微积分第2版-朱文莉第7章多元函数微分学习题祥解

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微积分第二版课后习题答案

微积分第二版课后习题答案【篇一：微积分(上册)习题参考答案】0.11.（a）是（b）否（c）是（d）否2.（a）否（b）否（c）否（d）是（e）否（f）否（g）是（h）否（i）是1,2,3},{1,2,4},{1,3,4}, 3.f,{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{{2,3,4},{1,2,3,4}.4. a?b5. a?b6~15. 略。

16. 证明：先证a-(b-c)?(ab)惹(ac).若x?a(b-c)，则x蜗a,x①如果x?c，则x蜗a,②如果x?c，则x?b，所以x?aa-(b-c)?(ab)惹(ac).再证a-(b-c)惹(ac)?a(b-c).若x￠?(ab)惹(ac)，则，x￠?ab或x￠吻ac.①如果x￠吻ac，有x￠?c，所以，x￠?bc，又x￠?a，于是x￠?a(b-c) ②如果x￠锨ac，x￠?ab，则有x￠?a，x￠?c，x￠?b，所以，x￠?bc，于是x￠?a(b-c). 因此有(a-b)惹(ac)?a(b-c).综上所述，a-(b-c)=(a-b)惹(ac)，证毕. 17~19. 略。

20. cda.21. a?b{(1,u),(1,v),(2,u),(2,v),(3,u),(3,v)};禳1镲xx?r,睚2镲铪参考答案禳禳11镲镲，，a?d-1,-,0,1,2,3,?a-c=睚0,-1,-睚镲镲44铪铪禳1镲a=睚-1,-,0,1,2,7.镲4铪xx危r,1x 2}x3，a?b={，a-b={xx?r,2x3}.b-cb-c;(ac)，因此有b，也有x?(ab)惹a2={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)};b2={(u,v),(u,v),(v,u),(v,v)}22. a={(x,y,z)}x,y,z危?.0323~25. 略。

7(2)多元函数的基本概念

2 2
x y ( x 0) ( y 0) 2 0, 取
2 2
2 2

则当 0 ( x 0) 2 ( y 0)2
有
1 ( x y ) sin 2 0 2 x y
2 2
证毕.
16
多元函数的基本概念
0 y 也有 lim f ( 0, y ) lim 2 lim 0 0 2 y 0 y0 y0 0 y
19
多元函数的基本概念
xy , x2 y2 0 x2 y2 设函数 f ( x , y ) 0, x2 y2 0 证明: 当 x 0, y 0时,函数的极限不存在.
( x, y) ( x, y)
O
x
O
x
12
(2) 变点P(x,y)与定点P0(x0,y0)之间的距离记为
( x x0 )2 ( y y0 )2 PP0
不论 P ( x , y )趋向于P ( x0 , y0 ) 的过程多复杂, 总可以用 0 来表示极限过程:
多元函数的基本概念
例理想气体的状态方程是 pV RT (R为常数) 其中p为压强, V为体积, T为温度. 如温度T、体积V都在变化, 则压强 p依赖 T 于T,V 的关系是 p R V 称 p为两个变量T,V 的函数, 其中 0 T , 0 V .
3
多元函数的基本概念
O
x 无界闭区域
7
2x x y 2. z x2 y2 1
2
2
( x 1)2 y 2 1 且x 2 y 2 1 解定义域是

微积分第七章习题解答

第七章习题解答1.求下列函数的定义域。

()(){}1,:112222≤+--=y x y x D y x z 解：()()(){}1,4,:14ln 222222≥<+-+--=x y x y x D x y x z 解：()()()(){} ,2,1,0,122,:sin 32222±±=+≤+≤+=k k y x k y x D y x z ππ解：()()()[](){}164,:1416ln 422222222<+<---+--=y x y x D yx y x y x z 解：()(){}0,,:115><<--++=x x y x y x D yx yx z 解：()(){},0,:62>≤≤-=x x y y x D yx z 解：()()(){}222222,42,:3arcsin 7y x y x y x D y x y x z >≤+≤---=解：()()()(){}(){}94,11,1410,1,:410ln ln arcsin 82222222<+≤-≤-=>--≤---+-=y x y x y x y x y x y x D y x y x z 解：2.求下列函数的极限。

()()()()()1sin lim 1sin lim 1sin lim 10222222022220==+++++→→→→→uu u y x y x y x y x y x u x x y y 解：()()()()()001lim1lim lim lim limlim 222222222220000=+=+++=+++=++++∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→y yx xy x y x yy x x y x y x y x y x y y y y y y x x x x x x 解：()221sin lim sin lim sin limsin lim 322220000=⋅=⋅=⋅=→→→→→→→→y u uu xy y xy xy x xy xxy y y y y u x x x 解：()022lim limlim4220222222000=⋅+=++→→→→→→yy x xy y x xy y x xy y y y x x x 解：3求下列函数的一阶偏导数。

《微积分第二篇》第七章习题解答

《微积分第二篇》第七章习题解答【习题7.1】（解答）1、用二重积分表示由圆柱面x 2 + y 2 = 1, 平面z =0, z =2 所围成的平顶柱体的体积.22{(,)|1},2d 2d .DDD x y x y V σσ=+≤==⎰⎰⎰⎰解:设那么所求体积2、用二重积分表示以下列曲面为顶,区域D 为底的曲顶柱体的体积. (1) 曲面 z =x +y +1, 区域D 是长方形：0≤x ≤1, 1≤y ≤2;{(,)|01,12},(++1)d .DD x y x y V x y σ=≤≤≤≤=⎰⎰解:设那么所求体积(2) 曲面 z =x +y , 区域D 是由圆x 2 + y 2 = 1 在第一象限部分与坐标轴所围成.22{(,)|01,0,0},(+)d .DD x y x y x y V x y σ=≤+≤≤≤=⎰⎰解:设那么所求体积3、利用二重积分的性质 (1) 比较()⎰⎰+Dd y x σ2与()⎰⎰+Dd y x σ3的大小,其中D 是由x 轴、y 轴与直线 x + y = 1所围成;()()()()2323,01,,.DDD x y x y x y x y d x y d σσ∀∈≤+≤+≥++≥+⎰⎰⎰⎰解:因故所以(2) 比较()ln d Dx y σ+⎰⎰与()2ln d Dx y σ+⎡⎤⎣⎦⎰⎰的大小,其中 {(,)|35,01}.D x y x y =≤≤≤≤()()()()22,36,1ln ln ,ln d ln d .DDD x y x y x y x y x y σσ∀∈≤+≤≤+≤+⎡⎤⎣⎦+≤+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰解:因故所以(3) 估计()⎰⎰++Dd y x σ1的值,其中D 是长方形区域：0≤x ≤1, 0≤y ≤2 ；(),114,2,211d ln 1d 4d 48.D D D DDDD x y D S S x y S σσσ∀∈≤++≤==⋅=≤++≤=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰解:因而的面积故【习题7.2】（解答）1、画出积分区域D 的图像再计算二重积分:(1)()dxdy y x D⎰⎰+,其中区域D 是由直线x y x y x x 3,,2,1====所围成的闭区域.解：画出积分区域D ,如图 5.6 所示,区域D 是-x 型的,区间[1,2]上任意取定一()()2313222211d d d d 6d 14.2xxDxx x y x y x x y yy xy dx x x +=+⎡⎤=+==⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰x个值.过点作垂直轴的直线,与区域的边界相交,因此解：积分区域D 取为X型：110d d d Dx yσ=⎰⎰⎰{(,)|01,1}.D x y x y =≤≤≤≤那么(3)dy dx e Dy⎰⎰-2,其中区域D 是由直线y x y y 及,,1==轴所围成的闭区域. 解：如图5.6 所示, D 既是-x 型,也是-y 型的,若先对y 积分,后对x 积分,则dy dx e Dy ⎰⎰-2=dy e dx xy⎰⎰-1102. 由于函数e y 的原函数无法用初等函数表示, 因此累次积分无法进行. 若先对x 积分,再对y 积分,则()2222211110d d d d d 111d 1.22yy y y y Dy ye x y y e x e x yye y e e -----==⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)，设 D 由曲线与直线 x =0, y=1 所围成的区域.Dσy (17116000111131d (1.2222714yy x x x x ⎡⎤====-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰22514632211[(2)]d 2145[2]5.24368y y y y y y y y --=+-=++-=⎰222222211d d d d 2y y yDy xxy y xy x y y σ++--⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰解：将D 作 Y 型: 2{(,)|12,2}.D x y y y x y =-≤≤≤≤+2d ,2Dxy D y x y x σ==-⎰⎰计算其中是由抛物线及所围成的闭区域.(4) cot cos()d Dx x xy σ⎰⎰2、计算二重积分: , 其中D 是由直线x =1,y =1和x 轴y 轴所围成闭区域.(1)解：将D 作型区域 D={(x,y )| 0≤x ≤1, 0≤y ≤1 }, 于是()111111111000d cot cos()d cot dcos()d()cotsin()d cot cos d cos d sin |sin1.y y x x x xy y x x xy xy x xy x x x x x x x =========⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式e d x xy x σ+⎰⎰，(2)其中D 是由直线x =1,y =1和x 轴y 轴所围成闭区域.解：将D 作型区域 D={(x,y )| 0≤x ≤1, 0≤y ≤1 }, 于是111110001100d e d 1)2e d 2e 21)(e 1)|e 1.x xy xxyxx x x y x x x +⎫==-=⎪⎭==-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式解：D 取为X 型： 3{(,)|01,1}.D x y x y x =≤≤≤+3,0,11,.DD x x y x y σ===+=其中由直线和曲线(3).420697517232213221d )21(21d ])1()1[(21d 1131d 1d d 110527322310425221122210132122102223=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++=+++++=++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+=-+=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x y x x y x x x y x x x x D σ3ln ln332ln 2ln 2ed (,)d d (,)d y xx f x y y y f x y x =⎰⎰⎰⎰211d (,)d d (,)d .xyxy f x y x x f x y y =⎰⎰⎰解：(1) 积分区域D 可表为：(2) 积分区域D 可表为：{(,)|23,ln 2ln }{(,)|ln 2ln3,e 3}.y D x y x y x x y y x =≤≤≤≤=≤≤≤≤所以2{(,)|01,{(,)|01,}.D x y y y x x yx x y x =≤≤≤≤=≤≤≤≤所以3. 设 f (x ,y ) 为二元可积函数，交换下列积分次序： 3ln 2ln 2d (,)d ;x x f x y y ⎰⎰10d (,)d .y y f x y x ⎰ (1) (2)圆周及其内部.r =1y2r =15π4=.4.,sin ,cos θθr y r x ==解：令则D 的边界线方程分别为r =2R cos ө,ө=0, ө=π/2. 积分区域D 可表示为22{(,)|2,0},0.D x y x y Rx y R =+≤≥>常数⎰⎰=Dy x f σd ),(⎰⎰θθθθcos 202π0d )sin ,cos (d R r r r r f 于是得到.π{(,)|0,02cos },2D r r R θθθ=≤≤≤≤将二重积分⎰⎰Dy x f σd ),(化为极坐标系下的累次积分，其中。

第七章多元函数的微积分《经济数学》PPT课件

反之,对于任意一个有序数组(x,y,z),在x,y,z三轴上分别取与x,y,z相应的点 P,Q,R,然后过P,Q,R这三点分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面,这三个平面的交点M就是有序数组(x,y,z)所唯一确定的点.
于是,空间任意一点M和有序数组(x,y,z)建立了一一对应的关系,我们称有序数组(x,y,z)为点M的横坐标、纵坐标、竖坐标,记为M(x,y,z).
设函数z=f(x,y)在点(x,y)的某邻域内有定义,若自变量x、y各有改变量Δx和Δy,则Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)称为函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量.
➢ 定义7-6
PART
07
7. 5. 1 二元函数的极值
7.5
多元函数的极值
➢ 定义7-7 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义,对于该邻域内异于(x0,y0) 的任意一点(x,y),如果有f(x,y)<f(x0,y0),则称函数在点(x0,y0)处有极大值;如果有 f(x,y)>f(x0,y0),则称函数在点(x0,y0)处有极小值.极大值、极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.
1)边际函数 ➢ (1)边际成本 • 设某工厂生产甲、乙两种不同的产品,其数量分别为x,y,总成本
函数为C(x,y),则("∂" C)/("∂" x)表示:当乙商品的数量保持在某一水平上,而甲商品的数量变化时总成本的变化率.我们把它称为总成本C(x,y)对x的边际成本.("∂" C)/("∂" y)表示:当甲商品的数量保持在某一水平上,而乙商品的数量变化时总成本的变化率.我们把它称为总成本C(x,y)对y的边际成本.

多元函数微分学习题及详细解答

C. 可能确定两个具有连续偏导数的隐函数 x x( y, z) 和 z z(x, y)
D. 可能确定两个具有连续偏导数的隐函数 x x( y, z) 和 y y(x, z)
3.证明：函数 f (x, y) xy 在点 O(0, 0) 处可微。
证明：由定义，
f
x
(0,
0)
lim
x0
（f x, 0) x
f
(0, 0)
0
4.设
z
xy＋f
(u),
，u
y x
，f
(u)
为可微函数，求:
x
z x
y
z y
解： z x
y
xf
(u)
y x2
f (u)
f (u)
y
y x
f (u)
z x xf (u) 1 x f (u).
y
x
故
x
z x
y z y
x
f
(u)
y
f
(u) x
y
yx
f (u)
xf (u) xy yf (u) xy yf (u)
（3）如果函数 f (x, y) 在点 0, 0 处连续，那么下列命题正确的是（ B ）
A.若极限 lim f (x, y) 存在，则 f (x, y) 在点 0,0 处可微
x0 x y
y0
B.
若极限 lim x0
f (x, y) 存在，则 x2 y2
f (x, y) 在点 0, 0 处可微
y0
2 ，求
f
xx
(0,0,1),f
yz
(0,
1,0),f
zzx
(2,0,1)

经济数学基础--微积分第七章

x
y

x , y 0,0
x y
x 2 xy 我们之所以能够消去因式 x y , 是因为路径x y 0不在函数z 的定义域中. x y
第 12 页
经济应用数学基础——微积分
第七章 . 第一节
xy 2 2 , x y 0 2 2 例7.1.3 讨论函数f ( x, y ) x y , 当( x, y ) 0, 0 时是否存在极限. 0, x 2 y 2 0
多元函数的基本概念
解取直线y x, kx)
趋近于 0, 0 , 由于f ( x, y )
k .让动点( x, y ) 沿直线y kx 无限 2 1 k
k k . 显然 , k 的取值不同 , 的值也不同.这意味着当( x, y) 2 2 1 k 1 k
第6 页
多元函数的基本概念
经济应用数学基础——微积分
第七章 . 第一节
多元函数的基本概念
例7.1.1 求下列函数的定义域 :
1 z R 2
x2 y 2 ; 1 4x y
2 2
2 z ln x 2 y 2 1 3 z arcsin x y .
;
解 1 要使函数的解析式有意义, x, y 必须满足R 2 x 2 y 2 …0, 所以函数的定义域是
D {( x, y ) x 2 y 2 „ R 2 }, 如图所示;
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经济应用数学基础——微积分
第七章 . 第一节
多元函数的基本概念
2 要使函数的解析式有意义, x, y 必须满足不等式组

高等数学下册同济大学出版社经管类第2版-第七章-多元函数微分学PPT课件

y2
1
0,
即 1 x2 y 2 9 ,函数定义域为
D ( x, y ) | 1 x 2 y 2 9 .点集 D
在 xOy 平面上表示以原点为圆
心，半径为 3 的圆与以原点为
y
O1 3 x
圆心的单位圆所围成的圆环
域 (包含边界曲线内圆 x2 y 2 1 ，
*
2
１．二元函数的定义
定义1 (二元函数) 设有三个变量 x, y 和 z, 如果当变量 x, y在它们的变化范围 D中任意取定一对值时，变量 z 按照一定的对应规律都有惟一确定的值与它们对应，则称 z 为变量 x, y的二元函数，记为z f (x, y) ，其中 x 与 y 称为自变量，函数z 也叫因变量．自变量 x与 y 的变化范围 D称为函数z 的定义域．
D中变动时，对应的P点的轨迹就是函数z f (x, y)的几何
图形，它通常是一张曲面，而其定义域D 就是此曲面在
xOy平面上的投影．
z
P
O
Y
y
X
MD
x
*
8
例 7 作二元函数 z 1 x y 的图形．解二元函数 z 1 x y 的图形是空间一平面，其图形如下图所示．
第七章多元函数微分学
*
1
第一节多元函数的极限及连续性
一、多元函数
1.实例分析
例 1设矩形的边长分别 x和 y ，则矩形的面积 S 为 S x .y
在此，当 x 和 y 每取定一组值时，就有一确定的面积值 S ．即 S 依赖于 x 和 y 的变化而变化．

7章多元函数答案详解

第7章多元函数及其微积分学第一节空间解析几何初步【基础作业题】1、在空间直角坐标系中画出点(1,2,3)P -，并求它关于下列对称的点的坐标.图：如左图，观察可得（1）关于原点对称；（-1，-2,3）（2）关于y 轴对称；（-1,2,3）（3）关于yOz 平面对称；（-1,2，-3）2、求球心在点(2,1,3)M -，且通过点(1,0,0)的球面方程. 解：因为球心在点(2,1,3)M -，所以球面方程可设为2222(2)(1)(3)x y z R ++-+-=由题意，球面过点(1,0,0)，所以2222(12)(01)(03)19R R ++-+-=⇒=故所求的球面方程为222(2)(1)(3)19x y z ++-+-=。

3、指出下列方程在空间中各表示什么图形，并作出其草图.(1) 221x y += (2 ) 22z x y =+解：解：这表示圆柱面这表示旋转抛物面第二节多元函数的概念【基础作业题】1、求下列函数的定义域，并在平面直角坐标系中画出定义域的图形.(1)22z y x =- (2) 2ln()z y x =- 解：由题意，220y x -≥ 解：由题意，20y x -> 所以定义域为2{(,)|2}x y y x ≥ 所以定义域为2{(,)|}x y y x >2、设22(,,)cos g x y z x y z =⋅+，求(1)(2,0,2)g ；(2)(1,,3)2g π.解：由题意，(2,0,2)g =222cos026⋅+=(1,,3)2g π221cos392π=⋅+=3、求下列二元函数的极限.(1)(,)(0,4)2limx y x y → (2)(,)(0,0)lim 24x y xy xy →-+解：(,)(0,4)2limx y xy→ 解：原极限(,)(0,0)(24)lim (24)(24)x y xy xy xy xy →⋅++=-+⋅++2004⨯== (,)(0,0)(24)lim x y xy xy xy →⋅++=-(,)(0,0)lim (24)x y xy →=-++(204)4=-++=-【提高练习题】1．证明极限(,)(0,0)limx y x yx y →+-不存在.证：当(,)x y 沿射线y kx =趋于(0,0)时，有(,)(0,0)(,)(0,0)1l i ml i m1x y x y x yx k x kx yx k x k→→+++==---，由于k 值不同，极限值不一样，由此可知，当(,)x y 按不同的方式趋于(0,0)，所得的极限值不同，故原二重极限不存在.第三节偏导数【基础作业题】1、求下列函数关于各自变量的一阶偏导数.（1）2(,)321f x y x y =+- （2）(,)3y xf x y x y =++解：6x f x '= 解：1ln y x x f yxy y -'=+2y f '= 1ln yx y f x x xy -'=+2、设11()x yz e-+=，求证222z z xy z x y∂∂+=∂∂. 解：由题意，1111()()221111[()]x yx y z e e z x x x y x x -+-+∂∂=⋅-+=⋅=⋅∂∂同理，11()2211x y z e z y y y-+∂=⋅=⋅∂所以，222222112z z xy x z y z z x y x y∂∂+=⋅⋅+⋅⋅=∂∂ 3、求下列函数的所有二阶偏导数.(1) 22442z x y x y =-- (2 ) 2ln()z x y =解：因为2344z xy x x∂=-∂，解：因为222112()2z x y xy x x y x x y x ∂∂=⋅=⋅=∂∂2344z x y y y ∂=-∂， 2222111()z x y x y x y y x y y∂∂=⋅=⋅=∂∂所以2222412z y x x ∂=-∂，28z xy x y ∂=∂∂ 所以 2222z x x ∂=-∂，20z x y∂=∂∂2222412z x y y ∂=-∂，28z xy y x ∂=∂∂ 2221z y y ∂=-∂，20z y x∂=∂∂【提高练习题】1、设ln()z x xy =，求22zx∂∂与32z x y ∂∂∂.解：因为1ln()ln()ln()ln()1z xy x xy xy x y xy x x xy∂∂=+⋅=+⋅⋅=+∂∂ 所以 ()2211ln()1z z xy y x x x x xy x ∂∂∂∂⎛⎫==+=⋅= ⎪∂∂∂∂⎝⎭， 2210z y x y x ⎛⎫∂∂∂⎛⎫== ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭2、设222(,,)f x y z xy yz zx =++，求''(0,0,1)xx f ，''(0,1,0)yz f -，'''(2,0,1)zzx f .解：因为 222,2,x y f y zx f xy z ''=+=+ 22z f yz x '=+所以 2,2,xx yz f z f z ''''== 2,zz f y ''= 0zzx f '''=故 (0,0,1)212,xx f ''=⨯= (0,1,0)200,yz f ''-=⨯= (2,0,1)0zzx f '''=第四节多元复合函数的偏导数【基础作业题】1、求下列复合函数的偏导数或全导数. （1）设 22,,z u v u x y v x y =+=+=-，求,z z x y∂∂∂∂. 解:21212()2()4z z u z vu v x y x y x x u x v x∂∂∂∂∂=⋅+⋅=⋅+⋅=++-=∂∂∂∂∂212(1)2()2()4z z u z v u v x y x y y y u y v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅=⋅+⋅-=+--=∂∂∂∂∂（2）设 arctan(),xz xy y e ==，求d d zx. 解:全导数 2222d d 11d d 1()1()1x xz z z y y xe y x e x x y x xy xy x y∂∂+=+⋅=⋅+⋅⋅=∂∂+++ （3）设 222ln(1),,sin tz x y x e y t =++==，求d d zt. 解:全导数22222d d d 11222cos d d d 11tz z x z y x e y t t x t y t x y x y ∂∂=⋅+⋅=⋅⋅+⋅⋅∂∂++++ 44424242sin cos 4sin 21sin 1sin t t t t e t t e te t e t+⋅+==++++ 2、求函数22(,)xyz f x y e =-的一阶偏导数.解:设22,xyu x y v e =-=，则(,)z f u v = 所以1222xy xy u v z z u z vf x f e y x f ye f x u x v x∂∂∂∂∂''''=⋅+⋅=⋅+⋅⋅=⋅+⋅∂∂∂∂∂12(2)2xy xy u v z z u z v f y f e x y f xe f y u y v y∂∂∂∂∂''''=⋅+⋅=⋅-+⋅⋅=-⋅+⋅∂∂∂∂∂ 【提高练习题】1、设()z xy xF u =+，其中()F u 可导，yu x=，试证明z z x y z xy x y ∂∂+=+∂∂. 解:由题意，2()()()()()z u yy F u x F u y F u x F u x x x∂∂''=++⋅⋅=++⋅⋅-∂∂1()()z u x x F u x x F u y y x∂∂''=+⋅⋅=+⋅⋅∂∂ 所以 21[()()()][()]z z y xy x y F u x F u y x x F u x y x x∂∂''+=++⋅⋅-++⋅⋅∂∂ ()()()xy xF u yF u xy yF u ''=+-++ z xy =+2、设()f x ''连续，1()()z f xy yf x y x =++，求2zx y ∂∂∂.解:由题意，211()()()1z f xy f xy y yf x y x x x∂''=-+⋅++⋅∂ 2211()[()()][()()1]z f xy x f xy xy f xy f x y yf x y x y x x∂'''''''=-⋅+⋅+++++⋅∂∂ 11()()()()()f xy f xy y f xy f x y yf x y x x'''''''=-+⋅+++++ ()[()()]f x y y f xy f x y '''''=++++第五节隐函数的偏导数【基础作业题】1、求下列隐函数的导数或偏导数。

微积分第2版-朱文莉第7章定积分及其应用习题详解

微积分第2版-朱文莉第7章定积分及其应用习题详解1. 引言在微积分学中，定积分是一个非常重要的概念。

定积分可以用于求解曲线下面的面积、物体的质量和重心等问题，是微积分中的核心内容之一。

本章将重点介绍定积分的定义、性质以及应用。

2. 定积分的定义定积分的定义为：$$ \\int_{a}^{b} f(x)dx = \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\sum_{i = 1}^{n} f(x_i^*)\\Delta x_i $$其中，f(f)是被积函数，f和f是积分的下限和上限。

3. 定积分的性质定积分具有以下几个基本性质：3.1 线性性质$$ \\int_{a}^{b}(c_1f(x) + c_2g(x))dx =c_1\\int_{a}^{b}f(x)dx + c_2\\int_{a}^{b}g(x)dx $$3.2 区间可加性$$ \\int_{a}^{b}f(x)dx + \\int_{b}^{c}f(x)dx =\\int_{a}^{c}f(x)dx $$3.3 固定上限与下限交换积分$$ \\int_{a}^{b}f(x)dx = -\\int_{b}^{a}f(x)dx $$3.4 积分上下限相同，结果为0$$ \\int_{a}^{a}f(x)dx = 0 $$4. 定积分的应用定积分在实际问题中具有广泛的应用，下面将介绍几个常见的应用。

4.1 曲线下面的面积定积分可以用于求解曲线下面的面积问题。

设函数f(f)在区间[f,f]上连续，则曲线f=f(f)和f轴所围成的图形的面积可以表示为：$$ S = \\int_{a}^{b}f(x)dx $$4.2 物体的质量和重心假设物体的质量分布在直线上，密度函数为$\\rho(x)$，物体的质量可以通过定积分来计算：$$ m = \\int_{a}^{b}\\rho(x)dx $$物体的重心可以通过下面的公式来计算：$$ \\bar{x} = \\frac{1}{m}\\int_{a}^{b}x\\rho(x)dx $$4.3 函数的平均值函数f(f)在区间[f,f]上的平均值可以通过定积分来计算：$$ \\bar{f} = \\frac{1}{b - a}\\int_{a}^{b}f(x)dx $$5. 总结本章介绍了定积分的定义、性质以及应用。

多元函数微分学53738-32页精选文档

内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．
（5）二元函数的定义
设 D是平面上的一个点集，如果对于每个点
P(x,y)D，变量 z按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称 z是变量 x,y的二元函数，记为 zf(x,y)（或记为 zf(P)） .
E
• •
y
连通的开集称为区域或开区域．
例如，{x (,y)|1x 2y24 }.
o
x
开区域连同它的边界一起称为闭区域 . y
例如，{x (,y)|1x 2y24 }.
o
x
对于点集E 如果存在正K数，使一切点 PE 与某一定点 A间的距离AP不超过K ，即 AP K 对一切PE 成立，则称 E 为有界点集，否则称为无界点集．
说明：内点一定是聚点；
边界点可能是聚点；
例 {x ( ,y )|0 x 2 y 2 1 }
(0,0)既是边界点也是聚点．点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E ．
例如, {x ( ,y )|0 x 不属于集合．
例如, {x (,y)|x2y21 }
边界上的点都是聚点也都属于集合．
n维空间中两点间距离公式
设两点为 P(x1,x2,,xn),Q (y1,y2,,yn),
|P | ( y Q 1 x 1 ) 2 ( y 2 x 2 ) 2 ( y n x n ) 2 .
特殊地当 n1,2,3时，便为数轴、平面、
空间两点间的距离．
n维空间中邻域、区域等概念
邻域： U ( P 0 ,) P |P 0 | , P P R n

多元函数微分法及其应用(习题和详细解答)

多元函数微分法及其应用（习题）(A)1．填空题(1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ∂∂∂2，x y z∂∂∂2 ，则在D 上，xy zy x z ∂∂∂=∂∂∂22。

(2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。

(3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的条件。

2．求下列函数的定义域(1)y x z -=；(2)22arccos yx z u +=3．求下列各极限(1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 00-+→→xy xyy x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→4．设()xy x z ln =，求y x z ∂∂∂23及23y x z∂∂∂。

5．求下列函数的偏导数 (1)xyarctgz =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。

6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数dt dz 。

7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dtdu。

8．曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？ 9．求方程1222222=++cz b y a x 所确定的函数z 的偏导数。

10．设y x ye z x 2sin 2+=，求所有二阶偏导数。

11．设()y x f z ,=是由方程y z z x ln =确定的隐函数，求x z ∂∂，yz∂∂。

12．设x y e e xy =+，求dxdy。

13．设()y x f z ,=是由方程03=+-xy z e z确定的隐函数，求x z ∂∂，y z ∂∂，yx z∂∂∂2。

(整理)第七章多元函数微积分60499

高等数学练习题第七章多元函数微积分系专业班姓名学号第一节空间解析几何基础知识第二节多元函数的概念一．选择题1．方程22480x y z +-+=表示（D ）（A ）平面（B ）柱面（C ）球（D ）抛物面 2．函数)ln(1y x z +=的定义域（ C ）（A ）0>+y x （B ）0)ln(≠+y x （C ）1>+y x （D ）1≠+y x 3．设)1(-+=x f y z ，且当1=y x z =时，则)(y f = （ D ）（A ）1-y （B ）y （C ）2+y （D ）)2(+y y4．若)0()l n (),(22>>--=y x y x x y x f ，则),(y x y x f -+= （ B ）（A ）)ln(y x - （B ）)ln(2y x -（C ）)ln (ln 21y x - （D ）)ln(2y x - 二．填空题1．点(4,3,5)M -到x 轴的距离d2．若一球面以点(1,3,2)-为球心且过原点，则其方程为 3．与Z 轴和点)1,3,1(-A等距离的点的轨迹方程是_____ _ ___4．球面：07442222=--+-++z y x z y x 的球心是点__________，半径=R __； 5. ln()z y x =-6．设函数32(,)23f x y x xy y =-+，则(x f y=7．已知22),(y x xy y x f -=+，则=),(y x f 8．已知vu w w u w v u f ++=),,(，则),,(xy y x y x f -+=222(1)(3)(2)14x y z -+-++=2262110z x y z --++=(1,2,2)-422{(,)|1,0}x y x y y x +<>≥3()3x xy y -+22222(1)(1)1x x y x y y y --=++2()()xy x x y xy ++三．计算题1．y xy y x )sin(lim )0,2(),(→解：sin()xy xy ≤∴ 当(,)(2,0)x y →时，sin()2xy y→ 则原式＝2 2．24lim)0,0(),(-+→xy xy y x解：24xy==+∴原式＝(,)(0,0)lim 2)4x y →=3．2222222)0,0(),()(cos 1limy x y x ey x y x +→++-解：2211cos ~()2x y -+ ∴原式＝2222222(,)(0,0)1()2lim ()x y x y x y x y e+→++ ＝222(,)(0,0)1lim2x y x y e+→＝12高等数学练习题第七章多元函数微积分系专业班姓名学号第三节偏导数第四节全微分一．选择题1．设),(y x f z =，则),(00y x xz ∂∂= （ B ）（A ）x y x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆),(),(lim00000（B ）xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim 00000（C ）x y x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim0000（D ）xy x f y y x f x ∆-∆+→∆),(),(lim 000002．若xy z ln =，则dz 等于（ B ）（A ）y x y x y y x x ln ln ln ln + （B ）dy yxy dx x y y x x ln ln ln ln + （C ）ln ln ln ln x xy x y ydx dy x + （D ）xyy x ln ln 3．设22()z yf x y =-，则 11z z x x y y∂∂+=∂∂ （ A ）（A ）221()f x y y -；（B ）4fyf y'+；（C ）0；（D ）1y二．填空题1．设)cos(2y x z =，则yz∂∂= 2．设22),(y x y x y x f +-+=，则=')4,3(x f3．设)sin(),(223y x ey x y x f xy--+=，则=)1,1(x f 4．设432),,(z y x z y x f =，则),,(z y x f z =5．设函数2sin()(1)y z y xy y e -=+-，则(1,0)|zx∂=∂6．设2232),(y xy x y x f -+=，则),(y x f xy ''=7．设y x e u xsin -=，则yx u∂∂∂2在点)1,2(π处的值为22sin()x x y -251e+2334x y z 14322e π-8．函数y x xy z ++=22arctan 的全微分=dz三．计算题 1．设1xzyua=（）, 求z y x u u u '''，，解： 1()'ln ln xz xz yx u zay y a -=-⋅ 1()1'ln xzxz yy u xzyaa --=- 1()'ln ln xz xz yz u xy aa y -=-⋅2．设)ln(2y x z +=，求在点（1，0）处的全微分解：22dx ydydz x y +=+(1,0)|d z d x =3．设)11(yx ez +-=，求证z yz y x z x222=∂∂+∂∂ 证：11()21x y z e x x -+∂=∂ 11()21x y z e y y-+∂=∂ 1111()()22222211x yx yz z x y x e y ex y x y-+-+∂∂+=+∂∂＝11()22x yez -+=4．验证 nx ey tkn sin 2-=满足22xyk t y ∂∂=∂∂证：22sin kn t y kn e nx t -∂=-∂ 2c o s k n ty n e n xx-∂=∂ 2222sin kn t y n e nx x -∂=-∂ ∴22xy k t y ∂∂=∂∂22(4)(1)1()1()y x x dx dy xy xy +++++高等数学练习题第七章多元函数微积分系专业班姓名学号第五节多元复合函数与隐函数微分法（一）一．选择题1．设)(),,(,ln 2y v y x u v u z ψϕ===均为可微函数，则=∂∂yz（ C ）（A ）v u v u 2ln 2+（B ）v u v y 2ln 2+ϕ （C ）ψϕ'+v u v u y 2ln 2 （D ）vu y ψϕ'22．设(,)2323z f x y x y =+，f 具有二阶连续偏导数，则2zx y ∂=∂∂ （B ）（A ）226621112222615276f x y f x y f x yf '''''''+++ （B ）()235211122226666f xy x y f x y f xy f '''''''++++ （C ）()235111222666f xy x y f x y f ''''''+++ （D ）226611122261527f x y f x y f ''''''++ 二．填空题1．设22v u z +=，而y x v y x u -=+=,，则yzx z ∂∂+∂∂= 2．设y x ez 2-=，而t x sin =，3t y =，则dtdz = 3．设z =)()(1y x y xy f x ++ϕ，f 和ϕ具有二阶连续导数，则y x z∂∂∂2= ''()'()''(y f x y xy y x yϕϕ++++ 4．设f 具有一阶连续偏导数，),(22xye y xf u -=，则u x ∂=∂ ；uy∂=∂ . 三．计算题 1．设y x z arctan=，而v u x +=，v u y -=，求vz u z ∂∂+∂∂ 解：2211[]1()x z u x y y y∂=-∂+ 2211[]1()z x x v y yy ∂=+∂+4()x y +22(cos 6)x y t t e--122''xy xf ye f +122''xy yf xe f -+222z z y u v x y ∂∂+=∂∂+2．设1)(2--=a z y e u ax ，而xa y sin =，x z cos =，求dx du解：222cos sin ()111ax ax axdu a ae x e x e y z dx a a a =-++--- 2()1ax e yay az az a a=-++- 2222(1)sin (1)(1)1ax axa e x a e y a a a ++==-- 3．设sin()(,)x z xy x y =+ϕ，求2zx y∂∂∂，其中(,)u v ϕ有二阶偏导数。

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习题7.1(A)
1、求点(2,1,3)A -关于(1)各坐标面；(2)各坐标轴；(3)坐标原点的对称点的坐标。

解 (1)(2,1,3)--,(2,1,3)--, (2,1,3)；
(2)x 轴：(2,1,3)-，y 轴：(2,1,3)---，z 轴：(2,1,3)-； (3) (2,1,3)--。

2、在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？
(4,3,5)A -，(2,3,4)B -，(2,3,4)C --，(2,3,1)D --
并求点(4,3,5)A -分别到(1)坐标原点；(2)各坐标轴；(3)各坐标面的距离。

解 A 点在第4卦限； B 点在第5卦限；
C 点在第8卦限；
D 点在第3卦限。

(1) A =(4,3,5)-
(2) A 到x =
A 到y =
A 到z 5=；
(3) A 到坐标面xy 5=；
A 到坐标面yz 4=；
A 到坐标面xz 3=。

3、在z 轴上求一点M ，使该点与点(4,1,7)A 和(3,5,2)B 的距离相等。

解因为所求点在z 轴上, 所以设该点为(0,0,)M z , 由题意有MA MB , 即
22
222
2(4)1(7
)35(2
)z z
两边平方, 解得149z
, 于是所求点为14(0,0,)9
M . 4、写出球心在点(1,3,2)--处，且通过点(1,1,1)-的球面方程。

解由2
2
2
2000()()()x
x y
y z
z R ，得
2
222(1())(113())(12)R
则3R ，从而球面方程为
2
2
2
2(1)(3)(2)3x y
z
5、下列各题中方程组各表示什么曲线？
(1)
2248,
8;
x y z z
(2)
22
25,
3;x y z x
(3)
22
2
4936,
1;
x y z y (4)
2244,
2.
x y z y
解 (1) 双曲线；(2) 圆；(3) 椭圆；(4) 抛物线。

6、描绘下列各组曲面在第一卦限内所围成的立体的图形。

(1) 0,0,0,1x y z x y z ===++=；
(2) 2
2
2
2
2
2
0,0,0,,x y z x y R y z R ===+=+=。

解 (1)、(2)题的图如下：
(1)题图 (2)题图
7、由上半球面
224
z
x y 和圆锥面223()z x y 围成一个立体，求它在xy 面上
的投影区域。

解将上半球面和圆锥面的方程联立得到方程组
2
22
2
43()
z x y z
x
y
在该方程组中, 消去z , 得到2
2
1x
y . 这是准线为
221
x y z
, 母线平行于z 轴
的柱面, 且它在xy 面上的投影是xOy 坐标平面上的一个圆. 故题设中两个已知曲面所围成立体在xy 面上的投影区域为: 2
21x
y .
习题7.1(B)
1、指出下列各题中平面位置的特点，并画出各平面。

(1) 0y =； (2) 1z =； (3) 23x y +=； (4) 20x y +=；。