微积分第2版-朱文莉第7章 多元函数微分学习题祥解
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习题7.1(A)
1、求点(2,1,3)A -关于(1)各坐标面；(2)各坐标轴；(3)坐标原点的对称点的坐标。
解 (1)(2,1,3)--,(2,1,3)--, (2,1,3)；
(2)x 轴：(2,1,3)-，y 轴：(2,1,3)---，z 轴：(2,1,3)-； (3) (2,1,3)--。
2、在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？
(4,3,5)A -，(2,3,4)B -，(2,3,4)C --，(2,3,1)D --
并求点(4,3,5)A -分别到(1)坐标原点；(2)各坐标轴；(3)各坐标面的距离。
解 A 点在第4卦限； B 点在第5卦限；
C 点在第8卦限；
D 点在第3卦限。
(1) A =(4,3,5)-
(2) A 到x =
A 到y =
A 到z 5=；
(3) A 到坐标面xy 5=；
A 到坐标面yz 4=；
A 到坐标面xz 3=。
3、在z 轴上求一点M ，使该点与点(4,1,7)A 和(3,5,2)B 的距离相等。
解 因为所求点在z 轴上, 所以设该点为(0,0,)M z , 由题意有MA MB , 即
22
222
2(4)1(7
)35(2
)z z
两边平方, 解得149z
, 于是所求点为14(0,0,)9
M . 4、写出球心在点(1,3,2)--处，且通过点(1,1,1)-的球面方程。
解 由2
2
2
2000()()()x
x y
y z
z R ，得
2
222(1())(113())(12)R
则3R ，从而球面方程为
2
2
2
2(1)(3)(2)3x y
z
5、下列各题中方程组各表示什么曲线？
(1)
2248,
8;
x y z z
(2)
22
25,
3;x y z x
(3)
22
2
4936,
1;
x y z y (4)
2244,
2.
x y z y
解 (1) 双曲线；(2) 圆；(3) 椭圆；(4) 抛物线。 6、描绘下列各组曲面在第一卦限内所围成的立体的图形。
(1) 0,0,0,1x y z x y z ===++=；
(2) 2
2
2
2
2
2
0,0,0,,x y z x y R y z R ===+=+=。 解 (1)、(2)题的图如下：
(1)题图 (2)题图
7、由上半球面
224
z
x y 和圆锥面223()z x y 围成一个立体，求它在xy 面上
的投影区域。
解 将上半球面和圆锥面的方程联立得到方程组
2
22
2
43()
z x y z
x
y
在该方程组中, 消去z , 得到2
2
1x
y . 这是准线为
221
x y z
, 母线平行于z 轴
的柱面, 且它在xy 面上的投影是xOy 坐标平面上的一个圆. 故题设中两个已知曲面所围成立体在xy 面上的投影区域为: 2
21x
y .
习题7.1(B)
1、指出下列各题中平面位置的特点，并画出各平面。
(1) 0y =； (2) 1z =； (3) 23x y +=； (4) 20x y +=；