形中

注意：“SSA”和“AAA”不能判定两个三角形全等．

归纳：选择哪种判定方法，要根据具体已知条件而定，见下表

已知条件可选择的判定方法

一边一角对应相等SAS AAS ASA

两角对应相等ASA AAS

两边对应相等SAS SSS HL

注意：判定两个三角形全等至少要有一条边相等.

【教材栏目答疑】“问题：

(课本P38)

【答疑】四种：

①写成在△ABC与△DEF中，若AB＝DE，AC＝DF，∠ABC=∠DEF，则BE＝CF；假命题

②写成在△ABC与△DEF中，若AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，则∠ABC=∠DEF；真命题，用SSS 证。先把BE＝CF转化为BC＝EF。

③写成在△ABC与△DEF中，若AB＝DE，∠ABC=∠DEF，BE＝CF则AC＝DF；真命题，

用SAS证。先把BE＝CF转化为BC＝EF。

④写成在△ABC与△DEF中，若AC＝DF，∠ABC=∠DEF，BE＝CF则AB＝DE；假命题。

【新课导读点拨】

在三角形（1）中保留了完整的两个角与它们的夹边，可以由ASA画出与（1）一样的三角形；在三角形（2）中，只保留了一个角，无法画出；

在三角形（3）中保留了完整的两个边与它们的夹角，可以由SAS画出与（3）一样的三角形. 【例4】如图，∠B=∠D，∠1=∠2，BC=DE。.试说明：AB＝AD

1 2

A

B

D

C

E 2