初中数学：二次根式的考点解析+常见误区+隐含条件+经典例题
二次根式知识点及典型例题(含答案)
4、不会比较根式的大小5、不会利用二次根式的非负性6、对最简二次根式的条件掌握不牢八、经典例题例1、求下列各数的平方根与算术平方根（ ）A.36B.81121 C.2-（5） D.41【答案】A.2=36±（6）∴36的平方根为6±，即6± ∴36的算术平方根为6，即B.2981=11121±（）∴81121的平方根为911±，即911±∴81121的算术平方根为911，即911 C.25=25±（）∴2-（5）的平方根为5±，即5± ∴2-（5）的算术平方根为5，即D.()241=41±∴41的平方根为 ∴41【解析】一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，解答本题注意解题步骤的规范书写，不是完全平方数的正数，它的平方根只能用含有根号的形式表示．练习1、计算：（1 （2）【答案】（1）211=121（2）20.9=0.810.9±表示121的算术平方根，表示0.81的平方根，、的意义是解答本题的关键例2、如果一个正数的平方根为3a-5和2a-10，求这个正数【答案】由题意得，3a-5+2a-10=0得a=3∴3a-5=4∴这个数为24=16【解析】一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，而互为相反数的两个数相加为0，故(3a-5)+(2a-10)=0.求出a后，可知3a-5与2a-10的值，在考虑哪个正数的平方根是3a-5,2a-10的值即可。
练习1、x为何值时，下列各式有意义。
【答案】解：A.10x-≥，即1x≥有意义B.10x-≥且0x≥，即01x≤≤有意义C.10x+>，即1x>-D.230x+≥，即x都有意义【解析】a≥例3、【答案】解252736<<<<即56<<的整数部分是5【解析】处在哪两个完全平方数之间.例4、:x y【答案】解：33y-1和互为相反数3y-1∴和1-2x互为相反数3y-1+1-2x=0∴:=3:2x y∴互为相反数，则a和b互为相反数，所以本题中3y-1与1-2x 互为相反数例5、实数0.5的算术平方根等于（）.D.1 2【答案】C【解析】理解算术平方根的意义，把二次根式化成最简形式是解答本题的关键.例6、的算术平方根是（）A. 4±B. 4C. 2±D. 2【答案】D【解析】4的算术平方根，4的算术平方根为2.例7、根据下列运算正确的是（）3=2 C. (x+2y)2=x2+2xy+4y2 D. A.x6+x2=x3 B.√−8√18−√8=√2【答案】解：A、本选项不能合并，错误；3=-2，本选项错误；B、√-8C、（(x+2y)2=x2+2xy+4y2，本选项错误；D、√18-√8=3√2-2√2=√2，本选项正确．故选D【解析】此题考查了完全平方公式，合并同类项，以及负指数幂，幂的乘方，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．例8、）【答案】B综合练习简单1. 式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．<1 B．≥1 C．≤－1 D．<－1【答案】B【解析】由二次根式的意义，知：x－1≥0，所以x≥1.2.如果代数式有意义，那么x的取值范围是（）A．x≥0 B．x≠1 C．x＞0 D．x≥0且x≠1【答案】D解：根据题意得：x≥0且x﹣1≠0．解得：x≥0且x≠1．故选D．【解析】代数式√x有意义的条件为：x﹣1≠0，x≥0．即可求得x的范围．x-13.要使式子2-x有意义，则x的取值范围是（）A．x＞0 B．x≥﹣2 C．x≥2 D．x≤2【答案】D解：根据题意得，2﹣x≥0，解得x≤2．【解析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．4. 下列计算正确的是（）=√2 D.3+2√2=5√2 A.4√3-3√3=1 B.√2+√3=√5 C.2√12【答案】C【解析】 A、4√3-3√3=√3，原式计算错误，故本选项错误；B、√2与√3不是同类二次根式，不能直接合并，故本选项错误；=√2，计算正确，故本选项正确；C、2√12D、3+2√2≠5√2，原式计算错误，故本选项错误；根据二次根式的化简及同类二次根式的合并，分别进行各选项的判断即可．5. 若，则＝【答案】6【解析】原方程变为：，所以，，由得：＝3，两边平方，得：＝7，所以，原式＝7－1＝6中等题1.结果是。
初中数学中考复习专题：二次根式考点解析(含答案)
二次根式考点解析二次根式是中考考察的重点之一，在历年的中考试题中都有体现，现将年中考中关于这部分知识的考查点介绍如下．考点一、识别同类二次根式例1．下列根式中，与3是同类二次根式的是（ ） Ａ．8Ｂ．3.0Ｃ．32Ｄ．12=301013.0=，63132=，3212=．根据同类二次根式的定义可知本题选Ｄ．考点二、识别最简二次根式例2．下列二次根式是最简二次根式的为（ ）Ａ．BC D解析：本题考查最简二次根式：符合条件（1）被开方式中不含有开得尽方的数或因式，（2）被开方式中不含有分母，符合以上两个条件的二次根式叫最简二次根式，只有 A考点三、化简二次根式 例3＝ ．解析：本题考查分母有理化：（1）互为有理化因式：•两个带有二次根式的代数式相乘不再含有二次根a a＋（2）分母有理化：把分母中的根号化去过程，叫做分母有理化，•方法是在分子分母上同乘以分母的有理化因式．对该分式进行分母有理化，分子分母同乘以2-2，化简得：2考点四、根据非负数的性质计算例4．若m 20062006a =-53x y +的值．分析：二次根式的被开方数必须是非负数，因而本题存在隐含条件20060a b +-≥，20060a b --≥，由此求出a b +的值，问题也随之解决．解：由二次根式的意义可得2006020062006200602006a b a b a b a b a b +-+⎧⎧+=⎨⎨--+⎩⎩，， ．．≥≥≥≤∴ ∴．0=， 530380x y -=-=∴，． 3853x y ==，∴， 533811x y +=+=∴．考点五、求代数式的值例5．先化简下面的代数式，再求值：(2)(2)2(1)x x x x +-++=，解析：依据多项式的乘法法则得：22(2)(2)2(1)42222x x x x x x x x +-++=-++=+-=，代入该式得：222222x x +-=+=．考点六、根据规律判断两个二次根式的大小 例6．用计算器计算：12122--，13132--，14142--，15152--，……，根据你发现的规律，判断P =Q =（n 为大于1的整数）的值的大小关系为（ ）Ａ．P Q < Ｂ．P Q =Ｃ．P Q >Ｄ．与n 的取值无关解析：借助计算器可得：1.732 1.414 1.291===1.225=≈，由上面求得的这些数据的大小变化规律可以猜想出P Q ，之间的关系为P Q <，故知本题选Ａ．考点六、开放性问题 （1）探索规律所谓探索规律就是要通过由特殊推广到一般，并经过大胆地猜想、归纳和验证，从而获得正确的结果． 例7．观察下列各式：===请你将发现的规律用含自然数n(n ≥1)的等式表示出来 ．解析：仔细观察寻找算式中变化的和没有改变的规律，很容易会得到结果为：＝(1n + （2）新定义运算定义的新运算，实质是给出了一种变换规则，以此考查学生的思维应变能力和演算能力．解这类题的关键是深刻理解所给的定义或规则，将它们转化成我们熟悉的运算例8．定义运算“@”的运算法则为: x@y＝，则(2@6)@8=．解析：观察所给的表达式的形式，可知新运算的结果等于两边的字母（或数字）的乘积加4的算术平方根，所以(2@6)@8=2×6＋4@8＝4@8＝4×8＋4＝6注：题中在一定前提条件下，定义了不同的新运算，计算时，应看清条件，分别计算．。
二次根式知识点及典型例题
第17章:二次根式第一课时:二次根式的概念与性质知识点1:二次根式的定义:（1）(a ≥0)的式子叫做二次根式。
（2）(a ≥0)表示非负数a 的算术平方根 （3） 二次根式的要求① 根指数为2② 被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等，但必须是非负数类型一：二次根式的识别例1：已知式子 其中一定是二次根式的是 ①②④ 。
知识点2:二次根式中字母的取值范围：（1） 二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0。
（2） 二次根式无意义的条件：被开方数小于0 （3） 二次根式做分母时: 被开方数大于0.类型一：求字母的取值范围例1：x 取何值时，下列各式有意义？11(62501 6.6016630122102201122x x x x x x x x x x x x x ----⎧⎨-⎩+-⎧-⎪-⎨⎪-⎩--≥解：（）由题意知解得≥5且≠≠ 所以当≥5且≠有意义≥ （）由题意知＞解得＜x ≤3且x ≠2≠ 所以当＜x ≤3且x ≠2有意义类型二：根据字母隐含的的取值范围，求代数式的值（较难） 例2：x y y =若、为实数，且222224040, 14,20,2,4x x x x x x x y --=+==≥，即≥4, ≥即≤4, 所以又因为≠所以22240404,120,2432x x xx x y--∴=+∴=∴====解:由题意知:≥且≥又≠知识点3：二次根式的性质：（1）双重非负性：①被开方数为非负数，即a≥0；②二次根式的值为非负数，即a≥0（2）两个性质：性质1：（a）2= a（a≥0）语言叙述：一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。
或叙述为：一个非负数先开平方再平方等于这个数本身。
性质2(0)(0)a aaa a⎧==⎨-⎩≥＜语言叙述：一个数先平方再开平方等于这个数的绝对值。
22222221==2(0),(0)1a(0)(0)(0)(0)x a x xx ax ax x xa ax x x aa aa aaa a=======⎧===⎨-⎩⎧==⎨-⎩证明：性质：设①则把把性质≥两边平方得：≥由性质得：≥所以＜≥＜类型一：简单的计算与化简例1：计算与化简2222;4=243=12.8881113(0)433(0)x xxx x⨯=⨯=-====-===-⎧-=⎨-⎩（解:(1)（≥（＜类型二：在实数范围内因式分解例2：在实数范围内因式分解。
人教版八年级数学下册第16章二次根式重难点详解
点拨:观察发现已知条件 x, y中的 5 与2
5 2 是一对相反数,而所求式子是这
两个数的平方和与这两个数的乘积的差,故可由已知转变条件,运用完全平方式
简化求值.
栏目名：错题集
解二次根式常见错误分类解析
一、审题不清导致错误 例 1 16 的平方根是______ .
错解： 16 的平方根是 4.
诊断：错把 16 的平方根当成 16 的平方根。
。
栏目名：期末练兵
综合练习题
一、选择题（每小题 3 分,共 30 分）
1．下列各式正确的是（
）
A． 4 2; B. (6)2 6; C. 7 5 7 5; .
D. 52 5
2.下列各式中属于最简二次根式的是（ ）
A． 27
B． 5
C． 12
3.在下列各组根式中，是同类二次根式的是（
剖析：二次根式 a 中 a 的取值范围为 a 0 ，从而 a 0 。
解：∵ x3 2x2 0; ∴ x x 2 0
而 x 2 0,x 0 即 x 0. 又 x 2 0, x 2
∴ x 的取值范围是 2 x 0 。
例 2 数 a、 b 在 数 轴 上 的 位 置 如 图 所
正解： 5 2 3 5 2 3 15 2 3
3
3
十、乱用运算律导致错误
例 11 计算 6 3 2 .
错解：原式＝ 6 ÷ 3 ＋ 6 ÷ 2 ＝ 2 3 。
诊断：除法没有分配律，本题应分母有理化。
正解： 6 3 2 =
6
6 3 2
诊断:当一个式子与一个多项式相乘时,多项式应注意添括号.
初中数学八年级《二次根式》知识点讲解及例题解析
《二次根式》知识讲解及例题解析【学习目标】1、理解二次根式及最简二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.2、理解并掌握下列结论： a ≥0，（a ≥0），（a ≥0），（a ≥0），并利用它们进行计算和化简．【要点梳理】要点一、二次根式的概念一般地，我们把形如(a ≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 要点诠释：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.要点二、二次根式的性质 1.a ≥0，（a ≥0）； 2.（a ≥0）；3..4.积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即（a ≥0，b ≥0）.5.商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商， 即()a a a b a b b b=÷=÷或（a ≥0，b >0）.要点诠释： （1）二次根式(a ≥0)的值是非负数。
一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即2()(0a a a =≥）.（22a 2()a 要注意区别与联系：①a 的取值范围不同，2()a 中a ≥02a a 为任意值。
②a ≥0时，2()a 2a a ；a <0时，2()a 2a a -.要点三、最简二次根式（1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况： （1) 被开放数是分数或分式； （2）含有能开方的因数或因式.【典型例题】类型一、二次根式的概念1．当x 是__________时，+在实数范围内有意义？【答案】 x ≥-且x ≠-1【解析】依题意，得由①得：x ≥-由②得：x ≠-1 当x ≥-且x ≠-1时，+在实数范围内有意义.【总结升华】本题综合考查了二次根式和分式的概念.举一反三：【变式】方程480x x y m -+--=，当0y >时，m 的取值范围是（ ）A ．01m << B.m ≥2 C.2m < D.m ≤2【答案】C.类型二、二次根式的性质2.根据下列条件，求字母x 的取值范围：(1)； (2).【答案与解析】(1)(2)【总结升华】二次根式性质的运用.举一反三：【变式】问题探究：因为，所以，因为，所以请你根据以上规律，结合你的以验化简下列各式：（1）；（2）．【答案】解：（1）==；（2）==．3.我们可以计算出①=2=；=3而且还可以计算=2==3（1）根据计算的结果，可以得到：①当a＞0时=a；②当a＜0时=．（2）应用所得的结论解决：如图，已知a，b在数轴上的位置，化简﹣﹣．【思路点拨】（1）直接利用a 的取值范围化简求出答案；（2）利用a ，b 的取值范围，进而化简二次根式即可．【答案与解析】解：（1）由题意可得：①当a ＞0时=a ；②当a ＜0时=﹣a ；故答案为：a ，﹣a ；（2）如图所示：﹣2＜a ＜﹣1，0＜b ＜1， 则﹣﹣=﹣a ﹣b +（a +b ）=0．【总结升华】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及实数与数轴，正确化简二次根式是解题关键．类型三、最简二次根式4 (122389)+++【思路点拨】此类题型为规律题型，应该是在分母有理化的基础上寻找规律. 【答案与解析】原式1(21)1(32)19-8...(12)(21)(23)(32)+9-8⨯-⨯-⨯++-+-（）（89)(）2132...9891 =2【总结升华】找出规律，是这一类型题的特点，要总结此类题型并加以记忆.举一反三： 2323+-a ，小数部分是b ，求22a ab b -+的值.【答案】2(23)(23)=3=7+43(23)(23)-+原式（）又因为整数部分是a ，小数部分是b 则a =13，b =43622221313(436)(436)a ab b ∴-+=-⨯+=3311003-。
二次根式易错题和重点题
二次根式易错题和重点题一、二次根式的定义和性质二次根式是指在数学中关于平方根的表达式，它的一般形式可以表示为√a（其中a≥0）。
在学习二次根式时，常常会遇到一些易错题和重点题，下面将逐一讨论这些问题。
1. 二次根式的化简化简二次根式是学习二次根式的基本技能。
对于像√(4a^2)这样的二次根式，我们可以将指数提出来，得到2a√a。
类似地，对于√(9b^4)，化简后可得3b^2√b。
化简二次根式可以使得运算更加简便，因此在解题过程中需要注意灵活运用化简技巧。
2. 二次根式的加减运算对于同类项的二次根式，可进行加减运算。
例如，对于√2 + √3，由于两个二次根式不具备相同的根次数和根数，无法进行简单的加减运算。
但是，如果是√2 + √2，则可以合并为2√2。
在进行二次根式加减运算时，需要注意根次数和根数是否相同。
3. 二次根式的乘法二次根式的乘法运算一般需要使用分配律。
例如，对于(√3 + √2)(√3 - √2)，可以按照分配律展开，并利用√a * √a = a的性质得到3 - 2 = 1。
在进行二次根式乘法运算时，需要注意运用分配律以及二次根式的性质。
4. 二次根式的除法二次根式的除法运算需要利用有理化方法。
例如，对于√6 / √2，可以将分子和分母同时乘以√2，得到√12 / 2。
而√12可以继续化简为2√3，因此答案为√3。
在进行二次根式的除法运算时，需要注意利用有理化方法将分母中的二次根式消除。
二、常见易错题和重点题解析1. 题目：化简√(2+√3) - √(2-√3)解析：利用二次根式的加减运算，将两个二次根式合并。
根据公式(a+b)(a-b) = a^2 - b^2，可以得到(√2)^2 - (√3)^2 = 2 - 3 = -1。
因此答案为-1。
2. 题目：求解2√3 = √(x+4)解析：首先进行两边的平方运算，得到4 * 3 = x + 4。
化简后得到12 = x。
因此答案为x = 12。
九年级数学上册《二次根式运算》易错点剖析
二次根式运算中的易错点示例一、二次根式化简不彻底例 1计算错解:原式==错解分析:二次根式结果中，被开方数不含有分母，0.2应看成分数15.正解:原式 ===点拨：二次根式的结果中若被开方数是分式或分数(包括小数)则一定要先化简，再进行同类二次根式的合并.二、二次根式化简不正确例 2 计算:错解:原式=0.40.4-+=-错解分析0.4≠.正解:原式 ==例 3错解:原式4=错解分析4≠=.正解:原式==点拨：化简过程中，还容易出现以下错误11,23=+==- .三、合并同类二次根式错误例 4计算错解:原式 ==错解分析.正解:原式=点拨：有时在计算过程中会出现这样的错误1=. 四、运算定律误用例 5 计算:33÷. 错解:原式=3÷1=3. 错解分析:333=(33)3(3)33≠÷.该错解把乘法的结合律误用到乘除混合运算中. 正解:原式=3133=. 五、忽略根式中或已知中隐含条件，导致错误 例6 如果b <0，那么二次根式ab化简为（ ） （A ）a ab （B ）-a ab （C ）a ab - （D ）aab --错解：选A.原式=a aba ab =2.错解分析:此题二次根式ab中隐含了ɑ<0的条件，上述解答忽略了这个隐含条件，误认为ɑ>0，因而出现错误．正解：选B ．因为a b 有意义，所以a b≥0．又因为b <0，所以ɑ<0．所以原式=a ab a ab aab -==2，所以结果选B ．例7 已知321+=a ，求式子a a a a a a a -+---+-22212112的值． 错解：原式=()()()111122-----a a a a a =()111----a a a a =a a 11--=()321321+--+=321--． 错解分析:已知条件中321+=a 隐含了321+=a =32-<1，因而()a a a a a -=-=-=+-1111222，上述解答认为ɑ-1>0，因而出现错误．正解：原式=()()()111122-----a a a a a =()111----a a a a =ɑa 11+-=()321321++-+=3． 例8 若把()a a --111中的ɑ-1移到根号内，则()aa --111= ．错解：原式=()a aa -=--11112． 错解分析:二次根式a-11中隐含了1-ɑ>0的条件，因而ɑ-1<0．逆用公式a a =2时，应特别注意，是将根号外的非负因式（数）移入根号内． 正解：原式=()aa ---111=()aa ---1112=a --1． 答案：a --1六、忽略对字母的讨论，导致错误 例9 当m ，n 为何值时，n m 2有意义？错解：因为n m 2=n m ，所以要使原式有意义，只要n 有意义．错解分析:尽管化简n m 2=n m ，但是原式中m ，n 的取值范围与变形后的式子中m ，n 的取值范围是有区别的．上述解答中忽略了对字母m 的取值的讨论，而去求化简后式子中m ，n 的取值范围，因而导致错误．正解：要使n m 2有意义，必须n m 2≥0，当m ≠0时，则2m >0，所以n ≥0.当m =0时，n m 2=0，所以n 可以为任意实数． 例10 化简：2122-+aa （ɑ<1且ɑ≠0）. 错解：原式=21⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a =a a 1-．错解分析:此题中虽然给出了字母ɑ<1且ɑ≠0的条件，但时ɑ与a1的大小关系不确定．上述解答忽略了对字母ɑ的讨论，认为aa 1->0，因而导致错误．所以解答此题的关键是对字母ɑ进行分类讨论． 正解：原式=a a a a 112-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-．（1）当0<ɑ<1时，aa 1-<0，原式==-a a 1a a -1；（2）当-1<ɑ<0时，a a 1->0，原式==-a a 1a a 1-；（3）当ɑ≤-1时，aa 1-≤0，原式==-a a 1a a -1．综合（1）（2）（3）可知，当0<ɑ<1或ɑ≤-1时，原式==-a a 1a a-1； 当-1<ɑ<0时，原式==-a a 1aa 1-． 七、运用公式2a =|ɑ|不当，导致错误 例11 计算或化简：(1)2)7(-； (2)aa 1-（ɑ<0）.错解：；（2）原式==-⋅=-22aaa a a a a a a a -=-⋅. 分析：公式a a =2中，2a 表示ɑ2的算术平方根，因而是一个非负数，运用此公式将根号内的ɑ移到根号外时，一定要加绝对值符号，保证其为非负数，应特别注意． 正解：（1）原式=77=-． （2）原式==-⋅=-a a a aa a 2a a a a --=--⋅. 八、忽视有关性质成立的条件例12错解（-3）×（-3）= 6.错解分析:成立的条件是ɑ≥0， b ≥0.例13.错解错解分析:上述错解中忽视了分式的性质，即A B =A M B M⋅⋅成立的条件是M 0， 所以此题不能用此方法解，但可借用因式分解法.=九、考虑问题不全面例14 已知24m -和31m -是同一个数的平方根，求m 的值．错解：因为24m -和31m -是同一个数的平方根，所以24310m m -+-=，解得1m =． 错解分析：错解只考虑了两个不相同平方根的情况，漏掉了24m -可能与31m -相等的情况．当2431m m -=-时，解得3m =-．正解：因为24m -和31m -是同一个数的平方根，所以24310m m -+-=或2431m m -=-，解得1m =或3m =-．二次根式错解示例一、例1计算：=9 ．错解：=93±．错解分析： 该解答的错误是没有弄清楚符号“”的意义，符号“”表示非负数的算术平方根，而“9”表示9的算术平方根，9的算术平方根应该是3． 正解：=93．二、例2 化简：312-．错解：312-=9=3．错解分析： 该解答的错误是把被开方数相减，二次根式的加减不是把被开方数加减，而是先化简，再将同类二次根式进行合并． 正解：312-=3332=-．三、例3 化简：2818-． 错解：2818-=12349=-=-．错解分析： 该解答的错误是“4,928218==”，原因是错用了二次根式的除法法则，二次根式的除法法则不是“)0,0(>≥=b a ba ba ”，而是“)0,0(>≥=b a ba ba ”.正解：2818-=22223-=22.四、例4 化简：)35(15+÷.错解：)35(15+÷=53315515+=÷+÷.错解分析： 该解答的错误是用15分别去除以5与3，原因是被除数对加法运算没有分配律，即c a b a c b a ÷+÷≠+÷)(，而除数对加法运算律有分配律，即 a c a b a c b ÷+÷=÷+)(．正解：)35(15+÷=25335)35)(35()35(15--+-=． 五、例5 把式子m m 1- 根号外的因式移到根号内．错解：m m 1-=m m m-=-⋅)(12． 错解分析：该解答的错误是逆用公式“a a =2”时忽视了“0≥a ”这一条件，而此题中隐含着条件“m <0”；故此题中逆用公式“a a =2”时变形的过程为m =-(-m )=-2)(m -，其中-m 代表公式“a a =2 ”中的“a ”．正解：m m 1-=m m m m 121)()(-⋅--=---=m m m--=-⋅--)()(12． 六、例6 把式子11+m 分母有理化．错解：11+m =11)1)(1(1---+-=m m m m m ．错解分析：该解答的错误是未考虑式子1-m 的值有可能为0，若式子1-m 的值为0，则相当于原式的分子与分母同时乘0，这样原式变形后的式子就无意义了． 正解：若1≠m ，则11+m =11)1)(1(1---+-=m m m m m ；若 1=m，则11+m =21．。
初中数学常考易错点：1-5《二次根式》(含答案解析)
1.5二次根式易错清单1.你理解平方根和算术平方根的区别与联系吗?【例1】(2014·江苏南京)8的平方根是().A.4B.±4【解析】∵(±2)=8,2∴8的平方根是.【答案】D【误区纠错】容易错误地选择C.2.你能发现二次根式的隐含条件吗?A.-1B.0D.2C.1【解析】∵(m-1)+=0,2∴m-1=0,n+2=0.∴m=1,n=-2.∴m+n=1+(-2)=-1.【答案】A【误区纠错】忘记考查二次根式有意义的条件,不知如何下手.3.a一定等于吗?第-1-页共7页【误区纠错】错误地把负数(x-1)直接平方后移到根号里面.4.在运算中常见错误.【解析】本题涉及特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式化简、负指数四个考点.在计算时,需要针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果.二次根式的加减只将系数相加减.【例5】(2014·四川成都)先化简,再求值:【解析】本题是一道关于分式化简和二次根式的综合类题,注意不能去掉分母.名师点拨1.能利用二次根式的概念及性质解决相关的问题.2.会利用二次根式的加减法则进行加减运算.3.能根据先乘除后加减法则进行二次根式的混合运算.提分策略第-2-页共7页1.二次根式的化简与计算.(1)利用二次根式的性质,先把每个二次根式化简,然后进行运算;在中考中二次根式常与零指数、负指数结合在一起考查.(2)此类分式与二次根式综合计算与化简问题,一般先化简再代入求值;最后的结果要化为分母没有根号的数或者是最简二次根式.2.二次根式的非负性.(2)若几个非负数的和等于零,则这几个数都为零.A.20或16 C.16B.20D.以上答案均不对(1)若4是腰长,则三角形的三边长为:4,4,8,不能组成三角形;(2)若4是底边长,则三角形的三边长为:4,8,8,能组成三角形,周长为4+8+8=20,故选B.【答案】B专项训练一、选择题第-3-页共7页3.(2014·安徽淮北五校联考)估计7-的值在().A.1到2之间C.3到4之间B.2到3之间D.4到5之间4.(2014·河北唐山模拟)的运算结果是().(第5题)A.2a+b C.bB.-2a+bD.2a-b6.(2013·河北三模)一个正方形的面积等于10,则它的边长a 满足().A.3<a<4C.7<a<8B.5<a<6D.9<a<107.(2013·山东德州特长展示)下列各式(题中字母均为正实数)中化简正确的是().二、填空题第-4-页共7页三、解答题10.(2014·山东禹城二模)先化简,再求值:11.(2014·上海长宁区二模)计算:12.(2014·内蒙古赤峰模拟)先化简,再求值:13.(2014·湖北黄石九中模拟)先化简,后计算:第-5-页共7页14.(2013·浙江温州一模)计算:15.(2013·湖北荆州模拟)先化简,再求值:参考答案与解析1.B[解析]二次根式化为最简二次根式后,如果被开方数相同就叫同类二次根式.2.C[解析]原式=a-2+a-3=2a-5.5.C[解析]原式=-a+(a+b)=b.6.A[解析]解题的关键是注意找出和10最接近的两个能完全开方的数.7.D[解析]考查二次根式的相关性质.第-6-页共7页第-7-页共7页。
二次根式易错点分析
二次根式是中学数学的重要内容之一，也是中考的重要考点。
所出题型以易和中等难度为主，是得分的主要题型。
但也容易在概念、取值范围和计算中出错。
现在将结合题型说明。
易错点一：对公式的应用条件不清楚或忽略了应用公式所需要的条件 （一）应用性质时,忽视a ≥0这一条件例1、化简:错解:原式=2-x.正解： （二）如果ab b a =⋅成立，那么b a ab ⋅=也成立例2、（1）若x x -⋅-53＝()()x x -⋅-53，则x 的取值范围是（2）若()()x x -⋅-53有意义，则x 的取值范围是易错点二：错误理解最简二次根式例3、下列根式中,不是最简二次根式的是( )A.B.C.D. 例4、已知最简二次根式与是同类二次根式，求a 、b 的值。
错解：由条件，得解得易错点三：错用或乱用运算律进行计算例5、计算:（1） （2）231)23(2-⨯-÷（3）÷（4）÷(-)易错点四（选讲）：对二次根式变形时,将负号误带入根号内,造成错解 例6、将根号外的因式移到根号内错解:原式=正解：例7、化简11)1(---a a 错解：)11()1(11)1(2--∙-=---a a a a =a a -=--1)1(()a a =2()().222x x -12+a 12+x 42by 1.0b a b a --+328⎩⎨⎧=-=-+.83,22b a b a ⎩⎨⎧==.1,3b a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+÷513115x 1252x 236+3121xy 3-().932xy xy =-二次根式复习（二）——二次根式的综合运算一、填空题：1．化简：12＝______；22)62()75(-⨯-＝_________． 2．当a ______时，a aa 22-=-．3．等式b a b a -=2成立的条件是______． 4．当0<x ，化简224y x x +＝_______．5．x 的分母有理化因式是 ；23-的分母有理化因式是 ； 223-的分母有理化因式是 。
二次根式隐含条件的例题
二次根式隐含条件的例题
考虑以下二次根式方程：√(x+2) + √(x-5) = 3
这个方程中存在着一些隐含条件，我们来分析一下：
首先，二次根式的自变量x必须满足根号中的内容非负，即x+2≥0和x-5≥0，
即x≥-2和x≥5，结合起来，得到x≥5。
其次，二次根式方程中根号下的内容必须满足相等条件，即x+2=x-5，解方程
得到x=-3，这是我们在隐含条件中排除的解。
综合以上分析，我们得出结论：这个二次根式方程的解应该满足x≥5，且x≠-3。
接下来，我们来求解这个二次根式方程。
为了消去根号，我们可以令t=√(x+2)，则方程转化为t+√(t^2-7)=3。
再平方两次得到t^2+(t^2-7)+2t√(t^2-7)=9，化简得到2t√(t^2-7)=5，再平方一次
得到4t^2(t^2-7)=25，即4t^4-28t^2-25=0，解这个四次方程得到t^2=7或t^2=-25/4。
结合t=√(x+2)，得到x+2=7或x+2=-25/4，即x=5或x=-33/4。
综上所述，这个二次根式方程的解为x=5，但需注意，x=-3并不满足隐含条件，因此被排除。
这个例题展示了在解二次根式方程时，除了直接的代数运算，还需要考虑隐含条件的影响，确保得到的解符合方程的要求。
二次根式易错题和重点题
二次根式易错题和重点题一、二次根式的定义和性质1. 二次根式的定义二次根式是形如√a的表达式，其中a是一个非负实数。
2. 二次根式的性质•二次根式的值是非负实数。
•二次根式的平方等于原来的数，即(√a)^2 = a。
•二次根式的积是可以进行合并的，即√a * √b = √(ab)。
二、二次根式的化简和合并1. 化简二次根式对于二次根式√a，可以将a进行因数分解，然后将每个因子的平方根提取出来。
例如，化简√12：√12 = √(2 * 2 * 3) = 2√32. 合并二次根式对于两个二次根式√a和√b，可以将它们合并成一个二次根式。
例如，合并√3和√5：√3 + √5 = √(3 * 5) = √15三、二次根式的运算1. 加减运算对于两个二次根式√a和√b，可以进行加减运算。
例如，计算√2 + √3：√2 + √3 = √2 * 1 + √3 * 1 = √2 * √2/√2 + √3 * √3/√3 = (√2 * √2 + √3 * √3) / √6 = (2 + 3) / √6 = 5 / √62. 乘法运算对于两个二次根式√a和√b，可以进行乘法运算。
例如，计算√2 * √3：√2 * √3 = √2 * √2/√2 * √3 = √(2 * 2 * 3) / √6 = √12 / √6 =√(12/6) = √23. 除法运算对于两个二次根式√a和√b，可以进行除法运算。
例如，计算(√2)/(√3)：(√2)/(√3) = (√2 * √2/√2)/(√3 * √3/√3) = (√(2 * 2) * √2/√6) = (√4 * √2)/√6 = 2√2/√6 = (2√2 * √6)/(√6 * √6) = (2√12)/6 =√12/3四、二次根式的常见应用题1. 长方形面积问题若长方形的长为√2 cm，宽为1 cm，则面积为：面积 = 长 * 宽= √2 * 1 = √2 cm^22. 直角三角形斜边问题若直角三角形的两条直角边分别为1 cm和√3 cm，则斜边的长度为：斜边长度= √(1^2 + (√3)^2) = √(1 + 3) = √4 = 2 cm3. 几何平均值问题若a和b为正实数，则a和b的几何平均值为√(ab)。